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Teoria das Estruturas 2PROF. BETH SOUZA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
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PARTE 1 :
Revisão – Teoria das Estruturas 1
Teorema dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Método da Carga Unitária (MCU)
Hiperestaticidade
Método das Forças
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PARTE 2 :
Linhas de influência
Método das Deformações
Processo de Cross
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Objetivos:
- Calcular deslocamentos em estruturas iso e hiperestáticas
- Determinar as linhas de influências em estruturas
- Analisar de forma crítica e técnica o comportamento de estruturas
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Parte 1
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Revisão – Teoria das Estruturas 1
Ex.1:
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Quadros simples
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Quadros simples
Normal
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Quadros simples
Cortante
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Quadros simples
Mom. Fletor
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Revisão – Teoria das Estruturas 1
Ex.2:
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Revisão – Teoria das Estruturas 1
Ex.2:
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Revisão – Teoria das Estruturas 1
Ex.2:
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Revisão – Teoria das Estruturas 1
Ex.2:
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Força Generalizada
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Força Generalizada
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Deformações e deslocamentos
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Condições de compatibilidade de deslocamentos
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Comportamentos Básicos dos Materiais: Linearidade, Não-linearidade, Elasticidade, Plasticidade
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Comportamentos Básicos dos Materiais: Linearidade, Não-linearidade, Elasticidade, Plasticidade
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Comportamento Geométrico das Estruturas: Linearidade e Não-linearidade Geométrica
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Princípio da Superposição dos Efeitos
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Correspondência entre Força e Deslocamento
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Trabalho de uma força
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Trabalho Virtual
◦ Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual
◦ Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real
Força e deslocamento (virtual e real ou vice-versa) têm uma relação de correspondência, mas nunca de causalidade.
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Rígidos
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Princípio dos Deslocamentos Virtuais - Para Corpos Rígidos
“Se é aplicado um deslocamento virtual a um corpo rígido sujeito a um sistema de forças em equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas forças é igual a zero”
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Ex.1: Calcular a reação Vb
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Ex.1:
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Ex.2: Calcular a reação Ma
Consideração:
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Ex.2:
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Método da Carga Unitária
oParticularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qualse considera a força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário.
oTambém conhecido como Método do Trabalho Virtual, Método da CargaSubstituta e Método de MaxwellMohr
oPode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformaçõesreais causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas.
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Método da Carga Unitária
Estrutura sujeita a carga real Estrutura sujeita a carga unitária
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Método da Carga Unitária
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Método da Carga Unitária
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Equação Geral do MCU:
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Método da Carga Unitária
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Método da Carga Unitária
As grandezas seguintes presentes nos denominadores da equação são relacionadas abaixo com a respectiva nomenclatura:
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Método da Carga Unitária
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Substituindo:
Na equação do MCU:
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Método da Carga Unitária
Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra na equação geral do MCU, tem-se:
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Método da Carga Unitária
Ex.1: Calcular deslocamento em B (EI = 2*105 kNm²):
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Método da Carga Unitária
Fase L:
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Método da Carga Unitária
Fase U:
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Método da Carga Unitária
O cálculo de um deslocamento de uma estrutura isostática feito através do MCU pode ser sistematizado nas seguintes etapas:
1. FASE L (Determinação dos esforços solicitantes devidos ao carregamento real: N, M, V, T)
2. FASE U (Cálculo dos esforços solicitantes virtuais devidos ao novo carregamento: n, m, v, t (unitário).
3. Substituição na expressão do MCU
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Método da Carga Unitária
Observações sobre a expressão do MCU:
a) Os esforços virtuais n, m, v, t devem ter dimensão de força (ou momento) por unidade de carga para que se obtenha ∆ com dimensão de comprimento linear (ou rotação).
b) Devem ser usadas as mesmas convenções de sinal para os esforços solicitantes das fases L e U. Assim, o deslocamento ∆ terá sempre como sentido positivo o sentido arbitrado para a carga unitária virtual.
c) A contribuição das deformações devidas a alguns esforços solicitantes no cálculo dos deslocamentos pode ser desprezada, em certas circunstâncias, visando reduzir trabalho de cálculo manual.
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Método da Carga Unitária
Considerações sobre a escolha da carga unitária•Deslocamento linear de um ponto (translação)•Rotação de uma seção transversal
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Método da Carga Unitária
Deslocamento linear de um ponto (translação)
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Método da Carga Unitária
Rotação de uma seção transversal
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Método da Carga Unitária
Ex.2: Calcular rotação da seção B para a mesma viga anterior.
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Método da Carga Unitária
Fase L:
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Método da Carga Unitária
Fase U:
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Método da Carga Unitária
Ex.3: Calcular o deslocamento vertical do ponto C ( EI = 2,0 x 10 5 kNm²)
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Método da Carga Unitária
Fase L:
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Método da Carga Unitária
Fase U:
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Método da Carga Unitária
Ex.4: Calcular deslocamento no Nó D ( EI = 2,0 x 10 5 kNm²)
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Método da Carga Unitária
Fase L:
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Método da Carga Unitária
Fase U:
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Método da Carga Unitária
Utilização de tabelas:
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Método da Carga Unitária
Utilização de tabelas:
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