Aplicacoes da Integral - Continuacao
Superfıcies de Revolucao e Outras AplicacoesAula 32
Alexandre Nolasco de CarvalhoUniversidade de Sao Paulo
Sao Carlos SP, Brazil
29 de Maio de 2014
Primeiro Semestre de 2014
Turma 2014106 - Engenharia Mecanica
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Calculo I
Aplicacoes da Integral - Continuacao
Cascas CilındricasComprimento de ArcoArea de Superfıcie de RevolucaoArea de superfıcie de Revolucao - Teorema de Papus
Cascas Cilındricas
Considere um solido S obtido pela rotacao, em torno do eixo y , daregiao limitada por y = f (x), onde f (x) ≥ 0, e pelas retasy = 0, x = a e x = b. Seja P = (xi ) uma particao do intervalo[a, b] e seja ci ∈ [xi−1, xi ] o ponto medio do i-esimo intervalo,ci = (xi + xi−1)/2. Se o retangulo com base ∆xi = (xi − xi−1) ealtura f (ci ) e girado ao redor do eixo y , entao o resultado e umacasca cilındrica cujo volume e
Vi = (2πci )f (ci )∆xi = [circunferencia][altura][espessura].
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Cascas CilındricasComprimento de ArcoArea de Superfıcie de RevolucaoArea de superfıcie de Revolucao - Teorema de Papus
Portanto uma aproximacao para o volume V de S e dada pelasoma dos volumes dessas secoes:
V ≈n
∑
i=1
Vi =
n∑
i=1
(2πci )f (ci )∆xi .
Esta aproximacao torna-se melhor quando ‖P‖ = max1≤i≤n
∆xi → 0.
Entao definimos o volume do solido S obtido pela rotacao, em
torno do eixo y , da regiao limitada por y = f (x), ondef (x) ≥ 0, y = 0, x = a e x = b por
V = 2π lim‖P‖→0
n∑
i=1
ci f (ci )∆xi = 2π
∫ b
a
xf (x) dx .
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Cascas CilındricasComprimento de ArcoArea de Superfıcie de RevolucaoArea de superfıcie de Revolucao - Teorema de Papus
Exemplo
Determine o volume do solido obtido pela rotacao, em torno do
eixo y , da regiao limitada por y = 2x2 − x3 e y = 0.
V = 2π
∫ 2
0xf (x) dx = 2π
∫ 2
0x(2x2 − x3) dx
= 2π
∫ 2
0(2x3 − x4) dx = 2π(8− 32
5) =
16
5π.
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Cascas CilındricasComprimento de ArcoArea de Superfıcie de RevolucaoArea de superfıcie de Revolucao - Teorema de Papus
Comprimento de Arco
Queremos definir o comprimento de uma curva. Se a curva e umapoligonal, podemos facilmente encontrar seu comprimentosomando os comprimentos dos segmentos de reta que formam apoligonal. Agora suponhamos que a curva C seja o grafico dafuncao y = f (x), onde f e derivavel e a ≤ x ≤ b. Seja P = (xi )uma particao de [a, b]. Entao a poligonal com vertices (xi , f (xi )) euma aproximacao para C . O comprimento da curva C eaproximadamente o comprimento da poligonal, e a aproximacaotorna-se melhor quando ‖P‖ → 0.
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O comprimento da poligonal e
L(P) =n
∑
i=1
√
(xi − xi−1)2 + (f (xi )− f (xi−1))2.
Aplicando o Teorema do Valor Medio em cada intervalo [xi−1, xi ],existe um ci ∈ (xi−1, xi ) tal que
f (xi)− f (xi−1) = f ′(ci )(xi − xi−1) = f ′(ci )∆xi .
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Segue
L(P) =
n∑
i=1
√
(∆xi )2 + (f ′(ci )∆xi)2 =
n∑
i=1
√
(1 + (f ′(ci ))2∆xi .
Entao, definimos o comprimento da curva C por
L = lim‖P‖→0
n∑
i=1
√
(1 + (f ′(ci ))2∆xi =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
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Exemplo
Calcule o comprimento de arco de y = x3/2, 1 ≤ x ≤ 4.
Como y = f (x), temos f ′(x) =3
2x1/2, e assim,
L =
∫ 4
1
√
1 +9
4x dx .
Fazendo, u = 1 +9
4x , entao du =
9
4dx . Quando x = 1, u =
13
4;
quando x = 4, u = 10. Portanto,
L =4
9
∫ 10
13/4
√u du =
4
9
2
3u3/2
∣
∣
∣
∣
10
13/4
=8
27
[
103/2 −(
13
4
)3/2]
.
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Exercıcio: Calcule o comprimento da curva
y =√1− x2, 0 ≤ x ≤
√2
2. [R : π/4].
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Area de Superfıcie de Revolucao
Uma superfıcie de revolucao e formada quando uma curva e giradaao redor de uma reta. Tal superfıcie e a fronteira lateral de umsolido de revolucao ja discutido anteriormente.
