Download - TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS BOOKOF FINITE ELEME… · ˇ ˇ ˇ ’ ˇ ˚ ˇ 7a ˚ ˇ " ˇ b5 "ˇ a ˇ
Textbook of
Finite ElementAnalysis
P. Seshu
�������� ������� ������ ���� �
����������������
������ �� ��� ���� ���� � �� ���� �� �� � � �������� ��� ���� ������ �����
�����
����������
Rs. 250.00
TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSISP. Seshu
© 2003 by PHI Learning Private Limited, New Delhi. All rights reserved. No part of this book may bereproduced in any form, by mimeograph or any other means, without permission in writing from thepublisher.
ISBN-978-81-203-2315-5
The export rights of this book are vested solely with the publisher.
Tenth Printing � � January, 2012
Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus,New Delhi-110001 and Printed by Mohan Makhijani at Rekha Printers Private Limited,New Delhi-110020.
Respectfully Dedicated to
My Parents and Teachers
������� �
�� ���������� � ����� ����������� ���������� �
����� �� ��� ��������� ���� ������ ����� ������ �������� ���� ��� ����� ��� �����!���� ������������������������ ���� "����� �������������� ���� ��
����� ��
�� ���������������������������������������������������������������������� �� ����� #���$ �!�%���!���� $�!&'�������������(�� ����������
)��� ��� �*��� �$��+�����#���$ �!�%���!�� ,#%-�� ���� �"�� #�.� ,/�� ���-�)������� $��#���$ �!�%���!��� ���� ��� (������������0������� ���1� ���2�#���$ �!�%���!�� �!�#�.
)���� *��3 �����45���� (�� ������� ���� )��� ���� ��� ���� ��� $��#�.� )��� ����* 6��4!���������7��)��� ������� �"��� 6��4!���������8� �������������� � 3������ ���������� ��
� ��������������������������!������������������"��������������� �� ## �� 9� ��!�� ��� ** �� )��� ���� �!�0������� ���1� ����)���� *� � ��������� ��� � �������� � �� �� �� ,����- �
� ��� �%����$:%� ;��� $�! �3
��������
�
�� ��������
�� �����45����(�� �����������)��� ����&)��� ������� ��� $�! "� ���� 7�� ����� � )���� �!� ����� $�� � ����� �� ��� � )��� ��� "� ���� 6��4!���������8� �������������� �7��!���� $��� ����� �� ���
)��� ��� " �3 ����������)��� ������� ��1� ���� "������ ���������� ��
$� %��&��������������������������'���"��� #( �$$��� +����� )���� ��� $�� �� � �� �� �� ���� �4! "<��� +������� )������� )��� ������� ��1� ���� <=�� �$��>�����7��)��� ������� < ��� �$��?�!� ���7������� �=�
����� 0� ����� ���� ��� �$��� )��� ���� �=������ ����� �� ����� �=�
��3 7�������� �����3�� ���� ���� ��� @�!� !����� �����3�� 0� ����� ���� ��� �$��� )��� ���� ��"��3� ����� �� ����� ��<
��* )��������� ��3��� 6��4!���������8� �������� � ������ ����������� ���
�� )*�&��������������������������'���"��� �$� � �3�� 9� ��!�� ���&0��������� �� ��� ����A�� ��33�� �������� �������+���� ����!�)��!�/��A� ��"
3���� �������$���4��!�!�������������� ��<3���� )���4��!�!� %�� ����� ����� �3�3��� ���4��!�!�������������� �3
3� @ ��� (���!�� ��� �!�(���!�� �� �������� ��� �3*3� �� � ��� ���� $�!�� ���0�������� �$��� )��� ���� �3�3� �� @ ���(���!�� ��&?�!�� �������� � �3<3� � @ ���(���!�� ��&������������� � �*�
3�� �4!� ����� �� ���� � ��� ��� ���$���� �*�3���� +�������%� ���� �*�3���� �$���4��!�!�������������� ���3��� )���4��!�!� %�� ����� ����� ��<3���� (��� �A�� �����0�������� � �"�3���3 )���4��!��?�!�� �������� � �" 3���* ���$ 4��!��?�!�� �������� � �""3���� @���4��!��?�!�� �������� � �<=3���" ���4��!��������������� � �<�
�������� ���
3�3 @������� 9� ��� ��� �<�3�3�� ����;��!�%�� �<33�3�� �������B�� �C � %�� �<*3�3� @�5 ��:(� ��� )���� �<�3�3�� +���� ?�!� ���� )���� �<"3�3�� +���� ?�!� ���� ��� �5�� 0��������� �=�
3�* 9������� ���� ��� 7���!��� (��!� ���� �=33�� ��� �������� ����1���A������1� ���� �=*3�" �4!� )��!� )�5 ��=����� ����������� ���
�� �"������'���"����+�������������������� � � �($*�� 9� ��!�� ��� � �*�� /�A� �������A��� � �*� �1� ����� ����� ����7��!� ���#�.� )��� � 3
*� �� ����/�A� ��������%�! � 3*� �� ����������/�A� ���� ��� � 7�� � �
*�� �1� ����� ����� ����'�����>�����B��������$ ��=*���� )���� �������)��� ������� ��1� ���� ���*���� (����� �� ������ ������ ���� /������ ����� � ��3
*�3 (����� �� � �!� >����!������ ����� ��**�3�� 8%D�>���������$��� ���
*�* )������� )��� ������� ��1� ����� ����/�A� �������A��� �3 *�� ����� ������ ���� ��� ��������� �33*�" ��� �������������������A��� �3�
*�"�� �������� ���� 7��!� �� $�!� �3"*�"�� /�� ��� 9 �� ������ $�!� �*�
*�< ������� �/�A� ����������� � ���*�<�� ��!��������0����� ���*�<�� �$����!�� ��������� ���� ��$��� ��3*�<� 0���� � 9� ��� ���� �� $�!� ��<
*��= �$���� ������� �&'�� �!��8� � �������� ��� � ���4)�� �"<����� ����������� ���
