Download - Teoria Del Gas Enrarecido
CONDICIONES DE FRONTERA PARA UN GAS ENRARECIDO
Tesis que presenta: M . en Fs. Jorge Lpez Lemus
para la obtencin del grado de Doctor en Ciencias
Asesor: D r a . Rosa Mara Velasco Belmont
Departamento de Fsica Mxico D . F . , Enero del 2000
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPADIVISION CIENCIAS BASIC14S E INGENIERIA
A Elizabeth
Indice1
Introduccin Ecuaciones
19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de
2
cintico
2. 1 Modelo . 2.2 Ecuaciones de balance2.32.3.1
1013
La solucin la de ecuacin Boltzmann de Mtodo Chapman-Enskog de Mtodo de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 212428
2.3.22.43
Grad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones relajamiento un simple de para gasfralntera
nes
43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i3.1 L a s condicionesdeslizamiento de
43
3.2 Kernel de dispersin 3 . 3 El modelo Maxwell de3.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
50 5759
Coeficiente de a,comodacin
3.5
El modelo de3.5.1
l a s fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La constante normalizacin deqy
64
3.6 Los valores defronterade3.7 Adimensionalizacin4
P
687679
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flujo Couette 4. IAproximacin Navier-Stokes de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.2
,4proximacin de Grad,
A
,7y
p funcionesdelaposicin
. . . . . . . . . . 84
4.2.1
Perfil temperatura de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
919.5
4.2.2
Velocidad deslizamiento de
1
4.2.3'4.3
Coeficientes de deslizamiento
.
.
.
.
.
.
.
.. .. . . . .
... . . . . .
.. .
..
..
.. .
..
..
.
98101
X y '1 constantes, p funcinde l a posicicin
.. . .
..
.
4.3.1
Perfil temperatura de
.
.
.
.
. .
.
. .
.
.. . .
.. .
.. .
.. .
..
.. .
.. .
I
10.5
4.3.2 Coeficientes de deslizamiento.l.1 .X y71
106107 111
funcionesde la posicin y p constante
.
.
'4.3.1 Coeficientes deslizamiento de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..
. I ..i '1 . X constantes y p constante)C.5.l
.
.
..
.
.
.
. .
. ..
. . ..
.
.
.
.
..
...
112113114
('oeficientes de deslizamiento. . . . . . . . . . . .
.
.
.
.. . . .
. I . C Discwicin i
.
.
.
.
.
.
.
117
Generalizado Couette 5 Flu-jo.J. 1.
Apl-oxinlacicin Navier-Stokes de
.
.
.
.
.
.
.. . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
118
7.2 '1X
>-
X constantes, p
:
p,,RT,, const.antel a posicin. . .
. .. . .
. . . . . . . . .. . . . . . . .
121 125
7 . .:3
.1 '
y p funciones de
.
.
.
6
Conclusiones y Perspectivas 130
Apndice A \.I.
134para la masa. . ..
Idaecuari6n
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
.
.
.
.
.. .. .
. . 1:34. .
Z . 2 La ecwacicirl del moment~o. .
1:j1
:\ . .i I , a ccuacin (le l a energa
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
. . . . . . . . .
1 ;3
* 5
.\..I
1, a ecuacin para el tensor viscoso simtricosintraza. . . . . . . . . .
. . . . . .. . . . .
130
.\ ..5 L a ecuacibn del flujo de calor
136138
Apndice B13.1
Ecuacin de Boltzmann reticular.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138143
13.2 :lut.omata de gas reticular . Apndice C Bibliografa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
144
148
11
..
Capt ulo 1
IntroduccinEl comportamientodini,micode los fluidostienegranrelevancia,no stilo porqueSII
conocimiento tiene aplicaciones numerosas, sino tambin debido aspectos como la interaccin entre partculas, partculas-paredes, etc.
a que permite entender
El estudio de losen forma
fluidos puede realizarse a travs de enfoques diferentes, dependiendo de las caractersticas que queramos explorar,,y en ocasiones resulta til utilizar aspectos diferentes
complementaria. En este trabajo estamos interesados en
el comportamiento de los gases
enrarecidos y e n la forma en que interactan con paredes slidas. .Ihora bien. para1111
gas diluido sabemos que la trayectoria libre media es inversameute
proporciorlal a la densidad. Si se presenta el caso en que la densidad del fluido disminuve, entonces podemos esperar mente, de tal forma las fronteras que clue el recorrido libre medio de las partculas del gas se incl-edel orden de la dimensin lineal de el gas
que si esta ltima cantidad es
lo contienen, se dice que
el fluido es un gas enrarecido. Cuando
clue se estudia se encuentra en este rgimen de densidad, es importante considerar tantolas colisiones partcula-partcula como las partcula-pared
[ 1, 21. La contribucin de las
colisiones del gas en las .paredes no son despreciables y conducen a efectos interesantes.
A l estudiarladinmica,de
los gasesenrarecidos,encontramosdiversosproblemasde colisiones moleculares, clinlirnica dey condensacin. el c&lculo delos perfiles de
interstalescomo:lat,ransferenciadeenergaen aerosoles, flujos inducidos por evaporacin densidad y de velocidad entre otros [ I , 3-71.
En la dinmica de gases enrarecidos se han reconocido varios regmenes de inters. Elcriterio para clasificar su estudio involucra la introduccin de un parmetro sencillo que
1
.\1 rdgimerl en donde se consideran nmeros de Knndsen cercanos
iz.
l a unidad se le conoce
corno la regin de transicibn. Cuando se aborda el estudio de la clinAmica de un gas enra,reciclo en este rkgimen. por lo general se plant,ea la ecuacin de Boitzrnann en su forma original o en alguna de sus aproxirnacines (lineal. BCK ...,). y se obtiene la solucin a la ecuacin cintica ya sea por medio de algn mtodo: Chapman-Enskog, Grad, soluciones
2
numricas o un principio variacional, introduciendo el modelo de frontera
a travs de la
funcin de distribucin [4, , 12. 14-19]. En particular, una de las ecuaciones ms usadas 5en
la literatura es el modelo
B G K [LO], un ejemplo de ello, es
la solucin de la ecuacicirl
BGK planteada para una onda de choque [21].
Finalment.e, en la regin de nmeros de Knudsen mucho mayores que tenemos lo que se conoce como el rgimen de flujo libre entre partculas es tan baja que
la unidad
K, > >
1,
o molecular libre, este caso lmit,e
corresponde a un enrarecimiento muy alto en el gas, donde la frecuencia de las colisiones
va no tiene efecto sobre la uncin de distribucin. tal
es el caso del flujo alrededor de un satlite artificial de la tierra movindose en su rbith
[ 121.En este lmite, las nicas colisiones importantesson aquellas que se dan entre el gas?;
un
ohstkculo. Aqu el flujo puede ser determinado an para geometras complicadas usando tcnicas computacionales., que estn limitadas slo por la informacin que se tenga de las caractersticas de la interaccin gas-pared.
En el cuadrodeabajopodemos
ver esquemticamentelasregiones
del flujode
un gas
enrarecido y el tipo de descripcin que normalmente se realiza. Ecuacin de Boltzmann
Ec. de Boltzmann sin colisionesEcs.deconservacin un coniunto cerrado1 I
Ec. de Navier-Stokes que no formanEulerI
I
O
0.01
o. 1
1
10
100
Ndmero de Knudsen
Para estudiar la diniimica de un gas enrarecido a travs de tcnicas computacionales. en la literatura hallamos mtodos tales como la Dincimica Molecular [22], mtodo de el Simulacin Directa de Monte Carlo (DSMC, siglas en ingls) [23, 21 y las aproximaciones 4 Automata de gas reticular (Lattice Gas Automata, LGA)3
[25] y Ecuacin de Boltzmann
rct,icular (Lattice Boltzmann Equation,mt i
L R E ) 1261. La primera (le estas tkcnicas consisteencont,ramos que las colisiones ocurre11de partculas del sist,ema. En esencia,
seguimient,o de las trayectorias un gran n6mero de pt.rtc&ts(le forma sirnult&nea, de
~lcntro de unaregi6n del espacio simulado. donde('II
cualquier t,iempo del espacio entre cualquier par
requiere (le los procedimientos probabilsticos para elegir el es:taclo inicial del sistema,1 m - o el procedimiento subsecuente es deterrninista.
I d a seguuda tcnica. es similar a la dintimica molecular en cuant'o a clue un zran nlmero (le partclllas simuladas, se siguen de manera simult,&nea. La diferencia esericial est, en quelas colisiones intermoleculares son tratadas con una base probabilstica. miis que cletermi-
uista. Este mtodo fue aplicado por primera vez por Bird. para el problema de relajaci6nI
r.;tuslacioual en
1111
%as homog4neo
(271.la dinimica
I':II
principio, se puede realizar el estudiode
del gas enrxeciclomedianteel rgimen
t dcnicas de simulacih en todo el rango de nilmeros de Knudsen. incluyendo
tiel cotlt,inuo; donde como hemos visto, el anilisis se realiza nlediant-,e las ecuariones de
Stt\-ier-Stokes. Finalrrleute clil-emos que los mktoclos de simulacicin han sido usados princ,ipalrnent,e en el r6girnen de transicin..iccl-c.a de LBE. diremos que es u n a aproximaci6n que se usa en problemas
de dinAmicaltt
( 1 llllitlos ~(!a
q11e consist,e en modelar de manera discreta
un fluido.
F &a. h
dinimica
Iwldrnente clescrit,a por una ecwaci6u difereucial c-inCtica. referida con10 l a Lat,tice-
l h l t zmarln Equation y que se plantea de forma discreta o discrctizatla. Por otro lado, l a
nptricibn de LG-4 fue motivada por la idea de realizar modelos completamente discretos
( 1 5ist.erna.s biolcigicos, relacionando la idea de espacios celulares. ~(.st
La idea es hallar unalo suficientemerlte
r u c t u r a 16gica minimal y desarrollar una dinimica computacional
poderosa para simular sistema
comple,jos. Este espaciosimulado
que se llamaespacio
c ~ \ l ~ l l aconsiste de mallas que pueden r,
ser t,riangulares: cuadradas. etk., con las que sese proponen las reglas (le c~)lisidn para los
p . r ~ , f ala evolucin de celulas.Enparticulartlist,intos tipos de mallas. Por liltimo mencionaremos que estos mtodos(le tliniimica de fluidos [26! 28, 291.
han sido de utilidad a 1 abordar problemas
1311 la literatura podemos observar que
los primeros trabajos acerca de
la din6mica la
de g:ases enrarecidos fL1eron realizados a travs de l a teoracintica
[S]! endonde
ecuacin de Boltzmann ha sido muy importante. En particular. cuando blemas de fronteray / o condiciones iniciales, a menudo se parte de
se abordan prola ecuacin cintica
de Boltzmann completa.
l.ineal o de la aproximacin
BGK.modelando las fronteras por
mediodeunafuncindedistribucindeunapartcula.Estasecuacionesseresuelven de maneras diversas ya sea por algn mtodo de momentos, soluciones numricas, et>c.[ 3 ,
7, 12, 14, 15, 17: 30, 311. l i n ejemplode elloes
el trabajo de Sharipov (321. donde ('o11 enrarecimiento ar-
calcul relaciones de reciprocidad de Onsager para un gas simple bitrario y fuera de equilibrio! planteando
la ecuacin cintica de Boltzmltm linealizadala ecllacitin cintica launa funcitin
como la ecuacin de evolucin de las partculas. La solucin deoht IIVO mediante
un mtodo variacional. donde se desarrolla
(le distrih~lc ambas conteniendolas pro1)iedades (le la fronlas partculas de gas
t,praJ~
j4,
:M].
