TEORIA
DA
PARTILHA
EQUILIBRADA
TEORIA
DA
PARTILHA
EQUILIBRADA
TEORIA DA PARTILHA TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADAEQUILIBRADA
Caso ContínuoCaso Contínuo
Caso DiscretoCaso Discreto
Caso MistoCaso Misto
caso contínuocaso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que : aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.;dinheiro, etc.;
caso discretocaso discreto: aplica-se à divisão de objectos : aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente mais pequenas (ou não tão facilmente
divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados por por crianças, lugares num parlamento;crianças, lugares num parlamento;
caso mistocaso misto: aplica-se à divisão de : aplica-se à divisão de um um conjunto constituído por conjunto constituído por objectos dos objectos dos dois tipos acima dois tipos acima referidos, por exemplo, referidos, por exemplo, uma uma herança constituída por um carro e herança constituída por um carro e algum dinheiro .algum dinheiro .
caso contínuocaso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que : aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.;dinheiro, etc.;
caso discretocaso discreto: aplica-se à divisão de objectos : aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente mais pequenas (ou não tão facilmente
divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados por por crianças, lugares num parlamento;crianças, lugares num parlamento;
caso mistocaso misto: aplica-se à divisão de : aplica-se à divisão de um um conjunto constituído por conjunto constituído por objectos dos objectos dos dois tipos acima dois tipos acima referidos, por exemplo, referidos, por exemplo, uma uma herança constituída por um carro e herança constituída por um carro e algum dinheiro .algum dinheiro .
Caso ContínuoCaso Contínuo
Método do divisor-selector
Método do divisor-único
Método do selector-único
Método do último a diminuir
Método da faca deslizante
Método do divisor-selector
Método do divisor-único
Método do selector-único
Método do último a diminuir
Método da faca deslizante
Divisão JustaDivisão JustaDivisão JustaDivisão Justa
DIVISÃO JUSTADIVISÃO JUSTA
““Partilhar de forma justa um conjunto Partilhar de forma justa um conjunto SS de objectos por de objectos por
um conjunto de um conjunto de NN jogadores consiste em dividir jogadores consiste em dividir SS de forma a de forma a
que cada um dos que cada um dos NN jogadores receba uma parte justa, isto é, jogadores receba uma parte justa, isto é,
receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/NN do do
valor total de valor total de SS.”.”
““Partilhar de forma justa um conjunto Partilhar de forma justa um conjunto SS de objectos por de objectos por
um conjunto de um conjunto de NN jogadores consiste em dividir jogadores consiste em dividir SS de forma a de forma a
que cada um dos que cada um dos NN jogadores receba uma parte justa, isto é, jogadores receba uma parte justa, isto é,
receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/NN do do
valor total de valor total de SS.”.”
O processo é interno
Os jogadores devem agir de forma racional
Os jogadores não devem ter conhecimento das preferências dos outros jogadores
O processo é interno
Os jogadores devem agir de forma racional
Os jogadores não devem ter conhecimento das preferências dos outros jogadores
MÉTODO DO DIVISOR-SELECTOR
MÉTODO DO DIVISOR-SELECTOR
1º Passo: O jogador P1 divide o conjunto S
em duas partes;
2º Passo: O jogador P2 escolhe uma daspartes;
3º Passo: O jogador P1 fica com a parte que
P2 não escolheu;
1º Passo: O jogador P1 divide o conjunto S
em duas partes;
2º Passo: O jogador P2 escolhe uma daspartes;
3º Passo: O jogador P1 fica com a parte que
P2 não escolheu;
Exercício: Exercício:
O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e
chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango.vezes mais do que morango.
O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e
chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango.vezes mais do que morango.
?
Se o Nuno for o divisor, quais das seguintes divisões serão possíveis?
Se o Nuno for o divisor, quais das seguintes divisões serão possíveis?
1ªdivisão 2ªdivisão 3ªdivisão 4ªdivisão 5ªdivisão1ªdivisão 2ªdivisão 3ªdivisão 4ªdivisão 5ªdivisão
Visão do Visão do NunoNunoVisão do Visão do NunoNuno
Para cada uma das divisões, de acordo com o sistema de valores do Nuno, qual a melhor escolha para a Liliana?
Para cada uma das divisões, de acordo com o sistema de valores do Nuno, qual a melhor escolha para a Liliana?
Visão da Visão da LilianaLilianaVisão da Visão da LilianaLiliana
Note que… Note que… Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a divisão não seria a mesma;divisão não seria a mesma; Este método pode ainda funcionar para um nº de Este método pode ainda funcionar para um nº de jogadores igual a uma potência de 2.jogadores igual a uma potência de 2.
Note que… Note que… Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a divisão não seria a mesma;divisão não seria a mesma; Este método pode ainda funcionar para um nº de Este método pode ainda funcionar para um nº de jogadores igual a uma potência de 2.jogadores igual a uma potência de 2.
MÉTODO DO DIVISOR ÚNICOMÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
Divisão: O divisor, suponhamos P1, divide o conjunto Sem três partes iguais, de acordo com o seu sistema de valores.
Declaração: Cada selector declara secretamente quais das três partes são na sua opinião justas. Note-se que poderá escolher mais do que uma.
Distribuição: A distribuição dependerá das declarações do passo anterior dando origem a três casos distintos:
Divisão: O divisor, suponhamos P1, divide o conjunto Sem três partes iguais, de acordo com o seu sistema de valores.
Declaração: Cada selector declara secretamente quais das três partes são na sua opinião justas. Note-se que poderá escolher mais do que uma.
Distribuição: A distribuição dependerá das declarações do passo anterior dando origem a três casos distintos:
MÉTODO DO DIVISOR ÚNICOMÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
CASO 1: Cada selector declara partes distintas e não mais do que uma.
