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TECNICA DELLE TECNICA DELLE COSTRUZIONI COSTRUZIONI
ESERCITAZIONIESERCITAZIONI
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Corollari di Mohr• L’ordinata h(z) e la rotazionef(z), in un punto genericodella trave data, sono ugualirispettivamente al momentofittizio M*(z) e alla forza ditaglio fittizia T*(z) della traveausiliaria, pensata caricatacon il diagramma dellecurvature:
q*(z)=M(z)/EJ(z)
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•Le rotazioni fA e fB agliestremi della trave realesono uguali alle reazionifittizie RA* e RB* dovute alcarico
q*(z)=M(z)/EJ(z)(curvatura)
anch’esso pensato applicatoalla trave ausiliaria.
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Esercizio 1:Determinare l’abbassamento e la rotazione nel punto 2 della seguente struttura:
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Struttura Reale
Cinem. Static . Cinem. Static .
h1=0 M1≠0 h2≠0 M2=0 f1=0 T1≠0 f2≠0 T2=0
M1*=0 M2*≠0
T1*=0 T2*≠0
Struttura Ausiliaria
Cinem. Static . Cinem. Static .
h1=0 M1≠0 h2≠0 M2=0 f1=0 T1≠0 f2≠0 T2=0
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Soluzione:Individuiamo subito le reazioni vincolari grazie alle equazioni d’equilibrio:
E’ semplice determinare i diagrammi di azione interna:
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Dal diagramma del momento otteniamo il diagramma delle curvature infatti:
Sappiamo poi che il carico fittizio sarà pari alla curvatura:
-
-
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La struttura di servizio viene caricata con il carico fittizio.
Per conoscere l’abbassamento nel punto d’incastro dovremo calcolarci il momento flettente che compete a quell’estremo:
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L’abbassamento coincide proprio con il momento
dell’incastro:
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La reazione fittizia della trave ausiliaria V2* vale:
V2* = (PL/EJ)*L*(1/2) = PL2/2EJ =f2
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11f2 = PL2/2EJ
h2 = PL3/3EJ
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Esercizio 2:Data la seguente struttura determinare la rotazione dei 2 nodi estremi “o” ed “i” e l’abbassamento in mezzeria.
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Ricerca della struttura ausiliaria
M1*=0 M2*=0
T1* ≠0 T2*≠0
Struttura Ausiliaria
Struttura Reale
Cinem. Static . Cinem. Static.
h1= 0 M1=0 h2= 0 M2= 0 f1 ≠ 0 T1≠0 f2≠ 0 T2 ≠ 0
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Soluzione:Determiniamo in primo luogo le reazioni vincolari:
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Per calcolare il momento dividiamo la trave in 2 campi omogenei usando una diversa ascissa curvilinea x per ogni campo. Nei 2 tratti l’espressione del momento sarà simile:
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Da questo diagramma si ottiene quello delle curvature e quindi quello del carico fittizio
+
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STRUTTURA AUSILIARIA
Dove la risultante di quei 2 triangoli sarà pari a:
Con le solite equazioni d’equilibrio determiniamo le reazioni vincolari:
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E le rotazioni incognite saranno pari al taglio nella struttura ausiliaria:
Infatti gli abbassamenti positivi vanno dall’alto versoil basso mentre le rotazioni saranno positive seorarie e negative se antiorarie.
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Q* = area triangolo = R1*
hm = M*m= R1
*(L/2) – Q*(1/3)(L/2) = PL3/48EJ
hm= PL3/48EJ
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Esercizio 3:Data la seguente struttura determinare la rotazione dei 2 nodi estremi “o” ed “i” e l’abbassamento in mezzeria.
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Soluzione:Dato che la struttura non è iperstatica la variazione termica non produce momento, però deforma la trave producendo una rotazione pari a :
e dato che la curvatura è pari al carico fittizio R(x) = q * la struttura di servizio sarà:
(dove h è l’altezza della sezione)
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Determiniamo le reazioni vincolari:
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Per conoscere le rotazioni ai nodi dovremo esprimere il taglio fittizio:
Valutandolo alle estremità otteniamo le rotazioni cercate:
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Abbassamento in mezzeria:h = (aDTl/h) (l/2) – (2aDT/h) (l/2)(l/4)
h = (aDTl2/2h) - (aDTl2/4h) = (aDTl2/4h)