TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA Prof. Dr. Eduardo Escartín González
HISTORIA DEL PENSAMIENTO ECONÓMICO
TEMA 30
LA ECONOMÍA MATEMÁTICA
TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA Prof. Dr. Eduardo Escartín González
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1.- INTRODUCCIÓN
La moderna concepción de la ciencia exige que
todo conocimiento deba estar contrastado con los hechos
reales para que sea científico y que toda explicación
científica pueda ser sometida a refutación mediante la
experiencia en sus resultados, en sus hipótesis y en sus
supuestos. El método científico no impide la concepción
de teorías abstractas y deductivas; pero la inducción se
ha extendido, procedente de las ciencias físicas, a las
sociales. Así, se ha unificado el criterio científico1.
En la economía, contribuyeron en gran medida
todas las corrientes de pensamiento: las inductivas, las
deductivas, las historicistas, las institucionalistas, las
estructuralistas, las cuantitativistas y las matemáticas.
Sobre todo estas últimas, ya que las matemáticas se han
aplicado con carácter general en todas las ciencias, hasta
tal punto que una teoría no asentada en fundamentos
matemáticos no parece científica, sino especulativa.
Actualmente, el empleo de las matemáticas en
la economía se lleva a cabo en dos órdenes, hasta cierto
punto, independientes y complementarios:
1º. En la teoría pura, mediante la formulación
de modelos basados en relaciones funcionales
de tipo genérico. De ellas se extraen múltiples
consecuencias, mediante la inferencia, gracias
a la lógica interna y al poder deductivo de las
reglas matemáticas. La lógica matemática,
exenta de resultados subjetivos, sustituye a la
exposición y el razonamiento verbal, expuestos
al frecuente error del subjetivismo y de la
voluntariedad.
2º. En el contraste empírico, mediante modelos
formulados con relaciones funcionales de tipo
concreto, cuyos parámetros y resultados se
pueden calcular y comprobar de un modo
experimental. Este segundo aspecto de la
1 Sobre el método de hacer ciencia, véase la Introducción a esta Historia del Pensamiento Económico.
aplicación de las matemáticas a la economía
constituye el campo de actuación de la
Econometría.
El término econometría se debe al economista
noruego, profesor de la Universidad de Oslo, y primer
Premio Nobel de economía en 1969 -compartido con el
holandés Jan Tinbergen (1903-1994)- Ragnar Frisch
(1895-1973), quien también hizo la distinción moderna
entre estática y dinámica económica (véase Tema 18 y
Tema 29, Epígrafe 6 –p. 483–). Ragnar Frisch con
Irving Fisher y otros economistas fundaron en 1930 la
Econométric Society (Sociedad de Econometría),
radicada en Estados Unidos, aunque su ámbito es
internacional. El primer artículo de sus estatutos define
los fines de la sociedad:"el progreso de la teoría
económica en sus relaciones con la estadística y las
matemáticas. Su objeto esencial es favorecer los puntos
de vista teórico y empírico en la exploración de los
problemas económicos, inspirándose en un estudio
metódico y riguroso semejante al que ha prevalecido en
las ciencias naturales". Esta sociedad publica desde
1933 la revista Econométrica.
Otra institución que contribuyó al desarrollo de
la investigación económica usando métodos estadísticos
fue la Cowles Foundation for Research in Economics,
creada en 1932 bajo la denominación inicial de Cowles
Commission y el patrocinio de Alfred Cowles. Y no hay
que olvidar el primero de estos organismos dedicados a
la investigación estadística, el National Bureau of
Economics Research (NBER) de Nueva York, fundado
en 1920 por Wesley C. Mitchell (Tema 29).
2.- LA ECONOMETRÍA
La econometría puede considerarse como la
confluencia de dos corrientes de pensamiento, la que
representan los economistas con inclinación hacia las
matemáticas y la que constituyen los estadísticos con
aficiones económicas. Entre ellos destacaron otrora los
ingleses William Petty, Gregory King, Stanley Jevons,
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Francis Y. Edgeworth y Alfred Marshall; los franceses
François Quesnay, Augustine Cournot; el suizo Daniel
Bennoulli; el italiano Vilfredo Pareto; el alemán Johann
H. von Thünen y el norteamericano Irving Fisher.
Más recientemente, a partir de la década de los
treinta del siglo XX, las técnicas estadísticas arraigaron
en Estados Unidos, donde encontraron un campo
propicio debido a la mentalidad pragmática de los
norteamericanos. Además de los fundadores del NBER y
la Sociedad de Econometría, ya citados en el tema
anterior, se distinguieron como económetras:
Henry Ludwell Moore (1869-1958), profesor
de la Universidad de Columbia (1902-1929), se propuso
dar contenido empírico a la economía deductiva porque
había observado lo poco que atraía la ciencia económica
pura a los estudiantes debido a su desconexión con los
resultados prácticos de las cuestiones económicas. Para
evitar esa desvinculación entre la teoría y la práctica se
dedicó a "comprobar estadísticamente algunas de las
conclusiones de la economía política pura" (citado por
Spiegel, p. 752).
En este intento investigó, mediante técnicas
estadísticas y econométricas, muchos principios teóricos
de la economía, tales como la producción y los precios
de determinados bienes, la productividad marginal, los
ciclos de los negocios (en función de las variaciones de
las cosechas según las fluctuaciones de las condiciones
meteorológicas, siguiendo, así, la idea de Jevons) y,
sobre todo, la deducción estadística de curvas de
demanda y sus diversos tipos de elasticidad.
Aunque otros autores habían trabajado con
curvas matemáticas de oferta y demanda, Schumpeter
(1954, pp. 256 y 1048) opina que Émile Cheysson en
1887 (Tema 25), Robert Alfred Lehfeldf, en La
elasticidad de la demanda del trigo (1914) y Henry L.
Moore, fueron los primeros autores que, tras un largo
paréntesis de unos doscientos años, continuaron la tarea
emprendida por Gregory King (Tema 7).
Las obras más importantes de H. L. Moore son:
Las leyes de los salarios (1911); Ciclos económicos: su
ley y su causa (1914); Predicción de la cosecha y el
precio del algodón (1917); Génesis de ciclos
económicos (1923) y Economía sintética (1929).
Henry Schultz (1893-1938) fue alumno de
Moore en la Universidad de Columbia y continuó la
labor investigadora iniciada por su maestro, en
colaboración con expertos estadísticos. Resultado de
estos estudios fueron sus libros Leyes estadísticas de
demanda y oferta (1936), Teoría y medición de la
demanda (1938) y su artículo «Interrelación entre
demanda, precios y renta» (publicado en Journal of
Political Economy, agosto de 1935).
Paul H. Douglas (1892-1976) fue estudiante
de la Universidad de Columbia, en la época de
profesorado de Henry Moore y de John B. Clark, y
ejerció la docencia en la Universidad de Chicago donde
tuvo la oportunidad de seguir las investigaciones
econométricas, iniciadas por Moore, sobre la
distribución de la renta, en especial los salarios, y la
comprobación estadística de las productividades
marginales de los factores de la producción. Su obra más
relevante de estudios econométricos es La teoría de los
salarios (1934).
Douglas y otro profesor de la Universidad de
Chicago, el matemático Charles W. Cobb, ya habían
realizado estudios sobre la renta nacional, cuyos
resultados plasmaron en el artículo «Una teoría de la
producción» (publicado en American Economic Review,
Suplemento de marzo de 1928). A tal fin usaron una
variante de la función de producción social de Wicksell
que contemplaba solamente dos factores productivos
(Schumpeter 1954, p. 1132):
La función de producción de Cobb-Douglas es
más general:
Y = c ⋅ K α L β (1)
En esta función c es un coeficiente constante, al
1 < siendo ; v v =x -121 α⋅ αα
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igual que α y β; K y L representan los factores de
producción, capital y trabajo, en términos de agregados
macroeconómicos; e Y es la renta, o producción,
nacional. Esta función tiene una doble peculiaridad:
En primer lugar, es una función homogénea de
grado α + β; es decir, si se sustituye K y L por el mismo
múltiplo de ellos, tal que n, entonces, toda la función
queda multiplicada por n α + β, siendo el exponente de n
el grado de homogeneidad (que en el presente caso es
α+β).
En segundo lugar, es una función de elasticidad
de sustitución constante (abreviadamente CES, cuyo
símbolo se representará por σ) e igual a la unidad: σ = 1.
En una función de 2 variables Y = F(K,L), en la
que la cantidad de Y se considera fija, la definición de
elasticidad de sustitución, σ, es:
Rd
LKd
log
)/(log=σ
en esta expresión R es la relación marginal de
sustitución: R = - dK/dL. La elasticidad de sustitución
mide el grado de facilidad con que se puede sustituir
determinada cantidad de una variable por la de la otra
variable, a partir de la razón en que ambas se encuentren
(K/L), para que el resultado (Y) permanezca constante.
Se demuestra (véase Bilas, 1971, pp. 191-194)
que:
)2()2(
)(22
LLKKKLLKKL
KLKL
FFFFFFFKL
FKFLFF
−−
+=σ
en esta fórmula, K y L son, como se ha dicho, las 2
variables y el resto de la nomenclatura es la siguiente:
FK es la derivada parcial de la función F respecto a K
FL es la derivada parcial de la función F respecto a L
FLK es la 2ª derivada parcial de la función F, primero
respecto a L y luego respecto a K (aunque resulta
indiferente hallarla primero respecto a K y luego
respecto a L).
FKK es la 2ª derivada parcial de la función F respecto a
K dos veces y FLL es la 2ª derivada parcial de la función
F respecto a L dos veces.
Calculando todas estas derivadas parciales en la
función de Cobb- Douglas (1) y sustituyendo sus valores
en la fórmula de la elasticidad de sustitución (2) se
obtiene que σ = 1. Con lo que se demuestra que, en
efecto, la elasticidad de sustitución es constante y,
además, es la unidad. O sea, el porcentaje de variación
de la razón K/L es el mismo que el de la variación de la
derivada de K respecto a L.