,� '--����������.��-��� �(� /,��� )��� ������� �������� ���(��.�$� ���������/�A� ����� �<3
����� 7�������� ���!�� ���(��.�$� ������A� �<*����� %��� �� �!� 0��������� �<<���� 0������%�������������� =�
��� �������� ���� )��� ������� �������� ��� ����������/���� = ����� )��� ������� �)���� ���� ������������ ����>�!� =������ � ������������ ��� � ��������� /���� =3
���� ��������
����������� ����������������� ������ ����������E�� � �F� �$����������� ��� � ���������/���� =<���E�� � �F� � ��� ��� 0������������� ��� � ���������/���� �=���E�� � F� 0������� ��� � ���� ��� )��� �����E�� � �F��� ��� ����($�����0������ � ���E�� � 3F�������� ��� ����A����0��. �*���E�� �*F�0�����������������7��!��� �����E�� � �F��$�������������� �� 9(��������(���!�� �"���E�� � "F� � ����� (����� � ��� �<���E�� � <F�0������� ��� �8�!�0��.�0�����%�!C#�� ��8�!������A� �<
�������� ������ �! ���"�#��$���� ��%����7��� � �������A� ��7��� 9� ���� ��� ��
�������� &�'���$" (����� )"�#��� ��� �$# ��*���+
,���� �������
���� ������ � A��.�� $��� A���� 5�� ��� ��� )��� �� ����� � ������2� ���� �����2� A��.�� $���!�A��%�0��(��.2�0�����.����!���������$G�H�@��%�!!�G�I�H��7 $�G�6�(��D���.��5��;2I�������2� � � �� 9� $��� ��������� A����� �!� ����� $���� A��.�2� A� $� �� � � �!�� � �!� �� ��$������� �A��.�2�$�5����2������� � ���� ������� ��� $�!�,)��-��������������� ��������� � ���� �� $�!�� ��� � ��� ��� ������ ,����� 2� ���� �����2� $�� ����� A�� H�@�� %�!!�� �!8��A���-�� ������ 4!�� ���� ����� ��� )��2� $�5����2� ����� ����� � ��� ����� �� A��4���$���� �� ��� ������ ����� �$��� $�� ������� ��� ��� $�� ������ � A��.2� A��!� ��� ������ ����� �� ��$���� $�� ������� � 9�!��� 9�� � � �� ��� ���$������ ,99�-� 7��A�2� ��� �� ������ � )��� �� ������ ��� �� ���!�������� ����� ����� ��!������� ���1� �������$��������$��$��!����� $�� � �!�� � � A� ��� ������� ���� ��� $�� ��$��1��� �!� � �� 5�!�� ����� ��� ���� ������ )��� ������ � ����� ���2� A��!� ��� � ����� �� ��� � ���� ���2� ��� ��� !�������!2� �!� $���� 5������� ��� ���!� $����$�� � $�� A��.�
6���� $�� �� � ��5� ����2� ������ �������� ���� �!� ������������ ��� � � ��� ��� 9�!�� $���� ��!���!� � ���4����� ��� ������� ��� ���� �� ����� ��� $�!� � $�� ������� ��!����!� �� �����$��� ���������� �!���� $���A��.��������� $����A��������� ����$����������������5��.�!4�� � ������2� !�5�� ����� $�� ���!�� ��� � ��� ��� ���$����2� $� � ������� �!� ���!� ��52��� � �� $�� ����� � � ������ ��� ����� ��� $�� ������� ��� ��� �� � A����$ � �� � $����$� ��������A������ � $�� ���� ���2� �����J���A���� �� ����� �� �K������� � $�� ��!���� ��$��$� ����������� $�� � �!�� � �� $��.� A����!� 5$ � $�� A���� ������ �!� ��� $�� A��.�
)��� ��� � ��$��1��� ,�������� ��-2� �!� $�� ������� ������� ��� A�� � �� ���!� A� ��� ���� �$������� ��4���� ���A�����#$��� ��$���� $�� ������� � 99�� 7��A�2� 9� $������������� ���!� 5�� ����� ��� ���� ���E�� �� ,�������� $����$� $�� ����� ��-&���� 5$���� ���4��4�������A��������!��!��������������������� ������� ���������� 5����!� $�� $���5$���� $��� �!�� � ��� �� ��!������$����5����!���!�������� $��������������� �� 4A��.� ���� ���A����� ����� ������ ���� $�� ������� ��� ������ �!� ��������!����� �!� � ������!�� ��� ������ ��������!���(� ���� ������� ���2� ����4��!��1�!�� ��� ����� �
9� �� ��!�A �!� �� 99�� 7��A�� �!� ��� �������� ,�� �����2� ������� (�� ���� $27$� � �� $2� �!� I������ 9���-� ��� $�� ���$���� ������������ 0��� ��� � ���� �����!���� �������� 5��.� ���������� �� �$�� ������� ������ � �����!�!� A�� $�� ?�� �� 9���������
�����
��
� ��������
��������� ,?9�-� � 99�� 7��A�� ���� $�� ����� ���� ��� $�� �������� � ��� �� �����.��5�!��!�
���� �!�� ��������+����2�/�����$�%E2�+�����$��2�I� �.�����������!�/�I��+�� !�!������!�!�E�A�A��� �!������������ $����$� $���� ������������ ��!���������� $������� ���!� ��������� ������ ��� 9� �� ��� $�.��� ����� � �!�� � ��.E� >��� �� ���� ���� ������� ���� ���� $�� !������ !�5�� �!� ������� �!������� ���� .������ ��� $�� 5$��� �������� �� 95��!��.�� �� $�.����5����'���!����� �� E�5����������!��.� ����� $������� ������������ � �!� ����������� �� ����� ���� ��� $���������� � ��.� ������ $�� 9� ����� �!� �!� 9���� ���� �����5��������$���������� ���������!� �� $���������!��)���2� 9�5��$� �� $�. $����A��$���2��89�>������& $�������2��!� �����!����!�� ���� ��&����� ��� ����������� $���$�!�������� $���������� ��!������ �������������������
��� ����
�����
�
����������
