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Symmetrien und Eichtheorien
Georg Bergner
TPI FSU Jena
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Zwei Wege zu Eichtheorien . . .
1 Symmetrien und lokale Symmetrien. . . wichtige Leitlinie der modernen Physik
2 Eichinvarianz in der Elektrodynamik. . . Maxwell-Gleichungen sind Ausgangs-
punkt der modernen Physik
Eichtheorien beschreiben Wechselwirkungen der Teilchen. . .
3 Yang-Mills-Theorie und Quantenchromodynamik. . . von den starken Kraften
4 Ausblick. . . zu neuen Entwicklungen
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”. . . Und preiset er das Weltgebaude,So prangt es durch die Symmetrie.“
[Friedrich Schiller, Die Kunstler]
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Grundlegendes Prinzip der modernen Physik: Symmetrien
Invarianz der physikalischen Gesetze unterTransformationen T
Translation
Rotation
Spiegelung
Invarianz der Wirkung! δTS = 0
Transformationen (diskret, kontinuierlich)konnen
mehrfach angewendet werden T1T2
invertiert werden T−1T = I
⇒ mathematisch: Gruppentheorie
→
→
→
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Theorien fur kontinuierliche Felder
Lagrange-Funktion einer periodischen Kette mit Auslenkungen qn
L = T − V =M
2
∑n
[q2n − κ(qn+1 − qn)2 − ω2q2
n
]Ubergang zu einer kontinuierlichen Kette mit Lagrange-Dichte L
L =1
2
∫dx[(φ(x))2 − (∂xφ(x))2 −m2φ(x)2
]=
∫dx L[φ, φ, ∂xφ]
Theorie des Klein-Gordon-Feldes
L =1
2∂µφ∂
µφ− m2
2φ2
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Feldgleichungen und WirkungWirkung:
S =
∫dt L =
∫d4x L
Euler-Lagrange-Gleichung:
d
dt
∂L
∂q− ∂L
∂q= 0 → ∂µ
∂L∂(∂µφ)
− ∂L∂φ
= 0
Bewegungsgleichung ist Klein-Gordon-Gleichung:
(∂µ∂µ + m2)φ = 0
Symmetrie unter Translationen, Rotationen(Lorentz-Transformationen):
φ(x)→ φ(T−1(x)) , δTS = 0
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Innere SymmetrienVerallgemeinerung:
Raum-Zeit-Transformationen wirken auf Felder(z. B. Vektorfeld Aµ → T (Aµ)(T−1(x))von Raum-Zeit unabhangige Symmetrie: innere Symmetrie
Innere Symmetrie-Transformationen
wirken an jedem Raum-Zeit-Punkt x auf”inneren Raum“
z. B.
φ1(x)φ2(x)φ3(x)
oder φ(x) = φ1(x) + iφ2(x)
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Komplexes Skalarfeld
L = ∂µφ†∂µφ−m2φ†φ
Invariant unter Transformationen mit komplexer Phase U = e iα
φ(x)→ Uφ(x) (U†U = 1)
Entspricht Rotation(φ1(x)φ2(x)
)→(
cos(α) sin(α)− sin(α) cos(α)
)(φ1(x)φ2(x)
)
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Emmy Noether
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Symmetrien und Erhaltungsgroßen: Das NoetherscheTheorem
Noethersches Theorem
(kontinuierliche) Symmetrie ⇔ Erhaltungsgroße
Translation ⇔ Impuls
Rotation ⇔ Drehimpuls
komplexer Phasenfaktor ⇔ (elektrische) Ladung
erhaltener Strom Jµ mit ∂µJµ = 0
Ladung Q =∫d3x J0, Q = 0
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Spontane Symmetriebrechung
Eine Symmetrie der Wirkung bedeutet keine Symmetrie desGrundzustandes:
[L. Alvarez-Gaume, J. Ellis, Nature Physics 7, 2–3 (2011).]
Symmetrien werden spontan gebrochen.
