Download - Test de Heterogeneidad
ERROR FUNDAMENTAL DEL
MUESTREO
N° DE FRAGMENTOS DE ROCA (NFR)
N° DE FRAGMENTOS DEL ELEMENTO DE INTERÉS (NFEI)
LEY REAL = NFEI/NFR
EFM (i) = LEY REAL - LEY OBSERVADA (i)
LEY OBSERVADA = NFEI(i)/NFR(i)
Media de EFM = 0
Varianza de EFM = Varianza del Error
Fundamental del Muestreo
LA FORMULA DE PIERRE GY
• La formula de Pierre Gy proporciona, en el caso de
material fragmentado, la VARIANZA RELATIVA DEL
ERROR FUNDAMENTAL DEL MUESTREO (la varianza
relativa corresponde a la varianza del error fundamental
dividida por la ley media del lote elevada al cuadrado,
luego es una varianza sin dimensión).
• Es una aproximación a la formula original
• Muestra debilidades en rangos ppm
3
2
2
211
CdMMX
Ss
LSi
i
FE
ERROR FUNDAMENTAL
• EL ERROR FUNDAMENTAL (EF) ES GENERADO POR LA HETEROGENEIDAD DE CONSTITUCIÓN (HC).
• LA HC REPRESENTA LA VARIABILIDAD EN EL CONTENIDO DEL ELEMENTO DE INTERÉS ENTRE FRAGMENTOS INDIVIDUALES.
• EL EF ES DEPENDIENTE DE:
• PESO DE LA MUESTRA
• TAMAÑO MÁXIMO DE LOS FRAGMENTOS PARA UN DETERMINADO ESTADO DE CONMINUCIÓN
• CONTENIDO PROMEDIO DEL ELEMENTO EN EL LOTE
• GRADO DE LIBERACIÓN DE LOS MINERALES QUE CONTIENEN EL ELEMENTO DE NUESTRO INTERES
• FORMA Y DENSIDAD DE LOS FRAGMENTOS
• MINERALOGIA
VARIANZA DEL ERROR
FUNDAMENTAL
3211
CdMM
sLS
FE
MS = Peso de la muestra, en gramos, en cualquier etapa del muestreo.
ML = Peso del lote, en gramos, del cual se extrae la muestra.
C = Constante de muestreo. Este es nuestro objetivo.
d = Tamaño máximo de la partícula expresado en cm.
S2FE = Varianza del error fundamental
VARIANZA DEL ERROR
FUNDAMENTAL
2
2
2
i
i
FE
X
SS
S2i = Varianza ponderada de los resultados obtenidos de la fracción seleccionada
X2i = Promedio ponderado de los resultados obtenidos en la fracción seleccionada.
CONSTANTE DE MUESTREO
fgclC
f = factor de forma de las partículas
g = factor dependiente de la distribución de tamaños
c = Factor de constitución mineralógica (gr./cc)
l = Factor de liberación
C = Constante de muestreo d
dl l
dl = Tamaño de liberación de las partículas del elemento de interés
d = Tamaño máximo de la partícula expresado en cms.
PROCEDIMIENTO
EXPERIMENTAL
• Preparar muestra de 250 Kg.
• Preparar muestra para estudio mineralógico
• Secar la muestra a 110°C
• Chancar toda la muestra a -3/4”
• Tamizar toda la muestra a ¾”, ½”, ¼”, 10#, 24# y 65#
• Pesar y registrar cada fracción
• Distribuir la fracción -½” +¼” en una superficie
• De esta fracción elegir 64 o 100 muestras
• Cada muestra debe estar compuesta por 35 fragmentos seleccionados al azar de uno en uno.
• Numerar las muestras de 1 a 64 o de 1 a 100 y pesar
• Pulverizar cada muestra en un molino cerrado de anillo y “tejo” a 95% -150#
• Realizar análisis químico de cada muestra. Usar ensaye a fuego con finalización gravimétrica para el oro.
• Chancar las fracciones + ¾”, - ¾”, + ½”, ¼”, el material
PROPÓSITOS
• Determinar experimentalmente la varianza del error fundamental en
función de la granulometría del “Top size” y el peso de la muestra
seleccionada.
• Calcular el error fundamental total del protocolo de muestreo de
pozos de tronadura.
• Si es necesario, optimizar el protocolo.
• Estudiar la influencia de los errores de segregación y agrupamiento.
• Determinar la precisión y exactitud del análisis químico. El método
analítico usado en este caso es Absorción Atómica.
• Calcular el valor del factor de liberación en función de la
granulometría.
DATOS INICIALES
• Se ha extraído una muestra de 587,15 Kg.
