IntroducaoConceitos Basicos
Definicao de ProbabilidadeExercıcios
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Prof. Dr. Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha/
10 de abril de 2019Londrina
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Introducao
Conceitos probabilısticos sao necessarios para se estudar fenomenosaleatorios, isto e, situacoes em que os resultados possıveis saoconhecidos, mas nao se pode saber a priori qual deles ocorrera.
Em particular, a distribuicao de frequencias e um instrumentoimportante para avaliar a variabilidade das observacoes de umfenomeno aleatorio.
Assim, podemos criar um modelo teorico que reproduza de ma-neira razoavel a distribuicao de frequencias. Tais modelos saochamados modelos probabilısticos.
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Experimento AleatorioEspaco AmostralEvento
Experimento Aleatorio
Definicao
E um processo de coleta de dados relativo a um fenomeno que acusavariabilidade em seus resultados, mesmo que as condicoes iniciaissejam sempre as mesmas.
Exemplo 1
a) o lancamento de uma moeda;
b) lancar tres moedas justas e observar as faces voltadas pracima;
c) lancar um dado e observar a face voltada para cima;
e) resultado de um jogo de futebol;
d) resultado de um exame de gravidez;
e) resultado de uma eleicao.3 / 23
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Experimento AleatorioEspaco AmostralEvento
Espaco Amostral
Quando se tem um experimento aleatorio, nao se pode prevercom certeza o resultado. Pode-se, em geral, descrever todos ospossıveis resultados deste experimento.
Definicao
O conjunto de todos os resultados possıveis de um experimentoaleatorio e chamado de espaco amostral. Vamos representa-lo porΩ.
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Experimento AleatorioEspaco AmostralEvento
Exemplo 2
Encontre o espaco amostral dos exemplos a seguir:
a) o lancamento de uma moeda;
b) lancar tres moedas justas e observar as faces voltadas pracima;
c) lancar um dado e observar a face voltada para cima;
e) resultado de um jogo de futebol;
d) resultado de um exame de gravidez;
e) resultado da eleicao de certo candidato.
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Evento
Definicao
E qualquer subconjunto do espaco amostral. Os eventos sao geral-mente representados por letras maiusculas, como A,B,C , . . ..
Dentre os eventos a considerar, deve-se incluir o proprio espacoamostral, Ω, que denominamos evento certo e o conjuntovazio, ∅, que denominamos evento impossıvel.
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Exemplo 3
a) No lancamento de um dado, considere os seguintes eventos:
A: ser sorteado o numero 2;
B: ser sorteado um numero par;
C: ser sorteado numero primo.
b) Suponha que em um lote de 12 pecas, 4 sejam defeituosas.Duas pecas sao retiradas aleatoriamente sem reposicao. As-sim, o espaco amostral e Ω = DD,DD, DD, DD, em queD e peca defeituosa e D e peca nao defeituosa. Considere osseguintes eventos:
A: ambas sejam defeituosas;
B: pelo menos uma seja defeituosa;
C: ambas sejam perfeitas.
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Experimento AleatorioEspaco AmostralEvento
Operacoes com Eventos
Em muitos problemas de probabilidade interessam-nos eventosque podem ser expressos em termos de dois ou mais eventos,formando unioes, intersecoes e complementos.
Os espacos amostrais e os eventos, especialmente as relacoesentre os eventos, costumam ser ilustrados por diagramas deVenn.
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Experimento AleatorioEspaco AmostralEvento
Uniao de eventos
O evento uniao de A e B equivale a ocorrencia de A, ou de B, ouambos. Contem os elementos do espaco amostral que estao em pelomenos um dos dois conjuntos. Diz-se “ocorre A ou B”.
Figura 1: Diagrama de Venn
Notacao: A ∪ B
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Interseccao de eventos
A interseccao de dois eventos A e B e o evento que consiste de todosos elementos contidos simultaneamente em A e em B. Contem todosos pontos comuns a A e B.
Figura 2: Diagrama de Venn
Notacao: A ∩ B
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Sub-Conjuntos
Diz-se: “B e sub-conjunto de A” ou “B implica em A”.
Figura 3: Diagrama de Venn
Notacao: B ⊂ A⇒
B ∪ A = A,B ∩ A = B.
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Eventos Disjuntos
Dois eventos A e B, dizem-se disjuntos ou mutuamente exclusivos,quando a ocorrencia de um deles impossibilita a ocorrencia dooutro. Os dois eventos nao tem elementos em comum.
