![Page 1: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/1.jpg)
Supercordes en espace-temps courbeet theories conformes
Dan Israel, lptens
These de Doctorat, Universite Paris VI20 septembre 2004
sous la direction de Costas Kounnas
![Page 2: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/2.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 1
Theories des cordes et gravitation
Gravitation : relativite generale theorie quantique non-renormalisable
µνhµνh
∼ G2NE
2RdE E
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 1
Theories des cordes et gravitation
Gravitation : relativite generale theorie quantique non-renormalisable
µνhµνh
∼ G2NE
2RdE E
⇒√α′ l
FTheorie des cordes
interactions non-locales amplitude finie
![Page 4: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/4.jpg)
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Theories des cordes et gravitation
Gravitation : relativite generale theorie quantique non-renormalisable
µνhµνh
∼ G2NE
2RdE E
⇒√α′ l
FTheorie des cordes
interactions non-locales amplitude finie
F Dynamique des cordes
Espace-temps Gµν
![Page 5: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/5.jpg)
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Theories des cordes et gravitation
Gravitation : relativite generale theorie quantique non-renormalisable
µνhµνh
∼ G2NE
2RdE E
⇒√α′ l
FTheorie des cordes
interactions non-locales amplitude finie
F Dynamique des cordes
Espace-temps Gµν
⇔
τ
σ
14πα′
Rdσdτ
√−g λR+Gµν ∂X
µ · ∂Xν
Surface d’univers de la corde
Gravitation 2D couplee aux scalairesXµ(σ, τ)
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 1
Theories des cordes et gravitation
Gravitation : relativite generale theorie quantique non-renormalisable
µνhµνh
∼ G2NE
2RdE E
⇒√α′ l
FTheorie des cordes
interactions non-locales amplitude finie
F Dynamique des cordes
Espace-temps Gµν
⇔
τ
σ
14πα′
Rdσdτ
√−g λR+Gµν ∂X
µ · ∂Xν
Surface d’univers de la corde
Gravitation 2D couplee aux scalairesXµ(σ, τ) Theorie conforme des champs (sym. z → f(z))
![Page 7: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/7.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 2
modes de vibration↔ particules
α’ m = 0 2 m = 4/ α ’ 2m = −4/
tachyon graviton particule hypermassive
gravitation quantique !
![Page 8: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/8.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 2
modes de vibration↔ particules
α’ m = 0 2 m = 4/ α ’ 2m = −4/
tachyon graviton particule hypermassive
gravitation quantique !
theorie sans fermions et instable (tachyon) 0V(T)
T
![Page 9: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/9.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 2
modes de vibration↔ particules
α’ m = 0 2 m = 4/ α ’ 2m = −4/
tachyon graviton particule hypermassive
gravitation quantique !
theorie sans fermions et instable (tachyon) 0V(T)
T
F Theories de supercordes
supersymetrie sur la surface d’univers Qsusy : Xµ(σ, τ)| z
boson 2D
↔ ψµ(σ, τ)| z
fermion 2D
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 2
modes de vibration↔ particules
α’ m = 0 2 m = 4/ α ’ 2m = −4/
tachyon graviton particule hypermassive
gravitation quantique !
theorie sans fermions et instable (tachyon) 0V(T)
T
F Theories de supercordes
supersymetrie sur la surface d’univers Qsusy : Xµ(σ, τ)| z
boson 2D
↔ ψµ(σ, τ)| z
fermion 2D
theorie superconforme des champs 2D
![Page 11: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/11.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 2
modes de vibration↔ particules
α’ m = 0 2 m = 4/ α ’ 2m = −4/
tachyon graviton particule hypermassive
gravitation quantique !
theorie sans fermions et instable (tachyon) 0V(T)
T
F Theories de supercordes
supersymetrie sur la surface d’univers Qsusy : Xµ(σ, τ)| z
boson 2D
↔ ψµ(σ, τ)| z
fermion 2D
theorie superconforme des champs 2D
theories effectives de basse energie : supergravites a dix dimensions (gravitation + supersymetrie
locale d’espace-temps)
constante de couplage dynamique : GN ∼ e 2Φ(xµ) ← Dilaton
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 3
F D-branes
deux descriptions complementaires :
![Page 13: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/13.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 3
F D-branes
deux descriptions complementaires :
⇔
Espace temps plat
limite pres de l'horizon
Extremites fixes des cordes ouvertes Objet etendu massif
![Page 14: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/14.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 3
F D-branes
deux descriptions complementaires :
⇔
Espace temps plat
limite pres de l'horizon
Extremites fixes des cordes ouvertes Objet etendu massif
limite de decouplage : ↓ ↓Theorie de jauge U(N) Geometrie pres de l’horizon| z
Descriptions equivalentes(Maldacena)
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 3
F D-branes
deux descriptions complementaires :
⇔
Espace temps plat
limite pres de l'horizon
Extremites fixes des cordes ouvertes Objet etendu massif
limite de decouplage : ↓ ↓Theorie de jauge U(N) Geometrie pres de l’horizon| z
Descriptions equivalentes(Maldacena)
formulation holographique de la gravitation !
![Page 16: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/16.jpg)
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F Theorie des cordes en espace-temps courbe
theorie des cordes theorie de la gravitation quantique
![Page 17: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/17.jpg)
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F Theorie des cordes en espace-temps courbe
theorie des cordes theorie de la gravitation quantique
1. Nature de la singularite du big-bang ?
2. Physique quantique des trous noirs
3. Courbes de genre temps fermees
4. Nouvelle geometrie “cordiste”
![Page 18: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/18.jpg)
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F Theorie des cordes en espace-temps courbe
theorie des cordes theorie de la gravitation quantique
1. Nature de la singularite du big-bang ?
2. Physique quantique des trous noirs
3. Courbes de genre temps fermees
4. Nouvelle geometrie “cordiste”
nature holographique de la gravitation ?
![Page 19: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/19.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 4
F Theorie des cordes en espace-temps courbe
theorie des cordes theorie de la gravitation quantique
1. Nature de la singularite du big-bang ?
2. Physique quantique des trous noirs
3. Courbes de genre temps fermees
4. Nouvelle geometrie “cordiste”
nature holographique de la gravitation ?
