Tadeusz Gargula
Rachunek wyrównawczy
3U]\NáDG\�RSUDFRZDQLD�üZLF]H�
Kraków 2005
6NU\SW�RSLQLRZDá� SURI��GU�KDE��LQ*��5RPDQ�.DGDM
Autor skryptu jest pracownikiem naukowo-dydaktycznym w Katedrze Geodezji,
Akademia Rolnicza w Krakowie, ul. Balicka 253A, 30-149 Kraków
Copyright © by GEODPIS
Druk, oprawa: P.W. STABIL Kraków Wydawnictwo: GEODPIS Andrzej Jagielski
tel./fax (012) 411-89-43 tel. kom. 505-204-149 e-mail: [email protected]
ISBN 83-922884-1-6
6SLV�WUH�FL 3
6SLV�WUH�FL
:VWS ............................................................................................................................. 5
3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�REVHUZDFML�QLH]DOH*Q\FK ....................... 6
:\UyZQDQLH�VSRVWU]H*H��EH]SR�UHGQLFK��3XQNW�Z]áRZ\�Z�QLZHODFML ................... 8
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�MHGQR]QDF]QLH�RNUH�ORQ\FK .............................................. 10
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�QDGRNUH�ORQ\FK.................................................................. 12
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�QLHGRRNUH�ORQ\FK............................................................... 15
:\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��SR�UHGQLF]�F�.......................................................... 17
:\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��]DZDUXQNRZDQ�....................................................... 21
:\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� .......................................... 24
:\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��]DZDUXQNRZDQ� ....................................... 27
Rozwijanie funkcji nieliniowej w szereg Taylora ...................................................... 30
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� .......................... 32
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��NLHUXQNRZHJR��PHWRG� SR�UHGQLF]�F�................... 37
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��NLHUXQNRZHJR��PHWRG� SR�UHGQLF]�F��SRSU]H]�HOLPLQDFM�QLHZLDGRPHM�RULHQWDF\MQHM........................................................................ 42
%á�G�SRáR*HQLD�SXQNWX��HOLSVD�EáGX��UHGQLHJR ....................................................... 47
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�Z�SU]yG��NLHUXQNRZHJR��PHWRG� SR�UHGQLF]�F� ................. 49
:\UyZQDQLH�F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR��PHWRG� SR�UHGQLF]�F� ...... 54
:\UyZQDQLH�F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR��PHWRG� ]DZDUXQNRZDQ�... 61
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniowego) PHWRG��SR�UHGQLF]�F� ...... 64
Spis trH�FL 4
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniowego) PHWRG��]DZDUXQNRZDQ� ... 69
:\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F�...................................... 73
:\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��ZDUXQNRZ� ........................................... 80
3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�ZLHONR�FL�VNRUHORZDQ\FK.
%á�G��UHGQL�funkcji....................................................................................................... 84
:\UyZQDQLH�WUDQVIRUPDFML�ZVSyáU]GQ\FK dla n>2 punktów dostosowania ......... 87
Dodatek A: Przydatne wzory matematyczne ........................................................... 92
Dodatek B: Podstawowe wzory z rachunku wyrównawczego ............................... 94
'RGDWHN�&��6áRZQLF]HN�ZD*QLHMV]\FK�WHUPinów z rachunku wyrównawczego .... 96
:VWS 5
:VWS
Skrypt przeznaczony jest dla studentów kierunku Geodezja i Kartografia Akademii
RolQLF]HM� Z� .UDNRZLH�� =DNUHV� PDWHULDáX� GRVWRVRZDQ\� MHVW� GR� SURJUDPX� üZLF]H�� ]�przedmiotu „Rachunek wyrównawczy”��3U]HGVWDZLRQH�SU]\NáDG\�PDM�� VWDQRZLü�SRPRF�Z�RSUDFRZ\ZDQLX�üZLF]H���NWyUH�VWXGHQFL�OLF]��Z�UDPDFK�SUDF\�GRPRZHM��6]F]HJyáRZ\�SU]HELHJ�REOLF]H��ND*GHJR�SU]\NáDGX�XPR*OLZLD�Z\NRQDQLH�üZLF]HQLD�WDN*H�VWXGHQWRZL��który z przyczyn losowych nie byá�REHFQ\�QD�]DMFLDFK�
8ZDJL�GRW\F]�FH�VSRVREX�RSUDFRZDQLD�üZLF]HQLD� • :�JyUQHM�F]�FL�SLHUZV]HM�VWURQ\�SRZLQQ\�VL�]QDOH(ü�WDNLH�LQIRUPDFMH�MDN��LPL�L�Qa-
]ZLVNR�VWXGHQWD��QU�üZLF]HQLD��QU�]HVWDZX�GDQ\FK��EDUG]R�ZD*QH���RUD]�WHPDW�üZi-
czenia.
• 7UH�ü�]DGDQLD�SRZLQQD�]DZLHUDü�QLH]EGQH�LQIRUPDFMH�R�GDQ\FK�L�ZLHONR�FLDFK��NWó-
UH�QDOH*\�REOLF]\ü� • :LNV]R�ü�üZLF]H��Z\PDJD�Z\NRQDQLD�U\VXQNX��V]NLFX���5\VXQHN�LQIRUPXMH�R�OLFz-
ELH�L�UR]PLHV]F]HQLX�GDQ\FK�RUD]�ZLHONR�FL�V]XNDQ\FK�� • 2EOLF]HQLD�SRZLQQ\�E\ü�SURZDG]RQH�ZHGáXJ�XVWDORQHJR�VFKHPDWX��.D*G\�HWDS�Qa-
OH*\�RSiVDü�VáRZQLH� • :V]\VWNLH�REOLF]HQLD�SRZLQQ\�E\ü��Z�PLDU�PR*OLZR�FL��SU]HGVWDZLRQH�Z�üZLF]eniu.
1LH�ZROQR�ZSLV\ZDü�JRWRZ\FK�Z\QLNyZ�QD�GDQ\P�HWDSLH��EH]�SRGDQLD�VSRVREX�Rb-
liczania.
• :\QLNL��QDMF]�FLHM��ZLHONR�FL�Z\UyZQDQH��EáG\��UHGQLH�LWS���QDOH*\�SRGNUH�OLü� • :LHONR�FL�NR�FRZH��Z\QLNL��SRZLQQ\�E\ü�Z\UD*RQH�Z�RGSRZLHGQLFK�MHGQRVWNDFK� • 6WXGHQW� SRZLQLHQ� ]QDü� SU]HGH� ZV]\VWNLP� temat� ���� GDQHJR� üZLF]HQLD�� D� QLH� W\ONR�
QXPHU�NROHMQ\�üZLF]HQLD� 1DMF]�FLHM�SRSHáQLDQH�EáGy w obliczeniach:
o =E\W�PDáD�GRNáDGQR�ü�REOLF]H��� /LF]ED�F\IU� ]QDF]�F\FK�Z�REOLF]HQLDFK�SR�UHGQLFK�nie poZLQQD�E\ü�PQLHMV]D�RG�OLF]E\�F\IU�Z�Z\QLNX�
o =E\WQLH� ]DRNU�JODQLH� ZDUWR�FL� N�WyZ� OXE� LFK� IXQNFML� WU\JRQRPHWU\F]Q\FK� �VLQ�� FRV��tJ���.�W\�Z�REOLF]HQLDFK�QDOH*\�Z\UD*Dü�]�GRNáDGQR�FL��FR�QDMPQLHM��cc lub 1″, nato-
PLDVW�IXQNFMH�WU\JRQRPHWU\F]QH��QDMF]�FLHM��]�GRNáDGQR�FL����OXE���PLHMVF�SR�SU]e-
cinku.
o 1LHXZ]JOGQLDQLH�MHGQRVWHN��QS��GRGDZDQLH�ZLHONR�FL�Z\UD*RQHM�Z�>PP@�GR�ZLHONo-
�FL�Z�>P@� o 3U]\F]\Q�� EáGQ\FK� Z\QLNyZ� V�� F]VWR� (OH� SU]HSLVDQH� GDQH�� =DZV]H� QDOH*\� MH�
VSUDZG]Dü�FR�QDMPQLHM�GZXNURWQLH� o %áGHP� MHVW� WDN*H� SRGDZDQLH�Z\QLNyZ� ]� SU]HVDGQ�� GRNáDGQR�FL���:\QLN� REOLF]H��
SRZLQLHQ�E\ü�SRGDZDQ\�]�GRNáDGQR�FL��FR�QDMZ\*HM� MHGHQ�U]�G�Z\*V]��RG�GRNáDd-
QR�FL�GDnych. PU]\NáDGRZR��MH�OL�GáXJR�FL�SRGDQH�V��]�GRNáDGQR�FL��GR��FP��WR�Zy-
QLN�SRZLQLHQ�E\ü�]aRNU�JORQ\�GR��PP�
3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�REVHUZDFML�QLH]DOH*Q\FK 6
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: 3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�REVHUZDFML�QLH]DOH*�nych
Zadanie��:� ]DGDQLX� ZFLFLD� Z� SU]yG� GDQH� V�� EH]EáGQH�ZVSyáU]GQH� SXQNWyZ�$� L� %�oraz poPLHU]RQH�ZDUWR�FL�N�WyZ�α i β�ZUD]�]�EáGDPL��UHGQLPL� W\FK�SRPLDUyZ�mα, mβ.
2EOLF]\ü�EáG\��UHGQLH�ZVSyáU]GQ\FK�mx, my�SXQNWX�ZFLQDQHJR�3�RUD]�Eá�G�SRáR*HQLD�µP tego punktu.
Dane:
xA = 1357,20 xB = 1393,22
yA = 1448,22 yB = 2896,53
α = 54°26′55″ mα = ± 10″
β = 63°21′08″ mβ = ± 10″
52=:,�=$1,(
1) :]RU\�QD�REOLF]HQLH�ZVSyáU]GQ\FK�SXQNWX�3
xP = xA + dAP · cosAAP AAP = AAB - α $%$3 GÃ�VLQ�VLQÃ��G •+
= .
yP = yA + dAP · sinAAP
2) Obliczenie azymutu boku AB
40,20836,02
1448,31
û[û\
tgAB
AB ===ABA AAB = 88°34′31″
3) 2EOLF]HQLH�GáXJR�FL�ERNX�AB
���:VSyáU]GQH�SXQNWX�ZFLQDQHJR
������������������
=+
=+
••
••
��+(.sin)Asin(�sin
dy =y
��+(.sin)Acos(�sin
dx =x
ABABAP
ABABAP
α
α
P76144822 ,yxdABAB
AB =∆+∆=
B A
ββ αα
P
3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�REVHUZDFML�QLH]DOH*Q\FK 7
���3RFKRGQH�F]�VWNRZH�]�xP i yP�Z]JOGHP�αα i ββ
P1614602
2
,)(sin
)Acos(sind
)(sin
)cos()Acos()sin()Asin(sind
x
ABAB
ABABAB
P
=++
⋅⋅=
=+
+⋅−−+⋅−⋅⋅=
∂∂
βαβ
β
βαβααβαα
βα
P9812462
2
,)(sin
sin)Acos(d
)(sin
)cos(sin)sin(cos)Acos(d
x
ABAB
ABABP
=+
⋅−⋅=
=+
+⋅−+⋅⋅−⋅=
∂∂
βαα
α
βαβαββαβ
αβ
P75778
1
2
2
,)(sin
)Asin(sind
)(sin
)cos()Asin()sin()()Acos(sind
y
ABAB
ABABAB
P
−=++
⋅⋅=
=+
+⋅−−+⋅−⋅−⋅⋅=
∂∂
βαβ
β
βαβααβαα
βα
P128452
2
,)(sin
sin)Asin(d
)(sin
)cos(sin)sin(cos)Asin(d
y
ABAB
ABABP
=+
⋅−⋅=
=+
+⋅−+⋅⋅−⋅=
∂∂
βαα
α
βαβαββαβ
αβ
:]RU\�SRPRFQLF]H�GR�REOLF]HQLD�SRZ\*V]\FK�SRFKRGQ\FK:
αββαβα
αββαβα
sinsincoscos)cos(
cossincossin)sin(
⋅+⋅=+
⋅+⋅=+
6��%áG\��UHGQLH�ZVSyáU]GQ\FK�SXQNWX�3
( ) ( )2
22
2
2222
20626510341638
20626510161460
⋅+
⋅±=
⋅
∂∂+
⋅
∂∂±=
""m,
""m,
"
mx
"
mx PPx ρβρα
βαPP0890,mx ±=
( ) ( )2
22
2
2222
2062651012845
2062651075778
⋅+
⋅−±=
⋅
∂∂+
⋅
∂∂±=
""m,
""m,
"
my
"
my PPy ρβρα
βαPP0550,my ±=
7��%á�G�SRáR*enia punktu P
PPP 105005500890 2222 ,),(),(mmm yxP ±=+±=+±=
:\UyZQDQLH�VSRVWU]H*H��EH]SR�UHGQLFK��3XQNW�Z]áRZ\�Z�QLZHODFML 8
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�VSRVWU]H*H��EH]SR�UHGQLFK�
3XQNW�Z]áRZ\�Z�Qiwelacji
Zadanie��:�Z\QLNX�SRPLDUX�QLZHODF\MQHJR�FL�JyZ�R�GáXJR�FL�d1, d2, d3�X]\VNDQR�Uy*Qi-
ce�Z\VRNR�FL�∆h1, ∆h2, ∆h3. 2EOLF]\ü�Z\VRNR�ü�Z\UyZQDQ��SXQNWX�W PHWRG��REVHUZa-
cji bezpo�UHGQLFK�
Dane:
Nr punktu HR ∆h d
R1 318,097 3.601 1.5
R2 333,078 18.596 2.0
R3 303,900 10.590 2.0
52=:,�=$1,(
1) Zestawienie tabelaryczne
:\VRNR�FL�SXQNWX�:��Li = HRi +(-) ∆h Wyrazy wolne: li = Li – x0 :DUWR�ü�SU]\EOL*RQD�QLHZLDGRPHM��Z\VRNR�FL���x0 = 314,482 m
Poprawki obserwacji: vi = ∆x - li
3U]\URVW�V]XNDQHM�Z\VRNR�FL�� [ ][ ] mm 8,0
1.67
13,38===
p
plû[
Nr L d p l pl pll v pv pvv L + v
1 314.496 1,5 0,67 14 9,38 131,32 -6,0 -4,0 24,12 314,490
2 314.482 2,0 0,50 0 0 0 8,0 4,0 32,00 314,490
3 314.490 2,0 0,50 8 4 32 0,0 0,0 0,00 314,490
suma 1,67 13,38 163,32 2,0 0,0 56,12
R2
R1
R3
W
∆h1
∆h2
∆h3
:\UyZQDQLH�VSRVWU]H*H��EH]SR�UHGQLFK��3XQNW�Z]áRZ\�Z�QLZHODFML 9
���:\UyZQDQD�Z\VRNR�ü�SXQNWX�:
xwyr = x0 + ∆x = 314,482 + 0,008 = 314,490
3) Kontrola ogólna:
[ ] [ ] [ ][ ]p
plpllpvv
2
−=
[ ] 56,12=pvv [ ] [ ][ ] 56,12
1,67
13,38163,32
2
=−=−p
plpll
2
4) 2FHQD�GRNáDGQR�FL
%á�G��UHGQL�REVHUZDFML�� [ ]
kmmm5,32
56,12 ±≈±=−
±=1n
pvvm0
%á�G��UHGQL�QLHZLDGRPHM��Z\UyZQDQHM�Z\VRNR�FL��
[ ] mm4,11,3
5,30 ±≈±=±=p
mmx
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�MHGQR]QDF]QLH�RNUH�ORQ\FK 10
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: 8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�MHGQR]QDF]QLH�RNUH�ORQ\FK
Zadanie�� 'DQH� V�� ZVSyáU]GQH� x, y punktów A,B,C,D.� 2EOLF]\ü� ]D� SRPRF�� UDFKXQNX�macieU]RZHJR�ZVSyáU]GQH�SXQNWX�SU]HFLFLD�VL�SURVW\FK�AC i BD.
Dane:
Nr punktu x y .
A 102,20 102,20
B 703,30 98,90
C 698,90 896,70
D 98,90 903,30
52=:,�=$1,(
1) Równania prostych Wzory: ax + by +c = 0; a = y1 – y2; b = x2 – x1; c = x1(y2 – y1) – y1(x2 – x1) Prosta AC: –794,50.x + 596,70.y + 20215,16 = 0 Prosta BD: –804,40.x – 604,40.y + 625509,68 = 0 ���8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�MHGQR]QDF]QLH�RNUH�Oonych
3) =DSLV�XNáDGX�UyZQD��Z�SRVWDFL�PDFLHU]RZHM
A . X = L
=
=
−−
−=
625509,68-
20215.16-
4060440804
7059650794LXA ;
y
x;
,,
,,
P
y
x
D
C B
A
=+⋅−⋅−=+⋅+⋅−
0686255094060440804
016202157059650794
,y,x,
,y,x,
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�MHGQR]QDF]QLH�RNUH�ORQ\FK 11
4) Utworzenie macierzy blokowej B
[ ]
−−
−==
68625509
1620215
4060440804
7059650794
,
,
,,
,,
��� L-AB
5) 5R]NáDG�SURVWRN�WQHM�PDFLHU]\�B na czynniki trapezowe
[ ]L'-GHG'HB TT �⋅=⋅=
−−
⋅
=
−−
−'
'
L
LG
HH
H
,
,
,,
,,
2
112
2221
11
10
10
68625509
1620215
4060440804
7059650794
��
��
−−−⋅
−−−=
641500
44425
10
7510401
535120840804
050794
,
,,
,,
,
��
B
6) 2EOLF]HQLH�ZDUWR�FL�QLHZLDGRP\FK
G . X = L’
=
⋅
−
641500
44425
10
7510401
,
,
y
x,
=
500,641
401,444X
7) :VSyáU]GQH�SXQNWX�SU]HFLFLD�SURVW\FK
xP = 401,444; yP = 500,641
8) Kontrola
≈=+⋅−⋅−≈=+⋅+⋅−
07060686255094060440804
0387016202157059650794
,,,,
,,,,
����������������������������
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�nadRNUH�ORQ\FK 12
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: 8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�QDGRNUH�ORQ\FK
Zadanie��'DQH�V��ZVSyáU]GQH�x, y punktów A,B,C,D,E,F.�2EOLF]\ü�]D�SRPRF��UDFKXn-
NX�PDFLHU]RZHJR�ZVSyáU]GQH�SXQNWX�QDMNRU]\VWQLHMV]HJR�GOD�SU]HFLFLD�VL�WU]HFK�SUo-
stych: AB, CD oraz EF.
Dane:
Nr punktu x y .
A 202,64 203,08
B 802,64 1403,08
C 802,86 202,64
D 202,64 1402,42
E 102,86 702,64
F 1302,42 1102,86
R2=:,�=$1,(
1) Równania prostych Wzory: ax + by +c = 0; a = y1 – y2; b = x2 – x1; c = x1(y2 – y1) – y1(x2 – x1)
Prosta AB: –1200,00.x + 600,00.y + 121320,00 = 0
Prosta CD: –1199,78.x – 600,22.y + 1084883,95 = 0
Prosta EF: –400,22.x + 1199,56.y – 801692,21 = 0 ���8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�nadRNUH�ORQ\FK
=−⋅+⋅=+⋅⋅=+⋅+⋅
0 801692,21 1199,56 400,22-
0 1084883,95 600,22 - 1199,78-
0 121320,00 600,00 1200,00-
\[\[yx
F
E y
x
D
C B
A
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�QDGRNUH�ORQ\FK 13
3) =DSLV�XNáDGX�UyZQD��Z�SRVWDFL�PDFLHU]RZHM
A . X = L
−−
=
=
−−−
−=
�������������������������������
LXA ;y
x;
,,
,,
,,
56119922400
22600781199
00600001200
4) Macierz normalna AT.A
−
−=
=
−−−
−⋅
−
−−−=⋅
2422159208952479955
9524799550973039648
56119922400
22600781199
00600001200
5611992260000600
22400781199001200
,,
,,
,,
,,
,,
,.,
,,,AAT
���5R]NáDG�PDFLHU]\�Nwadratowej symetrycznej AT.A�QD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH
RRAA ⋅=⋅ TT
⋅
=
−
−
22
1211
2212
11
0
0
2422159208952479955
9524799550973039648
R
RR
RR
R
,,
,,
−=
40714430
2902754591743
,
,,R
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
=
−⋅
10
01
40714430
2902754591743
0 22
1211
,
,,
R
RR'
''
⋅⋅⋅
=−
−−−
4
441
109280560
1009393110735735
,
,,R
���2GZURWQR�ü�macierzy normalnej: (AT.A)-1
( )
⋅⋅⋅⋅
=
=
⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅
=⋅=⋅
−−
−−
−−
−
−
−−−−
77
77
44
4
4
44111-T
10799794107578800
10757880010409523
109286100941
0107365
1092860
100941107365 )(
,,
,,
,,
,
,
,,TRRAA
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�nadRNUH�ORQ\FK 14
8) Wektor niewiadomych X
=
=
−−
⋅
−
−−−⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=⋅⋅⋅=
−−
−−
558824
750500
801692,21
1084883,95
121320,00
5611992260000600
22400781199001200
108004107570
107570104103
)(
77
77
T-1T
,
,
,.,
,,,
,,
,,
LAAAX
8) �:VSyáU]GQH�Z\UyZQDQH�SXQNWX�SU]HFLFLD�VL�WU]HFK�SURVW\FK
x = 500,750; y = 824,558
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�QLHGRRNUH�ORQ\FK 15
,PL�1Dzwisko Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: 8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�QLHGRRNUH�ORQ\FK
Zadanie��'DQ\�MHVW�QLHGRRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK��6WRVXM�F�UDFKXQHN�PDFLe-U]RZ\�]QDOH(ü�QDMOHSV]H�UR]ZL�]DQLH�ZHGáXJ�PHWRG\�QDMPQLHMV]\FK�NZDGUDWyZ��
Dane:
=−⋅+⋅+=−+⋅+⋅
04233
02223
zyx
zyx
52=:,�=$1,(
1) =DSLV�XNáDGX�UyZQD��Z�SRVWDFL�PDFLHU]RZHM
A . X = L
=
=
=
4
2
2331
1223LXA ;
z
y
x
;
2) Macierz normalna A .AT
=
⋅
=⋅
53952
52534
231
32
123
2331
1223TAA
���5R]NáDG�PDFLHU]\�NZDGUDWRZHM�V\PHWU\F]QHM�A .AT nD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH
RRAA T ⋅=⋅ T
⋅
=
22
1211
2212
11
0
0
53952
52534
R
RR
RR
R
=
107230
250210823
,
,,R
8NáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�niedoRNUH�ORQ\FK 16
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅−1
=
⋅
10
01
107230
250210823
0 22
1211
,
,,
R
RR'
''
⋅⋅−⋅
=−
−−−
2
221
1032840
1042140103274
,
,,R
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� ( A .AT)-1
( )
⋅⋅⋅⋅
=
=
⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅
=⋅=⋅
−−
−−
−−
−
−
−−−−
33
33
22
2
2
22111-
1087311018230
101820108901
103284104210
0103274
1032840
104210103274 )(
,,
,,
,,
,
,
,,TT RRAA
6) Wektor niewiadomych X
≈
⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
=
=⋅⋅⋅=
−−
−−
1670
0270
0770
4
2
108731101820
101820108901
231
32
123
33
33
T
,
,
,
,,
,,
T LAAAX ����
���5R]ZL�]DQLH
x =0,077; y = 0,027 z = 0,167
8) Kontrola
≈=−⋅+⋅+≈=−+⋅+⋅
000104167023027030770
000802167002702077023
,,,,
,,,,
WyrówQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 17
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��SR�UHGQLF]�F�
Zadanie: Na stanowisku st.I ]RVWDá\�SRPLHU]RQH�]�Uy*Q��GRNáDGQR�FL��N�W\���– 6. Stosu-M�F�P�Q�N��QDOH*\�REOLF]\ü�SRSUDZNL�GR� W\FK�SRPLDUyZ�RUD]�Z\UyZQDQH�ZDUWR�FL�N�WyZ�SU]\MWych jako niewiadome x, y, z, t��D�WDN*H�SU]HSURZDG]Lü�DQDOL]�GRNáDGQR�FL�SR�Zy-równaniu.