Es importante mencionar clue las interacciones entre
la pared. llegan a ser import,ant,es stilo e11 c.1 caso en cllle el gas s e a110
l o s;l1ficiPntemente
ollrtwxido y entonces el tratanlientx 1liclrodin;imico c1;isico
es i ~ c l e r ~ ~ d o .
Para nosotros, resulta de gran inters estudiar
los efectos de la pared en el flujo laminar
(ICscPII
1111
gas
enrarecido. t,omantlo como punto de partida la teora cintica. En particular.
tleseu modelar el kernel de colisin que cont,enga la illforrnacitill arerca de la rntmeraque interactian las partculas y la superficie frontera. La idea es proponer u n modelo
simple d e l kernel de colisicin en trminos de algunos de los coeficientes de acomodacin
cwrlsiderarltlo una frontera en movimiento donde es permitido el intercambio de momento. werga y mol4culas con los alrededores. De esta manera estaremos en posicitin de calcular los valores front.era de las variables relevantes, tomando en cuenta la rlaturaleza de las
iuteracciones que tienen lugar entre las particlilas y la superficie frontera. Post,eriormenteit
partir de estos valores, se calcula una expresin para la velocidad de deslizamiento, esta
cmt;idad es de suma importancia debido a que depende fuertemente de la, naturaleza de
la pared.
I:na vez que tenemoselmodelode
las paredes, abordamos el problemallamado
flujo
Couette. Este problema que es el ms simple de los flujos laminares, 110s permite estudiar
el comportamiento de un fluido en presencia de una superficie frontera. Bdsicamente el flujoCouette,seobtiene al ponerungas enrarecidoentredosplanos
paralelos infinitos que est,n en movimiento relativo con una velocidad constante u w ,induciendo un flujo en el fluido a lo largo de la direccin de la velocidad de las paredes.
Ambas superficies son planas y estdn separadas por una distancia constante. y en general la temperatura de cada placa puede ser diferente.
En relacin al flujo Couette, variossonloslaminar para nmeros de Knudsen cercanos
trabajos en donde se ha estudiado
el Hujo el
a la unidad. En algunos de estos trabajos
andlisis se realiza partiendo de una ecuacicin cintica, que se resilelve a travds de diversos mtodos tales como mtodo de soluciones elementales[3.i],
mtodo variacional
[4, :321 oa
mediante algn mtodo 1:1umrico[36-38]. En otros trabajos el estudio se
lleva a cabo
tjravs del mtodo de Montecarlo [24, 391 o por medio de la dinmica molecular
[4Ol.
El estudio que realizarem.os, ser llevado a calm mediante un esquema donde las variablesrelevantes corresponden a la aproximacin de Grad en trece rnomentos [2. 4 1-43]. Esto significa que tanto el fl~ljo de calor, como el tensor \-iscoso juegan un papel importante en la tlescripcicin. .4llora bien: est,o significa que serd necesario contar con ecmciones describen su evoluciny con condiciones de frontera adecuadas, en este trabajo los de est,as variables fsicas en la frontera se calcularancl~lt'
1,d. 1ores . '
a travs del modelo de las paredes. .
Hacemos notar que este tipo de aproximacin es hbrida ya que va a contener tanto unaparte hidrodintimica cornlo una cintica! de llecho se piensa usar algn tipo de ecuaciones del continuo junto con condiciones de frontera calculadas a part,ir de una forma cintica.
Es necesario mencionar que, H. Grad [41]en 1949 calcul los valores en la frontera para lacomponente oblicua del tensorviscoso simtrico sin traza
P , y la componente normal a l a ,
superficie del flujo de callor qz en la aproximacicin de trece momentos, mediante el modelo de Maxwell para el kernel de colisin. El encontr6 que
P,, tiene una fuerte dependencia
, en la velocidad de deslizamiento y tambin que g depende de forma directa del salto de
t'emperatura, sin embargo, Grad en su trabajo original, no tom6 en cuenta el movimiento de la superficie frontera, adems de que no consider paredes porosas. Estas dos ltimas caractersticas planeamos tomarlas en cuenta en nuestra aproximacin.
7
8
Capt u10 2 Ecuaciones de evolucinSe realiza un estudio del gas enrarecido simple. partiendo de
la teora cinbtica clonde seclue
plantea la ecuacin de Boltzmann, como la ecuacin de e\-olucin de las partculas
de coustituyerl al Huido. .I travs de esta ecuacin se derivan las ecuaciones de balance las
variables conservadas. Adems, se discute la solucin de la e c u a c i h cinktica en la aproximacitin de trece momentos de Grad. Mediante esta solucinse
y la ecuacin de Boltzmann,
calculan las ec1laciones de evolucin para las cantidades que relajan.
flujo de calor y
tensor viscoso simtrico :sin traza, junto con lo anterior, en este
citpt,ulo most,ranlos las nivel de apro-
definiciones cinticas de las variables dinmicas que son relevantes en este ximacin.
9
2.1
Modelo cinticou11 gas monoat,mico enrarecido se
1 3 esl.udio del comportamiento de
realizar
it
partir
de l .ecuacin de Roltzmann, donde el conocimiento de la funcicin de tlistribucitin de una a
pit~.t,cula. permite evaluar las carat:t,ersticas del sst.ema.S t x a
I ( r . c f; jdrdc el n ~ m e r o e puntosrepresentat,ivos d
de las partc11hs e n el c y ) w i o
hexadinlensiorlal ( r , c )p , con posicin en el intervalo ( r , re l inter\-alo (c, c
+ dr'l y \-elocitlacl molcr1da.r enlas partculas
+ dc) al tiempo t : l a ecuacin clue describe la evolucitn de
l a rrcuacin (le Boltzmann. que escribimos como
E11
la literatura, la ecuacin (2.2) represent,a la expresidrl formal de la llanlada hiptesis de.molecular, misma que en los tratamientos tpicos de la teora cintica correspondera
caos
a la hiptesis de cerradura de la jerarqua('
BRGKY (Bogoliubov. Born, Green, Kirkwood
YVOll)
12,341.
10
De acuerdo con las hiptesis anteriores podemos escribir siguiente forma [L]
el operador de colisiones en a l
donde c , c 1 son las velocidades antes de
la colisin de las partclllas que chocan
y c
I
,
. cl
son las correspondientes a la etapa posterior a la colisin. Le hemos pintado
el subndicela otra.
1, a una de las velocidadles de las partculas colisionantes para identificar una de
XdemAs, ,g =
IC
- c l / es
el valor ahsoluto de la velocidad relativa correspondiente.
k y k son los vectores unitarios en la direccicin de las velocidades relativas antes y despt1i.sde la colisin respectivamente. por d t i m o la cantidad I/t(klk : , y ) es lta secciGn t,ransversal para cambiar la direccin de la velocidad relativa de k ak.^
*
^ I
^ I
El valor absolllto de la veloci-
dad relativa de dos partculas sin estructuraclue chocan debe ser la misma antes y despusde la colisin debido a que el choque por pares es ellistico conserviindose el mpetu linealJ-
la energa cintica. Es importante recordar que lit ecuacicin de Uoltzmann escrita en la
ecuacicin (2.1),slo es viilida para partculas monoatmicas
( n o hay grados de lihertd
internos). de manera que en una colisin slo hay intercambio de mpetu lineal y energa
cin4t1ica. Debemos enfatizar que el kernel de colisin contiene la seccin t,ransversal y p o rt.ant:o, depender& del pol;erlcial intermolecular clue actla entre las partclllas del gas. En
el caso en que las partculas interacten a travs de un potencial esfricamente simtrico.la seccin transversal slo depende del Angulo de dispersin entre k yde la velocidad relat,iva.
ky de la magnitllcl
Hacemos notar que la ecuacin de Boltzmarln
es una ecuacin integrodiferencial que
no es invariante ante inversiones temporales. es decir, que procesosirreversibles en. el tiempo.Precisamente,
la ecuacin cintica describe
la formulacibncuantitativadeeste
hecho, est contenida en el llamado teorema H . el cual establece que
dH~
dt
5
o,
(2.5)
para la funcional
H ,que se define como11
12
2.2
Ecuaciones de balancecon las ecuaciones de balance
Sabemos que la ecuacin de Boltzmann es consistente lascantidadesconservadas,masa,momento
( 1 ~
y energatotal.
Aclemtis, la densidad t l t
masa, momento y energa,, se pueden escribir en trminos de de distribucin, que satisface la ecuacin cint,ica.
prorneclios sobre la
flmc,ic;n
A \ c l ~ mostraremos a grandes rasgos, el camino clue se sigue para. mostrar a consistencia ~ l
de las ecuaciones de conservacin con la ecuacin de Boltzmann [L. 4.51.
En primer
Illgar..
l se const,ruye una ecuacin de transporte generalizada para una funcin de a posici6n. las
velocidades moleculares y el tiempo representada por multiplicando a la ecuaci6n de Boltzmann por la funcin velocidades moleculares: de manera que
u; (r,c . t ) . La. ecuacin se ohtietic. o: cirlt
egrtmdo respectlo dc las
(2.7)
la ecuacin (2.7) puede escribir como se
(2.8\
S la fllerza externa es ind-ependiente de la velocidad, el liltimo t,rmino del lado izquierdo iclc (2.8) puede simplificarse en la forma
/.f.
VJdc
m
donde el primer trmino se anula al suponer que la funcicin de distribucin f tiende a cerorrliis rapido que y, cuando la velocidad es muy grande. Adems hemos definido:
ns =
c ,t ) f ( r ,c ;t)dc,
(2.10)
que representa el promedio de I, sobre l a funcin de distribucin y I
13
e l laclo izquierdo de esta ecuacin, se identifica como el promedio clc l a razbn t l c rarnljio de l a propiedadmoleculardelgas {Q; ), debido al arrastre producitlo por elmovimiento
nlolec~llal- el lado derecho representa e cambio debido a las colisiones entre l a s part,culas. \. l
/ u ( c ) J ( f !f ) d c =
. !
I?,
*
///v(flf
-
f;f))gWdkdcidc.
