AUTORITÀ DI BACINO REGIONALE SINISTRA SELE
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BACINO IDROGRAFICO DEL TORRENTE LA FIUMARELLA RELAZIONE IDROLOGICA
PIANO STRALCIO PER L’ASSETTO IDROGEOLOGICO - AGGIOR NAMENTO (2012) RISCHIO IDRAULICO
Segreteria Tecnica Operativa AREA TECNICA AREA AMMINISTRATIVA - Ing. Manlio Mugnani - Dott. Vincenzo Liguori - Ing. Elisabetta Romano - Dott. comm. Angelo Padovano - Ing. Massimo Verrone - Arch. Vincenzo Andreola - Arch. Carlo Banco - Arch. Antonio Tedesco - Geol. Saverio Maietta - Geom. Giuseppe Taddeo
Consulente Specialistico - Ing. Raffaella Napoli Supporto Specialistico - Ing. Claudia Musella - Ing. Claudia Palma
Il Responsabile del Procedimento - Ing. Raffaele Doto
Consulente Scientifico - Prof. ing. Domenico Pianese - Prof. geol. Domenico Guida
Data: Marzo 2012 Il Commissario Straordinario Avv. Luigi Stefano Sorvino
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1. PREMESSA .................................................................................................1
2. VALUTAZIONE DELLE MASSIME PORTATE DI PIENA
NATURALI-METODO VAPI ...............................................................................3
2.1 Generalità ......................................... ..................................................3
2.2 Valutazione del fattore regionale di crescita ...... .............................4
2.3 Valutazione della piena media annua m(Q) ........... ..........................5
2.3.1 Criteri di stima ...........................................................................5
2.3.2 Il modello geomorfoclimatico.....................................................7
2.3.2.1 Ipotesi di base .................................................................7
2.3.2.2 Caratteristiche morfometriche ed altimetriche dei bacini
idrografici.........................................................................9
2.3.2.3 La legge di probabilità pluviometrica areale ...................11
2.3.2.4 I parametri del modello geomorfoclimatico.....................13
2.3.2.5 La piena media annua ...................................................16
3. STIMA DELL’IDROGRAMMA DI PIENA ...................................................18
3.1 Definizione del pluviogramma ....................... .................................18
3.1.1 Bacino a parametri concentrati................................................18
3.1.2 Bacino a rappresentazione semi-distribuita.............................21
3.2 Valutazione dell’idrogramma di piena............... .............................23
3.2.1 Stima del pluviogramma di progetto per ogni sezione.............24
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Indice
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3.2.2 Stima dell'idrogramma di progetto per ogni sezione................24
4. RISULTATI ....................................................................................................26
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Studio idrologico 1
1. PREMESSA
L’attività in questione prende origine dallo studio idrologico allegato al
Piano per l’Assetto Idrogeologico redatto, in conformità alle specifiche tecniche
a base dello stesso Piano, secondo i criteri proposti nel “Rapporto VAPI
Campania” del C.N.R. – G.N.D.C.I., e ne rappresenta un approfondimento ed
integrazione. Così come previsto nelle specifiche tecniche allegate alla
convenzione, tale approfondimento è stato sviluppato utilizzando la stessa
metodologia e gli stessi criteri sopra menzionati.
Avendo esaminato con attenzione le risultanze dello studio idrologico
allegato al PAI, assolutamente conformi rispetto alla metodologia applicata,
sembra qui opportuno porre l’accento sulla peculiarità dei bacini di interesse,
che ha richiesto un approfondimento in termini di valutazione delle
caratteristiche di permeabilità. Questo passaggio è stato ritenuto di
fondamentale importanza visto l’obiettivo che ci si pone di definire in via
preliminare le opere di mitigazione del rischio per le aree di interesse.
A tal fine, i tecnici dell’Autorità di Bacino hanno provveduto, sotto la
supervisione ed il controllo del Responsabile Scientifico per gli aspetti geologici
e geomorfologici delle attività in oggetto, alla revisione della carta della
permeabilità. Tale revisione ha avuto come risultato la redazione di tre differenti
carte di base, definite rispetto a tre differenti livelli di permeabilità: “minima”,
“media”, “massima”.
I calcoli idrologici, sviluppati, come detto innanzi, utilizzando il metodo
VAPI, sono stati effettuati in corrispondenza dei valori di permeabilità relativi
alle tre ipotesi suddette (cfr. grafici riportati in allegato alla presente relazione).
Per il prosieguo dello studio si è ritenuto, di concerto con i Responsabili
Scientifici, di fare riferimento ai risultati ottenuti utilizzando come dati di base i
valori relativi al livello di permeabilità “media”.
