Teoria Microeconômica II: Introdução à Teoria dos Jogos
Prof. João Manoel Pinho de Mello
Depto. Economia, PUC-Rio
Agosto, 2006
Motivação Comportamento estratégico:
Meu comportamento depende do que o(s) outro(s) faz(em)• Pedestre versus automóvel• 3 pontos = mais gols?• Concorrencia perfeita
A forma de interação afeta, de maneira decisiva, o resultado
Teoria dos Jogos: ferramentas para a análise sistemática do comportamento estratégico.
Seqüência dos cursos Introdução à Teoria dos Jogos: jogos estáticos e
dinâmicos de informação completa (micro II)
Organização Industrial e Estratégia (micro II)
Teoria dos Jogos pra valer (micro III)
Informação Assimétrica: jogos com informação incompleta (micro III)
Jogo Estático vs Dinâmico Diferença não depende de aspectos temporais.
Jogos estáticos: jogadores não observam decisões dos oponentes ao
escolher. Ex.: par ou ímpar.
Jogos dinâmicos: escolhas são seqüenciais – ao menos algumas decisões. Ex.: xadrez.
O que é um jogo estático?
Jogo estático, forma normal, ou forma reduzida.
Representação: N jogadores para cada jogador i, temos:
• Si – conjunto de estratégias possíveis
• Ui(si,s-i) – função de ganhos em cada resultado possível
do jogo
Exemplo
Caso Si seja finito, podemos representar um jogo através de uma matriz.
2 (par)
Par Ímpar
1 (ímpar)Par -1,1 1,-1
Ímpar 1,-1 -1,1
Jogo de soma zero
“Common Knowledge” Cada participantes do jogo conhece a estrutura
(regras) do jogo. A racionalidade dos jogadores é também de
conhecimento comum.
“Eu sou racional. Sei que meu oponente é racional. Sei que ele sabe que sou racional. Sei que ele sabe que eu sei que ele é racional. Etc.”
Exemplo: qual a cor do meu chapéu?
3 crianças numa roda. Há chapéus brancos e vermelhos.
Nenhuma delas observa a cor do próprio chapéu, mas observa das outras duas
1 2 3
Exemplo: qual a cor do meu chapéu? A professora pergunta a cada uma a cor do próprio
chapéu. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “não sei”.
A professora informa: há, pelo menos, um chapéu vermelho. Repete a pergunta. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “vermelho”.
Porque?
Solução Resposta da criança 1:
Se 2 e 3 estivessem usando chapéus brancos, saberia que o seu era vermelho.
Conclusão: 2 ou 3 está usando vermelho. Resposta da criança 2:
Se 3 estivesse com chapéu branco, saberia, pelo raciocínio anterior, que o seu chapéu era vermelho.
Conclusão: 3 está usando vermelho.
Solução
Note que, para o exemplo funcionar, é necessária não apenas a hipótese de racionalidade individual mas, principalmente, a hipótese de “common knowledge”.
A criança 3 é racional; sabe que 1 e 2 são racionais; e sabe que a 2 sabe que 1 é racional.
Além disto: as três sabem que as outras duas sabem que há chapéus brancos e vermelhos. E pelo menos um vermelho
Resolvendo jogos (i)
Conceitos de solução
Conceitos de solução
Para que queremos resolver jogos? Para fazer alguma previsão sobre o mundo!
Veremos vários conceitos. Um trade-off aparece constantemente: Força da previsão contra capacidade de prever
algo Por enquanto três conceitos básicos
Solução 1: Eliminação de Estratégias Estritamente Dominadas
Ótima previsão, mas não prevê muitas vezesSolução 2: Equilíbrio de Nash em Estratégias Puras
Previsão não tão boa mas faz previsões mais vezes
Solução 3: Equilíbrio de Nash em Estratégias Mistas
Previsão ainda mais pobre mas (quase) sempre faz alguma previsão inteligente
Resolvendo jogos (i)
Eliminação de estratégias estritamente dominadas
Dilema dos prisioneiros 2 prisioneiros são capturados e submetidos as interrogatório,
em salas isoladas, sem comunicação. Alternativas:
C - confessar e servir de testemunha contra o parceiro. NC - não confessar e resistir.
Penas dependem da interação de ambos.
2
1
NC C
NC -1,-1 -9,0
C 0,-9 -6,-6
Sem nenhuma confissão o caso é fraco. Baixa prob de condenação
Ambos confessam, o caso é fraco. Alta prob de condenação
Só uma confessa. O outro leva a culpa sozinho. Promotor faz acordo com o que confessa
Eliminação de estratégias estritamente dominadas Diante da hipótese de que a racionalidade é de
conhecimento comum, podemos eliminar estratégias que são estritamente piores, independente da ação do oponente.
Definição: A estratégia si’ é estritamente dominada se existir si” tal que:
Ui(si’,s-i) < Ui(si”,s-i),
para todo s-i.Desigualdade é estrita!
Não importa o que os outros façam
Resolvendo o dilema dos prisioneiros NC é estritamente dominada por C, para ambos.
2
1
NC C
NC -1,-1 -9,0
C 0,-9 -6,-6
Características importantes do dilema dos prisioneiros A situação (NC,NC) é melhor que (C,C) para ambos
O comportamento estratégico, aliado aos interesses individuais, inviabiliza (NC,NC) como solução Racionalidade individual leva à irracionalidade “coletiva” Fechar cruzamento?
Esse exemplo simples ilustra a importância desse tipo de comportamento sobre as relações.