outil : theorie superconforme des champs en deux dimensions (tsc )
Surface d’univers→ espace-temps
Espace-temps non-compact theories conformes non-rationnelles
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 5
Plan de l’expose
– L’espace-temps AdS3 et ses deformations
– Solutions de cinq-branes et holographie
– D-branes au voisinage des ns5-branes
– Champs electromagnetiques en theorie des cordes
– Conclusions et problemes ouverts
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 6
L’espace-temps anti-de Sitter a trois dimensions
FSolutions anti-de Sitter et holographie
Geometrie AdSd × Sn solution supersymetrique et holographique
![Page 22: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/22.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 6
L’espace-temps anti-de Sitter a trois dimensions
FSolutions anti-de Sitter et holographie
Geometrie AdSd × Sn solution supersymetrique et holographique
Cas particulier : N1 cordes fondamentales (f1) et N5 ns5-branes :
ds2σ =
−dt2 + dx2
√f1f5
+pf1f5
“dr
2+ r
2dΩ
23
”+
sf1
f5
dx2
e2Φ
= g2s
f1
f5
, avec f1 = 1 +g2
sα′N1
vr2, f5 = 1 +
α′N5
r2
![Page 23: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/23.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 6
L’espace-temps anti-de Sitter a trois dimensions
FSolutions anti-de Sitter et holographie
Geometrie AdSd × Sn solution supersymetrique et holographique
Cas particulier : N1 cordes fondamentales (f1) et N5 ns5-branes :
ds2σ =
−dt2 + dx2
√f1f5
+pf1f5
“dr
2+ r
2dΩ
23
”+
sf1
f5
dx2
e2Φ
= g2s
f1
f5
, avec f1 = 1 +g2
sα′N1
vr2, f5 = 1 +
α′N5
r2
limite de basse energie α′ → 0 espace-temps AdS3 × S3 × T4
AdS3 : ds2 = N5 ( dρ2 − cosh2 ρ dτ2 + sinh2 ρ dφ2 )φ
ρτ
![Page 24: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/24.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 6
L’espace-temps anti-de Sitter a trois dimensions
FSolutions anti-de Sitter et holographie
Geometrie AdSd × Sn solution supersymetrique et holographique
Cas particulier : N1 cordes fondamentales (f1) et N5 ns5-branes :
ds2σ =
−dt2 + dx2
√f1f5
+pf1f5
“dr
2+ r
2dΩ
23
”+
sf1
f5
dx2
e2Φ
= g2s
f1
f5
, avec f1 = 1 +g2
sα′N1
vr2, f5 = 1 +
α′N5
r2
limite de basse energie α′ → 0 espace-temps AdS3 × S3 × T4
AdS3 : ds2 = N5 ( dρ2 − cosh2 ρ dτ2 + sinh2 ρ dφ2 )φ
ρτ
dualite holographique avec une tsc dans l’espace-temps
![Page 25: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/25.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 7
FDescription exacte : Modele de wzw du groupe non-compact SL(2,R)
algebre affine chirale SL(2,R)G × SL(2,R)DˆJ3n, J
3m
˜= −k
2nδm,−n ,ˆJ3n, J
±m
˜= ±J±n+m ,
ˆJ+n , J
−m
˜= −2J3
n+m + knδm,−n
![Page 26: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/26.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 7
FDescription exacte : Modele de wzw du groupe non-compact SL(2,R)
algebre affine chirale SL(2,R)G × SL(2,R)DˆJ3n, J
3m
˜= −k
2nδm,−n ,ˆJ3n, J
±m
˜= ±J±n+m ,
ˆJ+n , J
−m
˜= −2J3
n+m + knδm,−n
Spectre physique : construit sur des representations unitaires de l’algebre de Lie
① Representations discretes principales, m = ±j,±(j + 1), · · · , j ∈ R+
② Representations continues principales, m = α, α± 1, · · · , j = 1/2 + ıs, s ∈ R+0
![Page 27: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/27.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 7
FDescription exacte : Modele de wzw du groupe non-compact SL(2,R)
algebre affine chirale SL(2,R)G × SL(2,R)DˆJ3n, J
3m
˜= −k
2nδm,−n ,ˆJ3n, J
±m
˜= ±J±n+m ,
ˆJ+n , J
−m
˜= −2J3
n+m + knδm,−n
Spectre physique : construit sur des representations unitaires de l’algebre de Lie
① Representations discretes principales, m = ±j,±(j + 1), · · · , j ∈ R+
② Representations continues principales, m = α, α± 1, · · · , j = 1/2 + ıs, s ∈ R+0
Flot spectral nouvelles representations : J3n = J3
n − k2w δn,0 , J±n = J±n±w
cordes courtes
φ
τ
φ
τ
cordes longues macroscopiques
(Maldacena, Ooguri)
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 8
Fonction de partition (amplitude du vide a une boucle) derivation du spectre
![Page 29: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/29.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 8
Fonction de partition (amplitude du vide a une boucle) derivation du spectre
Espace-cible Minkowskien decomposition de SL(2,R) comme :
Neme recouvrement de SL(2,R)k ∼
quotient euclidienz | SL(2,R)/U(1)×U(1)
R2=−2kZNk
![Page 30: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/30.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 8
Fonction de partition (amplitude du vide a une boucle) derivation du spectre
Espace-cible Minkowskien decomposition de SL(2,R) comme :
Neme recouvrement de SL(2,R)k ∼
quotient euclidienz | SL(2,R)/U(1)×U(1)
R2=−2kZNk
Pour le recouvrement universel ( c.-a.-d. temps non-compact) :
Z = TrHnqh−c/24
qh−c/24
o= 4k(k − 2)
3/2Zd
2t| z
orbifold
Zd
2s| z
holonomies
e2πτ2s21
|ϑ1(s1τ − s2|τ)|2| z determinant de AdS3 euclidien
Xm,w
e−kπτ2 |(s1−t1+w)τ−(s2−t2+m)|2
| z boson compact du quotient
(D.I., Kounnas, Petropoulos ) ×Xm′,w′
e+kπτ2|(t1+w′)τ−(t2+m′)|2
| z boson supplementaire genre temps
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 9
spectre : integration des multiplicateurs de Lagrange s1, s2, t2
? Representations discretes avec 12 < j < k−1
2
h = −j(j − 1)
k − 2+ w+
„−m−
k
4w+
«+N,
h = −j(j − 1)
k − 2+ w+
„− ˜m−
k
4w+
«+ N,
? Representations continues
h =s2 + 1/4
k − 2+ w+
„−m−
k
4w+
«+N,
h =s2 + 1/4
k − 2+ w+
„− ˜m−
k
4w+
«+ N,
avec E = m+ ˜m et J = m− ˜m
![Page 32: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/32.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 10
FDeformations d’AdS3
modeles de wzw deformations marginales avec CabRd2z Ja(z)Jb(z)
![Page 33: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/33.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 10
FDeformations d’AdS3
modeles de wzw deformations marginales avec CabRd2z Ja(z)Jb(z)
AdS3 : trois sous-algebres abeliennes inequivalentes dans SL(2,R)
deformations marginales differentes
![Page 34: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/34.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 10
FDeformations d’AdS3
modeles de wzw deformations marginales avec CabRd2z Ja(z)Jb(z)
AdS3 : trois sous-algebres abeliennes inequivalentes dans SL(2,R)
deformations marginales differentes
Exemple : deformation elliptique J3J3 Rec
ouvr
emen
t1
2er
e...
Point SL(2,R)
Jaugement axial Jaugement vecteur
...
: g hgh : g h gh
Ligne de déformation J J 33
−1
ds2/k = dρ2 + − cosh2 ρ dτ2+R2 sinh2 ρ dφ2
R2 cosh2 ρ−sinh2 ρ
dualite jaugement axial↔ vecteur ?
![Page 35: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/35.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 10
FDeformations d’AdS3
modeles de wzw deformations marginales avec CabRd2z Ja(z)Jb(z)
AdS3 : trois sous-algebres abeliennes inequivalentes dans SL(2,R)
deformations marginales differentes
Exemple : deformation elliptique J3J3 Rec
ouvr
emen
t1
2er
e...
Point SL(2,R)
Jaugement axial Jaugement vecteur
...
: g hgh : g h gh
Ligne de déformation J J 33
−1
ds2/k = dρ2 + − cosh2 ρ dτ2+R2 sinh2 ρ dφ2
R2 cosh2 ρ−sinh2 ρ
dualite jaugement axial↔ vecteur ?