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Studio idrologico 2
Di seguito si espone la metodologia VAPI adottata per il calcolo
della massima portata di piena relativa a differenti periodi di ritorno (capitolo 2)
e del relativo idrogramma di piena (capitolo 3).
Nel capitolo 4 sono descritti i risultati ottenuti, riportati in allegato in
formato grafico e tabellare.
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Studio idrologico 3
2. VALUTAZIONE DELLE MASSIME PORTATE DI PIENA
NATURALI-METODO VAPI
2.1 Generalità
L’analisi idrologica dei valori estremi delle precipitazioni e delle piene in
Campania è stata effettuata nel Rapporto VAPI Campania attraverso una
metodologia di analisi regionale di tipo gerarchico, basata sull’uso della
distribuzione di probabilità del valore estremo a doppia componente
(TCEV - Two Component Extreme Value). Tale procedura si basa sulla
considerazione che esistono zone geografiche via via più ampie che possono
considerarsi omogenee nei confronti dei parametri statistici della distribuzione,
man mano che il loro ordine aumenta.
Indicando con Q il massimo annuale della portata al colmo e con T il
periodo di ritorno, cioè l’intervallo di tempo durante il quale si accetta che
l’evento di piena possa verificarsi mediamente una volta, la massima portata di
piena QT corrispondente al prefissato periodo di ritorno T, può essere valutata
come:
)m(QKQ TT ⋅= (1)
dove:
− m(Q) = media della distribuzione dei massimi annuali della portata di piena
(piena indice).
− KT = fattore probabilistico di crescita, pari al rapporto tra QT e la piena indice.
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Per quanto attiene alla valutazione del fattore regionale di
crescita, il rapporto VAPI propone la formulazione riportata al paragrafo 2.3.2
che segue. Per la valutazione di m(Q), vengono invece indicate quattro
differenti metodologie, due di tipo diretto, basate su formule monomie in cui la
portata dipende essenzialmente dall’area del bacino, e due di tipo indiretto (la
formula razionale e il modello geomorfoclimatico) in cui la piena indice viene
valutata a partire dalle piogge e dipende in maniera più articolata dalle
caratteristiche geomorfologiche del bacino (area, percentuale impermeabile,
copertura boschiva).
Di seguito, al paragrafo 2.3.2 è stato descritto in dettaglio il modello
geomorfoclimatico.
2.2 Valutazione del fattore regionale di crescita
Nell’ambito del Progetto VAPI del G.N.D.C.I./C.N.R. il territorio nazionale
è stato suddiviso in aree idrologicamente omogenee, caratterizzate pertanto da
un’unica distribuzione di probabilità delle piene annuali rapportate al valore
medio (legge regionale di crescita con il periodo di ritorno KT(T)).
L’indagine regionale volta alla determinazione di tale legge è stata svolta
per la regione Campania nel Rapporto VAPI Campania sopra menzionato. I
risultati sono stati ottenuti sotto forma di una relazione tra KT e T esplicitata
come:
( )TT KK 230,0923,00202.011,13exp1
1T
⋅−⋅−−= (2)
Questa relazione può essere valutata in prima approssimazione
attraverso la seguente:
LnT680,00545,0K T ⋅+−= (3)
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con un errore inferiore al 5% per T≥10 anni.
Nella tabella A che segue sono riportati, per diversi periodi di ritorno, i
valori di KT ottenuti dall’equazione (3).
T (anni) KT
2 0.87
5 1.29
10 1.63
20 2.03
30 2.26
50 2.61
100 3.07
300 3.83
500 4.17
1000 4.64
Tabella A– Legge regionale di crescita delle portate per la regione Campania
2.3 Valutazione della piena media annua m(Q)
2.3.1 Criteri di stima
La piena media annua m(Q) è caratterizzata da una elevata variabilità
spaziale che può essere spiegata, almeno in parte, ricorrendo a fattori climatici
e geomorfologici.
E’ dunque in genere necessario ricostruire modelli che consentano di
mettere in relazione m(Q) con i valori assunti da grandezze caratteristiche del
bacino.
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Quando manchino dati di portata direttamente misurati nelle
sezioni di interesse, l’identificazione di tali modelli può essere ottenuta
sostanzialmente attraverso due diverse metodologie:
− approcci di tipo puramente empirico, del tipo m(Q) = a⋅Ab (con A = superficie
del bacino);
− approcci che si basano su modelli in cui la piena media annua viene valutata
con parametri che tengano conto delle precipitazioni massime sul bacino e
delle caratteristiche geomorfologiche (modelli geomorfoclimatici).