��������������������� ��������������������������������������������������������������� ��� ������ ������������ ����� ��� � �� ������� ��� ������� ��� ��� ������� ��������� ������ ! ���� ��� ������� ���� �� �� ���������� ��� ����� �� ���� ��� ���������� ������� ��� ��� ������������������ �� � ����� ���� ���������� ������� ����"� ���� ��������������� ����� ���� ����������� �������� ����������������������������������� �#���������������������������������� �� ��������� ��������� ��������� ������ �������� ��� ������������ ������� ������ � �� ������� �������� �� � $ �� ������ ��� ������� ������� ������� �� ������ ��� ���� ������ ��� ��������� ������ ��������� � %��� ��������� �������� �������� ��&���� ��� ���� ������"�������� ���� ���������� ���� ��� ������� ����������
�������� �������� �� ���� ��������� � ������������ ������� ��� �������� � �� ����������'������"������������ ����������������������������'������ �! �������������������������������������"���������������������������������������������������� �����'����������������������������������������������������� �$ ������������������ ������%����������������������� �� ��� ��� �������� ��������� ���������� ���� ������ ������������ �'������� ��� �� � ����� ���������� ������ ������������ �'������� ����� �������� �'������"� � �� � ��� � ��� ������ ������ #��� ��� � �� &��� ����� ����� ��� ������� ������� ���������� ��� ���� �������(
� #����� � �� ��������� ���� � �� ������ ������� ������������� � � ���������� ����������� ��� ���������������'������ �����&����"������������� ��������������� � ��� � �$ ������ ��������� ��� � ����� ��� � � �� � �� �������� ����������� ��� ��������
� $ ���������������������"����������"������������������ ���������������'��������������� ������ � � ����� �������� �������� �� � �� ������ ��� ���������� � �� ������������'�����
� )�� ������"� � �� ����� �������� ������ ���� ������ ��� ������ ��� ��� � �� ����� �������� ��� ������� �������� ��� *���� ������ ��� �!�� ��� � ����� ��� &�� ��� ���� � �������� ������� ��� ��� � �� ����"� ���� ��� ������� ��� ������� � �� �������� ����� ���"� ������ �����"� ����� � �� ������� ���� � $ ��"� ��� �������� ���� �� ��� � ������������ �������� ����� � �� ������� ����� ��� ��������� *���
CHAPTER 1
� ����������
� $ �� ������� ��� � �� ������ ����� ��������� ��� ��� �������� ��� �&���� ��������" �� ��� ������ ����"� ���� � �� ����������� ������ �������� ��� ��� ���� ������� ������� �������� ���� ������� � ����"� ���� ������� ��������� �������"� � ������� � ����������������� ����� ��������� ����� ����� � �� ������� ����� ���������� � �� ������������������ ��� ���� � ������� ��& � !�� � �������� ������� ��� ��������� ��� � ����� �� ������� �������� ������� ������ ��������� ��� ���� ������� ����������� � ���� ������ ����� ��"� �� � ����� ��� ��� � ������� �������� �������
� $���� ���������� ����� ��� �� � ������� �������� �������� ��� &����� �� ������� ����������� ����� �� � $ ���� ��� �������� ��� � �� ���� ��� ������������� ���������� ����� �������������� ����������� ������������������������������������� ���� ���������������� ����� �� ������� &��� ������� ������� � �� � ����� ��� � �� ������ � $������ �������������� ����� ��� ������� ������� ������� ��� � ���� ��� ������� + +
���������� ���������� � ��������������������
���� ������� ���� ����� �
��
��
��
��
��
��
��
����
��
��
��
�
� !�� � � ���� � ��� ���������"� � �� ���� ���� ��� ��� � �� ����� �������� ��� � ������ � ����� ������� ��� � ��� ������� ��� ��� ���� ��� �������� ��� ������ � ����� ���� ��� ���� � �� ������� ����
� ���� ��� �������� ������ � �� ��� � ��� ���������"� � �� ����������� ����� ��� ����������"� � ��"� ���� �� � �������� ���������� ���������� ������ ����������������� $ ���� � ����������� ������� ���� ������� ������ ��� �������� ��� �������� � ������� ����������������������������������������� ����,#-#"�,�#$.�,"�)/��#"���� $ ����������� �������������������������� ����������� ����������������������������������� �$ ������������������������� ��� ������������������������ ���������� � ������� � ������������ � ��������� ���������������� � ������������������� � ������� ������ �'������
$ �� ����� ������ ��� ������� ������� ������"� �� ��������� ����"� ��� '����� �������� ��� ������������������������0����������� ����������������������� �������� ����������"�������������� ��� �������������� ������"� ������ � �� ���������� ������������ �'������ ��� ����������������� � )���������� � �� ��������� ��� � �� ����������������������������� �'������"� � �� ������������� ���������� ���� � ��������� ���� ��� ������������ �'������ ��� ��� ����� ��� ������ � �� ��� ������� � ���� �����"� � ������������ �'������ ��� � �� ����
