Teoria della Gravitazione Universale
Pitagora (560-500 A.C.) e i suoi seguaci furono i primi ad Pitagora (560-500 A.C.) e i suoi seguaci furono i primi ad elaborare un modello di sistema solare basato su idee elaborare un modello di sistema solare basato su idee matematichematematiche
Per primi i Pitagorici , per giustificare la periodicità dei loro moti, introdussero un modello matematico che collocava gli astri su orbite circolari.
La rappresentabilità matematica garantiva l'ordine e la stabilità dell'universo (kosmos).
Esso è delimitato dalla sfera delle stelle fisse e tra la volta sferica delle stelle e il centro si trovano i pianeti i cui raggi orbitali e le cui velocità formano una successione numerica identica a quella dei numeri corrispondenti alle note musicali;
La più importante intuizione pitagorica è la sfericità della terra;
Il Sistema Platonico è geocentrico.
L’universo di Platone è FINITO, racchiuso all’inteno della sfera delle stelle fisse
Anche i due più grandi filosofi greci, Platone ed Anche i due più grandi filosofi greci, Platone ed Aistotele, proposero un loro modello di Universo.Aistotele, proposero un loro modello di Universo.
Sistema Aristotelico
Per Aristotele l’Universo non è semplicemente un luogo ma è “il luogo” (topos) somma totale di tutti i luoghi occupati dalle cose.La sua cosmologia è simile a quella di Platone: una terra fissa al centro di un mondo finito, circondata dalla sfera contenente tutti i corpi dell’universo.
Tale sfera non è, però, da “qualche parte” poiché al di là di essa non vi è nulla, né vuoto né estensione
Misura della circonferenza terrestre
Circonferenza della Terra trovata : 250 000 stadi ~ 40 400 km ?
(valore moderno : 40 040 km)
ombra a Syène al solstizio d’estate
ombra ad Alessandria al solstizio d’estate
Alessandria
Terra
Syène (Assouan)
Soleil
A
A
Eratostene(276 - 194 A.C)
Misura della distanza Terra-Luna-Sole
Aristarco di Samo ~ 275 A.C..
Distanza trovata Terra - Sole = 20 volte la distanza Terra-Luna
TerraT
Luna in quadratura (primo quarto)
L
89,8°89,8°87°
TL/TS = cos Sole
Diametro trovato del Sole = 7 volte quello della Terra(valore moderno : 109 volte)
(valore moderni : 400 volte)
II secolo D.C. : Claudio Tolomeo, perfeziona il modello
aristotelico, introducendo il moto epiciclico dei pianeti per dar conto del loro complesso moto sulla sfera
celeste
Vedi simulatore
Copernico ( 1473-1543)
Il polacco Copernico opera quella che passerà alla storia come rivoluzione copernicana spostando la Terra dalla sua posizione privilegiata al centro dell’universo e posizionando al suo posto il Sole (teoria Eliocentrica).
Le orbite continuano ad essere delle circonferenze.
Inizialmente la teoria eliocentrica fece molta fatica ad affermarsi anche perchè le sue previsioni erano meno precise di quelle del modello tolemaico (a causa della non circolarità delle orbite reali dei pianeti)
De Revolutionibus Orbium Celestium (Nuremberg 1543)
Leggi di Keplero sul moto dei pianeti
1a legge: I pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi
Studiando i dati raccolti per oltre trent’anni dall’astronomo danese Thyco Brahe, Keplero si convinse che le orbite dei pianeti non potevano essere circolari e alla fine formulò le sue famose leggi sul mot dei pianeti:
Vedi simulatore orbite
2a legge: Il raggio vettore che va dal Sole al Pianeta spazza aree uguali in tempi uguali ossia la
velocità areolare è costante
Vedi simulatore seconda legge di Keplero
3a legge: Il rapporto tra il quadrato del periodo di
rivoluzione T e il cubo del semiasse mag-
giore a è una costante k uguale per tutti
i pianeti del Sistema Solare.
ka
T
3
2
Studiando le leggi di Keplero, Newton e altri fisici del suo tempo si convinsero che questo moto fosse dovuto all’azione di una forza che il sole esercita sui pianeti.
