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9
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL4A. Método Fourier: Oscilaciones transversales de una Cuerda
En parte Según Cap.2 Libro Levanuyk, p.43-71
Tratamos pequeños desplazamientos u(x,t) de cuerda en dirección transversal Movimientos solo en plano x, u(x,t)
Solo buscamos dispalzamentos verticales en plano uy(x,t)=u(x,t)
ux
uuy
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10
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Sumando efecto de tensiones T(x), T(x+dx) mas fuerzas externas (f)[actuan sobre elemento dx ]
Detalles: Cap.2.1.3 APL
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11
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Ecuación de las oscilaciones transversales ( pequeñas) de una cuerda
En general la densidad de fuerzas externas f(x,t) puede cambiar a o largo de la cuerda
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12
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/waves-intro/waves-intro.html
http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.htmlhttp://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/wave-x-t/wave-x-t.html
Ver Movies explicando varios tipos de ondas
Ondas longitudinales
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13
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Ondas transversales
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Ondas en agua ( liquido) : transversales+longitudinalesPuntos azules mueven en circulos – direccion RELOJ
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Ondas Rayleigh ( solido): transversales+longitudinalesPuntos azules cerca de superficie mueven en elipses–CONTRA-RELOJPuntos mas profundos: en elipses direccion -RELOJ
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16
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Vibraciones propias de una cuerda
Esta ecuación se denomina como ECUACION de ONDA( Ecuación tipo HIPERBOLICO)
Condiciones de contorno ( puesto que los extremos son fijos)
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Como hemos visto en capitulo anterior, los movimientos complicados ( osciladores acoplados) pueden ser asociados con modos normales de vibración del sistema.
Veamos si en el caso de la cuerda es posible obtener resultados análogos.
Veamos si existen movimientos transversales LIBRES (i.e. con f=0)de la cuerda en los que cierto perfil de desplazamientos X se conserva.
Es decir, movimientos descritos por una función de la forma: ( T- función solo del tiempo)
1. Sustituir en EDP (homog.)2. Separar variables
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Para que esta función cumpla la ecuación de movimientode la cuerda, esto es la ecuación de onda:
Dividiendo por X*T y agrupando:
=?
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Como cada de 2 partes es función de distintas variables (x ; t)Esta igualdad solo tiene sentido si:
Signo de se elige para futura conveniencia
=
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Para cumplir condiciones de contorno para todos modos en todos momentos del tiempo, buscamos aquellos que satisfacen a:
Las soluciones serán o de tipo exponencial (≠0)o lineales (=0)
A este tipo de problemas (que resultan en“autofunciones ortoganales”)
se les denomina problemas de Sturm-LiouvilleMas adelante trataremos características mas generales de estos problemas
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
NOTA 1Si <0, la solución general se escribe de manera
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Metodo Fourier: Cuerda
Para cumplir condiciones de contorno:
C1=0 Solo tendremos solución trivial
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
NOTA 2Si =0, la solución general se escribe de manera
También tendremos solución trivial
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
CLASE
Vamos hallar TODOS soluciones posibles del problema
si > 0
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
NOTA 3Solo si >0, tendemos soluciones tipo ondaLa solución general se escribe de manera
Tendremos soluciones no-triviales para
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Tendremos conjunto de autovalores
Y conjunto de auto funciones que forman el conjunto desoluciones no triviales del problema de Sturm-Liouville
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
NOTA 4 El subconjunto de soluciones que se obtiene con n < 0 noes esencialmente distinto del que se obtiene con n > 0:
Dicho de otro modo, con n > 0 se obtienen todas las funciones asociadas con un determinado valor de
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28
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Entonces se ve que el conjunto de movimientos de la cuerda enlos que se conservan determinados perfiles de desplazamiento es un conjunto de oscilaciones armónicas (n > 0) de tipo:
A, , son constantes arbitrarias, Frecuencias angulares ( frecuencias propias) de estas oscilaciones n son:
kn son números de onda
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Formula D`Alembert ( mas adelante)
representa 2 soluciones ( ondas propagantes) que habitualmente se propagan en medios infinitos en direcciones opuestas
En medios restringidos soluciones son ondas estacionarias.
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30
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Necesitamos buscar vibraciones propias de una cuerda ( FIJA en AMBOS EXTREMOS) como superposición de oscilaciones armónicas
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Supongamos condiciones iniciales
1
2
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32
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Metodo Fourier: Cuerda
Multipliquemos la primera ecuación (1) por la función por
Y integraremos entre 0L
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33
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
= L/2 ( n=m)
= 0 ( n≠m)
=L/2*nmfunción de DELTA de Krönicker
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34
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Entonces:
(An =)
CLASE (Individualmente o colaborando):
Sin mirar libro !
Bn?
