TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
1
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
2
leri Yön (Düz) Kinemati i
Bir robot ana çerçevesinden araç çerçevesine do rubirbirine prizmatik veya döner eklemlerle ba lanm seriuzuvlardan olu ur. ki uzuv aras ndaki ili ki bir homojendönü üm matrisiyle aç klan r. Eklem dönü üm matrislerinin ardarda çarp lmas yla ana çerçeve ile araç çerçeve aras ndaki ili kitan mlan r. Bu ili ki manipülatörün araç çerçevesinin konumunuve yönelimini ana çerçeveye göre belirtir.
saca ileri yön kinemati i eklem de kenleri ile uç i levcisininkonumu ve yönelimini ana çerçeveye göre hesaplar diyebiliriz.Her bir ekleme bir koordinat sistemi yerle tirilse kom u ikieklem aras ndaki ili ki bir Ti
i1
dönü üm matrisiyle elde edilir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
3
TTTT NNN11
201
0 .......
lk ekleme ait dönü üm matrisi ilk eklem ile ana çerçevearas ndaki ili kiyi tan mlarken, son ekleme ait dönü üm matrisi uç
levcisi ile son eklem aras ndaki ili kiyi ifade eder. Arka arkayaralanan bu eklem dönmü üm matrisleriyle ana çerçeve ile araç
çerçevesi aras ndaki ili ki tan mlan r. Bu ili kiye de ileri kinematikdenir. Ana çerçeve ile araç çerçevesi aras ndaki ili ki
eklinde tan mlan r.
Eklem De kenlerinin BelirlenmesiRobotlar n eklem de kenlerinin belirlenmesi için birçok
kinematik yöntem belirlenmi tir. Kinematik problemler kartezyen üçboyutlu ve kartonom dört boyutlu olmak üzere iki farkl uzaydagerçekle tirilir. Kartezyen uzayda üstel yöntem, Pieper-Roth yöntemive Denativ-Hartenberg yöntemi kullan r. Ancak en fazla tercihedilen yöntem Denativ-Hartenberg yöntemidir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
4
1ia1i
id
1i
Denativ-Hartenberg YöntemiBu yöntemde dört ana de ken kullan larak robot kinemati i
kar r.
iki kom u eksen aras ndaki eksen açüst üste ç kan ba lar aras ndaki eklemkaymas (kaç kl )ve iki kom u uzuv aras ndaki eklem aç
Bu dört de kende D-H De kenidir.
Bu de kenler
iki eksen aras ndaki uzuv uzunlu u
‘dir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
5
1. Öncelikle eklem eksenleri dönme veya kayma yönleri belirlenir vebu eksene paralel bir do ru çizilir
2. Bu i lem gerçekle tirilirken eklem eksenleri, döner eksenler içindönme yönü Z, prizmatik eklemler için kayma yönü Z ekseniolarak belirlenir.
3. Z eksenine dik ve kol boyunca olan ba (uzuv) uzunlu u X ekseniolarak kabul edilir.
4. Z ve X eksenleri belirlendikten sonra sa el kural na göre Y eksenibulunur.
5. E er arka arkaya gelen 2 eklemin dönme veya kayma yönleri aynise Z ekseni belirlendikten sonra kol boyunca X ekseni belirlenir.Son olarak sa el kural na göre Y ekseni belirlenir.
6. 0 ve 1. eksenler üst üste kabul edilebilir.7. Bir seri robotun eklemine koordinat sistemleri yerle tirilirken 1.
eksenin dönme yönü Z ekseni olarak belirlendikten sonragenellikle bu eksene X eksenince döndürüldü ünde kom u iki Zekseni çak acak ekilde bir X ekseni yerle tirilir.
Eksenler a daki hususlar dikkate al narak yerle tirilir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
6
Bu de kenleri belirlemek için öncelikli olarak ekildengörüldü ü gibi robotun dönme eksenleri belirlenir ve dönmeeksenleri uzuvlardan bir fazla olacak ekilde numaraland r.