Fu Newton ad enunciare e dimostrare in maniera rigorosa
la legge che determina questa forza:
2r
mMGF S
dove G è una costante che fu determinata sperimentalmente da Cavendish:
2
2111067,6kg
NmG
Newton intuì che questa forza non agisce solamente tra sole e pianeti ma in realtà agisce tra tutti i corpi che sono dotati di massa. La legge di gravitazione diventa UNIVERSALE
rr
mmGF ˆ
221
NB. La forza ha questa forma anche nel caso che i corpi non siano puntiformi ma sferici. In questo caso r è la distanza tra i centri delle sfere.
Esperimento di Cavendish
Consideriamo un pianeta di massa mp che ruota intorno al Sole (massa MS>> mp ) su un’orbita circolare
Se l’orbita è circolare il pianeta è soggetto ad una accelerazione centripeta
La forza che imprime tale accelerazione è la forza gravitazionale FG
rT
mamF pcpG
22
rT
mr
MmG p
Sp2
22
4
2
3
2 4
SGMr
T
Da cui si vede che il rapporto T2/a3 dipende solo dalla massa del Sole e non dal particolare pianeta preso in considerazione (3a legge di Keplero!)
Questa relazione vale anche per un qualsiasi corpo di massa m che ruoti intorno ad un corpo che ruoti intorno ad un corpo di massa M>>m
2
3
2 4
GMa
T
Newton comprese che la forza peso non era altro che una manifestazione della Forza gravitazionale con cui la Terra attira un corpo in prossimità della superficie terrestre
2T
T
R
MmGP
2T
T
R
MmGmg 2
T
T
R
MGg
Utilizzando tale relazione Cavendish misurò per la prima volta la massa della Terra:
kgG
RgM T
T24
2
1098,5 281,9s
mg kmRT 6375
Usando la legge di gravitazione universale è possibile calcolare l’accelerazione di gravità si un qualsiasi pianeta (conoscendone massa e raggio)
Se ci allontaniamo dalla superficie del pianeta, g diminuisce. Ad altezza h dalla superficie del pianeta essa vale
hRr p
2
2
2
2
2 )()( hR
Rg
hR
R
R
MGg
p
po
p
p
p
ph
In termini di go
Per h<<Rp (es <200 km)
2p
po R
MGg
poh R
hgg
21
22 )( hR
MG
r
MGg
p
pph
Lo Shuttle normalmente si muove su un’orbita circolare a circa 300 km di altezza dalla superficie della Terra. A quell’altezza l’accelerazione di gravità vale:
256
2411
2 )10310375,6(
1098,51067,6
)(
hR
MGg
p
pShuttle
226
2411 95,8
)10675,6(
1098,51067,6
s
m
circa il 10% inferiore a quella che c’è sulla superficie della Terra.E’ inferiore ma non nulla….
Ma perché quando vediamo gli astronauti dello Shuttle sembrano in assenza di peso?
In realtà essi sono soggetti alla forza di gravità ma sono anche in caduta libera continua e questo ha come conseguenza di non percepire la forza peso
La forza di gravitazione universale è una forza conservativa
Esiste l’energia potenziale gravitazionele
K è una costante additiva che può essere fissata in maniera arbitraria. Solitamente si sceglie K=0 in maniera che U è nulla a r = infinito dove è nulla anche la forza
Il lavoro fatto dalla forza gravitazionale quando un corpo si sposta dalla posizione A a B vale:
Kr
mMGrU p )(
iffi rr
GMmrUrUL11
)()(
Vale ovviamente anche il principio di conservazione dell’energia meccanica
r
mMGmvEM 2
2
1
)()( BEAE MM
Applicazione: la velocità di fuga
Velocità di fuga: minima velocità con cui lanciare un oggetto perpendico-larmente alla superficie di un pianeta affinchè non faccia più ritorno (ossia
possa arrivare all’infinito con velocità pressoché nulla)
P
PFCM R
mMGmvAUAEAE 2
2
1)()()(
00)()()( BUBEAE CM
02
1 2 P
PF R
mMGmv)()( BEAE MM
P
pF R
GMv
2 skmterravF /2,11)(
Forze Centrali
La forza gravitazionale è una forza centrale, cioè diretta sempre verso lo stesso punto (es. il sole)
Se prendiamo come riferimento questo punto il vettore posizione r e la forza sono paralleli
Il momento della forza gravitazionale rispetto a tale punto è nulla
Il momento angolare si conserva
kmrvsenvmrL )(|||| Angolo tra r e v
Al perielio e all’afelio o90
AApp vmrvmrL ||
AApp vrvr
La conservazione del momento angolare è collegata alla seconda legge di Keplero
Consideriamo un pianeta che si sposta su un’orbita ellittica. In un intervallo di tempo Δt (piccolo rispetto a T) si sposta di v Δt, passando dalla posizione individuato dal vettore r a quella individuata da r’.