Spectre changement de rayon du boson genre temps√
2k → R√
2k
(D.I., Kounnas, Petropoulos)
![Page 36: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/36.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 11
Espace des solutions de cinq-branes
Fns5-branes et holographie
solution solitonique universelle des supercordes ns5-brane
ds2= ηµνdx
µdx
ν+ f5(y)dy2
⊥ , e2Φ
= gs f5 , Hns = ∗⊥df5
∆⊥ f5(y) = 0
![Page 37: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/37.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 11
Espace des solutions de cinq-branes
Fns5-branes et holographie
solution solitonique universelle des supercordes ns5-brane
ds2= ηµνdx
µdx
ν+ f5(y)dy2
⊥ , e2Φ
= gs f5 , Hns = ∗⊥df5
∆⊥ f5(y) = 0
degres de liberte sur les ns5-branes theorie en 6D
![Page 38: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/38.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 11
Espace des solutions de cinq-branes
Fns5-branes et holographie
solution solitonique universelle des supercordes ns5-brane
ds2= ηµνdx
µdx
ν+ f5(y)dy2
⊥ , e2Φ
= gs f5 , Hns = ∗⊥df5
∆⊥ f5(y) = 0
degres de liberte sur les ns5-branes theorie en 6D
limite de decouplage : gs → 0, α′ fixe
Theorie superconforme R5,1 × SU(2)N5| z modele wzw
× R√2/N5| z
dilaton lineaire
holographie←→ theorie des petites cordes
(Aharony, Berkooz, Kutasov, Seiberg)
![Page 39: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/39.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 11
Espace des solutions de cinq-branes
Fns5-branes et holographie
solution solitonique universelle des supercordes ns5-brane
ds2= ηµνdx
µdx
ν+ f5(y)dy2
⊥ , e2Φ
= gs f5 , Hns = ∗⊥df5
∆⊥ f5(y) = 0
degres de liberte sur les ns5-branes theorie en 6D
limite de decouplage : gs → 0, α′ fixe
Theorie superconforme R5,1 × SU(2)N5| z modele wzw
× R√2/N5| z
dilaton lineaire
holographie←→ theorie des petites cordes
(Aharony, Berkooz, Kutasov, Seiberg)
GN ∼ 1/r2 couplage fort dans l’espace-temps !
![Page 40: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/40.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 12
FRegularisation par des cordes fondamentales
superposition ns5 enroulees sur k3 de volume v, cordes fondamentales
![Page 41: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/41.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 12
FRegularisation par des cordes fondamentales
superposition ns5 enroulees sur k3 de volume v, cordes fondamentales
1. limite de decouplage gs → 0, α′ fixe, g2sv fixe cinq-branes uniquement
![Page 42: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/42.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 12
FRegularisation par des cordes fondamentales
superposition ns5 enroulees sur k3 de volume v, cordes fondamentales
1. limite de decouplage gs → 0, α′ fixe, g2sv fixe cinq-branes uniquement
2. limite de basse energie α′ → 0, gs fixe AdS3× S3
![Page 43: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/43.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 12
FRegularisation par des cordes fondamentales
superposition ns5 enroulees sur k3 de volume v, cordes fondamentales
1. limite de decouplage gs → 0, α′ fixe, g2sv fixe cinq-branes uniquement
2. limite de basse energie α′ → 0, gs fixe AdS3× S3
3. limite de decouplage gs → 0, α′ fixe, v fixe solution intermediaire :
ds2σ = α′N5
ndu2
u2 + dx2−dt2
u2+α′v/gsN1+ dΩ2
3
o+ ds2(k3) , e 2Φ = g2
maxu2
u2+α′v/gsN1
![Page 44: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/44.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 12
FRegularisation par des cordes fondamentales
superposition ns5 enroulees sur k3 de volume v, cordes fondamentales
1. limite de decouplage gs → 0, α′ fixe, g2sv fixe cinq-branes uniquement
2. limite de basse energie α′ → 0, gs fixe AdS3× S3
3. limite de decouplage gs → 0, α′ fixe, v fixe solution intermediaire :
ds2σ = α′N5
ndu2
u2 + dx2−dt2
u2+α′v/gsN1+ dΩ2
3
o+ ds2(k3) , e 2Φ = g2
maxu2
u2+α′v/gsN1
1. u→ 0 : dilaton lineaire (branche de couplage faible)
2. u→∞ : espace-temps AdS3 (region pres de l’horizon)
![Page 45: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/45.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 12
FRegularisation par des cordes fondamentales
superposition ns5 enroulees sur k3 de volume v, cordes fondamentales
1. limite de decouplage gs → 0, α′ fixe, g2sv fixe cinq-branes uniquement
2. limite de basse energie α′ → 0, gs fixe AdS3× S3
3. limite de decouplage gs → 0, α′ fixe, v fixe solution intermediaire :
ds2σ = α′N5
ndu2
u2 + dx2−dt2
u2+α′v/gsN1+ dΩ2
3
o+ ds2(k3) , e 2Φ = g2
maxu2
u2+α′v/gsN1
1. u→ 0 : dilaton lineaire (branche de couplage faible)
2. u→∞ : espace-temps AdS3 (region pres de l’horizon)
solution holographique perturbative !
(D.I., Kounnas, Petropoulos)
![Page 46: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/46.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 13
Theorie conforme exacte : modele de wzw SL(2,R)N5+ deformation parabolique :
Swzw + εR
d2z J+J+ =N52π
Rd2z
“∂u∂uu2 + ∂x+∂x−
u2
”+ ε
Rd2z ∂x+
u2∂x−u2
![Page 47: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/47.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 13
Theorie conforme exacte : modele de wzw SL(2,R)N5+ deformation parabolique :
Swzw + εR
d2z J+J+ =N52π
Rd2z
“∂u∂uu2 + ∂x+∂x−
u2
”+ ε
Rd2z ∂x+
u2∂x−u2
pour α′v/gsN1 ∈ Z : theorie duale a SL(2,R) par transformation O(2, 2,Z)
![Page 48: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/48.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 13
Theorie conforme exacte : modele de wzw SL(2,R)N5+ deformation parabolique :
Swzw + εR
d2z J+J+ =N52π
Rd2z
“∂u∂uu2 + ∂x+∂x−
u2
”+ ε
Rd2z ∂x+
u2∂x−u2
pour α′v/gsN1 ∈ Z : theorie duale a SL(2,R) par transformation O(2, 2,Z)
interpretation holographique : flot de renormalisation
– a hautes energies : theorie des petites cordes en 6D sur les ns5-branes
– a basses energies : theorie effective a basse energie theorie superconforme N = (4, 4)
en 2D
![Page 49: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/49.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 13
Theorie conforme exacte : modele de wzw SL(2,R)N5+ deformation parabolique :
Swzw + εR
d2z J+J+ =N52π
Rd2z
“∂u∂uu2 + ∂x+∂x−
u2
”+ ε
Rd2z ∂x+
u2∂x−u2
pour α′v/gsN1 ∈ Z : theorie duale a SL(2,R) par transformation O(2, 2,Z)
interpretation holographique : flot de renormalisation
– a hautes energies : theorie des petites cordes en 6D sur les ns5-branes
– a basses energies : theorie effective a basse energie theorie superconforme N = (4, 4)
en 2D
Conclusion deformation pertinente dans l’infrarouge de la theorie des petites cordes (iib) :
Sjauge = 1α′gs
RTr (F ∧ ∗F )− dx+ ∧ dx− ∧ Tr (F ∧ F )| z