2
2 0d f
AC qdx
+ =
����������
���� �� �� ���� ���� ����� �
��������������� ����� �
�
�
�
�
�
� � �
�
����� ��� ���� � ������� � ������
�
� ����������
���������� ���� ���������� ��� � ���� � ��� ��� ���� � �� ����������� � �� �� ����������� � �� ������������"� �� ����������� � �� ���"� ��� �"� �� ����� ���� ��������������� ��� ��� -����1�������"� ������������ �$ �� ����'�����"�� ��� ��������������� � � ������������� � �� �� ��������� ���������"� �� ����������� �������� ��� ������� ��� �"� �� ����� ���� ��������������� ��� �������������� ��� � ���� ������������"� ������������� ����� ��� � �� ���������� �'������ ���� �������������� ��� ���������� � $ ��"� � ������� ������� ���������� ���������� ���� � �� ���������������� �'������ ��� ��� ������� ����� ��� ������ ��� ��� ��� � �� � ������ �������
#������"� � �� ���������� �'������� ��� ���� ������� ������� ��� � �� ���� ����������� �� �� �� ����� ��� � ���� �����"� ��� �������� ��� ���������� �� ����"� � ��'��������� ������������� ��� � �� ���� � �� ���������� ��� ��� � ������ �� ��� ����� � ������������� ���������� ��� ��� ���������� ������� ���� � ������� ���������� ��� � ���������"� �� ��� �� � ������������ �'����� � ! ��� ��� � � �� ����� ��� ������� ���� � ������ ������"� � ������������� �'������ ��� ���������� ����� ��� �'�������� ��� ��� ��� �������� ���� �� � �� ��
$ �� ������� ������� �� ��� ����������� ����� ��� �� � ����� ���� ���������� �� �����������"������������������� ��������� ����������������������� �! ������� �������� �������� �������������������������������������������������������������� ���������������������"�����"���� "� � ������� ��������������� �� ��� ��� � ������������������� � ���� ��"������������������������������������������������������������ ����������� �)����������� �� ��� ����� � ������ � ������� ������������ ��� � �� ������� ������ ��� ������� ������� ������ � )�� � �� ������ � �� ������"��������������� � ���������������������������������������������� �������������"� ������ ��� ������ �������
!�� ���� �������� ������� ������� ��� ���������� ��� ������� ������� ������� ��� ���������������"� ��� ����� �� ��������� ��� � �� ����������� ��� � �� �� �� � 2��� ���������� ��������� ����� ���� � �� ������� ��� ���������� �� ����"� �������"� ����������� ���������"��������������"� ���
��� ������ ����� ���� ������
����� ���������� �������
)�� � �� ����� ����� �����'��� ������������"� � �� ����� ������� ��� ���������� ��� � �� ���������� $ �������"� � �� ����� ������ ��� ���3������ ��� ���� ���� � 4����"� ��������� ��� ������� ��� � �������� ������ ��� ��� �������� � ������� + 5� � ���� � ��� �� � ��� � ������ ����� ���� � �� ���� ������ � ���� ���� �6��������� ���� ������ ���� ������� �� � �������������������������� �� ������������������������� �������� ����������������+7"888�'����������������������� ������������ ��������������������������������"��������������������������"���������������������� �$ ���� ������� ������� �� � ��� ���� ����� ���� ��� � ������� ������ 9#�/-,�� �������
��� ��������� ������� ��������� ����&� ������������ ������� ���������� ��� ������������������ ��� �� ��� ��������� ���� � )�� ��� ��������� ��� �������� ��������� � �� ��������� ��� � ���������� ��������������� ����������������� ������������������ ��������+ 7�� ����� ������� ������������� �� ���� �������� ����� ��� � ����� ��������� �������� ������� ������� ��������� ����& � #�� � ����� ��� ����� ��� �������� � �� ������ ������ ���'�������� ��� ���� � ���"� ��������� ������������ ��� ��������"� ���
�
����� ��� ������� � ������ ���� � �������������� ��� � �� � ��!� ��� � ��� ��� �"����#� ��� � � � � ����������� ����� � ������
����� ��$ ������� � ������ ���� � ��� ��� �"������%�� ������� � ����!� # ��&������������ �������� �� �������� ������ ������
�������� + : ;+ <� � ��� �������������� ������� ������� ������ ��� ������� ���������� ��� ���������� � ���� � �� ����� ��� ����� �������� �� ��������� � ���� � #�� � � ����� ��� ��� �������� ��������� � �� ������ ��������� ��� � �� ������� ���������
���� �!�� �����"#�$� ��
� ����������
���� ��' $(�� ������� � ���������� � ��� �� �!��&� ��������������� �������� �� �������� ������ ��$%���
����� ��) $(�� ������� � ������ ���� � ��� �� ���!#�*������������ �������� �� �������� ������ ��$%���
����� ��+ $(�� ������� � ������ ���� � ��� �� �����!����� ������������ �������� �� �������� ������ ��$%���
����� ��, $(�� ������� � ������ ���� � ��� �� !��!� �* ������������� �������� �� �������� ������ ��$%���
!
"
"
!