La costanza della velocità areolare è quindi una conseguenza della conservazione del momento angolare
)(2
1 SentvrA
La velocità areolare è definita come: t
AA
)(2
1 Sent
tvr
t
AA
m
LSenvrA
2
||)(
2
1
L’area spazzata nel tempo Δt è, con buona approssimazione, coincidente con l’area del triangolo grigio della figura. Usando le formule della trigonometria:
m
LA
2
||
Moto di un corpo in un campo gravitazionale
Newton dimostrò che un corpo di massa m, soggetto all’azione della forza esercitato su di esso da un corpo di massa M>>m (per cui si possa considerare fisso), si muove su una traiettoria descritta matematicamente da una conica (ossia una ellisse, una parabola, un’iperbole, una circonferenza e le loro degeneri)
Le caratteristiche dell’orbita di un corpo soggetto alla gravitazone sono determinate dal valore dell’energia meccanica EM = EC + U e dal momento angolare L (e viceversa!)
In particolare la forma dell’orbita è legata unicamente all’energia EM
• Se EM < 0 orbita ellittica o circolare (orbita chiusa o legata)
• Se EM = 0 orbita parabolica . (orbita aperta)
• Se EM > 0 orbita iperbolica . (orbita aperta)
In realtà basta considerare il segno diE/m= ½ v2- GM/d
La discussione sulle orbite aperte è abbastanza complicate per cui ci limiteremo a considerare il moto di corpi che si muovono su orbite chiuse (ellittiche o circolari)
Caratteristiche geometriche dell’orbita
• a semiasse maggiore dell’ellisse
• b semiasse minore dell’orbita
• c semidistanza focale
• e eccentricità
• A area ellisse
• rp distanza perielio
• ra distanza afelio
22 /1 abc
a
ce
22 1 eaabA
)1( eacarp
)1( eacara
Caratteristiche dell’orbita
)1( 222 eMaGmL
L
AmT 2
a
mMGE
2
)1( 222
2 eaMm
MmGL
L
A
Mm
MmT
2
)(
4 2
3
2
MmGa
T
Energia
Momentoangolare
Se m<<M
Se m<<MPeriodo
3a legge di Keplero
Se m<<M
GMa
T 2
3
2 4
La costante di proporzionalità è prati-camente la stessa per tutti i pianeti
ppaa vrvr
Esercizi
Es.1: Calcolare la distanza di Giove dal Sole conoscendo il suo periodo di rivoluzione (TG=12 anni) e i parametri orbitali della
Terra: TT=1 anno aT=1,5 1011 m
Soluzione: Usiamo la terza legge di Keplero nella forma:
3
2
3
2
T
T
G
G
a
T
a
T
Da cui si può ricavare il semiasse maggiore dell’orbita di Giove
manno
anni
T
Taa
T
GTG
113113
2
211
32
2
108,7144105,1)1(
)12(105,1
780 milioni di Km, in buo accordo con i dati sperimentale
Es.2: Calcolare la forza con cui si attraggono due palle da bilardo (massa m=150g) poste alla distanza di 40 cm
Soluzione: Usiamo la legge di Gravitazione Universale:
221
d
mmGF
Trasformate la massa e la distanza nel S.I. si ottiene
Una forza piccolissima!!!