terme topologique
![Page 50: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/50.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 13
Theorie conforme exacte : modele de wzw SL(2,R)N5+ deformation parabolique :
Swzw + εR
d2z J+J+ =N52π
Rd2z
“∂u∂uu2 + ∂x+∂x−
u2
”+ ε
Rd2z ∂x+
u2∂x−u2
pour α′v/gsN1 ∈ Z : theorie duale a SL(2,R) par transformation O(2, 2,Z)
interpretation holographique : flot de renormalisation
– a hautes energies : theorie des petites cordes en 6D sur les ns5-branes
– a basses energies : theorie effective a basse energie theorie superconforme N = (4, 4)
en 2D
Conclusion deformation pertinente dans l’infrarouge de la theorie des petites cordes (iib) :
Sjauge = 1α′gs
RTr (F ∧ ∗F )− dx+ ∧ dx− ∧ Tr (F ∧ F )| z
terme topologique
Dans l’espace-temps, deformation δS ∼R
d2z e−
r2N5
ρ∂x+∂x− regularise le couplage
fort du dilaton lineaire
![Page 51: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/51.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 14
FDouble limite d’echelle
configuration de cinq-branes separees : f5 = 1 +P
iα′/‖y−yi‖
2
masse des d1-branes ∝ ‖yi − yj‖/gs
![Page 52: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/52.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 14
FDouble limite d’echelle
configuration de cinq-branes separees : f5 = 1 +P
iα′/‖y−yi‖
2
masse des d1-branes ∝ ‖yi − yj‖/gs double limite d’echelle :
gs → 0, ‖yi − yj‖/gs fixe solution perturbative (Giveon, Kutasov)
![Page 53: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/53.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 14
FDouble limite d’echelle
configuration de cinq-branes separees : f5 = 1 +P
iα′/‖y−yi‖
2
masse des d1-branes ∝ ‖yi − yj‖/gs double limite d’echelle :
gs → 0, ‖yi − yj‖/gs fixe solution perturbative (Giveon, Kutasov)Exemple : k cinq-branes sur un cercle
ds2 = dxµdxµ + α′kΛk(ρ, θ, ψ)hdρ2 + dθ2 + tanh2 ρ dφ2+tan2 θ dψ2
1+tan2 θ tanh2 ρ
i( cinq-branes en ρ = 0, θ = π/2, ψ = 2πn/k) (Sfetsos)
![Page 54: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/54.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 14
FDouble limite d’echelle
configuration de cinq-branes separees : f5 = 1 +P
iα′/‖y−yi‖
2
masse des d1-branes ∝ ‖yi − yj‖/gs double limite d’echelle :
gs → 0, ‖yi − yj‖/gs fixe solution perturbative (Giveon, Kutasov)Exemple : k cinq-branes sur un cercle
ds2 = dxµdxµ + α′kΛk(ρ, θ, ψ)hdρ2 + dθ2 + tanh2 ρ dφ2+tan2 θ dψ2
1+tan2 θ tanh2 ρ
i( cinq-branes en ρ = 0, θ = π/2, ψ = 2πn/k) (Sfetsos)
Theorie superconforme exacte : jaugement nul du modele de wzw super-
symetrique SL(2,R)k × SU(2)k (Λk → instantons de la surface d’univers ?)
(D.I., Kounnas, Pakman, Troost)
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 15
Equivalent par dualite t a l’orbifold [SU(2)/U(1) × SL(2,R)/U(1)]/Zk quantification brst du quotient nul : meme spectre
![Page 56: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/56.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 15
Equivalent par dualite t a l’orbifold [SU(2)/U(1) × SL(2,R)/U(1)]/Zk quantification brst du quotient nul : meme spectre
Remarque importante : orbifold Zk de SU(2)/U(1)×SL(2,R)/U(1) necessaire pour obtenir
la supersymetrie d’espace-temps (cf. modeles de Gepner)
![Page 57: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/57.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 15
Equivalent par dualite t a l’orbifold [SU(2)/U(1) × SL(2,R)/U(1)]/Zk quantification brst du quotient nul : meme spectre
Remarque importante : orbifold Zk de SU(2)/U(1)×SL(2,R)/U(1) necessaire pour obtenir
la supersymetrie d’espace-temps (cf. modeles de Gepner)
geometrie de l’espace-temps (k →∞, α′k fixe) profondement modifiee !
![Page 58: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/58.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 16
F Point de vue holographique
dictionnaire entre les operateurs chiraux de la solution de ns5-branes et des observables de la
theorie des petites cordes :
Tr(Φi1 · · ·Φi2j)↔ (ψψVj−1)j| z primaire de SU(2)k susy
e
q2k(j−1)ρ
![Page 59: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/59.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 16
F Point de vue holographique
dictionnaire entre les operateurs chiraux de la solution de ns5-branes et des observables de la
theorie des petites cordes :
Tr(Φi1 · · ·Φi2j)↔ (ψψVj−1)j| z primaire de SU(2)k susy
e
q2k(j−1)ρ
cinq-branes sur un cercle valeurs moyennes d’operateurs correspondant a l’ajout du potentiel
Liouville N=2 (Giveon, Kutasov)
L = ∂ρ∂ρ+∂X∂X+ψ+∂ψ−+ψ+∂ψ−+R(2)Qρ+ µLψ+ψ−e−ρ+ıXQ + c.c.| z
potentiel Liouville N=2
+LSU(2)/U(1)
![Page 60: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/60.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 16
F Point de vue holographique
dictionnaire entre les operateurs chiraux de la solution de ns5-branes et des observables de la
theorie des petites cordes :
Tr(Φi1 · · ·Φi2j)↔ (ψψVj−1)j| z primaire de SU(2)k susy
e
q2k(j−1)ρ
cinq-branes sur un cercle valeurs moyennes d’operateurs correspondant a l’ajout du potentiel
Liouville N=2 (Giveon, Kutasov)
L = ∂ρ∂ρ+∂X∂X+ψ+∂ψ−+ψ+∂ψ−+R(2)Qρ+ µLψ+ψ−e−ρ+ıXQ + c.c.| z
potentiel Liouville N=2
+LSU(2)/U(1)
F Dualite Liouville N=2 / quotient SL(2,R)/U(1) supersymetrique ?
symetrie miroir actions duales (Hori, Kapustin)
![Page 61: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/61.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 16
F Point de vue holographique
dictionnaire entre les operateurs chiraux de la solution de ns5-branes et des observables de la
theorie des petites cordes :
Tr(Φi1 · · ·Φi2j)↔ (ψψVj−1)j| z primaire de SU(2)k susy
e
q2k(j−1)ρ
cinq-branes sur un cercle valeurs moyennes d’operateurs correspondant a l’ajout du potentiel
Liouville N=2 (Giveon, Kutasov)
L = ∂ρ∂ρ+∂X∂X+ψ+∂ψ−+ψ+∂ψ−+R(2)Qρ+ µLψ+ψ−e−ρ+ıXQ + c.c.| z
potentiel Liouville N=2
+LSU(2)/U(1)
F Dualite Liouville N=2 / quotient SL(2,R)/U(1) supersymetrique ?
symetrie miroir actions duales (Hori, Kapustin) calculs perturbatifs supposant la dualite coherents (Giveon, Kutasov)
![Page 62: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/62.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 16
F Point de vue holographique
dictionnaire entre les operateurs chiraux de la solution de ns5-branes et des observables de la
theorie des petites cordes :
Tr(Φi1 · · ·Φi2j)↔ (ψψVj−1)j| z primaire de SU(2)k susy
e
q2k(j−1)ρ
cinq-branes sur un cercle valeurs moyennes d’operateurs correspondant a l’ajout du potentiel
Liouville N=2 (Giveon, Kutasov)
L = ∂ρ∂ρ+∂X∂X+ψ+∂ψ−+ψ+∂ψ−+R(2)Qρ+ µLψ+ψ−e−ρ+ıXQ + c.c.| z
potentiel Liouville N=2
+LSU(2)/U(1)
F Dualite Liouville N=2 / quotient SL(2,R)/U(1) supersymetrique ?