Il Rapporto VAPI Campania ha provveduto alla stima dei parametri sia
per modelli empirici di vario tipo che per il modello geomorfoclimatico.
Tali parametri sono stati stimati utilizzando i dati di 12 delle 22 stazioni
idrometriche presenti in Campania, corrispondenti a bacini di estensione
variabile tra 95 Km2 (Tusciano ed Olevano) e 5542 Km2 (Volturno e Ponte
Annibale).
In quanto segue, mancando dati di misura di portata nelle sezioni di
interesse, il calcolo della portata media annua al colmo di piena è stato
effettuato in via indiretta, in accordo con la metodologia proposta dal VAPI, a
partire dalle precipitazioni intense e in particolare con il “modello
geomorfoclimatico”, stimando m(Q) come una frazione della massima intensità
di pioggia che può verificarsi sul bacino dipendente dalle caratteristiche
geomorfologiche dello stesso.
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2.3.2 Il modello geomorfoclimatico
2.3.2.1 Ipotesi di base
Ad eventi di pioggia brevi ed intensi corrispondono, di solito, deflussi di
piena nella sezione terminale del bacino dovuti essenzialmente allo scorrimento
delle acque sui versanti e nei canali della rete idrografica.
Il bilancio idrologico di un bacino durante i fenomeni di piena può
pertanto essere schematizzato considerando che fra i volumi in ingresso e
quelli in uscita si stabilisce una relazione per effetto di una concomitante
trasformazione dei due sottosistemi da cui è costituito il bacino:
− sui versanti, un’aliquota delle precipitazioni totali viene persa a causa del
fenomeno dell’infiltrazione e quindi ai fini del bilancio di piena nella sezione
finale contribuisce soltanto una parte delle precipitazioni totali, definita
pioggia “efficace”;
− nella rete idrografica, l’aliquota delle piogge efficaci derivante dai versanti
viene invasata e trasportata alla sezione di sbocco a costituire l’idrogramma
di piena, che si manifesta con un certo ritardo nei confronti del
pluviogramma che lo ha causato.
Per definire l’effetto dei versanti sulla determinazione della pioggia
“efficace” si definisce coefficiente di afflusso di piena Cf il rapporto tra i volumi di
piena e le precipitazioni totali sul bacino in un prefissato intervallo di tempo.
Per tenere conto del ritardo con cui l’idrogramma di piena si manifesta
nella sezione di chiusura di un bacino rispetto al pluviogramma che lo ha
determinato, è necessario definire una funzione di risposta del bacino stesso ad
un ingresso impulsivo unitario detto anche idrogramma unitario istantaneo o
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IUH. Per pluviogramma di forma rettangolare, con durata ed intensità in
accordo con la legge di probabilità pluviometrica sul bacino m[IA(d)],
l’idrogramma di piena corrispondente ha ordinata al colmo proporzionale
all’intensità di pioggia per mezzo di un coefficiente di attenuazione di piena S(d)
o funzione di picco ( ) ( )∫ −=
d
dtp
dtudS τ in cui ( )τu è l’idrogramma unitario
istantaneo, tp è l’istante in cui si manifesta il colmo di piena, misurato a partire
dal momento di inizio della pioggia.
La forma assunta da S(d) dipende sostanzialmente dal tempo di ritardo
del reticolo idrografico tr, definito come intervallo temporale che intercorre tra il
baricentro del pluviogramma e quello dell’idrogramma corrispondente.
Definita la funzione S(d), la portata al colmo di piena per unità di area
dipende in maniera proporzionale dal prodotto m[IA(d)] S(d), in cui
all’aumentare di d il primo termine diminuisce mentre il secondo aumenta. Il
valore della durata d per cui tale prodotto risulta massimo viene definito durata
critica del bacino dc.
Il massimo annuale della portata al colmo di piena, che si verifica dunque
per eventi di durata dc, viene definito come:
( ) ( ) ( )[ ]cAcf dImdSACQm ⋅⋅⋅= (4)
La (4) può essere riscritta come:
( ) [ ]6.3
A)t(ImqCQm rAf ⋅⋅⋅= (5)
in cui
− tr = tempo di ritardo del bacino, in ore;
− Cf = coefficiente di deflusso, caratteristico del bacino;
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− m[IA(tr)] = media del massimo annuale dell’intensità di pioggia areale
di durata pari al tempo di ritardo tr del bacino, in mm/ora;
− A = area del bacino, in km2;
− q = coefficiente di attenuazione del colmo di piena
Seguendo l’approccio sopra definito, per lo studio del bacino e per
valutare la media dei massimi annuali della portata al colmo di piena m(Q),
risulta in definitiva necessario:
− determinare le caratteristiche morfologiche ed altimetriche dei bacini
idrografici;
− definire la legge di probabilità pluviometrica areale m[IA(d)];
− calcolare i parametri del modello geomorfoclimatico Cf e tr.