Dane:
L1 = 31,3107g p1 = 2 L2 = 07,1832g p2 = 2
L3 = 18,1519g p3 = 2 L4 = 32,1421g p4 = 2 L5 = 88,7871g p5 = 5 L6 = 50,2933g p6 = 7 52=:,�=$1,(
1) Równania obserwacyjne 2)�:DUWR�FL�SU]\EOL*RQH�QLHZLDGRP\FK
L1 + v1 = x x0 = L1 = 31,3107g x = x0 + ∆x
L2 + v2 = y y0 = L2 = 07,1832g y = y0 + ∆y
L3 + v3 = z z0 = L3 = 18,1519g z = z0 + ∆z
L4 + v4 = t t0 = L4 = 32,1421g t = t0 + ∆t L5 + v5 = x + y + z + t L6 + v6 = z + t ���5yZQDQLD�EáGyZ ���1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK
v1 = ∆x
v2 = ∆y
v3 = ∆z
v4 = ∆t
v5 = ∆x + ∆y + ∆z + ∆t + 8cc
v6 = ∆z + ∆t + 7cc
6
5
4
3
2
1
t
z
x y
st.I
=+∆+∆=+∆+∆+∆+∆
=∆=∆=∆=∆
07
08
0
0
0
0
tz
tzyx
t
z
y
x
:\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 18
5) Zapis macierzowy 6) Macierz wagowa P
LXA =⋅
−−
=
∆∆∆∆
⋅
7
8
0
0
0
0
1100
1111
1000
0100
0010
0001
t
z
y
x
=
700000
050000
002000
000200
000020
000002
P
7) Macierz normalna AT.P.A
=⋅⋅
141255
121455
5575
5557
APAT
8��5R]NáDG�PDFLHU]\�NZDGUDWRZHM�V\PHWU\F]QHM�AT.P.A�QD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH
RRAPA ⋅=⋅⋅ TT
⋅
=
44
3433
242322
14131211
44342414
332313
2212
11
000
00
0
0
00
000
141255
121455
5575
5557
R
RR
RRR
RRRR
RRRR
RRR
RR
R
=
89561000
498021358300
7715077150851610
88981889818898164582
.
..
...
....
R
9��2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
=
⋅
1000
0100
0010
0001
89561000
498021358300
7715077150851610
88981889818898164582
000
00
0
44
3433
242322
14131211
.
..
...
....
'R
'R'R
'R'R'R
'R'R'R'R
−−−−−−
=−
52750000
420203189000
0447013290540100
04470132903858037800
1
.
..
...
....
R
WyrówQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 19
10) OdwrotQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.P. A)-1
( )
−−−−−−−−−−−−
=
=
−−−−−
−⋅
−−−−−−
=
=⋅=⋅⋅ −−
27830221700236002360
22170278300236002360
02590023603113018870
02360023601887031130
52750420200447004470
0318901329032900
005401038580
00037800
52750000
420203189000
0447013290540100
04470132903858037800
11
....
....
....
....
....
...
..
.
.
..
...
....
TRRAPA ���� ��7
11) Wektor niewiadomych X 12) Wyrównane niewiadome
−−−−
≅
−−−−
=
=⋅⋅⋅⋅⋅=
13
13
70
70
153
153
710
710
.
.
.
.
.
.
.
.
LPAA)P(AX T-1T
13) Wektor poprawek 14) Obserwacje wyrównane
−−−−
=
−−
−
−−−−
⋅
=
=−⋅=
cc
cc
cc
cc
cc
cc
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
80
40
13
13
70
70
7
8
0
0
0
0
13
13
70
70
1100
1111
1000
0100
0010
0001
LXAV
15) Kontrola ogólna
545545
5617663545
..
..
=−=
⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ XAPLLPLVPV TTT
gccg
gccg
gccg
g
,.ttt
,.zzz
,.yyy
,xxx
32.14179
18.15159
7.18313
31.31063
=−=∆+==−=∆+==−=∆+=
=−=∆+=
13142132
13151918
7018327
7031.3107
0
0
0
ccg0
gccg
gccg
gccg
gccg
gccg
g
,.vL
,.vL
,.vL
,.vL
,.vL
,vL
50.29338
88.78714
32.14179
18.15159
7.18313
31.31063
=+=+
=+=+
=−=+=−=+
=−=+=−=+
80293350
40787188
13142132
13151918
7018327
7031.3107
66
55
44
33
22
ccg11
:\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 20
16) Kontrola generalna /HZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK 3UDZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\Fh
17��2FHQD�GRNáDGQR�FL
a) Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML
CC0 .
knm 84
2
45.5±≈±=
−⋅
±=VPV T
b) EáG\��UHGQLH�QLHZLDGRP\FK��ZLHONR�FL�Z\UyZQDQ\FK�
Macierz kowariancyjna
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
g
g
g
g
g
g
vL
vL
vL
vL
vL
vL
50.29338
8.78714
32.14179
18.15159
7.18313
31.31063
=+
=+
=+=+=+
=+
66
55
44
33
22
11
8g
g
g
g
g
g
tz
tzyx
t
z
y
x
50.29338
88.78714
32.14179
18.15159
7.18313
31.31063
=+
=+++
====
cc
ttt
cc
zzz
cc
yyy
ccxxx
.Qmm
.Qmm
.Qmm
.Qmm
52
52
72
72
0
0
0
0
±=⋅±=
±=⋅±=
±=⋅±=
±=⋅±=
−−−−−−−−−−−−
=⋅⋅=
27830221700236002360
22170278300236002360
02590023603113018870
02360023601887031130
....
....
....
....
���� ��7 APAQ
:\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��zawarunkowan� 21
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��]DZDUXQNRZDQ�
Zadanie: Na stanowisku st.I ]RVWDá\�SRPLHU]RQH�]�Uy*Q��GRNáDGQR�FL��N�W\���– 6. Prze-prowaG]Lü�Z\UyZQDQLH�ZHGáXJ�PHWRG\�ZDUXQNRZHM�
Dane:
L1 = 31,3107g p1 = 2 L2 = 07,1832g p2 = 2
L3 = 18,1519g p3 = 2 L4 = 32,1421g p4 = 2 L5 = 88,7871g p5 = 5 L6 = 50,2933g p6 = 7
52=:,�=$1,(
1) Liczba warunków w sieci niwelacyjnej
r = n – k = 2
n = 6 – liczba wszystkich obserwacji k = 4 –�OLF]ED�REVHUZDFML�QLH]EGQ\FK 2) Równania warunkowe (L1 + v1) + (L2 + v2) + (L3 + v3) + (L4 + v4) - (L5 + v5) = 0
(L3 + v3) + (L4 + v4) - (L6 + v6) = 0
���5yZQDQLD�EáGyZ��QLHGRRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�
v1+ v2 + v3 + v4 – v5 + ω1 = 0 ω1 = L1 + L2 + L3 + L4 – L5 = 8cc
v3 + v4 – v6 + ω2 = 0 ω1 = L3 + L4 – L6 = 7cc
6
5
4
3
2
1
st.I
:\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��zawarunkowan� 22
4) Zapis macierzowy ����������2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�Zagowej WVA =⋅
6) Macierz normalna A.P-1.AT
=⋅⋅ −
1411
1221
.
.TAPA
���5R]NáDG�PDFLHU]\�NZDGUDWRZHM�V\metrycznej A.P-1.AT�QD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH
RRAPA ⋅=⋅⋅ − TT1
⋅
=
22
1211
2212
11
0
0
1411
122
R
RR
RR
R
.
.
=
8300
670481
.
..R
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
=
⋅
10
01
8300
670481
0 22
1211
.
..
R
RR'
''
−
=−
211550
06701
..
.R
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\ normalnej: (A.P-1. AT)-1
( )
−
−=
⋅
=
=⋅=⋅⋅ −−−
451660
660750
830670
0481
8300
670481
111
..
..
..
.
.
..
TRRAPA ���� ��7
=−
14000000
0200000
0050000
0005000
0000500
0000050
1
.
.
.
.
.
.
P
−−
=
⋅
−
−7
8
101100
011111
6
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
v
:\UyZQDQLH�VWDF\MQH�PHWRG��zawarunkowan� 23
10) Wektor korelat K
−−
=⋅⋅⋅= −
894
4211
.
.W)AP(AK 1-T
11) Wektor poprawek V
−−−−
=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= −−−
70
30
23
23
70
70
111
.
.
.
.
.
.
KAPW)AP(AAPV T1-TT
12) Obserwacje wyrównane 13) Kontrola ogólna
14) Kontrola generalna 31.3106g + 7.1831g + 18.1516g + 32.1418g – 88.7871g = 0.0000g
18.1516g + 32.1418g – 50.2934g = 0.0000g
1���%á�G��UHGQL�REVHUZDFML
cc
0 .kn
m 842
45.5±≈±=
−⋅
±=VPV T
gccg
gccg
gccg
gccg
gccg
g
.vL
.vL
.vL
.vL
.vL
vL
50.2934
88.7871
32.1418
18.1516
7.1831
31.3106
=+=+
=−=+
=−=+=−=+
=−=+=−=+
1293350
0787188
3142132
3151918
118327
66
55
44
33
22
11FFJ ���������
545545 .. =⋅=⋅⋅ KWVPV TT
:\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 24
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&ZENIE nr .....
Temat: :\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��SR�UHGQLF]�F�
Zadanie��:�Z\QLNX�SRPLDUX�QLZHODF\MQHJR�FL�JyZ�R�GáXJR�FL�d1, d2, d3, d4, d5 uzyskano Uy*QLFH�Z\VRNR�FL�∆h1, ∆h2, ∆h3, ∆h4, ∆h5. 6WRVXM�F�PHWRG�SR�UHGQLF]�F��QDOH*\�Zy-UyZQDü�SRPLDU\�RUD]�Z\VRNR�FL�SXQNWyZ�x i y,�D�WDN*H�SU]HSURZDG]Lü�DQDOL]�GRNáDGQo-�FL�SR�Z\UyZQDQLX�
Dane:
52=:,�=$1,(
1) Równania obserwacyjne ���:DUWR�FL�SU]\EOL*RQH�QLHZLDGRP\FK
∆h1 + v1 = R1 – x x0 = R1 – ∆h1 = 104,554 x = x0 + ∆x
∆h2 + v2 = R1 – y y0 = R1 – ∆h2 = 104,002 y = y0 + ∆y
∆h3 + v3 = x – y
∆h4 + v4 = R3 – x
∆h5 + v5 = R2 – y 3) RównanLD�EáGyZ ���1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK
v1 = - ∆x
v2 = - ∆y
v3 = ∆x – ∆y – 6mm
v4 = - ∆x
v5 = - ∆y – 5mm
Nr 5y*QLFH�Z\VRNR�FL�
[m]
'áXJR�FL�FL�JyZ
[km]
:\VRNR�FL�reperów
[m]
1
2
3
4
5
2,722
3,274
0,558
2,277
1,226
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
107,276
105,223
106,831
R1
R2 R3
x
∆h1 ∆h2
∆h3 y
∆h5 ∆h4
=−∆−=∆−
=−∆−∆=∆−=∆−
05
0
06
0
0
y
x
yx
y
x
:\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 25
5) Zapis macierzowy 6) Macierz wagowa P
LXA =⋅ waga 1
i
i
pd
=
− − ∆
⋅ =− ∆ − −
1 0 0
0 1 0
1 1 6
1 0 0
0 1 5
x
y
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
=
P
7) 8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK: ( ) LPAXAPA TT ⋅⋅=⋅⋅⋅
−
=
⋅
−
−16
6
41
14
y
x
8��5R]NáDG�PDFLHU]\�NZDGUDWRZHM�V\PHWU\F]QHM�AT.P.A�QD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH
RRAPA ⋅=⋅⋅ TT
→
9��2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
→
10��2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.P. A)-1
( )− − ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
T -1 1 1 0,5 0,13 0,5 0 0,27 0,067
( ) 0 0,52 0,13 0,52 0,067 0,27
T
A P A R R
11) Wektor niewiadomych X 12) Wyrównane niewiadome
( )
−
=
=⋅⋅=⋅⋅⋅
mm,
mm,
93
50
LPAXAPA TT
− =
1 0,5 0,13
0 0,52R
= + ∆ = + == + ∆ = − =
0
0
104,554 1
104,002 4
x x x m mm
y y y m mm
104,555
103,998
− ⋅ =
11 12
22
' ' 2 0,5 1 0
0 ' 0 1,94 0 1
R R
R
− = ⋅ −
11 11 12
12 22 22
04 1
01 4
R R R
R R R
− =
2 0,5
0 1,94R
:\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 26
13) Wektor poprawek 14) Obserwacje wyrównane
= ⋅ − =
− − − −
= ⋅ − = ≅ − − − − − − − − − −
1 0 0 0,53 1
0 1 0 3,87 40,53
1 1 6 1,60 23,87
1 0 0 0,53 1
0 1 5 1,13 1
mm
mm
mm
mm
mm
V A X L
15) Kontrola ogólna
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= −
=20,9 86 65,1
20,9 20,9
T T TV P V L P L L P A X
16) Kontrola generalna /HZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK 3UDZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK
17��2FHQD�GRNáDGQR�FL
a) Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML
kmmm,
knm0 62
3
20,9±≈±=
−⋅
±=VPV T
b) EáG\��UHGQLH�QLHZLDGRP\FK��ZLHONR�FL�Z\UyZQDQ\FK�
Macierz kowariancyjna
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
∆ −∆ +∆ −∆ −∆ −
2,722 1
4
2
2,277 1
1,226 1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
h + v = mm =
h + v = 3,274 mm =
h + v = 0,558 mm =
h + v = mm =
h + v = mm =
2,721
3,278
0,556
2,276
1,225
∆∆∆∆∆
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
h + v =
h + v =
h + v =
h + v =
h + v =
2,721
3,278
0,556
2,276
1,225
− = − =− = − =
− = − =− = − =− = − =
1
1
3
2
107,276 104,555
107,276 103,998
104,555 103,998
106,831 104,555
105,223 103,998
R x
R y
x y
R x
R y
2,721
3,278
0,557
2,276
1,225
= ⋅ ⋅ =
0,27 0,067
0,067 0,27
T -1( ) Q A P A
mm.Qmm
mm,Qmm
yyy
xxx
41
41
0
0
±=⋅±=
±=⋅±=
:\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��zawarunkowan� 27
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��]DZDUXQNRZDQ� Zadanie��:�Z\QLNX�SRPLDUX�QLZHODF\MQHJR�FL�JyZ�R�GáXJR�FL�d1, d2, d3, d4, d5 uzyskano Uy*QiFH�Z\VRNR�FL�∆h1, ∆h2, ∆h3, ∆h4, ∆h5. 3U]HSURZDG]Lü�Z\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�ZHGáXJ�PHWRG\�ZDUXQNRZHM�
Dane:
52=:,�=$1,(
1) Liczba warunków w sieci niwelacyjnej
a) ogólna: w = n – p + pr = 5 – 5 + 3 = 3 b) PLG]\�UHSHUDPL��Zr = pr -1 = 3 – 1 = 2 c) dla oczek siatki: wo = 1
2) Równania warunkowe
Dla reperów: R1 – (∆h1 + v1) + ∆h4 + v4 – R3 = 0
R1 – (∆h2 + v2) + ∆h5 + v5 – R2 = 0
Dla oczka: ∆h2 + v2 – (∆h3 + v3) – (∆h1 + v1) = 0 ���5yZQDQLD�RGFK\áHN��QLHGRRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�
– v1 + v4 + ω1 = 0 gdzie: ω1 = R1 – ∆h1 + ∆h4 – R3 = 0
– v2 + v5 + ω2 = 0 ω2 = R1 – ∆h2 + ∆h5 – R2 = 5 mm
– v1 + v2 – v3 + ω3 = 0 ω3 = – ∆h1 + ∆h2 – ∆h3 = - 6 mm
Nr 5y*QLFH�Z\VRNR�FL�
[m]
'áXJR�FL�FL�JyZ
[km]
:\VRNR�FL�reperów
[m]
1
2
3
4
5
2,722
3,274
0,558
2,277
1,226
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
107,276
105,223
106,831
R1
R2 R3
x
∆h1 ∆h2
∆h3 y
∆h5 ∆h4
:\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��zawarunkowan� 28
4) Zapis macierzowy 5) Macierz wagowa��RGZURWQR�ü�
WVA =⋅ waga 1
i
i
pd
= ; ii dp =−1
−=
⋅
−−−
−
6
5
0
00111
10010
01001
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
=−
500000
050000
00100
00010
00001
1
.
.
P
���8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK�NRUHODW� ( ) WKAPA T =⋅⋅⋅ −1
−=
⋅
−−
6
5
0
311
1510
1051
3
2
1
k
k
k
.
.
���5R]NáDG�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�A.P-1.AT na czynniki trójk�WQH
RRAPA ⋅=⋅⋅ − TT1
⋅
=
−−
33
2322
131211
332313
2212
11
00
00
00
311
1510
1051
R
RR
RRR
RRR
RR
R
.
.
−=
1.29100
0.8161.2250
0.81601.225
R
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
=
−⋅
100
010
001
1.29100
0.8161.2250
0.81601.225
00
0
33
2322
131211
'R
'R'R
'R'R'R
−=−
775000
516081600
5160081601
.
..
..
R
:\UyZQDQLH�VLHFL�QLZHODF\MQHM�PHWRG��zawarunkowan� 29
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (A.P-1. AT)-1
( )
−−
−−=
−⋅
−=
=⋅=⋅⋅ −−−
604040
4093302670
4026709330
775051605160
081600
008160
775000
516081600
516008160
)( 111-T1
...
...
...
...
.
.
.
..
..
TRRAPA
10) Wektor korelat K
−−
=⋅⋅⋅= −
601
272
0711
.
.
.
W)AP(AK 1-T
11) Wektor poprawek V
−−−
−
≅
−−−
−
=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= −−−
mm
mm
mm
mm
mm
.
.
.
.
.
1
1
2
4
1
131
530
601
873
530
111 KAPW)AP(AAPV T1-TT
12) Obserwacje wyrównane
13) Kontrola ogólna
920920 .. =
⋅=⋅⋅ KWVPV TT
14) Kontrola generalna 107.276 – 2.721 + 2.276 – 106.831 = 0.000
107.276 – 3.278 + 1.225 – 105.223 = 0.000
3.278 – 0.556 – 2.721 = 0.001
1���%á�G��UHGQL�REVHUZDFML
kmmm.
knm0 62
3
20.9±≈±=
−⋅
±=VPV T
∆ −∆ +∆ −∆ −∆ −
2,722 1
4
2
2,277 1
1,226 1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
h + v = mm =
h + v = 3,274 mm =
h + v = 0,558 mm =
h + v = mm =
h + v = mm =
2,721
3,278
0,556
2,276
1,225
Rozwijanie funkcji nieliniowych w szereg Taylora 30
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: Rozwijanie funkcji nieliniowej w szereg Taylora Zadanie��5R]ZLQ�ü�Z�V]HUHJ�SRGDQH�IXQNFMH�QLHOLQLRZH�]�SRPLQLFLHP�wyrazów o pot�G]H�Z\*V]HM�QL*����2EOLF]\ü�ZDUWR�ü�IXQNFML�f�RUD]�ZDUWR�FL�MHM�UR]ZLQLFLD�OLQLRZHJR�f’ dla
GDQ\FK�ZDUWR�FL�]PLHQQ\FK��x0, y0) i ich przyrostów (∆x, ∆y���2EOLF]\ü�Uy*QiF�f – f’. Funkcja 1. Dane:
yxf 221 −=
( )����\�����[��������\������������[ �� =∆=∆==
5R]ZLQLFLH�IXQNFML� ( ) y
y
fx
x
fy,xff ' ∆⋅
∂∂
+∆⋅∂∂
+= 110011
yxxyxf ' ∆⋅−∆⋅+−= 222 00
2
01
Funkcja w postaci liniowej f1’ dla �������\������������[ �� == :
802201 +∆⋅−∆⋅= yxf '
:DUWR�ü�IXQNFML�f1’ dla ����\�����[ =∆=∆ :
60898020250201 ...f ' =+⋅−⋅=
:DUWR�ü�IXQNcji f1 dla 210510 .. =∆+==∆+= \��\\������[��[[ ��
85892102510 21 ...f =⋅−=
5y*QLFD� 25011 .ff ' =−
Funkcja 2. Dane:
ycosxsinf −=2
( )JJJ�
J� ���\����[����������\��������������[ =∆=∆==
5R]ZLQLFLH�IXQNFML� ( ) y:
y
fx:
x
fy,xff gg' ∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+= ρρ 220022
yysin
xxcos
ycosxsinfgg
' ∆⋅+∆⋅+−=ρρ
00002
Rozwijanie funkcji nieliniowej w szereg Taylora 31
Funkcja w postaci liniowej f2’ dla ( )πρ :, gg 200=== J�
J� ���������\��������������[ :
8312540002457001551502 .y.x.f ' −∆⋅+∆⋅=
:DUWR�ü�IXQNFML�f2’ dla JJ ���\����[ =∆=∆ :
829211083125402000245701001551502 ......f ' −=−⋅+⋅=
:DUWR�ü�IXQNFML�f1 dla gg .. 200010100010 =∆+==∆+= \��\\�����[��[[ ��
( ) ( ) 82920602101102 ..cos.sinf gg −=−=
5y*QLFD� 622 1050000050 −⋅==− .ff '
Funkcja 3. Dane:
x
yarctgf =3
( )���\����[�����\���������[ �� =∆=∆==
5R]ZLQLFLH�IXQNFML� ( ) y
y
fx
x
fy,xff gg' ∆⋅
⋅
∂∂
+∆⋅
⋅∂∂
+= ρρ 330033
yyx
xx
yx
y
x
yarctgf gg' ∆⋅
⋅
++∆⋅
⋅
+−= ρρ
20
20
0
20
20
0
0
03
Funkcja w postaci liniowej f3’ dla ( )πρ :, gg 200=== ����\���������[ �� :
ggg' .y.x.f 00005018313183133 +∆⋅+∆⋅−=
:DUWR�ü�IXQNFML�f3’ dla ���\����[ =∆=∆ :
gggg' ......f 318350000050201831310183133 =+⋅+⋅−=
:DUWR�ü�IXQNFML�f3 dla 210110 .. =∆+==∆+= \��\\�����[��[[ ��
g..