symetrie miroir actions duales (Hori, Kapustin) calculs perturbatifs supposant la dualite coherents (Giveon, Kutasov) autre indication : caracteres du quotient coıncident avec ceux de Liouville N=2 (meme symetrie
chirale : superconforme N=2) (D.I., Pakman, Troost)
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
![Page 64: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/64.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
![Page 65: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/65.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
1. integrale de chemin du quotient bosonique SL(2,R)/U(1) (Hanany,Prezas,Troost)
![Page 66: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/66.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
1. integrale de chemin du quotient bosonique SL(2,R)/U(1) (Hanany,Prezas,Troost)
2. quotient bosonique+boson temporel + fermions SL(2,R) supersymetrique
![Page 67: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/67.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
1. integrale de chemin du quotient bosonique SL(2,R)/U(1) (Hanany,Prezas,Troost)
2. quotient bosonique+boson temporel + fermions SL(2,R) supersymetrique
3. deformation marginale supersymetrique avecRd2z (J3 + ψ+ψ−)(J3 − ψ+ψ−)
fonction de partition du quotient supersymetrique SL(2,R)/U(1)
![Page 68: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/68.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
1. integrale de chemin du quotient bosonique SL(2,R)/U(1) (Hanany,Prezas,Troost)
2. quotient bosonique+boson temporel + fermions SL(2,R) supersymetrique
3. deformation marginale supersymetrique avecRd2z (J3 + ψ+ψ−)(J3 − ψ+ψ−)
fonction de partition du quotient supersymetrique SL(2,R)/U(1)
Resultat : representations discretes de N=2
![Page 69: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/69.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
1. integrale de chemin du quotient bosonique SL(2,R)/U(1) (Hanany,Prezas,Troost)
2. quotient bosonique+boson temporel + fermions SL(2,R) supersymetrique
3. deformation marginale supersymetrique avecRd2z (J3 + ψ+ψ−)(J3 − ψ+ψ−)
fonction de partition du quotient supersymetrique SL(2,R)/U(1)
Resultat : representations discretes de N=2 & contribution divergente des representations contin-
ues de N=2
![Page 70: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/70.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
1. integrale de chemin du quotient bosonique SL(2,R)/U(1) (Hanany,Prezas,Troost)
2. quotient bosonique+boson temporel + fermions SL(2,R) supersymetrique
3. deformation marginale supersymetrique avecRd2z (J3 + ψ+ψ−)(J3 − ψ+ψ−)
fonction de partition du quotient supersymetrique SL(2,R)/U(1)
Resultat : representations discretes de N=2 & contribution divergente des representations contin-
ues de N=2 apres regularisation IR, densite de representations continues :
ρ(s;m, m; a) =1
πlog ε| z
volume divergence
+1
4iπ
d
dslog
(Γ
`12 − is+ a
2 −m´
Γ`
12 + is+ a
2 −m´Γ
`12 − is−
a2 + m
´Γ
`12 + is− a
2 + m´)
| z densite finie d’etats
![Page 71: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/71.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
1. integrale de chemin du quotient bosonique SL(2,R)/U(1) (Hanany,Prezas,Troost)
2. quotient bosonique+boson temporel + fermions SL(2,R) supersymetrique
3. deformation marginale supersymetrique avecRd2z (J3 + ψ+ψ−)(J3 − ψ+ψ−)
fonction de partition du quotient supersymetrique SL(2,R)/U(1)
Resultat : representations discretes de N=2 & contribution divergente des representations contin-
ues de N=2 apres regularisation IR, densite de representations continues :
ρ(s;m, m; a) =1
πlog ε| z
volume divergence
+1
4iπ
d
dslog
(Γ
`12 − is+ a
2 −m´
Γ`
12 + is+ a
2 −m´Γ
`12 − is−
a2 + m
´Γ
`12 + is− a
2 + m´)
| z densite finie d’etats
reste contribution non-standard
![Page 72: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/72.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 17
F Quotient supersymetrique SL(2,R)k/U(1)
jaugement axial du modele de wzw susy SL(2,R)k trou noir euclidien 2D
fonction de partition a une boucle ?
1. integrale de chemin du quotient bosonique SL(2,R)/U(1) (Hanany,Prezas,Troost)
2. quotient bosonique+boson temporel + fermions SL(2,R) supersymetrique
3. deformation marginale supersymetrique avecRd2z (J3 + ψ+ψ−)(J3 − ψ+ψ−)
fonction de partition du quotient supersymetrique SL(2,R)/U(1)
Resultat : representations discretes de N=2 & contribution divergente des representations contin-
ues de N=2 apres regularisation IR, densite de representations continues :
ρ(s;m, m; a) =1
πlog ε| z
volume divergence
+1
4iπ
d
dslog
(Γ
`12 − is+ a
2 −m´
Γ`
12 + is+ a
2 −m´Γ
`12 − is−
a2 + m
´Γ
`12 + is− a
2 + m´)
| z densite finie d’etats
reste contribution non-standard
fonction de partition des cinq-branes sur un cercle (D.I., Kounnas, Pakman, Troost)
![Page 73: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/73.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 18
D-branes au voisinage des ns5-branes
FMotivation
D-branes dynamique non-perturbative de la theorie des petites cordes
![Page 74: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/74.jpg)
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D-branes au voisinage des ns5-branes
FMotivation
D-branes dynamique non-perturbative de la theorie des petites cordes
Objectif : construction des etats de bord de la tsc des ns5-branes sur un cercle
![Page 75: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/75.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 18
D-branes au voisinage des ns5-branes
FMotivation
D-branes dynamique non-perturbative de la theorie des petites cordes
Objectif : construction des etats de bord de la tsc des ns5-branes sur un cercle
FD-branes en theorie conforme
D-branes theorie conforme avec bord
![Page 76: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/76.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 18
D-branes au voisinage des ns5-branes
FMotivation
D-branes dynamique non-perturbative de la theorie des petites cordes
Objectif : construction des etats de bord de la tsc des ns5-branes sur un cercle
FD-branes en theorie conforme
D-branes theorie conforme avec bord
couplage aux cordes fermees : masse,... fonction a un point :
〈Vα,α(z, z)〉α = δα,ω(α) ×B αα
|z−z|2∆αVα,α
α
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 18
D-branes au voisinage des ns5-branes
FMotivation
D-branes dynamique non-perturbative de la theorie des petites cordes
Objectif : construction des etats de bord de la tsc des ns5-branes sur un cercle
FD-branes en theorie conforme
D-branes theorie conforme avec bord
couplage aux cordes fermees : masse,... fonction a un point :
〈Vα,α(z, z)〉α = δα,ω(α) ×B αα
|z−z|2∆αVα,α
α
operateurs sur le bord↔ cordes ouvertesV (x)
xοα β^^
