Estadística. Profesora María Durbán1
Tema 5: Estimación de Parámetros
5.1 Introducción y conceptos básicos
5.2 Propiedades de los estimadores
5.3 Método de máxima verosimilitud
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Estadística. Profesora María Durbán2
Explicar el concepto de estimación de parámetros de una poblacióno de una distribución de probabilidad
Explicar las propiedades de los estimadores.
Construir estimadores puntuales mediante máxima verosimilitud
Conocer y explicar la precisión con la que son estimados los parámetros
Explicar la importancia de la distribución Normal como distribución en elmuestreo
Tema 5: Estimación de Parámetros
Objetivos del tema:
Al final del tema el alumno será capaz de:
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Tema 5: Estimación de Parámetros
5.1 Introducción y conceptos básicos
5.2 Propiedades de los estimadores
5.3 Método de máxima verosimilitud
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
5.1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán4
5.1 Introducción y conceptos básicos
Hasta ahora hemos visto como dado un modelo de probabilidad, podíamoscalcular la probabilidad de que una variable tomara un cierto valor.
Ahora nos interesa el proceso inverso: una vez observada la frecuencia con la que la variable toma los valores, buscamos un modelo probabilístico quedescriba los datos. A esto se llama inferencia estadística.
En temas anteriores vimos que los modelos de distribución de probabilidaddependían de uno o más parámetros, para poder ver si un modelo se ajustaa los datos hemos de estimar dichos parámetros.
Estadística. Profesora María Durbán5
5.1 Introducción y conceptos básicos
Población
ESTIMACIÓN DEPARAMETROS
PRUEBAS DEHIPOTESIS
Inferencia Estadística: Procesomediante el cual se utiliza lainformación de una muestrapara extraer conclusiones
de la población
muestra
6
5.1 Introducción y conceptos básicos
Definiciones
Las variables son una muestra aleatoria si:
Son independientesTodas tienen la misma distribución
Un estadístico es cualquier función de las observaciones en una muestra aleatoria:
Un estimador es un estadístico que se utiliza para estimar un parámetrodesconocido de la población
Una estimación es un valor concreto del estimador para una muestra enparticular
( )1 2, , nX X X…
( ) 11 2, ,
nii
n
XX f X X X
n== = ∑…
ˆX μ μ= →
( )1 2 3, , (1,1, 4) 2x x x x= → =
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5.1 Introducción y conceptos básicos
El objetivo de la estimación de parámetros es proveer de métodos quepermitan determinar con cierta precisión, el valor de los parámetros deun modelo a partir de una muestra extraída de la población.
En la población
2
Media poblacional: Varianza poblacional: Otros:
μ
σθ
2
Media muestral: XVarianza muestral: S
ˆOtros: θ
Su equivalente En la muestra
ESTIMACIÓN PUNTUALESTIMACIÓN POR INTERVALOS
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5.1 Introducción y conceptos básicos
Ejemplo
Un ingeniero de estructuras está analizando la resistencia a la tensiónde un componente utilizado en el chasis de un coche. Debido a que lavariabilidad en la resistencia a la tensión está presente en cada componente (debido a los distintos lotes de materias primas, el procesode manufactura, etc.), el ingeniero está interesado en estimar la resistencia media de los componentes.
En la práctica, el ingeniero tomará una muestra para calcular un número quesea, de algún modo, una buena aproximación del verdadero valor de lamedia. Más adelante veremos que es posible establecer la precisión de esta
estimación.
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Tema 5: Estimación de Parámetros
5.1 Introducción y conceptos básicos
5.2 Propiedades de los estimadores
5.3 Método de máxima verosimilitud
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
5.2 Propiedades de los estimadores
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5.2 Propiedades de los estimadores
Insesgado o Centrado
Un estimador debería estar cerca, en algún sentido, del verdadero valor del parámetro.