2.3.2.2 Caratteristiche morfometriche ed altimetriche dei bacini idrografici
Ogni bacino è caratterizzato morfologicamente ed altimetricamente
attraverso la definizione di una serie di grandezze. Precisamente sono state
sono state considerate le seguenti caratteristiche geometriche:
− la superficie del bacino;
− la lunghezza dell’asta principale;
− la quota minima coincidente con la sezione di chiusura del bacino;
− l’altitudine massima del bacino riferita al livello medio del mare;
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− l’altitudine media, definita come il valore medio della curva
ipsografica.
2.3.2.2.1. Altitudine media e Curva ipsografica
Per valutare l’altezza media di un bacino si divide tutta la superficie A in
aree parziali Ai comprese tra due curve di livello fra di loro non troppo distanti, in
modo da ritenere l’altezza hi della fascia uguale alla media dei valori delle due
curve di livello che la limitano. Si suppone cioè che in quel breve tratto la
pendenza sia costante. Si misurano, poi, le aree delle superfici parziali Ai.
L’altezza media hm del bacino è la media ponderata delle altezze medie delle
superfici parziali, cioè:
A
Ahh ii
m∑ ⋅
= (6)
Essa rappresenta il valore medio della curva ipsografica; in particolare, è
data dall’area compresa tra la curva ipsografica e gli assi coordinati divisa per
l’area dell’intero bacino.
Pertanto nello studio del bacino si costruisce anche la curva ipsografica,
che rappresenta la ripartizione delle aree topografiche nelle varie fasce
altimetriche. Essa si traccia considerando la successione dei valori delle
superfici poste al di sopra di prefissati valori delle quote. La curva ipsografica
permette anche di determinare l’estensione del bacino al di sopra o al di sotto di
una certa quota.
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2.3.2.3 La legge di probabilità pluviometrica areale
La legge di probabilità pluviometrica areale consente di conoscere come
varia la media del massimo annuale dell’altezza di pioggia ( )[ ]dhm A in funzione
della durata d e dell’area del bacino A.
Nota la legge ( )[ ]dhm A , è possibile definire la media dei massimi annuali
dell’intensità di pioggia areale come
( )[ ] ( )[ ] d/dhmdIm AA = (7)
La metodologia comunemente impiegata consiste nell’ottenere la media
del massimo annuale dell’altezza di pioggia areale m [hA(d)] dalla media del
massimo annuale dell’altezza di pioggia puntuale m[h(d)] attraverso un fattore
di ragguaglio noto come coefficiente di riduzione areale KA(d) come:
m [hA(d)] = KA(d)⋅ m[h(d)] (8)
Per definire la m [hA(d)] risulta dunque necessario:
− definire la legge di probabilità pluviometrica m [h(d)];
− calcolare il coefficiente di riduzione areale.
2.3.2.3.1. La legge di probabilità pluviometrica
Per la stima della legge di probabilità pluviometrica, che definisce
appunto la variazione della media del massimo annuale dell’altezza di pioggia
con la durata, il Rapporto VAPI Campania fa sostanzialmente riferimento a leggi
a quattro parametri del tipo:
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( )[ ] [ ]zDC
c
0
dd
1
dImdhm ⋅−
+
⋅= (9)
in cui m[I0] rappresenta il limite dell’intensità di pioggia per d che tende a 0.
Nel Rapporto VAPI Campania i parametri della suddetta legge sono stati
determinati, per sei aree ritenute omogenee dal punto di vista pluviometrico,
attraverso una procedura di stima regionale utilizzando i dati di 44 stazioni
pluviografiche con più di 10 anni di osservazioni, ed in particolare:
• i massimi annuali delle altezze di pioggia in intervalli di 1, 3, 6, 12 e 24
ore;
• le altezze di pioggia relative ad eventi di notevole intensità e breve
durata, che il SIMN non certifica come massimi annuali.