![Page 78: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/78.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 18
D-branes au voisinage des ns5-branes
FMotivation
D-branes dynamique non-perturbative de la theorie des petites cordes
Objectif : construction des etats de bord de la tsc des ns5-branes sur un cercle
FD-branes en theorie conforme
D-branes theorie conforme avec bord
couplage aux cordes fermees : masse,... fonction a un point :
〈Vα,α(z, z)〉α = δα,ω(α) ×B αα
|z−z|2∆αVα,α
α
operateurs sur le bord↔ cordes ouvertesV (x)
xοα β^^
relies par dualite canal ouvert/canal ferme Cardy)
echange de cordes fermeesτ
σ
|B >1
<B | 2⇔
τ
σ∼
∼amplitude a une boucle
![Page 79: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/79.jpg)
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F D-branes dans Liouville / cigare supersymetrique
D-branes ads3 euclidien a l’aide des symetries (Ponsot, Schomerus, Teschner) quotient SL(2,R)/U(1) bosonique par “descente” de ads3 (Ribault, Schomerus)
![Page 80: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/80.jpg)
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F D-branes dans Liouville / cigare supersymetrique
D-branes ads3 euclidien a l’aide des symetries (Ponsot, Schomerus, Teschner) quotient SL(2,R)/U(1) bosonique par “descente” de ads3 (Ribault, Schomerus)
Remarque : la dualite Liouville N=2 / SL(2,R)/U(1) susy s’etend a la theorie avec bord
(meme algebre chirale, elargie a SL(2,R) )
![Page 81: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/81.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 19
F D-branes dans Liouville / cigare supersymetrique
D-branes ads3 euclidien a l’aide des symetries (Ponsot, Schomerus, Teschner) quotient SL(2,R)/U(1) bosonique par “descente” de ads3 (Ribault, Schomerus)
Remarque : la dualite Liouville N=2 / SL(2,R)/U(1) susy s’etend a la theorie avec bord
(meme algebre chirale, elargie a SL(2,R) )
construction de quotient : SL(2,R)/U(1) susy ∼ SL(2,R)k×U(1)k× fermions × super-
fantomes
D-branes preservent la symetrie brst du quotient :
Qbrst =
Idz
2iπ
nc (J 3
+ i∂X) + γ (ψ3+ ψ
x)o−
Idz
2iπ
nc (J 3 − i∂X) + γ (ψ
3 − ψx)o
![Page 82: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/82.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 19
F D-branes dans Liouville / cigare supersymetrique
D-branes ads3 euclidien a l’aide des symetries (Ponsot, Schomerus, Teschner) quotient SL(2,R)/U(1) bosonique par “descente” de ads3 (Ribault, Schomerus)
Remarque : la dualite Liouville N=2 / SL(2,R)/U(1) susy s’etend a la theorie avec bord
(meme algebre chirale, elargie a SL(2,R) )
construction de quotient : SL(2,R)/U(1) susy ∼ SL(2,R)k×U(1)k× fermions × super-
fantomes
D-branes preservent la symetrie brst du quotient :
Qbrst =
Idz
2iπ
nc (J 3
+ i∂X) + γ (ψ3+ ψ
x)o−
Idz
2iπ
nc (J 3 − i∂X) + γ (ψ
3 − ψx)o
Conditions de collage de Ja ⇒ c.b. sur X ⇒ branes de type A/B de l’algebre superconforme
N=2
![Page 83: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/83.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 20
F D0-branes (type B)
branes ponctuelles a l’extremite du cigare fonction a un point :
B(ns) j,w =
1√kν
1/2−j(−)
(1−2)w Γ(j + kw2 )Γ(j − kw
2 )
Γ(2j − 1)Γ(1 + 2j−1k )
sin πk(1− 2)(1− 2j)
sin πk(1− 2j)
![Page 84: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/84.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 20
F D0-branes (type B)
branes ponctuelles a l’extremite du cigare fonction a un point :
B(ns) j,w =
1√kν
1/2−j(−)
(1−2)w Γ(j + kw2 )Γ(j − kw
2 )
Γ(2j − 1)Γ(1 + 2j−1k )
sin πk(1− 2)(1− 2j)
sin πk(1− 2j)
representations discretes residus aux poles pour −j + kw/2 ∈ N
![Page 85: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/85.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 20
F D0-branes (type B)
branes ponctuelles a l’extremite du cigare fonction a un point :
B(ns) j,w =
1√kν
1/2−j(−)
(1−2)w Γ(j + kw2 )Γ(j − kw
2 )
Γ(2j − 1)Γ(1 + 2j−1k )
sin πk(1− 2)(1− 2j)
sin πk(1− 2j)
representations discretes residus aux poles pour −j + kw/2 ∈ N fonction de partition des cordes ouvertes (anneau) : representations finies non-unitaires de spin
seule la D0-brane avec = 0 est physique
![Page 86: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/86.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 20
F D0-branes (type B)
branes ponctuelles a l’extremite du cigare fonction a un point :
B(ns) j,w =
1√kν
1/2−j(−)
(1−2)w Γ(j + kw2 )Γ(j − kw
2 )
Γ(2j − 1)Γ(1 + 2j−1k )
sin πk(1− 2)(1− 2j)
sin πk(1− 2j)
representations discretes residus aux poles pour −j + kw/2 ∈ N fonction de partition des cordes ouvertes (anneau) : representations finies non-unitaires de spin
seule la D0-brane avec = 0 est physique
F D1-branes (type A) branes etendues jusqu’a l’infini
sinh
φ0
ρ0
sinh ρ sin(φ− φ0) = sinh ρ0
couplent seulement aux representations continues, poles↔ volume infini
![Page 87: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/87.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 20
F D0-branes (type B)
branes ponctuelles a l’extremite du cigare fonction a un point :
B(ns) j,w =
1√kν
1/2−j(−)
(1−2)w Γ(j + kw2 )Γ(j − kw
2 )
Γ(2j − 1)Γ(1 + 2j−1k )
sin πk(1− 2)(1− 2j)
sin πk(1− 2j)
representations discretes residus aux poles pour −j + kw/2 ∈ N fonction de partition des cordes ouvertes (anneau) : representations finies non-unitaires de spin
seule la D0-brane avec = 0 est physique
F D1-branes (type A) branes etendues jusqu’a l’infini
sinh
φ0
ρ0
sinh ρ sin(φ− φ0) = sinh ρ0
couplent seulement aux representations continues, poles↔ volume infini
F D2-branes (type B)
Couvrent tout le cigare, champ magnetique sur le volume d’univers
Couplent aux representations discretes (charge D0 induite) et continues
![Page 88: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/88.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 20
F D0-branes (type B)
branes ponctuelles a l’extremite du cigare fonction a un point :
B(ns) j,w =
1√kν
1/2−j(−)
(1−2)w Γ(j + kw2 )Γ(j − kw
2 )
Γ(2j − 1)Γ(1 + 2j−1k )
sin πk(1− 2)(1− 2j)
sin πk(1− 2j)
representations discretes residus aux poles pour −j + kw/2 ∈ N fonction de partition des cordes ouvertes (anneau) : representations finies non-unitaires de spin
seule la D0-brane avec = 0 est physique
F D1-branes (type A) branes etendues jusqu’a l’infini
sinh
φ0
ρ0
sinh ρ sin(φ− φ0) = sinh ρ0
couplent seulement aux representations continues, poles↔ volume infini
F D2-branes (type B)
Couvrent tout le cigare, champ magnetique sur le volume d’univers
Couplent aux representations discretes (charge D0 induite) et continues
Cordes ouvertes entre D2-branes differentes non-physiques ? (D.I., Pakman, Troost)
![Page 89: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/89.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 21
Champs electromagnetiques
F Corde heterotique
contient Gµν, Bµν et Aµ nouvelles solutions exactes avec champ electromag.