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Considere um tronco de cone circular reto, de geratriz g , raio dabase maior r1 e raio da base menor r2. Esta e a superfıcie derevolucao obtida pela revolucao de um segmento em torno de umeixo.
g
r1
r2
m
✻
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A area lateral, AT , do tronco de cone e dada por
AT = π(r1 + r2)g = 2πrg ,
onde r =1
2(r1 + r2).
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Podemos entao calcular a area de uma superfıcie gerada pelarevolucao de uma poligonal plana em torno de um eixo deste planopois a area desta superfıcie e a soma das areas laterais de troncosde cones.Seja A a area lateral da superfıcie gerada pela rotacao da poligonalda figura abaixo. Entao temos
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rn
r2
r1 ℓ1
ℓ2
ℓnq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
✻
A = 2π r1ℓ1 + · · ·+ 2π rnℓn
✻
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Agora vamos deduzir a area lateral de um solido de revolucaoqualquer em torno do eixo x pela aproximacao da soma das areaslaterais de varios troncos de cone.
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Consideremos f definida e positiva em [a, b] com derivada contınuaem (a, b). Seja P = (xi ) uma particao de [a, b]. Consideremos apoligonal com vertices (xi , f (xi )) e girando-a ao redor do eixo x
obtemos uma aproximacao para a superfıcie. A area de cadatronco de cone e
Ai = 2πf (xi ) + f (xi−1)
2
√
1 + [f ′(ci )]2∆xi ,
onde ci ∈ [xi−1 , xi ], como foi feito anteriormente. Quando ∆xi epequeno temos que f (xi ) ≈ f (ci ) e tambem f (xi−1) ≈ f (ci ) pois fe contınua.
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Portanto,
Ai ≈ 2πf (ci )√
1 + [f ′(ci )]2∆xi ,
e entao uma aproximacao para a area da superfıcie e
n∑
i=1
2πf (ci )√
1 + [f ′(ci )]2∆xi .
Esta aproximacao torna-se melhor quando ‖P‖ → 0. Entaodefinimos a area da superfıcie obtida por rotacao, ao redor do
eixo x, da curva y = f (x), f (x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b, como
S= lim∆P→ 0
n∑
i=1
2πf (ci )√
1+[f ′(ci )]2 ∆xi =2π
∫ b
a
f (x)√
1+[f ′(x)]2dx .
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Exemplo
Encontre a area da superfıcie obtida pela rotacao da curva
y =√R2 − x2, −R ≤ x ≤ R , ao redor do eixo x .
Temos f ′(x) =−x√
R2 − x2, e assim,
S = 2π
∫ R
−R
√
R2 − x2
√
1 +x2
R2 − x2dx
= 2π
∫ R
−R
√
R2 − x22√
R2 − x2dx = 2Rπ
∫ R
−R
1 dx = 4πR2.
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O Centro de massa de uma curva e o Teorema de Pappus
Inicialmente definimos o ponto medio de um segmento como o seucentro de massa. Assim o centro de massa de uma poligonal edado por:
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✻
✲x
y
ℓn
(xn,yn)
(xc ,yc)
(x1,y1)
ℓ1
q
q
q
q
q
q
q
q
xc =c · ℓ1 · x1 + · · · + c · ℓn · xn
c · ℓ1 + · · ·+ c · ℓn
=ℓ1 · x1 + · · ·+ ℓn · xn
ℓ1 + · · ·+ ℓn
yc =c · ℓ1 · y1 + · · · + c · ℓn · yn
c · ℓ1 + · · ·+ c · ℓn
=ℓ1 · y1 + · · ·+ ℓn · yn
ℓ1 + · · ·+ ℓn
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xn
x2
x1ℓ1
ℓ2
ℓnr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A = 2π x1 · ℓ1 + · · ·+ 2π xn · ℓn
= 2π(x1ℓ1 + x2ℓ2 + · · · + xnℓn)
ℓ1 + · · ·+ ℓn· L
= 2π xc · L , L = ℓ1 + · · ·+ ℓn
Semelhantemente, para a rotacaoem torno do eixo x
A = 2π yc · L
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Um processo de passagem ao limite (tomando mais e mais pontossobre a curva) resulta no seguinte resultado
Theorem (Teorema de Pappus)
Se uma linha plana gira em torno de um eixo de seu plano a area
da superfıcie gerada e igual ao comprimento dessa linha
multiplicado pelo comprimento da circunferencia descrita por seu
centro de massa. Isto e
A = 2πycL = 2π
∫ b
af (x)
√
1 + f ′(x)2dx∫ b
a
√
1 + f ′(x)2dx
∫ b
a
√
1 + f ′(x)2dx
para a rotacao em torno do eixo x ou
A = 2πxcL = 2π
∫ b
ax√
1 + f ′(x)2dx∫ b
a
√
1 + f ′(x)2dx
∫ b
a
√
1 + f ′(x)2dx
para a rotacao em torno do eixo y .
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