CASO 1: Cada selector declara partes distintas e não mais do que uma.
PartesPartes
S1 S2 S3S1 S2 S3
P1P1
Jogadores Jogadores P2P2
P3P3
11 1 1 1 1
0 10 1 0 0
0 00 0 11
Notação:Notação:
1 – parte declarada1 – parte declarada
0 – parte não declarada0 – parte não declarada
Notação:Notação:
1 – parte declarada1 – parte declarada
0 – parte não declarada0 – parte não declarada
11111111
11
MÉTODO DO DIVISOR ÚNICOMÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
CASO 2: No máximo uma das partes não é declarada.
CASO 2: No máximo uma das partes não é declarada.
PartesPartes
S1 S2 S1 S2 S3S3
P1P1
Jogadores Jogadores P2P2
P3P3
1 1 11 1 1
1 0 11 0 1
1 0 01 0 0Notação:Notação:
1 – parte declarada1 – parte declarada
0 – parte não declarada0 – parte não declarada
Notação:Notação:
1 – parte declarada1 – parte declarada
0 – parte não declarada0 – parte não declarada
11111111
11
MÉTODO DO DIVISOR ÚNICOMÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
CASO 3: Os selectores declaram as mesmas partes. Há mais do que uma parte não declarada.
CASO 3: Os selectores declaram as mesmas partes. Há mais do que uma parte não declarada.
PartesPartes
S1 S2 S1 S2 S3S3
P1P1
Jogadores Jogadores P2P2
P3P3
1 1 1 1 11
1 0 1 0 00
1 0 1 0 00
Notação:Notação:
1 – parte declarada1 – parte declarada
0 – parte não declarada0 – parte não declarada
Notação:Notação:
1 – parte declarada1 – parte declarada
0 – parte não declarada0 – parte não declarada
Neste caso: Neste caso:
O divisor fica com um dos pedaços O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). (escolhido aleatoriamente).
Os restantes dois pedaços juntam-se Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-e aplica-se o método do Divisor-Selector.Selector.
Neste caso: Neste caso:
O divisor fica com um dos pedaços O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). (escolhido aleatoriamente).
Os restantes dois pedaços juntam-se Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-e aplica-se o método do Divisor-Selector.Selector.
MÉTODO DO DIVISOR ÚNICOMÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
MÉTODO DO SELECTOR ÚNICO
MÉTODO DO SELECTOR ÚNICO
Primeira divisão: Os dois divisores dividem S em duas
partes justas usando o método do divisor-selector.
Segunda divisão: Cada um dos divisores divide a sua
parte em três porções.
Selecção: O selector escolhe agora uma das trêsporções de cada um dos divisores para si, ficandocada divisor com o que restou das suas partes.
Primeira divisão: Os dois divisores dividem S em duas
partes justas usando o método do divisor-selector.
Segunda divisão: Cada um dos divisores divide a sua
parte em três porções.
Selecção: O selector escolhe agora uma das trêsporções de cada um dos divisores para si, ficandocada divisor com o que restou das suas partes.
EXEMPLO:
A mãe da Tânia, da Patrícia e do Carlos comprou-lhes um bolo de morango e laranja para o lanche. O bolo custou €12.
EXEMPLO:
A mãe da Tânia, da Patrícia e do Carlos comprou-lhes um bolo de morango e laranja para o lanche. O bolo custou €12.
Suponhamos que:
A Tânia e a Patrícia são os divisores e o Carlos é o selector.
Suponhamos que:
A Tânia e a Patrícia são os divisores e o Carlos é o selector.
1ª divisão:1ª divisão:
2ª divisão:2ª divisão:
Visão do Carlos Visão do Carlos
Selecção:Selecção:
O que é importante é o valor e não o O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a tamanho de cada parcela, para quem a recebe.recebe.
No final da divisão cada um deles No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso €4).caso €4).
O que é importante é o valor e não o O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a tamanho de cada parcela, para quem a recebe.recebe.
No final da divisão cada um deles No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso €4).caso €4).
Conclusões:Conclusões:
MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR
MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR
1º Passo: O jogador P1 escolhe uma parte de S queconsidera corresponder a ¼ de S.
2º Passo: De seguida o jogador P2 pode:
Concordar com a divisão feita por P1 e passar a sua vez ao jogador P3.
Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida por P1.
1º Passo: O jogador P1 escolhe uma parte de S queconsidera corresponder a ¼ de S.
2º Passo: De seguida o jogador P2 pode:
Concordar com a divisão feita por P1 e passar a sua vez ao jogador P3.
Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida por P1.
MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR
MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR
3º Passo: Os jogadores P3 e P4, de acordo com aparcela que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que P2.
4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado
sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que
optar por diminui-la, saindo assim do jogo.
5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos um jogador) uma e outra vez até que ficam apenas dois jogadores.
3º Passo: Os jogadores P3 e P4, de acordo com aparcela que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que P2.
4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado
sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que
optar por diminui-la, saindo assim do jogo.
5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos um jogador) uma e outra vez até que ficam apenas dois jogadores.
Exercício:Exercício:
Quatro estudantes (João, Tiago, Inês Quatro estudantes (João, Tiago, Inês e Maria), numa sessão contínua de e Maria), numa sessão contínua de estudo, decidem encomendar uma estudo, decidem encomendar uma pizza Marguerita e utilizar o método pizza Marguerita e utilizar o método do último a diminuir, que estão a do último a diminuir, que estão a estudar para a dividir.estudar para a dividir.
Quatro estudantes (João, Tiago, Inês Quatro estudantes (João, Tiago, Inês e Maria), numa sessão contínua de e Maria), numa sessão contínua de estudo, decidem encomendar uma estudo, decidem encomendar uma pizza Marguerita e utilizar o método pizza Marguerita e utilizar o método do último a diminuir, que estão a do último a diminuir, que estão a estudar para a dividir.estudar para a dividir.
Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e a Inês a Inês
diminuem...diminuem...
Quem fica com a primeira fatia? Quem fica com a primeira fatia?
Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem corta a fatia no início da 2ª volta?
Quem fica com a segunda fatia? Quem fica com a segunda fatia?
Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia?fatia?
Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e a Inês a Inês
diminuem...diminuem...
Quem fica com a primeira fatia? Quem fica com a primeira fatia?
Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem corta a fatia no início da 2ª volta?
Quem fica com a segunda fatia? Quem fica com a segunda fatia?
Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia?fatia?
MÉTODO DA FACA DESLIZANTE
MÉTODO DA FACA DESLIZANTE
1º Passo: Alguém que não pretende ficar com nenhuma fatia do bolo move a faca contínua e lentamente sobre a porção do bolo;
2º Passo: Um dos jogadores dirá “pára” a qualquer momento;
3º Passo: Quando tal acontecer o bolo será cortado ficando a respectiva fatia para esse jogador;
1º Passo: Alguém que não pretende ficar com nenhuma fatia do bolo move a faca contínua e lentamente sobre a porção do bolo;
2º Passo: Um dos jogadores dirá “pára” a qualquer momento;
3º Passo: Quando tal acontecer o bolo será cortado ficando a respectiva fatia para esse jogador;
Caso DiscretoCaso Discreto
Método das Licitações FechadasMétodo dos Marcadores
Método ConvencionalMétodo de HamiltonMétodo de JeffersonMétodo de AdamsMétodo de WebsterMétodo de Huntington-HillMétodo de Hondt
Método das Licitações FechadasMétodo dos Marcadores
Método ConvencionalMétodo de HamiltonMétodo de JeffersonMétodo de AdamsMétodo de WebsterMétodo de Huntington-HillMétodo de Hondt
Divisão JustaDivisão JustaDivisão JustaDivisão Justa
Divisão Divisão ProporcionalProporcionalDivisão Divisão ProporcionalProporcional
DIVISÃO JUSTADIVISÃO JUSTA
objectos diferentesobjectos diferentes jogadores idênticosjogadores idênticos objectos diferentesobjectos diferentes jogadores idênticosjogadores idênticos
Método das Licitações Fechadas
Método das Licitações Fechadas
Este método é dos mais importantes para problemas deste tipo e muito utilizado no que diz respeito a heranças.
Consiste em atribuir valores monetários aos objectos e consequentemente dividi-los em partes justas, isto é, cada indivíduo terá que despender ou receber dinheiro.
Este método é dos mais importantes para problemas deste tipo e muito utilizado no que diz respeito a heranças.
Consiste em atribuir valores monetários aos objectos e consequentemente dividi-los em partes justas, isto é, cada indivíduo terá que despender ou receber dinheiro.
Processa-se em 4 fases:
● Licitação● Distribuição ● Pagamento ● Excesso
Processa-se em 4 fases:
● Licitação● Distribuição ● Pagamento ● Excesso
Método das Licitações Fechadas
Método das Licitações Fechadas
Para que este método seja honesto terão de se verificar as seguintes condições:
● cada indivíduo deve fazer a sua própria licitação sem conhecer a proposta dos restantes (uma forma de o fazer será através de envelopes fechados);
● cada indivíduo deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações;
● cada indivíduo deve aceitar dinheiro em substituição do objecto.
Para que este método seja honesto terão de se verificar as seguintes condições:
● cada indivíduo deve fazer a sua própria licitação sem conhecer a proposta dos restantes (uma forma de o fazer será através de envelopes fechados);
● cada indivíduo deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações;
● cada indivíduo deve aceitar dinheiro em substituição do objecto.
Método das Licitações Fechadas
Método das Licitações Fechadas
EXEMPLO:
Após o falecimento do Sr. João, os seus quatro filhos, cujos nomes são respectivamente Ana, Pedro, Rita e Luís viram-se “obrigados” a partilhar os bens do seu pai. O Sr. João possuía uma casa, um cavalo e uma mota de água.
EXEMPLO:
Após o falecimento do Sr. João, os seus quatro filhos, cujos nomes são respectivamente Ana, Pedro, Rita e Luís viram-se “obrigados” a partilhar os bens do seu pai. O Sr. João possuía uma casa, um cavalo e uma mota de água.
Método das Licitações Fechadas
Método das Licitações Fechadas
Foram de comum acordo em utilizar o Método das Licitações Fechadas.
Vejamos como se processam as fases de:
Licitação Distribuição Pagamento Excesso
Foram de comum acordo em utilizar o Método das Licitações Fechadas.
Vejamos como se processam as fases de:
Licitação Distribuição Pagamento Excesso
Método das Licitações Fechadas
Método das Licitações Fechadas
Os filhos do Sr. João fazem as suas propostas, isto é, atribuem um valor monetário aos bens. A tabela seguinte evidencia tais valores:
Os filhos do Sr. João fazem as suas propostas, isto é, atribuem um valor monetário aos bens. A tabela seguinte evidencia tais valores:
Licitação:Licitação:
€ 8 000€ 10 000 € 13 000 € 11 000
€ 3 000 € 6 000€ 5 000 € 4 000
€ 180 000€ 160 000€ 140 000 € 120 000
LUÍSRITAPEDROANA
LUÍS LUÍS
Distribuição:Distribuição:
Surgem então as seguintes questões:Surgem então as seguintes questões:
-- O que recebe afinal a Ana? O que recebe afinal a Ana? -- Não está a ser prejudicada? Não está a ser prejudicada?
É o que vamos responder de seguida!É o que vamos responder de seguida!
Surgem então as seguintes questões:Surgem então as seguintes questões:
-- O que recebe afinal a Ana? O que recebe afinal a Ana? -- Não está a ser prejudicada? Não está a ser prejudicada?
