Download - Szemcsés rendszerek statikája
![Page 1: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/1.jpg)
Szemcsés rendszerek
statikája
Tibély Gergely2006. X. 26.
![Page 2: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/2.jpg)
Problémafelvetés
Statikai jellemzés?
Terhelhetőség?
![Page 3: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/3.jpg)
Egyszerű példa
2 ismeretlen erőkomponens2 egyenlet
Létezik egyértelmű megoldás
3 ismeretlen erőkomponens2 egyenlet
Sok lehetséges megoldás van …ha a testek nem összenyomhatatlanok
gF1
F2
(Súrlódás nincs.)
![Page 4: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/4.jpg)
Tanulságok
- Ha a kényszererők száma épp elég az egyensúlyhoz, a geometria meghatározza az erőket.
- Ha a minimálisan szükségesnél több kényszer van, sok megoldás létezik – nagyobb tolerancia külső terheléssel szemben?
![Page 5: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/5.jpg)
Strukturális merevség
Modell: erők rudak l részecskék csatlakozási pontok
Esetek osztályozása strukturális merevség szerint:
- hipostatikus: kevés rúd, flexibilis - izostatikus: éppen elég rúd - hiperstatikus: szükségesnél több rúd
hiperstatikus eset: a rudak vagy deformálhatóak, vagy nem függetlenek a paramétereik (pl. tökéletes rács)
Ha a rudak(szemcsék) elég merevek (a külső terheléshez képest) és az erők függetlenek, csak izostatikus szerkezet lehetséges.
![Page 6: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/6.jpg)
Mennyi kötés kell az izostatikussághoz?
Szabadsági fokok száma (konfigurációs tér dimenziója): Nf
Kontaktusszám: Nc
Hiperstatikus („felesleges”) kontaktusok száma: h
naiv becslés: hNN fc
Viszont: létezhetnek olyan elmozdulások, amelyekre minden kontaktus invariáns (pl. egész rendszer merev testként való mozgatása).
hkNN fc
Az ilyen „laza módusok” száma legyen: k
belátható:
![Page 7: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/7.jpg)
Kritikus koordinációs szám
Koord. szám (z): egy részecske kontaktusainak száma. kritikus, ha az ismeretlen erőkomponensek száma azonos az
egyensúlyi egyenletek számával.z
Pl. súrlódásmentes, gömb alakú részecskékre: nd egyensúlyi egyenlet
kontaktus2
znNc
dzcrit
2
Érvelés deformálhatatlan részecskékre: Minden kontaktus egy szabadsági fokot vesz el, tehát a strukturális merevséghez legalább Nf kontaktus kell. Mivel merev részecskék esetén nem lehetnek egymással „ütköző” geometriai kényszerek, egyensúlyi egyenletek száma.
Tehát azaz
cN
fc NN critzz
![Page 8: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/8.jpg)
Izostatikusság
Egy adott probléma (adott geometria + külső erők) izostatikus, ha az egyensúlyt leíró egyenletek egyértelműen meghatározzák a kontaktuserőket (és ha létezik egyensúlyi megoldás).
Ekkor h , azaz nincs több kontaktus a minimálisan szükségesnél.
Egy geometria izostatikus, ha minden külső terhelés izostatikus problémát definiál rajta.
Ekkor h és k k azaz csak triviális laza módusok vannak (k az összes részecske, mint merev test szabadsági fokainak száma).
![Page 9: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/9.jpg)
Nem izostatikus geometriák
Ilyenkor z zcrit azaz általános külső erő esetén p valószínűséggel afeladat nem megoldható (kevesebb ismeretlen, mint egyenlet).
Miért látunk mégis ilyet: a geometria és a külső erők nem függetlenek, a külső erők állítják be a geometriát.
Laza módusok megengedettek, ha merőlegesek a terhelésre.
![Page 10: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/10.jpg)
Izostatikus geometria törékenysége
Modell (nem egyforma sugarak!):
Perturbáció: egyik alsó erő pici megváltoztatásaMért válasz: függőleges elmozdulások négyzetes összege, a magasság függvényében
réteghi
iy yhD.
2)(
![Page 11: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/11.jpg)
Izostatikus geometria törékenysége II.
0
Másik szimuláció:0
![Page 12: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/12.jpg)
Konklúziók
- Szemcsés rendszerek statikájának leírásában a strukturális merevség hasznos koncepció.
- Izostatikus probléma (pl. merev részecskék) esetén pusztán a geometria meghatározza a megoldást (a kontaktuserőket).
- Izostatikus esetben a geometria törékeny: a terhelés változása jelentősen átalakíthatja.
![Page 13: Szemcsés rendszerek statikája](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062802/5681449e550346895db156de/html5/thumbnails/13.jpg)
Referenciák
- Unger, T. (2004). Characterization of static and dynamic structures in granular materials. PhD thesis, Budapest University of Technology and Economics
- Moukarzel, C. F. Isostatic Phase Transitions and Instability in Stiff Granular Materials. Phys. Rev. Lett. 81, 1634 (1998).
- Roux, J. N. Geometric origin of mechanical properties of granular materials. Phys. Rev. E 61, 6802 (2000).
- Kasahara, A. and Nakanishi H. Isostaticity and mechanical response of two-dimensional granular piles. Phys. Rev. E 70, 051309 (2004).