Un estimador es un estimador insesgado o centradodel parámetro si
Si un estimador no es insesgado, a la diferencia
se le llama sesgo del estimador
θ̂θ
ˆE θ θ⎡ ⎤ =⎣ ⎦
ˆE θ θ⎡ ⎤ −⎣ ⎦
θ̂
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Ejemplo
L
Para estimar el área de unas piezas cuadradas de lado L, de utiliza uncalibre que comete un error distribuido como una . Se utilizandos estimadores del área:
ε (0, )N σ
21 1
2 1 2
A LA L L
==
donde son medidasindependientes
L Li iε= +
5.2 Propiedades de los estimadores
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Ejemplo
L
[ ] ( ) [ ]22 2 21 1 1 1 1E A E L E L E L E 2E Lε ε ε⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Buscamos el estimador cuya esperanza esté más próxima a 2L
2L [ ] 2iVar ε σ= [ ]i2L E 0ε =
[ ] 2 21E A L σ= +
[ ] 21sesgo A σ=
5.2 Propiedades de los estimadores
Estadística. Profesora María Durbán13
Ejemplo
L
[ ] [ ] ( )( ) [ ] [ ] [ ]22 1 2 1 2 1 2 1 2E A E L L E L L E L E E L E Lε ε ε ε ε ε⎡ ⎤= = + + = + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Buscamos el estimador cuya esperanza esté más próxima a 2L
2L [ ] [ ]1 2E E 0ε ε =
[ ] 22E A L=
[ ]2sesgo A 0=
independientes
0
insesgado
5.2 Propiedades de los estimadores
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5.2 Propiedades de los estimadores
Varianza de un estimador
Si dos estimadores son centrados, ¿cuál podríamos considerar mejor?.
Aquel que tenga menor varianza es más probable que de lugar a estimaciones que estén más próximas al verdadero valor del parámetro.
Llamamos eficiencia o precisión de un estimador:
ˆ ˆEficiencia 1/ Varθ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Menor varianza mayor eficiencia
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5.2 Propiedades de los estimadores
Varianza de un estimador
Si dos estimadores son centrados, ¿cuál podríamos considerar mejor?.
Aquel que tenga menor varianza es más probable que de lugar a estimaciones que estén más próximas al verdadero valor del parámetro.
Llamamos eficiencia relativa de respecto de :
2 12 1
1 2
ˆ ˆEficiencia Varˆ ˆER / ˆ ˆEficiencia Var
θ θθ θ
θ θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2̂θ 1̂θ
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5.2 Propiedades de los estimadores
Varianza de un estimador
ˆθ̂σ
θ̂
Cuando damos un valor estimado de un parámetro, sería lógico daruna medida de la precisión de esa estimación
Error estándar del estimador
El error estándar de un estimador es la desviación típica de dichoestimador:
Si la desviación típica depende del parámetro, la sustitución del parámetropor su estimación da lugar al error estándar estimado:
ˆˆVar
θσ θ⎡ ⎤= ⎣ ⎦
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5.2 Propiedades de los estimadores
EjemploDos grabadores de plasma de una fábrica de semiconductores tienen la mismatasa media de grabado . Sin embargo, una máquina es más nueva que la otra y por lo tanto la tasa de grabado tiene menor variabilidad. De modo que .Se toma una m.a.s. de cada máquina y
1. ¿Es un estimador insesgado para ?
2. ¿Qué valor de hará que la varianza del estimador puntual sea mínima?¿Qué ocurriría si hubiéramos tomado ?
μ
μ
2 22 14σ σ=
1 22n n=
1 2ˆ (1 )X Xμ α α= + −
α0.5α =
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5.2 Propiedades de los estimadores
Ejemplo
1. ¿Es un estimador insesgado para ?μ1 2ˆ (1 )X Xμ α α= + −
[ ] [ ] [ ]1 2
1 1
1 2
1 2
1 2
ˆ (1 )
(1 )
n ni ii i
E X E XE
n nn nn n
μ α α
μ μα α μ
= == + −
= + − =
∑ ∑
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5.2 Propiedades de los estimadores
Ejemplo
1. ¿Es un estimador insesgado para ?μ1 2ˆ (1 )X Xμ α α= + −
[ ] [ ] [ ]1 2
1 1
1 2
1 2
1 2
ˆ (1 )
(1 )
n ni ii i
E X E XE
n nn nn n
μ α α
μ μα α μ
= == + −
= + − =
∑ ∑
Insesgado
Estadística. Profesora María Durbán20
5.2 Propiedades de los estimadores
Ejemplo
2. ¿Qué valor de hará que la varianza del estimador puntual sea mínimo?¿Qué ocurriría si hubiéramos tomado ?