É o que vamos responder de seguida!É o que vamos responder de seguida!
RITARITA PEDROPEDRO ANAANA
Qual a parte justa dos bens relativamente a cada herdeiro?Qual a parte justa dos bens relativamente a cada herdeiro?
Pagamento:Pagamento:
ANA PEDRO RITA LUÍS
€ 120 000 € 140 000 € 160 000 € 180 000
€ 4 000 € 5 000 € 6 000 € 3 000
€ 11 000 € 13 000 € 10 000 € 8 000
Soma das licitações
€ 135 000 € 158 000 € 176 000 € 191 000
Parte justa
€ 33 750 € 39 500 € 44 000 € 47 750
Esta é a altura em que é necessário abrir uma conta em nome da herança (“banca”).
Comparando o valor do objecto recebido por cada herdeiro com o valor que ele estimou ser a sua parte justa, cada indivíduo terá de pagar à/receber da “banca” consoante o valor da parte justa for superior/inferior ao valor do objecto obtido.
Torna-se assim evidente que se a um dos herdeiros não for atribuído nenhum objecto ele terá que ser reembolsado pela “banca”, este valor não é mais do que o que este considera ser a sua parte justa da herança.
Esta é a altura em que é necessário abrir uma conta em nome da herança (“banca”).
Comparando o valor do objecto recebido por cada herdeiro com o valor que ele estimou ser a sua parte justa, cada indivíduo terá de pagar à/receber da “banca” consoante o valor da parte justa for superior/inferior ao valor do objecto obtido.
Torna-se assim evidente que se a um dos herdeiros não for atribuído nenhum objecto ele terá que ser reembolsado pela “banca”, este valor não é mais do que o que este considera ser a sua parte justa da herança.
Pagamento:Pagamento:
Vejamos o que acontecerá a cada um dos herdeiros neste exemplo concreto:Vejamos o que acontecerá a cada um dos herdeiros neste exemplo concreto:
Pagamento:Pagamento:
LUÍSLUÍS € € 180 000180 000 - - € 47 750€ 47 750 = € 132 = € 132 250250
LUÍSLUÍS € € 180 000180 000 - - € 47 750€ 47 750 = € 132 = € 132 250250
ANAANA € 33 750€ 33 750ANAANA € 33 750€ 33 750
RITARITA € 44 000€ 44 000 - - € 6 000€ 6 000 = € 38 000 = € 38 000RITARITA € 44 000€ 44 000 - - € 6 000€ 6 000 = € 38 000 = € 38 000
PEDROPEDRO € 39 500€ 39 500 - - € 13 000€ 13 000 = € 26 = € 26 500500 PEDROPEDRO € 39 500€ 39 500 - - € 13 000€ 13 000 = € 26 = € 26 500500
RecebeReceberr
RecebeReceberr
RecebeReceberr
RecebeReceberr
RecebeReceberr
RecebeReceberr
PagarPagarPagarPagar
Feitas as operações bancárias temos: € 132 250 - € 38 000 - € 26 500 - € 33 750 = € 34 000
Sobram assim na conta criada em nome da herança € 34 000.
Logo dividimos este valor pelos quatro herdeiros.
Cabe assim a cada um € 8 500 (€ 34 000 / 4 = € 8 500)
Feitas as operações bancárias temos: € 132 250 - € 38 000 - € 26 500 - € 33 750 = € 34 000
Sobram assim na conta criada em nome da herança € 34 000.
Logo dividimos este valor pelos quatro herdeiros.
Cabe assim a cada um € 8 500 (€ 34 000 / 4 = € 8 500)
Excesso:Excesso:
Temos assim:Temos assim:
Excesso:Excesso:
PEDROPEDRO € 26 500 € 26 500 + € 8 500+ € 8 500 = € 35 000 = € 35 000 PEDROPEDRO € 26 500 € 26 500 + € 8 500+ € 8 500 = € 35 000 = € 35 000
LUÍS LUÍS € 132 250 € 132 250 - € 8 500- € 8 500 = € = €
123 750123 750 LUÍS LUÍS € 132 250 € 132 250 - € 8 500- € 8 500 = € = €
123 750123 750
RITARITA € 38 000 € 38 000 + € 8 500+ € 8 500 = € 46 500 = € 46 500RITARITA € 38 000 € 38 000 + € 8 500+ € 8 500 = € 46 500 = € 46 500
ANAANA € 33 750 € 33 750 + € 8 500+ € 8 500 = € 42 = € 42 250250ANAANA € 33 750 € 33 750 + € 8 500+ € 8 500 = € 42 = € 42 250250
PagouPagouPagouPagou
RecebeuRecebeuRecebeuRecebeu
RecebeuRecebeuRecebeuRecebeu
RecebeuRecebeuRecebeuRecebeu
Globalmente temos:Globalmente temos:
--€ € 123 123 750750
--€ € 123 123 750750
++€ € 46 50046 500
++€ € 46 50046 500
++€ € 35 00035 000
++€ € 35 00035 000
€ € 42 25042 250€ € 42 25042 250
LUISLUISLUISLUIS RITARITARITARITA PEDRPEDROOPEDRPEDROO
ANAANAANAANA
Relativamente à sua própria avaliação:
Relativamente à sua própria avaliação:
LUÍS LUÍS € 180 000€ 180 000 - € 123 750 = € 56 250 - € 123 750 = € 56 250 LUÍS LUÍS € 180 000€ 180 000 - € 123 750 = € 56 250 - € 123 750 = € 56 250
RITA RITA € 6 000€ 6 000 + € 46 500 = € 52 500 + € 46 500 = € 52 500 RITA RITA € 6 000€ 6 000 + € 46 500 = € 52 500 + € 46 500 = € 52 500
PEDROPEDRO € 13 000€ 13 000 + € 35 000 = € 48 000 + € 35 000 = € 48 000 PEDROPEDRO € 13 000€ 13 000 + € 35 000 = € 48 000 + € 35 000 = € 48 000
ANAANA € 42 250€ 42 250ANAANA € 42 250€ 42 250RecebeRecebeRecebeRecebe
RecebeRecebeRecebeRecebe
RecebeRecebeRecebeRecebe
RecebeRecebeRecebeRecebe
Isto mostra que:Isto mostra que:
Todos acabam por receber mais Todos acabam por receber mais € 8 € 8 500500 do que aquilo que consideravam do que aquilo que consideravam justo!justo!