.arctgf 313650
110
2103 ==
5y*QLFD� cc'ff 4733 −=−
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 32
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��N�WRZHJR��PHWRG� SR�UHdQLF]�F� Zadanie: Na stanowisku P SRPLHU]RQR�]� MHGQDNRZ��GRNáDGQR�FL��N�W\���–����6WRVXM�F�PHWRG� SR�UHGQLF]�F��QDOH*\�REOLF]\ü�Z\UyZQDQH�ZDUWR�FL�SRPLDUyZ�RUD]�ZVSyáU]d-nych x, y punktu P,�D�WDN*H�SU]HSURZaG]Lü�DQDOL]�GRNáDGQR�FL�SR�Z\UyZQaniu.
Dane:
3RPLHU]RQH�N�W\ .�W o / //
1 2 3
62 48 72
39 35 28
137 430 289
:VSyáU]GQH�SXQNWyZ�VWDá\FK Pkt x y 1 2 3 4
7108.75 5953.34 5282.99 5453.62
-3034.50 -2142.62 -3148.85 -4528.10
2EOLF]RQH�ZVSyáU]GQH�SU]\EOL*RQH�punktu P xPo = 6307.48 yPo = -3708.87 52=:,�=$1,(
1) Równania obserwacyjne
P3
P3
P4
P4P34P33
P2
P2
P3
P3P23P22
P1
P1
P2
P2P12P11
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
β
β
β
���5R]ZLQLFLH�Z�V]HUHJ�7D\ORUD
P
P
P3
P
P4P
P
P3
P
P4P34P33
P
P
P2
P
P3P
P
P2
P
P3P23P22
P
P
P1
P
P2P
P
P1
P
P2P12P11
yy
A
y
Ax
x
A
x
AAAv
yy
A
y
Ax
x
A
x
AAAv
yy
A
y
Ax
x
A
x
AAAv
oo
oo
oo
∆⋅
∂∂
−∂∂
+∆⋅
∂∂
−∂∂
+−=+
∆⋅
∂∂
−∂∂
+∆⋅
∂∂
−∂∂
+−=+
∆⋅
∂∂
−∂∂
+∆⋅
∂∂
−∂∂
+−=+
β
β
β
P (xP=?, yP=?)
3
2
1
1
2
3
4
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 33
3) :VSyáF]\QQLNL�NLHUXQNRZH (poFKRGQH�F]�VWNRZH�
),,,i(
;d
xx
y
Ab;
d
yy
x
Aa
iP
PiiP
Pi
iP
PiiP
iP
4321
5206262
P2
P
=
′′=′′′′⋅−
−=′′⋅∂
∂=′′⋅
−=′′⋅
∂
∂= ρρρρρ
Przyrosty :VSyáF]��NLHUXQNRZH Kierunek
P-i 0Pi xx −
0Pi yy −
.ZDGUDW�GáXJR�FL 2
0iPd iPa iPb
P-1 P-2 P-3 P-4
801.27 –354.14
–1024.49 –853.86
674.37 1566.25 560.02
–819.23
1096808.51 2578554.20 1363202.16 1400214.69
126.822 125.288
84.736 –120.680
–150.686 28.329
155.015 125.782
4) :VSyáF]\QQLNL�SU]\�QLHZLDGRP\FK�Z�UyZQDQLDFK�EáGyZ a1 = aP2 – aP1 = -1.534 b1 = bP2 – bP1 = 179.015
a2 = aP3 – aP2 = -40.552 b2 = bP3 – bP2 = 126.686
a3 = aP4 – aP3 = -205.416 b3 = bP4 – bP3 = -29.233
���:\UD]\�ZROQH�UyZQD��EáGyZ $]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�przybli*RQych
25184223180251844386853
23819
115021511809449328491024
02560
62644102180433517714354
251566
5055040505504027801
37674
P4oP4o
P4
P4
P4o
P3oP3o
P3
P3
P3o
P2oP2o
P2
P2
P2o
P1oP1
P1
P1
P1o
0
0
0
0
0
0
0
0
′′′=+=′′′=−−
=−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′==′′′==−
−=
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
o
$$$
$$$
$$$
$$
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
Wyrazy wolne
//
oo
//
oo
//
oo
.AAl
.AAl
.AAl
27
55
47
3P34P3
2P23P2
1P12P1
=−−=
=−−=
=−−=
β
β
β
6) RyZQDQLD�EáGyZ 7��1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLowych
v1 = -1.534.∆xP + 179.015.∆yP + 7.4
v2 = -40.552.∆xP + 126.686.∆yP + 5.5
v3 = -205.416.∆xP – 29.233.∆yP + 7.2
-1.534.∆xP + 179.015.∆yP + 7.4 = 0
-40.552.∆xP + 126.686.∆yP + 5.5 = 0
-205.416.∆xP – 29.233.∆yP + 7.2 = 0
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 34
8) Zapis macierzowy LXA =⋅
−−−
=
∆∆
⋅
−−−
−
27
55
47
23329416205
68612655240
0151795341
.
.
.
y
x
..
..
..
P
P
���8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK� AT.A.X = AT.L
−
=
∆∆
⋅
0061811
3831713
28148950946592
94659255143842
.
.
y
x
..
..
P
P
����5R]NáDG�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�AT.A�QD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH
RRAA ⋅=⋅ TT
⋅
=
22
1211
2212
11
0
0
28148950946592
94659255143842
R
RR
RR
R
..
..;
=
2292210
8322386209
.
..R
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
=
⋅
10
01
2292210
8322386209
0 22
1211
.
..
R
RR'
''
;
⋅−=
−−
00452000
1011360047760 51
.
..R
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.A)-1
( ) =⋅=⋅ −− T11 RRAA ���� ��7
⋅⋅−⋅−⋅
=
⋅−
⋅
⋅−=
−−
−−
−
−
57
75
5
5
100432107632
107632102812
0045200101136
00047760
00452000
1011360047760
..
..
..
.
.
..
13) Wektor niewiadomych X
−
≅
−
⋅
⋅⋅−⋅−⋅
=⋅⋅⋅=−−
−−
0370
0400
0061811
3831713
100432107632
10763210281257
75
.
.
.
.
..
..)( LAA)(AX T1-T
14) Wyrównane niewiadome��ZVSyáU]dne punktu P)
907370803708703708
52063070404806307
0
0
...yyy
...xxx
PPP
PPP
−=−−=∆+==+=∆+= �
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 35
15) Wektor poprawek LXAV −⋅=
′′′′−
′′
=
−−−
−
−
⋅
−−−
−=
20
90
60
27
55
47
0370
0400
23329416205
68612655240
051795341
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
...
V
16) Obserwacje wyrównane
17) Kontrola ogólna
151151
7013585136151
..
...
=−=
⋅⋅−⋅=⋅ XALLLVV TTT
18) Kontrola generalna $]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�Zyrównanych
44184223180441844390853
19819
312021511807479328531024
06560
53044102180529517718354
291566
6165040616504023801
41674
P4P4
P4
P4P4
P3P3
P3
P3P3
P2P2
P2
P2P2
P1P1
P1
P1P1
′′′=+=′′′=−−
=−−
=
′′′=−=′′′=−
=−−
=
′′′=−=′′′=−
=−−
=
′′′==′′′==−−
=
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
$$$
$$$
$$$
$$
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
/HZD�VWURQD�UyZQD� 3UDZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK obserwacyjnych
129827229288272
142534890435348
3149326713932
33
22
11
′′′=′′+′′′=+
′′′=′′−′′′=+
′′′=′′+′′′=+
...v
...v
...v
$$
$$
$$
��
���
βββ
1298272
1425348
314932
33
22
11
′′′=+
′′′=+
′′′=+
.v
.v
.v
$
$
$
βββ �
12982723120215144184223
84153485304410231202151
9139362616504053044102
P34P
P23P
P12P
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
...AA
...AA
...AA
$$$
$$$
$$$
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 36
19��2FHQD�GRNáDdQR�FL
a) Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML
111
1.15 ′′±≈±=−⋅
±= .kn
mVV T
b) báG\��UHGQLH�QLHZLDGRP\FK��ZVSyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQ\FK�
Macierz kowariancyjna
⋅⋅−⋅−⋅=⋅= −−
−−
57
75
100432107632
107632102812
..
..���� ��7 AAQ
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
m.Qmm
m.Qmm
yyy
xxx
0050
0050
±=⋅±=
±=⋅±=
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��NierunkRZHJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 37
�,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF] (kierunkowego��PHWRG� SR�UHGQi-
F]�F� Zadanie: Na stanowisku P SRPLHU]RQR�]�MHGQDNRZ��GRNáDGQR�FL��NLHUXQNL���– 4. Stosu-M�F�PHWRG� SR�UHGQLF]�F�� QDOH*\� REOLF]\ü�Z\UyZQDQH�ZDUWR�FL� SRPLDUyZ� RUD]�ZVSyá�U]GQ\FK�x, y punktu P,�D�WDN*H�SU]HSURZDG]Lü�DQDOL]�GRNáDGQR�FL�SR�Z\Uywnaniu.
Dane:
Pomierzone kierunki Nr o / //
1 2 3 4
94 263 325 26
00 31 18 11
132 082 492
117
:VSyáU]GQH�SXQNWyZ�VWDá\FK Pkt x y 1 2 3 4
3301.17 397.93 858.74
2051.78
-4408.82 -3582.04 -4936.63 -5347.76
2EOLF]RQH�ZVSyáU]GQH�przyblL*RQH�punktu P xPo = 1803.30 yPo = -4126.20 52=:,�=$1,(
1) Równania obserwacyjne
zxx
yyarctgzAvK
zxx
yyarctgzAvK
zxx
yyarctgzAvK
zxx
yyarctgzAvK
−−−
=−=+
−−−
=−=+
−−−
=−=+
−−−
=−=+
P4
P44P44
P3
P33P33
P2
P22P22
P1
P11P11
P (xP=?, yP=?)
3
2
1
1
2
3
4
4
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��NierunkoweJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 38
���5R]ZLQLFLH�Z�V]HUHJ�7D\ORUD
zyy
Ax
x
AzAvK
zyy
Ax
x
AzAvK
zyy
Ax
x
AzAvK
zyy
Ax
x
AzAvK
oo
oo
oo
oo
∆−∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆−∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆−∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆−∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
P
P
P4P
P
P44P44
P
P
P3P
P
P33P33
P
P
P2P
P
P22P22
P
P
P1P
P
P11P11
3) :VSyáF]\QQLNL�NLHUXQNRZH��SRFKRGQH�F]�VWNRZH�
),,,i(;d
xx
y
Ab;
d
yy
x
Aa
iP
PiiP
i
iP
PiiP
i 43215206262
P2
P
=′′=′′′′⋅−−=′′⋅∂∂
=′′⋅−=′′⋅∂∂
= ρρρρρ
Przyrosty :VSyáF]��NLHUXQNRZH Kierunek
P-i 0Pi xx −
0Pi yy −
'áXJR�ü
0iPd ia ib
P-1 P-2 P-3 P-4
1497.87 -1405.37
-944.56
248.48
-282.62 544.16
-810.43
-1221.56
1524.299 1507.042
1244.584
1246.576
-25.09 49.42
-107.92
-162.14
-132.97 127.63
125.78
-32.98 ���$]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�SU]\EOL*RQ\FK
05292281360008037848248
561221
24673220180246734056944
43810
900051581801599021371405
16544
953813493601061410871497
62282
P4oP4o
P4
P4
P4o
P3oP3o
P3
P3
P3o
P2oP2o
P2
P2
P2o
P1oP1
P1
P1
P1o
0
0
0
0
0
0
0
0
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′=+=′′′=−−
=−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
o
$$$
$$$
$$$
$$
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
5) Tabela orientacji stanowiska
Kierunek
K
Azymut przybl.
0A
6WDáD�RULHntac.
KAz / −= 00
Kier. przyEOL*� 000 zAK −=
Wyraz wolny
KK −= 0l Stan. Nr
kier. ° ′ ″ ° ′ ″ ° ′ ″ ° ′ ″ ″
P
1 2 3 4
94 00 13.2 263 31 08.2 325 18 49.2 26 11 11.7
349 18 53.9 158 50 00.9 220 37 46.2 281 29 52.0
255 18 40.7 255 18 52.7 255 18 57.0 255 18 40.3
94 00 06.2 263 31 13.2 325 18 58.5 26 11 04.3
-7.0 5.0 9.3 -7.4
�UHGQLD zo = 255 18 47.7
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��NierunkRZHJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 39
6) RyZQDQLD�EáGyZ 7��1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLowych
v1 = -25.09.∆xP – 132.97.∆yP – ∆z – 7.0
v2 = 49.42.∆xP + 127.63.∆yP – ∆z + 5.0
v3 = -107.92.∆xP + 125.78.∆yP – ∆z + 9.3
v4 = -162.14.∆xP – 32.98.∆yP – ∆z – 7.4
-25.09.∆xP – 132.97.∆yP – ∆z – 7.0 = 0
49.42.∆xP + 127.63.∆yP – ∆z + 5.0 = 0
-107.92.∆xP + 125.78.∆yP – ∆z + 9.3 = 0
-162.14.∆xP – 32.98.∆yP – ∆z – 7.4 = 0
8) Zapis macierzowy LXA =⋅
−−
=
∆∆∆
⋅
−−−−
−−−
−−
47
39
5
7
1
1
1
1
983214162
7812592107
631274249
971320925
.
.zyx
..
..
..
..
P
P
���8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK� AT.A.X = AT.L
−−
−=
∆∆∆
⋅
−−
100
752982
91618
004468773245
46877350878891416
7324589149541007
.
.
.
zyx
...
...
...
P
P
����5R]NáDG�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�AT.A�QD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH
RRAA ⋅=⋅ TT
⋅
=
−−
33
2322
131211
332313
2212
11
00
00
00
004468773245
46877350878891416
7324589149541007
R
RR
RRR
RRR
RR
R
...
...
...
;
−=
532100
4256042250
213199765202
.
..
...
R
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
=
−⋅
100
010
001
532100
4256042250
213199765202
00
0
33
2322
131211
.
..
...
'R
'R'R
'R'R'R
;
−−=−
6528000
001232000443500
00395400001532000493801
.
..
...
R
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��NierunkoweJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 40
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.A)-1
( ) =⋅=⋅ −− T11 RRAA ���� ��7
−⋅⋅−
−⋅−⋅=
=
−−⋅
−−=
−−
−−
42610000804500025820
00080450101192105535
0025820105535100054
6528000123200039540
0004435000015320
000049380
6528000
001232000443500
0039540000153200049380
56
65
...
...
...
...
..
.
.
..
...
13) Wektor niewiadomych X
−−−
≅
−−
−⋅
−⋅⋅−
−⋅−⋅=⋅⋅⋅=
−−
−−
80
0600
0080
100
752982
91618
42610000804500025820
00080450101192105535
002582010553510005456
65
.
.
.
.
.
.
...
...
...
)( LAA)(AX T-1T
14) Wyrównane niewiadome
15) Wektor poprawek LXAV −⋅=
′′−
′′′′−
′′
=
−−
−
−−−
⋅
−−−−
−−−
−−
=
33
53
22
02
47
39
5
7
80
0600
0080
1
1
1
1
983214162
7812592107
631274249
971320925
.
.
.
.
.
..
.
.
..
..
..
..
V
16) Obserwacje wyrównane
4081126337111126
752813255324981325
006132632220813263
2150094022130094
44
33
22
11
′′′=′′−′′′=+
′′′=′′+′′′=+
′′′=′′−′′′=+
′′′=′′+′′′=+
...vK
...vK
...vK
...vK
$$
$$
$$
$$
17) Kontrola ogólna
71317131
54183252157131
..
...
=−=
⋅⋅−⋅=⋅ XALLLVV TTT
946812558074781255
260412606002004126
29218030083001803
0
0
0
′′′=′′−′′′=∆+=
−=−−=∆+==−=∆+=
...zzz
...yyy
...xxx
PPP
PPP
$$
�
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��NierunkRZHJR��PHWRG��SR�UHdQLF]�F� 41
18) Kontrola generalna $]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�Z\Uywnanych
655922813604040378
839732201808397340
752941581803070121
102913493609570410
P4P4
P4
P4P4
P3P3
P3
P3P3
P2P2
P2
P2P2
P1P1
P1
P1P1
′′′=−=′′′=−−
=
′′′=+=′′′=−−
=
′′′=−=′′′=−−
=
′′′=−=′′′=−−
=
.A;.xx
yyarctg
.A;.xx
yyarctg
.A;.xx
yyarctg
.A;.xx
yyarctg
$$$
$$$
$$$
$$
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
/HZD�VWURQD�UyZQD� Prawa stroQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK obserwacyjnych
19��2FHQD�GRNáDGQo�FL
D��Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML
651
31.71 ′′′±≈±=−⋅
±= .kn
mVV T
E��EáG\��UHGQLH�QLHZLDGRP\FK��ZVSyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQych)
Macierz kowariancyjna
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
m.Qmm
m.Qmm
yyy
xxx
0260
0360
±=⋅±=
±=⋅±=
−⋅⋅−
−⋅−⋅=⋅= −−
−−
42610000804500025820
00080450101192105535
002582010553510005456
65
...
...
...
���� ��7 AAQ
4081126
75281325
00613263
2150094
44
33
22
11
′′′=+
′′′=+
′′′=+
′′′=+
.vK
.vK
.vK
.vK
$
$
$
$
70811269468125565592281
952813259468125583973220
805132639468125575294158
21500949468125510291349
4P
3P
2P
1P
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
...zA
...zA
...zA
...zA
$$$
$$$
$$$
$$$
Wyrównanie ... SRSU]H]�HOLPLQDFM�QLHZLDGomej orientacyjnej 42
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�ZFLFLD�ZVWHF]��NLHUXQNRZHJR��PHWRG�� SR�UHGQLF]�F��SRSU]H]�HOLPLQDFM�QLHZLDGomej orientacyjnej Zadanie: Na stanowisku P SRPLHU]RQR�]�MHGQDNRZ��GRNáDGQR�FL��NLHUXQNL���– 4. Stosu-M�F�PHWRG� SR�UHGQLF]�F�� QDOH*\� REOLF]\ü�Z\UyZQDQH�ZDUWR�FL� NLHUXQNyZ�RUD]�ZVSyá�U]GQ\FK�x, y punktu P,�D�WDN*H�SU]HSURZDG]Lü�DQDOL]�GRNáDGQR�FL�SR�Z\UyZQDQLX��=a-VWRVRZDü�VSRVyE�HOLPLQDFML�VWDáHM�RULHQWDFML�VWanowiska.
Dane:
Pomierzone kierunki Nr o / //
1 2 3 4
94 263 325 26
00 31 18 11
132 082 492
117
:VSyáU]GQH�SXQNWyZ�VWDá\FK Pkt x y 1 2 3 4
3301.17 397.93 858.74
2051.78
-4408.82 -3582.04 -4936.63 -5347.76
Obliczone wVSyáU]GQH�SU]\EOL*RQH�punktu P xPo = 1803.30 yPo = -4126.20 52=:,�=$1,(
1) Równania obserwacyjne
zxx
yyarctgzAvK
zxx
yyarctgzAvK
zxx
yyarctgzAvK
zxx
yyarctgzAvK
−−−
=−=+
−−−
=−=+
−−−
=−=+
−−−
=−=+
P4
P44P44
P3
P33P33
P2
P22P22
P1
P11P11
P (xP=?, yP=?)
3
2
1
1
2
3
4
4
Wyrównanie ... poprzez elLPLQDFM�QLHZLDGomej orientacyjnej 43
���5R]ZLQLFLH�Z�V]HUHJ�7D\ORUD
zyy
Ax
x
AzAvK
zyy
Ax
x
AzAvK
zyy
Ax
x
AzAvK
zyy
Ax
x
AzAvK
oo
oo
oo
oo
∆−∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆−∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆−∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆−∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
P
P
P4P
P
P44P44
P
P
P3P
P
P33P33
P
P
P2P
P
P22P22
P
P
P1P
P
P11P11
3) :VSyáF]\QQLNL�NLHUXQNRZH��SRFKRGQH�F]�VWNRZH�
),,,i(;d
xx
y
Ab;
d
yy
x
Aa
iP
PiiP
i
iP
PiiP
i 43215206262
P2
P
=′′=′′′′⋅−−=′′⋅∂∂
=′′⋅−=′′⋅∂∂
= ρρρρρ
Przyrosty :VSyáF]��NLHUXQNRZH Kierunek
P-i 0Pi xx −
0Pi yy −
'áXJR�ü
0iPd ia ib
P-1 P-2 P-3 P-4
1497.87 -1405.37
-944.56
248.48
-282.62 544.16
-810.43
-1221.56
1524.299 1507.042
1244.584
1246.576
-25.09 49.42
-107.92
-162.14
-132.97 127.63
125.78
-32.98 ���$]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�SU]\EOL*RQ\FK
05292281360008037848248
561221
24673220180246734056944
43810
900051581801599021371405
16544
953813493601061410871497
62282
P4oP4o
P4
P4
P4o
P3oP3o
P3
P3
P3o
P2oP2o
P2
P2
P2o
P1oP1
P1
P1
P1o
0
0
0
0
0
0
0
0
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′=+=′′′=−−
=−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
o
$$$
$$$
$$$
$$
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
5) Tabela orientacji stanowiska
Kierunek
K
Azymut przybl.
0A
6WDáD�RULHntac.
KAz i −= 00
Kier. przyEOL*� 000 zAK −=
Wyraz wolny
KK −= 0l Stan. Nr
kier. ° ′ ″ ° ′ ″ ° ′ ″ ° ′ ″ ″
P
1 2 3 4
94 00 13.2 263 31 08.2 325 18 49.2 26 11 11.7
349 18 53.9 158 50 00.9 220 37 46.2 281 29 52.0
255 18 40.7 255 18 52.7 255 18 57.0 255 18 40.3
94 00 06.2 263 31 13.2 325 18 58.5 26 11 04.3
-7.0 5.0 9.3 -7.4
�UHGQLD zo = 255 18 47.7
Wyrównanie ... SRSU]H]�HOLPLQDFM�QLHZLDGomej orientacyjnej 44
6) RóZQDQLD�EáGyZ
v1 = -25.09.∆xP – 132.97.∆yP – ∆z – 7.0
v2 = 49.42.∆xP + 127.63.∆yP – ∆z + 5.0
v3 = -107.92.∆xP + 125.78.∆yP – ∆z + 9.3
v4 = -162.14.∆xP – 32.98.∆yP – ∆z – 7.4
���:VSyáF]\QQLNL�]UHGXNRZDQHJR�XNáDGX�UyZQD��EáGyZ
[ ] [ ] [ ]n
llL;
n
bbB;
n
aaA iiiiii −=−=−=
[ ] [ ] [ ] 410468773245 =−==−= n;.l;.b;.a
Kier. Ai Bi Li
1
2
3
4
36.34
110.85
-46.48
-100.71
-154.84
105.77
103.61
-54.85
-7.0
5.0
9.3
-7.4
���=UHGXNRZDQ\�XNáDG�UyZQD��EáGyZ
vi = Ai.∆xP + Bi
.∆yP + Li 9��1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK
v1 = 36.34.∆xP – 154.84.∆yP – 7.0
v2 = 110.85.∆xP + 105.77.∆yP + 5.0
v3 = -46.48.∆xP + 103.61.∆yP + 9.3
v4 = -100.71.∆xP – 54.85.∆yP – 7.4
36.34.∆xP – 154.84.∆yP – 7.0 = 0
110.85.∆xP + 105.77.∆yP + 5.0 = 0
-46.48.∆xP + 103.61.∆yP + 9.3 = 0
-100.71.∆xP – 54.85.∆yP – 7.4 = 0
10) Zapis macierzowy LXA =⋅
−−
=
∆∆
⋅
−−−
−
47
39
5
7
855471100
911034846
7710585110
841543436
.