Figura 4: Diagrama de Venn
Notacao: A ∩ B = ∅
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Complemento
E o evento que consiste de todos os elementos do espaco amostralque nao estao contidos em A, ou seja, e a negacao de A.
Figura 5: Diagrama de Venn
Notacao: Ac ⇒
Ac ∪ A = Ω,Ac ∩ A = ∅.
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Exemplo 4
Em um lancamento de um dado, considere os seguintes eventos:A: sair uma face par; B: sair uma face maior que 3; C: sair a face 1.Calcule:
a) sair uma face par e maior que 3.
b) sair uma face par e face 1.
c) sair uma face par ou maior que 3.
d) sair uma face par ou face 1.
e) nao sair face par;
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Definicao classicaDefinicao frequentista
Definicao classica
Definicao classica
O conceito classico ou “a priori”surgiu no seculo XVII a partir dosjogos de azar e define a probabilidade de o evento A ocorrer comosendo:
P(A) =numero de resultados favoraveis a A
numero de resultados possıveis=
n(A)
n(Ω)
Esse conceito aplica-se somente quando todos os resultadospossıveis sao igualmente provaveis.
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Definicao classicaDefinicao frequentista
Exemplo 5
No lancamento de um dado honesto, qual e a probabilidade de oresultado ser um numero:
a) ımpar?
b) Menor que 3?
c) primo?
d) Maior que 6?
e) entre 1 e 6?
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Definicao classicaDefinicao frequentista
Introducao
Mas como podemos calcular as probabilidades “a priori”nasseguintes situacoes:
Uma pessoa que fuma um pacote de cigarros por dia desenvolvercancer;
Ocorrer uma geada no proximo inverno;
Sair cara em uma moeda desonesta;
As vendas decrescerem se aumentarmos os precos;
Um novo metodo de montagem aumentar a produtividade.
E importante notar que a definicao classica exige que os resul-tados tenham todos a mesma chance.
Se os resultados nao tem a mesma chance, deve-se apelar paraa estimativa pela frequencia relativa.
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Definicao classicaDefinicao frequentista
Definicao frequentista
Suponhamos que realizamos um experimento n vezes ( n grande)e destas o evento A ocorre exatamente nA < n vezes, entao afrequencia relativa de vezes que ocorreu o evento A, “nA/n”, e aestimacao da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja,
P(A) = fA =nAn
Essa estimacao da probabilidade por frequencia relativa de umevento A, e proxima da verdadeira probabilidade do evento A,quando n tende ao infinito.
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Definicao classicaDefinicao frequentista
Exemplo 6
Qual a probabilidade de A = resultado obtido e cara para umamoeda desonesta?
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Exercıcio 1Exercıcio 3Exercıcio 4Exercıcio 5
Exercıcio 1
Um casal pretende ter filhos. Admitindo probabilidades iguais paraambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a ter tres filhosdo mesmo sexo? Pelo menos duas mulheres?
Exercıcio 2
Num lote ha seis pneus defeituosos de um total de quinze.Escolhendo-se tres pneus, um apos o outro, para uma inspecao,qual e a probabilidade de que:
a) um dos pneus defeituosos seja incluıdo?
b) no mınimo dois tenham defeitos?
c) no maximo dois sejam perfeitos?
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Exercıcio 1Exercıcio 3Exercıcio 4Exercıcio 5
Exercıcio 3
Em uma cesta, temos oito bombons de morango, dez bombons demaracuja e quatro bombons de uva. Determine a probabilidade deretiramos sucessivamente com reposicao, tres bombons demaracuja.
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Exercıcio 1Exercıcio 3Exercıcio 4Exercıcio 5
Exercıcio 4
Suponha que voce resolva apostar nos dois jogos das finais do cam-peonato paulista entre Corinthians e Sao Paulo. Assim, apesar doCorinthians ser o atual bicampeao e o Sao Paulo nao ganhar umtıtulo ha mais de 6 anos, consideremos ambos equiprovaveis para avitoria. Pede-se:
a) Qual a probabilidade de termos ambos empates?
b) Qual a probabilidade de ambos ganharem uma partida?
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Exercıcio 1Exercıcio 3Exercıcio 4Exercıcio 5
Exercıcio 5
Os registros indicam que 34 de de 956 pessoas que recentementevisitaram Africa Central contraıram malaria. Qual a probabilidadede que uma pessoa que recentemente visitou a Africa Central naotenha contraıdo malaria?
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