Nenhum dos herdeiros tem assim Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado!motivo para se considerar injustiçado!
Isto mostra que:Isto mostra que:
Todos acabam por receber mais Todos acabam por receber mais € 8 € 8 500500 do que aquilo que consideravam do que aquilo que consideravam justo!justo!
Nenhum dos herdeiros tem assim Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado!motivo para se considerar injustiçado!
Relativamente à sua própria avaliação:
Relativamente à sua própria avaliação:
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
Supondo que temos N indivíduos pelos quais queremos distribuir M objectos, este método consiste em:
alinhar por uma ordem fixa durante todo o processo de divisão, os M objectos a partilhar (normalmente para esta sequência utilizam-se Array’s);
de seguida cabe a cada indivíduo partir a sequência em N partes que ele considera justas, de forma a que os restantes não tenham conhecimento da maneira como o fez. no final cada indivíduo ficará com uma das N partes da sequência que considerou justa não sabendo, à priori, qual delas.
Supondo que temos N indivíduos pelos quais queremos distribuir M objectos, este método consiste em:
alinhar por uma ordem fixa durante todo o processo de divisão, os M objectos a partilhar (normalmente para esta sequência utilizam-se Array’s);
de seguida cabe a cada indivíduo partir a sequência em N partes que ele considera justas, de forma a que os restantes não tenham conhecimento da maneira como o fez. no final cada indivíduo ficará com uma das N partes da sequência que considerou justa não sabendo, à priori, qual delas.
EXEMPLO:EXEMPLO:
Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em conjunto com as Federações de Futebol de conjunto com as Federações de Futebol de cada país interveniente neste evento, que cada país interveniente neste evento, que seriam doados equipamentos dos jogadores seriam doados equipamentos dos jogadores das diferentes selecções a instituições de das diferentes selecções a instituições de caridade de cada país.caridade de cada país.
A Federação Portuguesa de Futebol A Federação Portuguesa de Futebol decidiu distribuir estes equipamentos pelas decidiu distribuir estes equipamentos pelas seguintes instituições:seguintes instituições:
- - Casa do GaiatoCasa do Gaiato- - Santa Casa da MisericórdiaSanta Casa da Misericórdia - - APPACDMAPPACDM
EXEMPLO:EXEMPLO:
Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em conjunto com as Federações de Futebol de conjunto com as Federações de Futebol de cada país interveniente neste evento, que cada país interveniente neste evento, que seriam doados equipamentos dos jogadores seriam doados equipamentos dos jogadores das diferentes selecções a instituições de das diferentes selecções a instituições de caridade de cada país.caridade de cada país.
A Federação Portuguesa de Futebol A Federação Portuguesa de Futebol decidiu distribuir estes equipamentos pelas decidiu distribuir estes equipamentos pelas seguintes instituições:seguintes instituições:
- - Casa do GaiatoCasa do Gaiato- - Santa Casa da MisericórdiaSanta Casa da Misericórdia - - APPACDMAPPACDM
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
A Portugal couberam os seguintes equipamentos :A Portugal couberam os seguintes equipamentos :
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul 2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul
2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky 2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky
1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C. 1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C.
RonaldoRonaldo 1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C. 1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C.
RonaldoRonaldo
3 equipamentos do Figo 3 equipamentos do Figo 1 equipamento do R. 1 equipamento do R.
CarvalhoCarvalho 3 equipamentos do Figo 3 equipamentos do Figo 1 equipamento do R. 1 equipamento do R.
CarvalhoCarvalho
Aleatoriamente, colocam-se os equipamentos por ordem e numeram-se como se indica a seguir:
Aleatoriamente, colocam-se os equipamentos por ordem e numeram-se como se indica a seguir:
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
12654321 1110987
Seguidamente, os representantes de cada Seguidamente, os representantes de cada instituição marcam em anonimato (por exemplo instituição marcam em anonimato (por exemplo num papel) os segmentos da sequência que num papel) os segmentos da sequência que consideram como partes justas.consideram como partes justas.
Seguidamente, os representantes de cada Seguidamente, os representantes de cada instituição marcam em anonimato (por exemplo instituição marcam em anonimato (por exemplo num papel) os segmentos da sequência que num papel) os segmentos da sequência que consideram como partes justas.consideram como partes justas.
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
Obtemos a seguinte divisão:Obtemos a seguinte divisão:Obtemos a seguinte divisão:Obtemos a seguinte divisão:
12654321 1110987
C1 C2 A1
A2
S1 S2
Notar que: Notar que: - - C1C1 e e C2C2 dizem respeito à dizem respeito à Casa do GaiatoCasa do Gaiato;;- - S1S1 e e S2S2 dizem respeito à dizem respeito à Santa Casa da Santa Casa da
MisericórdiaMisericórdia;;- - A1A1 e e A2A2 dizem respeito à dizem respeito à APPACDMAPPACDM..
Notar que: Notar que: - - C1C1 e e C2C2 dizem respeito à dizem respeito à Casa do GaiatoCasa do Gaiato;;- - S1S1 e e S2S2 dizem respeito à dizem respeito à Santa Casa da Santa Casa da
MisericórdiaMisericórdia;;- - A1A1 e e A2A2 dizem respeito à dizem respeito à APPACDMAPPACDM..