Daha sonra bu eksenlerin her birine bir koordinat sistemiyerle tirilir ve uzuv dönme ekseni a daki ekilde görüldü ügibi koordinat sisteminin Z ekseni olarak kabul edilir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
7
1iX 1iZ iZ
1ia
daki ekildeki gibi yönünde uzanan ile
eksenleri aras ndaki dik uzakl a uzuv uzunlu u denir.
iZ 1iX iX
id
daki ekildeki gibi yönünde uzanan ile
eksenleri aras ndaki dik uzakl a eklem kaç kl denir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
8
1iZ iZ
iX 1i
daki ekildeki gibi ekseni ile ekseni aras ndakiboyunca ölçülen aç ya eksen aç denir.
1iX iX
iZ i
daki ekildeki gibi ekseni ile ekseni aras ndaki
boyunca ölçülen aç ya eklem aç denir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
9
1ia1i 1i
1id
Koordinat sistemleri eklemlere yerle tirildikten sonra D-Hde kenleri bulunur ve a daki tabloya yaz r. Robotunhareket etmesiyle de meyen parametreler uzuv uzunluklar ve
eksen aç lar r. De en parametreler ise eklem döner ise
eklem aç e er eklem prizmatik ise eklem kaç kl r.
1000coscossincossinsinsinsincoscoscossin
0sincos)()()()(
1111
1111
1
111
iiiiiii
iiiiiii
iii
iZiZixixi
i
dd
adDRaDRT
Her bir ekleme ait geneldönü üm matrisiburadan elde edilir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
10
leri Kinematik Problemlerinin Çözümünde Kullan lan Yakla mlar
Geometrik Yakla mBu yakla m manipülatör duru una ba olarak olu an geometrikekilden yararlan r.
Cebirsel Yakla mBu yakla m manipülatörün parametreleri ve eklem de kenleriaras ndaki cebirsel ili kilerden yararlan r
Dönü üm matrislerin çarp lmas yla uç i levcisinin konumunu veyönelimini içeren ve eklem de kenlerinin birer fonksiyonu olangenel bir dönü üm matrisi elde edilir. Bu matriste 9 adet dönme(r11,r12,r13, r21,r22,r23, r31,r32 ve r33) ve 3 adet de konum (px, py ve pz)belirten toplam 12 eleman bulunur
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
11
ki boyutlu düzlemde hareket eden robot kolunun geometrikyakla m kullan larak ileri yön kinemati inin bulunmas
Öncelikle robotun iki boyutludüzlemde ald ekil çizilerekuç i levcisini ifade eden Pnoktas n konumu bulunur.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
12
321321211 coscoscos lllPx
321321211 sinsinsin lllPy
P noktas n X Eksenindeki izdü ümü
P noktas n Y Eksenindeki izdü ümü
Ayn kolun ileri yön kinemati ini D-H yöntemi ile bulal m.Öncelikle kolun ba lang ç de erlerine göre eklemlere koordinatsistemleri yerle tirilir.
kinci ad mda dönme eklemlerine Z eksenleri yerle tirilir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
13
Üçüncü ad mda Z eksenine dik ve uzuv boyuncauzanan X eksenleri yerle tirilir.
Dördüncü ad mda Sa El kural na göre Y eksenleri yerle tirilir.
Son ad mda da Koordinat sistemleri eklemlere yerle tirildiktensonra D-H de kenleri belirlenir ve tabloya eklenir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
14
,,, 4321,0 ZveZZZ
3210 ,, ve
Öncelikle D-H de kenlerinden sabit olan parametreler belirlenir.eksenlerinin dönme yönleri ayn oldu undan
aç lar 0 ‘d r. Z0 ile Z1 aras nda X1 boyunca uzananherhangi bir ba uzunlu u olmad ndan a0=0
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
15
Elde edilen tabloya göre her ekleme ait de kenleri a daki genelmatriste yerine koyarak dönü üm matrislerini bulal m.