(2.14j
Poskriormente, se suman las ecuaciones satisface el kernel de colisin
(2.13) y ( 2 . 1 4 ) , y se hace uso de la relacin que
W
W(k1k:
y) =
W(k1k; 9 ) .
(2.15)
14
que expresa la propiedad de la reversibilidad microscpica, que se conoce como halance y el detallado
[a, 441,
de lo anterior hallamos
finalmente sumamos las ecuaciolles (2.16) y (2.17) y obtenemos
w(c)
+
Ill(C1)
= c(c)
+ t;(ci),
(2.1%
y en este caso el int,egra.ndo de l a ecuacin (2.18) se anula.
En el
caso
partic1llar en que
L: = m .
hallamos que el lado derecho de l a ecllacitin (2.12 i despu6s de lula colisicin entre
se anula debido a que a masa permanece sin cambios an l
las partculas, mientras que el lado izquierdo se reduce a la siguiente ecuacin
is -nm dt
+ V . ( u o r t m ) = O,
(2.20)
que es la ecuacin de continuidad. donde
(2.21) es l a velocidad promedio.
Por otra parte si d = mC. donde C = c
- ug
es la velocidad peculiar, vemos que
el
trmino de colisiones en la ecuacin (2.12) se anula nuevamente, lo cual es una consecuen-
cia de la conservacin del mpetu lineal. A 1 sustituir $generalizada, escribimos
=
m C en la ecuacin de balance
15
I'Idos dos
r n c f d c -= O.
trminos siguientes se escriben.
donde
P(r. t )deline a tensor de presiones. l
mCC f (r,c : t j d c ,
El $timo trmino de (2.22) queda en la forma
16
m
(2.27)
donde
esuntensorunitario.
Posteriormente se sustituyen las ecuaciones (2.2.3) (2.2.5) e 1 la ecuacicin (%.22), hallay 1 yrnos
clue corresponde a la ecuacin de balance del momento. donde masa y
p = nrn, es la densidad de
P'(r, t ) =
S
rn(CC)"f(r. c : t ) d c ,
(2.2%
es el tensor viscoso sin traza que esta relacionado con tensor de presionesP . Recordemos el
que este illtimo se puede separar en una parte diagonal primera es proporcional (51 tensor unitarioy la segunda representa
y una parte sin traza, donde
la
1,y
se identifica con la presin hidrostitica p
atensor viscoso simtrico sin traza l
P"
La cantidad
Potiene su origen en
el movimiento del fluido, esto es, cuando las partculas
se mueven con velocidades diferentes originan un movimiento relativo entre las distint'as partes del fluido, dando :lugar a la friccin interna [46].
Por ltimo, si
11,
=
$ m C 2 ,se obtiene que
(2.31)el lado derecho de la ecuacin
(2.31) se anula debido a que la energa traslacional seel lado izquierdo, se reduce a una
conserva durante las colisiones binarias, mientras que
17
ecuacin de conservacin.
I1es;arrollando los dos primeros t,rminos
1,os dos tkrminos siguientes, se escriben en trminos se
sus componentes
18
es la definicin cintica del flujo de calor, que contiene slo cintica en el gas. Haciendo uso de las definiciones del tensor de presiones (2.26) escribimos la expresin final de esta int,egral como
el transporte de la energa
y (le1 flujo de calor
(2.3.5)?
J'j?n/%:CCc C f d c'
=
v . q + V . En>u"+ P : ( T U " ) .
( 2 36)
Finalmente, se revisa el Ciltimo trmino de la ecuacin (2.31)
(2.37)
De esta manera, hemlos visto como a partir de la ecuaci6n cintica de Boltzmann alutilizarlasdefinicionesdeltensordepresionesyflujodecalorsepuedemostrar
?;
la
consistencia entre la ecuaain de Boltzmann y las ecuaciones de balance de las cantidades que se conservan. Podemos observar que la:j ecuaciones (2.28) y (2.38), estn escritas en trminos de y P", q cantidades cuya expresin cintica conocemos, pero que no estn expresadas en trminos de las variables promediadas (n, U O ,T ) . Para poder estar en condicin de realizar el estudio en el rkgimen hidrodinmico, slo es necesario establecer ecuaciones constitutivas como la junto con las relaciones de simetra de Onsager ley de Fourier y de Navier-Newton
[44, 46). Situacin que permitira cerrar
el sistema de ecuaciones para resolverlo si se tiene condiciones de frontera e iniciales.
19
En el caso en que se desee ir ~ n &alla de la regin de l a hidrodinAmica cliisica, de1)errlos shitllar expresiones ms generales para el flujo de calor y el tensor de esfuerzos. un caminoque podemosseguir
es el hacer uso del nuitododeit
G r a d en l a aproxirnacitl de t,recelas caut,itlades no conservadas.
nlomerltos y encontrar las ecuaciones que gobiernan
2.3
La s o l u c i h de la ecuacin de BoltzrnannEl mtodo de Chapma,n-Enskog y el mtodo de Grad, tienen11 11
En la literatura se han desarrollado varios mtodos para resolver en forma aproxinlaclala ecuacin de Boltzmann.como fundamerlto el que
sist,ema que est fuera
del eq1Iilihrio termot1in;irnico evolu-
ciona hacia l. de manera consistente con las restricciones impuest,as macrosc.pic~am~~llte. Desde el punto de vista cintico, esta tendencia al estado cle equilibrio ( o equilibrio local)se manifiesta a travsde
la existenciadelteorema
H . Comosemencionantes,ste
garantiza la existencia del &ado de equilibrio Por otra parte, es importante sealar que
y la evolucin del sistema hacia
41.
la ecuacin de Boltzmann por ser no-lined.que adems satisfaga atle-
presenta dificultades importantes para encontrar una solucin c11aclamente condicionesdefronteraeiniciales. enlpleodemtodosaproximados permiten avanzar en
Esto es importanteparajustificar
el
clue si bien no resuelven el problemacompleto
si nos
el estudio del comportamiento del sistema. Dicho esto, es nat8ural
clue los mtodos ms llsados para resolver la ecuacin de Boltzmaun tengan como pllnto(le partida a la funcin de distribucin Maxwelliana total ( o l o c d ) . A s tendremos que el
sistkrna se describir en estados cercanos partir de ste: nos indicarn
al
equilibrio total ( o local) y las desviaciones a
las caractersticas importantes del problema.
EII este tra1)ajo se describir6 someranlente el mtodo de Chapman-Enskog y dedicaremos1111
espacio mayor al mt,odo (le Grad debido a que los resultados de este tralmjo se basan 61.
ell
2.3.1
Mtodo de Chapman-Enskogy surelacinconlasecuacionesde
Hemos sealado cual es la ecuacin de Boltzmann
balance de las variables que se conservan. Para darle solucin encontramos en la literatura diferentes mtodos) uno de Chapman-Enskog [2, 43-45]. noindent Dicho mtodo fue (que abordado EIilbert,
a esta ecuacih cintica
ellos es el llamado mtodo de
casi simultaneamente en
1916
-
17, por
Chapman y Enskog) consiste bsicamente en tomar aproximaciones sucesivas a la funcin de distribucin f ( r ,c ; t ) .
21
Escribimos l a ecuacicin de Boltzmann en la forma
(2.42)
cllle se conoce como l a cundicin subsidiaraa,, donde
'u representa
cada m10 de los cinco ir-
variantes de l a colisin. Lo anterior se debe cumplir para todos los niveles de aproximacine11 el
que se trabaje.
En este mtodose supone que la funcin de distribucin depende tienlpo ilnicamente dela travs de las variables conservadas
(n, y E) y sus gradientes. esto es u0
f ( r , c ; t ) = f(r, cln(r, t ) . uo(r.t ) , E(r. t ) : Vn,VUO. VE,. . ) . . estahiptesisfuncionalsejustificasi consideramos que la descripcines
(2.44)viilida para
tiempos mayores que el tiempo libre medio (c >> r): de manera, que slo las variables c o w servadasseanrelevantes.Obviamenteestolimitay gradientespequeosenlasvariablesdiniimicas.
la solucin a 1 rgimen 11iclrodiniimic.oL a , sustitucicin de la funci6n de di5-
tribucin (2.41) junto con las hiptesis, en la ecuacin de Bolt,zmann y su separaci6n parit cada orden e11 el parmetro de uniformidad, permitirkn encontrar maclas que se deseen.l a s solllciones
ttproxi-
En general, el operador de arrastre puede escribirse conlo
y el tkrmino de colisiones como
hacemos notar que las ecuaciones que resultan de acuerdo
con l a aproximacin en que
se este trabajando. junto con la condicin (2.43), especifican la unicidad de las funciones&,
Por otjraparte,lasexpresionesdelflujodecalor
y del tensordepresiones,segn
la
aproximacin con la que se este trabajando son
(2.47) (2.48)
23
24
2.3.2
Mtodo de Gradla hiptesisdeque
Este mtodo de solucin se basa en
el sist,emasepuededescribirde l a funcin de dis1111
en trminos de una funcin de distribucin que es una desviacin
t,rillucinMaxmellianalocal.Dichadesviacinsepuedeescrillircomo
desarrollo
e11
trminos de un conjunto completo y ortonormal de funciones. Estas se construyen usandocomo funcin de distribucin de peso a la Maxwelliana y dado el caracter knsorial de l a
variable independiente (velocidad), resultan ser los polinomios tensoriales de Hermit e. Enla literatura se discute con todo detalle como se generan y cuales son sus propiedades
1 4 11.
En el caso en que el desarrollo se realice alrededor de una funcin de distribucin maxwelliana local, este mtodo nos lleva de forrna natural fuera de l a regicin de la hidrodintimica 11sua1. a diferencia del mtodo de Chapman-Enskog que regin. sloesvtilido dentro de dicha
De x l l e r d o con lo discutido. se escribe la funcin de distribucin como
clonde f ( O ) es la funcibnlocal
de 11axwell. que se toma como funcibn de peso para 10s los cualesserealizartieldesarrollo.
polirlomios de Hermite H ( . 5 ) ( c en trminos de ),t,os polinomios forman
Es-
un conjunto completo y son funciones de la velocidad peculiar sinDebido a que la velocidadesunvectortenemos del mismo orden que clue lospoli-
dimensiones v =
__
.E
nomios resultantes son tensores
v m
el polinomio correspondiente [4 11:
los primeros trminos de este conjunto tienen las expresiones siguientes:
25
(2.59)
(Y para ai;' s e h a hecho uso de la ecuacicin de estado del gas ideal
p = pRT, misma que es
vlida debido a que los gases no tienen estnlctura y que estarnos trahajando cn el rgimen de baja densidad.