α0.5α =
[ ] [ ] [ ]
( )
1 2
2 21 12 21 2
2 2 22 2 2 21 1 1 1 1
2 21 1 1
ˆ (1 )
( / 2)4 (1 ) 8(1 )( / 2)
n ni ii i
Var X Var XVar
n nn nn n n
μ α α
σ σ σα α α α
= == + −
= + − = + −
∑ ∑
[ ] [ ]21
1
ˆ 8 8ˆ09 9
VarVar
nμ σα μ
α∂
= → = ⇒ =∂
2 22 14σ σ=
1 22n n=
[ ]21
1
9ˆ0.54
Varnσα μ= → =
Poco peso a lasobservaciones conmás variabilidad
Estadística. Profesora María Durbán21
Preciso, pero no centrado Centrado, pero no preciso
5.2 Propiedades de los estimadores
Error Cuadrático Medio
Preciso y centrado
El E.C.M. tiene en cuenta lo preciso que es un estimador y lo próximoque está al verdadero valor del parámetro
( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆE.C.M. E Var sesgoθ θ θ θ θ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Error
CuadráticoMedio
Estadística. Profesora María Durbán22
5.2 Propiedades de los estimadores
Error Cuadrático Medio
θ [ ]1E θ
2Dist. de θ 1Dist. de θ
SesgadoMenos varianzaInsesgado
Más varianza
Estadística. Profesora María Durbán23
5.2 Propiedades de los estimadores
Error Cuadrático Medio
θ [ ]1E θ
2Dist. de θ 1Dist. de θ
SesgadoMenos varianzaInsesgado
Más varianzaEstadística. Profesora María Durbán
24
5.2 Propiedades de los estimadores
Error Cuadrático Medio
θ [ ]1E θ
2Dist. de θ 1Dist. de θ
SesgadoMenos varianzaInsesgado
Más varianza
Estadística. Profesora María Durbán25
5.2 Propiedades de los estimadores
Error Cuadrático Medio
θ [ ]1E θ
2Dist. de θ 1Dist. de θ
SesgadoMenos varianzaInsesgado
Más varianzaEstadística. Profesora María Durbán
26
5.2 Propiedades de los estimadores
Consistencia
Diremos que un estimador es consistente cuando se aproxima al valordel parámetro al crecer el tamaño muestral
Describe el comportamiento del estimador cuando el tamaño de la muestra crece.
Se puede considerar como el requisito “mínimo” que se exige a un estimador
Estadística. Profesora María Durbán27
Tema 5: Estimación de Parámetros
5.1 Introducción y conceptos básicos
5.2 Propiedades de los estimadores
5.3 Métodos de máxima verosimilitud
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
5.3 Método de máxima verosimilitud
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5.3 Método de máxima verosimilitud
Método de los momentos Más fáciles de calcular
Máxima verosimilitud Mejores desde al punto devista de la eficiencia
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5.3 Método de máxima verosimilitud
Método de máxima verosimilitud
La idea es la siguiente:
Dada una muestra de datos, suponemos que provienen de unadistribución conocida (que depende de 1 ó más parámetros). El objetivo es buscar el valor del parámetro que hace más probable que dichos datos provengan de esa distribución con ese valor del parámetro.
Ejemplo
Lanzamos una moneda 1000 veces y aparecen 100 caras y 900cruces. El valor más verosímil del parámetro no es 0.5, ya que si lo fuera, el número de caras y cruces estaría próximo
30
Distribución conjunta de la muestra
5.3 Método de máxima verosimilitud
Método de máxima verosimilitud
Punto de partida: una muestra aleatoria simple
IndependientesCon la misma distribución
( )1 2, , , nX X X=X …
La distribución de cuando tomamos distintas muestras se llamadistribución conjunta de la muestra.