Cobb y Douglas trabajaron sobre un caso
particular de su función, el correspondiente a β = 1 - α,
de modo que, al ser α + β = 1, la función pasaba a ser
homogénea de grado uno ( es decir, se trataba de una
función que proporcionaba rendimientos a escala
constantes, porque la producción Y, que es la función,
quedaba multiplicada exactamente por el mismo
múltiplo n que las variables; mientras que si α + β > 1,
los rendimientos a escala serían crecientes siempre y
cuando a su vez fuera n >1, porque, entonces, se tendría
que n α + β > n y la producción Y quedaría multiplicada
por un numero mayor que el múltiplo n de las variables;
cuando α + β < 1 y n > 1 los rendimientos a escala serían
decrecientes).
Estos dos autores determinaron mediante la
técnica econométrica que el coeficiente α era un tercio,
que equivalía a la parte de la renta nacional imputable al
capital; de esta forma 1 - α también coincidía con las
observaciones sobre la participación de los salarios en la
renta nacional que ascendían a las dos terceras partes
(Spiegel, p. 753).
Wassily W. Leontief (1906-1999), profesor de
Harvard, estudiado en el Tema 22, con sus estudios de
las tablas sectoriales Input-Output, no puede dejar de
mencionarse en lo relativo a la investigación
econométrica; ni tampoco que al llegar a los EEUU
trabajó de investigador en el NBER. A partir de la II
Guerra Mundial, los avances logrados en la Econometría
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se aprovecharon para la investigación estadística de los
coeficientes de las tablas de Leontief.
3.- LA UNIVERSIDAD DE HARVARD
Esta prestigiosa universidad, la primera que se
fundó en los territorios que hoy son de los Estados
Unidos de América, bajo el patrocinio de John Harvard,
en 1636, en Cambridge (Massachusetts), ha contado con
famosos profesores de economía e igualmente se han
formado en ella buenos economistas; sin embargo, al
haber predominado la diversidad de la enseñanza no ha
dado lugar a la creación de una escuela de pensamiento
económico. Sin embargo a esta universidad pertenecen
destacados economistas matemáticos.
Entre los profesores de Harvard que ya han
sido citados se encuentran: Wassily W. Leontief (Tema
22); Joseph A. Schumpeter (Tema 24); Kenneth J.
Arrow (Tema 26); Edward H. Chamberlin (Tema 26),
John Kenneth Galbraith (Temas 18 y 26) y James S.
Duesenberry (Tema 28).
Otros famosos economistas de Harvard son:
Alvin H. Hansen (1887-1975), profesor de las
universidades de Minnesota (1919) y Harvard (1937),
fue economista del Departamento de Estado y de la
Junta de la Reserva Federal. Aunque al principio juzgó
severamente las teorías keynesianas anteriores a la
Teoría General, a raíz de ésta (que empezó criticándola
comedidamente) se convirtió en el propagador de las
ideas de Keynes y sin cejar un ápice ante la oposición de
la opinión pública y las presiones académicas para que
se suprimiera la enseñanza del keynesianismo. En esta
labor encontró la colaboración de su antiguo discípulo
Paul A. Samuelson, quien contribuyó grandemente a la
divulgación de Keynes con su libro de texto Economics,
An Intrductory Analysis (1948, cuya versión en
castellano se titula Curso de economía moderna), el cual
tampoco se libró de las críticas y propuestas de que se
erradicara de la enseñanza (Galbraith, 1987, pp. 261 y
262). Notables aportaciones de Hansen a la teoría
económica son sus estudios sobre ciclos económicos y
reforma monetaria. Entre sus obras se encuentran: Ciclos
de prosperidad y depresión (1921); Recuperación plena
o estancamiento (1938); Política fiscal y ciclos
económicos (1941); El papel de América en la
economía mundial (1945); Guía de Keynes (1953); La
economía americana (1957) y El dólar y el sistema
monetario internacional (1965).
Hasen aportó a la teoría keynesiana ideas como
el cebo de la bomba y la política fiscal
compensatoria. La analogía del cebo de la bomba
consiste en que, de la misma forma que primero hay que
cebar la bomba para que luego siga bombeando, un
nuevo gasto público pone en marcha la economía, la
cual sigue funcionando sin necesidad de más gastos
públicos. La política fiscal compensatoria consistía en
incurrir en gastos públicos para compensar el descenso
de la inversión privada. Esta propuesta se debía a que,
en la apreciación de Hansen, la causa de la depresión
económica era el decaimiento de la inversión privada. A
medida que la economía se reactivase, y la inversión
privada reapareciera, los gastos compensatorios irían
cesando. De esta idea se derivó posteriormente la noción
del presupuesto estatal sin déficit a lo largo del ciclo,
compensándose los déficits de los años de recesión con
los superávits de los años de auge (Lekachman, 1966,
pp. 138-139).
Basándose en la idea keynesiana del equilibrio
con paro e infrautilización de los recursos, Hansen
desarrolló la tesis del estancamiento secular, según la
cual, el sistema económico puede llegar a un punto en el
que ni los gastos compensatorios ni la política de cebar
la bomba consiga el crecimiento económico. Como la
inversión es uno de los elementos clave para el
equilibrio y fundamental para el crecimiento económico,
Hansen investigó los elementos que más influyen en la
cuantía de la inversión, a saber: el incremento de la
población y los recursos, la expansión de los mercados y
la investigación tecnológica. Encontró que todos estos
elementos dejan de expandirse y entran en decadencia en
las economías maduras, como la de Estados Unidos, por
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cuyo motivo descienden las oportunidades de invertir
rentablemente. Además, el aumento de los ingresos
induce descensos en la propensión marginal a consumir
y, por consiguiente, del multiplicador. Así, para impulsar
el crecimiento económico se necesitan cada vez mayores
tasas de inversión, que la iniciativa privada no puede
atender debido a la disminución de las posibilidades
rentables de invertir antes citada. Hansen propuso que el
estado fomentara programas de inversión financiados
con déficit público para mantener el crecimiento
económico y evitar el estancamiento. Pero, aun así, no
era optimista, pues aún quedaba por decidir qué
volumen de gasto público no llegaría a desincentivar la
libre empresa ni a generar una perniciosa inflación
(Lekachaman, 1966, pp. 140 a 147).
Como Hansen popularizó el esquema IS-LM
de Hicks, a continuación se expone su explicación:
Este esquema muestra la conexión entre la parte
real y la monetaria de la Teoría general de Keynes, de
suerte que se determina el nivel de renta real (Y) al
relacionar demanda (L) y oferta (M) de dinero con tipo
de interés y éste con la inversión (I) y el ahorro (S).
Los supuestos básicos de este esquema son que
el nivel de precios es fijo e igualmente no varían las
expectativas empresariales ni la oferta de dinero. La
función de ahorro se halla a partir de la función de
consumo keynesiana (C): S = Y-C, siendo así que S es
una función de Y, cuya representación gráfica es la de la
Figura 1.
Figura 1: Función de ahorro
La función de inversión, para unas expectativas
empresariales dadas, depende del tipo de interés de
forma decreciente. Su representación gráfica se ilustra
en la Figura 2.
Figura 2: Función de inversión
En el modelo keynesiano se requiere, para que
haya equilibrio, que la inversión y el ahorro sean iguales.
En las Figuras 1 y 2 se ha representado I0 =S0; I1=S1; e
I2=S2. Dada esta correspondencia se puede reflejar en un
gráfico la vinculación entre cada valor de la renta (Y0,
Y1, Y2, etc.) y su correspondiente tipo de interés (r0, r1,
r2, etc.). Esto se aprecia en la Figura 3.
Figura 3: Función IS
Ahora bien, este modo de proceder de Hicks y
Hansen convierte el equilibrio general de Keynes en un
equilibrio parcial, porque elimina la dependencia de la
función de ahorro del tipo de interés. En efecto, de la
crítica de Keynes (1936, pp 158.166) a la teoría clásica
del ahorro se deduce que sólo se puede identificar una
curva de ahorro tras haber fijado el nivel del tipo de
interés. Dicho de otra forma, si varía el tipo de interés la
función de ahorro se desplaza. En consecuencia, no se
I0 I1 I2
r0
r1
r2
r
I
Y
S
S0 S1 S2
Y2
Y1
Y0
S
0
r
IS
Y0 Y1 Y2
r0
r1
r2
Y
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pueden relacionar unas rentas procedentes de una única
representación gráfica del ahorro y la renta con los tipos
de interés variables (véase la explicación de esta teoría
keynesiana en el Tema 28, p. 456).
Aunque la función IS no es un fiel reflejo de la
teoría del equilibrio general de Keynes (porque como se
ha dicho supone implícitamente la independencia del
ahorro respecto de los tipos de interés y, además, el
resultado final transforma el ahorro en una función
decreciente del tipo de interés), proseguimos con la
explicación del modelo IS-LM.
La demanda de dinero (L), según Keynes, se
descompone en dos partes: una (L1) dependiente del
nivel de renta (por los motivos transacción y precaución)
y otra (L2) dependiente del nivel del tipo de interés (por
el motivo especulación fundamentalmente, pero también
un poco por los dos motivos anteriores que ven algo
alterada su demanda de dinero ante variaciones del tipo
de interés de cierta consideración). La demanda de
dinero L1 se ilustra en la Figura 4.
Figura 4: Demanda de dinero para transacciones
La demanda de dinero debida a la especulación
y también, en parte, al lucro procedente de la retribución
de los intereses se encuentra reflejada en la Figura 5. Es
preciso señalar que se tiene en cuenta el concepto de
trampa de liquidez, según el cual, ante un tipo de interés
muy bajo (rTL) todo el dinero disponible se demanda
para guardarlo y nadie se desprende de él.
Figura 5: Demanda de dinero para especular
Estas dos demandas se pueden combinar en una
gráfica (L=L1+L2) y, además, reflejar en ella una oferta
fija de dinero (M), como se ve en la Figura 6, en la que
se identifica una función de demanda para cada nivel de
renta real (recuérdese que se supone, en este modelo,
que el nivel de precios es fijo).
Figura 6: Oferta y demanda de dinero
En esta figura se ve que, dada una oferta de
dinero (mM) fija, hay una correspondencia entre los
valores de r y los de Y a medidas que la oferta se iguala
con las demandas de dinero a cada nivel de renta real.