El momento de tercer orden es
y en la aproximacin de
13 monlentos se toma el t,ensor simetrizado de krcer orden
sir1
ohsen-amos clue la desvixin de la funcin de tlistribucin Maxwelliana, depende de
P"
y q que son los momentos relevantes para la descripcin del sistema. Esta funcicin de dis-
trihucicin es importante pa-a nosotrosya clue nos ofrece l a ventaja de obterler informaciciu fuera de la regicin de la hidrodinmica usual y que pudiera ser relevante. ello, son las ecuaciones de relajacin de las variables
I'n ejemplo de
fsicas: tensor de presiones P o y flujo
de calor q , a partir de las cuales es posible encontrar ecuaciones constitutivas generalizadas que englohan las ecuaciones de Navier-Newton
y de Fourier
Es importante sealar que la funcin de distribucin escrita en (2.61) ser solucin dela ecuacin d e Boltzmann, cuando las variables relevantes que aparecen en ella satisfaganlas ecuaciones de transporte que
les corresponde. hI&s adelante tendremos oportunidad
de insistir en este punto.
27
2.4
Ecuaciones de relajamiento paraun gas simple
(2.63)L
El lado izquierdo de
las ecuaciones (2.62) y (2.63) se evallian de manera directa desa-
rrollando cada uno de los trminos que aparecen en ellas, empleando para
ello l a forma
explcita de la funcin de distribucin de Grad de trece momerltos para este nivel de la apro'ximaci6na ijk =7
[dl]. Recordando clue
(:i)
O.
Para obtener la ecuacin de relajacin
para el tensor de presiones simtrico sin traza,
se
desarrollan por separado cada uno de los trminos tiel lado izquierdo de la ecuacitin (2.621.y comenzamos con los dos primeros
donde se emplearon las ecuaciones
(2.21) y (2.26)
Para los siguientes dos tlirminos, en componentes
lasintegralesde
la ecu ( r p , i q )es decir, el flujo de calor y el tensor . L-iscoso relajan despus de 1111 tiempo rq, rp a las ecuaciones constitutivas de Navier-Sewt o 1 1y Fourier respectivamente,
De est,a manera se recuperan las e ~ u ~ c i o n constitlltivas clcl es
lmite hidrodinmico,
q(r, t ) = -X(VT(r. t ) ) .
(2,125)( 5 momentos), las ecua-
En una descripcin en trminos de las variables conservadascionesconstitutivasde?Javier-Newton
y Fourier.ecuaciones
(2.124)y (2.125) respectiun
vamente, se sustituyen en las ecuaciones de balance de conjunto cerrado de ecuaciones. Estas constituyen lay a su vez hemos visto que son vlidas slo en
la seccin anterior quedandobase para la hidrodintimica usual
el caso en que los tiempos sean mayoresse ha sealado que dichos
que los tiempos de relajamiento
rq, T
~ .
En l a literatura [a] ya
tiempos son del mismo orden de magnitud para el potencial de esferas duras).
(3.89X10"10seg, empleando Argn a 303.5 K.
41
("onlo ya se ha mencionado, el objetivo de este trabajoeurmxido cuando estn presentes superficies frontera, porlas r(*uaciones que gobiernan el comportamiento de
es realizar
1111 estudio
del gastie
ello necesitamos cout.ar con
las variables relevantes, adems
los valores en la frontera
de dichas cantidades. Para calcular los
valores en la frontera
necesitamos un modelo de l a pared que nos permita realizar los clculos correspondientes.p o r ello e n el siguiente captulo mostramos los valores de frontera del tensor de presiones>'
t l e l flujo de calor.
42
Captulo 3 Condiciones de fronteraSc propone un modelo d.e fronteras que permita estimar deu 1 gas enrarecido 1
la interaccidn de l a s partculas
con una superficie slida. La descripcin se realiza mediante una
funci6n de distribucidn para una partcula
en la queseutiliza
el kerneldedispersitjn
LIaxwelliano. en el cual se toma en cuenta el int,ercambio de energa, nloment,oy partculascon los alrededores. a travs de algunos coeficientes de acomodaci6n.
Nuest,ro inter& radica en calcular las condiciones de frontera adecuadas, que muestrenla relacin entre las caractersticas macrosccipicas del gas cerca de una front,era sliday los
parirnetros con los que :se denotan las propiedades de la superficie.de fronteras. se realizanlos ciilculos que permiten obtener
;2 travs del modelo
los valores de frontera de l a s
variables fsicas que consideramos relevantes en
la aproximacidn de los trece momentos
de Grad. L,as expresiones que hallamos involucran la llamada velocidad de deslizamiento
y el salto de temperatura [ 3 , 71.
43
3.1
L a s condiciones de deslizarniento
I:n la; figura ( 3 . I ) , podemos ver un esquema cualitat,ivo de los perfiles de la velocidad oc-orrlportkmiento verdadero de estas magnitudes. Observamos que en1 1 ; distancia 1 1~
tie
krnperatura de un gas enrarecido cerca de una pared. donde la linea sblitla representa ri
menor
que la trayectoria libre media ( I ) , los gradientes de velocidad y temperatura sou no const antes (son
grandes), debido a las variaciones en el flujo de energa y momerlt,o que sonIo
generadas por la pared,
que provoca que aparezca la lnea curva que presenta la grfica. el recorrido libre mediodesde la front8era.se supone clue e la cpe l a influencia
Para. distancias mayores quecle la pared va disminuyendo.
perfil de estas cantidades es casi lineal. ligeramente inclinado debido
Figura 3.1: Perfil de temperatura enla capa de Knudsen, donde se observa el comportamiento de la temperatura en las cercanas de una superficie frontera y la aproximaci611 de deslizamiento que se realiza con la lnea discontinua. 2 es la posicin normal a la paretlPor otro lado, en una dist,ancia menor que la trayectoria libre media,
se realiza la extracon el
polacin del segmento de lnea hasta
la pared misma (con una lnea discontinua),
fin de establecer las condiciones de frontera de deslizamiento.
El deslizamiento de u n gas sobre las paredes, fue una interpretacibn
clue realizarol1
Kund y Warburg [S, 471, Ellos notaron que l a rapidez del flujo a travs de tubos a m u baja presin, era considerablemente mayor que la que se predice por la atribuveron y teora esta diferencia al deslizamiento del fluidoenla frontera. De manera semejante, Smolll-
41 chowski describi el salto de temperatura 1 7 .La velocidad de deslizamiento a la que nos hemos referido, se escribe como
y el salto de temperatura
donde
2
eslavariablenormal
a la frontera,
y
a la interaccin y n ( ~ , ~ n nes )una cantidad acli;1111 gas.
rrlerlsional que nos da la fraccin de la superficie slida ocupada p o r partculas en Para bajas densidades (,nc,i.rra: ttrtt
cualquier funcin de velocidad molecular I: (cj 141, se puede rec1lrrirQ(W(C))
a expresicin sigllicut (' l
==
aa-
-
C ' P
-C; P '
clontle el numerador de la ecuacin (3.24a) es la diferencia cnt,re el flujo incidente de l a f11nci6n
( @-
-=
7;
(c)IC . n ) f - ( c ) d c ) y el flujo de la misma funci6nqueemerge) )
(
a+ = Jc.n,O w (c)IC
.njf-(c)dc
despus de interaccionar con la frontera. Por otro lado.J-
el denominador de la ecuacin, es la diferencia entre el flujo incidente de la funcin di
flujo reflejado (
CX P :=
el
,/c,n>Olli (c)
Ic.nlf,(c)dc) proveniente de una pared perfect,amt.nte
tlifusivacomo
CPG.
La ecuacin para elcoeficiente de acomodacin, puede
escribirse t,arnbit
o.
i:
-
c. ,
de acuerdo con lo anterior podemos escribir l a ecuacin (3.38) como
clonde hemos colocado la pared plana perpendicular al eje
J:
(n
=
k). I:sando la expresirl
de la velocidad peculiar. cambiamos la variable de int,egracin de la velocidad molecular
64
dcPor otra parte debemos hacer not,ar que
=
tic.
(:i. i ti5
la integral escrita
en (3.42) en realidad corres-
ponde a tres integrales en coordenadas esfricas
los lmites en la integral del m6dulo de
l a velocidad, se modifican
cuando realizarnos
1111(>
rambio cle variable, u'= menos infinito ( - S )R
c'2
de marlera esta observamos queI('
los limites para
'
5011 d
cero (O) y para la variable
son de cero ( O ) a infinito (mi.
Posteriormente, se procede a realizar los c;ilc~llos el espacio de la variable w con slls en rorrespondient'es lmites, adems: hacemos uso de l a expresicin para la velocidad peculiar
c = c - ug>
donde
calculamos cada una de las integrales de arriba por separado
Para la segunda integral,
depuks (le calcular cada una de las integrales de (3.48), recordando que la traza del tensorviscoso es cero ( C , , ,
+ Pyg 1-
Pz,= O ) , hallamos
La tercer integral (le ( 3 . 3 5 ) nos da corno resultado
rmseguida sustituirnos las ecuaciones (3.47), (3.49) y (3.50) en l ecuacicin (:3.45), con lo a
que obtenemos una expresin para M
~
(3.51)
donde p s , T.? p,? son los valores de estas variables en la capa de gas mks cercarla a a y l pared slida, estas cantidades las tomamos como antes e11 una primera aproximacic;u. constur Observamos q11e itl- depende de ( P Z Z 1. qr). PS decir de las corrlponentes normales
del
tensor de presiones. velocidadIL,
la velocidad y el flujo de calor. El hecho (le q11e .\.I" dependa de l a
y del flujo de calor qZ 110s indica que l a pared permite el pa.so cle algu11tts
partculas a travs de ella.
67
3.6
Los valores defrontera de q y Po
Por otro lado, l a distribucicin Maxwelliana depende de C , por lo
q11e
es necesario escribir
C en trminos de C,.
L~O anterior se consigue al combinar las expresiones (le (,atla I I I I ~- u0 y
(le las velocidades. C = c
C, c =
-
u,,-
c -= c,,=
ug $-
u,,,
c,,- u,
(;3..-)7
donde u = u0 - u,.
De acuerdo con lo anterior, la ecuaci6n (3.55) se p e d e escri1)ir cot110
as como aquellos que estn fuera de ella
donde
V '
es una matriz simtrica sin traza, cuyas componentes son
l a prinlera integral de la ecuacicin es cero. luego la. segunda e11 componentes se escibe como
70
la tercera integral de (3.64)
donde
Cp =
1- c l t B Ifa8 contielle los coeficientes de acomodacin. Observamos que el tensor vis-
coso en la frontera depende de una velocidad relativa
(u
=
ug
- ulL,). que
es la diferencia
entre la velocidad de la pared y la velocidad del gas
que se encllerltra
e n los alrededores
de la superficie. O t r a observacin que podemos hacer es que hayel tensor de presiones y el flujo de calor en la frontera.
u11 acoplamiento ent,rc,
Por o t r a parte, para calcularla expresin del flujo de calor en las fronteras recurrimos i t su definicin cintica, multiplicamos la funcin de distribucicin (3.36) por C y se integra en el espacio de las velocidades c
[qy]-
q = [ l - a
+ e] J l @ ( c , , ) M 71
mC2
~KBT
dc
+ [ a- Q ] q - ,
(3.70)
(3.72)
L
X m C rnC2
[+-
-
-J5KBT2
tlc.
