Download - Tavole Laplace
-
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 130
3.3 Tabella delle propriet generali della trasformata di Lapla-
ce
AVVERTENZA 1. Nel seguente elenco (ni 1-22) la trasformata di una funzione denotata con lettera
maiuscola (es. F) denotata con la corrispondente lettera minuscola (es. f).
TRASFORMATA (variabile s) FUNZIONE (variabile x)
1. a f1(s) + b f2(s) a F1(x) + b F2(x)
2. f (s/a) a F(ax)
3. f (s a) eaxF(x)
4. easf (s) G(x) : G(x)DEF.=
{F(x a) x > a0 x < a
5. s f (s) F(0) F(x)
6. s2f (s) sF (0) F(0) F(x)
7. snf(s) sn1F(0) sn2F(0) F(n1)(0) F(n)(x)
8. f(s) x F(x)
9. f(s) x2F(x)
10. f(n)(s) (1)nxnF(x)
11.f (s)
s
x0
F(u) du (v.AVV.2)
AVVERTENZA 2. In questo caso, come in altri analoghi successivi, la funzione G(x) da trasformare
andrebbe definita nel seguente modo: G(x)DEF.=
x
0F(u)du, ma, per semplicit, la si denota nel modo
abbreviato x
0F(u)du.
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 131
TRASFORMATA (variabile s) FUNZIONE (variabile x)
12.f (s)
sn
x0
(xu)n1(n 1)! F(u) du
13. f (s) g(s) F(x) G(x) = x
0
F(u) G(x u) du
14.+
sf (u) du (v.AVV.3)
F(x)
x
15.1
1 esT
T
0
esu F(u) du F(x) = F(x+T )
16.f (
s)
s
1pix
0
eu2/4x F(u) du
17.1
sf (1/s)
0
Jo(2
ux) F(u) du (v.AVV.4)
18.1
sn+1f (1/s) xn/2
0
un/2 Jn(2
ux) F(u) du
19.f (s + 1/s)
s2 + 1
x0
Jo(2
u (x u)) F(u) du
20.1
2pi
+
0
u3/2
es2/4u f (u) du F(x2)
21.f (log s)
s log s
0
xu F(u)
(u + 1)du
22.P(s)
Q(s)
P(s) = polinomio di grado inferiore a n,Q(s) = (s1)(s2)(sn)dove 1,...,n sono tutti distinti
nk
1
P(k)
Q(k)ekx
AVVERTENZA 3. Anche in tal caso, e in altri analoghi successivi, la funzione trasformata g(s)
andrebbe definita nel seguente modo: g(s)DEF.=
+
sf (u)du, ma, per semplicit, la si denota in modo
abbreviato g(s) =+
sf (u) du.
AVVERTENZA 4. Per la definizione delle funzioni di Bessel Jn(x) v. 3.5 seguente.
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 132
3.4 Tabella delle trasformate di Laplace di funzioni di interesse
fisico-matematico
f (s) F(x)
1.1
s1
2.1
s2x
3.1
sn, n = 1, 2, 3, . . .
xn1
(n 1)! , 0! = 1
4.1
sn, n R+ x
n1
(n)
5.1
s a eax
6.1
(s a)n , n = 1, 2, 3, . . .xn1eax
(n 1) ! , 0! = 1
7.1
(s a)n , n R+
xn1eax
(n)
8.1
s2 + a2sin(ax)
a
9.s
s2 + a2cos(ax)
10.1
(s b)2 + a2ebx sin(ax)
a
11.s b
(s b)2 + a2 ebx cos(ax)
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 133
f (s) F(x)
12.1
s2 a2sinh(ax)
a
13.s
s2 a2 cosh(ax)
14.1
(s b)2 a2ebx sinh(ax)
a
15.s b
(s b)2 a2 ebx cosh(ax)
16.1
(s a) (s b) , a , bebx eax
b a
17.s
(s a) (s b) , a , bbebx aeax
b a
18.1
(s2 + a2)2sin(ax) ax cos(ax)
2a3
19.s
(s2 + a2)2x sin(ax)
2a
20.s2
(s2 + a2)2sin(ax) + ax cos(ax)
2a
21.s3
(s2 + a2)2cos(ax) 1
2ax sin(ax)
22.s2 a2