De seguida faz-se a distribuição dos equipamentos pelos representantes das 3 instituições, isto é, é atribuído um segmento a cada instituição.
Observa-se assim a linha da esquerda para a direita até encontrar o primeiro marcador respeitante ao primeiro conjunto de marcadores.
Neste exemplo, o primeiro marcador que encontramos (C1) diz respeito à Casa do Gaiato pelo que lhe é entregue o seu segmento (1).
De seguida faz-se a distribuição dos equipamentos pelos representantes das 3 instituições, isto é, é atribuído um segmento a cada instituição.
Observa-se assim a linha da esquerda para a direita até encontrar o primeiro marcador respeitante ao primeiro conjunto de marcadores.
Neste exemplo, o primeiro marcador que encontramos (C1) diz respeito à Casa do Gaiato pelo que lhe é entregue o seu segmento (1).
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
Casa do Gaiato:Casa do Gaiato: 1
A Casa do Gaiato recebe uma parte justa dos equipamentos e os marcadores respeitantes a esta instituição são retirados.A Casa do Gaiato recebe uma parte justa dos equipamentos e os marcadores respeitantes a esta instituição são retirados.
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
12654321 1110987
A1
A2
S1 S2 C1 C2
Procura-se de seguida o primeiro do segundo conjunto de marcadores. Uma vez que encontramos dois (A2 e S2) na mesma posição, qual deles devemos escolher? Vamos tirar à sorte com, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Suponhamos que coube à Santa Casa da Misericórdia. Atribui-se a esta instituição o segundo segmento (4-9) que vai do seu primeiro marcador (S1) até ao segundo (S2).
Procura-se de seguida o primeiro do segundo conjunto de marcadores. Uma vez que encontramos dois (A2 e S2) na mesma posição, qual deles devemos escolher? Vamos tirar à sorte com, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Suponhamos que coube à Santa Casa da Misericórdia. Atribui-se a esta instituição o segundo segmento (4-9) que vai do seu primeiro marcador (S1) até ao segundo (S2).
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
Santa Casa da Misericórdia:Santa Casa da Misericórdia: 654 987
É a altura de retirar os marcadores respeitantes à Santa Casa
da Misericórdia. É a altura de retirar os marcadores respeitantes à Santa Casa
da Misericórdia.
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
12654321 1110987
A1 A2
É então trivial que o único segmento que resta para a APPACDM seja o 10-12.É então trivial que o único segmento que resta para a APPACDM seja o 10-12.
S1
S2
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
APPACDM:APPACDM: 121110
Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:
12654321 1110987
O número de equipamentos que resta é demasiado O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método.pequeno para aplicar novamente o método.
É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: seguinte: Casa do Gaiato Casa do Gaiato – – Santa Casa da Misericórdia Santa Casa da Misericórdia – – APPACDMAPPACDM..
O representante da Casa do Gaiato escolhe o O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM.equipamento para distribuir pela APPACDM.
O número de equipamentos que resta é demasiado O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método.pequeno para aplicar novamente o método.
É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: seguinte: Casa do Gaiato Casa do Gaiato – – Santa Casa da Misericórdia Santa Casa da Misericórdia – – APPACDMAPPACDM..
O representante da Casa do Gaiato escolhe o O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM.equipamento para distribuir pela APPACDM.
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
Temos assim a seguinte distribuição final:Temos assim a seguinte distribuição final:
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
Casa do Gaiato :Casa do Gaiato :
12654321 1110987
Santa Casa da Misericórdia:Santa Casa da Misericórdia:
12654321 1110987
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
APPACDM:APPACDM:
12654321 1110987
Após a exposição do método, podemos verificar algumas vantagens e desvantagens deste, que passamos a referir:Após a exposição do método, podemos verificar algumas vantagens e desvantagens deste, que passamos a referir:
Método dos Marcadores Método dos Marcadores
Vantagens:Vantagens:
- - não requer dinheiro (ao contrário do método anterior);não requer dinheiro (ao contrário do método anterior);
Desvantagens:Desvantagens:
-- não é eficaz se o número de indivíduos for superior não é eficaz se o número de indivíduos for superior ao ao número de número de objectos a distribuir (ao contrário do método objectos a distribuir (ao contrário do método anterior);anterior);
-- só é justo em condições restritas, isto é, quando os só é justo em condições restritas, isto é, quando os objectos aobjectos a
dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo
um um conjunto de rebuçados e um barco).conjunto de rebuçados e um barco).
Vantagens:Vantagens:
- - não requer dinheiro (ao contrário do método anterior);não requer dinheiro (ao contrário do método anterior);
Desvantagens:Desvantagens:
-- não é eficaz se o número de indivíduos for superior não é eficaz se o número de indivíduos for superior ao ao número de número de objectos a distribuir (ao contrário do método objectos a distribuir (ao contrário do método anterior);anterior);
-- só é justo em condições restritas, isto é, quando os só é justo em condições restritas, isto é, quando os objectos aobjectos a
dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo
um um conjunto de rebuçados e um barco).conjunto de rebuçados e um barco).
DIVISÃO PROPORCIONAL
objectos iguais jogadores sujeitos a diferentes partes
Caso discreto: lugares no parlamentoCaso discreto: lugares no parlamento
• Como se distribuem os 230 lugares da Assembleia da República?
• Como se processa a transformação de votantes/votos em mandatos?
• Se o método fosse outro, a distribuição de deputados por círculo/partido eleitoral seria diferente?
• Qual o melhor método eleitoral?
“Este é um dos poucos assuntos em que a História, a Política e a Matemática se ligam.”
Peter Tannenbaum in EXCURSONS IN MODERN MATHEMATICS
A Constituição dos E.U.A. estabeleceque a legislatura é formada por duas Câmaras:
a Câmara dos Representantes, onde cada estado tem um número de representantes que é função da sua população; o Senado, representado por dois senadores de cada estado.