Area
omogenea
n. stazioni m(I0)
(mm/ora)
dc
(ore)
C D*105 ρρρρ2
1 14 77.08 0.3661 0.7995 3.6077 0.9994
2 12 83.75 0.3312 0.7031 7.7381 0.9991
3 5 116.7 0.0976 0.7360 8.7300 0.9980
4 3 78.61 0.3846 0.8100 24.874 0.9930
5 6 231.8 0.0508 0.8351 10.800 0.9993
6 4 87.87 0.2205 0.7265 8.8476 0.9969
Tabella B – Parametri statistici delle leggi di probabilità pluviometriche regionali per ogni area
pluviometrica omogenea
2.3.2.3.1 Il coefficiente di riduzione areale
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Il fattore di riduzione areale viene ritenuto costante al variare del
periodo di ritorno, e pari a:
( )[ ])dcexp()Acexp(11)d(K 3c21A ⋅⋅⋅−−−= (10)
con:
− A = area del bacino, in km2;
− c1 = 0.0021;
− c2 = 0.53;
− c3 = 0.25;
Per i bacini molto piccoli KA è praticamente pari ad 1.
2.3.2.4 I parametri del modello geomorfoclimatico
Nel Rapporto VAPI Campania il territorio campano è stato suddiviso in
complessi idrogeologici costituiti da litotipi che, pur diversi, mantengono un
identico comportamento nei confronti dell’infiltrazione, della percolazione e della
circolazione dell’acqua nel sottosuolo. Questi complessi sono stati accorpati
nelle seguenti cinque classi in base alle caratteristiche di permeabilità:
1. classe A (alta capacità di permeabilità), in essa sono inclusi quasi
esclusivamente i calcari per la loro elevatissima capacità di infiltrazione
dovuta all’alto grado di permeabilità per fessurazione e carsismo che li
caratterizza ;
2. classe MA (capacità di permeabilità medio-alta),che ingloba,quasi
esclusivamente, le dolomie. Questo litotipo, che costituisce la base
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affiorante di quasi tutti i massicci carbonatici campani, ha un grado di
permeabilità inferiore a quello dei calcari;
3. classe M (media capacità di permeabilità), comprendente i detriti di falda e
di conoide, i depositi alluvionali e il complesso delle lave;
4. classe MB (capacità di permeabilità medio-bassa), ad essa appartengono i
complessi sabbioso- conglomeratico pliocenico, arenaceo-breccioso
miocenico, piroclastico, calcareo-siliceo e fluvio-lacustre e lacustre;
5. classe B (bassa capacità di permeabilità),comprendente tutti i depositi
prevalentemente argillosi che, a scala regionale, possono considerarsi per lo
più impermeabili.
Sempre ai fini dei deflussi di piena, è stato mostrato inoltre che una certa
influenza viene esercitata anche dalla presenza di copertura boschiva,
essenzialmente in funzione del tipo di permeabilità del terreno interessato.
La metodologia proposta dal VAPI Campania per la valutazione dei
parametri del modello geomorfoclimatico, e cioè del coefficiente di deflusso Cf e
del tempo di ritardo del bacino tr, assume alla base la suddivisione di ogni
bacino complessi omogenei dal punto di vista idrogeologico.
In particolare, l’intero territorio, è stato suddiviso in:
− le aree permeabili con copertura boschiva, indicate con A3;
− le aree permeabili senza copertura boschiva, indicate con A1;
− le aree a bassa permeabilità, indicate con A2.
2.3.2.4.1 Il coefficiente di deflusso Cf
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Dato il significato del coefficiente di deflusso, l’ipotesi più
semplice per la sua stima consiste nell’assumere che esista un valore di Cf per
ogni singolo complesso omogeneo e nel considerare il valore globale come la
media pesata di tali valori caratteristici.
Adottando, invece, il metodo geomorfoclimatico, risulta:
A
AC
A
AC
A
ACC 3
3f2
2f1
1ff ++= (11)
Nel Rapporto VAPI Campania sono stati stimati per Cf1, Cf2 e Cf3 i
seguenti valori:
• Cf1 = coefficiente di afflusso dell’area permeabile senza
bosco = 0.42;
• Cf2 = coefficiente di afflusso dell’area impermeabile = 0.56
• Cf3 = coefficiente di afflusso dell’area permeabile con copertura
boschiva = 0.00
2.3.2.4.2 Il tempo di ritardo tr
Adottando il metodo geomorfoclimatico, il tempo di ritardo può essere calcolato
come media pesata del ritardo medio di ognuno dei complessi idrogeologici
eterogenei:
22f
22f1
1f
11fr A
c6.325.1
ACAC
Ac6.3
25.1ACAC
t⋅⋅
⋅+⋅⋅
⋅= (12)
Nella precedente risultano (dalle stime effettuate nel Rapporto VAPI
Campania):
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− c1 = celerità media di propagazione dell’onda di piena nel reticolo
idrografico relativa alle aree permeabili senza bosco = 0.23 m/s;
− c2 = celerità media di propagazione dell’onda di piena nel reticolo idrografico
relativa alle aree impermeabili = 1.87 m/s.
