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FUNCIONESFUNCIONES
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Contenidos:Contenidos:•DefiniciónDefinición
•Análisis de Función:Análisis de Función:
De primer gradoDe primer grado
Valor AbsolutoValor Absoluto
Parte EnteraParte Entera
ExponencialExponencial
LogarítmicaLogarítmica
CuadráticaCuadrática
Función RaízFunción Raíz
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Definición:Definición:
•Relación entre dos conjuntos, uno Relación entre dos conjuntos, uno de partida denominado Dominio y de partida denominado Dominio y uno de llegada denominado uno de llegada denominado Recorrido.Recorrido.
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( ) ( ) ( ) ( ){ }WDZCYBXA ,;,;,;,
Se denomina “X imagen de A” ó “A pre imagen de X”
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Representación cartesianaRepresentación cartesiana
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Condiciones:Condiciones:
•Para que una relación cualquiera se Para que una relación cualquiera se defina como función nunca puede defina como función nunca puede ocurrir que:ocurrir que:
Un elemento del dominio tenga dos Un elemento del dominio tenga dos imágenes en el recorrido.imágenes en el recorrido.
Algún elemento del Dominio no Algún elemento del Dominio no tenga imagen.tenga imagen.
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Evaluación dE Evaluación dE funcionEsfuncionEs
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Función algebraicaFunción algebraica( ) 1x2xf +=
1
2
3
4
3
5
7
9
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Función CrecienteFunción Creciente
( ) ( )bfafba
iominDoalpertenecenbyaSi
≥⇒≥
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Función DecrecienteFunción Decreciente
( ) ( )bfafba
iominDoalpertenecenbyaSi
≤⇒≥
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función Parfunción Par
( ) ( )xfxf −=
( ) 2xxf =
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función imParfunción imPar( ) ( )xfxf −=−
( ) 3xxf =
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Función de pr imer Función de pr imer gradogrado
Función Afín Función
Lineal
Función constante
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Función de primer gradoFunción de primer grado
•Exponente de la variable igual a 1.Exponente de la variable igual a 1.
•Tiene como representación gráfica una Tiene como representación gráfica una recta.recta.
•Dom f: IRDom f: IR
•Rec f: IRRec f: IR
IRIRf →:
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Función LinealFunción Lineal
•Función de Primer grado con Función de Primer grado con coeficiente de posición igual a cero que coeficiente de posición igual a cero que por ende pasa por el origen del plano por ende pasa por el origen del plano
cartesianocartesiano
0;)( ≠= aaxxf
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03)( += xxf
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Caso particular de la función linealFunción identidad
xxf =)(
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Función AfínFunción Afín
•Función de primer grado con Función de primer grado con coeficiente de posición distinto de cero, coeficiente de posición distinto de cero, que por ende no pasa por el origen del que por ende no pasa por el origen del
sistema cartesianosistema cartesiano
0,0;)( ≠≠+= babaxxf
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12)( += xxf
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Función constanteFunción constante
•Función que no Función que no depende de la depende de la
variable x, y que por variable x, y que por ende es representada ende es representada
en el plano cartesiano en el plano cartesiano como una recta como una recta paralela al eje xparalela al eje x
axf =)(
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3)( =xf
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Función parte enteraFunción parte entera[ ]xxf =)(
•Define la imagen de cada elemento del Define la imagen de cada elemento del dominio como el mayor valor entero menor dominio como el mayor valor entero menor
o igual al númeroo igual al número
Zc
IRDom
:Re
:
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[ ]xxf =)(
[ ] 28,2)8,2( ==f
[ ] 22)2( ==f
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[ ]xxf =)(
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Función Valor AbsolutoFunción Valor Absoluto
•Define la imagen Define la imagen de todos los valores de todos los valores
como números como números positivos.positivos.