(X-73)
Integrales (Jue estn escritas arriba se realiza de manera separada
la primera integral
la segunda integral
la
tercera integral
1 131 = - q >
2
(3.78)
sustituimos las ecuaciones (3.76-3.68) en la ecuacin (3.74) y obtenemos"
Iwsteriormente se sustituyen las ecuaciones (3.73) y (13.79) la ecuacin (3.''O)\ luego de en agrupar los trminos y d.e resolver para q , obtenemos la siguiente expresin
que corresponde al flujo de calor en las fronteras. Observamos que tambin depende dela velocidad relativa u y de los coeficientes de acomodacin contenidos en 9.
Hemos calculado los valores de frontera para las variables relevantes propias de esta aproximacin (3.69) y (3.80), dichas cantidades constituyen una parte de nuestros resultados [.56].
X partir de las expresiones para los valores de frontera que hallamos! podemos obtener lasecuaciones para la componente ( a ) del tensor de presionesy para la componente z del
73
fil1,jo
de calor. que result.ar1 ser una generalizacibn de las expresiones q11r enc~)ntrci Harold
Grad [41]! las expresiones de estas cantidades son
;rad
e11 s ur ,
trabajo, tom en cnenta
lma
superficie frontera plana. en rcposo, con t empeP C ,
~ - a t ~ I~ ,r y caract,erizada por el coeficiente N, y emplei, l a s siguientes definiciones de , a>. ciz
qz
1
CzC2 f
(I-%
c ,t)dc,
(3.86)
con lo q11e obtuvo precisamente la ecuacibn (3.8:3)?y
74
que es la expresin de
la componente z del flujo de calor, ya que
S
=
2s.
7.5
3.7
Adirnensionalizacin
PSI a
expresidn del tensor tie presiones en la frontera,. se ohserva clarament,egas
SIL
deperi-
tlmcia e11 el salto de t,emperatura entre la pared y el itclimensionalizamos el flujo de calor y nos queda
adyacente. lie manera semejante
76
observamos que esta acoplado peratura.
con el tensor de presiones y depende del salto de
la t e n -
Con esta adimensionalizacin. las condiciones de frontera dede temperatura
P,,%
Q
Z
y
Q,,pueden
es-
cribirse de una manera ms simple. en trminos de la velocidad (le deslizamiento y el s a l t o
en donde, observamos que esta expresin depende de los coeficientes de acomodacin q11e caracterizan a lapared
y delavelocidaddedeslizamiento.
De hecho l a velocidad de
deslizamientosepuedeobtenerdemaneraexplcita, valores frontera del flujo de calor
a partir de las expresionesde los
y del tensor viscoso simtrico sin t.raza, como se verti
ms adelante.Finalmente, hallamos una expresin reducida perficiedel flujo de partculas normala la511-
77
78
Captulo 4 Flujo CouetteDe manera cualitativa un flujo laminar se caracteriza porque el movimiento macrosctjpico del fluido se produce en capas, siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidaso intel-cambio transversal entre ellas, esto ocurre a velocidades lo b a s al
sin existir mezcla
tante bajas para que las fuerzas de viscosidad predominen sobre las fuerzas de inercia, contrario de lo que ocurre en un flujo turbulento en donde el fluido se mueve de modo errtico. Estos flujospuedenserincompresihles o compresihles: los primeros,secarac-
terizan porque los cambios en la densidad de un punto a otro son despreciables, en tanto que en los segundos dichas variaciones son importantes.
Uno de los problemas mts simples de flujo laminar incompresible. es el llamado flujo de('ouette, este problema es muy importante en el estudio de la dinimica de un gasell-
rarecido, debido a que nos permite obtener informacin relevante acerca tacto con una superficie frontera.
del gas en con-
El flujo Couette se obtiene cuando se pone un fluido entre dos planos paralelos est,n en movimiento relativo con una velocidad constante
que
uwia~lr -
lo largo de la d i r e c c i h
.c. Las superficies planas se localizan en z =
5L en el plano .
y , y en general se hallan
a diferentes temperaturas.
Por comodidad se supone que
los planos que forman
los lmites del flujo se extienden la izquierda de la figura
hasta una distancia muy grande, tanto hacia
la derecha como
(4. l ) , as como tambin hacia adelante y atrs de misma. Con sto se pueden despreciar la los efectos de borde, debido a que stos se encuentran tan alejados que practicamente no
79
Figura 4, I : Flujo C'ouette ~iencn influencia en el interior del fiuido.
Es nuestro inter&. abordar el problema del flujo Couet8te laminar de un gas enrarecido.tomando en cuentalos \ d o r e s en la frontera delas cant,idades relevantes, calc~llatlosa
p r t i r del modelo cinktico propuesto para l a interaccihn gas-paretl. En particular. estamosirlteresatlos en calcular el perfil de velocidad tiel flujo tomando en (-1lentalas caractersticas
propias de la pared. Nuestro estudio se realiza
a partsir de las ecuaciones de Grad en l a
al~roxinxxicin(le t,rece momentos;enestaaproximacibnloscoeficientesdetransport,e \-ismsitlad cortante 77 y de conductividad trmica X son funciones de la p o s i c i h , a t.ravs(le su dependencia con la temperatura. Lo anterior es consistente con l a teora cintica, )'acl~lea travs de sta podemos calcular coeficientes de transporte110
constantes de forma
m;tlt,ica 1571. En particular. \ramos a explorar las situaciones en las clue considerarnos alos coeficientes de transporte tanto constantes como dependientes de la posici6n.Como punto de referencia! se realiza un breve repaso
a la so1ucic;n delproblema
flujo
Couette en el rgimen hidrodinrnico, donde precisamente los coeficientes de transportese consideran constantes
y las condiciones de frontera que
se emplean son las llamadas
condiciones de pegado.
4.1
Aproximacin de Navier-Stokes
Cuando se aborda el problema de la dinmica del flujo Couette en el rkgimen cle NavierStokes,lasecuacionesdebalancedelascantidadesque junto con las ecuaciones constitutivas de Navier-Newton esfuerzos y el flujo de calor respectivamente, constituyen del gas enrarecido. Por otra parte, en cuenta son delgasena.
se consert-anen las colisiones.
y de Fourier para
el tensor de
la hase para realizar el est11cliose t , o n l w
las condiciones de frontera que usualmente
las siguientes: en una primera aproximacin
se supone que las partculnh
contacto con la paredsepegan
a ella,de
tal manera clue stas se rnuevel~
una velocidad u,,,i. con t,emperatura Tu,. estas co~~diciones frontera se les 11nrn;~ A de
condiciones de pegado.
Se plantea el problema flujo Couette estacionario paraparedesplanaseirlfinitassehallanenA
u11 g a s enrarecido, donde lasyell
el plano ( x - a ) , a una misma temperatura
movimiento relativo con trelocidad *uT,,i a. lo largo de la direccin x , la presin p es colistante. Este sistema se caracteriza por la densidad p y por los coeficientes de transporte: viscosidad de corte rl y conductividad tkrmica X . clue son t,omados como cantidades const a n tes.
El movimiento del fluido tiene lugar en la direccinm('01110
x. lo que hace que tengamos
1111 f i l l j o
dos dimensiones (x-:),as las ecuaciones de l a s variables relevantes las podemos escrihir
O,
donde recordamos que hemos empleado las ecuaciones constitutivas de Navier-Newton Fourier, tomando a los coeficientes de transporte constantes
y
[lo,461.
81
Por otro lado, para calcular el perfil d e temperatura en e s t a aproximacin. debemos
combintr las ecuaciones (4.6) y (4.7), que nos permite escribir
as. al integrar la ecuacin (4.8) hallamos el perfil de temperatura, en
el caso particular
en que ambas superficies estn a la misma temperatura
Tu,
(4.9)
Como podemos ver en la ecuacin (4.9), el campo de temperatura describe mla par1)ola3 que es simtricaconrespectoal eje x. Para elflujo
deC'ouette,tenemos
clue hay una.V
diferencia de temperat,uras entre
el fluido en el centro del canal y las placas paralelas.
precisamente la forma en que va variando la temperatura a lo ancho del carla1 describe una parbola cuando la temperatura de ambas paredes son iguales. En este caso en particuel centro
lar, el perfil de temperatura se debe a que la disipacin de energa es menor en del canal que en las cercanias de las paredes. Aqu
los procesos transmisin de energa
t'rmica por conduccin son ms importantes que los aquellos por conveccicin. Est,o es una consecuencia de que en la ecuacin (4.5) los trminos convectivos se hayan anulado. Recordemos que en el proceso de transferencia de energa por conduccin, la transferencia. de energa trmica se puede ver en una escala atmicacomo u11 intercambio de energa
cintica entre moleculas, donde las partculas menos energticas ganan energa con las partculas ms energticas, arrojando como resultado una
al chocar
conducciGr1 de energa.
Hemos visto que cuando' se toma
a los coeficientes de transporte como cantidades cons-
tantes y de considerar a las condiciones de frontera de pegado,y k m p e r a t u r a p a r a el problema flujo C'ouette describen11118
los perfiles de velocidad lnea recta y una pariibola110 son las ade-
respectivamente. Estas (condiciones para
loscoeficientes y las fronkras,
cuadas cuando se trabajta con gases enrarecidos a travs de la teora cintica [I, 571. Por un lado sabemos que los coeficientes de transporte se pueden calcular directamente110
de la ecuacin de de Bolt,zmann a travs del mtodo de momentos de Grad y que estos
son constantes [$57], lo que es adecuado dejar que estas cantidades sean funciones de por la posicin. Adems, si deseamos tomar en cuenta las propiedades dela pared y la velocidadde delizamiento en el perfil de velocidad, debemos abandonar las llamadas condiciones de
frontera de pegado y obtJener las condiciones de frontera adecuadas. Una de las opciones que podemos seguir, es precisamente el trabajar con las condiciones de deslizamiento que hemos discutido en el captulo anterior, donde se calcularon los valores de fronteras de
las cantidades que son relevantes en la aproximacin de trece momentos de Grad a travks
del modeloMaxwelliano
de la pared,
y quecomohemosvisto,involucran
el saltode
temperatura y la velocidad de deslizamiento.
83
4.2
Aproximacin de Grad, X posicin
, r)
y p funciones de la
5Figura 4.2: Flujo Couette en la aproximacicin cle Grad.d e m s , no hay gradiente de presin ext,erno que influya sobre el flujo.
El estado estacionario en este f u o se caracteriza por la presin PO(' ) y la temperatura lj'I-,I(:) . Not,emos, que estas dos funciones dependen de la posicin, en cambio la densidad
po la tomamos corno una constante.