�
#�$ ���� &� #�$ ���� &� #�$ ���� &�
����� ��- ������� � ������ ���� ���� ��� �� �� ������� !������ ��� �� � ���!��� � � "������������� �'((��� ������
����� �����������������������������
�������+ =� ��� �� ������������ ������ ���� �� � ������� ������� ������ ������������� ���� ������������� ��������������������������� ����������� ���������������� ��������� �$ ������������������������������������������������� ������������ �� �4������"��������������������������� ������ ��� ������������ ��� �������� � $�� �������� � ��� ����������"� � �� ��������� ��� �������� ����������������������������������������������� ��������������������������������������������� ��������� ������������� � � ��������������������� ��� � ������� �������������� ���������� � $ ��� ����� ��� ����� ���� ���� ��� ������� ��� �����*����� ��� � �� �������
������� + >� � ���� ������� ������������� ��� � ������� ���� ������ ����& � �� ������������� ����������������� ���������������� ������������������������������������������������������������������������������ �$ ������������������������������������������������� ���������& ���7���� ����� ��������������������������������� ���������������"�� ������������ ���������� ��� ������"� ��� � �� ����� ���� ������ � $ ��� ���������� ��� ���� ��� ����� ��� � ���� �� ����������� ����������� ��� �� ��� �������� � ���� �� � �������� ��������
���� �!�� �����"#�$� ��
� ����������
Central core
Broad face
Narrow face
����� ��� ����� ��� �� ����� ��� ������ ���� ���� ��� �������������� �� �� ������
����� ������������������������������������ �������
�������������������������������� ���������������*���������������������������� �� ��������'������� ��� �������� ��������� � �� ������� ��������� ��� �������������� ��� ����� � ��������������������������������������������������� ����������������"��������� ������������� ��������� ��� ��������� ���������"� ��� ���� ��������� � $ �� ���� ��� ��� ������������ ����� ����� ����� �����������'��������������������������� �� ������������������������������������������� ��������� ��� � ���� ��� ������� + +8 � ��� ������� ��� ����� ��������� ��� ��������������������������������*���������������������������������� �������������������������% ����������� ������������ ������������������������������+ ++"�� ������������������������� �� ����� �������� ������� ��� ���������� ����������� ����� ����������� �� � �������� ����������
$ ���������������������� ���������� � ���������������������� ���������������������������������������������������������������� ������� ����������� � ����������� �$ �������������� ����������������� ��������������+ +5������������������������������������������?-������ ��� � �� � � ���������� ������ ������� ���������� ��� � �� ���������� ���������� �������� � $ �� �������� � ��� ��� ������� ��� � ��� ����� ������ ����� ����� � ����� � �� � ���������� �� 588@� � $ �� ���������� ���������� ����� ��� �������� � �� ����� ����� ��� � �� �������� �� �$ �������������������� ���"������������ ������ ������������������������������������ �� ��'������ � ��� ��� � �� ������� ����
%����&�� �$����� �
'� (���� "� (���� )� (����
����� ���� ��� ���� ��� ���� �"!!����� "����� �.���������� ����������� ������ ������ ������� ���������� ��� ���������� ��� ���
����� ���� ����� ������� �������� ������ ��� ������ ��� ����� ������������ ����������� ������ ������ ������� ���������� ��� ���������� ��� ���
*+�,�����&
�����
�+�,�����&
���� �!�� �����"#�$� ��
� ����������
$ �� �������� ��� ������ ��� � �� ����������� ��� ������� ��� '����� � ��������� ��� ��� ������ ���������� �������� �������������� ��� � �� ���� ���� � �������� ��� 7A� �� �������� � ������������ �����"� ���������� ����� �������� ������� ��� B5��"� ��� ����� ��� �� �������������� A� �� ��� ��� � �������� ��� ��� <8� � �� <8� ������������"� ��� ���� �� ��� ������"� ���������������C;+5�����������������"��������������� ������� ����� ���������5� ���=��������� ������� ��� 58� ��� <A� �"� ��� ��������
#����� � ���������� ���� ��� �� "� � �������� ���������������������&���������������+7 �������+78�D�������� ��?-����� �$��� ���������������������������� ����B5�E"�� ���������������������������� ��������� ���������������� ���8 +������ �4����� � ���������� ������������� �� ���������������������������������������� �$ �������3����������� ����������������������������������� ����� ��������������+ +7����� ���������� ������������������� � �� ����� � �� ������� �������� ���� ��� � �� � ���� ��� ��������� ��� ������� + +:
$ ������������������������ ������������������������������������� �$ �������������� �� ���������� ����������+ +A�� ������������ � � ����� ��� ����������� � ������������������ A� &�� ��� ��� ����������� ����� � $ �� ����� ��� ��������� ���� � ��&� ����������� ��� ����+78� D�� � ���� ��"� � �� ������� ������ ��� ����� ��� � ������� ������������� ��&����� � ������ ��� � �������������������������������� �� � ������������������������������� �� ��������� +5� ����� �������������� ���� ������ � 4����� � �� ������� ������� ������� ��� �� �������� � ��������� ���'�������� ��� � �� ���� � ���� ����� �������� �$ ��� ����� ���� ��� � ������� � �� ������ ��������� ��� � ���� �� � ����"� &��������� ��� � �� ���� � ��� ����� ��� ������������ � �
X & Y motors
Elevator
XY Table & BH Assembly
Power supply
Base
Heater Block Assembly
Work Holder
Isolator
X & Y motors
Elevator
XY Table & BH Assembly
Power supply
Base
Heater Block Assembly
Work Holder
Isolator
����� ���� �� ��� ���� � ��� �� /�!�� #����!� ��� ���������������!)������������� �����������)�*�������
!� ���� "� �� ��
*�� ����$-������.
'���
��,�� �/((.
!"� ����� 0� '*������.
��1� �
2�-�����
3��� �
����� ���$ ������� � ������ ���� � ��� �� /�!�� #����!� ��� ���������������!)������������� �����������)�*�������
����� ���' ������� ����� � ��� ���' 01�� ��� /�!�� #����!� ��� ���������������!)������������� �����������)�*�������
���� �!�� �����"#�$� ��
����������� �
��������� �
� ����������
��&����� ��� � �� ������� ���� � �� ������� �������� ���'������� � $ �� ����� ��������� ��� � �������&��� ���������� � �� � ���� ������ ��� ��������� ���������� ��� � �� ���� ��� ��� ����� ������ $ ������������������������������������ �� ���������������'������������������� �������������������������� �� ����������������� �������������������� ��������� ��������������� ����� � ���� ��� ������� + +C
����� ���) ������� � ������ ���� � ��� �� ���(�*��� ��# �������������!)������������� �����������)�*�������
'���
���
������$-�
����
+
!"