Así, Y0 está asociada con r2, Y1 con r1 e Y2 con r0. Ahora
procede llevar estos valores de r y de Y a un gráfico,
cuyo resultado es la función LM de la Figura 7. En esta
figura se ha establecido un límite para la función LM,
porque se supone que la renta real no puede rebasar el
tope impuesto por la renta de pleno empleo (YPE).
Y L1
0 L1
r
rT
L2
0 L2
rTL
L2
0 L2
rTL
Y0 Y1 Y2
L 0
r
M
m
r0
r1
r2
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Figura 7: Función LM
Puesto que las funciones IS y LM contemplan
las mismas variables es posible agruparlas en una única
representación, tal como se aprecia en la Figura 8:
Figura 8: Esquema IS-LM
Según este esquema, el equilibrio compatible
con una oferta de dinero dada se establece cuando la
demanda de dinero se ajusta a ella mediante un tipo de
interés r1, al cual la inversión se iguala con el ahorro a
una renta real Y1.
En el modelo IS-LM, las respectivas funciones
se desplazan cuando varían los elementos que se habían
supuesto fijos. Así, si el nivel de precios aumenta, la IS
y la LM se desplazan a la izquierda, con lo que el tipo de
interés tiende a subir y la renta real a bajar (excepto que
esa tendencia sea contrarrestada por una mejora de las
expectativas empresariales inducida por el aumento de
los precios; si mejoran las expectativas empresariales, la
IS se desplaza a la derecha; y si la oferta monetaria
aumenta, la LM se desplaza a la derecha.
Simon Kuznets (1901-1985), economista
norteamericano de ascendencia rusa, ingresó en 1927 en
el National Bureau of Economics Research (NBER).
Fue profesor de economía en las universidades de
Pennsylvania (1935), Johns Hopkins (1954) y Harvard
(1960-1971). Recibió el Premio Nobel de economía de
1971 por sus aportaciones a la teoría del crecimiento
económico, mediante el cálculo estadístico de las
magnitudes macroeconómicas fundamentales, y por los
métodos de la contabilidad nacional para la
determinación de la renta nacional. Sus estudios
estadísticos permitieron contrastar y conocer mejor las
macromagnitudes y las hipótesis keynesianas. Muy
tempranamente, a principios de la II Guerra Mundial, los
estudios de Kuznets y sus discípulos, que ocuparon
cargos públicos, permitieron comprobar la certeza de la
hipótesis del equilibrio con infrautilización de recursos.
Efectivamente, en Estados Unidos existía gran
capacidad industrial y recursos humanos en paro que
todos estos economistas desde sus puestos en la
Administración, con Robert Roy Nathan (discípulo de
Kuznets) a la cabeza, se encargaron de movilizar.
Elaboraron el Programa Victoria, que era un plan de
producción de armamentos con unos objetivos muy
superiores a los que los políticos habían imaginado
como posibles de alcanzar. El programa se llevó a la
práctica con éxito, contribuyendo, así, estos economistas
a la economía de guerra de una forma inestimable
(Galbraith, 1987, pp. 267 y 269).
Las obras más importantes de Kuznets son:
Movimientos seculares en la producción y los precios
(1940); Renta nacional y su composición (1941); El
producto nacional desde 1869 (1946); Cambio
económico (1954); El capital en la economía
norteamericana (1961); El moderno crecimiento
económico (1966); Población, capital y crecimiento
(1974) y Crecimiento, población y distribución de la
renta (1979).
Paul Anthony Samuelson (1915), economista
norteamericano, discípulo de Hansen en Harvard, donde
0
r LM
Y0 Y
r0
r1
r2
Y YPE Y1
0 Y0 Y2
r0
r1
r2
Y
IS
LM
r
YPE
Y1
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se doctoró en 1941 (aunque anteriormente también había
estudiado en la Universidad de Chicago), ya ha sido
tratado en los Temas 26 (Epígrafe 4) y 28 (Epígrafe 5).
En 1940 obtuvo una plaza de profesor de economía en el
Instituto Tecnológico de Massachusetts, que ocupó
durante muchos años. Durante la II Guerra Mundial
trabajó para la Administración en la Junta Nacional de
Planificación y en la Junta de Producción de Guerra
(para la que el equipo de economistas de Kuznets había
elaborado el Plan Victoria sobre la producción de
armamentos) y después de la guerra en el Departamento
del Tesoro. Perteneció a la Econometric Society y a la
American Economic Associaton. Fue asesor de los
presidentes Kennedy y Johnson y criticó la política
económica del presidente Nixon. En 1970 se le concedió
el Premio Nobel de economía por sus estudios de teoría
microeconómica y econométricos, así como por sus
aportaciones a la dinámica y estática económicas.
De su prolífica obra destacan: Una nota sobre
la teoría pura del comportamiento del consumidor
(1938); Economía del bienestar y comercio
internacional (1938); Interacción entre el análisis del
multiplicador y el principio de aceleración (1939);
Fundamentos del análisis económico (1947); Curso de
economía moderna (1948, cuyo título original es
Economics, An Introductory Analysis); Teoría pura del
gasto público (1954); Exposición gráfica de una teoría
del gasto público (1955); Programación lineal y
análisis económico (1958, conjuntamente con R.
Dorfman y R.M. Solow) y sus obras completas The
Collected Scientific Papers of Paul A. Samuelson (1966,
2 vol. 1972, 3 vol., 1977, 4 vol. y 1987, 5 vol.).
Samuelson, muy joven (con 23 años) ya hizo un
gran aporte a la teoría del consumidor en el primero de
sus dos artículos citados de 1938. Afrontó dicha teoría
desde un punto de vista nuevo, el del ordinalismo
conductista o teoría de la preferencia revelada. Es
decir, las curvas de indiferencia del consumidor (o lugar
geométrico de las combinaciones de cantidades de
varios bienes que proporcionan la misma satisfacción)
podían hallarse y ordenarse (según fuera la preferencia)
observando el comportamiento del consumidor en el
mercado, al elegir (o sea, al revelar su preferencia) entre
diferentes conjuntos de bienes. Samuelson (que volvió a
tratar esta teoría bajo un punto de vista eminentemente
matemático en sus Fundamentos del análisis económico
-pp. 99 a 119-) soslayó la dificultad práctica de obtener
curvas de indiferencia por medio de la introspección,
absolutamente subjetiva de cada individuo, acudiendo a
un método totalmente objetivo y empírico susceptible de
tratamiento con datos estadísticos (una explicación de
esta teoría se encuentra en Bilas, 1967, pp. 125 y ss.).
La teoría del bienestar es otro de los
numerosos temas económicos que investigó. Llegó a
concluir que el concepto de óptimo de bienestar social
llevaba implícita una gran relatividad. Las condiciones
de óptimo de primer orden de una función de bienestar
social, sujeta a condiciones restrictivas, se encuentra
cuando los factores de la producción se distribuyen de
forma que el cociente entre la productividad marginal de
un factor en un uso y la productividad marginal del
mismo factor en otro uso es proporcional al cociente
entre la productividad marginal de cualquier otro factor
en el primer uso y su productividad marginal en el
segundo uso. Esta proporcionalidad, a su vez, es igual al
coste marginal del primer bien en términos del segundo
(Samuelson, 1947, p. 240). Esta condición lleva a que
tal máximo se encuentre en la frontera de la hiper-
superficie de las posibilidades de la transformación de
unos bienes en otros (función de transformación); pero
no se puede conocer su situación exacta, a menos que se
establezcan supuestos adicionales, como por ejemplo, el
conocimiento previo de los precios de los bienes. Y, aún
así, si el sistema productivo responde a costes
decrecientes, dicha hipersuperficie resultaría convexa
hacia el origen y la condición óptima no correspondería
a un máximo, sino a un mínimo de bienestar social
(ibídem, pp. 241 y 242). Problemas adicionales que
dificultan la obtención de un punto de equilibrio son la
decisión de “cómo dividir los bienes disponibles y qué
parte de las cantidades disponibles se han de utilizar
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efectivamente” (ibídem, p. 243). Estas decisiones
afectan a la definición de la función de bienestar social,
y sin una definición clara de la función es difícil buscar
un óptimo (ibídem, p. 243).
Por otra parte, con el aumento de la población
se multiplican las posibilidades de que no exista un
único punto de equilibrio óptimo, y también aumentan
las probabilidades de que, alcanzado uno de ellos,
cualquier cambio de situación no pueda mejorar a un
individuo sin empeorar, al menos, a algún otro (ibídem,
p. 251). Para dos individuos y dos bienes, esto se
comprueba fácilmente, mediante la Caja de Edgeworth,
observando las curvas de indiferencia de cada sujeto al
moverse ambos a lo largo de la curva de contratos
(ibídem, p. 245). Pero hay más, los individuos pueden
encontrarse fuera de la curva de contratos y no tener
ningún aliciente o motivación para moverse hacia ella.
Es decir, puede ocurrir que no se desee modificar la
situación existente ante el desconocimiento de la posible
mejoría (ibídem, p. 258). En realidad, es posible que, a
unos precios dados, cualquier cambio perjudique a
alguien. Tampoco es seguro que un avance tecnológico,
que desplaza hacia afuera la función de transformación y
permite más cantidad de un bien a cambio de menos de
otro, pueda representar “buen augurio para todos”
(ibídem, p. 259). Por ejemplo, “en un mundo donde casi
todas las industrias producen a un costo social
marginal menor que el precio (a causa del monopolio o
de economías externas), no sería deseable que las
restantes extiendan su producción hasta el punto en que
el costo marginal iguale al precio” (ibídem, p. 260).
En resumidas cuentas, según Boulding:
“Samuelson ha demostrado que ni siquiera podemos
estar seguros de que el grupo A disfruta de un mayor
bienestar que el B, aunque el A tenga colectivamente
una mayor cantidad de todo” (citado por Backhouse,
1985, p. 346).