84
Con lo anterior, estamos considerando clue el estado estacionario del flujo est& fuera clel equilibrio total, donde ;algunos de sus parAmetros macrosccipicos caractersticos depende11 explcitamente de la posicin. Es decir, se trata de un estado inhomogneo.Como ya se h a menciol:~do, descripcicin del sistema se realizarti a travks de las e c l w la
ciones de Grad en la aproximacin de trece momerltos. mismas clue se linealizan alrededo1 del estadoinhomogneoya descrito.Supondremosque
el movimientodel
fluido es 10
suficientemente lento tal clue todos los trminos no lineales puedan ser
tlespreciaclos.
Para realizar la linealizacin, las variables relevantes las escrihimos como:
T
: 1
T,, T. I t /
P O t- p,
p = po t
ES)
(4.10;
donde la ecuacin del gas ideal determina cionario
la temperatura y l a presicin en el estado esta-
en este caso
en particular, estamos considerando que
elflujo
lento se encuentra en
1111
estado estacionario, donde las
desviac.iorles de la temperatura T son pequeiias en
con-
paracicjn con To de esta manera las ecuaciones de Grad (2.126) l a s escribimos como
p o p . ug)- 0 ~ 0 -0
1
o.O,
(4.1 ;I I
.P
D - q + p o p .ug)
+ F PO m
(4.141 (4. l.?)
=
o,b 1
E) Po
donde F es una fuerza externa.
Los
tiempos de relajamiento que hemos vist,o ya en el captulo dos
J-
que est11 escritos en
t.&rrninosde los coeficientes de transporte, pueden evaluarse sin problenla parapara el potencial de esfera dura, que escribimos como
un poten-
cial central. En esta ocasin empleamos las expresior~es de los coeficientes (le transporte
Por otra parte. a l considerar a los coeficientes de transporte comofuncionesde
la
posicicin a t;rav&s de su dependencia con la temperatura, estamos considerando a los ticnlpos de relajacibn de las variables fsicas. cotno rantidades que variar1 cor1 la posicin, segn io haga l a razn entre los coeficientes de transporte y la presin
27n X
I
(4. 1 9 )
1
(4.20 J
El hechodequelostiemposderelajacin
no seanconstantes.
110s indica que los efw-
tos de disipacin no son los mismos cuando se esta cerca de la pared. que cuando se est ii
en el interior del gas a una distacia del a front'era de varias veces l a traj.ectoria l i l m mt.cli;t.
Las condiciones de simetra impuestas por la geometrtt, implican que todas las
cttuti-
(lades deben ser independientes de en un problema de dos
la coordenada u. de esta manera, el finjo se convierte
2). En este caso, las ecuaciorles 'dimensiones (x3
(4.13 4.17) -
SF'
reducen a u11 conjunto de ecuaciones ms simple (ver apndice za con las cantidades de referencia que presentamos Captldo anterior
A ) . que se adimensionali-
y discutimos en la seccin (3.7) del
tlP,.,
tls * dQZ
donde
2
= z*L ,
K,
= -L 2L
es el nmerode
Knudserl y 1 =
la es ___ trayectoriiiv%a27lS
'
libre media para esfera dura con una densidad numrica de referencia n,. Recordemos forma que enhemos adimensionalizado las variables importantes:
la'
Q
=P S J E T '
p.
= p"Ps
T * =TT , ' V~, e =
v
=
"O-"w)
m
p
= 2 Ps
y p* = L.PJ
En la ecuacin(4.22), observamos que cuando la fuerza externa " esta ausente, lapresicin Fp * es una constante. Esto nos indica que
la fuerza externa es importante en
el sentido
87
(le que
110s
brinda la oportunidad (le trahajar
(:o11
dos dist intitsopcionesacerca
de l a
colltlicin de la presin.
Observarnos que cuandoptr~t el
la temperatura es una constante, recobramos la ecuacitin usualflujo Couette.
perfil de velocidaddel
Es decir,se
recupera el caso enque
la
\wiaci6n de la velocidadenc111elos
la posicin es una constante Ec. ( 4 . 5 ) . .4dems, notamosecuacicin de l a velocidad, s o n de segundo orden en elque estas c,orreccionesson
trminos que modifican la
rlmero deKnudsen,unhechoqueindical-bgirnen (le transicin donde
pequeiias c u m d o
consideramos la regin de nlimeros de Knudsen muy pequeos; &e no es el caso en el
K,
N
1,
La. ecuaci6n de la velocidad no es complicada y puede integrarse de manera directa, sloes necesario realizar la int,egracin en una sola variable o"*.
88
La solucin para la ecuacin de la velocidad, puede escribirse como
-
La integrales que escribimosen
las
ecuaciones (4.;42)-(4.:34) y quellamamos
I L.?(:*
1.
I I l , 2 ( z * ) y lIIL~2(2*,). representan en realidad las siguient,es integrales
La solucin dada en la ecuacin (4.31) toma en cuenta las ixlhomogeneidades en el campo
de la temperatura, as como la variacin en los coeficient.es de transporte. Por otra parte.las propiedades de
la pared aparecen explcitamente en
el valordel
tensor de presiones
P z z , esta cantidad se obtiene de la ecuacin (3.88)
donde V
=
v
-
v , . Si toma
lenta la simetra que presenta el problema del flujo introducimos la expresinde
Clouette, es decir V, = O,
que aparece
e11
(3.94) en la ecuacin (4.,137):
90
4.2.1
Perfil de
temperaturala manera en que se determina
En
esta seccinsemuestra
el campo (le temperatura.lit
para posteriormente, evaluar las integrales \.elocidad (4.32 - 4.34).
que estiir1 involucradas e n la expresin de
Mediante una integracicin directa de la ecuacin ( 3 . 2 5 ) hallarnos l a expresin~
donde b es una constante de integracin. aqu definirnos lma distancia caractersticaque110s
h'
d a el alcance de la influencia de
l a capa de Knudsen
la expresin para la componente nornlal del
f u o de calor CJz. se ollt,iene a partir de lj
las
cvndiciones de frontera. A partir del valor e n la frontera para cl tensor viscoso sirnGt r i c ' o sin t,raza que ya hemos calculado que reportamos en la ecuacin (3.88). podemos obte11e1yu11aexpresin
para la componente
(2;)
de esta cantidad
.-I1 tomar en cuenta la s,imetra que presenta
el flujo C'ouette en l a velocidad, es deci1
c;Z = O,
obtenemos
A 1 considerar las condiciones de simetra en las ecuaciones de Grad (ver la ecuacin
( a .1 0 )
del apndice A ) , hallamos que P,, igual a cero, con esto, l a ecuacin anterior se resuelvr. es para la componente normal del flujo de calor y encontramos
91
c1"e ticpende d e los coeficientes de la pared a t,ravksde Q,
J'
del salto de temperatura.
1)e 1lr:cho.
l dependencia de a
Q z cot1
el salto de temperatura tarnbid11 fue obt~enida por
ljisso y ('ortlero [ 6 5 j , l a diferencia esta
en q11e la. expresin que obtenemos depende d e los
cwcficientes de acomodacicin que caracterizan a l a frontera.
E11 part,icular, el flujo de calor normal a la superficie es disipado a travs de la pared.c 7 1 1 i t l mantiene su temperat,ura constanteest a
la
T,,, y como podemos ver en la. ecuaciGn (4.46).
(santidad se anula cuando el salto de temperatura esta ausente. Tal y como sucederia
si se crnplearan las condiciones de frontera de pegado,
Finalmente el perfil. de temperatura es escrito en trminos de la distancia de penetracin 6* y de su valor en las fronteras
T * ( z * ) = T*T(+l)7 -
[
;*(
Z*
7 1
)I'
=*
=
ztl, T I A 1 )
=
9
,
(O
5
,7* 5 1, -1 5 z*
-
< O)
(4.37)
las caractersticasdelperfildetemperaturasemuestran
en l figura (4.:3), donde s e a
observa una curva casi parablica. Cuando comparamosse obtiene en el rgimen de Navier-Stokes, ohservamos que
con el perfil de temperatura quelas dos c ~ ~ r v son semejantes. asC1.at1( ' 1 1
Por
1111lado,
la expresidbn de la temperatura que derivamos de l a s ecuaciones de
la aproximacicin de trece momentos. depende fuertemente de los (,coeficientesde transporte
b- (le las caractersticas de l a pared a travs de los coeficientes de acomodacin. Por otrolado. cn el rkgimen de Navier-Stokes la temperatura depende de la forma de la velocidacl,
y en cambio l o s coeficiente de transporte no son relevantes debido a que son cantidadesconst.antes.1.o
0.5
Z*
o .o
-0.5
4.5
-1 .o
4.4 4.2
4.3
4.6
4.7
4.8
4.9
Perfil de Temperatura
Figura 4.3: La lnea con asteriscos representa el perfil de temperatura en la aproximacin de Navier-Stokes, la lnea continua y la linea discontinua, representan el campo de temperatura correspondiente a la aproximacin de Grad en trece moment.os, para H = 0.8 y 0 = 0.85 respectivamente.
93
Observamos que el perfil de temperatura en este rgimen, bsicamente tiene su origen en la friccicin, las deformaciones de la temperatura en las cercanas de l a ptred se deben a(111~:
esta liltinla
110 es
~ 1 1 pared ideal. lo anterior se t , o m a a
erl
cucrlta a l ronsitlerar a los
c.oeficient,es de transporte corno funciones tle la posicin.t:11
a ecllucin (-4.25) vemos l
q1 1e
el fiujo d e calor esta relacionatlo
('o11
el coeficiente de m u -
tlnccitin tkrmica y
e11 cambio
no se obser\.;m trminos convectiI-os, por est,a r;tzi,n clecirnos
que e11 esta aproximaci6n los efectos de transferencia de energa tirmica. por cond1lcci6nson mAs importantes que aquellos tlehido a la transferencia de energa por couveccin.
I A tliferencia entre estas
dos forma de t r a n s f e r e n c i a de energa. es que I n primera e s t iqlle
ligada. al intercambio d e energa cint,ica entre las molkculas
choc:rn
>~ e11 l a segunda.
e l medio que se calient,a se
mnet-e de
1111
lugar a otro.