![Page 90: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/90.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 21
Champs electromagnetiques
F Corde heterotique
contient Gµν, Bµν et Aµ nouvelles solutions exactes avec champ electromag.
theorie conforme heterotique : algebre de courants ig (E8 × E8 ou SO(32))
nouvelles deformations marginales : δS ∼R
d2z J a ig
![Page 91: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/91.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 21
Champs electromagnetiques
F Corde heterotique
contient Gµν, Bµν et Aµ nouvelles solutions exactes avec champ electromag.
theorie conforme heterotique : algebre de courants ig (E8 × E8 ou SO(32))
nouvelles deformations marginales : δS ∼R
d2z J a ig
Objectif : effet des champs electromag. en theorie des cordes, avec gravitation
![Page 92: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/92.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 21
Champs electromagnetiques
F Corde heterotique
contient Gµν, Bµν et Aµ nouvelles solutions exactes avec champ electromag.
theorie conforme heterotique : algebre de courants ig (E8 × E8 ou SO(32))
nouvelles deformations marginales : δS ∼R
d2z J a ig
Objectif : effet des champs electromag. en theorie des cordes, avec gravitation
F L’univers de Godel
Solution non supersymetrique de la supergravite heterotique :
1
kds
2= dρ
2 − cosh2ρ dt
2+ sinh
2ρ dφ
2 − 2Ξ2
“cosh
2ρ dt+ sinh
2ρ dφ
”2
+ dΩ23 + dx2
H = dB− 1
2A ∧ dA = 2k
n(1 + 2Ξ
2)ω(AdS3) + ω(S
3)o,
F = dA =√kΞ sinh 2ρ (dt+ dφ) ∧ dρ pour Ξ
2= 1/2, univers de Godel original !
![Page 93: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/93.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 22
CTF
p
p’
R
φ
t
espace-temps homogene,symetrie SL(2,R)× U(1)
![Page 94: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/94.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 22
CTF
p
p’
R
φ
t
espace-temps homogene,symetrie SL(2,R)× U(1)
courbes de genre temps fermees (ctf) :
Gφφ = k sinh2 ρctf(1− 2Ξ2 sinh2 ρctf) = 0 =⇒ ρctf = arcsinh 1√2Ξ
![Page 95: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/95.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 22
CTF
p
p’
R
φ
t
espace-temps homogene,symetrie SL(2,R)× U(1)
courbes de genre temps fermees (ctf) :
Gφφ = k sinh2 ρctf(1− 2Ξ2 sinh2 ρctf) = 0 =⇒ ρctf = arcsinh 1√2Ξ
protection de la causalite en theorie des cordes ?
![Page 96: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/96.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 22
CTF
p
p’
R
φ
t
espace-temps homogene,symetrie SL(2,R)× U(1)
courbes de genre temps fermees (ctf) :
Gφφ = k sinh2 ρctf(1− 2Ξ2 sinh2 ρctf) = 0 =⇒ ρctf = arcsinh 1√2Ξ
protection de la causalite en theorie des cordes ?
F Description exacte
deformation marginale d’AdS3 par l’operateur asymetrique, associe au generateur elliptique :
δS ∼R
d2z (J3 + ıψ1ψ2) ig
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 22
CTF
p
p’
R
φ
t
espace-temps homogene,symetrie SL(2,R)× U(1)
courbes de genre temps fermees (ctf) :
Gφφ = k sinh2 ρctf(1− 2Ξ2 sinh2 ρctf) = 0 =⇒ ρctf = arcsinh 1√2Ξ
protection de la causalite en theorie des cordes ?
F Description exacte
deformation marginale d’AdS3 par l’operateur asymetrique, associe au generateur elliptique :
δS ∼R
d2z (J3 + ıψ1ψ2) ig
preserve une algebre affine U(1)g × SL(2,R)d
spectre/fonction de partition : rotation O(2, 2; R), cos2 θ = 1/1+2Ξ2 (D.I.)
![Page 98: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/98.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 23
F Cordes longues et ctf
cordes longues s’enroulent autour des ctf
etats physiques : s2+1/4k + k+2
4 w2+ − w+
E2 + sin2 θ
4k E2 + hint = 0t
RCTF
φ
solution instable !
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 23
F Cordes longues et ctf
cordes longues s’enroulent autour des ctf
etats physiques : s2+1/4k + k+2
4 w2+ − w+
E2 + sin2 θ
4k E2 + hint = 0t
RCTF
φ
solution instable !
F Resolution des ctf et retablissement de la causalite
![Page 100: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/100.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 23
F Cordes longues et ctf
cordes longues s’enroulent autour des ctf
etats physiques : s2+1/4k + k+2
4 w2+ − w+
E2 + sin2 θ
4k E2 + hint = 0t
RCTF
φ
solution instable !
F Resolution des ctf et retablissement de la causalite deformations J 3J3 et J 3 i
g compatibles :
ds2/k = dρ
2 −(λ2 + 1)2 + (8Ξ2λ2 − (λ2 − 1)2) cosh2 2ρ`
λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ´2
dα2
−(λ2 + 1)2 + 8Ξ2λ2 − (λ2 − 1)2 cosh2 2ρ`
λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ´2
dβ2 − 2
4λ2(1 + 2Ξ2) cosh 2ρ− (λ4 − 1) sinh2 2ρ`λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ
´2dαdβ
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D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 23
F Cordes longues et ctf
cordes longues s’enroulent autour des ctf
etats physiques : s2+1/4k + k+2
4 w2+ − w+
E2 + sin2 θ
4k E2 + hint = 0t
RCTF
φ
solution instable !
F Resolution des ctf et retablissement de la causalite deformations J 3J3 et J 3 i
g compatibles :
ds2/k = dρ
2 −(λ2 + 1)2 + (8Ξ2λ2 − (λ2 − 1)2) cosh2 2ρ`
λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ´2
dα2
−(λ2 + 1)2 + 8Ξ2λ2 − (λ2 − 1)2 cosh2 2ρ`
λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ´2
dβ2 − 2
4λ2(1 + 2Ξ2) cosh 2ρ− (λ4 − 1) sinh2 2ρ`λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ
´2dαdβ
suppression des ctf pour λ2 = cos2 θ
![Page 102: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/102.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 23
F Cordes longues et ctf
cordes longues s’enroulent autour des ctf
etats physiques : s2+1/4k + k+2
4 w2+ − w+
E2 + sin2 θ
4k E2 + hint = 0t
RCTF
φ
solution instable !
F Resolution des ctf et retablissement de la causalite deformations J 3J3 et J 3 i
g compatibles :
ds2/k = dρ
2 −(λ2 + 1)2 + (8Ξ2λ2 − (λ2 − 1)2) cosh2 2ρ`
λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ´2
dα2
−(λ2 + 1)2 + 8Ξ2λ2 − (λ2 − 1)2 cosh2 2ρ`
λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ´2
dβ2 − 2
4λ2(1 + 2Ξ2) cosh 2ρ− (λ4 − 1) sinh2 2ρ`λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ
´2dαdβ
suppression des ctf pour λ2 = cos2 θ singularite a ρ = ρctfs2+1/4k+2 + k+2
4 w2+ − w+
E2 + 1
4(k+2)
“1− cos2 θ
λ2
”E2 + hint = 0
![Page 103: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/103.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 23
F Cordes longues et ctf
cordes longues s’enroulent autour des ctf
etats physiques : s2+1/4k + k+2
4 w2+ − w+
E2 + sin2 θ
4k E2 + hint = 0t
RCTF
φ
solution instable !
F Resolution des ctf et retablissement de la causalite deformations J 3J3 et J 3 i
g compatibles :
ds2/k = dρ
2 −(λ2 + 1)2 + (8Ξ2λ2 − (λ2 − 1)2) cosh2 2ρ`
λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ´2
dα2
−(λ2 + 1)2 + 8Ξ2λ2 − (λ2 − 1)2 cosh2 2ρ`
λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ´2
dβ2 − 2
4λ2(1 + 2Ξ2) cosh 2ρ− (λ4 − 1) sinh2 2ρ`λ2 + 1 + (λ2 − 1) cosh 2ρ
´2dαdβ
suppression des ctf pour λ2 = cos2 θ singularite a ρ = ρctfs2+1/4k+2 + k+2
4 w2+ − w+
E2 + 1
4(k+2)
“1− cos2 θ
λ2
”E2 + hint = 0
condensation des cordes longues protection de la chronologie ?