.y
x
..
..
..
..
P
P
����8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK� AT.A.X = AT.L
−−
=
∆∆
⋅
982984
86612
5348968936791
9367912125911
.
.
y
x
..
..
P
P
Wyrównanie ... poprzez elLPLQDFM�QLHZLDGomej orientacyjnej 45
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.A)-1
RRAA ⋅=⋅ TT
⋅
=
22
1211
2212
11
0
0
5348968936791
9367912125911
R
RR
RR
R
..
..;
=
232170
194297160
.
..R
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
=
⋅
10
01
232170
194297160
0 22
1211
.
..
R
RR'
''
;
−=−
00460300
001207000621201
.
..R
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.A)-1
( ) =⋅=⋅ −− T11 RRAA ���� ��7
⋅⋅−⋅−⋅
=
−
⋅
−=
−−
−−
56
65
101192105545
105545100054
00460300012070
00062120
00460300
00120700062120
..
..
..
.
.
..
15) Wektor niewiadomych X
−−
≅
−
−⋅
⋅⋅−⋅−⋅
=⋅⋅⋅=−−
−−
0600
0080
988429
86612
101192105545
10554510005456
65
.
.
..
.
..
..)( LAA)(AX T1-T
16) Przyrost niewiadomej orientacyjnej
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 80000600862100804361 ′′−=+−⋅+−⋅−=+∆⋅+∆⋅=∆ ......n
ly
n
bx
n
az PP
17) Wyrównane niewiadome
18) Wektor poprawek LXAV −⋅=
′′−
′′′′−
′′
=
−−
−
−−
⋅
−−−
−
=
33
53
22
02
47
39
5
7
0600
0080
855471100
911034846
7710585110
841543436
.
.
.
.
.
..
.
..
..
..
..
V
946812558074781255
26041260600204126
2921803008301803
0
0
0
′′′=′′−′′′=∆+=
−=−−=∆+==−=∆+=
...zzz
...yyy
...xxx
PPP
PPP
$$
�
Wyrównanie ... SRSU]H]�HOLPLQDFM�QLHZLDGomej orientacyjnej 46
19) Obserwacje wyrównane
4081126337111126
752813255324981325
006132632220813263
2150094022130094
44
33
22
11
′′′=′′−′′′=+
′′′=′′+′′′=+
′′′=′′−′′′=+
′′′=′′+′′′=+
...vK
...vK
...vK
...vK
$$
$$
$$
$$
20) Kontrola ogólna 21) Kontrola generalna $]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�Z\Uywnanych
655922813604040378
839732201808397340
752941581803070121
102913493609570410
P4P4
P4
P4P4
P3P3
P3
P3P3
P2P2
P2
P2P2
P1P1
P1
P1P1
′′′=−=′′′=−−
=
′′′=+=′′′=−−
=
′′′=−=′′′=−−
=
′′′=−=′′′=−−
=
.A;.xx
yyarctg
.A;.xx
yyarctg
.A;.xx
yyarctg
.A;.xx
yyarctg
$$$
$$$
$$$
$$
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
/HZD�VWURQD�UyZQD� 3UDZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK
obserwacyjnych
70811269468125565592281
952813259468125583973220
805132639468125575294158
21500949468125510291349
4P
3P
2P
1P
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
...zA
...zA
...zA
...zA
$$$
$$$
$$$
$$$
22��2FHQD�GRNáDGQR�FL
a) Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML
b) EáG\��UHGQLH�QLHZLDGRP\FK��ZVSyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQ\FK�
Macierz kowariancyjna
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
m.Qmm
m.Qmm
yyy
xxx
0260
0360
±=⋅±=
±=⋅±=
⋅⋅−⋅−⋅
=⋅=−−
−−
56
65
10119210555
10555100054
..
..���� ��7 AAQ
4081126
75281325
00613263
2150094
44
33
22
11
′′′=+
′′′=+
′′′=+
′′′=+
.vK
.vK
.vK
.vK
$
$
$
$
71317131
54183252157131
..
...
=−=
⋅⋅−⋅=⋅ XALLLVV TTT
651
31.71 ′′′±≈±=−⋅
±= .kn
mVV T
%á�G�SRáR*HQLD�SXQNWX��HOLSVD�EáGX��UHGQLHJR 47
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: %á�G�SRáR*HQLD�SXQNWX��HOLSVD�EáGX��UHGQLHJR Zadanie��1D�SRGVWDZLH�GDQ\FK�]�üZLF]HQLD�Ä:\UyZQDQLH�NLHUXQNRZHJR�ZFLFLD�ZVWHF]” QDOH*\� REOLF]\ü� EáG\� �UHGQLH� ZVSyáU]GQ\FK� SXQNWX� Z\]QDF]DQHJR�� Eá�G� SRáR*HQLD�SXQNWX�RUD]�SDUDPHWU\�HOLSV\�EáGX��UHGQLHJR��:\QLNL� SURV]� SU]HGVWDZLü� UyZQLH*� So-staci rysunku w odpowiedniej skali.
Dane:
%á�G��UHGQL�REVHUZDFML:
Macierz kowariancyjna:
:\UyZQDQH�ZVSyáU]GQH: xp = 1803.292; yp = - 4126.260 Obliczenia: 1) %áG\��UHGQLH�ZVSyáU]GQ\FK
2) %á�G�SRáR*HQLD�SXQNWX 3) .�W�VNUFHQLD�HOLSV\
( ) 58897101086601
101108122
5
5
..
.
Qtg
yyxx
xy −=⋅⋅−
=−
=−
−
α
ϕ = 30°29′49″
2α = 360° - ϕ = 329°30′11″
α = 164°45′06″
m.Qmm
m.Qmm
yyy
xxx
0260
0360
±=⋅±=
±=⋅±=
⋅⋅−⋅−⋅
=⋅=−−
−−
56
65
10119210555
10555100054
..
..���� ��7 AAQ
65 ′′′±=−⋅
±= .kn
mVV T
m.mmm yxP 044022 ±=+±=
%á�G�SRáR*HQLD�SXQNWX��HOLSVD�EáGX��UHGQLHJR 48
���'áX*V]D�SyáR��HOLSV\
m.cossinQsinQcosQma xyyyxx 0360222 ±=⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅±= αααα
���.UyWV]D�SyáR��HOLSV\
m.cossinQsinQcosQmb xyxxyy 0250222 ±=⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅±= αααα
���6]NLF�HOLSV\�L�RNUJX�EáGX��UHGQLHJR
α
a
b
mP
y’
my
P
x
y
mx
x’
Skala 1:1
WyróZQDQLH�ZFLFLD�Z�SU]yG��NLHUXQNRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 49
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�ZFLFLD�Z�SU]yG��NLHUXQNRZHJR��PHWRG�� SR�UHGQLF]�F� Zadanie: Na stanowiskach 1, 2, 3 SRPLHU]RQR�NLHUXQNL�ZFLQDM�FH���–����6WRVXM�F�PHWRG�SR�UHGQLF]�F��QDOH*\�REOLF]\ü�Z\UyZQDQH�ZDUWR�FL�SRPLDUyZ�RUD]�ZVSyáU]GQ\FK�x, y punktu P,�D�WDN*H�SU]HSURZDG]Lü�DQDOL]�GoNáDGQR�FL�SR�Z\UyZQDQLX�
Dane:
Pomierzone kierunki Nr o / //
1 2 3 4 5 6 7
237 297 91 151 219 0 50
42 11 23 02 11 00 02
068 20 33 10 53 00 37
:VSyáU]GQH�SXQNWyZ�VWDá\FK Pkt x y 1 2 3
2051.78 858.74 397.93
-5347.76 -4936.63 -3582.04
2EOLF]RQH�ZVSyáU]GQH�SU]\EOL*RQH�SXQNWX�3 xPo = 1803.30 yPo = -4126.20 52=:,�=$1,(
1) Równania obserwacyjne �GOD�NLHUXQNyZ�ZFLQDM�F\FK�
3
3
333P77
2
2
222P44
1
1
111P11
zxx
yyarctgzAvK
zxx
yyarctgzAvK
zxx
yyarctgzAvK
P
P
P
P
P
P
−−−
=−=+
−−−
=−=+
−−−
=−=+
7 6
5
1
3
4
2
P (xP=?, yP=?)
1
2
3
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�Z�SU]yG��NLHUXQNRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 50
���5R]ZLQLFLH�Z�V]HUHJ�7D\ORUD
( )
( )
( ) P
P
3PP
P
3P33P77
P
P
2PP
P
2P22P44
P
P
1PP
P
1P11P11
yy
Ax
x
AzAvK
yy
Ax
x
AzAvK
yy
Ax
x
AzAvK
o
o
o
∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
���:VSyáF]\QQLNL�NLHUXQNRZH��SRFKRGQH�F]�VWNRZH�
),,i(
;d
xx
y
Ab;
d
yy
x
Aa
Pi
iPPi
i
Pi
iPPi
i
321
5206262
P2
P
=
′′=′′′′⋅−
=′′⋅∂
∂=′′⋅
−−=′′⋅
∂
∂= ρρρρρ
Przyrosty :VSyáF]��NLHUXQNRZH Kierunek
i-P iP xx −
0 iP yy −
0
'áXJR�ü
0Pid ia ib
1-P 2-P 3-P
-248.48 944.56
1405.37
1221.56 810.43
-544.16
1246.58 1244.58
1507.04
-162.14 -107.92
49.24
-32.98 125.77
127.63
4) Azymuty �GOD�NLHUXQNyZ�ZFLQDM�F\FK -�SU]\EOL*RQH)
0.1574288180;5.0895340180
0.1574108180;0.45217181.460
59.1354
5.0895160180;5.51001904.1193
13.411
9.0005338360;1.59902137.1405
16.544
2.467340;2.46734056.944
43.810
0.5292101180;0.08037848.248
56.1221
23322121
2323
23
2323
2121
12
1221
33
3
3
o3
22
2
2
o2
o11
1
1
o1
0
0
0
0
0
0
′′′=+=′′′=+=
′′′=−=′′′=−
=−−
=
′′′=−=′′′=−
=−−
=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′==′′′==−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
$$$$
$$$
$$$
$$$
$$
$$$
AAAA
Aarctgxx
yyarctg
Aarctgxx
yyarctg
Aarctgxx
yyarctg
Aarctgxx
yyarctg
Aarctgxx
yyarctg
oPoP
P
P
p
oPoP
P
P
p
poP
P
P
p
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
���6WDáH�RULHQWDFML�VWDQRZLVN��������
015742880000001574288
7285324902253249351121901574108
5355324933329150895340
54874223021129750895160
6323
2
5232
3212
2211
′′′=′′′−′′′=−=
′′′=⇒
′′′=′′′−′′′=−=
′′′=′′′−′′′=−=
′′′=′′′−′′′=−=
..KAz
.z..KA''z
..KA'z
..KAz
$$$
$$$$
$$$
$$$
WyróZQDQLH�ZFLFLD�Z�SU]yG��NLHUXQNRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 51
6) Wyrazy wolne
0.9
5.7
3.3
7337
4224
1111
′′=−−=
′′=−−=
′′−=−−=
KzAl
KzAl
KzAl
oP
oP
oP
���5yZQDQLD�EáGyZ ���1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK
v1 = -162.14.∆xP – 32.98.∆yP – 3.3
v4 = -107.92.∆xP + 125.78.∆yP + 7.5
v7 = 49.42.∆xP + 127.63.∆yP + 9.0
-162.14.∆xP – 32.98.∆yP – 3.3 = 0
-107.92.∆xP + 125.78.∆yP + 7.5 = 0
49.42.∆xP + 127.63.∆yP + 9.0 =0
9) Zapis macierzowy 10) Macierz wagowa
LXA =⋅
−=
∆∆
⋅
−
−−
0.9
5.7
3.3
63.12742.49
78.12592.107
98.3215.162
P
P
y
x
=
5.000
067.00
005.0
P
����8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK� AT.P.A.X = AT. P.L
−
=
∆∆
⋅
−
−80.1260
38.52
36.1928827.3267
27.326716.22169
P
P
y
x
����5R]NáDG�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�AT.P.A�QD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH
RRAPA ⋅=⋅⋅ TT
⋅
=
−
−
22
1211
2212
11
0
0
36.1928827.3267
27.326716.22169
R
RR
RR
R :�����
−=
14.1370
94.2189.148R
13) OdwURWQR�ü�PDFLHU]\�WUyMN�WQHM��R-1
IRR =⋅− 1
=
−⋅
10
01
14.1370
94.2189.148
0 '22
'12
'11
R
RR :�������
=−
007292.00
001075.0006716.01R
:\UyZQDQLH�ZFLFLD�Z�SU]yG��NLHUXQNRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 52
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.P.A)-1
( ) =⋅=⋅⋅ −− T-1T )( 11 RRAPA
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=
−−
−−
56
65
103175108357
108357106264
00729200010750
00067160
00729200
00107500067160
..
..
..
.
.
..
15) Wektor niewiadomych X
−−
≅
−
⋅
⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅⋅=−−
−−
m.
m.
.
.
..
..)(
0670
0070
801260
3852
103175108357
10835710626456
65
LPAA)P(AX T1-T
16) Wyrównane niewiadome
17) Wektor poprawek LXAV −⋅=
′′′′−
′′
=
−−−
−−=
1.0
1.0
1.0
0.9
5.7
3.3
9.8
6.7
4.3
V
18) Obserwacje wyrównane
137205010732050
90920151100120151
906242371080624237
77
44
11
′′′=′′+′′′=+
′′′=−′′′=+
′′′=′′+′′′=+
..vK
..vK
...vK
$$
$$
$$
19) Kontrola ogólna
01700170
61583632830170
..
...
=−=
⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ XAPLLPLVPV TTT
267.4126067.020.4126
293.1803007.030.1803
0
0
−=−−=∆+==−=∆+=
PPP
PPP
yyy
xxx
WyróZQDQLH�ZFLFLD�Z�SU]yG��NLHUXQNRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 53
20) Kontrola generalna Azymuty obliczone ze wspyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQ\FK
0529433836000801213631405
227544
63873406387340553944
363810
455921011806040378487248
4931221
33
3
3
3
22
2
2
2
11
1
1
1
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′==′′′==−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
.A;..
.arctg
xx
yyarctg
PP
P
P
p
PP
P
P
p
pP
P
P
p
$$$
$$
$$$
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
/HZD�VWURQD�UyZQD� 3UDZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK obserwacyjnych
����2FHQD�GRNáDGQo�FL�
D��Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML
101
0.017 ′′±≈±=−
⋅⋅±= .
kn
Pm0
VV T
E��EáG\��UHGQLH�ZVSyáU]GQ\Fh
Macierz kowariancyjna
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
F��Eá�G�SRáR*HQLD�SXQNWX�3
m.mmm yxP 001022 =+=
m.Qmm
m.Qmm
yyy
xxx
0010
0010
0
0
±=⋅±=
±=⋅±=
⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅=−−
−−
56
65
103175108357
108357106264
..
..���� ��7 APAQ
1372050
90920151
90624237
77
44
11
′′′=+
′′′=+
′′′=+
.vK
.vK
.vK
$
$
$
03720500157428805294338
90920151728532496387340
906242375487422345592101
33P
22P
11P
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
′′′=′′′−′′′=−
...zA
...zA
...zA
$$$
$$$
$$$
Wyrównanie F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR� PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 54
D (xD=?, yD=?)
A
7
5
4 3
2
1
C 6
8
B (xB=?, yB=?)
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR��PHWRG� SR�UHGQiF]�F� Zadanie: Na stanowiskach A, B, C, D SRPLHU]RQR�]�MHGQDNRZ��GRNáDGQR�FL��N�W\���– 8. StosuM�F� PHWRG� SR�UHGQLF]�F�� QDOH*\� REOLF]\ü� Z\UyZQDQH� ZDUWR�FL� SRPLDUyZ� RUD]�ZVSyáU]GQ\FK�x, y punktów B i D. :�UDPDFK�RFHQ\�GRNáDGQR�FL�SURV]�REOLF]\ü�Eá�G��UHGQL� REVHUZDFML�� EáG\� �UHGQLH� ZVSyáU]GQ\FK� Z\UyZQDQ\FK� RUD]� EáG\� SRáR*HQLD�punktów wyznaczanych. Dane: �������3RPLHU]RQH�N�W\
.�W o / //
1 2 3 4 5 6 7 8
81 46 27 54 52 44 29 25
06 18 21 03 16 31 08 13
13 12 45 30 27 21 52 37
���:VSyáU]GQH�SXQNWyZ�VWDá\FK 2EOLF]RQH�ZVSyáU]GQH�SU]\EOL*RQH
xBo = 421.65 yBo = 552.58 xDo = 1852.23 yDo = 133.38
52=:,�=$1,(
1) Równania obserwacyjne
Pkt x y A C
1000.00 1000.00
0.00 1000.00
DB
DB
DA
DADBDA
DC
DC
DB
DBDCDB
CA
CA
CD
CDCACD
CB
CB
CA
CACBCA
A
A
D
DBDBC
A
A
D
DBABD
C
C
B
BACAB
AD
AD
AC
ACADAC
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
−−
−−−
=−=+
88
77
66
55
B
B
B
B44
B
B
B
B33
A
A
A
A22
11
β
β
β
β
β
β
β
β
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 55
���5R]ZLQLFLH�Z�V]ereg Taylora
DD
DB
D
DAD
D
DB
D
DAB
B
DBB
B
DBDBDA
DD
DC
D
DBD
D
DC
D
DBB
B
DBB
B
DBDCDB
DD
CDD
D
CDCACD
BB
CBB
B
CBCBCA
DD
BDD
D
BDB
B
BD
B
BCB
B
BD
B
BCBDBC
DD
BDD
D
BDB
B
BA
B
BDB
B
BA
B
BDBABD
BB
ABB
B
ABACAB
DD
ADD
D
ADADAC
yy
A
y
Ax
x
A
x
Ay
y
Ax
x
AAAv
yy
A
y
Ax
x
A
x
Ay
y
Ax
x
AAAv
yy
Ax
x
AAAv
yy
Ax
x
AAAv
yy
Ax
x
Ay
y
A
y
Ax
x
A
x
AAAv
yy
Ax
x
Ay
y
A
y
Ax
x
A
x
AAAv
yy
Ax
x
AAAv
yy
Ax
x
AAAv
0
0
0
0
0
O
∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂−+∆⋅
∂∂−+−=+
∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+−=+
∆⋅
∂∂
+∆⋅
∂∂
+−=+
∆⋅
∂∂−+∆⋅
∂∂−+−=+
∆⋅
∂∂−+∆⋅
∂∂−+∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂−
∂∂+−=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂−
∂∂+−=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+−=+
∆⋅
∂∂−+∆⋅
∂∂−+−=+
0
0
0
0
0
0
88
77
66
55
44
33
22
11
β
β
β
β
β
β
β
β
3) :VSyáF]\QQLNL�NLHUXQNRZH��SRFKRGQH�F]�VWNRZH�
52062622
′′=′′′′⋅−
−=′′⋅−
=−−
ρρρ ;d
xxb;
d
yya
iSt
Sti
iSt
Sti
Przyrosty :VSyáF]��NLHUXQNRZH Kierunek (St.-Cel)
Sti xx − Sti yy −
'áXJR�ü
iStd − a b
A-D A-B B-A B-D B-C C-B C-D D-C D-B D-A
852,23 -578,35 578,35
1430,58 578,35
-578,35 852,23
-852,23 -1430,58
-852,23
133,38 552,58
-552,58 -419,20 447,42
-447,42 -866,62 866,62 419,20
-133,38
862,60 799,90 799,90
1490,73 731,21 731,21
1215,45 1215,45 1490,73
862,60
36,97 178,14
-178,14 -38,91 172,60
-172,60 -121,00 121,00
38,91 -36,97
-236,24 186,44
-186,44 -132,78 -223,11 223,11
-118,99 118,99 132,78 236,24
4) :VSyáF]\QQLNL�SU]\�QLHZLDGRP\FK�Z�UyZQDQLDFK�EáGyZ
iPPPPLLLLSSSSi lybxaybxaybxav +∆⋅−∆⋅−∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅=
LPSLPS bbb,aaa −=−=
aB bB aD bD
1 0 0 L 36,97 L -236,24 2 P -178,14 P -186,44 0 0 3 S 139,23 S 53,66 P 38,91 P 132,78 4 S 211,51 S -90,33 L -38,91 L -132,78 5 L -172,60 L 223,11 0 0 6 0 0 P 121,00 P 118,99 7 P -38,91 P -132,78 S -82,09 S 13,79 8 L 38,91 L 132,78 S -75,88 S 103,46
Wyrównanie F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR� PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 56
���:\UD]\�ZROQH�UyZQD��EáGyZ $]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�SU]\EOL*RQych
1,4235188180
6,0404163180
2,1313341180
2,1313314360;8,46824523,852
62,866
0000270180
8,3334217180
8,333437;8,33343735,578
42,447
6,0404343360;4,55911658,1430
20,419
3,1981316180
3,1981136180;7,40144335,578
58,552
00009000,0
00,1000
1,42358;1,4235823,852
38,133
0
0
0
0
0
0
′′′=+=
′′′=−=
′′′=−=
′′′=−=′′′=−=−
−=
′′′=+=
′′′=+=
′′′==′′′==−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′=+=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′=→=−−
=
′′′==′′′==−
−=
$$
$$
$$
$$$
$$
$$
$$
$$$
$$
$$$
$
$$
ADoDAo
BDoDBo
CDoDCo
CDoCDo
CD
CD
CDo
ACCA
BCoCBo
BCoBCo
BC
BC
BCo
BDoBDo
BD
BD
BDo
ABoBAo
ABoABo
AB
AB
ABo
AC
AC
ACAC
ADoADo
AD
AD
ADo
AA
AA
AA
Aarctgxx
yyarctg
AA
AA
Aarctgxx
yyarctg
Aarctgxx
yyarctg
AA
Aarctgxx
yyarctg
Aarctgxx
yyarctg
Aarctgxx
yyarctg
O
0
0
O
O
O
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
Wyrazy wolne
//
DBDA
//DCDB
//CACD
//
CBCA
//
BDBC
//
BABD
//
ACAB
//
ADAC
,AAl
,AAl
,AAl
,AAl
,AAl
,AAl
,AAl
,AAl
0
0
0
0
0
O
60
60
87
80
80
30
37
94
88
77
66
55
44
33
22
11
0
0
0
0
0
0
=−−=
−=−−=
−=−−=
−=−−=
−=−−=
=−−=
=−−=
=−−=
β
β
β
β
β
β
β
β
6) RyZQDQLD�EáGyZ
v1 = 0 .∆xB +0 .∆yB +36,97 .∆xD -236,24 .∆yD +4,9
v2 = -178,14 .∆xB -186,44 .∆yB +0 .∆xD +0 .∆yD +7,3
v3 = 139,23 .∆xB +53,66 .∆yB +38,91 .∆xD +132,78 .∆yD +0,3
v4 = 211,51 .∆xB -90,33 .∆yB -38,91 .∆xD -132,78 .∆yD -0,8
v5 = -172,60 .∆xB +223,11 .∆yB +0 .∆xD +0 .∆yD -0,8
v6 = 0 .∆xB +0 .∆yB +121,00 .∆xD +118,99 .∆yD -7,8
v7 = -38,91 .∆xB -132,78 .∆yB -82,09 .∆xD +13,79 .∆yD -0,6
v8 = 38,91 .∆xB +132,78 .∆yB -75,88 .∆xD +103,46 .∆yD +0,6
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 57
7��1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK
0 .∆xB +0 .∆yB +36,97 .∆xD -236,24 .∆yD +4,9 = 0
-178,14 .∆xB -186,44 .∆yB +0 .∆xD +0 .∆yD +7,3 = 0
139,23 .∆xB +53,66 .∆yB +38,91 .∆xD +132,78 .∆yD +0,3 = 0
211,51 .∆xB -90,33 .∆yB -38,91 .∆xD -132,78 .∆yD -0,8 = 0
-172,60 .∆xB +223,11 .∆yB +0 .∆xD +0 .∆yD -0,8 = 0
0 .∆xB +0 .∆yB +121,00 .∆xD +118,99 .∆yD -7,8 = 0
-38,91 .∆xB -132,78 .∆yB -82,09 .∆xD +13,79 .∆yD -0,6 = 0
38,91 .∆xB +132,78 .∆yB -75,88 .∆xD +103,46 .∆yD +0,6 = 0