(s2 + a2)2x cos(ax)
-
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 134
f (s) F(x)
23.1
(s2 a2)2ax cosh(ax) sinh(ax)
2a3
24.s
(s2 a2)2x sinh(ax)
2a
25.s2
(s2 a2)2sinh(ax) + ax cosh(ax)
2a
26.s3
(s2 a2)2 cosh(ax) +1
2ax sinh(ax)
27.s2 + a2
(s2 a2)2 x cosh(ax)
28.1
(s2 + a2)3(3 a2x2) sin(ax) 3 ax cos(ax)
8a5
29.s
(s2 + a2)3x sin(ax) ax2 cos(ax)
8a3
30.s2
(s2 + a2)3(1 + a2x2) sin(ax) ax cos(ax)
8a3
31.s3
(s2 + a2)33x sin(ax) + ax2 cos(ax)
8a
32.s4
(s2 + a2)3(3 a2x2) sin(ax) + 5ax cos(ax)
8a
33.s5
(s2 + a2)3(8 a2x2) cos(ax) 7ax sin(ax)
8
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 135
f(s) F(x)
34.3s2 a2
(s2 + a2)3x2 sin(ax)
2a
35.s3 3a2s(s2 + a2)3
1
2x2 cos(ax)
36.s4 6a2s2 + a4
(s2 + a2)41
6x3 cos(ax)
37.s3 a2s
(s2 + a2)4x3 sin(ax)
24a
38.1
(s2 a2)3(3 + a2x2) sinh(ax) 3ax cosh(ax)
8a5
39.s
(s2 a2)3ax2 cosh(ax) x sinh(ax)
8a3
40.s2
(s2 a2)3ax cosh(ax) + (a2x2 1) sinh(ax)
8a3
41.s3
(s2 a2)33x sinh(ax) + ax2 cosh(ax)
8a
42.s4
(s2 a2)3(3 + a2x2) sinh(ax) + 5ax cosh(ax)
8a
43.s5
(s2 a2)3(8 + a2x2) cosh(ax) + 7ax sinh(ax)
8
44.3s2 a2
(s2 + a2)3x2 sinh(ax)
2a
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 136
f (s) F(x)
45.s3 + 3a2s
(s2 a2)31
2x2 cosh(ax)
46.s4 + 6a2s2 + a4
(s2 a2)41
6x3 cosh(ax)
47.s3 + a2s
(s2 a2)4x3 sinh(ax)
24a
48.1
s3 + a3eax/2
3a2
{3 sin
3 ax
2 cos
3 ax
2+ e3ax/2
}
49.s
s3 + a3eax/2
3 a
{cos
3 ax
2+
3 sin
3 ax
2 e3ax/2
}
50.s2
s3 + a31
3
(eax + 2eax/2 cos
3 ax
2
)
51.1
s3 a3eax/2
3a2
{e3ax/2 cos
3 ax
2
3 sin
3 ax
2
}
52.s
s3 a3eax/2
3a
{3 sin
3 ax
2 cos
3 ax
2+ e3ax/2
}
53.s2
s3 a31
3
(eax + 2eax/2 cos
3 ax
2
)
54.1
s4 + 4a41
4a3(
sin(ax) cosh(ax) cos(ax) sinh(ax))
55.s
s4 + 4a4sin(ax) sinh(ax)
2a2
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 137
f (s) F(x)
56.s2
s4 + 4a41
2a
(sin(ax) cosh(ax) + cos(ax) sinh(ax)
)
57.s3
s4 + 4a4cos(ax) cosh(ax)
58.1
s4 a41
2a3(
sinh(ax) sin(ax))
59.s
s4 a41
2a2(
cosh(ax) cos(ax))
60.s2
s4 a41
2a
(sinh(ax) + sin(ax)
)
61.s3
s4 a41
2
(cosh(ax) + cos(ax)
)
62.1
s + a +
s + b
ebx eax2(b a)
pix3
63.1
s
s + a
erf
axa
64.1
s (s a)eax erf
ax
a
65.1
s a + b eax
{ 1pix
beb2x erfc(bx)}
66.1
s2 + a2Jo(ax)
-
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 138
f (s) F(x)
67.1
s2 a2Io(ax)
68.(
s2 + a2 s)ns2 + a2
, n > 1 anJn(ax)
69.(s
s2 a2)n
s2 a2, n > 1 anIn(ax)
70.eb (s
s2+a2)
s2 + a2
Jo(a
x(x + 2b))
71.eb
s2+a2
s2 + a2
{Jo(a
x2 b2)) x > b
0 x < b
72.1
(s2 + a2)3/2x J1(ax)
a
73.s
(s2 + a2)3/2x Jo(ax)
74.s2
(s2 + a2)3/2Jo(ax) ax J1(ax)
75.1
(s2 a2)3/2x I1(ax)
a
76.s
(s2 a2)3/2 x Io(ax)
77.s2
(s2 a2)3/2 Io(ax) + ax I1(ax)
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 139
f (s) F(x)
78.1
s (es 1) =es
s (1 es) F(x) = n, n 5 x < n + 1, n = 0, 1, 2, . . .