1000coscossincossinsinsinsincoscoscossin
0sincos
1111
1111
1
1
iiiiiii
iiiiiii
iii
ii d
da
T
Birinci eklem için dönü üm matrisi
1000000000cossin00sincos
1000coscossincossinsinsinsincoscoscossin
0sincos
11
11
1000101
1000101
011
01 d
da
T
kinci eklem için dönü üm matrisi
1000000000cossin
0sincos
1000coscossincossinsinsinsincoscoscossin
0sincos
22
122
2111212
2111212
122
12
l
dd
a
T
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
16
Üçüncü eklem için dönü üm matrisi
1000000000cossin
0sincos
1000coscossincossinsinsinsincoscoscossin
0sincos
33
233
3222323
3222323
233
23
l
dd
a
T
Dördüncü eklem için dönü üm matrisi
100001000010
001
1000000000cossin
0sincos
1000coscossincossinsinsinsincoscoscossin
0sincos
3
44
344
4333424
4333424
344
34
ll
dd
a
T
76
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
17
Elde edilen dört ekleme ait dönü üm matrisleribirbirleriyle çarp larak manipülatöre ait dönü ümmatrisi elde edilir.
100001000010
001
.
1000000000cossin
0sincos
.
1000000000cossin
0sincos
.
1000000000cossin00sincos 3
33
233
22
122
11
11
34
23
12
01
04
lllTTTTT
10000100
00
112123213213321321321321
112123213213321321321321
slslsccslssccsccsclclsscclsccssscc
112123213 coscoscos lllPx
112123213 sinsinsin lllPy
elde edilen dönü üm matrisinin konum vektöründen
Denklemleri elde edilir.
321321 sscc ,cos 321 321321 sccs 321sin
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
18
Robotlarda Kullan lan Bilek Düzenle imleriEndüstriyel robotlarda Euler ve eklem kaç kl kl bilek olmak üzere ikitip bilek düzenle imi kullan r. Euler bilekli düzenle imde üç eksen birnoktada kesi irken eklem kaç kl kl bilekte eklemlerin kesi mesi eklemkaymas ve uzuv uzunluklar ile engellenir.
Euler Bileklik Düzenle imin leri Yön Kinemati i
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
19
Öncelikle D-H De kenlerine ait tablo olu turulur
Bu tabloya göre de bilek düzenle imine ait ileri yön kinemati ineait dönü üm matrisi bulunur.
1000000
100000010000
100000010000
100001000000
0
jkjkj
jikikjikikji
jikikjikikji
kk
kk
jj
jj
i
ii
k
ssscsssccscsscccssccssccssccc
cs
sc
cs
sccssc
T
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
20
Eklem Kaç kl kl Bileklik Düzenle iminin leri Yön Kinemati i
Öncelikle D-H De kenlerine ait tablo olu turulur
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
21
Bu tabloya göre de bilek düzenle imine ait ileri yön kinemati ineait dönü üm matrisi bulunur.
1000
100000
10000
1000000100
0
100001000000
0
jjkjkj
ijijikikjikikji
ijijikikjikikji
kk
kk
jj
jj
i
ii
k
cdssscssassdssccscsscccscascdsccssccssccc
csd
sc
cs
asccssc
T
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
22
Alt Serbestlik Derecesine Sahip Robotun ler Yön Kinemati iEndüstriyel robotlara Euler veya eklem kaç kl kl bilek eklendi inde 6serbestlik dereceli robotlar elde edilir. Euler bileklikli robotlarendüstride hafif yüklerde tercih edilirken, eklem kaç kl kl robotlar
r yüklerin kald lmas gibi i lemlerde tercih edilir.