Nm
kgkg
kg
NmF 12
22
211 1038,9
)4,0(
)15,0()15,0(1067,6
Es.3: Calcolare l’accelerazione di gravità sulla superficie di Marte conoscendo la sua massa M=6,42 1023 kg e il suo raggio R=3,396 1011 m
Soluzione: Usiamo la formula per g:
2P
p
R
MGg
Per semplice sostituzione si ottiene
In ottimo accordo con il valore sperimentale di 3,69 m/s2
2211
23
2
211 71,3
)10396,3(
1042,61067,6
s
m
m
kg
kg
Nmg
Es.4: Calcolare l’accelerazione di gravità sulla cima del monte Everest sapendo che la sua altezza è 8848m
Soluzione: Dato che h<<RT usiamo la seguente formula per g:
Toh R
hgg
21
Per semplice sostituzione si ottiene
22
62
78,900278.0181,9
10375,6
88482181,9
s
m
s
m
s
mgh
Es.5: Calcolare l’accelerazione di gravità agente sugli astronauti dello Shuttle quando si trovano ad una altezza di 400 km rispetto alla superficie della Terra
Soluzione: Dato che h non è più trascurabile rispetto il raggio della Terra usiamo la seguente formula per g:
226
26
22
2
69,8)10775,6(
)10375,6(81,9
)( s
m
s
m
hR
Rgg
T
Toh
Per semplice sostituzione si ottiene
2
2
2 )()( hR
Rg
hR
MGg
T
To
T
Th
Quindi gli astronauti non sono in assenza di gravità ma non percepiscono il peso in quanto sono in continua caduta libera
Es.6: Calcolare il raggio dell’orbita dei satelliti geostazionari
Soluzione: Usiamo la terza legge di Keplero nella forma
Da cui si ottiene
TGMR
T 2
3
2 4
32
2
4TGM
R T
kmmR 422001022,44
)86400(1098.5 732
224
Es.7: Calcolare la velocità con cui si muovono i satelliti del sistema GPS (Global Position System) e il loro periodo orbitale sapendo che viaggiano su un’orbita circolare ad altezza h = 20000km dalla superficie terrestreSoluzione: Per le orbite circolari possiamo porre che la
forza gravitazionale è di tipo centripeto
OssiaGC FF
2
2
R
mMG
R
vm T
R
MGv T2
skmsm
hR
MGv
T
T
/89,3/1089,31012,15
106375,2
1098,51067,6
36
7
2411
Per calcolare il periodo basta dividere la lunghezza dell’orbita circolare per la velocità del satellite
sv
RT 32300
3890
10214,322 7
Es.8: Lo Sputnik I fu il primo satellite artificiale lanciato in orbita dall’uomo. Il lancio avvenne il 4 ottobre 1957. L’orbita era ellittica. Sapendo che il suo perigeo si trova a 6610 km dal centro della Terra e in tale punto aveva una velocità di 8,23 km/s. La sua massa era di 83,6 kg. Calcolare
•Il semiasse maggiore dell’orbita
•La distanza e la velocità all’apogeo
•L’eccentricità dell’orbita
•Il suo momento angolare
•Il periodo di rivoluzione
Soluzione: Per il calcolo del semiasse maggiore dell’orbita usiamo il fatto che per orbite ellittiche l’energia meccanica vale:
a
mMGE
2
p
TP
T
d
mMGmv
a
mMG 2
2
1
2
pT
P
dGM
v
a
21 2
1777
62411
23
10328,110025,310698,1
1061,6
2
1098,51067,6
)1023,8(1
m
a
kmma 75301053,7 6
Calcoliamo ora distanza e velocità all’apogeo:
kmkm
dad PA
8450)661075302(
2
skmskmd
dvv
A
PPA /44,6
8450
6610/23,8
Eccentricità e
)1( eadP 122,07530
661011
a
de P
Momento angolare L: calcoliamo al perigeo (tanto è costante!)
JsmvdL PP36 1023,86,831061,6||
Js121055,4
Infine il periodo di rivoluzione dalla terza legge di keplero
TGMa
T 2
3
2 4 3
24a
GMT
T
362411
2
)1053,7(1098,51067,6
)14,3(4T
min6 4816500102,42 hsT
Es.9:
Soluzione:
SGMa
T 2
3
2 4
Per prima cosa è conveniente calcolare il semiasse maggiore dell’orbita dalla legge di Keplero
La cometa di Halley è la più famosa cometa ciclica che ruota intorno al Sole. Essa ha un periodo di rivoluzione attorno al Sole di 76 anni. Al perielio la sua distanza dal sole è di 190 milioni di km. Calcolare:
• La distanza all’apogeo;
• L’eccentricità dell’orbita;
• La velocità al perigeo.