v.anche n141, pag.145
79.1
s (es r) =es
s (1 res)F(x) =
[x]k
1
rk
dove [x] = il piu` grande intero 5 x
80.es 1
s (es r) =1 es
s (1 res) F(x) = rn, n 5 x < n + 1, n = 0, 1, 2, . . .
v. anche n143, pag.146
81.ea/s
s
cos(2
ax)pix
82.ea/s
s3/2sin(2
ax)
pia
83.ea/s
sn+1, n > 1
(xa
)n/2Jn(2
ax)
84.ea
s
s
ea2/4x
pix
85. ea
sa
2pix3
ea2/4x
86.1 ea
s
serf
(a/(2
x)
)
87.ea
s
serfc
(a/(2
x)
)
88.ea
s
s (
s + b)
eb (bx+a) erfc(b
x +a
2
x
)
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 140
f (s) F(x)
89.ea/
s
sn+1, n > 1 1
pix a2n+1
0
uneu2/4a2xJ2n(2
u)du
90. logs + as + b
ebx eaxx
91.log[(s2 + a2)/a2]
2sCi(ax)
92.log [(s + a)/a]
sEi(ax)
93. ( + log s)s
log x
= cost. di Eulero = 0.5772156...
94. log(s2 + a2s2 + b2
) 2( cos(ax) cos(bx))x
95.pi2
6s+
( + log s)2
s = cost. di Eulero = 0.5772156...
log2 x
96.log s
s
(log x + ) = cost. di Eulero = 0.5772156...
97.log2 s
s
(log x + )2 16pi2
= cost. di Eulero = 0.5772156...
98.(n + 1) (n + 1) log s
sn+1, n > 1 xn log x
99. arctg(a/s)sin(ax)
x
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 141
f (s) F(x)
100.arctg(a/s)
sSi(ax)
101.ea/s
serfc(
a/s)
e2
ax
pix
102. es2/4a2 erfc(s/2a)
2api
ea2x2
103.es
2/4a2 erfc(s/2a)
serf(ax)
104.eas erfc(
a/s)
s
1pi (x + a)
105. eas Ei(as)1
x + a
106.1
a
[cos(as)
{pi2 Si(as)
} sin(as) Ci(as)
] 1x2 + a2
107. sin(as){pi2 Si(as)
}+ cos(as) Ci(as)
x
x2 + a2
108.cos(as)
{pi2 Si(as)} sin(as) Ci(as)
sarctg(x/a)
109.sin(as)
{pi2 Si(as)} + cos(as) Ci(as)
s
1
2log
(x2 + a2a2
)
110.[pi2 Si(as)
]2+ Ci2(as)
1
xlog
(x2 + a2a2
)
111. 0 N(x)
-
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 142
f (s) F(x)
112. 1 (x) (=distribuzione di Dirac)
113. eas (x a)
114.eas
sU(x a)
v. anche n139, pag.145
115.sinh(st)
s sinh(sa)
t
a+
2
pi
n
1
(1)nn
sinnpit
acos
npix
a
116.sinh(st)
s cosh(sa)
4
pi
n
1
(1)n2n 1 sin
(2n 1)pit2a
sin(2n 1)pix
2a
117.cosh(st)
s sinh(sa)
x
a+
2
pi
n
1
(1)nn
cosnpit
asin
npix
a
118.cosh(st)
s cosh(sa)1 +
4
pi
n
1
(1)n2n 1 cos
(2n 1)pit2a
cos(2n 1)pix
2a
119.sinh(st)
s2 sinh(sa)
xt
a+
2a
pi2
n
1
(1)nn2
sinnpit
asin
npix
a
120.sinh(st)
s2 cosh(sa)t +
8a
pi2
n
1
(1)n(2n 1)2 sin
(2n 1)pit2a
cos(2n 1)pix
2a
121.cosh(st)
s2 sinh(sa)
x2
2a+
2a
pi2
n
1
(1)nn2
cos
(npit
a
) (1 cos npix
a
)
122.cosh(st)
s2 cosh(sa)x +
8a
pi2
n
1
(1)n(2n 1)2 cos
(2n 1)pit2a
sin(2n 1)pix
2a
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 143
f (s) F(x)
123.cosh(st)
s3 cosh(sa)
1
2(x2 + t2 a2) 16a
2
pi3
n
1
(1)n(2n 1)3 cos
(2n 1)pit2a
cos(2n 1)pix
2a
124.sinh(t
s)
sinh(a
s)
2pi
a2
n
1
(1)nn en2pi2x/a2 sin npita
125.cosh(t
s)
cosh(a
s)
pi
a2
n
1
(1)n1(2n 1) e(2n1)2pi2x/4a2 cos (2n 1)pit2a
126.sinh(t
s)
s cosh(a
s)
2
a
n
1
(1)n1e(2n1)2pi2x/4a2 sin (2n 1)pit2a
127.cosh(t
s)