Scara diye tan mlanan alt serbestlik dereceli robotun ileri yönkinemati ini bulal m
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
23
Öncelikle koordinat sistemlerini her bir eklemeyerle tirelim ve ard ndan D-H parametrelerine aittabloyu olu tural m.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
24
Her ekleme ait dönü üm matrisleri bulunur
1000100
00cossin00sincos
1
11
11
01 hT
1000010000cossin
0sincos
22
122
12
l
T
1000100
0010001
3
2
23 d
l
T
1000100
00cossin00sincos
4
44
44
34 dT
100000cossin010000sincos
55
55
45T
100000cossin010000sincos
66
66
56T
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
25
TTTTTTT 56
45
34
23
12
01
06
065
642142165421421
642142165421421
06 cs
ssccsccsccssssccccsscc
T
065
642142165421421
642142165421421
cscsccsscsccscssccscsscc
10431
11212
11212
6
5421421
5421421
ddhslslclcl
cssccsssscc
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
26
Ters KinematikRobotun uç i levcisinin ana çerçeveye göre konumu ve yönelimi
verildi inde manipülatörün bu konuma ve yönelime gelebilmesi içingerekli eklem de kenlerinin bulunmas r.
Ba ka bir de le de uç i levcisinin konum ve yöneliminikartezyen koordinat sisteminden eklem koordinat sisteminedönü türme i lemi olarak da tan mlayabiliriz.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
27
Ters kinematik a daki nedenlerden dolay çözülmesi oldukçazor olan problemler içerir.
•Analitik olarak karma k, do rusal olmayan denklemler içerir.•Eklemlerin yap na ba r. E er robot prizmatik eklemlerdenolu uyorsa ters kinematik problemin çözümü kolayla rken,robottaki döner eklem say artt kça problemin çözümü de oderece zorla maktad r.•Her zaman matematiksel çözüm fiziksek çözümü temsil etmez.Birinci ekilde matematiksel çözümle fiziksel çözüm örtü ürkenikinci ekilde örtü mez
),(2arctan zpk ),(2arctan zpk
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
28
6426
•Ayn uç i levci düzenle imi için birden fazla çözüm olabilir. Terskinematik çözüm say robotun serbestlik derecesinin yan ndaayn zamanda eklem de kenlerine de ba r. Her bir eklemdeuzuv uzunlu u ve eklem kaç kl n olmas çözüm say nartmas na neden olur. Örne in 6R robotta her bir eklem için enaz ndan bir uzuv uzunlu u ve eklem kaç kl oldu undan terskinematik çözüm sayYaln z bu çözümlerin bir k sm gerçek bir k sm ise sanald r. Döneleklemlerden olu an robotlarda fiziksel çözüm say n fazla olmas ,üç boyutlu uzayda bir noktaya birkaç ekilde ula ma imkân sa lar.Örne i PUMA robotunun ayn noktaya dört farkl ekildeeri ebildi imi gösterir.
‘dür.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
29
Ters Kinematik Problemlerine Analitik Çözüm YaklaCraig taraf ndan tan mlanan alt serbestlik derecesine sahip birrobotun ileri yön kinemati i a daki gibi yaz r.
TTTTTTT 56
45
34
23
12
01
06
ITT 01
101 Oldu undan yukar daki denklem daha basit bir
ifadeyle elde edilebilir.
TTTTTTT 56
45
34
23
12
06
101 TTTTTTT 5
645
34
23
06
112
01 TTTTTTT 5
645
34
06
123
12
01
TTTTTTT 56
45
06
134
23
12
01 TTTTTTT 5
606
145
34
23
12
01
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
30
aaisea ,12arctancos 2
21,2arctansin aaisea
abisebvea ,2arctansincos
iseba 0cossin
abveyaab ,2arctan,2arctan
isecba cossin
ccbaba ,2arctan,2arctan 222
Ters kinematik çözüm gerçekle tirilirken kullan lan baztrigonometrik e itlikler.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
31
Örnek
1000010000cossin00sincos
11
11
01T
1000010000cossin
0sincos
22
122
12
l
T
100001000010
001 2
23
l
T
TTTT 23
12
01
03
101T
TTTTTT 23
12
01
101
03
101
leri yön kinemati ine ait dönü üm matrisinin her iki taraf
ile çarpal m.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
32
ITT 01
101
TTTT 23
12
03
101
Bilindi i gibi oldu undan denklem a daki gibi olur.