Per Cf1 e Cf2 valgono i valori descritti al paragrafo precedente (Cf1 = 0.42
e Cf2 = 0.56).
2.3.2.5 La piena media annua
Definita la legge di probabilità pluviometrica areale e calcolati i parametri
Cf e tr, la piena media annua viene calcolata, come detto precedentemente, con
la relazione:
( )[ ]6.3
AtImqC)Q(m rAf ⋅⋅
= (13)
Nella precedente il coefficiente di attenuazione del colmo di piena
dipende in maniera complessa dalla forma della legge di probabilità
pluviometrica e dalla risposta della rete idrografica e consente di tenere conto,
tra l’altro, dell’errore che si commette nell’assumere che la durata critica del
bacino, e cioè la durata della pioggia che causa il massimo annuale del colmo
di piena, sia pari al tempo di ritardo tr del bacino stesso. Esso può essere
valutato, in prima approssimazione, come:
≤+
−⋅+≤
≤+
−⋅+≤
=
65.0dt1
dtAk145.0se65.0
45.0dt1
dtAk125.0se60.0
q
cr
cr1
cr
cr1
β
β
(14)
in cui:
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• β= (C - D⋅z) e dc sono i parametri della legge di probabilità
pluviometrica;
• k1 è un coefficiente numerico pari a 1.44⋅10-4 se l’area A è espressa
in km2 e il tempo di ritardo tr in ore.
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3. STIMA DELL’IDROGRAMMA DI PIENA
3.1 Definizione del pluviogramma
3.1.1 Bacino a parametri concentrati
Per pluviogramma di progetto si intende l'andamento temporale delle
precipitazioni, sparse uniformemente sull'intera area del bacino, che precedono
l'onda di piena nel bacino. Per ogni sezione del bacino, esso viene definito
come un unico evento, per ogni prefissato periodo di ritorno della portata di
piena considerata, istantanea o di assegnata durata. L'andamento temporale e
spaziale di tale evento dipenderà dalle caratteristiche del processo delle
precipitazioni e della risposta del bacino. Sotto l'assunzione di stazionarietà del
processo delle precipitazioni e di linearità della risposta del bacino, è stato
mostrato che uno stimatore onimale, cioè non distorto e di minima varianza
(anche detto BLUE), del pluviogramma di progetto h1(τ). cui corrisponde un
valore della portata al colmo pari a è [Veneziano e Villani, 1999]:
( ) ( ) 10 112)( ττττ
στ duB
mQmh y
q
qT
yT ⋅⋅−−
+= ∫∞
(15.a)
in cui:
− hT(τ) = intensità di afflusso meteorico al bacino;
− my = media del processo delle intensità di precipitazione;
− mq = media del processo derivato dei deflussi superficiali;
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− σ2q = varianza del processo dei deflussi superficiali;
− By(t - τ) = funzione di autocovarianza del processo delle precipitazioni sul
bacino;
− u(t) = funzione di risposta del bacino o idrogramma unitario istantaneo
(IUH).
Analogamente è stato mostrato che uno stimatore ottimale, cioè non
distorto e di minima varianza, del pluviogramma di progetto hD,T(τ), cui
corrisponde un valore massimo della portata pari a QD,T è [Chirico e Villani,
1999]:
( ) ( ) 10 1cD1y2qD
qDT,DyDT,D duB
mQm)(h ττττ
στ ⋅⋅−
−+= ∫
∞ (15.b)
in cui:
− hD,T(τ) = intensità di afflusso meteorico al bacino;
− myD = media del processo yD delle intensità di precipitazione medie in
intervalli di durata D;
− mqD = media del processo derivato qD dei deflussi superficiali medi in
intervalli di durata D;
− σ2q
= varianza del processo qD;
− UcD(t) = risposta volumetrica del bacino ottenuta per convoluzione dell’IUH
del bacino con una funzione gradino unitario, di forma rettangolare, di durata
D e altezza 1/D.
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Le espressioni (15) possono essere semplificate nel caso il
rapporto fra i tempi medi di autocorrelazione del processo delle precipitazioni ed
il tempo di ritardo del bacino sia abbastanza piccolo.
In tal caso, infatti, la (15.a) si scrive:
∫∞
⋅=
0
2TT
d)(u
)(uQ)(h
ττ
ττ (16.a)
mentre la (15.b) diventa:
∫∞
⋅=
0
2D,c
D,cT,DT,D
d)(u
)(uQ)(h
ττ
ττ (16.b)
Al denominatore del secondo membro vi è un fattore numerico, che
dipende solamente dalla forma assunta dalla funzione di risposta del bacino.