X
Variables discretas
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1
Pr , , , Pr Pr Pr
Pr
n n n n
n
i ii
X x X x X x X x X x X x
X x=
= = = = = = =
= =∏
… …
Probabilidad conjunta de la muestras
Estadística. Profesora María Durbán31
Distribución conjunta de la muestra
5.3 Método de máxima verosimilitud
Método de máxima verosimilitud
Punto de partida: una muestra aleatoria simple
IndependientesCon la misma distribución
( )1 2, , , nX X X=X …
( ) ( )1 21
, , ,n
n ii
f x x x f x=
=∏…
Variables continuasPara calcular probabilidades hemos de conocer
los parámetros de los que depende la distribución
Estadística. Profesora María Durbán32
Función de verosimilitud
5.3 Método de máxima verosimilitud
Método de máxima verosimilitud
Dada una v.a. (continua) con función de densidad y una m.a.s. , la función de densidad conjunta:
( )|f x θ( )1 2, , , nX X X=X …( )1 2, , , nX X X=X …
X
( ) ( )1 21
, , , | |n
n ii
f x x x f xθ θ=
=∏…
Cuando es conocido probabilidad de aparición de cada muestra
θCuando es desconocido, pero conocemos el valor de una muestra:
θ
( ) ( )1
| |n
ii
l x f xθ θ=
=∏Función deverosimilitud ( ) ( )ln | |l x L xθ θ=
Función soporte
Estadística. Profesora María Durbán33
5.3 Método de máxima verosimilitud
Método de máxima verosimilitud
x
P(x)
Población
Muestra( )0 10 20 0, , , nx x x x= …
( )0|l xθ ( )|f x θ
Estadística. Profesora María Durbán34
5.3 Método de máxima verosimilitud
Método de máxima verosimilitud
Dada una muestra, buscamos el valor del parámetro/s que maximiza la probabilidad de aparición de los valores observados.
Derivamos la función soporte con respecto a , e igualamos a 0
θ
θ
( ) ˆ0L θ
θθ
∂= →
∂
Calculamos la segunda derivada para comprobar que es un máximo
( )2
2 0L θθ
∂<
∂ ˆθ θ=
Estadística. Profesora María Durbán35
5.3 Método de máxima verosimilitud
Propiedades de los E.M.V.
Para distribuciones cuyo rango de valores es conocido a priori y nodepende de ningún parámetro y el tamaño de la muestra es grande,el método de máxima verosimilitud da lugar a estimadores que son:
Asintóticamente centrados
Asintóticamente normales
Asintóticamente de varianza mínima
Son invariantes frente a transformaciones biunívocas:
ˆ E nθ θ⎡ ⎤ → →∞⎣ ⎦
( )ˆ ˆ,N Varθ θ θ⎡ ⎤≈ ⎣ ⎦12
2
ˆ( )ˆ LVar θθθ
−⎛ ⎞∂⎡ ⎤ = −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
( ) ( )ˆ ˆSi es E.M.V. de es E.M.V. de ggθ θ θ θ→
Estadística. Profesora María Durbán36
5.3 Método de máxima verosimilitud
Supongamos que el tiempo de fallo de un módulo electrónico se pruebaa elevadas temperaturas para acelerar el fallo del mecanismo. El tiempo de fallo se distribuye como una exponencial con parámetro desconocido.Se toman al azar 8 unidades y se prueban, dando lugar a los siguientes tiempo de fallo:
Ejemplo
1 2 3 4
5 6 7 8
11.96 5.03 67.4 16.0731.5 7.73 11.1 22.38
x x x xx x x x= = = == = = =
1ˆ 0.046221.65
λ = =
Método de máxima verosimilitud
8
1
88
18
1
( | )
( ) 8ln( )
ii ixx
i
ii
l x e e
L x
λλλ λ λ
θ λ λ
=−−
=
=
∑= =
= −
∏
∑8
81
1
( ) 8 8 1ˆ0ii
ii
L xXx
λ λλ λ =
=
∂= − = ⇒ = =
∂ ∑∑
2
2 2
( ) 8 0L λλ λ
∂= − <
∂
Estadística. Profesora María Durbán37
5.3 Método de máxima verosimilitud
Supongamos que el tiempo de fallo de un módulo electrónico se pruebaa elevadas temperaturas para acelerar el fallo del mecanismo. El tiempo de fallo se distribuye como una exponencial con parámetro desconocido.Se toman al azar 8 unidades y se prueban, dando lugar a los siguientes tiempo de fallo:
Ejemplo
Método de máxima verosimilitud
0.040 0.042 0.044 0.046 0.048 0.050 0.052
l bd
-32.