![Page 104: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/104.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 24
F Champs critiques et quotients geometriques
deformation magnetique de la trois-sphere S3 −−−−→Ξ2→1/2
R× S2 (Kiritsis, Kounnas)
![Page 105: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/105.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 24
F Champs critiques et quotients geometriques
deformation magnetique de la trois-sphere S3 −−−−→Ξ2→1/2
R× S2 (Kiritsis, Kounnas)
quotient geometrique SU(2)/U(1) ! (D.I., Kounnas, Orlando, Petropoulos)
changement de rayon de la fibre U(1) sur S2 : R =√
1− 2Ξ2
limite bien definie pour k/kg = n2 (quantification de la charge)
![Page 106: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/106.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 24
F Champs critiques et quotients geometriques
deformation magnetique de la trois-sphere S3 −−−−→Ξ2→1/2
R× S2 (Kiritsis, Kounnas)
quotient geometrique SU(2)/U(1) ! (D.I., Kounnas, Orlando, Petropoulos)
changement de rayon de la fibre U(1) sur S2 : R =√
1− 2Ξ2
limite bien definie pour k/kg = n2 (quantification de la charge)
deformations electromagnetiques d’AdS3 :
![Page 107: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/107.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 24
F Champs critiques et quotients geometriques
deformation magnetique de la trois-sphere S3 −−−−→Ξ2→1/2
R× S2 (Kiritsis, Kounnas)
quotient geometrique SU(2)/U(1) ! (D.I., Kounnas, Orlando, Petropoulos)
changement de rayon de la fibre U(1) sur S2 : R =√
1− 2Ξ2
limite bien definie pour k/kg = n2 (quantification de la charge)
deformations electromagnetiques d’AdS3 :① Elliptique J 3 i
g Godel avec champ magnetique
② Parabolique J + ig superposition AdS/onde plane
ds2/k = du2
u2 + dx+dx−u2 − 2Ξ2
“dx+
u2
”2
③ hyperbolique J 2 ig comportement critique
AdS3 −−−−→Ξ2→1/2
R× AdS2
![Page 108: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/108.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 24
F Champs critiques et quotients geometriques
deformation magnetique de la trois-sphere S3 −−−−→Ξ2→1/2
R× S2 (Kiritsis, Kounnas)
quotient geometrique SU(2)/U(1) ! (D.I., Kounnas, Orlando, Petropoulos)
changement de rayon de la fibre U(1) sur S2 : R =√
1− 2Ξ2
limite bien definie pour k/kg = n2 (quantification de la charge)
deformations electromagnetiques d’AdS3 :① Elliptique J 3 i
g Godel avec champ magnetique
② Parabolique J + ig superposition AdS/onde plane
ds2/k = du2
u2 + dx+dx−u2 − 2Ξ2
“dx+
u2
”2
③ hyperbolique J 2 ig comportement critique
AdS3 −−−−→Ξ2→1/2
R× AdS2
⇒ Theorie conforme pour AdS2
![Page 109: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/109.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 25
trou noir charge en 4D (Reissner–Nordstrom)
ds2 = −`1− r+
r
´ `1− r−
r
´dt2 + dr2“
1−r+r
”“1−
r−r
” + r2dΩ22
![Page 110: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/110.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 25
trou noir charge en 4D (Reissner–Nordstrom)
ds2 = −`1− r+
r
´ `1− r−
r
´dt2 + dr2“
1−r+r
”“1−
r−r
” + r2dΩ22
⇓ pres de l’horizonAdS2 × S2
dualite holographique du trou noir ?
![Page 111: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/111.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 25
trou noir charge en 4D (Reissner–Nordstrom)
ds2 = −`1− r+
r
´ `1− r−
r
´dt2 + dr2“
1−r+r
”“1−
r−r
” + r2dΩ22
⇓ pres de l’horizonAdS2 × S2
dualite holographique du trou noir ?• deformation continue de AdS3 × S3 ↔ deformation duale
• preserve algebre affine SL(2,R)d algebre conforme dans l’espace-temps ? (general)
![Page 112: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/112.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 25
trou noir charge en 4D (Reissner–Nordstrom)
ds2 = −`1− r+
r
´ `1− r−
r
´dt2 + dr2“
1−r+r
”“1−
r−r
” + r2dΩ22
⇓ pres de l’horizonAdS2 × S2
dualite holographique du trou noir ?• deformation continue de AdS3 × S3 ↔ deformation duale
• preserve algebre affine SL(2,R)d algebre conforme dans l’espace-temps ? (general)
F Generalisation
Modele de wzw sur un groupe compact H
![Page 113: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/113.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 25
trou noir charge en 4D (Reissner–Nordstrom)
ds2 = −`1− r+
r
´ `1− r−
r
´dt2 + dr2“
1−r+r
”“1−
r−r
” + r2dΩ22
⇓ pres de l’horizonAdS2 × S2
dualite holographique du trou noir ?• deformation continue de AdS3 × S3 ↔ deformation duale
• preserve algebre affine SL(2,R)d algebre conforme dans l’espace-temps ? (general)
F Generalisation
Modele de wzw sur un groupe compact H deformation magnetique H −−−−→
Ξ2a→1/2
Rrh ×H/U(1)rh variete “drapeau”
![Page 114: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/114.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 25
trou noir charge en 4D (Reissner–Nordstrom)
ds2 = −`1− r+
r
´ `1− r−
r
´dt2 + dr2“
1−r+r
”“1−
r−r
” + r2dΩ22
⇓ pres de l’horizonAdS2 × S2
dualite holographique du trou noir ?• deformation continue de AdS3 × S3 ↔ deformation duale
• preserve algebre affine SL(2,R)d algebre conforme dans l’espace-temps ? (general)
F Generalisation
Modele de wzw sur un groupe compact H deformation magnetique H −−−−→
Ξ2a→1/2
Rrh ×H/U(1)rh variete “drapeau”
pas de generalisation non abelienne ( kh = kg) (D.I., Kounnas, Orlando, Petropoulos)
![Page 115: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/115.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 26
Conclusions
– theories conformes non-rationnelles solutions exactes de la theorie des cordes ( limita-tion : pas de flux de Ramond–Ramond)
– proprietes generiques : repr. discretes, continues, structure de poles...
– deformations d’anti-de Sitter nouveaux espace-temps courbes
– calcul de la fonction de partition, etude du spectre
– cinq-branes solutions exacte des cordes, dualite holographique complexe
(Aharony, Giveon, Kutasov) modeles phenomenologiques
– inclusion des d-branes degres de liberte holographiques ?
– holographie des trous noirs modele exact
![Page 116: Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes · D. Isra¨el, Supercordes en espace-temps courbe et th´eories conformes, Th`ese de doctorat, 20 sept. 2004 1 Th´eories](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013010/5f226277f839ad1a5f39a194/html5/thumbnails/116.jpg)
D. Israel, Supercordes en espace-temps courbe et theories conformes, These de doctorat, 20 sept. 2004 27
Directions futures
Probleme central : modeles cosmologiques en theorie des cordes !
theories conformes non-rationnelles−→
prolong. analytique modeles cosmologiques exacts
Singularite du big-bang ou horizon cosmologique ?
limitation : approche perturbative production de particules ?
Probleme de l’inflation...