Nel caso in questione, si fa riferimento ad un modello Gamma contempo
di semplice operatività, corrispondente al modello concettuale di invasi in serie
di Nash, ed avente supporto teorico le teorie geomorfologiche. Per tale modello,
la risposta del bacino assume la seguente espressione:
−
⋅
Γ=
−
r
1n
rr tt
nexptt
n)n(t
n)t(u (17.a)
in cui Γ(n) è la funzione gamma completa.
In questo studio, e' stato fissato un parametro di forma n = 2, per cui la
(18.a) si riscrive come:
−
⋅=
rrr tt
2exptt
t4
)(u τ (17. b)
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Dati gli usuali valori assunti dal tempo di ritardo (superiori ad 1
ora) e dalla durata di autocorrelazione (inferiore ad 1 ora), si può assumere che
si possa sempre fare riferimento alla formulazione semplificata. In tali ipotesi la
(16.b) si scrive:
hT(τ) = 2 tr QT u(τ) (18.)
con u(τ) espressa dalla (17. b).
A causa del fatto che si trascurano le autocorrelazioni del processo delle
precipitazioni, i pluviogrammi di progetto sono l’esatta immagine speculare
dell’IUH del bacino.
3.1.2 Bacino a rappresentazione semi-distribuita
Si considera un bacino lineare a rappresentazione semi-distribuita, cioè
costituito da n sottobacini con IUH ui(t) (i = 1,2 n). La portata all'istante t è
allora:
∑ ∫=
∞⋅⋅−=
n
1i0 ii d)t(u)t(y)t(q ττ (19.)
in cui yi(t), y2(t), ..., yn(t) sono le serie casuali temporali delle
precipitazioni negli n sottobacini.
In questo caso, il problema è come scegliere in maniera realistica i
pluviogrammi pi(τ) = yi(t-τ) in maniera da rispettare la distribuzione di probabilità
dei massimi annuali delle portate al colmo osservate alla sezione terminale.
Utilizzando la teoria BLUE si ottiene il vettore dei pluviogrammi pBLUE(τ) =
[pBLUE1(τ). PBLUE2(τ) pBLUEn(τ)]T. per cui il pluviogramma dell'i-esimo
sottobacino è:
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∑ ∫=
∞⋅⋅−⋅
−+=
n
1j0 jjjjyy2
q
qyiBLUE d)(u)(B
mQm)(p
jiiττττ
στ (20.)
Anche in questo caso, si può considerare una situazione limite in cui i
processi delle precipitazioni sui singoli sottobacini abbiano una struttura di
autocorrelazione molto più breve del tempo di ritardo del sottobacino stesso. Se
si considerano, però, le altezze di precipitazioni ancora correlate da un
sottobacino all'altro, indicando con yΣ la matrice di covarianza tra le altezze di
precipitazione, per unità di tempo, le cui componenti sono 2yy ji
σ , allora la matrice
funzione di covarianza tra i processi di precipitazione sui sottobacini è
By(τ) = Σy δ(τ) (in cui δ(τ) è la distribuzione di Dìrac) ed il pluviogramma
dell'i-esimo sottobacino e:
)(umQ
m)(p j
n
1j
2yy2
q
qyiBLUE jii
τσσ
τ ⋅⋅−
+= ∑=
(21.)
in cui:
∑ ∫∑∞
⋅⋅=n
i0 ji
n
j
2yy
2q d)(u)(u
jiτττσσ (22.)
Come si nota, in questo caso il pluviogramma di progetto per il
sottobacino i-esimo dipende non solo dall’IUH del bacino stesso, ma anche
dalle risposte di tutti gli altri sottobacini. Questo accoppiamento è il risultato
della presenza di una covarianza non nulla tra i processi di precipitazione sulle
diverse parti del bacino.
Un caso ancora più speciale si ottiene quando si consideri che anche i
processi di precipitazione sui singoli sottobacini siano non correlati tra di loro,
spazialmente. Questo significa che σ2yiyj = 0 per i ≠ j e le precedenti espressioni
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si semplificano per fornire il pluviogramma di progetto per lo i-esimo
sottobacino:
)(ud)(u
)mQ(m)(p jn
1j0
2j
2yj
2y
qyiBLUEi
iτ
ττσ
στ ⋅
⋅⋅⋅−+=∑ ∫
=
∞ (23.)
Si noti che in tale speciale caso, la forma del pluviogramma pBLUEi(τ)
dipende esclusivamente dall’IUH ui(τ) del sottobacino i-esimo.