(Secções 2 e 3 do artigo 1 da Constituição dos E.U.A.)
Filadélfia, 1787
O problema da secção 2
Censos eleitorais de 1790
População dos E.U.A.: 3615920População do estado Carolina do Norte: 353523Número de membros da Câmara dos Representantes: 105
Número de representantes de Carolina do Norte:
Não é um número natural3615920
353523 105 10.265
Como exemplo…
Mandatos a atribuir: 226Eleitores inscritos: 8687945Número de círculos: 20
01 Lisboa 1785480 11 Viana do Castelo 22857502 Porto 1430272 12 Madeira 22383403 Braga 674399 13 Vila Real 21805004 Setúbal 653797 14 Castelo Branco 18679505 Aveiro 582032 15 Açores 18664106 Santarém 385044 16 Guarda 16822007 Leiria 379862 17 Bragança 14803908 Coimbra 373642 18 Évora 14530609 Viseu 351016 19 Beja 13850710 Faro 320049 20 Portalegre 108385
Conceitos Básicos
n: número de círculosp: população total recenseadapi: população do círculo i, i=1,2,…,nm: número de mandatosai: número de mandatos atribuídos ao círculo i, i=1,2,…,n
Divisor eleitoral:
Quota do círculo i:pi
Dqi
pi
p= . m=
pm
D =
Quota mínima: [qi] Quota máxima: [qi] +1
MÉTODO ELEITORALDefine-se como o mecanismo matemático pelo qual se transformam votantes/votos em mandatos.
pi qi ai
p1 46,446 46
p2 37,206 37
p3 17,543 18
p4 17,007 17
p5 15,140 15
p6 10,016 10
p7 9,881 10
p8 9,720 10
p9 9,131 9
p10 8,325 8
pi qi ai
p11 5,946 6
p12 5,823 6
p13 5,672 6
p14 4,859 5
p15 4,855 5
p16 4,376 4
p17 3,851 4
p18 3,780 4
p19 3,603 4
p20 2,819 3
MÉTODO CONVENCIONAL
NÃO FUNCIONA
∑i=1
20
m =ai= 227
8687945
226D = = 38442.23
Método de Hamilton
Calcular o divisor eleitoral;
Para cada estado, calcular a quota;
Atribuir a cada estado a sua quota mínima;
Distribuir os lugares que sobram (um a um) pelos estados, por ordem decrescente das partes decimais das suas quotas.
8687945
226D = = 38442,23
pi qi
p1 46,446
p2 37,206
p3 17,543
p4 17,007
p5 15,140
p6 10,016
p7 9,881
p8 9,720
p9 9,131
p10 8,325
pi qi
p11 5,946
p12 5,823
p13 5,672
p14 4,859
p15 4,855
p16 4,376
p17 3,851
p18 3,780
p19 3,603
p20 2,819
[qi]
46
37
17
17
15
10
9
9
9
8
[qi]
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
qi-[qi]
0,446 0
0,206 0
0,543 0
0,007 0
0,140 0
0,016 0
0,881 1
0,720 1
0,131 0
0,325 0
qi-[qi]
0,946 1
0,823 1
0,672 1
0,859 1
0,855 1
0,376 0
0,851 1
0,780 1
0,603 1
0,819 1
m
46
37
17
17
15
10
10
10
9
8
m
6
6
6
5
5
4
4
4
4
3
215 22611
Análise
Favorece os estados…
Paradoxo dos Novos Estados
Paradoxo da População
Paradoxo de Alabama
Viola a regra da quota
grandes
Sim
Sim
Sim
Não
H
grandes
Não
Não
Não
Sim
J
pequenos
Não
Não
Não
Sim
A
pequenos
Não
Não
Não
Sim
W
Teorema da Impossibilidade de Balinski e Young:Não há métodos de divisão proporcional perfeitos. Qualquer método de divisão proporcional que não viole a regra da quota produz paradoxos, e qualquer método de divisão proporcional que não produza paradoxos viola a regra da quota.
Método de Jefferson
Encontrar o número D (divisor eleitoral)tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por defeito (quota mínima modificada), a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir;
Atribuir a cada estado a quota mínima (modificada).
=[p1
D]+[p2
D]+ [pn
D]+… m
D = 38442,23
pi qi
p1 48,256
p2 38,656
p3 18,227
p4 17,670
p5 15,731
p6 10,407
p7 10,267
p8 10,098
p9 9,487
p10 8,650
pi qi
p11 6,178
p12 6,050
p13 5,893
p14 5,049
p15 5,044
p16 4,546
p17 4,001
p18 3,927
p19 3,743
p20 2,929
[qi]
48
38
18
17
15
10
10
10
9
8
[qi]
6
6
5
5
5
4
4
3
3
2
226
m = 215 (-11)
D = 37000
m = 226
D = 37500
m = 219 (-7)
H
46
37
17
17
15
10
10
10
9
8
H
6
6
6
5
5
4
4
4
4
3
Método de Adams
Encontrar o número D (divisor eleitoral)tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por excesso (quota máxima modificada), a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir;
Atribuir a cada estado a quota máxima (modificada).