Samuelson fue uno de los primeros autores en
explicar el ciclo económico por la interdependencia de
dos elementos: el multiplicador y el principio de
aceleración. Su versión fue la más aceptada (Backhouse,
1985, p. 394) y una adaptación de la misma por Hicks se
expuso en el Tema 27, p. 435. El efecto multiplicativo
del multiplicador (m=1/(1-c), siendo c la propensión
marginal a consumir) indicaba los cambios de la renta
nacional (Y) ante variaciones de la inversión (I):
∆Y=m∆I. El acelerador (k) mostraba la relación entre la
inversión (I) y el crecimiento del consumo (∆C=Ct-Ct-1):
I=k∆C; Samuelson supuso que Ct=cYt-1, por lo cual
I=kc(Yt-1-Yt-2), igualdad que se convierte, si designamos
v=kc, en I=v(Yt-1-Yt-2). La inversión, a su vez, por el
efecto del multiplicador, repercutía en la renta y, a través
de ésta, en el consumo. Para que la interacción de ambos
elementos condujera al ciclo, era preciso introducir en el
modelo explicativo unos desfases temporales; es decir,
se requería una teoría dinámica para la explicación del
ciclo. Pero Samuelson hizo ver que esos dos elementos
podían dar lugar ora a fluctuaciones amortiguadas que
tendían a un equilibrio, ora a oscilaciones amplificadas
que se separaban cada vez más del equilibrio
(Backhouse, 1985, p. 394).
También Samuelson fue un pionero en la teoría
de los bienes públicos con sus artículos Teoría pura del
gasto público (1954) y Exposición gráfica de la teoría
del gasto público (1955). Define el bien público como
un caso extremo en el que la cantidad de bien colectivo
consumida por un individuo no excluye ni reduce la
cantidad que otros puedan consumir, por ejemplo, el uso
y disfrute de la calle (Backhouse, 1985, p. 355). Esta
idea ya había sido anticipada muchos siglos antes por
Séneca, quien, en De los beneficios (Lib. IV; XXVIII),
decía que hay bienes que “están a la disposición de
todos”, y “no podrían llegar a ciertas personas sin
darlos a todas”. Entre otros Séneca cita las murallas de
la ciudad que defienden del enemigo tanto a los asesinos
como a los probos ciudadanos, y la ley y el derecho que
amparan tanto a los delincuentes como a los honrados.
La producción de bienes públicos plantea los
problemas de la recuperación de su coste (ya que se
dificulta la asignación individual de su consumo) y de la
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determinación del suministro de las cantidades óptimas
de los bienes públicos. En su análisis, Samuelson
concluye que la producción de bienes públicos será muy
escasa si dependiera de la iniciativa privada. La razón es
que el productor obtiene poco beneficio privado en
comparación con el gran beneficio social, que por lo
menos es igual a la suma de los beneficios de los
individuos que disfrutan de dicho bien público. En la
apreciación de Samuelson, los bienes públicos puros
eran prácticamente inexistentes. En cambio, era más
fácil encontrar bienes públicos impuros; o sea, aquéllos
que pueden dejarse de consumir, ya sea voluntaria, ya
sea coactivamente mediante la imposición de una tasa
(Backhouse, 1985, p. 356).
Samuelson fue un promotor de los métodos
matemáticos y econométricos en el campo de la
investigación científica de la economía. En 1947 publicó
una de sus más famosas obras, Fundamentos del análisis
económico, donde aprovechó para el análisis dinámico
sus conocimientos acerca de las ecuaciones diferenciales
y de diferencias, entre otras notables aportaciones a la
economía matemática. A este respecto, contribuyó a
difundir la distinción entre estática y dinámica
establecida por el profesor Ragnar Frisch. Así, sistema
dinámico es “todo conjunto de relaciones funcionales
que, juntamente con las condiciones iniciales (en el
sentido más general), determinan como soluciones
ciertas incógnitas en función del tiempo. Conforme a
esta definición, sistemas estáticos, atemporales, no son
más que casos especiales, degenerados, en los cuales
las ecuaciones funcionales toman formas simples y
determinan, como soluciones, funciones de tiempo que
son idénticamente constantes. Podemos, sin embargo,
adoptar una definición más estrecha, de modo que un
sistema no podrá considerarse como verdaderamente
dinámico si las ecuaciones funcionales comprenden tan
sólo variables “del mismo instante del tiempo”, sin
contener al tiempo -en el caso que llegaran a incluirlo-
sino como parámetro” (Samuelson, 1947, p. 296).
Precisando más estos conceptos, Samuelson
(ibídem, pp. 325 y 326) añade: “Estacionario es un
término descriptivo que caracteriza el comportamiento
de una variable económica en el tiempo; usualmente,
implica constancia, pero a veces se emplea en un
sentido más general comprendiendo el comportamiento
que se repite periódicamente en el tiempo”.
“Estático se refiere, entonces, a la forma y
estructura de las leyes postuladas que determinan el
comportamiento del sistema. Un equilibrio definido
como intersección de dos curvas sería estático.
Generalmente es “atemporal”, por cuanto nada se
indica acerca de la duración del proceso, pero puede
bien definirse como válido en el tiempo. Un mero
sistema estático definido de tal modo tendría también la
propiedad de ser estacionario. Pero, [...], se pueden
concebir sistemas estáticos que no son estacionarios en
el tiempo”.
“Podemos afirmar que un sistema es dinámico
si su conducta en el tiempo está determinada por
ecuaciones funcionales en las cuales están
comprendidas en forma“esencial” las “variables en
diferentes puntos del tiempo”. Esta formulación se debe
al profesor Frisch. Ejemplos particulares de tales
sistemas son aquellos definidos por ecuaciones de
“diferencias”, o sea, las que comprenden una variable y
sus valores retardados; por ecuaciones integrales,
donde los valores precedentes de la variable entran en
forma “continua”. Si damos una interpretación amplia
a la circunlocución “variable en diferentes puntos del
tiempo”, podemos también incorporar a la definición
las ecuaciones diferenciales”.
La Econometric Society, fundada en 1930,
contribuyó sobremanera al desarrollo de la econometría,
que permitió formular modelos económicos matemáticos
que permitían contraste empírico. Samuelson, inducido
por la necesidad del contraste empírico, expuso su
metodología del operacionalismo en su libro citado
Fundamentos del análisis económico. En este libro (pp.
3 a 5) criticó la metodología aplicada comúnmente en la
investigación económica. Tal metodología consistía en
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deducir leyes económicas derivándolas de supuestos a
priori, y se consideraba que las leyes, así deducidas,
tenían rigor y validez con independencia de la conducta
humana real. Para él la misión del economista era
deducir teoremas precisos que fueran operacionalmente
significativos. Entendía por teoremas significativos las
proposiciones, “expresadas en la forma más
conveniente para la verificación empírica” (ibídem, p.
112) que se conciben de forma que puedan ser refutadas,
aunque sólo en condiciones ideales. Es decir, los
economistas no pueden contentarse con obtener leyes
económicas deducidas de supuestos apriorísticos sino
que también deben tener en cuenta el contraste de los
supuestos con los datos empíricos que revelan el
comportamiento humano.
Este punto de vista dio origen a una viva
polémica en la que uno de los contendientes opuestos a
esta concepción fue Milton Friedman, del que ya se han
expuesto sus apreciaciones (en la p. 476). Samuelson
replicó a Friedman, a cuya formulación metodológica
denominó ‹‹ el giro F›› (“F - twist”) para designar lo que
Friedman hacía: “la formulación según la cual una
teoría científica no desmerece si sus premisas no son
realistas [...] siempre y cuando las ‹‹ predicciones›› de la
teoría sean útilmente ciertas” (Samuelson, 1992, p.
378). El argumento de Samuelson pretendía realzar la
importancia del realismo de los supuestos y no tanto de
las conclusiones, porque en todo el conjunto de las
posibles predicciones procedentes de una hipótesis
también está incluida la propia descripción a que se
refiere la hipótesis y si ésta es falsa se está achicando ya
de entrada el subconjunto de las predicciones realistas y
agrandando el de las no realistas. Como las hipótesis no
realistas llevan implícitas con seguridad predicciones no
realistas, “puede suceder que una teoría científica
adquiera valor porque tengamos razones para atribuir
mucha importancia a las predicciones de dicha teoría
que resulten ciertas y para atribuir poca importancia a
las que resulten falsas” (ibídem, p. 378). Backhouse
(1985, pp. 315 y 316) interpreta que las teorías podían
reformularse de modo que las conclusiones fueran
supuestos y los supuestos conclusiones; así, éstos serían
los que deberían ser contrastados y sometidos a la
refutación.
Samuelson, brillante y didáctico escritor, ha
contribuido a la divulgación y la enseñanza de la
economía con su libro Curso de economía moderna
(1948) que constituyó un best seller en todo el mundo al
utilizarse como libro de texto en numerosas
universidades, al igual que su nueva versión Economics
redactada en colaboración con William D. Nordhaus
(ambos libros han tenido numerosas traducciones y
reediciones).
Por último, cabe decir que Samuelson también
ha efectuado importantes aportaciones a la teoría del
comercio internacional y a la aplicación económica de
modelos matemáticos, como la programación lineal
(respecto a la cual ya se ha relacionado su libro de 1958
en colaboración con otros autores: Programación lineal
y análisis económico).
4.- LA TEORÍA DE LOS JUEGOS
La aplicación de la teoría de las probabilidades
con finalidades económicas, en el cálculo de riesgos y
que, por consiguiente, eran susceptibles de asegurarse,
datan de muy antiguo. Ya, a principios del siglo XVIII,
Daniel Bernoulli (Tema 7) había trabajado sobre ello. El
tratamiento de los sucesos y juegos de azar mediante las
probabilidades resultaba directamente aplicable al
mundo de los negocios y, a través de la hipótesis de
Bernoulli2, también al comportamiento individual del
comerciante, o, en general, de los hombres de negocios y
consumidores.
En la década de los años treinta del siglo XX,
varios matemáticos concibieron la idea de utilizar
perfeccionamientos teóricos sobre los juegos de azar en
el campo de la economía en el que se sentía la necesidad
2 Según dicha hipótesis «la importancia económica de un euro más es para cada individuo inversamente proporcional al número de euros que ya tiene».
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de superar, no ya los riesgos, que como se ha dicho
habían pasado a ser calculables y previsibles, sino la
incertidumbre.
A este nuevo enfoque, sus autores, John von
Neumann y Oskar Morgenstern, le dieron el nombre de
teoría de los juegos.