7-3
2.7
-32.
6-3
2.6
-32.
6
F. s
opor
te
Estadística. Profesora María Durbán38
5.3 Método de máxima verosimilitud
Supongamos que el tiempo de fallo de un módulo electrónico se pruebaa elevadas temperaturas para acelerar el fallo del mecanismo. El tiempo de fallo se distribuye como una exponencial con parámetro desconocido.Se toman al azar 8 unidades y se prueban, dando lugar a los siguientes tiempo de fallo:
Ejemplo
1 2 3 4
5 6 7 8
11.96 5.03 67.4 16.0731.5 7.73 11.1 22.38
x x x xx x x x= = = == = = =
Método de máxima verosimilitud
1ˆX
λ = [ ]12 2
2
( )LVarn
λ λλλ
−⎛ ⎞∂
= − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
Cuanto mayor es el tamañode la muestra
Más preciso esel estimador
Estadística. Profesora María Durbán39
5.3 Método de máxima verosimilitud
Ejemplo
Calcular el E.M.V. de para una muestra de 2( , )θ μ σ= 2( , )N μ σ
( )22
2 1/ 22 22 21
( )( )1 1( , | ) exp exp2 22 2
nn
ii in
i
xxl xμμμ σ
σ σπσ πσ=
=
⎧ ⎫−⎧ ⎫− ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭
∑∏
Estadística. Profesora María Durbán40
5.3 Método de máxima verosimilitud
Ejemplo
Calcular el E.M.V. de para una muestra de 2( , )θ μ σ= 2( , )N μ σ
( )22
2 1/ 22 22 21
22 2 1
2
( )( )1 1( , | ) exp exp2 22 2
( )( , ) ln(2 )
2 2
nn
ii in
i
nii
xxl x
xnL
μμμ σσ σπσ πσ
μμ σ πσ
σ
=
=
=
⎧ ⎫−⎧ ⎫− ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭
−= − −
∑∏
∑
( )
21
2 1
2222 21 1
2 2 4
( , ) 1 ˆ( ) 0
( )( , ) ˆ02 2
nn ii
ii
n ni ii i
xL x Xn
x x xL n Sn
μ σ μ μμ σ
μμ σ σσ σ σ
==
= =
∂= − = → = =
∂
− −∂= − + = → = =
∂
∑∑
∑ ∑
Estadística. Profesora María Durbán41-0.3
-0.2-0.1
00.1
0.20.3
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2 -170
00 -165
00 -160
00-155
00 -150
00 -145
00-140
00
μ2σ
( )L θ
5.3 Método de máxima verosimilitud
Ejemplo
Estadística. Profesora María Durbán42
5.3 Método de máxima verosimilitud
Ejemplo
-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
mu
0.6
0.8
1.0
1.2
sigm
a
-16400 -16400 -16000 -16000-15800
-15600-15400-15200
-15000
-14800
-14600-14600 -14400
-14200
μ
2σ
( )L θ
Estadística. Profesora María Durbán43
Tema 5: Estimación de Parámetros
5.1 Introducción y conceptos básicos
5.2 Propiedades de los estimadores
5.3 Método de máxima verosimilitud
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Estadística. Profesora María Durbán44
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Ejemplo
Supongamos que estamos interesados en el volumen medio de líquido contenido en una lata de refresco. El volumen medio requerido en la población es 300cc.