x
positivoxx,
negativoxx,−
positivoxx,
x
positivoxx,
x
positivoxx,
negativoxx,−x
positivoxx,
+0:Re
:
IRc
IRDom
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xxf =)(
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Vértice( )( )khV
khxxf
,
+−=
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( )2,1 −−
( )( ) ( )
2;1
21
21
−−=−−−=
−+=
kh
xxf
xxf
[ [+∞− ,2:Rec
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Función raíz cuadradaFunción raíz cuadrada
( ) xxf =
+
+
0
0
:Re
:
IRc
IRDom
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( ) xxf =
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Función ExponencialFunción Exponencial
•Exponente VariableExponente Variable
•Base ConstanteBase Constante
1,;)( ≠= apositivoaaxf x
+IRc
IRDom
:Re
:
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1quemayoraFunción Creciente
Función decreciente
1quemenoryceroquemayora
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( ) xxf 2=
Asíntota en eje xAsíntota en eje x
( ) xxf 2=
Asíntota en eje x
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( )x
xf
=
2
1
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Función logarítmicaFunción logarítmica
bacb ca =↔=log
1;,log)( ≠= apositivoaxxf a
IRc
IRDom
:Re
: +
1;,log)( ≠= apositivoaxxf a
IRc
IRDom
:Re
: +
bacb ca =↔=log
1;,log)( ≠= apositivoaxxf a
IRc
IRDom
:Re
: +
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1quemayoraFunción Creciente
Función decreciente
1quemenoryceroquemayora
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( ) xxf log=
Asíntota eje y
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Función cuadráticaFunción cuadrática
• Exponente mayor de la variable igual a 2.Exponente mayor de la variable igual a 2.
• Su gráfica esta representada por una parábola.Su gráfica esta representada por una parábola.
( ) 0;2 ≠++= acbxaxxf
+∞
−
−∞− ,
22,:Re
:
a
bfó
a
bfc
IRDom
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( ) 2xxf = Vértice
−−
−−
a
bac
a
bV
a
bf
a
bV
4
4,
2
2,
22
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Eje de simetría
a
bx
2
−=
−=
a
bfy
2
Valor mínimo
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Intersecciones con el eje xDada una ecuación cuadrática que se puede factorizar de la forma ; Las soluciones de dicha ecuación que representan las intersecciones con el eje x serán
02 =++ cbxax( ) ( ) 0=−− qxpx
qxypx ==
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Fórmula cuadrática
Dada una ecuación cuadrática de la formaSi tiene intersecciones con el eje x estas se pueden calcular utilizando la fórmula cuadrática
02 =++ cbxax
a
acbbx
2
42 −±−=
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( ) 322 −+= xxxf
( ) ( )13
013
0322
=−==−+
=−+
xx
xx
xx
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CUADRÁTICAS INCOMPLETAS
( ) bxaxxf += 2
( ) caxxf += 2
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xxxf 2)( 2 −=
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( ) 12 −= xxf
![Page 52: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/52.jpg)
FORMA CANÓNICA DE LA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
( ) ( ) khxaxf +−= 2
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( ) ( ) 213 2 −+−= xxf
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Análisis de discriminanteAnálisis de discriminante
acb 42 −=∆Se define el discriminante de la forma:
soluciónnegativo
solucióncero
solucionespositivo
sin
1
2
→∆→∆→∆
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( ) 322 −+= xxxf
1642 =− acb
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( )04
442
2
=−++=
acb
xxxf
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( )124
422
2
−=−++=
acb
xxxf
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Traslación y ref lexión de Traslación y ref lexión de funcionesfunciones
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Traslación en el eje xTraslación en el eje x
•Dada una función f(x), trasladarla “a” Dada una función f(x), trasladarla “a” unidades hacia la derecha se representa unidades hacia la derecha se representa como f(x-a)como f(x-a)
•Trasladarla a unidades hacia la izquierda Trasladarla a unidades hacia la izquierda se representa como f(x+a)se representa como f(x+a)
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EjemplosEjemplos
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Dada la función Dada la función Trasladarla 3 unidades haciaTrasladarla 3 unidades haciala derecha se representa de la formala derecha se representa de la forma
( ) xxf =
( ) 33 −=− xxf
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( ) xxf =
![Page 63: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/63.jpg)
( ) 3−= xxf
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Dada la función Dada la función
Trasladarla 2 unidades hacia Trasladarla 2 unidades hacia
La izquierda se representa de La izquierda se representa de
La formaLa forma
( ) xxf log=
( ) ( )2log2 +=+ xxf
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( ) xxf log=
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( ) ( )2log2 +=+ xxf
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Traslación en el eje yTraslación en el eje y
•Dada una función f(x), trasladarla “a” Dada una función f(x), trasladarla “a” unidades hacia arriba (en el eje y) se unidades hacia arriba (en el eje y) se representa de la forma f(x)+a.representa de la forma f(x)+a.