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Globale Symmetrie → lokale Symmetrie
bisher: Transformationen unabhangig von x(an allen Orten gleichzeitig angewendet)
jetzt: lokale Transformationen
U = e iα → U(x) = e iα(x)
Problem: Invarianz von Ableitungstermen geht verloren
∂µUφ(x) = U(∂µ + i(∂µα(x)))φ(x)
Unter lokalen Transformationen ist (∂µφ)†∂µφ nicht invariant.
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Minimale Kopplung
fuhren Feld Aµ ein, dessen Transformationen die zusatzlichenTerme kompensieren
(∂µ + iqA′µ)Uφ = U(∂µ + iqAµ)φ
dadurch ergibt sich die Transformation: A′µ = Aµ − ∂µα(x)/q
kovariante Ableitung: Dµ = ∂µ + iqAµ
Unter lokalen Transformationen ist (Dµφ)†Dµφ invariant.
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ElektrodynamikMaxwell-Gleichungen:
∇ · E = ρ , ∇× B =1
cj +
1
c
∂E
∂t
∇ · B = 0 , ∇× E +1
c
∂B
∂t= 0
∂µFµν =
1
cjµ
∂µF νσ + ∂νF σµ + ∂σFµν = 0
Potentiale: Aµ = (Φ(x),A(x))
Strom: jµ = (cρ, j)
Feldstarketensor: Fµν = ∂µAν(x)− ∂νAµ(x)
Fµν =
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 −Bz By
Ey Bz 0 −Bx
Ez −By Bx 0
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Eichinvarianz und Kopplung an Materie
Eichinvarianz (Invarianz von Fµν)
Aµ(x)→ Aµ(x) + ∂µα(x)
Langrangedichte fur Bewegungsgleichung ∂µFµν = jµ
L = −1
4FµνF
µν − jµAµ
Wie kann man die Eichinvarianz mit jµ herstellen?⇒ Kompensation durch Zusatzterm.
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Eichinvarianz und Kopplung an Materie
L = (Dµφ)†Dµφ− 1
4FµνF
µν = (∂µφ)†∂µφ− 1
4FµνF
µν − jµAµ
globale Symmetrie:Noether-Strom jµ
lokale Symmetrie:Kopplung jµAµ
Quantenelektrodynamik:Eichinvarianz, lokale Symmetrie
Elektrodynamik:Eichinvarianz
Kopplung anLadung jµAµ
L = ψ(iγµDµ −m)ψ − 1
4FµνF
µν
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Weitere Sichtweise
globale Symmetrie, Invarianzunter globalerTransformation U = e iα
⇔ Erhaltung der elektrischenLadung Q bezogen auf dasganze Volumen
lokale Symmetrie, Invarianzunter lokalen TransformationU = e iα(x)
⇔ Lokale Erhaltung derelektrischen Ladung Q(x)
lokale Ladungserhaltung erfordert statische Ladungend. h. Teilchen mit unendlich großer Massebzw. keine Ableitungsterme
Losung ohne statische Ladungen: Eichprinzip
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Konsequenzen der Eichinvarianz in der klassischenElektrodynamik
effektiv eine redundante Beschreibung: B und E Felderphysikalisch
Eichfreiheit im Bezug auf Aµ(x)→ Aµ(x) + ∂µα(x)
eichinvariante Großen beschreiben Energie des Feldes undWechselwirkungen
praktische Rechnungen: Eichfixierung, z.B. Coulomb-Eichung∇ · A = 0
Aµ ist nur eine”Hilfsgroße“
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Ubergang zur Quantentheorie
Phasenfaktor von Wellenfunktion: Ψ→ Ψ exp(i q~α(x))
Pfadintegralformalismus: Integration uber alle Pfade gewichtetmit Phasenfaktor mit klassischer Wirkung S∫
Dx exp(i
~S [x ])
Lagrange-Funktion: L = m2 x
2 + ex · A
Hat Anderung von Potential Aµ = ∂µα physikalische Konsequenz,wenn B = 0 und E = 0?