Si noti che, nel caso molto frequente in cui my cd mq siano di valore
trascurabile rispetto ad hBLUE(τ) e Q, rispettivamente, allora il contributo alla
portata al colmo Q dell'intero bacino da parte dell'i-esimo sottobacino è:
τττ d)(u)(pQ0 iBLUEi i
⋅⋅= ∫∞
(24.a)
proporzionale a:
Qi ∝ σ2yi ττ d)(u0
2i ⋅∫
∞
(24.b)
Per la stima del fattore di scala che moltiplica ui(t) nella (23.) occorre
conoscere le risposte di tutti i singoli sottobacini ed il valore delta varianza del
processo delle precipitazioni areali su ogni singolo sottobacino.
3.2 Valutazione dell’idrogramma di piena
In applicazione a quanto detto in precedenza, viene di seguito mostrato
la procedura per la stima degli idrogrammi di piena nelle sezioni di interesse.
Allo scopo, è necessario effettuare i seguenti passi:
− stima delle leggi di probabilità pluviometriche in ogni sezione;
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− stima delle massime portate al colmo di piena per fissati valori del
periodo di ritorno;
− stima del pluviogramma di progetto per ogni sezione.
Per quanto concerne la stima delle leggi di probabilità pluviometrica e
della massima portata al colmo di piena, si fa riferimento a quanto descritto al
capitolo precedente.
3.2.1 Stima del pluviogramma di progetto per ogni s ezione.
Nelle ipotesi esaminate in precedenza, viene derivato, per ogni sezione e
per ogni periodo di ritorno considerato, l’andamento del pluviogramma di
progetto, inteso come l’andamento più probabile che produce la portata di
progetto QT per la sezione prefissata. Allo scopo, utilizzando come funzione di
trasferimento del bacino un IUH di tipo Gamma con parametro di forma n = 2 si
ha:
TrT Qt)(u2)(h ⋅⋅⋅= ττ (25.)
in cui, come detto, per ogni sezione di interesse si ricava QT e il tempo di
ritardo tr dalla procedura descritta al capitolo precedente.
3.2.2 Stima dell'idrogramma di progetto per ogni se zione
Fissato il pluviogramma di progetto (26), l'idrogramma di progetto qT(τ)
per preassegnato periodo di ritorno viene ottenuto per convoluzione, dal
pluviogramma di progetto e dell’IUH del bacino, attraverso la seguente
operazione:
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∫ ⋅⋅−=t
0TT d)(u)t(h)t(q τττ (26.)
Da notare che, a causa del fatto che si trascurano le autocorrelazioni nel
processo delle precipitazioni, gli idrogrammi del tipo (26.) sono simmetrici
rispetto all’istante in cui avviene il picco della piena. E' importante ricordare che
questi idrogrammi non sono la riproduzione di eventi avvenuti, bensì la stima
dell'andamento più probabile in corrispondenza di ognuno dei valori al picco
desiderati.
L’integrale di convoluzione (26.) è stato risolto in forma analitica. Infatti
h(t) e u(t) sono funzioni Gamma; in particolare:
− h(t) = G(α1 , β)
− u(t) = G(α2 , β2)
con :
α1 = α2 = n; β1 = β2 = rt
n
Essendo i parametri β delle due funzioni uguali tra loro, la convoluzione
fornisce ancora una funzione Gamma pari a:
qT(t) = G(α1+α2, β)
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4. Risultati
Lo studio idrologico è stato effettuato per 11 bacini, indicati con Fi per
i=1,..11, riportati in tabella ed in figura in allegato alla presente relazione.
Per la stima delle portate di piena per preassegnati tempi di ritorno è
stato necessario individuare, per ogni bacino:
− le caratteristiche geometriche: area, quota minima, quota massima e quota
media;
− il coefficiente di deflusso Cf ed il tempo di ritardo tr.
Per la determinazione dei parametri Cf e tr.del modello geomorfoclimatico
è necessario innanzitutto definire, per ogni bacino, i complessi omogenei dal
punto di vista idrogeologico.
In particolare, note per ogni bacino le aree permeabili ed impermeabili,
(dedotte dalla Carta della permeabilità fornita dall’Autorità di Bacino Sinistra
Sele) e le aree ricoperte da bosco (ricavate dalla carta della Copertura boschiva
ad uopo redatta), è stato possibile determinare le aree A1, A2 e A3 così come
definite al paragrafo 2.3.2.4. Definiti tali valori è stato possibile determinare il
coefficiente di deflusso e il tempo di ritardo secondo le formule (11) e (12).
Calcolati i suddetti parametri, è stato possibile stimare i valori della piena media
annua e delle portate al variare dei tempi di ritorno.