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35
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Analogicamente
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36
NOTA 1: para la solución del problema no-estacionaria usando método se separación de variables es
(como realizada arriba) importante presencia de condiciones del contorno 1er, 2-do o 3-er tipo
homogéneas
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
En el caso contrario opcion es realizar cambios para llegar a valores de contorno de tipo cero
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37
Problema EDP con contornos no-homegeneos
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
realizar cambios en funcion a resolver u(x,y,z,t)=v(x,y,x,t)+f(x,y,z,t)
para llegar CC homogeneos (tipos 1-3)
Sustituir expresion para u(x,y,z,t) en EDP y llegar a CC homogeneos para v(v,y,z,t)
+ nueva EDP para v(x,y,z,t)
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38
CLASE Realizar cambios de variables para llegar a Ec. diferencial con contornos homogeneos: a) Cambio de variableb) Ec. Diferencial y Cond. contornos para nueva variable
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
1. Oscilaciones de cuerda con extremos a distinta altura (1)
2. Cuerda con un extremo izquierdo fijo; otro variando posicion
h=ConstL
La) h=hoexp(-t)
b) h=hosent
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39
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
1. Oscilaciones de cuerda
con extremos a distinta altura
h=ConstL2
2 .......Ec. homog...CC homogene
( , ) ( , )
=0 (0, ) ( , ) 0
(0, ) (0, )
eneaos
0( , )
tt xx
tt xx
u c uhu x t v x t xL
v c vv t v L t
u t v tu L t h
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40
Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
2a. Cuerda con un extremo fijo y otro despazado exponencialmente
Lh=hoexp(-t)
2
0
2 0
0
de variable ( , ) ( , ) exp( )
exp( ) ...........
(0
E
, ) ( , ) 0 .........
(0, ) 0;
CC h
c. no homogenea
omogeneos
tt xx
tt xx
u c uhCambio u x t v x t x tL
hv c v x tL
v t v L t
u t
0( , ) exp( )u L t h t
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
2b. Cuerda con un extremo fijo y otro oscilado periódicamente
Lh=hosent
2
0
2 2 0
0
de variable ( , ) ( , ) sin( )
sin( ) ............
(0,
E
) ( , ) 0 ...... C...
(0, ) 0
c.
C homogene
no homoge
;
os
nea
tt xx
tt xx
u c uhCambio u x t v x t x tL
hv c v x tL
v t v L t
u t
0 ( , ) sin( )u L t h t
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42
Métodos Matemáticos en FísicaL.3. Método Fourier: Cuerda
NOTA 2: Suponemos que es necesario solucionar siguiente problema ( Ec. Onda nohomogenea)
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Según principio de superposición (sistemas lineales)http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3n
Podemos buscar la solución con superposición de soluciones de problemas (I) y (II)
u=u1+u2
PROBL. u1
PROBL. u2
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Métodos Matemáticos en FísicaL.3. Método Fourier: Cuerda
Miercoles 24/09:
2 horas seguidas : Termo+MM3 =2MM3
Parte de segunda hora: micro-evaluacion
Traer LIBROS de INTEGRALES / Wolfram Matematica
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Metodo Fourier: Cuerda
NOTA 3: para la solución de ecuación no-homogéneade condiciones del contorno tipo cero (homogéneas)
En muchos casosse puede buscar la solución usando método de desarrollo por
Funciones propias (Autofunciones)Por ejemplo, en caso anterior:
2 ( , )tt xxu a u f x t
1( , ) ( ) ( )n
n
nu x t Q t sen xL
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
NOTA 4 sobre funciones propias y Coordinadas Normales:
Expresando la solución como:
Sumamos la solución por todos posibles vibraciones harmónicas de cuerda Xnque cumplen condición de ortogonalidad:(TEORIA: mas adelante L4G)
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Sustituyendo soluciónen ecuación de onda
Otro punto de vista a método SL:
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Con Xn hallados de problema SL (que permite disminuir numero de derivadas parciales) obtendremos:
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Multiplicando por sen(kmx) y integrando entre 0L
Se ve que para cada una de nodos normales (m) se cumple ecuación de oscilador harmónico:
Debemos identificar por tanto los coeficientes Qm con las coordenadas normales del sistema.
= 0
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
En la física resulta bastante habitual descomponer un movimiento complicado en varios movimientos más sencillos.
Por ejemplo, el movimiento de una partícula en el espacio se describe a partir de tres movimientos: uno a lo largo de cada eje de coordenadas.
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Usando el mismo metodo en caso de oscilaciones forzadas de una cuerda:
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Resolvemos el problema usando coordinadas normalesBuscamos solución u(x,t) en forma
Sustituyedo en Ec. y usando soluciones SL
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Multiplicando por Xm y integrando entre 0LLlegamos a Ec. differencial a resolver:
Con
Ec. diff. ordinarias de 2 orden nohomogéneas
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Análisis espectral de sonidos: “un poco de música”
La frecuencia principal de una cuerda:
Resto de frecuencias propias:
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Caso particular con SOLO desplazamiento inicial:Cuerda con extremos fijos
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Supongamos condiciones iniciales
1
2
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Los coeficientes An de serie:
Amplitud de harmónicos para x0=L/2
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
PROB:vibraciones de cuerda con extremos fijos despuesde golpe puntual : METODO #1
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Los coeficientes Bn de serie:
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Métodos Matemáticos en FísicaL.4. Método Fourier: Cuerda
Amplitud de harmónicos para x0=L/2(Solo harmónicos impares son excitados en este caso)