John von Neumann (cuyo nombre originario
era Janos Neumann, 1903-1957) fue un matemático
norteamericano, nacido en Hungría y nacionalizado en
Estados Unidos. Ejerció el profesor de las universidades
de Berlín, Hamburgo y Princeton. Antes de llegar a
Norteamérica en 1931 ya había publicado en 1928 un
artículo sobre la teoría de los juegos que luego
perfeccionaría y expondría en colaboración con el
profesor Morgenstern, también de Princenton, en Teoría
de los juegos y comportamiento económico (1944).
La nueva versión de los juegos de azar se
refería a casos en que los jugadores son activos ya que
toman sus propias decisiones y buscan las condiciones
más favorables a sus intereses, pese a las reacciones
posibles del jugador contrario. Estos son los juegos de
estrategia, en los que cada jugador puede elegir entre
varias alternativas, o estrategias, la más adecuada para
contrarrestar la acción decidida, también entre varias
posibles, por los otros jugadores. De este modo, la
finalidad de cada jugador consiste en minimizar sus
pérdidas compatibles con un máximo de ganancias.
Si se supone que las ganancias de algunos
jugadores son las pérdidas de otros, es decir, se trata de
juegos de suma cero y, para simplificar, que se reduce a
dos el número de jugadores, el que obtiene ganancias no
puede pretender alcanzar su máxima posibilidad de
ganar, puesto que el contrincante, con sus estrategias,
procurará impedírselo para perder lo mínimo posible.
Así, uno tendrá que contentarse con una ganancia menor
y el otro se conformará con una pérdida algo mayor de
las que ambos hubieren deseado.
John von Neumann ideó los conceptos de
minimax (el más pequeño de los máximos) y maximín
(el más grande de los mínimos) que proporcionan la
solución: el ganador buscará el maximín compatible con
el minimax que tratará de lograr el perdedor.
Supongamos, siguiendo a Castañeda (1969,
pp.534 a 536), un juego de suma cero en el que el
jugador A obtiene una ganancia, «a», que, a su vez, es la
pérdida del jugador B. Las diversas jugadas que A puede
elegir constituyen una variable que designaremos por x.
B tiene igualmente varias posibilidades con las que
contrarrestar las jugadas de A. Las posibles jugadas de B
se representarán mediante la variable y, de forma que
por cada jugada xi de A, B puede responder con cada
una de sus posibilidades yj. Por tanto, a cada
combinación de x e y (xi, yj) corresponde un resultado
ai,j; o sea, «a» es una función de x e y: a=f(x,y).
El objetivo de B es minimizar su pérdida según
sea la jugada que A haya realizado. Así, cuando A toma
la iniciativa, para cada uno de los valores fijados por A,
por ejemplo xo, B puede calcular su mínima pérdida en
la función a = f(x,y), que se hallará, por tanto, cuando
∂f/∂y = 0. Para otro valor x1, B también podrá calcular
su mínima pérdida en la función a = f(x,y); y para los
restantes valores fijos de x seguirá procediendo así
sucesivamente. El conjunto de los valores de todas estas
mínimas pérdidas forman una función que es el resultado
de hallar la derivada parcial de la función de los valores
«a» con respecto a y, ya que las x se consideran fijas;
esta nueva función de pérdidas de B puede ser
denominada como míny f(x,y).
El objetivo de A consiste en maximizar su
ganancia teniendo en cuenta la reacción de B, recién
descrita en el párrafo anterior. Por consiguiente, las
mayores ventajas al alcance de A con sus posibles
jugadas x, ante la reacción de B, será la de maximizar la
función de pérdidas de B. Por tanto, tendremos como
solución:
máxx míny f(x,y) (1)
Como no se sabe cual de los dos jugadores será
el primero en actuar y el otro en reaccionar, el
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razonamiento se puede establecer a la inversa, cuando es
B el que actúa en primer lugar teniendo en cuenta las
reacciones de A, en cuyo caso, tendrá que minimizar sus
perdidas según la función de ganancias de A; de modo
que tendremos ahora:
míny máxx f(x,y) (2)
Los resultados de (1) y (2) están relacionados
entre sí de forma que el máximo de A respecto a la
función de mínimas pérdidas de B nunca puede ser
mayor que el mínimo de B respecto a la función de
máximas ganancias de A; es decir, :
máxx míny f(x,y) ≤ míny máxx f(x,y)
Ahora bien, cuando existe la igualdad (aunque
no siempre es seguro que la haya), tal solución recibe el
nombre de punto de silla que es simultáneamente la
máxima de las mínimas pérdidas para un jugador y la
mínima de las máximas ganancias para el otro:
máxx míny f(x,y) = míny máxx f(x,y)
Para captar mejor estos conceptos veamos un
ejemplo numérico cuando, entre dos jugadores, cada uno
de ellos puede optar por tres estrategias, según se
expone en la siguiente Tabla, Juego de Estrategia.
ESTRATEGIAS DE B
ESTRATEGIAS DE A
I
II
III
I
9
10
8
II
11
5
7
III
3
12
4
TABLA: JUEGO DE ESTRATEGIA
Cuando un jugador adopta una estrategia el otro
puede oponérsele con una de las tres a su alcance.
Si A establece su 1ª estrategia puede ganar 9,
10 u 8, según que el contrincante, B, reaccione contra él
mediante su 1ª, 2ª o 3ª estrategia, respectivamente. Lo
lógico es que B, ante esta 1ª estrategia de A, opte por su
3ª estrategia que es la que le proporciona una menor
pérdida.
Si A elige su 2ª estrategia tiene posibilidades de
ganar 11, 5 ó 7, cuando B replique con su 1ª, 2ª ó 3ª
estrategia, respectivamente. Evidentemente, B hará
frente, ante la 2ª estrategia de A, con su 2ª estrategia,
para minimizar su pérdida.
Cuando A utiliza su 3ª estrategia, sus
hipotéticas ganancias serían 3, 12 y 4. Sin embargo,
deberá conformarse con ganar 3 ya que B empleará su 1ª
estrategia para contrarrestar esa acción de A.
En consecuencia, y teniendo en cuenta las
reacciones del contrario, las verdaderas posibilidades de
ganancia de A son entre 8, 5 y 3, según presente,
respectivamente, su 1ª, 2ª ó 3ª estrategia; estos valores
(8, 5 y 3) pertenecen a la función míny f(x,y). La opción
de A, como se ve, se limita a maximizar entre las
mínimas pérdidas del contrincante; o sea actúa según
indica (1). Por consiguiente, elegirá su 1ª estrategia. El
contrincante con sus estrategias sólo puede aspirar a
minimizar las máximas ganancias que obtendría A si
hubiera sido B quien llevara la iniciativa: 11, 12, y 8,
valores que pertenecen a la función máxx f(x,y). Así,
tanto para A como para B, 8 es el punto de silla o de
encuentro de sus correspondientes estrategias
Una variante más compleja de este tipo de
juegos es el de estrategia mixta; se trata de juegos en los
que interviene la incertidumbre. En estas situaciones
cada sujeto tiene una información limitada de las
condiciones en las que se desenvuelve el juego y no sabe
con exactitud cual será la reacción de su contrincante;
así no le es posible calcular el maximín o el minimax y
el punto de silla. También se estaría en esta situación
cuando no existiera tal punto de silla. Entonces, el sujeto
que obtiene las ganancias tendrá que elegir, de entre sus
varias estrategias, aquella que le proporcionase la
máxima esperanza matemática de ganancia (la cual,
incluso, podría ser medida por un índice de satisfacción
o de utilidad).
TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA Prof. Dr. Eduardo Escartín González
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Supongamos que las estrategias de A son 1,
2,...,i,...m; que las de B son 1,2,...,j,...,n; y que los
valores del juego para cada combinación de estrategias
(i.j) constituyen una matriz de pagos cuyo término
general sea ai,j. El sujeto A elige cada una de sus
opciones con un determinado grado de probabilidad, pi,
tal que 0 < pi ≤1 y Σpi = 1, mientras que B escoge las
suyas con la probabilidad qj, tal que 0 < qj ≤1 y Σqj = 1
En estas condiciones, si A optara por su 1ª
estrategia la esperanza matemática de su ganancia sería:
∑=
=n
j
jj
An
qapE
1
,111,
Si A optara por su 2ª estrategia, resultaría que
∑=
=n
j
jj
An
qapE
1
,222,
Y, en general, para la estrategia i, tendría
∑=
=n
j
jji
iiAn
qapE
1
,,
Entre todas estas esperanzas matemáticas,
desde EA,1 hasta EA,m , el sujeto A elegirá, obviamente, la
máxima, que designaremos por máxEA,i . Mediante este
proceder, en realidad, A determina, de su vector de
probabilidades P{p1,p2,...,pm}, el valor p* que maximiza
las esperanzas matemáticas de su ganancia.
Estudiando el proceso que, de una forma
similar, realizaría el sujeto B para minimizar las
esperanzas matemáticas de sus posibles pérdidas, se
obtendría el mínEB,j, y con él el valor q* de su vector de
probabilidades, Q{q1,q2,...,qn}, que minimiza las
esperanzas matemáticas de sus pérdidas. El conjunto de
valores p* y q* determinan, dentro de la matriz de
pagos, el término que constituye el punto de silla.
Como fácilmente se aprecia, en estos juegos de
estrategia mixta, en los que se ignora cual será la jugada
del rival (porque cada cual se encarga de ocultar su
estrategia preferida, entre otras causas que originan la
incertidumbre), es indiferente qué sujeto toma la
iniciativa, ya que uno se limita a calcular la estrategia
que le proporciona la máxima esperanza matemática de
ganancia con independencia de la respuesta del otro o de
si tomará la iniciativa. El contrincante, por su parte,
también actúa sin tener en cuenta la decisión de su
oponente al calcular su mínima esperanza matemática de
pérdida. También resulta evidente que en estos juegos de
estrategia mixta siempre hay un punto de silla (el
determinado por p* y q*).
Otra modalidad, con mayor aplicabilidad en
economía, son los juegos de estrategia de suma no nula,
o generales, en los que siempre se obtienen ganancias.
Oskar Morgenstern (1902-1977), economista
norteamericano de origen alemán, fue profesor de las
universidades de Viena y Princeton (1938-1971). En
1938 se trasladó a Estados Unidos y en la Universidad
de Princeton colaboró con John von Neumann en la
aplicación a la economía de los juegos de estrategia.