• La muestra se ha obtenido desde las paredes de los bancos en donde la unidad CASO DE ESTUDIO aflora.
• Mediante líneas de muestreo, se han tomado 60 incrementos del orden de 10 Kg. cada uno.
• La muestra se ha almacenado en tambores de 200 litros, sellados y posteriormente ha sido trasladada al laboratorio.
• La muestra se ha chancado 100% -2” y se ha tamizado.
• Los granulometrías utilizadas han sido +25.4 mm, -25.4 +9.4 mm, -9.4 +4.7 mm y -4.7 mm
• Todas estas fracciones granulométricas se han pesado.
• El test de heterogeneidad se ha efectuado usando la fracción -25.4 +9.4.
• Las fracciones restantes se han procesado en quintuplicado ( +25.4) y en cuadruplicado.
EVALUAR VIABILIDAD DEL
TEST
GRANULO
METRIA mm
CUT A
%
CUT B
%
PESO
%
1 A + 25.4 1.05 1.05
2 A +25.4 1.02 1.05
3 A +25.4 1.03 1.06
4 A +25.4 1.05 1.04
5 A +25.4 1.04 1.05
52.80
1 B -25.4 +9.4 1.044 1.036 30.48
1 C -9.4 +4.7 1.12 1.11
2 C -9.4 +4.7 1.18 1.19
3 C -9.4 +4.7 1.18 1.17
4 C -9.4 +4.7 1.17 1.08
8.43
1 D - 4.7 1.63 1.62
2 D - 4.7 1.57 1.57
3 D - 4.7 1.52 1.54
4 D - 4.7 1.55 1.50
8.29
PESO INICIAL = 587.15 Kg.
PESO FINAL = 575.5 Kg.
PERDIDAS = 11.65 Kg.
Muestra Granulometría Ley A Ley B % Peso
CONCLUSIÓN PRELIMINAR I
• La ley de cobre aumenta en las fracciones finas. Este
aumento no invalida el test de heterogeneidad pues la
razón entre las leyes de las fracciones finas y las leyes
de las fracciones gruesas es bastante menor que 5,
efectivamente tomemos la menor ley de la fracción
gruesa y la mayor de la fracción fina.
598.102.1
63.1R
CONCLUSIÓN PRELIMINAR II
• A medida que la granulometría decrece la probabilidad
de cometer errores de segregación y/o de agrupamiento
y/o de delimitación y/o de extracción aumenta.
• La tabla siguiente muestra los estadísticos de posición y
dispersión entre los cuadruplicados al interior de cada
fracción granulométrica
FRACCION
GRANULOME-
TRICA mm
MEDIA
% Cut
DESVIACION ESTANDAR
% Cut
CV
%
+ 25.4 1.038 0.01304 1.26
-9.4 +4.7 1.163 0.0287 2.47
-4.7 1.568 0.0465 2.97
Fracción Ley Media
de A (%)
Coeficiente de
Variación (%)
Desviación
Estándar de A (%)
CONCLUSIÓN PRELIMINAR III
• El error de estimación entre cuadruplicados aumenta
notablemente cuando la granulometría disminuye.
• En este caso la componente principal del error es
probablemente de segregación y agrupamiento.
• Es importante entonces minimizar este error en las
etapas de reducción de peso homogeneizando, pero
principalmente, aumentando él numero de incrementos,
particularmente en granulometrías finas.
• Se debe tener especial cuidado en la etapa de selección
de la muestra para el análisis.
CONCLUSIÓN PRELIMINAR IV
• Las perdidas en el proceso de preparación del test alcanzan a 11.65
kilos.
• Esto representa casi un 2% del total y muy probablemente el
material perdido pertenece a las fracciones mas finas.
• Note por favor que a pesar de tratar con sumo cuidado la muestra
igual se ha producido el efecto de perdida de finos .
• La influencia de la perdida de finos es función de su ley y su peso.
Si los finos perdidos tuvieran una ley de 3 %, la perdida del 2% en
peso de la muestra seria inaceptable pues induce un sesgo del
orden de 4 %. Este error pertenece a la familia del “Error de
Preparación”.
SELECCIÓN DE LAS MUESTRAS
• Como se ha mencionado anteriormente el test de
heterogeneidad se ha efectuado usando la fracción -
25.4 mm + 9.4 mm.
• 60 muestras compuestas por 15 fragmentos cada una.
• Estos fragmentos fueron elegidos al azar de uno en uno.
El objetivo de esto es eliminar los errores de
segregación, agrupamiento, delimitación y extracción.
• No olvide que el propósito del test es determinar el error
fundamental.