8) Zapis macierzowy LXA =⋅
−
−−−
=
∆
∆∆∆
⋅
−−−−
−−−−
−−−
6,0
6,0
8,7
8,0
8,0
3,0
3,7
9,4
46,10388,7578,13291,38
79,1309,8278,13291,38
99,11800,12100
0011,22360,172
78,13291,3833,9051,211
78,13291,3866,5323,139
0044,18614,178
24,23697,3600
D
D
B
B
y
x
yx
���8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK� AT.A.X = AT.L
=
∆
∆∆∆
⋅
−−−
−−−
84,1885
09,716
83,1291
07,1243
50,11612516,701237,3102622,09,61
16,701210,3153285,642602,2571
37,3102685,642618,13084349,6600
22,610902,257149,660022,128675
D
D
B
B
y
x
yx
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.A)-1
⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
6667
6567
6667
7776
10288,910611,110108,210006,3
10611,110235,310181,110094,5
10108,210181,110216,810977,2
10006,310094,510977,210811,7
)( 1-T AA
11) Wektor niewiadomych X
≅
⋅
⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
=⋅⋅⋅=
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
m
m
m
m
014,0
019,0
006,0
011,0
84,1885
09,716
83,1291
07,1243
10288,910611,110108,210006,3
10611,110235,310181,110094,5
10108,210181,110216,810977,2
10006,310094,510977,210811,7
)(
6667
6567
6667
7776
LAA)(AX T-1T
Wyrównanie F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR� PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 58
12) Wyrównane niewiadome��ZVSyáU]GQH�SXQNWyZ�B i D)
13) Wektor poprawek LXAV −⋅=
−−−−
=
−
−−−
−
−
−−
−−
=
8,1
2,3
8,3
4,1
6,1
8,4
2,4
3,2
6,0
6,0
8,7
8,0
8,0
3,0
3,7
9,4
2,1
6,2
0,4
6,0
8,0
5,4
1,3
6,2
V
14) Obserwacje wyrównane
////////
88
////////77
////////66
////////55
////////
44
////////
33
////////
22
////////11
8,3813258,1371325
8,4808292,3520829
2,1731448,3213144
6,2516524,1271652
4,2803546,1300354
8,4921278,4452127
2,1618462,4121846
3,1506813,2130681
°=+°=+
°=−°=+
°=−°=+
°=−°=+
°=−°=+
°=+°=+
°=+°=+
°=+°=+
v
v
v
v
v
v
v
v
β
β
β
β
β
β
β
β
15) Kontrola ogólna
80,7841,78
43,6123,14041,78
≅−=
⋅⋅−⋅=⋅ XALLLVV TTT
///371325°
394,133014,038,133
249,1852019,023,1852
586,552006,058,552
661,421011,065,421
0
0
0
0
=+=∆+==+=∆+=
=+=∆+==+=∆+=
DDD
DDD
BBB
BBB
yyy
xxx
yyy
xxx
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (N�WRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 59
16) Kontrola generalna $]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQ\FK
7,4435188180
0,0604163180
2,1713341180
2,1713314360;8,428245
4,3434217180
4,343437;4,343437
0,0604343360;0,549116
2,1681316180
2,1681136180;8,431443
7,44358;7,44358
′′′=+=
′′′=−=
′′′=−=
′′′=−=′′′=−
−=
′′′=+=
′′′==′′′=−−
=
′′′=−=′′′=−
−=
′′′=+=
′′′=−=′′′=−
−=
′′′==′′′=−
−=
$$
$$
$$
$$$
$$
$$
$$$
$$
$$$
$$
ADDA
BDDB
CDDC
CDoCDo
CD
CD
CD
BCCB
BCoBCo
BC
BCBC
BDoBDo
BD
BD
BD
ABBA
ABoABo
AB
AB
AB
ADoADo
AD
AD
AD
AA
AA
AA
Axx
yyarctg
AA
Axx
yyarctg
Axx
yyarctg
AA
Axx
yyarctg
Axx
yyarctg
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
/HZD�VWURQD�UyZQD� 3UDZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK obserwacyjnych
///
///
///
6
///
///
///
///
///
8,381325
8,480829
2,173144
6,251652
4,280354
8,492127
2,161846
3,150681
°=−
°=−
°=−
°=−
°=−
°=−
°=−
°=−
DBDA
DCDB
CACD
CBCA
BDBC
BABD
ACAB
ADAC
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
///88
///77
///66
///
55
///44
///33
///22
///11
8,381325
8,480829
2,173144
6,251652
4,280354
8,492127
2,161846
3,150681
°=+
°=+
°=+
°=+
°=+
°=+
°=+
°=+
v
v
v
v
v
v
v
v
β
β
β
β
β
β
β
β
Wyrównanie F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR� PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 60
17��2FHQD�GRNáDGQR�FL
D��Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML
4,44
78,41 ′′±≈±=−⋅
±=kn
mVV T
E��EáG\��UHGQLH�QLHZLDGRP\FK��ZVSyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQ\FK�
Macierz kowariancyjna
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
F��Eá�G�SRáR*HQLD�SXQNWyZ�B i D
m.mmm
m.mmm
DDD
BBB
yxP
yxP
0280
0180
22
22
=+=
=+=
mQmm
mQmm
mQmm
mQmm
DD
DD
BB
BB
yyy
xxx
yyy
xxx
013.0
025.0
013.0
012.0
±=⋅±=
±=⋅±=
±=⋅±=
±=⋅±=
⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅=
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
6667
6567
6667
7776
10288,910611,110108,210006,3
10611,110235,310181,110094,5
10108,210181,110216,810977,2
10006,310094,510977,210811,7
)( 1-T AAQ
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (N�WRZHJR��PHWRG��zawarunkowan� 61
D
A
7
5
4 3
2
1
C 6
8
B
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR��PHWRG�� zawarunkowaQ� Zadanie: Na stanowiskach A, B, C, D SRPLHU]RQR�]�MHGQDNRZ��GRNáDGQR�FL��N�W\��÷8. 6WRVXM�F�PHWRG� ]DZDUXQNRZDQ�� QDOH*\� REOLF]\ü�Z\UyZQDQH�ZDUWR�FL� SRPLarów oraz ZDUWR�ü�EáGX��UHGQLHJR�REVHUZDFML� Dane: �������3RPLHU]RQH�N�W\
.�W o / //
1 2 3 4 5 6 7 8
81 46 27 54 52 44 29 25
06 18 21 03 16 31 08 13
13 12 45 30 27 21 52 37
52=:,�=$1,(
1) Liczba warunków
a) liczba ogólna warunków: w = r = 4, (r – liczba obserwacji nadwymiarowych) b) OLF]ED�ZDUXQNyZ�WUyMN�WyZ��Ztr = 3 c) liczba warunków sinusowych: ws = 1
2) Równania warunkowe
:DUXQNL�WUyMN�WyZ� (β1 + v1) + (β2 + v2) + (β3 + v3)+ (β8 + v8) = 180° (β4 + v4) + (β5 + v5) + (β6 + v6)+ (β7 + v7) = 180° (β2 + v2) + (β3 + v3) + (β4 + v4)+ (β5 + v5) = 180°
Warunek sinusowy: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1
88664422
77553311 =+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+
vsinvsinvsinvsinvsinvsinvsinvsin
ββββββββ
���5yZQDQLD�RGFK\áHN��QLHGRRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK�
v1 + v2 + v3 + v8 = ω1
v4 + v5 + v6 + v7 = ω2
v2 + v3 + v4 + v5 = ω3
48877665544332211 ωββββββββ =⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅ vctgvctgvctgvctgvctgvctgvctgvctg
WyrówQDQLH�F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��N�WRZHJR��PHWRG��]DZDUXQNRZDQ� 62
���2GFK\áNL
ω1 = 180° – (β1 + β2 + β3 + β8) = 13″ ω2 = 180° – (β4 + β5 + β6 + β7) = -10″
ω3 = 180° – (β2 + β3 + β4 + β5) = 6″
ω4 = (1 – F0).ρ″ = -0.015″ ≅ 0″,
gdzie: 0000000718642
75310 ,
sinsinsinsinsinsinsinsin
F =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ββββ
ββββ
5) Zapis macierzowy WVA =⋅
−=
⋅
−−−− 0
6
10
13
12327931017177407250932195601570
00011110
01111000
10000111
8
7
6
5
4
3
2
1
v
v
v
vv
v
v
v
........
���8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK�NRUHODW� ( ) WKAA T =⋅⋅
−
=
⋅
−
−
0
6
10
13
5521402518250990
0251422
8250240
990204
4
3
2
1
k
k
k
k
....
.
.
.
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (A. AT)-1
−−−−
−−
=⋅
0739.00409.00052.0039.0
0409.0523.0253.0271.0
0052.0253.0375.0128.0
039.0271.0128.0395.0
)( 1-TAA
8) Wektor korelat K
−
=⋅⋅=
2060
142
613
232
.
.
.
.
W)A(AK 1-T
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (N�WRZHJR��PHWRG��zawarunkowan� 63
9) Wektor poprawek V
−−−−
≅
−
⋅
−
−
−
−
=⋅=⋅⋅⋅=
//
//
//
//
//
//
//
//
8.1
2.3
8.3
3.1
6.1
8.4
2.4
3.2
206.0
14.2
61.3
23.2
123.2001
793.1010
017.1010
774.0110
725.0110
932.1101
956.0101
157.0001
KAW)A(AAV T1-TT
10) Obserwacje wyrównane
////////
88
////////77
////////66
////////
55
////////44
////////33
////////
22
////////11
8,3813258,1371325
8,4808292,3520829
2,1731448,3213144
7,2516523,1271652
4,2803546,1300354
8,4921278,4452127
2,1618462,4121846
3,1506813,2130681
°=+°=+
°=−°=+
°=−°=+
°=−°=+
°=−°=+
°=+°=+
°=+°=+
°=+°=+
v
v
v
v
v
v
v
v
β
β
β
β
β
β
β
β
11) Kontrola ogólna
9.771.78 ≅⋅=⋅ KWVV TT
12) Kontrola generalna
(81°06′15,3″) + (46°18′16,2″) +(27°21′49,8″) + (25°13′38,8″) = 180°00′00,1″ (54°03′28,4″) + (52°16′25,7″) +(44°31′17,2″) + (29°08′48,8″) = 180°00′00,1″ (46°18′16,2″) +(27°21′49,8″) + (54°03′28,4″) + (52°16′25,7″) = 180°00′00,1″
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 00000051
17493662501749367060
8383125217134442830542168146
8488029725615284912273156081,
,,
,sin,sin,sin,sin
,sin,sin,sin,sin ==′′′°⋅′′′°⋅′′′°⋅′′′°′′′°⋅′′′°⋅′′′°⋅′′′°
1���%á�G��UHGQL�REVHUZDFML
444
78,1 ′′±≈±=⋅±= ,r
m VV T
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 64
4
2
D (xD=?, yD=?)
A
5
3
1
C
B (xB=?, yB=?)
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniowego) PHWRG��SR�UHGQiF]�F� Zadanie: W czworoboku geodezyjnym SRPLHU]RQR�]�MHGQDNRZ��GRNáDGQR�FL��GáXJR�FL���–� ��� 6WRVXM�F� PHWRG� SR�UHGQLF]�F�� QDOH*\� REOLF]\ü� Z\UyZQDQH� ZDUWR�FL� SRPLDUyZ�oraz wspóáU]GQ\FK�x, y punktów B i D. :�UDPDFK�RFHQ\�GRNáDGQR�FL�SURV]�REOLF]\ü�Eá�G��UHGQL�REVHrZDFML��EáG\��UHGQLH�ZVSyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQ\FK�RUD]�EáG\�SRáR*HQLD punktów wyznaczanych. Dane: �������3RPLHU]RQH�GáXJR�FL
�:VSyáU]GQH�SXQNWyZ�VWDá\FK 2EOLF]RQH�ZVSyáU]GQH�SU]\EOL*RQH
xBo = 421.65 yBo = 552.58 xDo = 1852.23 yDo = 133.38
52=:,�=$1,(
1) Równania obserwacyjne
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )22
55
22
44
22
33
22
22
22
11
DADADA
CDCDCD
BCBCBC
BDBDBD
ABABAB
yyxxdvd
yyxxdvd
yyxxdvd
yyxxdvd
yyxxdvd
−+−==+
−+−==+
−+−==+
−+−==+
−+−==+
Nr 'áXJR�ü [m] 1 2 3 4 5
799.82 1490.64 731.26 1215.40 862.64
Pkt x y A C
1000.00 1000.00
0.00 1000.00
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (linoZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 65
���5R]ZLQLFLH�Z�V]HUHJ�7D\ORUD
DD
DAD
D
DADA
DD
CDD
D
CDCD
BB
BCB
B
BCBC
DD
BDD
D
BDB
B
BDB
B
BDBD
BB
ABB
B
ABAB
yy
dx
x
ddvd
yy
dx
x
ddvd
yy
dx
x
ddvd
yy
dx
x
dy
y
dx
x
ddvd
yy
dx
x
ddvd
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+=+
0
0
0
0
0
55
44
33
22
11
3��:\UD]\�ZROQH�UyZQD��EáGyZ 'áXJR�FL�SU]\EOL*RQH
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) m,yyxxd
m,yyxxd
m,yyxxd
m,yyxxd
m,yyxxd
00
00
00
DADADA
CDCDCD
BCBCBC
BDBDBD
ABABAB
604862
4531215
214731
7341490
896799
22
22
22
22
22
000
0
000
000
=−+−=
=−+−=
=−+−=
=−+−=
=−+−=
Wyrazy wolne
mddl
mddl
mddl
mddl
mddl
DA
CD
BC
BD
AB
036,0640,862604,862
053,0400,1215453,1215
046,0260,731214,731
094,0640,1490734,1490
076,0820,799896,799
55
44
33
22
11
0
0
0
0
0
−=−=−=
=−=−=
−=−=−=
=−=−=
=−=−=
4) $]\PXW\�SU]\EOL*RQH
1423518818014235823852
38133
21313314360846824523852
62866
8333437833343735578
42447
604043433604559116581430
20419
31981136180740144335578
58552
0
0
0
0
0
0
′′′=+=′′′=−−
=−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′==′′′==−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
′′′=−=′′′=−
=−
−=
,A;,,
,arctg
xx
yyarctg
,A;,,
,arctg
xx
yyarctg
,A;,,
,arctg
xx
yyarctg
,A;,,
,arctg
xx
yyarctg
,A;,,
,arctg
xx
yyarctg
DAoDAo
DA
DA
DAo
CDoCDo
CD
CD
CDo
BCoBCo
BC
BC
BCo
BDoBDo
BD
BD
BDo
ABoABo
AB
AB
ABo
0
O
0
0
O
O
$$$
$$$
$$
$$$
$$$
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 66
5) RyZQDQLD�EáGyZ
ikjkkjkjjkjjki lyAsinxAcosyAsinxAcosv +∆⋅+∆⋅+∆⋅−∆⋅−=
55
44
33
22
11
sincos
sincos
sincos
sincossincos
sincos
lyAxAv
lyAxAv
lyAxAv
lyAxAyAxAv
lyAxAv
DDADDA
DCDDCD
BBCBBC
DBDDBDBBDBBD
BABBAB
+∆⋅−∆⋅−=
+∆⋅+∆⋅=+∆⋅−∆⋅−=
+∆⋅+∆⋅+∆⋅−∆⋅−=+∆⋅+∆⋅=
v1 = -0,723032 .∆xB +0,690815 .∆yB +0 .∆xD +0 .∆yD +0,076
v2 = -0,959648 .∆xB +0,281204 .∆yB +0,959648 .∆xD -0,281204 .∆yD +0,094
v3 = -0,790945 .∆xB -0,611887 .∆yB +0 .∆xD +0 .∆yD -0,046
v4 = 0 .∆xB +0 .∆yB +0,701162 .∆xD -0,713002 .∆yD +0,053
v5 = 0 .∆xB +0 .∆yB +0,987973 .∆xD 0,154625 .∆yD -0,036
6��1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK
-0,723032 .∆xB +0,690815 .∆yB +0 .∆xD +0 .∆yD +0,076 = 0
-0,959648 .∆xB +0,281204 .∆yB +0,959648 .∆xD -0,281204 .∆yD +0,094 = 0
-0,790945 .∆xB -0,611887 .∆yB +0 .∆xD +0 .∆yD -0,046 = 0
0 .∆xB +0 .∆yB +0,701162 .∆xD -0,713002 .∆yD +0,053 = 0
0 .∆xB +0 .∆yB +0,987973 .∆xD 0,154625 .∆yD -0,036 = 0
7) Zapis macierzowy LXA =⋅
−
−−
=
∆∆
∆∆
⋅
−−−
−−−
036,0
053,0
046,0
094,0
076,0
154625,0987973,000
713002,0701162,000
00611887,0790945,0
281204,0959648,0281204,0959648,0
00690815,0723032,0
D
D
B
B
y
x
yx
���8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK� AT.A.X = AT.L
−−
=
∆
∆∆∆
⋅
−−−−−−
−−
0699,0
0918,0
1071,0
1088,0
6114,06170,007918,02699,0
6170,03886,22699,09209,0
07908,02699,09307,02853,0
2699,09209,02853,00693,2
D
D
B
B
y
x
yx
:\UyZQDQLH�F]ZRURERNX�JHRGH]\MQHJR��OLQLRZHJR��PHWRG��SR�UHGQiF]�F� 67
���2GZURWQR�ü�PDFierzy normalnej: (AT.A)-1
−−
−−
=⋅
2157,25553,001505,003973,0
5553,06505,007817,02063,0
01505,007817,01351,11198,0
03973,02063,01198,05968,0
)( 1-T AA
10) Wektor niewiadomych X
−
≅
−−
⋅
−−
−−
=
=⋅⋅⋅=
m
m
m
m
098,0
010,0
100,0
030,0
0699,0
0918,0
1071,0
1088,0
2157,25553,001505,003973,0
5553,06505,007817,02063,0
01505,007817,01351,11198,0
03973,02063,01198,05968,0
)( LAA)(AX T-1T
11) Wyrównane niewiadome��ZVSyáU]GQH�SXQNWyZ�B i D)
12) Wektor poprawek LXAV −⋅=
−−−
−
=
−
−−
−
−
−−
=
m
m
m
m
m
011,0
010,0
009,0
019,0
015,0
036,0
053,0
046,0
094,0
076,0
025,0
063,0
037,0
075,0
091,0
V
13) Obserwacje wyrównane
629,862011,064,862
390,1215010,0400,1215
251,731009,0260,731
659,1490019,0640,1490
805,799015,0820,799
55
44
33
22
11
=−=+=−=+
=−=+
=+=+=−=+
vd
vd
vd
vd
vd
14) Kontrola ogólna
000920000890
019910020830000890
,,
,,,
≅−=
⋅⋅−⋅=⋅ XALLLVV TTT
478,133098,038,133
240,1852010,023,1852
480,552100,058,552
680,421030,065,421
0
0
0
0
=+=∆+==+=∆+=
=−=∆+==+=∆+=
DDD
DDD
BBB
BBB
yyy
xxx
yyy
xxx
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniRZHJR��PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 68
15) Kontrola generalna 'áXJR�FL�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�wyrównanych
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) myyxxd
myyxxd
myyxxd
myyxxd
myyxxd
DADADA
CDCDCD
BCBCBC
BDBDBD
ABABAB
629,862478,133240,852
390,1215522,866240,852
251,731520,44732,578
659,1490002,419560,1430
805,799480,55232,578
2222
2222
2222
2222
2222
=−+−=−+−=
=−+=−+−=
=−+−=−+−=
=−+=−+−=
=+−=−+−=
/HZD�VWURQD�UyZQD� Prawa stronD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK obserwacyjnych
16��2FHQD�GRNáDGQR�FL
a) Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML b) EáG\��UHGQLH�QLHZLDGRP\FK��ZVSyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQ\FK�
Macierz kowariancyjna
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
F��Eá�G�SRáR*HQLD�SXQNtów B i D
mmmmmmmmDDDBBB yxPyxP 051.0;039.0 2222 =+==+=
mQmm
mQmm
mQmm
mQmm
DD
DD
BB
BB
yyy
xxx
yyy
xxx
045.02157,2030,0
024.06505,0030,0
032.01351,1030,0
023.05968,0030,0
±=⋅=⋅±=
±=⋅=⋅±=
±=⋅=⋅±=
±=⋅=⋅±=
−−
−−
=⋅=
2157,25553,001505,003973,0
5553,06505,007817,02063,0
01505,007817,01351,11198,0
03973,02063,01198,05968,0
)( 1-T AAQ
md
md
md
md
md
DA
CD
BC
BD
AB
629,862
390,1215
251,731
659,1490
805,799
==
===
mvd
mvd
mvd
mvd
mvd
629,862
390,1215
251,731
659,1490
805,799
55
44
33
22
11
=+=+
=+=+=+
m,kn
m 03001
0.00089 ±≈±=−⋅±= VV T
Wyrównanie czworoboNX�JHRGH]\MQHJR��OLQLRZHJR��PHWRG��]DZDUXQNRZDQ� 69
γ1 γ2
γ3
α1
α2
α3
β1
β2
β3
r1
(1)
r2 (2)
r3 (3)
(5) s1
(4) s2
s3
1
2
3
5
4
6
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniowego) PHWRG��]DZDUXQNRZaQ� Zadanie: W czworoboku geodezyjnym SRPLHU]RQR�]�MHGQDNRZ��GRNáDGQR�FL��GáXJo�FL���– 5.�3RPLDU\�QDOH*\�Z\UyZQDü�PHWRG��]DZDUXQNRZDQ�. :�UDPDFK�RFHQ\�GRNáDGQR�FL�SURV]�REOiF]\ü�Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML� Dane: �������3RPLHU]RQH�GáXJR�FL
'áXJR�ü�ED]\��]H�ZVSyáU]GQ\FK���G6 = 1000.00m 52=:,�=$1,(
1) Liczba warunków
w = r = 1, (r – liczba obserwacji nadwymiarowych)
2) Równanie warunkowe
0321 =−+www
γγγ
gdzie:
( ) ( ) ( )( ) ( )
21
121
21
2
1
2
2
2
1
21
21
22
21
1
2
2
rr
srr
vrvr
vsvrvrarccos
rr
srrarccos
ww
www
w
+⋅+⋅+−+++
=
=⋅⋅−+
=γ
( ) ( ) ( )( ) ( )
32
232
32
2
2
2
3
2
2
32
22
23
22
2
2
2
rr
srr
vrvr
vsvrvrarccos
rr
srrarccos
ww
www
w
+⋅+⋅+−+++
=
=⋅⋅−+
=γ
( ) ( )( ) ( )
31
31
31
23
2
3
2
1
31
23
23
21
3 22 rr
rr
vrvr
svrvrarccos
rr
srrarccos
ww
ww
w +⋅+⋅−+++
=⋅⋅−+
=γ
Nr 'áXJR�ü [m] 1 2 3 4 5
799.82 1490.64 731.26 1215.40 862.64
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniRZHJR��PHWRG��]DZDUXQNRZDQ� 70
3) Doprowadzenie do postaci liniowej
( ) ( ) ( ) 0332211 =+−+++ γγγγγγ ddd
gdzie: 121
1
1
2
1
1
11 srr v
sv
rv
rd ⋅
∂∂+⋅
∂∂+⋅
∂∂= γγγγ
2322
2
3
2
2
22 srr v
sv
rv
rd ⋅
∂∂+⋅
∂∂+⋅
∂∂= γγγγ
313
3
1
33 rr v
rv
rd ⋅
∂∂+⋅
∂∂= γγγ
5yZQDQLH�RGFK\áNL�Z�SRVWDFL�OLQLRZHM:
021321 21321 =+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ωssrrr vBvBvAvAvA
���:DUWR�FL�SU]\EOL*RQH�N�WyZ
g...