Oppure da3
2
3
2
T
T
H
H
a
T
a
T
32
2
4TGM
a S
m
a
123 33
32
273011
1028,31035290
)14,3(4
)10154,376(1021067,6
mm
dad PA
121212 1037,6)1019,01028,32(
2
Eccentricità e
)1( eadP 94,01028,3
1019,011
12
12
a
de P
a
mMG
d
mMGmv T
p
SP 22
1 2
Per calcolare la velocità al perigeo usiamo la conservazione dell’energia meccanica
ad
GMvp
SP 2
112
skmsm
vP
/9,36/1069,31062,13
1037,6
1
109,1
11021067,62
48
12113011
Es.10: Un satellite per le telecomunicazioni (massa 1200 kg) deve essere immesso in orbita geostazionaria (circolare). L’immissione su tale orbita viene realizzata immettendo su un’orbita circolare bassa a quota 1125 km dalla superficie terrestre e poi, tramite l’accensione dei motori, immesso sull’orbita di trasferimento. Giunto all’apogeo una nuova accensione dei motori lo immette sull’orbita geostazionaria. Calcolare:
• La velocità del satellite nell’orbita bassa e in quella geostazionaria;
• La velocità con cui arriva il satellite all’apogeo, punto finale dell’orbita di trasferimento;
• per quanto tempo devono rimanere accesi i motori per immettere il satellite nell’orbita di traferimento e poi in quella geostazionaria se la spinta fornita dai motori è di 8000N;
• Il tempo necessario per il trasferimento.
Soluzione:
mkmRbassa6105,7)11256375(
2
2
R
mMG
R
vm T
smR
MGv T
b /1030,7 3
mkmRgeos71023,4)42300(
Orbita bassa:
Orbita geostazionaria:
skmT
Rvg /08,3
86400
1023,414,322 7
L’orbita di trasferimento è un’ellisse il cui asse maggiore è dato dalla somma del raggio dell’orbita bassa + quella dell’orbita geostazionaria
mkma 71098,4)423007500(2
ma 71049,2
a
mMG
R
mMGmv T
Bassa
TT 22
1 2
Calcoliamo la velocità a cui deve essere portato il satellite quando si trova nell’orbita bassa per immetterlo nell’orbita di trasferimento. Possiamo farlo usando la conservazione dell’energia.
skmaR
GMvBassa
TT /52,92
112
Essa coincide con la velocità al perigeo dell’orbita di trasferimento.
La velocità con cui giunge all’orbita geostazionaria coincide con la velocità all’apogeo dell’orbita ellittica di trasferimento:
skmR
Rvv
geos
bassaPA /69,1
42300
750052,9
Per calcolare quanto tempo devono essere tenuti accesi i motori usiamo la II legge della dinamica (nella formulazione dell’impulso)
)( 11 vvmtF T
sF
vvmt T 333
8000
)73009520(1200)( 11
Analogamente per calcolare il tempo per immettere il satellite nell’orbita geostazionaria
sF
vvmt A 5,208
8000
)16903080(1200)( 22
Il tempo di trasferimento coincide con metà del tempo per effettuare una rivoluzione completa intorno alla terra sull’orbita ellittica di trasferimento:
2
Tttrasf
TGMa
T 2
3
2 4
h
T
s
GM
aT
11390701026,15
1098,51067,6
)1049,2()14,3(44
8
2411
37232
Working in progress
Nel 1916 Einstein sconvolge la teoria di Newton della gravitazione
Nella Teoria della Relatività Generale, Einstein opera una “geometrizzazione della gravità”
Secondo tale teoria le masse e l’energia sono in
grado di “curvare” lo Spaziotempo
Un corpo che si muova vicino ad una altro corpo (o una fonte di energia) non è in realtà soggetto ad
alcuna forza si muove liberamente. Non essendo però lo spazio piatto, tale moto non sarà rettilineo ma
una geodetica dello spazio curvato, dando l’impressione che i corpi si attraggano a causa della
gravitazione
“I corpi (o l’energia) dicono allo spazio come curvarsi, lo spazio dice ai corpi come muoversi”
A. Wheeler