REFLEXIONES SOBRE LOS
RESULTADOS AQ
• A la granulometría que se efectúo el test la distribución de la ley de las muestras no es normal. La distribución es asimétrica, mas parecida a una log-normal de tal manera que la moda no coincide con la media.
• Lo anterior se debe a que las muestras elegidas son bastante pequeñas. Efectivamente el peso promedio de ellas es de 121.822 gramos y el peso del lote a estimar, es decir la reunión de las 60 muestras, es de 7309.3 gramos. Este ejemplo ilustra muy bien lo peligroso que resulta un esquema que no minimice el error fundamental.
• Efectivamente al no coincidir la media con la moda, es decir con el valor mas probable, se corre un alto riesgo de efectuar estimaciones sesgadas.
• En el caso presente 20 veces subestimaremos la ley, 16 veces estimaremos la ley del lote con una precisión aceptable y 24 veces sobrestimaremos la ley del lote. En resumen nuestro muestreo andará mal el 73 % del tiempo.
• Esto es particularmente grave si se toman decisiones importantes basadas en la ley de una muestra aislada.
REFLEXIONES SOBRE LOS
RESULTADOS DE LAS MASAS
• Puede observarse que el peso de las muestras se
distribuye normalmente.
• Sin embargo es preciso destacar que este es bastante
variable.
• Varia entre 45 y 177 gramos. Esto se debe a que la
diferencia entre los tamices utilizados es grande.
• En próximos tests esta diferencia debe disminuirse o
elegir los fragmentos de manera equiprobable pero
condicionando la elección a que el peso de las muestras
sea mas o menos constante.
CÁLCULO DEL ERROR
FUNDAMENTAL
• El test efectuado permite calcular la varianza de error
fundamental al representar un lote de 7309.3 gramos
por una muestra de 121.822 gramos.
3
2
2
211
CdMMX
Ss
LSi
i
FE
0333.02 S
0443.1x
%17017.0 x
S
03054.00443.1
0333.022
2
x
S
CÁLCULO DE LA CONSTANTE
DE MUESTREO
3049.2**)3.7309
1
822.121
1(03054.0 C
6025.8**00807189.003054.0 C
439813.000807189.0*6025.8
03054.0C
629563.0049.2*439813.0
049.2439813.0
k
k
CONSTANTE DE MUESTREO
PARA VARIOS TAMAÑOS
ddC
629563.0)(
“Top Size” d (cm) C(d) (gr./cc)
20 0.140775
10 0.199085
5 0.28155
2.049 0.439813
1.27 0.558647
0.635 0.790046
0.3175 1.117294
0.1 1.990853
0.014986 (100#) 5.142761
CONSTRUCCIÓN NOMOGRAMA
DE MUESTREO
• En base a lo anterior podemos ahora construir el
diagrama de muestreo.
• Este consiste en dibujar los resultados en un gráfico log-
log en que el eje Y representa la varianza relativa del
error fundamental y el eje de las x representa el peso de
la muestra extraída.
• Para el tamaño d=2.049 cm. La constante de muestreo
es 0.439813, por lo tanto:
mx
S 3
2
2 )049.2(*439813.0
049.27835017.3
2
2
dmx
S
• Es claro que en un gráfico log-log esta expresión esta
representada por una recta. En general a cada d le
corresponde una recta. Todas estas son paralelas. Note
que hemos despreciado en la formula él termino que
considera el peso del lote ya que este tiende a cero
porque en general dicho peso es grande.
• Calculemos tres puntos y dibujemos la recta que
corresponde al top size d=2.049
•
CONSTRUCCIÓN NOMOGRAMA
DE MUESTREO
)log()log(3))(log()log(2
2
mddCx
S
PESO DE MUESTRA - VARIANZA
DEL ERROR FUNDAMENTAL -
PRECISIÓN
PESO DE MUESTRA
(Gramos)
VARIANZA DE ERROR
FUNDAMENTAL
PRECISION
% (*)
10 0.37835 61.51
100 0.037835 19.45
1000 0.003784 6.15
2
2
*100x
SP
037835.0100
7835017.32
2
x
S
• De esta manera se dibuja en el diagrama de muestreo la recta
correspondiente a d=2.049.
• Por ejemplo, los resultados obtenidos indican que al representar un
lote, donde los fragmentos mayores tienen un tamaño de 2 cm, una
muestra de 1000 gramos presenta un error fundamental relativo de
6.15 %.
• Si la ley del lote es de 1% dicho error significa que la muestra
presentara leyes entre 0.8155 % y 1.1845 % al 95 % de confianza.
• Los puntos calculados se dibujan en el diagrama de muestreo y se
obtiene la recta correspondiente. Hemos hecho esto para varios d,
la figura siguiente muestra la familia de rectas obtenidas.