Un ingeniero toma una muestra de 25 latas y calcula . El ingeniero probablemente decidirá que la media poblacional es 300cc aunque sea menor, ya que es un estimador razonable de y quesi tomáramos repetidas muestras de 25 latas produciría valores depor encima y por debajo de 300cc
La media muestral es un estadístico, es decir, es una v.a. que dependede los resultados obtenidos en cada muestra
298ccx =
x x μx
Estadística. Profesora María Durbán45
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Ejemplo
Supongamos que estamos interesados en el volumen medio de líquido Contenido en una lata de refresco. El volumen medio requerido en la población es 300cc.
Un ingeniero toma una muestra de 25 latas y calcula . El ingeniero probablemente decidirá que la media poblacional es 300cc aunque sea menor, ya que es un estimador razonable de y quesi tomáramos repetidas muestras de 25 latas produciría valores depor encima y por debajo de 300cc
La media muestral es un estadístico, es decir, es una v.a. que dependeDe los resultados obtenidos en cada muestra
298ccx =
x μxx
Estadística. Profesora María Durbán46
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Distribución en el muestreo de la media
Vamos a calcular la esperanza y varianza de , donde las tienenmedia y varianza .
X iXμ 2σ
[ ]1 1
n ni ii i
X E X nE X En n n
μ μ= =⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
[ ] 2 21 1
2 2
n ni ii i
X Var X nVar X Varn n n n
σ σ= =⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
Estadística. Profesora María Durbán47
1 2 3
Media = 1.5 Media = 2.5Media = 2.
Población 1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.5
2.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.5
22222222222
Compara la variabilidad de la poblacióncon la variabilidad de la media muestral.
Tomamos muestras de dos observaciones
Ilustramos cómo la varianza de la media muestral es menorque la de la población.
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Estadística. Profesora María Durbán48
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Distribución en el muestreo de la media
La distribución de dependerá de la distribución de las X iX
~ ( , ) ~ ,iX N X Nnσμ σ μ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Si tienen otra distribución, pero n es suficientemente grande,por el Teorema Central del Límite:
(0,1)/
X Nnμ
σ−
≈
Estadística. Profesora María Durbán49
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Ejemplo
Una empresa fabrica resistores que tienen una resistencia media de 100ohms y una varianza de 100ohms2. La distribución de laresistencia es normal. Calcular la probabilidad de que una muestra deresistores de tamaño 25 tenga una resistencia media menor de 95ohms
~ ,X Nnσμ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
10 225
=
100
( ) ( )
( ) ( )
95 100Pr 95 Pr Pr 2.52
Pr 2.5 1 Pr 2.5
X Z Z
Z Z
−⎛ ⎞< = < = < −⎜ ⎟⎝ ⎠
= > = − <
Estadística. Profesora María Durbán50
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Ejemplo
Una empresa fabrica resistores que tienen una resistencia media de 100ohms y una varianza de 100ohms2. La distribución de laresistencia es normal. Calcular la probabilidad de que una muestra deresistores de tamaño 25 tenga una resistencia media menor de 95ohms
2
~ ,X Nnσμ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
10 225
=
100
( ) ( )
( ) ( )
95 100Pr 95 Pr Pr 2.52
Pr 2.5 1 Pr 2.5 1 0.9938 0.0062
X Z Z
Z Z
−⎛ ⎞< = < = < −⎜ ⎟⎝ ⎠
= > = − < = − =
Estadística. Profesora María Durbán51
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Caso particular: Distribución en el muestreo de una proporción
[ ][ ]2
1 Defectuoso
(1 ) 0 Aceptablei
ii
E X pX
Var X p pμ
σ= =
== = −
Si tenemos una muestra de tamaño n, la proporción de defectuosos enla muestra sería:
1n. defectuososˆn. total
nii
Xp X
n== = =∑
[ ]
[ ]
ˆ
(1 )ˆ
E p pp pVar p
n
=
−=
Bernouilli
Estadística. Profesora María Durbán52
5.4 Distribución de un estimador en el muestreo
Distribución en el muestreo de la varianza
Un estimador natural de la varianza poblacional es la varianzamuestral
2σ
( )2
2 1
nii
X XS
n=
−= ∑
Vamos a calcular su esperanza y varianza, para ello primero demostramos:
( ) ( ) ( )2 22
1 1
n ni ii i
X X X n Xμ μ= =
− = − − −∑ ∑