4.2.2
Velocidad. de deslizamientofl11~joit
Otra de las cosas que podemos determinar de forma analtica en este problema de laminar, es la velocidald de deslizamiento partir de la condicin de simetra frontera. Parahallar
r/& =
v,
-
v w , esta cantidad sedet,erminaY
Pz, = O
y de la componente
del flujo de calor en l a
la expresin de la velocidaddedeslizamiento,
se combinanlasecllacioues
( 4 . 4 3 ) y (4.46). resolviendo para
Vx hallarnos
donde es clara la influencia del salto de temperatura v las propiedades de la pared. C ' o r n o podernos notar, la velocidad de delizamiento llegaa ser igual a la velociclad de la pared.
cuando la temperatura en el gas cerca de la hontera es igual a la tlc la pared, esto significa clue no habr deslizamiento cuandono se tenga salto en la temperatura. Esta situacitiu
es posible debido a que las partculas en
el fluidocolisionan
de forma inelstica
con l ae11
pared y tambin
puede:n ser absorbidas, de aqu que
la energa cintica promedio
la
capa front,era no corresponda a la energa de la pared ni a la energa del bult~o, .Aqu en esta aproximacin, la principal hiptesis hecha es que el s a l t o de ternperatu-
r a juega un papel importante
en la capa frontera. Esta caract,erstica es clara c~lantlolit
s1lpollerrlos clue los coeficientes de t,ransporte son funciones de la posicin a travs de temperatura, ello en la capa delgada de gas adyacente a la frontera. Esto significa, el proceso de colisin entre las partculas en el gas y la pared ocurre en una forma
q11t'en
clue el transporte de energa, no es cuantificado de manera suficiente transporte constantes.
con coeficientes cle
En otras palabras, poderr,os decir que el fenmeno que estamos
estudiando est presente debido a clue la pared no es ideal.
Por otro lado,
a trav& de la ecuacin (4.40), podemos escribir la velocidad de deslizay la distancia de penetracin
miento en trminos del nmero de Knudsen
(4.49)95
expresin que muestra que la velocidad d e deslizamiento crece con el nmero de h u d s e n ,rw1llt,ado quo concuerda con lo report ado cn l a literatura 121.
-Grad, H=0.80m
-1 o
-15
-10
-5
O
5
io
15
Perfil de Velocidad
Fig11ra '1.4: Las lneas continua ( Q == 0.8) y cliscontinua (Q = 0.85) corresponden al perfil la aproximacin de Grad en trece momentos eon (1 I , y la lnea con asteriscos representa el perfil de velocidad usual col1 < 1.
4 s t a 110s da infor-
nlacicin del alcance del gradiente de presin externo que se aplica al flujo. De esta manera(311
l a ecuacicin (li. 15) observamos que cuando la distancia de separacin entre los planosel rango de influencia del graclient,e de presiones externo. el c,aso contrario. Porde este ltimo sobre el flujo ser menor que en
paralelos es mucho mayor que
crltonces el efecto
otra parte, recordamos que K, = media para esfera dura.
& es
elrlmero de Knudsen y 1 es la trayectoria libre
Parahallar
la ecuacinquesatisface
la velocidadparaestesistema,debemosderivar
122
la ecuacin
(5.19) conrespecto
a la variable z * y posteriormente sustituir la expresin
resultante en la ecuacin
(5.21). Hacemos notar. clue la derivada de PZz con respectlo a
:* es una constante, p0.r lo que
Qz tambin es una constante. lo anterior provoca
que el
segundo trmino de la ecuacin (5.21) se anule. Tomando en cuenta lo anterior escribimosla ecuacin para la velocidad como
de en la ecuacin (5.23). observamos que la componente (x:) del t.er~sor presiones sirnktrico sin t,raza es una funcin de la posicin z * . por lo que debemos resolver la ecuaci6n ( 5 . 1 5 )para,
Plz,
Recordemos que en este caso en particular
el gradient,e de presiones en
la direccin del
mo\-imiento del fluido es constate, as que al integrar l a ecuacin (5.1.5) tenemos
tlorltle a es una constante. Esta expresin
la sustituirnos en la ec1lacicin (5.2ij)
Ilespuks de in{-egrar en la variable z 4 , hallamos
donde b es otra constante. Posteriormente hallar las constantes. Despus de realizar
seevalala
ecuacicin (5.26) en z *
* 1, paran y
lo anterior y de sustituir las expresiones de
b , hallamos
(Fi.27)
donde v,(*l)
es la velocidad del
fluido evaluada en las fronteras
y de acuerdo conlas
condiciones de frontera de pegado es igual
a vtu. Observamos que el perfil de velocidad
es el mismo que se obtuvo mediante el esquema de Navier-Stokes. Yo es extrao obtener
123
este resultado ya que si el campo de temperaturaes una constante. e n ~ o n c e s hay raz611 110
para esperar uq salto de t,emperatura y tampoco la existencia (le la capa de tinudsen.
Hemos vistd que de
las ecuaciones de Grad podemos obtener resultados tipicos
del
r6xirnen (le la hidrodinAmica cltisica. Por o t r a parte: para tomar en c u e n t a las propiedadcstle
las fronteras en el perfil de velocidad del fluido, podernos llsitr l a s ecuaciones (le ( ; r a d ,
pero ahora dejando que la presin vare con la posicin al igual clue los coeficientes (leI ransporte.
5.3
X
, r) y p
funciones de la posicinel problemafllljo
Erl estaseccin.queremosabordar
('ouette generalizado en el caso
particular en que la presin y los coeficientes de transporte seal1 funciones de la posici6rla travs de la temperatllra. En particular empleamos
las expresiones de los coeficientks
de transporte para un pot,encial de esfera dura. Suponemos clue elflujoCouette generalizado se encuentraen1111
estado estacionario.
mismo que es caracterizado por lma presin p o ( s * ) y tenlperatura T , ) ( z * )no 11omogkrlc~;ts.
En el problema flujo Couette generalizado, por simplicidad suponemos clue las superfic+sfrontera tienen 11na temperatllra, .
T, y
se encuentran en movimiellt,o relativo con velocitlitcl=
kuT,,i. Estas placas paralelas se localizan en :*coeficientes de acomodacina
& . est,in ly
caractxrizadas porlos mismos
y HL
N
Figura 5.2: Flujo C'ouette generalizado en la aproximacicirl de Grad
Escribimos las ecuacionles de Grad en trece momentos.
de acuerdo con l a simetra clue
presenta el problema, es decir las variables slo dependen de z * . Aclemiis, stas se escrihende forma adimensional de acuerdo con las definiciones que usamos en captulo 3 (seccin el
3.7).
125
I'ostm-iormente se sustituye en la ecuacin (5.33) y de esta forma obt,enernos la ecuacibnpara la velocidad del fluido
(5.37)
126
donde
En la ecuacin (5.38) se toman en cuenta las inhomogeneidades degradiente de presin externo.Por otra parte, el tensor de presiones
la temperatura y el
P X zse obtiene a l integrar la ecuacin (S.28),
La expresicjn para el tensor de esfuerzos simtrico sin traza
P ,
en la frontera es la misma
de la ecuacin (4.35), sta no cambia debido a que el gradiente de presiones 110 influye en el modelo de fronteras
Finalmente, para observar el comportamiento cualitativo del perfil de velocidad debemos determinar el campo de temperatura. Para obtener esta cantidad se integra la ecuacin
(5.32)
Vemos que esta expresin para el campo de temperatura coincide con la ecuacin (4.42). cuando el gradiente de presin no est presente.
127
10
05
' Z
O0
-0 5
-1 o
-6
-4
-2
0
2
4
6
Perfil de Velocidad
1Ic:nlos visto que l a ecuacinparalavelocidadquehallarnos,
se reduce al caso usual,
c,uando l a temperatura es una constante ?- el gradiente de presin externo esta ausente,lo que nos permite decir que l a aproximacin en la que estamos trabajando contiene los
resultados que se obtienen a nivel de Navier-Stokes.
128
En este captulo hemos calculado. el perfil de velocidadgeneralizado a partir de las ecuaciones de Grad en encontramos que la velo'cidad se escribe en trminos de
para el problema flujo Couet tc'
l a aproxirnacicin en trece momentos.los partimetros que caracteriza11observar que el perfil
a la frontera. Este es un ejercicio interesante ya que nos permit,iti
de velocidad del flujo! contiene informacin nuest'ros resultados de forma analtica.
de la superficie cl11e lo delimita, obteniendo
En particular, vimos que cuando l a presin y los coeficientes (le trarlsport,e son constarltes. se recupera la expresin de la velocidad en el rgimen de Navier-Stokes. Esto nos sugicrt clue la presin y los coeficientes de transporte juegan un papel importante en l a dintimica delproblemaflujoCouetteGeneralizado.Encontramos externo modifica it1 perfil de velocidadit.
que el gradientedepresiones
travs del fllljo de calor en la direccin J . E:st,n
t'ltima cantidad depende de manera directa de la presin p', es decir, esta cantidad sufre. cambios si la presin es constant,e o es una funci6n de la posicicin.
Capt u10 6 Conclusiones y Perspectivas
[Icnlos visto que el estudio
del Alijo en
1111
gas enrarecido, p u d e ser realizado a travs
c l c wuu'iones parecidas a las de a aprosimac~icindel continuo. titles c o m o 1~ ecuaciones lde los n~lonlentos de Grad. En particular estudiamos un
flujo laminar incompresible erl
tlorlclc110
S(:
torrid en cllenta l a influencia de l a superficie frontera para nimeros cle Knudsen(le calor y elPOI-
t a n pe(~uefios. corno normalmente sucede en el r4gimen de Navier-Stokes. Este est'udio
(\SI a
1);ts;ttlo e11 las wuaciones de Cratl e11 trece momentos. donde el
filljo
t CIISOI.I>it1'te.
viscoso simdtrico sin traza
so11 considerados
corno variables rele\ra~ltes.it
otra.
c;tlcularnos los \-alores d e frontera de las variables fsicas,e11
tra1-k del modelo deIa
las paredes de Maxwell. en tfonde so11 tomadas
cuenta las caractersl icas de
pared.
por mcdio d e los coeficientes de acomodacin. Las expresiones de los valores frontera delfiiljo de calor y del tensor simtrico sin traza
que obtuvimos aqui son una generalizaciI1
tlc las rcportadas por Harold Grad
en 1949.
('reemos que es posible obtener los valores de frontera para las variables fsicas con mayor informacicin acerca de la pared, enla medida en que el modelo d e las fronteras sea cada
w z rwis realista, involucrando elementos t,ales que modelen mejor las caractersticas de lasuperficie frontera. .Aunque, claro est, el cdculo analtico ser& cada vez ms complicadode realizar, por lo que ser& necesario apoyarse en tcnicas computacionales? tales como:
la tliniinica molecular, soluciones numricas, mtodo de Montecarlo
(DSPVIC) o las apro-
130
ximaciones Lattice Gas Automata (LGA) y Lattice Roltzmann Equation (LBE).
Un hecho interesante es que un modelo simple de la pared
con la dinAmica descrita por
las ecuaciones de Grad puede reproducir las caractersticas principales de un problema tradicionalmente cintico. En particular para el flujo C'ouette, calculamos una expresin analtica para la velocid.ad de deslizamiento I,; y de la componente normal del flujo dc calor Q,, en trminos del salto de temperatura($~
T5
v de los coeficientes de acomodacicin
l-aJ l+-O'
Encontramos que estas cantidades estn relacionadas de manera directa [Ec.