10001
001
0110
1PRR
TTT
1000cossin0sincos
11
1101 R
1000cossin0sincos
11
1101
TR
T01
000
000
1000cossin0sincos
11
11
100
1 PRT
Dönü üm matrisinin konum vektörü s r oldu undan
1000010000cossin00sincos
11
11
101T
elde edilir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
33
Bu matrisi T03 ileri kinemati i temsil eden matrisle çarpal m
1000333231
232221
131211
03
z
y
x
prrrprrrprrr
T
10001000010000cossin00sincos
333231
232221
131211
11
11
03
101
z
y
x
prrrprrrprrr
TT
1000
cossincossincossincossinsincossincossincossincos
333231
11231131221121211111
11231131221121211111
z
xx
yx
prrrpprrrrrr
pprrrrrr
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
34
TT 03
101
TT 23
12
10000100
cos0cossincos0sincos
100001000010
001
1000010000cossin
0sincos
2222
122222
22
122
23
12
lllll
TT
Çarp bulduk. imdide
çarp bulal m ve iki sonucu birbirine e itleyelim.
10000100
cos0cossincos0sincos
1000
cossincossincossincossinsincossincossincossincos
2222
12222
333231
11231131221121211111
11231131221121211111
lll
prrrpprrrrrr
pprrrrrr
z
xx
yx
Bulunur.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
35
2211111 cossincos rr
2211111 sincossin rr031r
2221121 sinsincos rr
2221121 coscossin rr
032r0sincos 231131 rr0cos3sin 2311 rr
133r
12211 cossincos llPP yx
2211 sincossin lPP yx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 0zP
itlikleri elde edilir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
36
Ters kinematik çözümün tamam mümkünse kol uzunluklarcinsinden elde edilmelidir. Bu nedenle 10. ve 11. denklemlerinher iki taraf n karesini al p alt alta toplayal m.
222
22
1221222
22
1222
12
122
12
222
22
1222
1
212212
222
21
221
2
sincos2coscossinsincos
sincossin
cos2cossincos
lllllPPPP
lPP
llllPP
yxyx
yx
yx
22yx PveP 2
2litli in sol taraf , sa taraf da parantezine alal m.
212212
22
222
21
21
22211
2 cos2sincoscossinsincos llllPP yx
1sincos 211
2 ‘dir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
37
21221
22
22 cos2 llllPP yx
Bu durumda denklemi yeniden yazarsak
olur.
Buradan21
21
22
22
2 2)(
cosll
llPP yx bulunur.
Bunu aaisea ,12arctancos 2 denklemine uyarlarsak
21
21
22
222
21
21
22
22
2 2)(
,2
)(12arctan
llllPP
llllPP yxyx bulunur.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
38
12211 cossincos llPP yx
Bu ifadeyi de cba cossin ‘e uyarlarsak
cllbPaP yx 122 cos,, Olur.
ccbaba ,2arctan,2arctan 222
1222
1222
1 cos,cos2arctan,2arctan llllPPPP xyxy elde edilir.
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
39
,
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
40
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
41
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
42
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
43
Eksenno
Eksenaç(z’leraras )
i
Eklemuzunlu u
(z’leraras )
ai
Eklemkaç kl
(x’leraras )
di
Eklemaç(Z’etra
nda)
i
1(0-1)
0 a1 d1 1
2(1-2) (1800)
a2 0 2
3(2-3)
0 0 d3 0
4(3-4)
0 0 d4 4
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
44
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
45
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
46
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
47
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
48
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
49
TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU
50