Éstos se adaptaban bien a las situaciones conflictivas en
las que existen varias líneas de acción alternativas por
cada oponente, como sucede en la guerra, la política y la
economía. En todas esas situaciones, los sujetos no son
actores pasivos, sino que reaccionan ante los actos o
estímulos desencadenados por otros. La colaboración de
ambos autores se plasmó en el libro Teoría de los juegos
y comportamiento económico (1944).
Otras obras de Morgenstern son: La exactitud
en las observaciones económicas (1963); El óptimo de
Pareto y la organización económica (1964); Teoría
descriptiva, predictiva y normativa (1972) y Asignación
estratégica y teoría de los juegos (1973).
En relación con los juegos de estrategia
mixta, Morgenstern y von Neumann desarrollaron una
nueva teoría de la utilidad basada en su medición
cardinal a partir de la adjudicación hipotética y arbitraria
de un valor a la utilidad en una situación concreta;
luego, se construye una tabla con el cálculo de las demás
utilidades, correspondientes a las restantes situaciones.
TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA Prof. Dr. Eduardo Escartín González
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Estas mediciones sólo son válidas para cada caso
particular a estudiar. La nueva concepción de la teoría
de la utilidad se denomina neocardinalismo o
cardinalismo conductista, porque la medición de la
utilidad se realiza en función de la conducta demostrada
por cada sujeto con sus actuaciones3.
Para captar mejor la idea veamos un sencillo
juego para un único apostante, siguiendo a Bilas (1971,
pp. 151 a 153). Se pretende ofrecer la posibilidad de
ganar o perder 5.000 € a una persona que ya dispone de
50.000 €. Al estar el individuo expuesto a perder 5.000
€, se supone arbitrariamente que la utilidad marginal de
los últimos 5.000 €, en el nivel de 50.000 € en que se
encuentra, es de u'0 = 100. A partir de este supuesto se
construye la tabla de utilidades marginales en función
del comportamiento demostrado por el sujeto y para el
juego en concreto. Dicha tabla de utilidades marginales
es la que se ilustra un poco más adelante.
Cuando un sujeto se encuentra en condiciones
de incertidumbre, se supone que sus actuaciones se
fundamentan en la esperanza matemática de las
hipotéticas ganancias o pérdidas de utilidad. Así, si a la
persona del ejemplo es necesario ofrecerle un 80% de
probabilidades de ganar para llevarle justo al borde de la
indecisión de aceptar la apuesta, en ese momento está
demostrando una indiferencia entre las esperanzas
matemáticas de la ganancia y de la pérdida de utilidad.
Esta última se cifra en el producto, p⋅u’0, de la
probabilidad de perder (p tal que 0<p≤1 y en el presente
caso sería el 20%=0,2) por la utilidad marginal (u’0,
hipotética y arbitrariamente conocida) proporcionada
por los últimos 5.000 euros, puesto que son los que
perdería; por lo tanto:
E(P) = 0,2 ⋅ u'0 = 0,2 ⋅ 100 = 20
En consecuencia, como el sujeto ha demostrado
su situación de indiferencia, la esperanza matemática de
la ganancia, o producto de la utilidad marginal de
3 El cardinalismo fue la teoría de la utilidad concebida por Irving Fisher.
55.000 euros (o sea, el resultado de acumular a lo ya
poseído los nuevos 5.000 euros del juego si gana) por la
probabilidad de ganar, tiene que representarle esa misma
utilidad de 20. Es decir: E(G) = 0,8 ⋅ u'1 = 20; por lo
que, despejando, u'1 = 20:0,8 = 25.
Si una vez que el sujeto ha ganado y ya tiene
55.000 euros se le sugiriera continuar de nuevo con el
juego, quizás, ahora que es algo más rico, se le pueda
inducir a la situación de indiferencia con tan sólo un
70% de probabilidades de ganar. En este caso, el cálculo
sería:
Esperanza matemática de la pérdida de utilidad
(conocida): E(P) = 0,3 ⋅ u'1 = 0,3 ⋅ 25 = 7,5.
Esperanza matemática de la ganancia de
utilidad [desconocida, pero equivalente a la de la
pérdida, E(G) = E(P)], que es: E(G) = 0,7⋅u'2 = 7,5; así
que u'2 = 7,5:0,7 = 10,7.
DINERO
u’
50.000
100
u’0
55.000
25
u’1
60.000
10,7
u’2
65.000
7,13
u’3
TABLA: UTILIDADES MARGINALES
Prosiguiendo de esta forma se calcularían las
restantes utilidades marginales, a medida que el sujeto
fuera incrementando su cantidad de dinero en 5.000
euros. Según este ejemplo, el cálculo de la utilidad
marginal de 65.000 euros, en el supuesto de que sólo
fuera preciso en porcentaje del 60% de probabilidades
de ganancia para inducirle a seguir jugando, arrojaría el
valor de 7,13.
En este ejemplo, las utilidades marginales
calculadas son decrecientes, y ello es debido a que se
requiere ofrecer al sujeto probabilidades de ganancia
superiores al 50%.
TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA Prof. Dr. Eduardo Escartín González
ΤΤΤΤ33330000 −−−− 501
Evidentemente, cada individuo reacciona de
una forma peculiar y, generalmente, distinta en cada tipo
de situación. Si, en el caso del ejemplo, el sujeto se
contentara sistemáticamente con una probabilidad de
ganancia del 50%, entonces su utilidad marginal sería
constante; mientras que si, por ser aficionado al riesgo,
necesita porcentajes inferiores al 50% de probabilidad
de ganar para incitarle a jugar, el cálculo de sus
utilidades marginales demostraría que son crecientes.
5.- LA TEORÍA DE LAS DECISIONES
La teoría de las decisiones es una variante de la
teoría de los juegos, cuando existen condiciones de
completa incertidumbre sobre la actuación de los
contrarios, que intentan impedir la realización de un plan
de acción.
Esta nueva teoría también fue desarrollada por
matemáticos y estadísticos, que aprovecharon el aparato
conceptual de los fundadores de la teoría de los juegos.
La figura más destacada en este campo de la teoría de
las decisiones es Abraham Wald, autor que se expone a
continuación.
Abraham Wald (1902-1950), rumano de
nacimiento, fue un matemático norteamericano que se
trasladó a Viena, donde colaboró con el matemático
Karl Menger (profesor de la Universidad de Viena e hijo
del famoso economista). Más tarde, en 1938, se trasladó
a los Estados Unidos de América. Allí realizó trabajos
estadísticos relacionados con el muestreo y el control de
calidad.
Sus principales aportaciones a la economía
matemática datan de su estancia en la Universidad de
Viena, cuyos economistas y matemáticos investigaban
sobre el equilibrio económico, acerca del cual Wald
escribió varios artículos.
En Estados Unidos alcanzó fama con su teoría
de las decisiones, cuando éstas tienen que adoptarse con
desconocimiento de las respuestas de los contrincantes
(lo cual no impide efectuar cálculos hipotéticos de los
efectos originados por las decisiones esperadas de los
oponentes).
Para resolver este tipo de dilemas, muy
frecuentes en economía, a veces se han utilizado
aplicaciones de la teoría de la probabilidad, basadas en
el criterio, o teorema, de Bayes, que utiliza el cálculo de
las probabilidades condicionales, para dilucidar, entre
varias, la causa más posible de un efecto.
Con este fundamento, Wald, además de
emplear tablas de utilidad neocardinal, ideó un nuevo
concepto: el maximax, es decir, la elección de la
estrategia que conduzca a los mejores resultados
esperados.
Pongamos un ejemplo. Dos fabricantes de un
producto similar pueden promocionarlo y venderlo por
su cuenta mediante su propia campaña propagandística.
En este caso los efectos de una publicidad contrarrestan
los de la otra y no se lograría individualmente todo el
volumen de ventas deseado. Para evitar tal circunstancia
ambos empresarios piensan en la posibilidad de negociar
una promoción conjunta del producto, compartiendo los
costes de venta; de esta forma, obtendrían los mejores
resultados agregados. El problema estriba en que existe
la incertidumbre acerca del cumplimiento de los
acuerdos por parte del otro. Uno de ellos puede suponer
la fidelidad del otro al pacto y él no tenerlo en cuenta;
actuando unilateralmente, sin el efecto opuesto de la
publicidad competidora, podría lograr las máximas
ventas individualmente, aunque no las conjuntas porque
quien cumple el pacto ve las suyas disminuidas.
La hipotética tabla de utilidad neocardinal,
medida por el volumen esperado de ventas de cada
empresario A y B, según los casos posibles de
cooperación o no cooperación, es la siguiente4:
4 En cada casilla figura la cantidad que cada empresario individual puede vender, según el caso, y el total de las ventas conjuntas: si ambos cooperan, en total venden 20; si uno coopera y el otro no, venden en total 18 y si ninguno coopera sólo venden en total 16.
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A
B
COOPERA
NO
COOPERA
COOPERA
10
10
11
7
TOTALES
20
18
NO
COOPERA
7
11
8
8
TOTALES
18
16
TABLA DE UTILIDADES
En estas circunstancias y si los cálculos han
arrojado las cifras de la presente tabla con la
probabilidad de un 50% de incumplimiento del pacto,
¿cuál sería la solución?, ¿se firmaría o no se firmaría el
acuerdo de cooperación?
6.- LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO EN
EQUILIBRIO
El tema del equilibrio y la investigación sobre
la dinámica económica constituyó la preocupación de
muchos economistas ingleses, americanos y austriacos
con formación matemática. Se formularon múltiples
modelos de crecimiento económico de tipo dinámico,
como los de R. Harrod y E. D. Domar (Tema 26), o el
de N. Kaldor (Tema 26).
Este aspecto de la economía fue estudiado
principalmente por autores ya citados; entre ellos, de los
más relevantes podemos resaltar a J.R. Hicks (Tema 26)
con su libro Valor y Capital (1939); P. A. Samuelson
(Tema 29) con sus Fundamentos del análisis económico
(1947);W. Leontief con sus Estudios sobre la estructura
de la economía norteamericana (1953); J. von Neuman
con Un modelo de equilibrio económico general (1938)
y R. M. Solow con Una contribución a la teoría del
crecimiento económico (1956). A continuación se tratan
sucintamente las teorías de estos dos últimos autores.