(-4.12) 1.De acuerdo con la expresin para la velocidad de deslizamiento, vemos que salto de temperatura, entonces ra el fluidosemovera110
si no hay
1111
habr una velocidad de deslizamiento: de esta mane-
de acuerdo con la velocidad de la pared. Por otra parte. hemos
al derivado el perfil de temperatura para un potencial de esfera dura: ste es parecido que se obtiene en el rgimen de Navier-Stokes. Las diferencias se observan en la regi6n cerca
de las fronteras, donde el comportamiento de la temperatura que calculamos. depende dclas caractersticas de la pared a travs de los coeficientes de acomodacin. .idern& de
lo
anterior, calculamos el perfil d e velocidad tomando en cuenta el defecto de la velocidad. para nmeros de Knudsen cercanos a la unidad, y lo encontrarnos que el comportamiento clmlitativo de la velocid es el mismo que se ha reportado por otros autores 142,381 . Todoesto se ha calculado tomando los coeficientes de transporte como funciones de posicin a la
= * . k s t a es una diferencia con el perfil de velocidad calculado en
el artculo de Peralta-
Fabi y Zwanzig [42], donde los coeficient,es de transporte son constantes y la influencia de
la pared hacia el interior del gas es substituida por un campo externo, manteniendocondiciones de frontera de pegado.
las
Para entender el porqu hemos tomado los coeficientes de transporte como funciones de la posicin. debemos, recordar que en
las cercanas de una superficie frontera lasy laparedsonmuyimportantes;stas
col-
isiones entre las partculasdelgasenrarecido
colisiones provocan que se forme una capa delgada de gas adyacente interior de esta capa de gas, encontramos partculas
a la frontera. En el
con la temperatura y velocidad de
la pared y partculas que mantienen las caractersticas 131
del int,erior del gas. Como una
cwnsecuencia de lo anterior: los gradientes de t#emperatura y \-elocidad son muy grandesJ.
provoca que el llamado defecto de la velocidad est6 presente. Deljitlo de Knudsen, los efectos del calor producido por
it
121. presencia de
l a capa
lit viscosidad, son diferentes
en
a frontera que en l
el int,erior de gas. Vemos que la viscosidad en el fluido es menor en
l a pared que en el bulto. Esto es urla consecuencia de que l a tenlperatura tlel fiuiclo seamayorusare11 medio del canal, que en
la frontera. Por lo anterior, L-emos que no es acteruadosi es que se tlesea tomar
los coeficientes de transporte como cantidades constantes. coeficientes d e t,ransporte como fllnciones tie la posicitin.
e11 cuenta el efecto de deslizamiento v en cambio hemos visto q1le e s suficiente con tomarit
los
O t r a de las cosas que observamos, cuando calculamos el perfil (le velocidad del fiujoC'ouette plano. es que al variar la presiGn en la direccin rlormala la superficie, la corn-
ponente en x del flujo de calor adquiere grau importancia ya q u e lit derivada con respecto tle la componente normal a la pared de esta cantidad, se superpone al movimiento provoc ~ d por o
la pared v origina que el perfil
de velocidad sllfra una motlifica,cicin cerca de la
frontera. Dicho comport'amient,o
lo interpretamos conlo el efecto de delizamiento que es
rn&s rlot,orio en este caso que cuando
l a presin es constante.
Por ot8ro lado.de: manera directa calculamos la llamada distancia de deslizamiento. Observanlos quc los resultados num6ricos que calculamos son parecidos a los mejores resllltadosc111esc
han reportado en la literatura, por lo que creemos que nuestro modelo de front,eras
; ~ u n q ~ simple, arroja buenos resultados le11x1
al comparar con aquellos trabajos en donde
se
ctmpleados mtodos ms elaborados [4, 501. Por supuesto. este modelo es suceptible
clc 111e.jorarse.
Por otro lado, tambin hemos calculado('ollett,e
el perfil de velocidad para el problema flujo est6 contenida la soluciGr1 rlornlal.
Generalizado;en
la solucinquehallamos
Por otrolado,hemosobservado
clue la condicicin geomt,rica es import,ant,ecuandose
lj aborda un problema de f u o laminar, sta ayuda a que los cA1culos de los valores fronterade Q y
P
seanmenoscomplicados.
Si la geometraquepresenta
el problema de flujoen
laminar que hemos abordado fuera otra: digamos cilndrica. entonces habra cambios las expresiones de los valores frontera de las cantidades fsicas.
Lo anterior lejos de slo
complicarnos los clculos, nos permite realizar el estudio de la din6mica de un flujo lami-
nar ahora con una simetra cilndrica. De hecho a este problema se le llama flujo Poiseuille.
Cna de las perpectivas que consideramos es \.iable realizar, esel proponer un modelo nxis realista de las fronteras. t,omando en cuent,a naturaleza d e la frontera sobre todo si exisla ten rugosidades en la misma. Por supuesto si trabajamos con superficies extremadamente rugosas es necesario contemplar u11 fluido t,urbulento dadoclue a naturaleza rllgosa de l
la pared influir en el bulto. Para
ello ser necesario tomar en cuenta rclcvitnt,es.
los tdrminos no
lineales de las ecuaciones de evolucin para las variables
En particular el kernel de colisin propuesto por Carlo Clercignarli jEc. (3.23)] ofrecc~ nosun poco ms de detalle en cuanto a la naturaleza de la pared. C o n este modelo del kernel. podemos calcular la distancia de penetracin de las partculas que colisionan de manera especular o difusiva con la pared. La idea seria superponer
dos tdrminos de este mismo
modelo, el primero de ellos que tome en cuenta las colisiones especlllares y el segundo las colisiones difusivas: adems podemos ariadir de partculas que logran atravesar la pared.
un trmino clue torne en cuenta la fraccin
Para estudiar los efectos de la energa debida a los trminos de conveccinen las c(wxioI1esde Grad, debemos manejar las ecuaciones de forma completa, es decir rnarlejar ecutcioue$IIO
lineales.
(111
inconve.tlierlte es que los crilculos analticos se complica11 demasiado. aso 2lac.w suposiciones ;acerca
q u e ma opcin es contar con algun modelo para la densidad
de la razn de corte, o recurrir a soluciones numricas de las ecmciones de evolucin paralas variables relevantes.
Apndice A
l < n este apndice se muestran algunos desarrollos demerlths. estasecuaciorlesson
las ecuaciones de Grad
en trece moen el en cuenta
usatlas paraesrudiarladinmica
(le1 gasenrarecido
flujo (louett'e plano. En part.icular- se escriben las ecuaciones de Grad tomarldolas condiciones de simetra que present'a el flujo C'ouette plano
y que adems se encuentra
en estado estacionario.
A.1
La ecuacin para la masa
(u .2)
( (l. . :i )
tlebido a que la velocidad del fluido &lo depende de la coordenada S . vemos que la ecuacitin
o .:3 'I se satisface identicamente. i
A.2
L a ecuacin del mornento-vp, -
0 . + " = o, P" Po Fm
134
parasimplificarlaecuacin ecuacin por separado
(u.4), debemos desarrollar cada uno de los trminos de
la
(-+-x dPzdX
apyx
3 4
?y
+ -) I k+ PZZ(3z
la ecuacin de arriba se reduce al introducir las condiciones de simetra
A.3
La ecuacin de la energa
deacuerdo conlascondicionesdesimetra, anterior se simplifican de la siguiente manera
los trminosqueaparecenen
l a ecuacin
clue se reduce a la expresin siguiente
A.4
La ecuacin para el tensor viscoso simtrico sin traza
La ecuacin para el tensor viscoso simtrico sin traza se escribe
'Lpo(Vu0)"
4 + -(Vq)" 5135
1"O P,
TP
( u .10)
desarrollamos cada uno de los trminos de l a ecuacin
( a .10)
tlesp114s (le tomar en cuenta l a simetra que presenta el problema de flujo laminar, tenernos
(0.14)
A.5
La ecuacin del flujodecalor(u.
1s)
que se reduce a l a expresi6n
el segundo trmino de l a ecuacin ( a . 15) se escribe como
( a .19)
Finalment'e, el tercer trmino de
l a ecuacin (a.l.5)
5
ja.20)
despus de tomar cuenta la simetra que presenta problema flujo Couette. l a ecuacicin en el
( u . 2 0 ) se escribe como(n.21)
137
Apndice B
B.1gils
Ecuacin de Boltzrnann reticular1111
I , a ctcwacin de Boltzrnann discret.a es
modelo matemitico de la teora rir1Ctica de u11
de partculas pllntuales que slo pueden accesar a un nmero finito de velocidades. La
i ( h ( l e tliscrct~izare l espacio de velocitlittles origirldnler1t.efue d e 1Iitxwell.sin embargoh~e Broadwell
[es], quien aterriz estas ideas proponiendo 1111 modelo simple
(le 1111 gas con
sblo seis \doc.idades, con el mismo modulo y dirigidas a lo largo de tlircc~ciorlesnegativas1. posit,ivas de un s i s t e m a ortogonal cartesiano.
I , a Inotivacior original de una teora cintica discret,a, fue modelar
1111
gas de
partculas
l o sllficientemente simple y proporcionar descripciones analticas de patrones de fiujo.
t:rl
l a llamada Ecuacin de BoltzrnaIm retic-dar
o Latt,ice Rolt,znlarln Equation (LBE) se(c Eu,.
cwnsidera un conjunto discreto y finito de \-elocidades de partculas, clefinicio en una red de Bravais C con dimensinc*ilt>icas cada unaocupandoun
i
=
O.
..,
bi,
D. Esta
red corlsist,e de igual celdas
(lominio espacial ~ ( , c col1 vol1mien i
AV(=
AlD).
LAS
partculas slo pueden saltar d e una celda centrada en x a u11a de las b c e l d a s vecinas (es decir, x
+ u,At)durante un intervalo de tiempo
At (= 1 por conveniencia). En principio
11no reemplaza la funcin de dist,ribucin de una partcula f (x,c , / ) por una poblacin de
est,ado Ni(x,t ) = fi(x,t ) A V . Fsicament.e N ( x , t ) es es el nmero total de partculas con velocidad u i ocupando una celda de la red en x y al tiempo t . Su dinmica es usualmente descrita por una ecuacin diferencial cintica, llamada Lattice-Boltzmann Equation
N,(x $- uznt. tdonde NL'(x,) t=
+ At)
1
)X ($ (
t)
Ni(x: ) + Ri(x, t ) es la poblacin de estado post-colisional, y R i ( x , t i tcolisin clue comunmente toma la forma de7.
es conocida como el trmino de
la llamada
ecuacin BGK con un tiempo de relajacin
En general todas las relaciones y definiel r e n -
ciones hidrodinmicas son las mismas como en un sistema cont'inuo excepto por plazamiento de
J dw por 'una sumatoria
xi.l a ) , se puede
Cuando no hay fronteras, espacio configuracio