Exemplo 2
2
1
E C D
A 1,2 3,2 3,3
B 2,3 3,1 4,2
Exemplo 3
2
1
E C D
A 1,2 3,4 3,3
B 2,3 3,1 4,2
Limitações
O processo de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas, em muitos casos, não produz previsões úteis sobre o resultado do jogo.
Consiste em uma noção muito fraca (no sentido que utiliza poucas restrições) de equilíbrio.
Resolvendo jogos (ii)
Equilíbrio de Nash(estratégias puras)
Definição de equilíbrio de Nash - EN Uma alocação/resultado é um equilíbrio de Nash se, a partir
dela, nenhum jogador tem incentivo a desviar individualmente.
O EN apresenta uma noção de estabilidade estratégica.
Definição: O perfil (si*,s-i
*) é um EN se, para todo jogador i, tem-se que:
Ui(si*,s-i
*) > Ui(si,s-i*),
para todo si.
Definição alternativa A função (ou correspondência) de melhor resposta atribui, a
cada possível combinação de estratégias dos oponentes s-i, a(s) melhor(es) resposta(s) si(s-i). Isto é:
EN é uma situação onde:si
*=si(s-i*),
para todo i.
Formalmente, torna a busca por equilíbrio um problema de “ponto fixo”
iiss
ii ssUssi
,maxarg
Exemplo 1
2
1
E C D
A 1,2 3,4 3,3
B 2,3 3,1 4,2
Exemplo 2Dilema dos prisioneiros
2
1
NC C
NC -1,-1 -9,0
C 0,-9 -6,-6
Exemplo 3Batalha dos sexos
M
H
Fut. Balé
Fut. 2,1 0,0
Balé 0,0 1,2
Exemplo 4Jogo de Coordenação
M
H
Teatro Praia
Teatro 2,2 0,0
Praia 0,0 1,1
Exemplo 5Par ou Ímpar
2
1
Par Ímpar
Par -1,1 1,-1
Ímpar 1,-1 -1,1
Algumas características Todo EN sobrevive à eliminação de estratégias estritamente
dominadas.
Equilíbrios múltiplos podem ocorrer.
Os equilíbrios podem apresentar ineficiência, seja em relação a outro equilíbrio ou a outra alocação.
Nem sempre existem equilíbrios em “estratégias puras”, isto é, que não envolvem aleatoriedade.
Exemplo 6Metade da média
Cada aluno escolhe um inteiro entre 0 e 100, anota o número em um papel com o próprio nome, entregando-o ao professor.
Vencedor: aquele mais se aproximar da metade da média de todos os números.
Exemplo 6(Continuação)
Estratégias estritamente dominadas:
Começe com 100 contra 99? Que tal 99 contra 98?
Equilíbrio de Nash: Qual é?
Resolvendo jogos (iii)
Equilíbrio de Nash(estratégias mistas)
Definição Em muitas situações, faz sentido estender o conjunto de
estratégias, possibilitando aleatoriedade.
Para cada conjunto de estratégias Si, define-se a extensão em
estratégias mistas Si, como o conjunto de medidas de
probabilidade que podem ser definidas sobre Si.
Um EN em estratégias mistas do jogo (N,Si,Ui) é um EN do
jogo estendido (N, Si,Ui).
Existência de equilíbrio
Teorema (Nash, 1950): Todo jogo finito tem, pelo menos, um EN, possivelmente envolvendo estratégias mistas.
O resultado acima pode ser estendido em várias direções.
ExemploPar ou Ímpar
2
1
Par Ímpar
Par -1,1 1,-1
Ímpar 1,-1 -1,1
p
1 - p
q 1 - q
Há equilíbrio de Nash em estratégias puras?
Calculando o EN em estratégias mistas Fixada a estratégia de 2 em q, temos as seguintes
opções para o jogador 1: Par: q(-1) + (1 - q) = 1 - 2q Ímpar: q + (1 - q)(-1) = 2q - 1
Fixada a estratégia de 1 em p, temos as seguintes opções para o jogador 2: Par: p + (1 - p)(-1) = 2p - 1 Ímpar: p(-1) + (1 - p) = 1 - 2p
Função de melhor resposta
q
p
1
0 11/2
1/22
1EN
Evidência empírica Levitt, S. P.A. Chiappori e T. Groseclose (2002) “A Test of
Mixed Strategy Equilibria: Penalty Kicks in Soccer.” American Economic Review, 92: 1138-1151.
Utilizam dados das 459 disputas de pênalti dos campeonatos francês (1997-1999) e italiano (1997-2000).
Resultados são compatíveis com a adoção de estratégias mistas.
Espírito crítico quanto à pesquisa: vocês acham este resultado interessante? Por que sim? Por que não?
Conceitos de solução
Para que queremos resolver jogos? Para fazer alguma previsão sobre o mundo!
Vimos vários conceitos. Um trade-off aparece constantemente: Força da previsão contra capacidade de prever
algo Por enquanto três conceitos básicos
Solução 1: Eliminação de Estratégias Estritamente Dominadas
Ótima previsão, mas não prevê muitas vezesSolução 2: Equilíbrio de Nash em Estratégias Puras
Previsão não tão boa mas faz previsões mais vezes
Solução 3: Equilíbrio de Nash em Estratégias Mistas
Previsão ainda mais pobre mas (quase) sempre faz alguma previsão inteligente
Revisão
Principais conceitos e definições
Revisão
Jogo estático
“Common knowledge”
Conceitos de solução
Eliminação de estratégias estritamente dominadas
Equilíbrio de Nash
Estratégias mistas