John von Neuman analizó el equilibrio
económico mediante un modelo multisectorial que se
expande a una velocidad uniforme y en el que cada
producto crece en un porcentaje fijo. Se trata de un
modelo, basado en supuestos muy restrictivos y en una
producción no sujeta a la ley de los rendimientos
decrecientes ni a la limitación en la disponibilidad de los
recursos, en el que los sectores emplean como factores
todos los productos obtenidos en el periodo anterior. Es
decir, sólo se considera la inversión, no habiendo, por
tanto, el consumo; se supone, así, que los hombres usan
los productos para reproducir el factor mano de obra.
Tal modelo se prestaba a ser aplicado en algunos países
subdesarrollados cuyas condiciones productivas, sin
limitación de recursos naturales, se asemejaban a los
supuestos que von Neuman había considerado y permitía
un aumento de la producción con rendimientos a escala
constantes.
El modelo (siguiendo a Baumol, 1970, pp. 430
a 432) contempla m procesos productivos, cada uno de
los cuales se designará genéricamente por i (tal que
i=1,2,...,m), que elaboran n factores, los cuales se
denotarán por j (siendo j=1,2,...,n). Como cada proceso
utiliza factores para producir otros se pueden formar dos
matrices cuyos términos generales son ai,j y bj,i; a i,j
indica que el proceso i emplea el factor j, de forma que
si ai,j =0, entonces, no se está usando el factor j en el
proceso i; bj,i indica que el factor j ha sido producido en
el proceso i, de modo que si bj,i = 0, significa que el
factor j no se produce en el proceso i.
Cuando el mismo proceso productivo i se
establece un número de veces xi , resulta que xi ⋅ai,j es la
cantidad del factor j empleada en el conjunto de los
procesos productivos i, y, en total, la cantidad de
factor j empleada por el sistema económico en su
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globalidad es
)1(·1
,∑=
m
i
jii ax
Mediante un razonamiento similar, se obtendría
la cantidad total del factor j producido por todo el
conjunto de los procesos i establecidos en el sistema
económico. La cantidad total del factor j producido
por todos los procesos es
)(bxm
i
iji 2·1
,∑=
Supongamos que la producción crece a un
porcentaje fijo que se designará por α, tal que α = 1 +
k/100, siendo k la velocidad uniforme a la que se
expande el sistema económico, k/100 expresa una tasa
en tanto por uno. De ello se sigue que, si hay
crecimiento, la cantidad total (2) del factor j obtenida al
finalizar el periodo tiene que ser mayor que la cantidad
total (1) del factor j empleado; por tal motivo, esta
última cantidad se debe multiplicar por el coeficiente α
para que, como máximo, se iguale a aquélla. Por tanto,
se podrá escribir la siguiente desigualdad, que es la
condición del crecimiento equilibrado dada por von
Neuman:
∑∑ ≤i ijii jii bxax ,,α
Robert M. Solow (nacido en 1924) es un
economista americano del Instituto Tecnológico de
Massachusetts que fue asesor económico de los
presidentes Kennedy, Johnson y Nixon. Fue presidente
del Banco de la Reserva Federal de Boston (1979-1981)
y profesor de la Universidad de Chicago (1967). En
1987 recibió el Premio Nobel de economía por su
aportación a la teoría del crecimiento económico. Entre
sus obras destacan Una contribución a la teoría del
crecimiento económico (1956) Programación lineal y
análisis económico (1958, en colaboración con R.
Dorfman y P.A. Samuelson) y Teoría del crecimiento
(1979).
A) EL MODELO DE SOLOW
El modelo más simple de Solow contempla las
siguientes ecuaciones básicas (según Gandolfo, 1971,
pp. 174 a 179):
Función de producción, Y, homogénea de
primer grado, que depende de los factores capital, K, y
trabajo, L:
Y = F (K, L); donde ∂2Y / ∂K2 < 0 ; ∂2Y / ∂L2 < 0 (1)
Función de inversión, I, o de variación del
stock de capital en el tiempo, t, (el punto encima de una
variable indica derivada de esa variable respecto al
tiempo):
)2(.
YsKdt
dKI ===
Conviene insistir que, como se observa en esta
ecuación, se ha adoptado como símbolo de la derivada
con respecto al tiempo la notación estándar de usar la
propia variable con un punto encima, que es equivalente
al operador diferencial D (o derivada respecto al
tiempo). La (2), además, establece la igualdad entre la
inversión y el ahorro, definido en la (3), y, por tanto
representa la condición de equilibrio.
Función de ahorro, por la cual se considera que
el ahorro depende de la renta, o producción, Y, en una
determinada propensión marginal al ahorro, s.
S = s Y = s F (K, L) (3)
Función de oferta de trabajo, que es exógena y
crece a una tasa constante, n:
L = L0 e n t (4)
Para facilitar la nomenclatura, podemos definir
dos cambios de variable. De una parte, se define k como
el capital per cápita trabajadora, o sea, la relación
capital-trabajo:
k = K / L (5)
De otra parte se define r como la relación
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capital producto:
r = K / Y (6)
Puesto que la función de producción (1) es
homogénea de primer grado podemos transformarla,
teniendo en cuenta la (5) en la siguiente función
equivalente:
Y = F[(K⋅L/L),L] = L⋅F(K/L,1) = L⋅F(k,1) = L⋅f (k) (7)
)8()(: kfL
YteconsiguienPor =
Despejando K en la (5) resulta: K = k L;
diferenciando esta última igualdad respecto al tiempo (y
empleando ahora el operador diferencial): DK = L Dk +
k DL; y al sustituir en ésta la (4) resulta:
DK = L Dk + k D(L0 e n t) = L Dk + k n L;
Si en esta expresión de divide todo por L se
tiene:
)9(,;.
.
knkL
KdeciresknDk
L
DK+=+=
Sustituyendo la (2) en la (9) obtenemos:
knkL
sY+=
.
Y si en ésta sustituimos la (8) hallamos la
ecuación dinámica (por ser una ecuación diferencial, en
este caso de primer orden) básica del modelo sencillo de
Solow:
)10()(.
knkkfs +=
Teniendo en cuenta que sY/L = s f(k) es la
inversión realizada por trabajador, que equivale al
ahorro per cápita deseado, la ecuación (10) indica que la
velocidad a la que debe cambiar el capital per cápita
(⋅
k =dk/dt) es igual a la diferencia entre la inversión
realizada por trabajador, sf(k),y la cantidad kn, que
puede ser considerada como el ahorro realmente logrado
(cuyo valor se expresa como una fracción n del capital
per cápita, siendo n la tasa de crecimiento de la oferta
de trabajo), de forma que si el ahorro logrado es mayor
que la inversión realizada por trabajador (ahorro per
cápita deseado), la variación de k será negativa; es
decir, el capital por trabajador disminuiría.
Cuando ambos ahorros fueran iguales (lo que
constituye la condición de equilibrio, en la que el ahorro
y la inversión deseados coinciden con los realizados), la
relación capital- trabajo no cambiaría, sería constante y,
entonces, dk/dt = 0.
Al resolver la ecuación diferencial (10) se halla
el valor de k (relación capital-trabajo) que proporciona
un crecimiento equilibrado. Pero para hallar la solución
hay que conocer la forma de la función de producción
(1). Si suponemos que es una del tipo Cobb-Douglas,
Y= c Kα L1-α , la ecuación diferencial resultante será:
)11(.
nkkkcs +=α
La solución de (11) es k = (c⋅s/n)1 / (1 - α).
Sin embargo, en este caso concreto de la
función Cobb-Douglas, esta solución se puede obtener
directamente. En efecto, despejando L e Y de las (5) y
(6) y dividiendo a continuación Y por L se tiene
)12(r
k
k
Kr
K
L
Y==
Dividiendo ahora ambos miembros de la
función de producción por L resulta
)13(α
α
αα kccLKcL
Y
L
K===
−
Igualando (12) y (13) y despejando k se obtiene
k = (c ⋅ r) 1 / (1 - α)
Ésta es la misma solución antes expuesta con
tal que se considere a r constante, ya que, entonces, se
demuestra que en la función de Cobb-Douglas se daría
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la igualdad: r=s/n, o bien, n=s/r. En efecto, para
demostrar esta igualdad se despeja Y en la (6) y se
sustituye en la (8) con lo que resulta: f(k) = k/r; valor
que sustituido en (10), ecuación dinámica básica del
modelo, y teniendo en cuenta que si k es constante su
derivada respecto al tiempo es cero, se obtiene la
anterior igualdad.
Por consiguiente, si la propensión marginal al
ahorro, s, es constante y la solución de este modelo de
Solow proporciona que k y r también son constantes,
todas las variables, Y, K y L, crecen a una tasa
constante. L, por definición, crece a la tasa constante n y
tanto Y como K crecen a la tasa s/r = n, ya que si se
despeja K de la (6) y se deriva respecto al tiempo se
tiene dK/dt = r⋅dY/dt, pero como dK/dt según la (2) es
igual a sY nos queda: sY=r⋅dY/dt, y, por tanto, la tasa de
crecimiento de Y, (dY/dt)/Y, es s/r = n. A su vez,
derivando la (6) respecto al tiempo y teniendo en cuenta
que r es constante, por lo que su derivada es nula, se
obtiene: Y(dK/dt)=K(dY/dt), es decir, trasponiendo
términos: (dY/dt)/Y=(dK/dt)/K, así comprobamos que el
capital también crece a la misma tasa que la de la renta.
B) LA REGLA DE ORO
Importante consecuencia del modelo de Solow
es la denominada regla de oro. Esta regla consiste en el
enunciado de la solución a la siguiente cuestión: ¿cuál
debe ser la acumulación optima de capital para
maximizar el consumo por trabajador que se considera
como el principal objetivo de la producción?
Este problema fue afrontado por varios autores:
por E. S. Phelps en «La regla de oro de la acumulación»
(1965, publicado en la American Economic Review, vol.
LV); por T. W. Swan en «Modelos de crecimiento de la
edad dorada y función de producción» (1963, en
Desarrollo económico con una especial referencia al
Este asiático) y por Joan Robinson en «Un teorema
neoclásico» (1962, publicado en la Review of Economics
Studies, vol. XXIX).