...arccosrs
rrsarccos 55682141
827996486226414908279964862
2
222
11
22
21
21
1 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=α
g...
...arccosrs
rrsarccos 3912532
641490401215226731641490401215
2
222
22
23
22
22
2 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=α
g...
...arccosrs
rrsarccos 0748758
2673100100028279926731001000
2
222
33
21
23
23
3 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=α
g...
...arccosrs
rrsarccos 0328328
6414906486228279964149064862
2
222
21
21
22
21
1 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=β
g...
...arccosrs
rrsarccos 54115107
26731401215264149026731401215
2
222
32
22
23
22
2 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=β
g...
...arccosrs
rrsarccos 4550351
8279900100022673182799001000
2
222
13
23
21
23
3 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=β
g...
...arccosrr
srrarccos 4103530
64149082799240121564149082799
2
222
21
21
22
21
1 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=γ
g...
...arccosrr
srrarccos 0676060
26731641490240121526731641490
2
222
32
22
23
22
2 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=γ
g...
...arccosrr
srrarccos 4701190
267318279920010002673182799
2
222
31
23
23
21
3 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+=γ
���3U]\EOL*RQH�ZDUWR�FL�SyO�WUyMN�WyZ
D��WUyMN�W� 121 s,r,r :
21211 6967274051
2
410353064149082799
2m,
.sin..sinrrF
g
=⋅⋅
=⋅⋅
=γ
E��WUyMN�W� 232 s,r,r :
22322 1259882545
2067606026731641490
2m..sin..sinrr
Fg
=⋅⋅=⋅⋅= γ
Wyrównanie czworoboNX�JHRGH]\MQHJR��OLQLRZHJR��PHWRG��]DZDUXQNRZDQ� 71
���:VSyáF]\QQLNL�SU]\�QLHZLDGRP\FK��SRSUDZNDFK�
( ) ( )m
..ctg.ctgm.
ctgctgr
Acc
ccggcc 95413684550351556821418279911
311
1 =⋅−⋅−=⋅−⋅−= ρρβα
( ) ( )m
..ctg.ctgm.
ctgctgr
Acc
ccggcc 042167203283283912532641490
1112
22 −=⋅+⋅−=⋅+⋅−= ρρβα
( ) ( )m
..ctg.ctgm.
ctgctgr
Acc
ccggcc 2637775411510707487582673111
233
3 =⋅+−⋅−=⋅+−⋅−= ρρβα
m.
m.m.
F
sB
cccccc 976500
3934548103264862
2 21
11 =⋅
⋅=⋅
⋅= ρρ
m.
m.m.
F
sB
cccccc 362438
12598825452401215
2 22
22 =⋅
⋅=⋅
⋅= ρρ
7) OGFK\áND�ωω
ccggg .... 478470119006760604103530321 =−+=−+= γγγω
���2VWDWHF]QD�OLQLRZD�SRVWDü�UyZQDQLD�RGFK\áNL
04783624389765002637770421672954136821321
=+⋅+⋅+⋅+⋅−⋅ ccssrrr .v.v.v.v.v.
9) Zapis macierzowy: WVA =⋅
[ ] [ ]47836243897650026377704216729541368
5
4
3
2
1
.
v
v
v
v
v
..... −=
⋅−
����8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK�NRUHODW� ( ) WKAA T =⋅⋅
[ ] [ ] [ ]4780455717036 1 .k. −=⋅
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (A. AT)-1
[ ]7107491 −⋅=⋅ .���� ��7AA
12) Wektor korelat K
[ ]5103711 −⋅−=⋅⋅= .W)A(AK -1T
Wyrównanie czworoboku geodezyjnego (liniRZHJR��PHWRG��]DZDUXQNRZDQ� 72
13) Wektor poprawek V
[ ]
−−−
−
≅⋅−⋅
−
=⋅=⋅⋅⋅= −
m.
m.
m.
m.
m.
.
.
.
.
.
.
0060
0070
0110
0230
0190
103711
362438
976500
263777
0421672
9541368
5KAW)A(AAV T1-TT
14) Obserwacje wyrównane ( )( )( )( )( ) 634862006064862
39312150070401215
249731011026731
66314900230641490
801799019082799
551
442
333
222
111
...vd:s
...vd:s
...vd:r
...vd:r
...vd:r
w
w
w
w
w
=−=+
=−=+
=−=+
=+=+
=−=+
15) Kontrola ogólna
00107500010750 .. ≅
⋅=⋅ KWVV TT
16) Kontrola generalna
.�W\�Z\UyZQDQH� g.
.....arccos
rr
srrarccos
ww
www
w4065330
6631490801799239312156631490801799
2
222
21
21
22
21
1 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+
=γ
g...
...arccosrr
srrarccos
ww
www
w0651360
2497316631490239312152497316631490
2
222
32
22
23
22
2 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+
=γ
g...
...arccosrr
srrarccos
ww
ww
w4722590
2497318017992001000249731801799
2
222
31
23
23
21
3 =⋅⋅
−+=⋅⋅−+
=γ
Równanie warunkowe: ccggg ....
www95472259006513604065330321 −=−+=−+ γγγ
1���%á�G��UHGQL�REVHUZDFML
m.r
m 03301
0.001075 ±≈±=⋅±= VV T
:\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 73
d3 d2 d1
β4
β3 β2
β1
A C
B D 1
2
�,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� Zadanie��:� FL�JX� SROLJRQRZ\P� QDZL�]DQ\P� GZXVWURQQLH� N�WRZR� L� OLQLRZR� QDOH*\� Z\-UyZQDü� �PHWRG�� SR�UHGQLF]�F��� SRPLHU]RQH�ZLHONR�FL� RUD]�ZVSyáU]GQH� SXQNWyZ�Z\-znaczanych. :� UDPDFK� RFHQ\� GRNáDGQR�FL� SURV]� REOLF]\ü� Eá�G� �UHGQL� MHGQRVWNRZ\��EáG\��UHGQLH�ZVSyáU]dQ\FK�Z\UyZQDQ\FK�RUD]�EáG\�SRáR*HQLD�SXQNWyZ� Dane: :VSyáU]GQH�SXQNWyZ�VWDá\FK 3RPLHU]RQH�GáXJR�FL �����������3RPLHU]RQH�N�W\
.�W o / //
1 2 3 4
195 142 179 218
13 10 50 05
18.8 39.4 10.0 40.0
%á�G��UHGQL�SRPLDUX�GáXJR�FL�md = ± 1cm
%á�G��UHGQL�SRPLDUX�NDWD�mβ = ± 10″
52=:,�=$1,(
1)�:VSyáU]GQH�SU]\EOL*RQH�SXQNWyZ�1 i 2
Przyrosty WVSyáU]GQH Nr pkt
.�W�β
° ′ ″ Azymut A
° ′ ″ 'áXJR�ü�d
[m] ∆x ∆y X Y Nr pkt
A 1027.932 1027.521 A 56-23-18.2 -
B 195-13-18.8 1130.285 181.507 B 71-36-37.0 162.400 51.234 154.107
1 142-10-39.4 1181.519 1335.614 1 33-47-16.4 185.264 153.973 103.029
2
1335.492 1438.643 2
Pkt x y A B C D
1027.932 1130.285 1490.281 1541.380
1027.521 1181.507 1541.544 1696.033
Nr 'áXJR�ü [m] 1 2 3
162.400 185.264 185.836
Wyrównanie FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 74
2) Równania obserwacyjne
( ) ( )( ) ( )( ) ( )22
273
2
2
2
21262
2
1
2
1151
C2
C2
C
C44
21
21
2
2233
1
1
12
121222
1
1111
2C2CC
11
BBB
D
DC2CD
C
C21C
B
B1B
BA
BA
B
BBAB
yyxxdvd
yyxxdvd
yyxxdvd
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xxyy
arctgxxyy
arctgAAv
−+−==+
−+−==+
−+−==+
−−−
−−=−=+
−−−
−−=−=+
−−−
−−=−=+
−−−
−−=−=+
β
β
β
β
���5R]ZLQLFLH�Z�V]HUHJ�7D\ORUD
22C
22C
C
212
212
112
112
1B1
1B1
B
22
C22
2
C2CCD
22
21
2
2C2
2
21
2
2C1
1
211
1
212C
22
122
2
121
1
1B
1
121
1
1B
1
12B
11
B11
1
B1BAB
yy
dx
x
ddvd
yy
dx
x
dy
y
dx
x
ddvd
yy
dx
x
ddvd
yy
Ax
x
AAAv
yy
A
y
Ax
x
A
x
Ay
y
Ax
x
AAAv
yy
Ax
x
Ay
y
A
y
Ax
x
A
x
AAAv
yy
Ax
x
AAAv
0
0
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+=+
∆⋅
∂∂−+∆⋅
∂∂−+−=+
∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂−+∆⋅
∂∂−+−=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂−
∂∂+∆⋅
∂∂−
∂∂+−=+
∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂+−=+
22273
22111262
11151
244
1233
11222
111
0
0
0
0
00
0
β
β
β
β
���3RFKRGQH�F]�VWNRZH
iSt
Sti
iSt
Sti
iSt
Sti
iSt
Sti
d
xxAcos;
d
yyAsin;
d
xxb;
d
yya
−−−−
−=
−=′′⋅
−−=′′⋅
−= ρρ
22
Przyrosty :VSyáF]��NLHU�
Kier. Sti xx −
Sti yy − 'áXJR�ü
iStd − a b cosA sinA Kier.
B-A
B-1 1-B
1-2
2-1 2-C
C-2
C-D
-102.353
51.234 -51.234 153.973
-153.973 154.789
-154.789 51.099
-153.986
154.107 -154.107 103.029
-103.029 102.901
-102.901 154.489
184.899
162.400
162.400
185.264
185.264
185.872
185.872
162.720
-929.04
1205.24
-1205.24
619.16
-619.16
614.36
-614.36
1203.48
617.53
-400.69
400.69
-925.31
925.31
-924.14
924.14
-398.06
0.315479
0.831102
0.832773
0.948933
0.556120
0.553614
B-A
B-1 1-B
1-2
2-1 2-C
C-2
C-D
:\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 75
5) :VSyáF]\QQLNL�SU]\�QLHZLDGRP\FK�Z�UyZQDQLDFK�EáGyZ
D��N�W: iPPPPLLLLSSSSi lybxaybxaybxav +∆⋅−∆⋅−∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅= ,
LPSLPS bbb,aaa −=−=
E��GáXJR�ü� ikjkkjkjjkjjki lyAsinxAcosyAsinxAcosv +∆⋅+∆⋅+∆⋅−∆⋅−=
6) Wyra]\�ZROQH�UyZQD��EáGyZ $]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�SU]\EOL*RQych
0521471
2556333
4167433
0376371
2183256
0
0
0
2
12
1
′′′°=′′′°=′′′°=′′′°=′′′°=
.A
.A
.A
.A
.A
CD
C
B
AB
'áXJR�FL�SU]\EOL*RQH
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) m.yyxxd
m.yyxxd
m.yyxxd
00
00
2C2CC
11
BBB
872185
264185
400162
22
2
2
2
2
212
2
1
2
11
0
000
000
=−+−=
=−+−=
=−+−=
Wyrazy wolne
m...ddl
m...ddl
m,..ddl
....AAl
....AAl
....AAl
....AAl
C
B
///////////CCD
///////////2C
///////////
1B
///////////BAB
0
0
0
0360836185872185
0000264185264185
0000400162400162
24304005218255362130524171
23101050179416472132553633
0043910142037362514164733
0081813195218232360373671
327
2126
115
424
3123
2122
111
0
0
0
0
0
0
=−=−=
=−=−=
=−=−=
−=°−°−°=−−=
−=°−°−°=−−=
=°−°−°=−−=
=°−°−°=−−=
β
β
β
β
Nr x1 y1 x2 y2
1 P -1205.24 P 400.69 0 0
2 S 1824.40 S -1326.00 P -619.16 P 925.31
3 L -619.16 L 925.31 S 1233.52 S -1849.46
4 0 0 L -614.36 L 924.14
5 k 0.315479 k 0.948933 0 0
6 p -0.831102 p -0.556120 k 0.831102 k 0.556120
7 0 0 p -0.832773 p -0.553614
Wyrównanie FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 76
7) RyZQDQLD�EáGyZ
v1 = -1205.24 .∆x1 +400.69
.∆y1 +0 .∆x2 +0
.∆y2 +0
v2 = 1824.40 .∆x1 -1326.00
.∆y1 -619.16 .∆x2 +925.31
.∆y2 +0
v3 = -619.16 .∆x1 +925.31
.∆y1 +1233.52 .∆x2 -1849.46
.∆y2 -31.2
v4 = 0 .∆x1 +0
.∆y1 -614.36 .∆x2 +924.14
.∆y2 -43.2
v5 = 0.315479 .∆x1 +0.948933
.∆y1 +0 .∆x2 +0
.∆y2 +0
v6 = -0.831102 .∆x1 -0.556120
.∆y1 +0.831102 .∆x2 +0.556120
.∆y2 +0
v7 = 0 .∆x1 +0
.∆y1 -0.832773 .∆x2 -0.553614
.∆y2 +0.036
8��1DGRNUH�ORQ\�XNáDG�UyZQD��OLQLRZ\FK
-1205.24 .∆x1 +400.69
.∆y1 +0 .∆x2 +0
.∆y2 +0 = 0
1824.40 .∆x1 -1326.00
.∆y1 -619.16 .∆x2 +925.31
.∆y2 +0 = 0
-619.16 .∆x1 +925.31
.∆y1 +1233.52 .∆x2 -1849.46
.∆y2 -31.2 = 0
0 .∆x1 +0
.∆y1 -614.36 .∆x2 +924.14
.∆y2 -43.2 = 0
0.315479 .∆x1 +0.948933
.∆y1 +0 .∆x2 +0
.∆y2 +0 = 0
-0.831102 .∆x1 -0.556120
.∆y1 +0.831102 .∆x2 +0.556120
.∆y2 +0 = 0
0 .∆x1 +0
.∆y1 -0.832773 .∆x2 -0.553614
.∆y2 +0.036 = 0
9) Zapis macierzowy LXA =⋅
−
=
∆∆∆∆
⋅
−−−−
−−−
−−−
0360
0
0
243
231
0
0
5536140832773000
5561200831102055612008311020
0094893303154790
149243661400
4618495212333192516619
3192516619001326401824
0069400241205
2
2
1
1
.
.
.
y
x
yx
..
....
..
..
....
....
..
10) Macierz wagowa
=
10000000000
01000000000
00100000000
000010000
000001000
000000100
000000010
.
.
.
.
P
:\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 77
����8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK� AT.P.A.X = AT.P.L
−
=
∆∆∆∆
⋅
−−−−−−
−−
17320
26417
70288
18193
8857464732498765324756223710
7324987943666505150027325840
6532475051500288398475527134
6223710732584055271348059546
2
2
1
1
.
.
.
.
y
x
yx
....
....
....
....
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT. P.A)-1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
5556
5565
5655
6555
109933109361109212108125
109361109274104799107991
109212104799108315109051
108125107991109051100973
....
....
....
....
���� ��7 APA
13) Wektor niewiadomych X
≅
−
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
=⋅⋅⋅⋅⋅=
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
m.
m.
m.
m.
.
.
.
.
....
....
....
....
)(
0160
0200
0180
0070
17320
26417
70288
18193
109933109361109212108125
109361109274104799107991
109212104799108315109051
108125107991109051100973
5556
5565
5655
6555
LPAA)P(AX T-1T
14) Wyrównane niewiadome��ZVSyáU]GQH�SXQNWyZ�1 i 2)
15) Wektor poprawek LXAV −⋅=
′′−
′′−
′′−
′′−
=
−
−
−
−−
=
m.
m.
m.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0100
0100
0190
740
823
78
21
0360
0
0
243
231
0
0
0260
0100
0190
52
47
78
21
V
659143801606431438
512133502004921335
632133501806141335
526118100705191181
222
222
111
111
0
0
0
0
...yyy
...xxx
...yyy
...xxx
=+=∆+==+=∆+==+=∆+==+=∆+=
Wyrównanie FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 78
16) Obserwacje wyrównane
m...vd
m...vd
m...vd
...v
...v
...v
...v
////////
////////
////////
////////
8461850100836185
2741850100264185
4191620190400162
3590421874004005218
2464917982301050179
730101427843910142
617131952181813195
73
62
51
44
33
22
11
=+=+
=+=+
=+=+°=−°=+
°=−°=+
°=−°=+
°=−°=+
β
β
β
β
17) Kontrola ogólna
67286128
511218416128
..
...
≅−=
⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ XAPLLPLVPV TTT
18) Kontrola generalna $]\PXW\�REOLF]RQH�]H�ZVSyáU]GQ\FK�Z\UyZQDQ\FK
0521471
7526333
5067433
8356371
2183256
2
12
1
′′′°=
′′′°=
′′′°=
′′′°=
′′′°=
.A
.A
.A
.A
.A
CD
C
B
AB
/HZD�VWURQD�UyZQD� 3UDZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK obserwacyjnych
m.vd
m.vd
m.vd
.v
.v
.v
.v
///
///
///
///
846185
274185
419162
35904218
24649179
7301042
61713195
73
62
51
44
33
22
11
=+
=+
=+
°=+
°=+
°=+
°=+
β
β
β
β
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) m.yyxxd
m.yyxxd
m.yyxxd
...AA
...AA
...AA
...AA
2C2CC
11
BBB
/////////C2CD
/////////21C
/////////
1B
/////////BAB
846185
274185
419162
35904218752362130524171
24649179506472137523633
7301042835362515064733
61713195218232368353671
22
2
2
2
2
212
2
1
2
11
2
12
1
=−+−=
=−+−=
=−+−=
°=°−°=−
°=°−°=−
°=°−°=−
°=°−°=−
:\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��SR�UHGQLF]�F� 79
19��2FHQD�GRNáDdQR�FL
a) Eá�G��UHGQL�REVHUZDFML��MHGQRVWNRZ\�
08833
28.61 .kn
m0 ±≈±=−
⋅⋅±= VPV T
b) EáG\��UHGQLH�QLHZLDGRP\FK��ZVSyáU]GQych wyrównanych)
Macierz kowariancyjna
2EOLF]HQLH�EáGyZ��UHGQLFK
F��Eá�G�SRáR*HQLD�SXQNWyZ�1 i 2
m.mmm
m.mmm
yxP
yxP
0290
0290
22
22
222
111
=+=
=+=
m.Qmm
m.Qmm
m.Qmm
m.Qmm
yyy
xxx
yyy
xxx
0200
0220
0240
0170
22
22
11
1 1
±=⋅±=
±=⋅±=
±=⋅±=
±=⋅±=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅=
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
5556
5565
5655
6555
109933109361109212108125
109361109274104799107991
109212104799108315109051
108125107991109051100973
....
....
....
....
���� ��7 APAQ
Wyrównanie FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��ZDUXQNRZ� 80
d3 d2 d1
β4
β3 β2
β1
A C
B D 1
2
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��ZarunkoZ� Zadanie��:� FL�JX� SROLJRQRZ\P� QDZL�]aQ\P�GZXVWURQQLH� N�WRZR� L� OLQLRZR� QDOH*\� Z\-UyZQDü��PHWRG��ZDUXQNRZ���SRPLHU]RQH�N�W\�L�GáXJR�FL� :�UDPDFK�RFHQ\�GRNáDGQR�FL�SURV]�REOLF]\ü�Eá�G��UHGQL�MHGQRVtkowy. Dane: :VSyáU]GQH�SXQNWyZ�VWDá\FK PomieU]RQH�GáXJR�FL �����������3RPLHU]RQH�N�W\
.�W o / //
1 2 3 4
195 142 179 218
13 10 50 05
18.8 39.4 10.0 40.0
%á�G��UHGQL�SRPLDUX�GáXJR�FL�md = ± 1cm
%á�G��UHGQL�SRPLDUX�NDWD�mβ = ± 10″
52=:,�=$1,(
1) Liczba warunków
w = r = 3, (r – liczba obserwacji nadwymiarowych) 2) Równania warunkowe :DUXQHN�VXP\�N�WyZ� [�]pr = [�]teor
� ( ) ( ) ( ) ( ) $180444332211 ⋅+−=+++++++ ABCD AAvvvv ββββ
Warunki sumy przyrostów: [∆x]pr = [∆x]teor; [∆y]pr = [∆y]teor
� ( ) ( ) ( ) BCCB xxAcosvdAcosvdAcosvd −=⋅++⋅++⋅+ 2731262151
� ( ) ( ) ( ) BCCB yyAsinvdAsinvdAsinvd −=⋅++⋅++⋅+ 2731262151
gdzie:
Pkt x y A B C D
1027.932 1130.285 1490.281 1541.380
1027.521 1181.507 1541.544 1696.033
Nr 'áXJR�ü [m] 1 2 3
162.400 185.264 185.836
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) $
$
$
1803
1802
180
3322112
221112
111
⋅−++++++=
⋅−++++=
−++=
vvvAA
vvAA
vAA
ABC
AB
ABB
βββ
ββ
β
:\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��warunkow� 81
���5yZQDQLD�RGFK\áHN��SR�GRSURZDG]eniu do postaci liniowej)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 27026012501302
201
10
27026012501302
201
10
14321
ωρρρ
ωρρρ
ω
=⋅+⋅+⋅+⋅′′∆
+⋅′′∆
+⋅′′∆
=⋅+⋅+⋅+⋅′′∆
−⋅′′∆
−⋅′′∆
−
=+++
vAsinvAsinvAsinvx
vx
vx
vAcosvAcosvAcosvy
vy
vy
vvvv
CBCCBC
CBCCBC
4) Obliczenie azymutów A]\PXW\�ERNyZ�QDZL�]DQLD�
0521471052147109951489154
21832562183256353102986153
′′′==′′′==−−=
′′′==′′′==−−=
.A;...arctg
xx
yyarctg
.A;...arctg
xx
yyarctg
CDCDCD
CDCD
ABABAB
ABAB
$$
$$
ϕϕ
ϕϕ
$]\PXW\�SU]\EOL*RQH�SR]RVWDá\FK�ERNyZ�FL�JX� ( )( )( )
4267333
5400100517943901142818311952183256540
416743336043901142818311952183256360
0376371180818311952183256180
32102
21012
101
′′′=
=−′′′+′′′+′′′+′′′=−+++=
′′′=−′′′+′′′+′′′=−++=
′′′=−′′′+′′′=−+=
.