(ou método dos pequenos divisores)
D = 38442,23
pi qi
p1 44,637
p2 35,757
p3 16,860
p4 16,345
p5 14,551
p6 9,626
p7 9,497
p8 9,341
p9 8,775
p10 8,001
pi qi
p11 5,714
p12 5,596
p13 5,451
p14 4,670
p15 4,666
p16 4,206
p17 3,701
p18 3,633
p19 3,463
p20 2,710
[qi]+1
45
36
17
17
15
10
10
10
9
9
[qi]+1
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
226
m = 235 (+9)
D = 40000
m = 226
D = 39000
m = 230(+4)
H
46
37
17
17
15
10
10
10
9
8
H
6
6
6
5
5
4
4
4
4
3
Método de Webster
Encontrar o número D (divisor eleitoral)tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas pelo processo convencional, a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir;
Atribuir a cada estado a quota modificada arredondada pelométodo convencional.
pi qi
p1 45,782
p2 36,674
p3 17,292
p4 16,764
p5 14,924
p6 9,873
p7 9,740
p8 9,581
p9 9,000
p10 8,206
pi qi
p11 5,861
p12 5,739
p13 5,591
p14 4,790
p15 4,786
p16 4,313
p17 3,796
p18 3,726
p19 3,551
p20 2,779
AC
46
37
17
17
15
10
10
10
9
8
AC
6
6
6
5
5
4
4
4
4
3
226
m = 226 D = 39000
H
46
37
17
17
15
10
10
10
9
8
H
6
6
6
5
5
4
4
4
4
3
Método de Huntington-Hill
Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando cadaquota modificada de estado (população do estado a dividir por D)é arredondada pela regra de Huntington-Hill, o total dos arredondamentos é exactamente o número de lugares a distribuir;
Atribuir a cada estado a sua quota modificada arredondada pelaregra de Huntington-Hill.
Regra de Arredondamento de Huntington-Hill: se a quota está
entre L e L+1, o ponto de viragem é H √L(L+1). Se a quota éinferior a H, arredonda-se por defeito, caso contrário, arredonda-sepor excesso;
=
pi qi
p1 45,664
p2 36,579
p3 17,248
p4 16,721
p5 14,885
p6 9,848
p7 9,715
p8 9,556
p9 8,977
p10 8,185
pi qi
p11 5,846
p12 5,725
p13 5,577
p14 4,777
p15 4,773
p16 4,302
p17 3,786
p18 3,716
p19 3,542
p20 2,772
m
46
37
17
17
15
10
10
10
9
8
viragem
45,497
36,497
17,493
16,492
14,491
9,487
9,487
9,487
8,485
8,485
m
6
6
6
5
5
4
4
4
4
3
226
viragem
5,477
5,477
5,477
4,472
4,472
4,472
3,464
3,464
3,464
2,449
H
46
37
17
17
15
10
10
10
9
8
H
6
6
6
5
5
4
4
4
4
3
D = 39100
m = 226
D = 38442,23
m = 228(+2)
Método d’Hondt
O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1,2,3,4,etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente, numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série;No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido menor número de votos.
Apura-se, em separado, o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo;
Círculo eleitoral de Viseu: 9 mandatos
Resultados: PPD/PSD 109261=p1
PS 65410=p2
CDS-PP 22283=p3
6
5
4
3
2
1
109261 65410 22283pia+1
109261,00
54630,50
36420,33
27315,25
21852,20
18210,17
21803,33
65410,00
16352,50
13082,00
10901,67
32705,00
7427,67
11141,50
5570,75
4456,60
3713,83
22283,00
109261,00
54630,50
36420,33
27315,25
21852,20
21803,33
65410,00
32705,00
22283,00
d1 d2
D D D[ =[p1]+[p2]+pn]+… m
Método d’HondtMétodo de Jefferson
dnMétodo de Jefferson:
Sejam n:=nº partidos; m:=nº de mandatos;
pi:=nº de votos do partido i, i=1,…,n, tal que p1≥…≥pn;ai :=nº de mandatos atribuídos ao partido i.
1º passo : d = p1
p1
d= 1 1 =: a1
pi
d< 1 0 =: ai , i=2,…,n
2º passo : diminui-se d de tal forma que o partido 1 receba o próximo mandato. Então,
, isto é, ;
o partido i recebe o mandato ai+1 sepi
d[ ] = ai+1;
3º passo : se já foram atribuídos os m mandatos, termina o processo; senão, volta-se ao 2º passo.
n
∑i=1
m≤ai
di =pi
ai+1
Atribui-se um mandato ao partido 1 e aos partidos que verificam a
condição anterior, por ordem decrescente dos divisores ,
enquanto . Seja, para i=1,…,n , pi
d[ ]ai :=
p1
d = a1+1 p1
a1+1d :=
Círculo eleitoral de Viseu: 9 mandatosPPD/PSD 109261=p1
PS 65410=p2
CDS-PP 22283=p3
p2
d< 1a1:=1d = p1 = 109561 a2:=0 p3
d< 1 a3:=0
p1
d= 2 =: a1 d = 54630,5
p2
d= 1.2 a2:=1 p3
d= 0.41 a3:=0
p1
d= 3 =: a1 d = 36420,33
p2
d= 1.8 a2:=1 p3
d= 0.61 a3:=0
p1
d= 4 =: a1 d = 27315.25
p2
d= 2.39 a2:=2 p3
d= 0.82 a3:=0
p1
d= 5 =: a1 d = 21852.2
p2
d= 2.99 a2:=2 p3
d= 1.02 a3:=1
p1
d= 6 =: a1 d = 18210.17
p2
d= 3.6 a2:=3 p3
d= 1.22 a3:=1
Conclusão
Segundo o método de Jefferson, o partido i receberá o seu a+1
mandato quando, para um certo d, , o que sucede quando o
número de mandatos atribuídos é igual a m.
Então, podemos afirmar que atribuímos os mandatos seguindo uma
ordem de prioridades por meio da função .
pi
da +1=
di =pi
a+1
6
5
4
3
2
1
109261 65410 22283pia+1109261,00
54630,50
36420,33
27315,25
21852,20
18210,17
21803,33
65410,00
16352,50
13082,00
10901,67
32705,00
7427,67
11141,50
5570,75
4456,60
3713,83
22283,00
Trabalho realizado por:
Carla Pimentel
Joana Couto
Mª Cristina Rodrigues
Sandra Nabiça