s sinh(a
s)
1
a+
2
a
n
1
(1)nen2pi2x/a2 cos npita
128.sinh(t
s)
s sinh(a
s)
t
a+
2
pi
n
1
(1)nn
en2pi2x/a2 sin
npit
a
129.cosh(t
s)
s cosh(a
s)1 +
4
pi
n
1
(1)n2n 1 e
(2n1)2pi2x/4a2 cos(2n 1)pit
2a
130.sinh(t
s)
s2 sinh(a
s)
xt
a+
2a2
pi3
n
1
(1)nn3
(1 en2pi2x/a2) sin npita
131.cosh(t
s)
s2 cosh(a
s)
1
2(t2 a2) + x 16a
2
pi3
n
1
(1)n(2n 1)3 e
(2n1)2pi2x/4a2 cos(2n 1)pit
2a
132.Jo(it
s)
s Jo(ia
s)
1 2
n
1
e2nx/a
2
Jo(nt/a)
n Jn(n)
dove 1, 2,...sono le radici positive di Jo() = 0
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 144
f (s) F(x)
133.Jo(it
s)
s2 Jo(ia
s)
1
4(t2 a2) + x + 2a2
n
1
e2nx/a
2
Jo(nt/a)
3n
Jn(n)
dove 1, 2,...sono le radici positive di Jo() = 0
134.1
as2tanh
(as2
)Funzione onda triangolare
0
1
2a 4a 6ax
F(x)
135.1
stanh
(as2
)Funzione onda quadrata (o quadra)
-1
1
a 2a 3a 4a 5ax
F(x)
136.pia
a2s2 + pi2coth
(as2
)Funzione onda seno rettificata
0
1
a 2a 3ax
F(x)
137.pia
(a2s2 + pi2) (1 eas)
Funzione onda seno semirettificata
0
1
a 2a 3a 4ax
F(x)
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 145
f (s) F(x)
138.1
as2 e
as
s (1 eas)
Funzione onda a dente di sega
0
1
a 2a 3a 4ax
F(x)
139.
eas
s
v. anche n114, pag.142
Funzione unitaria di Heaviside
0
1
ax
F(x) = U(x a)
140.eas (1 es)
s
Funzione impulso
0
1
a a+x
F(x)
141.
1
s (1 eas)v. anche n78, pag.139
Funzione a scalino
0123
a 2a 3ax
F(x)
142.es + e2s
s (1 es)2
F(x) = n2, n 5 x < n + 1, n = 0, 1, 2, . . .
01234
1 2 3x
F(x)
-
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 146
f (s) F(x)
143.
1 ess (1 res)
v. anche n80, pag.139
F(x) = rn, n 5 x < n + 1, n = 0, 1, 2, . . .
0
1
r
1 2 3x
F(x)
144.pia (1 + eas)
a2s2 + pi2
F(x) ={ sin(pix/a) 0 5 x 5 a
0 x > a
0
1
ax
F(x)
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 147
3.5 Tabella delle funzioni speciali
1. Funzione Gamma, della variabile reale n:
(n) =
0
un1
ueu du , n R+
2. Funzione Beta, delle due variabili reali m, n:
B(m, n) =
10
um1(1 u)n1 du = (m)(n)
(m + n), m, n R+
3. Funzioni di Bessel: per ogni n Z+ {0},Jn(x) =
xn
2n(n + 1)
{1 x
2
2(2n + 2)+
x4
2 4(2n + 2)(2n + 4) }
4. Funzioni di Bessel modificate : per ogni n Z+ {0},In(x) = i
nJn(ix) =xn
2n(n + 1)
{1 +
x2
2(2n + 2)+
x4
2 4(2n + 2)(2n + 4) + }
5. Funzione degli errori
erf(x) =2pi
x0
eu2
du
6. Funzione complementare della funzione degli errori
erfc(x) = 1 erf(x) = 2pi
x
eu2
du
7. Integral esponenziale
Ei(x) =
x
eu
udu
8. Integral seno
Si(x) =
x0
sin u
udu
9. Integral coseno
Ci(x) =
x
cos u
udu
CAPITOLO 3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE 148
10. Integral seno di Fresnel
S(x) =
x0
sin u2 du
11. Integral coseno di Fresnel
C(x) =
x0
cos u2 du
12. Polinomi di Laguerre
Ln(x) =ex
n!
dn
dxn(xnex) , n = 0, 1, 2, . . .