....AA
....AA
...AA
ABC
AB
ABB
$
$$$$$$
$$$$$$
$$$$$
βββ
ββ
β
���3U]\EOL*RQH�SU]\URVW\�ZVSyáU]GQ\FK ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 041360
934205
905102
951359
717308
744154
02301220110
023012201
02302
02301220110
023012201
02302
.AsindAsindAsindy
.AsindAsindy
.Asindy
.AcosdAcosdAcosdx
.AcosdAcosdx
.Acosdx
CBBC
CC
CC
CBBC
CC
CC
=⋅+⋅+⋅=∆
=⋅+⋅=∆
=⋅=∆
=⋅+⋅+⋅=∆
=⋅+⋅=∆
=⋅=∆
���2GFK\áNL�&i
( )( ) m.yyy
m.xxx
.AA
BCBC
BCBC
ABCD
0040
0450
4741804
03
02
43211
−=∆−−=
=∆−−=
′′−=−−−−⋅+−=
ω
ωββββω $
���2VWDWHF]QD�SRVWDü�XNáDGX�UyZQD��RdFK\áHN
0.0040.5537400.5561200.9489330.0007500.0014970.001745
0.0450.8326890.8311020.3154790.0004990.0009980.001746
74.4
−=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−
−=+++
765321
765321
4321
vvvvvv
vvvvvv
vvvv
Wyrównanie FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��ZDUXQNRZ� 82
8) Zapis macierzowy: WVA =⋅
−
−=
⋅
−−−
0.004
0.045
74.4
0.5537400.5561200.94893300.0007500.0014970.001745
0.8326890.8311020.31547900.0004990.0009980.001746
0001111
7
6
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
v
v
���0DFLHU]�ZDJRZD��RGZURWQR�ü�
waga: 2
1
i
im
p = ; 21
ii mp =−
����8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK�NRUHODW� ( ) WKAPA T =⋅⋅⋅ −1
−
−=
⋅
−−−
−
0040
0450
474
000736000036903992010
000369000057803242820
39920103242820000000400
3
2
1
.
.
.
k
k
k
...
...
...
����2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM��
−
−=⋅⋅ −
91974930168215694366567612
82156943666125232401912702
6567612191270200692801
...
...
...
��� ��7APA
12) Wektor korelat K
−
−=
−
−⋅
−
−=
=⋅⋅⋅= −
696055206
81585017
4067270
0040
0450
474
91974930168215694366567612
82156943666125232401912702
656761219127020069280
1
.
.
.
.
.
.
...
...
...
W)AP(AK -1T
=−
00010000000
00001000000
00000100000
000100000
000010000
000001000
000000100
1
.
.
.
P
:\UyZQDQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��warunkow� 83
13) Wektor poprawek V
′′−′′−
′′−′′−
=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= −−−
m.
m.
m.
.
.
.
.
0100
0100
0190
740
324
08
51
111 KAPW)AP(AAPV T1-TT
14) Obserwacje wyrównane
m...vd
m...vd
m...vd
...v
...v
...v
...v
////////
////////
////////
////////
8461850100836185
2741850100264185
4191620190400162
3590421874004005218
7454917932401050179
431101420843910142
317131955181813195
73
62
51
44
33
22
11
=+=+
=+=+
=+=+°=−°=+
°=−°=+
°=−°=+
°=−°=+
β
β
β
β
15) Kontrola ogólna 16) Kontrola generalna Azymuty wyrównane: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 6526333540
9067433360
5356371180
3322112
221112
111
′′′°=°−++++++=
′′′°=°−++++=
′′′°=°−++=
.vvvAA
.vvAA
.vAA
ABC
AB
ABB
βββββ
β
Równania warunkowe:
/////////
ABCD
///////////////
...AAP
.....L
83318735720218235605241711804
7331873535904218745491794311014231713195
°=°+°−°=⋅+−=
°=°+°+°+°=$
( ) ( ) ( )
m...xxP
m..cos..cos..cos.L
BC 99635928511302811490
996359652633384618590674332741855356371419162
=−=−==′′′°⋅+′′′°⋅+′′′°⋅=
( ) ( ) ( )
m...yyP
m..sin..sin..sin.L
BC 03736050711855441541
037360652633384618590674332741855356371419162
=−=−==′′′°⋅+′′′°⋅+′′′°⋅=
1���%á�G��UHGQL�REVHrwacji
09433
28.72 .kn
m0 ±≈±=−
⋅±= VPV T
72287228 .. =⋅=⋅⋅ KWVPV TT
3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�ZLHONR�FL�VNRUHORZDQ\FK 84
d3 d2 d1
β4 β3
β2
β1
A C
B D 1
2
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: 3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�ZLHONR�FL�VNRUHORZa-
nych. %á�G��UHGQL�IXQNFML� Zadanie��:\NRU]\VWXM�F�Z\QLNL�]�]DGDQLD�ÄWyrównaQLH�FL�JX�SROLJRQRZHJR�PHWRG��So-
�UHGQLF]�F�´�QDOH*\�REOLF]\ü�EáG\��UHGQLH�N�WyZ�β1 i β3�RUD]�GáXJR�FL�d1 i d3 po wyrów-naniu. Dane:
%á�G��UHGQL�SRPLDUX�GáXJR�FL�md = ± 1cm
%á�G��UHGQL�SRPLDUX�NDWD�mβ = ± 10″
Równania obserwacyjne dla wybranych N�WyZ�ββ1 i ββ3�RUD]�GáXJR�FL�d1 i d3
( ) ( )( ) ( )22
273
2
1
2
1151
21
21
2
2233
1
1111
2C2CC
BBB
C
C21C
BA
BA
B
BBAB
yyxxdvd
yyxxdvd
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
−+−==+
−+−==+
−−−
−−=−=+
−−−
−−=−=+
β
β
RyZQDQLD�EáGyZ N�WyZ�ββ1 i ββ3�RUD]�GáXJR�FL�d1 i d3
v1 = -1205.24 .∆x1 +400.69 .∆y1 +0 .∆x2 +0 .∆y2 +0
v3 = -619.16 .∆x1 +925.31 .∆y1 +1233.52 .∆x2 -1849.46 .∆y2 -31.2
v5 = 0.315479 .∆x1 +0.948933 .∆y1 +0 .∆x2 +0 .∆y2 +0
v7 = 0 .∆x1 +0 .∆y1 -0.832773 .∆x2 -0.553614 .∆y2 +0.036
%á�G��UHGQL�REVHUZDFML��MHGQRVWNRZ\�
08833
28.61 .kn
m0 ±≈±=−
⋅⋅±= VPV T
3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�ZLHONR�FL�VNRUHORZDQ\FK 85
Macierz kowariancyjna (teoretyczna) niewiadomych x1, y1, x2, y2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅=
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
5556
5565
5655
6555
109933109361109212108125
109361109274104799107991
109212104799108315109051
108125107991109051100973
....
....
....
....
���� ��7 APAQ
52=:,�=$1,(
Macierz kowariancyjna empiryczna Qx
⋅⋅
⋅⋅
=⋅=
−
−
−
−
000380800001846000027860105425
000184600004698010038900017160
000469801038090005560000018170
105425000171600001817000029530
5
5
5
5
20
....
....
.....
....
m QQx
%áG\��UHGQLH�IXQNFML: fQf ⋅⋅= x
T
Fm2
Funkcja 1
[ ]00694002412052
1
2
1
1
1
1
11 ..
y
F
x
F
y
F
x
FT −=
∆∂∂
∆∂∂
∆∂∂
∆∂∂=f
[ ] 76342
112
1
.
m x
T
F
=
⋅
⋅=
=⋅⋅=
−
⋅⋅
⋅⋅
−−
−
−
−
0
0
400.69
1205.24
0.00038080.00018460.0002786105.542
0.00018460.0004698109.0380.0001716
0.0004698109.0.380.00055600.0001817
105.5420.00017160.00018170.0002953
00400.691205.24
5
5
5
5
fQf
5181
′′= .mF
F1 = v1 = -1205.24 .∆x1 +400.69
.∆y1 +0 .∆x2 +0
.∆y2
3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�ZLHONR�FL�VNRUHORZDQ\FK 86
Funkcja 3
[ ]46184952123331925166192
3
2
3
1
3
1
33 ....
y
F
x
F
y
F
x
FT −−=
∆∂∂
∆∂∂
∆∂∂
∆∂∂=f
[ ]
92673
332
3
.
m x
T
F
=
=
⋅
⋅=
=⋅⋅=
−
−
⋅⋅
⋅⋅
−−−
−
−
−
1849.46
1233.52
925.31
1619.16
0.00038080.00018460.0002786105.542
0.00018460.0004698109.0380.0001716
0.0004698109.0.380.00055600.0001817
105.5420.00017160.00018170.0002953
1849.461233.52925.31619.16
5
5
5
5
fQf
0263
′′= .mF
Funkcja 5
[ ]00948933031547902
5
2
5
1
5
1
55 ..
y
F
x
F
y
F
x
FT =
∆∂∂
∆∂∂
∆∂∂
∆∂∂=f
[ ] 0006390
552
5
.
m x
T
F
=
⋅
⋅=
=⋅⋅=
−
−
−
−
⋅⋅
⋅⋅
0
0
0.948933
0.315479
0.00038080.00018460.0002786105.542
0.00018460.0004698109.0380.0001716
0.0004698109.0.380.00055600.0001817
105.5420.00017160.00018170.0002953
000.9489330.315479
5
5
5
5
fQf
m.mF 02505
=
Funkcja 7
[ ]55361408327730002
7
2
7
1
7
1
77 ..
y
F
x
F
y
F
x
FT −−=
∆∂∂
∆∂∂
∆∂∂
∆∂∂=f
[ ] 0006130
772
7
.
m x
T
F
=
=
=⋅⋅=
⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅−−−
−
−
−
0.553614-
0.832773-
0
0
0.00038080.00018460.0002786105.542
0.00018460.0004698109.0380.0001716
0.0004698109.0.380.00055600.0001817
105.5420.00017160.00018170.0002953
0.5536140.83277300
5
5
5
5
fQf
m.mF 02507
=
F3 = v3 = -619.16 .∆x1 +925.31
.∆y1 +1233.52 .∆x2 -1849.46
.∆y2 -31.2
F5 = v5 = 0.315479 .∆x1 +0.948933
.∆y1 +0 .∆x2 +0
.∆y2
F7 = v7 = 0 .∆x1 +0
.∆y1 -0.832773 .∆x2 -0.553614
.∆y2 +0.036
:\UyZQDQLH�WUDQVIRUPDFML�ZVSyáU]GQ\FK 87
,PL�1D]ZLVNR Nr zestawu .....
û:,&=(1,(�QU������ Temat: :\UyZQDQLH�WUDQVIRUPDFML�ZVSyáU]GQ\FK dla n>2 punktów dostosowania Zadanie��'DQH�V��ZVSyáU]GQH�SXQNWyZ�GR�WUDQVIRUPDFML1÷5�Z�XNáDG]LH�SLHUZRWQ\P�xy RUD]�ZVSyáU]GQH�WU]HFK�SXQNWyZ�GRVWRVRZDQLD�10, 20, 30 Z�XNáDG]LH�SLHUZRWQ\P�xy i wtórnym XY��1DOH*\�Z\UyZQDü��ZHGáXJ�PHWRG\�QDMPQLHMV]\FK�NZDGUDWyZ��ZVSyáU]GQH�punktów dostosoZDQLD� L� REOLF]\ü� ZVSyáU]GQH� SXQNWyZ� WUDQVIRUPRZDQ\FK� Z� XNáDG]LH�wtórnym. W ramach oceQ\� GRNáDGQR�FL� SURV]� REOLF]\ü� EáG\� �UHGQLH� ZVSyáU]GQ\FK�SXQNWyZ�GRVWRVRZDQLD�RUD]�Eá�G��UHGQL�WUDQVIRUPDFML� Dane:
52=:,�=$1,( ���:VSyáU]GQH�ELHJXQD�WUDQVIRUPDFML�x0, y0�Z�XNáDG]LH�SLHUZRtnym Liczba punktów dostosowania: s = 3
siys
yxs
xs
i
s
i ,...,1;667.10661
;667.7661
1
0
1
0 ===== ∑∑
2) Wzory transformacyjne
( ) ( )( ) ( ) SxxCyyYY
SyyCxxXX
⋅−−⋅−=−⋅−+⋅−=−
000
000
αα sin;cos ⋅=⋅= kSkC
8NáDG�SLHUZRWQ\ 8NáDG�ZWyUQ\ Nr pkt x y X Y
10 400.000 600.000 1800.000 2700.000
20 1500.000 600.000 1993.444 1609.818
30 400.000 2000.000 3185.625 2945.539
1 400.000 200.000
2 700.000 500.000
3 600.000 900.000
4 200.000 1000.000
5 100.000 400.000
Y0
[y]
xP
[x]
YP
XP
yP
α
[Y]
[X]
P
X0
Wyrównanie transforPDFML�ZVSyáU]GQ\FK 88
3) Równania „obserwacyjne” dla punktów dostosowania
X10 + 10XV = (x10 – x0)
.C + (y10 – y0).S + X0
Y10 + 10YV = (y10 – y0)
.C – (x10 – x0).S + Y0
X20 + 20XV = (x20 – x0)
.C + (y20 – y0).S + X0
Y20 + 20YV = (y20 – y0)
.C – (x20 – x0).S + Y0
X30 + 30XV = (x30 – x0)
.C + (y30 – y0).S + X0
Y30 + 30YV = (y30 – y0)
.C – (x30 – x0).S + Y0
4) 8NáDG�UyZQD��EáGyZ z nieznanymi parametrami C, S, X0, Y0
10XV = -366.667.C – 466.667.S + X0 – 1800.000
10YV = -466.667.C + 366.667.S + Y0 – 2700.000
20XV = 733.333.C – 466.667.S + X0 – 1993.444
20YV = -466.667.C – 733.333.S + Y0 – 1609.818
30XV = -366.667.C + 933.333.S + X0 – 3185.625
30YV = 933.333.C + 366.667.S + Y0 – 2945.539
���5HGXNFMD�XNáDGX�R�SDUDPHWU\�X0, Y0 – ZVSyáU]GQH�ELHJXQD�Z�XNáDG]Le wtórnym
Równanie sumowe „X-ów”: ∑ =−⋅+⋅+⋅=s
X XSCVi
1
0 0069.69793000.0000.0 :���
35623263
06969791
1
0 ..Xs
Xs
i === ∑
Równanie sumowe „Y-ów”: ∑ =−⋅+⋅+⋅=s
Y YSCVi
1
0 0357.72553000.0000.0 :
45224183
35772551
1
0 ..Ys
Ys
i === ∑
8NáDG�]UHGXNRZDQ\
10XV = -366.667.C – 466.667.S + 526.356
10YV = -466.667.C + 366.667.S – 281.548
20XV = 733.333.C – 466.667.S + 332.912
20YV = -466.667.C – 733.333.S + 808.634
30XV = -366.667.C + 933.333.S – 859.268
30YV = 933.333.C + 366.667.S – 527.086
:\UyZQDQLH�WUDQVIRUPDFML�ZVSyáU]GQ\FK 89
6) Zapis macierzowy LXAV −⋅=
−−
−
−
⋅
−−−−
−−−
=
086527
268859
634808
912332
548281
356526
667366333933
333933667366
333733667466
667466333733
667366667466
667466667366
30
30
20
20
10
10
.
.
.
.
.
.
S
C
..
..
..
..
..
..
V
V
V
V
V
V
Y
X
Y
X
Y
X
���8NáDG�UyZQD��QRUPDOQ\FK� AT.A.X = AT.L
=
⋅
3682092473
638371717
33321133330
03332113333
.
.
S
C
.
.
���2GZURWQR�ü�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�� (AT.A)-1
⋅
⋅=⋅ −
−
7
7
10731940
01073194
.
.���� ��7 AA
9) Wektor niewiadomych X
=
≅
⋅
⋅
⋅=
=⋅⋅⋅=
−
−
S
C
.
.
.
.
.
.
)(
9901290
1758920
3682092473
638371717
10731940
010731947
7
LAA)(AX T-1T
10) Parametry transformacji k, αα
005631199012901758920 2222 ...SCk =+=+=
984580005631199012901749070
00563111758920 .
.
.kSsin;.
.
.kCcos ====== αα :�
α = 88.80752g 11) Wektor poprawek LXAV −⋅=
−−−
=
−−
−
−
−−
−
=
1270
3590
4570
1610
5830
1980
086527
268859
634808
912332
548281
356526
213527
627859
178808
073333
965280
554526
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
V
Wyrównanie transforPDFML�ZVSyáU]GQ\FK 90
����:\UyZQDQH�ZVSyáU]GQH�SXQNWyZ�GRVWRVRZDQLD�Z�XNáDG]LH�ZWyUQ\P
666294512705392945
983318535906253185
275161045708181609
283199316104441993
417269958300002700
802179919800001800
30
30
20
20
10
10
3030
3030
2020
2020
1010
1010
...VYY
...VXX
...VYY
...VXX
...VYY
...VXX
Y
X
Y
X
Y
X
=+=+=
=+=+=
=+=+=
=−=+=
=−=+=
=−=+=
13) Kontrola ogólna 14) Kontrola generalna /HZD�VWURQD�UyZQD� 3UDZD�VWURQD�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK obserwacyjnych
15) Ocena dokáDGQR�FL transformacji
D��EáG\��UHGQLH�ZVSyáU]GQ\FK�SXQNWyZ�GRVWRVRZDQLD
43403
0.565195
25403
0.193313
.s
M
.s
M
Y
X
±≈±=±=
±≈±=±=
∑
∑
�
�
L<
L;
9
9
E���UHGQL�Eá�G�WUDQVIRUPDFML
503022 .MMM YXt ±=+±=
75907590
324213720208221372027590
..
...
=−=
⋅⋅−⋅=⋅ XALLLVV TTT
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 665.2945
982.3185
275.1610
283.1993
417.2699
802.1799
003003030
003003030
002002020
002002020
001001010
001001010
=+⋅−−⋅−=
=+⋅−+⋅−=
=+⋅−−⋅−=
=+⋅−+⋅−=
=+⋅−−⋅−=
=+⋅−+⋅−=
YSxxCyyY
XSyyCxxX
YSxxCyyY
XSyyCxxX
YSxxCyyY
XSyyCxxX
6662945
9833185
2751610
2831993
4172699
8021799
30
30
20
20
10
10
30
30
20
20
10
10
.VY
.VX
.VY
.VX
.VY
.VX
Y
X
Y
X
Y
X
=+
=+
=+
=+
=+
=+
:\UyZQDQLH�WUDQVIRUPDFML�ZVSyáU]GQ\FK 91
����:VSyáU]GQH�SXQNWyZ�GR�WUDQVIRUPDFML�Z�XNáDG]LH�Ztórnym
( ) ( )( ) ( ) 5,4,3,2,1;000
000
=+⋅−−⋅−=
+⋅−+⋅−=
jYSxxCyyY
XSyyCxxX
jjj
jjj
277.2961667.666667.666
008.1549667.666667.666
799.2967667.566667.66
676.2160667.66667.566
158.2554667.166667.166
019.2132667.166667.166
789.2384667.66667.566
556.1753667.566667.66
060.2629667.366667.866
750.1403667.866667.366
05
05
04
04
03
03
02
02
01
01
=+⋅+⋅−==+⋅−⋅−=
=+⋅+⋅−=
=+⋅−⋅−=
=+⋅+⋅−=
=+⋅−⋅−=
=+⋅+⋅−=
=+⋅−⋅−=
=+⋅+⋅−==+⋅−⋅−=
YSCY
XSCX
YSCY
XSCX
YSCY
XSCX
YSCY
XSCX
YSCY
XSCX
����=HVWDZLHQLH�Z\QLNyZ�REOLF]H�
Nr 5y*QLFH�ZVSyárz.