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Pfadintegralformalismus der Quantenmechanik
〈x |e−iHt |y〉 =
∫Dx e iS[x]
Quantenmechanik im Pfadintegralformalismus liefertPhasenfaktor:
e iS[CACF ]/~(
1 + e i(S[CABF ]−S[CACF ])/~)
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Phase bestimmt vom Feld in der Spule:
S [CABF ]− S [CACF ] = e
∫CABF
A · dr − e
∫CACF
A · dr =
∫FB · df
Interferenz-Muster zeigt Abhangigkeit vom magnetischemFluß durch Spule
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Konsequenzen der Eichinvarianz in derQuantenelektrodynamik
Beschreibung mit Potentialfeld Aµ
Projektion auf physikalische eichinvariante Observablen
Eichfixierung: Quantisierung mit Nebenbedingungen
redundante Freiheitsgerade: Kompensation durch Geister
Alternative eichinvariante Formulierung:Gitter-Quantenfeldtheorie
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Quantenelektrodynamik
Elektronen-Felder ψ
Wechselwirkung zwischen e− durch Photonen-Felder Aµ
L gibt Wechselwirkung vor −iqψγµAµψ
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Symmetrien und Eichtheorien in der Teilchenphysik
Symmetrien bringen Ordnung in den Teilchen-Zoo:Identifikation der gemeinsamen Grundbausteine
wesentliche Wechselwirkungen werden durch Eichtheorienbeschrieben (Elektromagnetismus, schwache Kraft, starkeKraft)
Weiterer wichtiger Baustein ist spontane Brechung einerSymmetrie:
Higgs-Effekt: Erzeugung von Teilchenmasse durch spontaneSymmetriebrechung
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Das Standardmodell der Teilchenphysik
u c t
d s b
νe νµ ντe µ τ
g
γ
Z
W
Higgs
Lep
ton
enQ
uar
ks
Au
stau
sch
teilc
hen
Standardmodell
stabile Materie-Teilchen
u d νe e
Elektromagnetismus
γe
e
starke Wechselwirkung
gu
ug
g
g
g
g
g
g
schwache Wechselwirkung
u
d
e
W−
νe
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Was sehen wir vom Standardmodell?
Beobachtbar auf Alltagsskalen:
Gravitation (nicht im SM)
Elektrodynamik: Elektronen und Photonen
Schwache Wechselwirkung:
Reichweite durch Masse von W - und Z -Bosonen begrenzt
Starke Wechselwirkung:
begrenzt durch Selbst-Wechselwirkung der Gluonen
“Confinement”: einzelne Ladungen nicht beobachtbar
99% der Masse von Nukleonen ergibt sich aus Wechselwirkung
u + u + d −→ uu
d
3× 5 MeV 1000 MeV
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Die starke Kraft
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100 000 fm(= 1 Å)
1 fm
1932
p π n
19351964
1973
⇒ Formulierung der Quanten-Chromo-Dynamik (QCD)
1900
1920
1940
1960
1980
2000
p
n
e−
γ
e+
µ
π±π0K±
K 0
Ξ−∆
p νe
νµ
D±0
J/ΨΥ
B±0
Λ0
τ
ντ
W±Z 0
nΣ±
Σ0 ρ
Ω−
Ξ0
η
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elektromagnetische Kraft starke Kraft
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[M. Cardoso et al.,Phys. Rev. D 81, 034504 (2010)] [D. Leinweber]
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5
r
V
5
r
V
Abschirmung durch Elektronen Abschirmung durch Quarks
Anti-Abschirmung durch Gluonen
elektromagnetische Kraft starke Kraft
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Starke Wechselwirkungen des Standardmodells:Quanten-Chromo-Dynamik
hohe Energien: asymptotische Freiheit
schwach gekoppelte Quarks und GluonenStorungstheorie anwendbar
niedrige Energien: Confinement
stark gebundene Zustande von Quarksund Gluoneneffektive Theorie von HadronenBildung von Fermionkondensat
gu
uQ >> ΛQCD Q << ΛQCD
u d
uu
d
ggg
[K. A. Olive et al. (Particle Data
Group), Chin. Phys. C, 38, 090001
(2014).]