Como ya se ha visto, la solución del modelo de
Solow aplicado a la función Cobb-Dougls proporciona
una tasa de crecimiento del capital y de la renta
constante e igual a s/r = n. Esto, en lo referente al capital
se traduce en que: dK/dt = (s/r)K, siendo dK/dt = I, la
inversión. Como el consumo es la renta menos el ahorro,
que en el equilibrio es igual a la inversión, podemos
escribir, teniendo en cuenta que la renta y la producción
son iguales, que C = F(K, L) - (s/r)K; puesto que F es
una función homogénea de grado uno, haciendo la
conversión de dicha función en su equivalente, según la
(8) tendremos que C/L = f(k) - (s/r)k. El consumo por
trabajador será máximo cuando la primera derivada de
su función sea nula –siempre que su segunda derivada
sea negativa, lo cual está garantizado porque fue uno de
los requisitos establecidos en (1)–. Por consiguiente,
d(C/L)/dk = 0, o lo que es lo mismo: f’(k) - (s/r) = 0, o
bien, f’(k) = s/r. Teniendo en cuenta que f’(k) es la
productividad marginal del capital, se puede enunciar la
regla de oro diciendo que para obtener el máximo
consumo por trabajador se requiere que la
productividad marginal del capital sea igual a la tasa
de crecimiento de la renta, o del propio capital, o de
la oferta de trabajo.
Otra modalidad de la regla de oro se consigue
si multiplicamos por K los dos miembros de la anterior
igualdad, la que se establece entre la productividad
marginal del capital y la tasa de crecimiento (n=s/r), en
cuyo caso tenemos que K⋅f’(k) = n k. Puesto que nk,
como ya se dijo en el apartado A), es el ahorro logrado,
que en el equilibrio coincide con el deseado, la nueva
versión de la regla de oro es: el máximo consumo por
trabajador se logra cuando el capital evaluado por su
productividad marginal se iguala al valor del ahorro.
7.- LA PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
Es el campo de las matemáticas y la estadística
aplicado como técnica operativa para la solución
práctica de problemas económicos como son los de
máxima producción, mínimos costes, o sencillamente
mejorar unos resultados cuando existen factores
TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA Prof. Dr. Eduardo Escartín González
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limitativos y costosos y no es posible emplear las
genéricas funciones de producción de la teoría
económica pura, por ser inexistentes o difícilmente
calculables en la práctica.
En la URSS no se dio la debida importancia a
la programación lineal, creación del matemático
soviético L.V. Kantorovich (1912-1986), Premio Nobel
de economía de 1975 (estudiado en el Tema 22).
Años después, los economistas americanos
George G. Dantzig (1914) y Tjalling C. Koopmans
(1910-1985), nacido en Holanda y que compartió el
Premio Nobel de economía con Kantorovich,
descubrieron a su vez la programación lineal que
enseguida se utilizó para la resolución de problemas
prácticos en la gestión económica. La Air Force también
aprovechó esta nueva técnica para mejorar la gerencia
de sus complicadísimos problemas.
La planificación y toma de decisiones que
proporciona la programación lineal se basa en sencillas
ecuaciones de 1er grado, fácilmente calculables y
operables, cuya representación gráfica son líneas rectas.
Por lo tanto, las líneas curvas de la teoría económica
deben convertirse en rectas, mediante el artificio de
contemplar cortos segmentos rectilíneos, aplicables
exclusivamente a situaciones concretas referidas a un
breve periodo temporal, con el fin de que la
simplificación apenas introduzca errores significativos.
También han sido desarrollados sistemas de
programación matemática no lineales para los casos de
rendimientos decrecientes y otros de programación
entera, o sea, operando con números enteros, que se
aplica en los casos en que no exista la divisibilidad de
los factores.
Economistas, ya citados, que estudiaron la
programación lineal son: W. Leontief (Tema 22), ya que
sus tablas input-output son un caso especial de la
programación matemática; P.A. Samuelson (Tema 30)
junto con R. Dorfman y R.M. Solow (Tema 30); J. R.
Hicks (Tema 26) y Joan Robinson (Tema 27).
8.- LA ECONOMETRÍA EN EUROPA
Los estudios econométricos y las aplicaciones
de los métodos matemáticos se han extendido por todos
los países
A) ALEMANIA
Erich Schneider (1900-1970) y Heinrich von
Stackelberg (1905-1946) quienes estudiaron la teoría de
la producción y los mercados monopolísticos.
B) FRANCIA
François Divisia (1889-1946) trabajó sobre la
teoría cuantitativa y los números índice.
René Roy (1894) efectuó estudios estadísticos
sobre la demanda.
Robert Gibrat (1904). Sus análisis de la
empresa han sido reconocidos concediendo su nombre a
la ley del efecto proporcionado (o ley Gibrat), según la
cual una empresa puede crecer a una cierta tasa
independientemente del tamaño de la empresa.
Después de la II Guerra Mundial y al amparo
de los ingenieros de la Escuela politécnica, donde
también se imparte la enseñanza de la Economía,
surgieron unas personalidades que se destacaron en la
Planificación Nacional y en la dirección de empresas
nacionales. Estos ingenieros-economistas aplicaron las
técnicas econométricas para la búsqueda de las
soluciones prácticas a los problemas que se planteaban.
François Perroux (1903-1987), economista
francés, profesor del Collège de France (Colegio de
Francia) y director de estudios de la Escuela Práctica de
Altos Estudios, fue fundador y director del Instituto de
Ciencia Económica Aplicada y dirigió el Instituto de
Estudios del Desarrollo Económico y Social.
Según James (1959, pp. 407 a 411) este autor
se distinguió en las cuestiones relacionadas con el
desarrollo y la planificación de la economía y también
en el ámbito de la teoría general con su concepción de la
teoría de la dominación. Sobre esta teoría escribió los
TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA Prof. Dr. Eduardo Escartín González
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artículos Bosquejo de una teoría de la economía
dominante (1948) y Las macrodecisiones (1949).
Criticó la teoría clásica y neoclásica por su falta
de realismo al suponer que las relaciones económicas se
desenvuelven contractualmente en un plano de igualdad
entre los sujetos económicos. En la realidad de la
economía unos sujetos económicos dominan a otros, de
modo que el efecto dominación está presente en todas
las áreas de la actividad económica. Los dominantes
consiguen imponer sus condiciones a los dominados, por
lo que la dominación es un fenómeno asimétrico y que
se da principalmente cuando existe poder contractual,
cuando el sujeto económico posee adecuada dimensión,
o cuando pertenece a un área en auge de la economía.
Empresa dominante es aquella que produce más
del 50% del abastecimiento de un mercado; o la que
logra producir a un coste sensiblemente inferior al de sus
competidoras; o la que consigue créditos más favorables
que las demás; o la que goza de privilegios otorgados
por la administración pública. La empresa dominante
acaba obligando a las demás a adaptarse a las
condiciones que ella impone en el mercado. Por lo
general, la empresa dominante pertenece a un holding
dentro del cual compra y vende materias primas y
productos terminados a precios favorables por lo que al
final puede influir sobre los precios del mercado a los
que irremediable e irreversiblemente tendrán que
someterse las demás empresas dominadas.
También es dominante el inversionista sobre el
ahorrador, las entidades financieras sobre los individuos
aislados, las macrodecisiones del gobierno sobre el resto
de los agentes económicos y, a nivel internacional,
ciertos países sobre otros.
En estas condiciones, en las que se desenvuelve
la economía moderna, las relaciones económicas son,
por lo tanto, de carácter desigual y se originan unos
efectos asimétricos e irreversibles que no tienen
tendencia al equilibrio o, al menos, no se trata de un
equilibrio espontáneo, sino impuesto por los agentes
económicos dominantes a su conveniencia. De esta
forma se origina una dinámica en la que impera la
desigualdad y, en consecuencia, se imposibilita la
consecución de situaciones óptimas en el sentido de
Pareto.
C) HOLANDA
Jan Tinbergen (1903-1994), profesor de
planificación de la Escuela de Economía de Rotterdam y
director de la Oficina de Planificación de Holanda
(1945-1955). Mereció la concesión del 1er Premio Nobel
otorgado en economía en 1969, compartido con el
noruego Ragnar Frisch, por sus investigaciones
econométricas del ciclo de los negocios y sus
aportaciones al desarrollo mediante la aplicación de
modelos dinámicos.
Sus principales obras son: Ciclos de los
negocios en los Estados Unidos de América, 1919-1939
(1939); Econometría (1949) y Planificación del
desarrollo (1968).
D) NORUEGA
Ragnar Frisch (1895-1973) fue catedrático de
economía en la Universidad de Oslo y compartió el
primer Premio Nobel de Economía de 1969 con Jan
Timbergen. En 1930 fundó la Econometric Society con
Irving Fisher y otras personalidades. Este autor ya ha
sido mencionado en el epígrafe 1 de este tema y en el
Tema 18.
Trygve Haavelmo (1911) fue Premio Nobel de
Economía en 1989 por la aplicación de las
probabilidades a la econometría, usando como datos
paramétricos los valores obtenidos en el pasado para la
prospección probabilística del futuro.
TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA Prof. Dr. Eduardo Escartín González
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BIBLIOGRAFÍA
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económica; versión en español de Marcombo, S.A., Barcelona, 1972.
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S.A., Madrid, 1991.
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producción, precios y rentas); Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, 1968.
GANDOLFO, Giancarlo (1971): Métodos y modelos matemáticos de la dinámica económica;
versión en español de Editorial Tecnos, S.A., Madrid, 1973.
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S.A., Madrid, 1970.
SAMUELSON, Paul Anthony (1947): Fundamentos del análisis económico; versión en
español de Editorial “El Ateneo”, S.A., Buenos Aires, 1971.
SAMUELSON, Paul Anthony (1992): «Mi filosofía de la vida: credos políticos y métodos de
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S.A., Barcelona, 1997.
SCHUMPETER, Joseph Alois (1954): Historia del análisis económico; versión en español
de Ediciones Ariel, S.A., Barcelona, 1971.
SPIEGEL, Henry W.: El desarrollo del pensamiento económico; versión en español de
Ediciones Omega, S.A., Barcelona, 1987.