WspóáU]GQH wyrównane
�XNáDG�ZWyUQ\� 3RSUDZNL�ZVSyáU]� pkt x - xo y - yo X Y Vx Vy
10 -366.667 -466.667 1799.802 2699.417 -0.198 -0.583
20 733.333 -466.667 1993.283 1610.275 -0.161 0.457
30 -366.667 933.333 3185.982 2945.665 0.359 0.127
1 -366.667 -866.667 1403.750 2629.060 k = 1.005631
2 -66.667 -566.667 1753.556 2384.789 α = 88.80752g
3 -166.667 -166.667 2132.019 2554.158 Mx = 0.254
4 -566.667 -66.667 2160.676 2967.799 My = 0.434
5 -666.667 -666.667 1549.008 2961.277 Mt = 0.503
Przydatne wzory matematyczne 92
Dodatek A: Przydatne wzory matematyczne Pochodne funkcji
-�)XQNFMD�VWDáD�� ( ) ( )Rx;c:cxf / ∈=•= 0
-�)XQNFMD�SRWJRZD�� ( ) ( )+− ∈⇒∈∈⇒∈⋅=• RxWn,RxNn;xnx n/n 1
-�)XQNFMD�Z\NáDGQLF]D�� ( ) ;ee x/n =• e – podstawa logarytmów naturalnych
- Funkcja logarytmiczna: ( ) ( ) ( )}{Ra;alnx
xlog;x
xln/
a
/111 −∈
⋅=•=• +
- Funkcje trygonometryczne: ( ) ( ) ;xsinxcos;xcosxsin// −=•=•
( ) ( ) ( ) ( )011011 2
2
2
2 ≠−−=−=•≠+==• xsin;xctgxsin
xctg;xcos;xtgxcos
xtg//
- Funkcje cyklometryczne: ( ) ( ) ( )111
1
1
122
<<−−−=•
−=• x;
xxarccos;
xxarcsin
//
( ) ( ) ( )Rx;x
xarcctg;x
xarctg// ∈
+−=•
+=•
22 11
11
-�)XQNFMH�]áR*RQH�� ( ) ( )( ) ( );xfxfgfg /// ⋅=• $ g –�I��]HZQWU]QD��I�–�I��ZHZQWU]QD
-�-H*HOL�IXQNFMH� ( )xf i ( )xg �V��Uy*QLF]NRZDOQH�Z�GDQ\P�SXQNFLH��SU]HG]LDOH���WR� ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( );Ra,xfaxfa;xgxfxgxf ///// ∈⋅=⋅•±=±•
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2xg
xgxfxgxfxgxf
;xgxfxgxfxgxf///
/// ⋅−⋅=
•⋅+⋅=⋅•
Trygonometria
-�=ZL�]NL�PLG]\�IXQNFMDPL�� ;ctgtg;cossin 1122 =⋅•=+• αααα
;tg
tgtg;sinsincoscos;cossinsin
αααααααααα 2
222
1
221222
−⋅=•−=−=•⋅⋅=•
ααα
ααααααα
sincos
ctg;sincos
tg;cos
cos;cos
sin+=•−=•+±=•−±=• 1
21
221
221
2
-�6XP\�L�Uy*QLFH�
( ) ( ) ;sincoscossinsin;sincoscossinsin βαβαβαβαβαβα ⋅−⋅=−•⋅+⋅=+•
( ) ( ) βαβαβαβαβαβα sinsincoscoscos;sinsincoscoscos ⋅+⋅=−•⋅−⋅=+•
- Wzory redukcyjne:
ϕ α α−°180 α+°180 α−
ϕsin αsin αsin αsin− αsin− ϕcos αcos αcos− αcos− αcos
ϕtg αtg αtg− αtg αtg−
ϕctg αctg αctg− αctg αctg−
ϕ α−°90 α+°90 α−°270 α+°270
ϕsin αcos αcos αcos− αcos− ϕcos αsin αsin− αsin− αsin
ϕtg αctg αctg− αctg αctg−
ϕctg αtg αtg− αtg αtg−
Przydatne wzory matematyczne 93
3ROH�WUyMN�WD
( ) ( ) ( ) ( )
++⋅=−⋅−⋅−⋅=
=⋅⋅⋅=
=⋅⋅=∆
cbap;cpbpapp
sinba
haP
21
21
21
γ
Wzór sinusów i cosinusów
αγβα coscbcba;sin
csin
bsin
a ⋅⋅⋅−+=•==• 2222
Szereg Taylora (dla funkcji jednej zmiennej)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...x!
xfx
!
xfx
!
xfxfxxf
//////
+∆⋅+∆⋅+∆⋅+=∆+ 3020000 321
:VSyáF]\QQLN�NLHUXQNRZ\�SURVWHM �Z�XNáDG]LH�JHRGH]\MQ\P�
( )1212
12 xx;xx
yytgm ≠
−−== α
2EUyW�XNáDGX�R�N�W�ϕϕ
ϕϕϕϕ
cosysinx'y
sinycosx'x
⋅+⋅=⋅−⋅=
)XQNFMD�SRWJRZD
( ) ( )xxxyxyxyx
y
xyxyxn mn
m
n
n baba;aa;aaa;aaa;aa;
aa ⋅=⋅•=•=•=⋅•=•=• ⋅−+− 1
6WDáH�Patematyczne
π = 3,141 592 654...
ρ° = 57°,295 779 513...
ρ′ = 3 437′,746 771...
ρ″ = 206 264″,806...
ρg = 63g,661 977 237...
ρc = 6 366c,197 724 ...
ρcc = 636 619cc, 772 ..
α
�
β c
a
b
h
α
(x1,y1)
(x2,y2) x
Podstawowe wzory z rachunku wyrównawczego 94
Dodatek B: Podstawowe wzory z rachunku wyrównawczego 3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�REVHUZDFML�QLH]DOH*Q\FK��SU]\NáDG��
( ) 2222
dx mdxmx ⋅
∂∂+
⋅
∂∂±=→=
ραα αPG�I�[
%á�G��UHGQL�REVHUZDFML��SRPLDU�MHGQHM�ZLHONR�FL���
[ ] [ ]1n
pvvm;
1nvv
m 0 −±=•
−±=•
�UHGQLD�DU\WPHW\F]QD�]Z\NáD�L�ZD*RQD�
[ ] [ ][ ]ppL
x;nL
x =•=•
%á�G��UHGQL��UHGQLHM�DU\WPHW\F]QHM��]Z\NáHM�L�ZD*RQHM��
[ ]p
mm;
n
mm xx
0±=•±=•
Kontrola ogólna�Z\UyZQDQLD�REVHUZDFML�EH]SR�UHGQLFK��
[ ] [ ] [];
nl
llvv2
−=• [ ] [ ] [ ][ ]ppl
pllpvv2
−=•
5R]ZL�]DQLH�QDGRNUH�ORQHJR�L�QLHGRRNUH�ORQHJR�XNáDGX�UyZQD��OLQLRZ\FK�
LAAAXLAAAX ⋅⋅⋅=•⋅⋅⋅=• ����7 ���� T; TT
5R]NáDG�PDFLHU]\�QRUPDOQHM�QD�F]\QQLNL�WUyMN�WQH�L�MHM�RGZURWQR�ü�
;N T RRR →⋅=• ;11 −− →=⋅• RIRR ( )TN 11 −− ⋅=• RR�
2EOLF]HQLH�QLHZLDGRP\FK�L�SRSUDZHN�Z�PHWRG]LH�SR�UHGQLF]�FHM� ;lub LPAA)P(AXLAA)(AX T-1TT-1T ⋅⋅⋅⋅⋅=•⋅⋅⋅=• LXAV −⋅=•
Kontrola ogólna w metodzie�SR�UHGQLF]�FHM� ;XALLLVV TTT ⋅⋅−⋅=⋅• XAPLLPLVPV TTT ⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅•
Bá�G��UHGQL�REVHUZDFML (pomiar k�ZLHONR�FL�� ;
knm
−⋅±=• VV T
knm0 −
⋅⋅±=• VPV T
Macierz wariancyjno-kowariancyjna niewiadomych:
;��7 �� AAQ ⋅=• ��7 �� APAQ ⋅⋅=•
%á�G��UHGQL�QLHZLDGRPHM�
;Qmm iiix ⋅±= 0 (Qii –�HOHPHQW�SU]HN�WQLRZ\�PDFLHU]\�NRZDULDQF\MQHM�
Obliczenie wektora korelat w metodzie warunkowej:
;W)A(AK -1T ⋅⋅=• W)AP(AK -1T ⋅⋅⋅=• −1
Podstawowe wzory z rachunku wyrównawczego 95
Obliczenie wektora poprawek w metodzie warunkowej:
;KAW)A(AAV T-1TT ⋅=⋅⋅⋅=• KAPW)AP(AAPV T-1TT ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=• −−− 111
Kontrola ogólna w metodzie zawarunkowanej:
;KWVV TT ⋅=⋅• KWVPV TT ⋅=⋅⋅•
5yZQDQLH�REVHUZDF\MQH�GOD�N�WD�
SL
SL
SP
SPSLSP xx
yyarctg
xx
yyarctgAAv
−−−
−−=−=+ 11β
Równanie obserwacyjne dla kierunku:
zxx
yyarctgzAvK −
−−=−=+
12
121211
RównaQLH�REVHUZDF\MQH�GOD�GáXJR�FL�
( ) ( )22
jkjkjkii yyxxdvd −+−==+
5yZQDQLH�EáGX�GOD�N�WD��SR�UR]ZLQLFLX�Z�V]HUHJ�7D\ORUD��
;lybxaybxaybxav iPPPPLLLLSSSSi +∆⋅−∆⋅−∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅=•
;d
xxb;
d
yya
)P(LS
S)P(L)P(L
)P(LS
S)P(L)P(L ρρ ⋅
−−=•⋅
−=•
−−22 LPSLPS bbb;aaa −=•−=•
5yZQDQLH�EáGX�GOD�GáXJR�FL��SR�UR]ZLQLFLX�Z�V]HUHJ�7D\ORUD��
ikjkkjkjjkjjki lyAsinxAcosyAsinxAcosv +∆⋅+∆⋅+∆⋅−∆⋅−=
%á�G�SRáR*HQLD�SXQNWX:
22
yxP mmm +±=
3DUDPHWU\�HOLSV\�EáGX��UHGQLHJR� ( ) ;
Qtg
yyxx
xy
−=•
22α ;cossinQsinQcosQma xyyyxx αααα ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅±=• 222
αααα cossinQsinQcosQmb xyxxyy ⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅±=• 222
%á�G��UHGQL funkcji��XRJyOQLRQH�SUDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK�:
;m x
T
F fQf ⋅⋅=• 2 ( ) ;APAm T 12
0
−⋅⋅⋅=• xQ
∂∂
∂∂
∂∂=• �
321 xF
xF
xFT
f
5yZQDQLH�SRSUDZNL��ÄREVHUZDF\MQH´��GOD�ZVSyáU]GQ\FK�SXQNWyZ�GRVWRVRZDQLD�SU]\�wyrównaniu transformacji:
( ) ( )( ) ( ) 000
000
YsinkxxcoskyyVY
XsinkyycoskxxVX
iiYii
iiXii
−⋅⋅−−⋅⋅−=+−⋅⋅−+⋅⋅−=+
αααα
2FHQD�GRNáDGQR�FL�Z\UyZQDQLD�WUDQVIRUPDFML�
;s
M;s
M YX
∑∑ ±=•±=•��L<L;
9922YXt MMM +±=•
6áRZQLF]HN�ZD*QLHMV]\FK�WHUPLQyZ�]�UDFKXQNX�Z\UyZQDZF]HJR 96
Dodatek C: 6áRZQLF]HN� ZD*QLHMV]\FK� WHUPLQyZ� ]� UDFKXQNX� Z\Uyw-nawczego
%á�G�SR]RUQ\ –�SRSUDZND�GR�REVHUZDFML��ZLHONR�ü�Z\UyZQDQD�PLQXV�Z\QLN�SRPLDUX�� %á�G�SU]\SDGNRZ\ –�Eá�G�SRPLDURZ\��NWyUHJR�ZDUWR�FL�DQL�]QDNX�QLH�PR*QD�XVWDOLü� %á�G� �UHGQL –� SHZQD�PLDUD� GRNáDGQR�FL� GDQHM� ZLHONR�FL��PR*H� GRW\F]\ü� SRMHG\QF]HM�REVHUZDFML��]ELRUX�REVHUZDFML��ZLHONR�FL�QLHZLDGRP\FK��QS��ZVSyáU]GQ\FK���IXQNFML�QLe-wiadomych itp.
(OLSVD� EáGX� �UHGQLHJR� –� SRND]XMH� NLHUXQNL� Z\VW�SLHQLD� PDNV\PDOQHM� �Pinimalnej) warto�FL�EáGyZ��UHGQLFK�ZVSyáU]GQ\FK� Kontrola generalna wyrównania –� SROHJD� QD� VSUDZG]HQLX� ]JRGQR�FL� Z\UyZQDQHJR�XNáDGX� REVHUZDFML� SRSU]H]� �]DOH*QLH�RG�PHWRG\�Z\UyZQDQLD��� D�� SRGVWDZLHQLH�Z\Uyw-nanych niewiadomych i obserwacji do UyZQD��REVHUZacyjnych, b) podstawienie wy-równanych obserwacji do UyZQD��ZDUXQNRZ\FK.
/LF]ED�REVHUZDFML�QLH]EGQ\FK – liczba obserwacji koniecznych do jednoznacznego okre�OHQLD��UR]ZL�]DQLD��]DGDQLD��UyZQD�MHVW�OLF]ELH�QLHZLDGRP\FK� Macierz wariancyjno-kowariancyjna niewiadomych – macierz kwadratowa syme-WU\F]QD� �RGZURWQR�ü� PDFLHU]\� QRUPDOQHM�� R� Z\PLDU]H� UyZQ\P� OLF]ELH� QLHZLDGRP\FK��Elementy przeN�WQLRZH��ZDULDQFMH��VáX*��GR�REOLF]HQLD�EáGyZ��UHGQLFK�QLHZLDGRP\FK��QDWRPLDVW�HOHPHQW\�SR]DSU]HN�WQLRZH��NRZDULDQFMLH��VWDQRZL��SRGVWDZ�REOLF]HQLD�Eá�GyZ� �UHGQLFK� ZLHONR�FL� ]aOH*Q\FK�� QS�� EáGyZ� �UHGQLFK� IXQNFML� OXE� SDUDPHWUyZ� HOLSV\�EáGX��UHGQLHJR� 0HWRGD� SR�UHGQLF]�FD – wyrównanie zbioru obserwacji (na podstawie met. najmn. NZ���Z�RSDUFLX�R�Z\UyZQDQH�ZF]H�QLHM�SDUDPHWU\�SR�UHGQLF]�FH��QLHZLDGRPH�. 0HWRGD�Z\UyZQDQLD�REVHUZDFML�EH]SR�UHGQLFK – dotyczy wyrównania wielokrotnego poPLDUX�SRMHG\QF]HM�ZLHONR�FL��:LHONR�ü�Z\UyZQDQD��QD�SRGVWDZLH�PHW��QDMPQ��NZ���WR��UHGQLD�DU\WPHW\F]QD�]Z\NáD lub ZD*RQD.
Metoda zawarunkowana (warunkowa) – wyrównanie zbioru obserwacji (na podstawie PHW��QDMPQ��NZ���EH]SR�UHGQLR�EH]�XG]LDáX�QLHZLDGRP\FK��2EOLF]HQLH�Z\UyZQDQ\FK�QLe-ZLDGRP\FK�PR*OLZH� MHVW�SR� ]DNR�F]HQLX�SURFHVX�Z\UyZQDQLD�REVHUZDFML��Z�RSDUFLX�R�wyrównane obserwacje.
Obserwacja – wynik pomLDUX��VSRVWU]H*HQLH� Obserwacje jednorodne –�Z\QLNL�SRPLDUX� MHGQHJR� URG]DMX�ZLHONR�FL��QS��VDP\FK�N��WyZ�OXE�VDP\FK�GáXJR�ci; - niejednorodne –� ]ELyU�REVHUZDFML� Uy*QHJR�URG]DMX�ZLHONo-�FL��QS��Z�FL�JX�SROLJRQRZ\P�Z\VWSXM��]DUyZQR�REVHUZDFMH�N�WRZH�MDN�L�OLQiowe.
2GFK\áND�UyZQDQLD�RGFK\áHN –�Uy*QLFD�SRPLG]\�ZDUWR�FL��WHRUHW\F]Q��UyZQDQLD�Za-UXQNRZHJR� L� MHM�ZDUWR�FL��SU]\EOL*RQ�� �REOLF]RQ��SR�SRGVWDZLHQLX�QLHZ\UyZQDQ\FK�Rb-serwacji).
3DUDPHWU\�HOLSV\�EáGX��UHGQLHJR –�ZDUWR�FL�ZLNV]HM��a) i mniejszej (b��SyáRVi elipsy (obliF]RQH�]�SUDZD�SU]HQ��VL�Eá���U��ZLHONR�FL�VNRUHORZDQ\FK�GOD�ZVSyáU]GQ\FK�SXQNWX��RUD]�N�W�VNUFHQLD�α��REOLF]RQ\�MDNR�ZDUXQHN�Z\VW�SLHQLD�HNVWUHPDOQ\FK�ZDUWR�FL�a i b).
3UDZR�SU]HQRV]HQLD�VL�EáGyZ��UHGQLFK��SR]ZDOD�RNUH�OLü�ZDUWR�ü�EáGX��UHGQLHJR�ZLHONR�FL�REOLF]RQHM�QD�SRGVWDZLH�SRPLDUyZ��NWyU\FK�Z\QLNL�REDUF]RQH�V��]QDQ\PL��Zy-OLF]RQ\PL�OXE�]DáR*RQ\PL��EáGDPL��UHGQLPL�� Redundancja – liczba obserwacji QDGZ\PLDURZ\FK� �QDGOLF]ERZ\FK�� QDGRNUH�ODM��cych) równa liczbie wszystkich obserwacji PLQXV�OLF]ED�REVHUZDFML�QLH]EGQ\FK��5yZQD�jest liczELH�QLH]DOH*Q\FK�warunków�]DFKRG]�F\FK�SRPLG]\�REVHUZDFMDPL�
6áRZQLF]HN�ZD*QLHMV]\FK�WHUPLQyZ�]�UDFKXQNX�Z\UyZQDZF]HJR 97
5yZQDQLD� EáGyZ –� SU]HNV]WDáFRQH� UyZQDQLD� REVHUZDF\MQH� GR� SRVWDFL� OLQLRZHM�� 3o-SUDZNL�Z\UD*RQH�V�� MDNR�IXQNFMH�OLQLRZH�SU]\URVWyZ�QLHZLDGRP\FK��:VSyáF]\QQLNL�SU]\�QLHZLDGRP\FK�RWU]\PXMHP\�Z�Z\QLNX�]Uy*QLF]NRZDQLD��Z]JOGHP�SRV]F]HJyOQ\FK�QLe-wiaGRP\FK��IXQNFML�]�UyZQD��REVHUZDF\MQ\FK� Równania obserwacyjne (poprawek) –� REVHUZDFMH�Z\UD*RQH� MDNR� IXQNFMH� QLHZLDGo-P\FK� �SDUDPHWUyZ�SR�UHGQLF]�F\FK���:\UyZQDQH�ZDUWR�FL� REVHUZDFML� L� QLHZLDGRP\FK�SRZLQQ\�VSHáQLDü� WH�]ZL�]NL�Z�VSRVyE��FLVá\� �kontrola generalna wyrównania). Rów-QD��REVHUZDF\jnych jest tyle, ile wszystkich obserwacji.
Równania RGFK\áHN –� SU]HNV]WDáFRQH� UyZQDQLD� ZDUXQNRZH� GR� SRVWDFL� OLQLRZHM�� 5RO�nieZLDGRP\FK� Z� W\FK� UyZQDQLDFK� SHáQL�� SRSUDZNL�� :VSyáF]\QQLNL� SU]\� SRSUDZNDFK�otrzymuMHP\�Z�Z\QLNX�]Uy*QLF]NRZDQLD��Z]JOGHP�SRV]F]HJyOQ\FK�REVHUZDFML��UyZQD��warunkowych.
Równania warunkowe (warunki) –��FLVáH�]ZL�]NL�PDWHPDW\F]QH��MDNLH�SRZLQQ\�]DFKo-dzLü� SRPLG]\� REVHUZDFMDPL� :\UyZQDQH� ZDUWR�FL� REVHUZDFML� SRZLQQ\� VSHáQLDü� WH�]ZL�]NL� Z� VSRVyE� �FLVá\� �kontrola generalna wyrównania). Liczba warunków równa jest liczbie obserwacji nadwymiarowych.
6WDáD�RULHQWDFML�VWDQRZLVND – D]\PXW�Ä]HUD´�OLPEXVD��Uy*QLFD�SRPLG]\�D]\PXWHP�Ga-QHJR� NLHUXQNX� D�ZDUWR�FL�� WHJR� NLHUXQNX�� F]\OL� RGF]\WHP�QD� OLPEXVLH��� 3U]\� SRPLDU]H�kierunków wyVWSXMH�MHGQD�VWDáD��QLHZLDGRPD��RULHQWDF\MQD�QD�ND*G\P�VWDQRZLVNX� Transformacja Helmerta (wyrównanie) – liczba punktów dostosowania s > 2. Wyrów-nanie polega na obliczeniu poprawek Vx, Vy�GR�ZVSyáU]GQ\FK�SXQNWyZ�GRVWRVRZDQLD��5RO�QLHZLDGRP\FK�Z�SURFHVLH�Z\UyZQDQLD�PHWRG�� SR�UHGQLF]�F��SHáQL����SDUDPHWU\�transformacji: wekWRU� SU]HVXQLFLD�X0, Y0�� N�W� VNUFHQLD�α� XNáDGX�ZWyUQHJR�Z]JOGHP�pierZRWQHJR�RUD]�ZVSyáF]\QQLN�]PLDQ\�VNDOL�k��/LF]ED�UyZQD��SRSUDZHN�UyZQD�MHVW�So-dwójnej liczbie punktów dostosowania.
8NáDG�QDGRNUH�ORQ\�UyZQD�� OLQLRZ\FK�–�XNáDG��Z�NWyU\P�OLF]ED�UyZQD�� MHVW�ZLNV]D�RG�OLF]E\�QLHZLDGRP\FK��3U]\NáDGHP�XNáDGX�QDGRNUH�ORQHJR�MHst XNáDG�UyZQD��EáGyZ (przyrówQDQ\�GR�]HUD��Z�PHWRG]LH�SR�UHGQLF]�FHM� 8NáDG�QiedoRNUH�ORQ\�UyZQD�� OLQLRZ\FK�–�XNáDG��Z�NWyU\P�OLF]ED�UyZQD�� MHVW�PQLHj-V]D�RG� OLF]E\�QLHZLDGRP\FK��3U]\NáDGHP�XNáDGX�QLHGRRNUH�ORQHJR� MHVW�XNáDG� UyZQD��odchyáHN w metodzie zawarunkowanej.
Waga obserwacji –�UDQJD�SRPLDUX��OLF]RQD�QDMF]�FLHM�MDNR�RGZURWQR�ü�NZDGUDWX�EáGX��UHGQLHJR�REVHUZDFML�� ,P�ZLNV]D�ZDJD� �PQLHMV]\�Eá�G��� W\P�ZLNV]\�ZSá\Z�GDQHM�Rb-serwacji na wyniki wyrównania.
:\UD]�ZROQ\�UyZQDQLD�EáGyZ – obliczamy jako ró*QLF�SRPLG]\�ZDUWR�FL��REOLF]RQ��obVHUZDFML��QD�SRGVWDZLH�QLHZLDGRP\FK�SU]\EOL*RQ\FK��D�Z\QLNLHP�SRPLDUX� :\UyZQDQLH��FLVáH –� ���ZV]\VWNLH� REVHUZDFMH�Z\UyZQ\ZDQH�V�� MHGQRF]H�QLH�����So-SUDZNL� GR� ZV]\VWNLFK� REVHUZDFML� SRZLQQ\� E\ü� GREUDQH� ZHGáXJ� ]DVDG\� QDMPniejszych kwadratów. W wyrównaniu SU]\EOL*RQ\P�*DGHQ�]�W\FK�ZDUXQNyZ�QLH�PXVL�E\ü�VSHáQLo-ny.
Zasada najmniejszych kwadratów –�VXPD�NZDGUDWyZ�SRSUDZHN�SRZLQQD�VL� UyZQDü�minimum [ ]( ).minvvvvv =+++= �2
322
21 .
UWAGA! 3RZ\*V]H�GHILQLFMH�QLH�V���FLVáH��PDM��RQH�FKDUDNWHU�RJyOQ\��6áRZQLF]HN�PD�QD� FHOX� SU]\SRPQLHQLH� SRMü� L� ]DJDGQLH�� MX*� ZF]H�QLHM� RSDQRZDQ\FK� SU]H]� VWXGHQWD��%DUG]LHM�V]F]HJyáRZH� LQIRUPDFMH�V��SRGDZDQH�Z� UDPDFK�Z\NáDGyZ�RUD]�Z�SRGUF]Qi-kach z rachunku wyrównawczego.