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Phasenubergange in der QCD
[APS/Joan Tycko]
hohe Temperaturen: freies Gas vonQuarks und Gluonen
niedrige Temperaturen: Gas vonHadronen
Phasenubergang: Deconfinement,Fermion-Kondensation
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Yang-Mills-Theorie und die starke WechselwirkungWas ist anders als bei der QED? Beginnen wieder mit lokalerSymmetrie:
φ(x) =
φ1(x)φ2(x)φ3(x)
; φ†(x) · φ(x) =∑i
φ†i (x)φi (x)
Transformationen U sind (komplexe) Matrizen U†U = I
D ′µUφ = (∂µ − igA′µ)U(x)φ(x) = U(x)(∂µ − igAµ)φ(x)
Aµ Matrix-Feld
Aµ → UAµU−1 − i
g(∂µU)U−1
L = (Dµφ)† · (Dµφ) + m2φ† · φ
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Yang-Mills-Theorie
Nun analog zur Elektrodynamik: Eich-SektorInvarianter Feldstarketensor
Fµν = ∂µAν(x)− ∂νAµ(x)− ig [Aµ(x),Aν(x)]
Lagrange-Dichte:
L = −1
4TrFµνF
µν
Eichinvarianz verlangt (Selbst-) Wechselwirkung von Aµ (Gluonen)Gluonen tragen Ladung!
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Quantenchromodynamik
Wirkung der Quantenchromodynamik:
SQCD =
∫d4x
[Nf∑f =1
ψf (iγµ(∂µ + igAµ) + mf )ψf −1
4TrFµνF
µν
],
Nf Quarks: up, down, strange, charm, top,bottom
Gluon-Feld: Aµ (tragen Farbladung)
Farb-FeldstarkeFµν = ∂µAν − ∂νAµ + ig [Aµ,Aν ]
rein gluonischer Anteil: Yang-Mills-Theorie
u c t
d s bQu
arks
g
g
g
g
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Lehren aus der Theorie der starken Wechselwirkung(Frank Wilczek, Nobel Lecture)
Paradoxien:
1
”Quarks are Born Free, but Everywhere They are in Chains “
2
”Special Relativity and Quantum Mechanics Both Work “
Paradigmen:
1
”The Hard Reality of Quarks and Gluons “
2
”Mass Comes from Energy “
3
”The Early Universe was Simple “
4
”Symmetry Rules “
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Wieso ist QCD die richtige Theorie?
Analytischer Beweis: “Millenium problem”
einzige Moglichkeit numerische Methoden
Diskretisierung, Monte-Carlo-Methodenzur Auswertung des Pfadintegrals
[S. Durr, et al., Science 322, 1224 (2008)]
[FZ Julich]
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Ausblick
Konnen Symmetrien erweitert werden?
Wie kann man Gravitation mit einbinden?
Ist eine Vereinheitlichung der Wechselwirkungen moglich?
Wie kann man die Theorie der starken Wechselwirkungverstehen?
Warum ist die Wechselwirkung durch das Higgs-Boson andersals die anderen Bestandteile des Standardmodells keineEichtheorie?
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Supersymmetrie
Erlaubte Symmetrien in der QFT:
Poincare Symmetrie[Coleman & Mandula]
Transformationendurch Spinvorgegeben
Supersymmetrie[Haag, Lopuszanski & Sohnius]
transformiertFermionen↔ Bosonen
Innere Symmetrie[Coleman & Mandula]
Teichlen mitgleichem Spin
Supersymmetrie ist einzig mogliche (nicht triviale) Erweiterung derRaum-Zeit-Symmetrie!
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Supersymmetrie
Erlaubte Symmetrien in der QFT:
Poincare Symmetrie[Coleman & Mandula]
Transformationendurch Spinvorgegeben
Supersymmetrie[Haag, Lopuszanski & Sohnius]
transformiertFermionen↔ Bosonen
Innere Symmetrie[Coleman & Mandula]
Teichlen mitgleichem Spin
Supersymmetrie ist einzig mogliche (nicht triviale) Erweiterung derRaum-Zeit-Symmetrie!
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