•Trasladarla “a” unidades hacia abajo se Trasladarla “a” unidades hacia abajo se representa de la forma f(x)-arepresenta de la forma f(x)-a
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EjemplosEjemplos
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Dada la función exponencialDada la función exponencial
de la forma de la forma
Trasladarla 2 unidades hacia Trasladarla 2 unidades hacia
Arriba se representa de la formaArriba se representa de la forma
( ) xxf 3=
( ) 232 +=+ xxf
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( ) xxf 3=
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( ) 232 +=+ xxf
![Page 72: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/72.jpg)
Dada la función valor absolutoDada la función valor absoluto
de la forma de la forma
Trasladarla 2 unidades hacia Trasladarla 2 unidades hacia
Abajo se representa de la formaAbajo se representa de la forma
( ) xxf =
( ) 22 −=− xxf
![Page 73: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/73.jpg)
( ) xxf =
![Page 74: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/74.jpg)
( ) 22 −=− xxf
![Page 75: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/75.jpg)
Reflexión en el eje xReflexión en el eje x
•Dada una función f(x), la Dada una función f(x), la representación simétrica representación simétrica (refelxión) en torno el eje x se (refelxión) en torno el eje x se representa de la forma –f(x)representa de la forma –f(x)
![Page 76: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/76.jpg)
Dada la función cuadráticaDada la función cuadrática
De la forma De la forma
La reflexión en torno al eje xLa reflexión en torno al eje x
Se representa comoSe representa como
( ) 222 ++= xxxf
( ) 222 −−−=− xxxf
![Page 77: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/77.jpg)
( ) 222 ++= xxxf
![Page 78: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/78.jpg)
( ) 222 −−−=− xxxf
![Page 79: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/79.jpg)
Reflexión en el eje yReflexión en el eje y
•Dada una función f(x), la Dada una función f(x), la representación simétrica representación simétrica (refelxión) en torno el eje y se (refelxión) en torno el eje y se representa de la forma f(-x)representa de la forma f(-x)
![Page 80: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/80.jpg)
Dada la función logarítmicaDada la función logarítmica
De la forma De la forma
La reflexión en torno al eje yLa reflexión en torno al eje y
Se representa comoSe representa como
( ) xxf log=
( ) ( )xxf −=− log
![Page 81: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/81.jpg)
( ) xxf log=
![Page 82: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/82.jpg)
( ) ( )xxf −=− log
![Page 83: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/83.jpg)
Reflexión de una función Reflexión de una función cuadrática con respecto al e je cuadrática con respecto al e je
xx
![Page 84: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/84.jpg)
( ) 332 +−= xxxf
![Page 85: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/85.jpg)
( ) ( ) ( ) 332 +−−−=− xxxf
![Page 86: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/86.jpg)
( ) 332 +−= xxxf( ) 332 ++=− xxxf
![Page 87: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/87.jpg)
Casos ParticularesCasos Particulares
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( ) xxf =
![Page 89: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/89.jpg)
Trasladarla una unidad Trasladarla una unidad hacia arribahacia arriba
( ) 1+xf
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![Page 91: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/91.jpg)
( ) ( )11 +=+ xfxf
Para toda función de primer Para toda función de primer grado con pendiente igual a grado con pendiente igual a
11
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( ) [ ]xxf =
![Page 93: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/93.jpg)
Al desplazarla una unidad hacia Al desplazarla una unidad hacia arr ibaarr iba
( ) [ ] 11 +=+ xxf
![Page 94: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/94.jpg)
( ) [ ]xxf =
( ) [ ] 1+= xxf
![Page 95: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/95.jpg)
Para toda Para toda funciónfunción( ) [ ]xxf =
( ) ( )[ ] [ ] axax
constaaxfaxf
+=+∀+=+ .;
![Page 96: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/96.jpg)
FuncionesFunciones
TraslaciónTraslación ReflexiónReflexión
Eje xEje x Eje yEje y Eje xEje x Eje yEje y
Se suma o resta Se suma o resta a la variablea la variable
f(x+a)f(x+a)
Se suma o restaSe suma o restaa la funcióna la función
f(x)+af(x)+a
Inverso adit ivoInverso adit ivode la funciónde la función
-f(x)-f (x)
Inverso adit ivoInverso adit ivode la var iablede la var iable
f( -x)f ( -x)
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![Page 98: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/98.jpg)
![Page 99: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/99.jpg)
![Page 100: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/100.jpg)
![Page 101: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/101.jpg)
![Page 102: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/102.jpg)
![Page 103: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/103.jpg)
![Page 104: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/104.jpg)
![Page 105: Taller de repaso funciones](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052301/5594bd461a28ab86588b4573/html5/thumbnails/105.jpg)
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( ) 321 2 +−=+ xxxf
( ) ?=af