4/��.� ���
Undeformed model
Deformed model
Undeformed model
Deformed model
Fn=296 Hz Fn=584 Hz
Undeformed model
Deformed model
Undeformed model
Deformed model
Undeformed model
Deformed model
Undeformed model
Deformed model
Fn=296 Hz Fn=584 Hz
5�������������
4�����������
5�������������
4�����������
,�� 6� 789� *:,�� 6� �;<� *:
- .
+
����� ���+ ���"!� � �!�2"������� ���� ����� � ���� ��� ���(�*��� ��# �������������!)������������� �����������)�*�������
����� ��������� ���� ����� �
���������������� ����
�
��������������� ���������� ��������� �)��� ��� ���������������� � �� ������������������������ ������ ���������������� ���������������������������������������������������� ���������� )��� �� �$ ����������� ����������������� ��������������������������������������� �$ ���������������������������������������������"�� ����� ����������������������� � �� ����� ������ ������������ ��� � ����� ���� ������� ������������� ���������� ��� ������� �� ������������'��������������������+88��������������������������� ���������� ������� ����� ����"� ��� �� ��� ����� ��'���� ����� �������� ��� ��&� �� � �� �������� � 4�������� ������ ��� � �� ������ ��� �������� � �� ��� ��������� ���� ��������� � �������� ����������� ������� ������������� +<A@� �#�� � �������� ���������� ����������������������������� ��� ���� ���� � ����� ����� � �� ����� �������
�� ������� ������� ������� ����� ��� � �� �������� ������ ��� ����������� ��� ������� + +< � $ ����� ��� ������ ����� �������� ��� ������ ��� � ������� ������� �������� ��� ������ ��� ��������������� � �� ������� �������� ����� ��"� � ���� ������� ��� � ������� ��� ���������� ����������� �� �������������������������� � ������� ������� �.������� ���� �������� � �� ��� ������� ��� � �������������� ��� � �� ������� ����������� ��� �������� ��� �������� ������� �� ����������� ���������� ��� � �� ���� ��� � �� � ��� � F��������� ��� � ���� ��� ������� ����� ��� ��������� � ������� ��� ������ ��� � ���� ��������� �� ����� �� � ���� �������������� �����
����� ���, ������� � ������ ���� � ��� �� ��" ����� ��� ���������������!)������������� �����������)�*�������
��(� �� ��
��(� =��
'� ��� =��
'� ��� �� ��
�/������/��
��� �$ � �/��$��� ,�������� ��$��
���� �!�� �����"#�$� ��
� ����������
����� ���- ���� � ���#��� ��!�!���������������!�������� �(��� ��$����!*�����/��*� �����
����� ����� ����� �������
)�� ������� �������� ����������"� ������� ������� ������� ��� ����� ���� ������� ��������"� ��* "���������� ������� ���� ������ ���'�������"� ���� � ���"� ��������� ������"� �����������������������"������������� ����������"��������+ +=�� ����� ���������������������������
����������������)��� ��������+ +>�������������������������� ������� ��������������������������������������������� �$�������� ����������������"����������������������������* "����"� ��� ����"� ����D� ���"� ��� �� ��� ����
������
��������������������� �����������������������������������������������������������"�������������������������������������������������������������������������������������������� ����� ������� ��� ������ � $ �� '�������� � �� �������� ������ ��� ��� � ������� ��� ��'��� ��� ��������������� �������������������������������� �2��������������*�� � ����������� ��� ��� ������������������������ �����������������������������"� � ��������������������'������� ��� � �� ���������� �����������"� ��� ����*�� � �� � ����� ��� ������ � ���� ��� ������������'������ ��� ��� ����� ��� ������ � �� � ��� ������� � F��������� ��� ������� ������� ����������� ��� �������� ������� ��� ���� ����������� ���(� ��� ��� ���������� ���� ��� �������� �������"� ����� ��� � ������� ���������� ���� ���� ��� ������ � ��� � ��� ����� � $ ��� � ��� ����� ��������� ���� ������� � �� ��������� ���������������� ��� � �� ������������� ������� ��������� ��� ��� ������ ����
�
����� ���3 ������� � ������ ���" ������ ��� ����!������� ��� �� ���� � ���#��� ��!�!���������������!�������� �(��� ��$����!*�����/��*� �����
)�$$���
��
��� ��������� �� �� ���� ��� ��� ����� ���� ������ � �� �� ������ ��� � ���� � ����� ���������� �� � ������ ������ ��� ����� ����� ����� � �� �� �������� �� ��� ��� ��� ������ ����� �� ��� � ��� ��� �� ������ ���� ��� ���� ������� ������� ��������� ���� � ������������ ������ ������ � ��� ����������� ��� ��������� �� �� ������ �� ���� ���� ��� � �� ��������� ��� ��������� �� �� ���� ���� ��� ���!������ ��" �� �#$������� ���%� � � ������ � � ��� ����� ��� ������ �� �������� ���� ������ � ��� �� ��������� ��� � ���� �� � �� ����%�� ������ ��� � �� � ������ ��������� ��� ��� ������ ��� ������������������ ��&� ��� ����� ��� �� ����� �� ���� �� ������� ���� ������ � ����'�� ��������� ���������� ���� �����
���(������)���� �� ()%���������� ���������� ����������� ����'�� �������������������� ���� ��������� ������ ������* ��&��(������)���� �������� ������������������� �� ����� ��� ����� ���� ����� ��� ����� $��!���� ��� �� ������� ����'�� ���� ��� ��� &� ����� ��� ���* ��&��������� ����� �� ������� ������ ��� � ���� ��� ��� ����� ���������� ���� �� ���������������� ������ �������� ��� �� ��������� ����� �� ������� ���� * ��&�� ����� ��� ��� ������� ����� �� �������� ����� � ��� ��� ��� �� ��������� ��� �������� ��� � ���� ���� ��� ���� �������� ��� ���(������ ��� �������� ���� &� ����� ��� ��� ��� +� ����� �� ����� ����� ��� ���!���� ��� �� ������� ����'�� ���� ������� ���� ������ ��� ��� �� ������������ ���� ������������ ��� ���� ������ ������ �������� � ������ ����� ������ ���� ��� ��� ����� ����������
��� ������� �������� ��������� ��� �� ������� ��������������� �������
"������������ ��� ������������������ ��������������������������� �������� ��� ���� ��� �� � ���������� � � ������ �� ��� ���%������� � �������� ��� ��������� ���� ����������� �� ��� ���� ��� ��� ,��� ����� ��� ������ ����'�� �� �������� ��� ������� ��� ����� �������� ��� ��� ��������� ����-
���������������� ����������������������������������������� ������
CHAPTER 2
� ������ ������ ������ �%�����������������������+���' ��������� ��!������ ��������� �� � �� ������ � ��� �� �������� �
� �%� .� �� /� ��� /� ���� /� 0 1��%
� ���� ���������������� ������������ ��������������������� ���� ������������ ��� �� �%� ��� ��� ���� ��� ��������� �� �%�� 2�� ������������ ��� ������������������������ ���� ���� ��������� �������������������������������� ����� �� � �������� ���� �� ����� � ��� ���� 3��� �� ����� �4� �� 3���� ������� �4%�
� 5����� ��� �&��� � � ����� ��� ��� ���0%� �� ��� ������ ��� �� ������� ������ � � �� �� ��� � &� ���� ����� ��� �� ���� �� ��������
�� ��� �������� ��� �� � � � &� ��� ��� �� �� ���� ��� ����� ��� ����� �� ��� 6����������������� ��� ��� ' ��� �������� ��� ��� ������� ������� �� �� ����� '���� ��� �� � � �� ���� ���� �� �������� ��� ��� ������� �� � ��� ��� ���� ������ �� ���� ������� � ������������ ��� �� � ����� ��� ���������� �� ���� � � ������ ����� �������� ���� ��� ���� ��������� ��������� ���� ������� � �� ������ ������� � ��������� ��� ������ ��� ��� ���������� �� �� ����������� � ������ ���������� �� �� ����������� ������� ��� ��������� ���������������6������� �������� �%�� ���������3���� ������������4����� ��� ������������� �� ��� ���� ��� ���� ������ ��� ����� ��� ����� ��� ����� �'��� ��� ������� ��� � �� ���� ��� �� � ��� �'��� ���� �� ���� ��� ����� �������
(� ����� ��� ��� ��������� ������ ' ���� ��� ������� �� ��� ���� ������ ��� ����� ����'�� �� ��������� ���������� �� �� �����
������� ��� ������� � ������� ���� ���7���� ��� � ������� '� �� �� �� �� ������� ��� �+����� 1���� ��� � � �� � ����� ����� �� �� ��� ����� ���� ��� ��� � �� ��� ������ ��� ��������� ���� ���
����� ��� �� � �������� �� ������ ����
2
02 0
d uAE q
dx� � 1�1%
����� ��� ���� ��� ��������� 8%� .� 8�� = 0.x L
du
dx =
�
��
�
������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
"������������ � ����'�� ���������������������������������������7�������������
����� �� ��� �� �� ������ ��� ����� �������� "�
�%� �� � �%� .� �� /� ��� /� ��� 1�9%
���� ��� ���� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �������� �� ����� ��� � ������ ��� ������ ���� ���������� �� �� � 8%� .� 8���� � �� �� .� 8�� ��� � ������ ��� ����� ���� ��� ����������� � ��� .� :1���� ����� �� ��� � ��� ���� ���� ��� �� ��������
� �%� .� � ��� :� 1��% 1�;%
<��� ��� ��� �� �������� ��� ��� ���� �� ��� � � ���� ��� ��� ��� ���� ������ ��� �� � 3�!� � ���� �������4�
����� �� ����� ���� �� ���� �������� <����������� �� ��� ������� ������� �� �� ���2
2
ˆ d
d uR AE
dx= + ��� .� �� 1�%� /� �� 1�=%
����� �� ���� ���� ���� �������� <��� ���� ��� �� ����� �� ��� �� �������� �� �� � ���� ��� �� ���������� � � � ����� ����� ���� ��� �������� ��������� ��� �������� ����� �� ��� 6���� �������� .� 8�� ������
02
2
qc
AE
−= 1�>%
����� ���� �� �� �������� ��
20ˆ( ) (2 )2
qu x xL x
AE
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 1�?%
+��� ����� ������ ' ����� ������ ������� &� ��� ����� �� ����� ���� 6��� ����������� �� �� �������� � ���������� ��� ' ��� ��������
������� �� ��� ������� �� ���� ���� � ������ ������� �� ��� � �� �� ����� ��� @���� � �������� ������ �� � ������ �� �� ���� �� �� +����� 1�1%� ��� ���� ��
Lv(x)
����� ��� �������� ���� �� ��� ��������� � ������
�
#�
!���
������
�
2
2 + cos = 0� � �
d vg
dx 1�A%
���� .� ��������� ��� ����������� .� ��������������� .� ������� .� ���� ���� ��� ��� �� ������ .� ��� ���� ��� ������ ���� �� �� ��� ����� ��
��� ���� ��� ��������� �� ���� ��
0
0x
dv
dx == 6��� �� �� �����% 1�B%
� �%� .� 8 �� ����%
"�� ��� ���� ��� �������� ������������ � �%� ����� ���������� ����� ��������
����� �� ��� �� �� ������ ��������� "�
� �%� �� v �%� .� �� /� ��� /� ��� 1��8%
C��
1 2
ˆ 2
dvc c x
dx= + 1���%
+���� ��� ���� ��� ���������� �� .� 8� �� .� :����� �������
v �%� .� � ��� :� ��% 1��1%
����� �� ����� ���� �� ���� �������
��� .� � 1�%� /� ��� ��� � 1��9%
����� �� ���� ���� ���� ��������� ��� ��� � ���� �� �� � � ������� �� ��� ��� 6���� C��
2cos
2
� �
�
gc
−= 1��;%
�������
2 2( )
cosˆ ( )
2xg
v L x� �
�= − 1��=%
�� ��� �������� ��������� ����� ��� �������� ������ ���� ����� �������� ��� !�� ��� �"�� ����� ���� �������� ����������� #����
�������� � ������� ������������� � � ������ � ������ �������������������� �� ���� �� ����� �� +����� 1�9�� ��� ������� ������� �� �� ���� ��� ���� ��
4
04 0
d vEI q
dx− = � 1��>%
�� ��� ���� ��� ��������� �� ���� ��
� 8%� .� 8� (0) = 0dv
dx
������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
������� ��� �������������������������� (��������� ����������� ����������� ���� � ��������� �� � ������� ��� ��� ���� ��� ���������� "�� ��� ������ v �%� .� �� /� ��� /� ��
�� /� ���� /� ��
��+���� ��� ���� ��� ��������� �� �� v 8%� .� 8� �� � v #��� 8%� .� 8�� �� � �� �� .� 8� .� ��
�� ����� ��� � ������ ��� ���� ��� ��������� �� �� .� ��� �� ������� � �
�� .� :9��� :� >���� �� .� :;�� 1��A%
<����������� �� � �� ���� ��� ����� �� ��� ��� �� ��������� �� ��
� v �%� .� � ��� :� ;���� /� >����% 1��B%
(� ����� ������ �� �� ������ ��� �� �������� �������� �� �� � ������ ��� ��� ���� ����������� ������� �� �� ��� �� ���������
������� ����������� ��������������<����������������������� ���� ���������������� ������ �� �
�� �%� .� 1;� �� :� �� 1�18%
������� ���� ������������������<����������������� ��������������� ����� � ������ �� �������� �� � � � ����� ����� ���� ��� �������� ��������� �� ��� ������ ������� �� ��� 6���� �������� .� 8�� ������� �����
�� .� ��# 1;� % 1�1�%
����� ���� ��� �� �������� ��v �%� .� ��# 1;� %� D��� :� ;���� /� >����E
������ � � �� � ����� ������� ��� �� ��� ' ��� �������� ������� ����� ��� ��� �� '����� �������� ��� ���� &� ��� ����� �� ����� ���� 6��������� ��� ���� ��� ��
������� ��� "�� ��� ������� ��� ' ���� ��� � ������� ��������� � �� ���� ������������������� �� �� ������� ��+�����1�;������������������� ���� ���� �� ������� ����������� �� ���� ��
2
2( ) 0
d vL
dx= �
3
3( ) 0
d vL
dx= 1��?%
���� ��� ������ ���� ���� ��� ��������� ����� 6��� ����� ���� �� ����� �� ��� ��'��� ������ ������������������������6������������� ���� ������� ����������
����� ��� ����������� ����� ����� ����
��
�
�
4
04 0
d vEI q
dx− =
� 8%� .� 8�2
2(0) 0
d v
dx= 1�11%
� �%� .� 8�2
2( ) 0
d vL
dx=
����� �� ��� �� �� ������ ��������� (� � � ��� ��� ���� ��� ��� F' ���� 1�9� �� ���� ������� �� ��� �� �������� � �������� ��� ���� ��� ���������� C������ �� ���� ��� ��� ���� ����� ��� ��������� ��� ������ ���������� �� � � � &� ��� ������� ������ ��� ������������������� ��������� "�
� �%� �� v �%� .� �� ��� � �#�% 1�19%
����� �!� � ���� ��� �� �������� � ������� ��� ���� ��� ���������
����� �� ����� ���� �� ���� ��������� <����������� ��� ��� �� �������� v �%� �� ��� ������������� �� �� ����� ������ �� ����� �� ������ ��� �
��� .� � � #�%� � %� ��� ���#�%� :� �� 1�1;%
������� ���� ���������������� (��������� ������&��������������' ������������ ������ ��������� ����������������������������������� �� 8�G���G��%��<������ ������� ��������� ��� �� �������� �� � � ��� ��� ����� �� 6��� ���� �� �� �� ����� ��� ��������������� ��� ��� �� ����� ������� ��� ���� ��� ��� �������� ' ������ ����� ������� ��� ���� ��� ����� � ������ ����������� ����� �� ��� ��� ����� �� �� �� ��� � ��������� �%� ��� 6��� �� ����� ������ ������ ��� ��� �H��� ����� ��� ������ ���� �� �� ��� ������� ��� ���������� �� ��� ��� �� ������� �� �� �� ��� ����������(������ ������� �� ���������������������������������������������� �� ����� ���������� ���������������� ��� �� ���� ����� ������������ ��� ��� ���(�� �� ������ �� ��� 3������4� ��� ����� ��� � ��� ��� ��� ���� ��� ���� ��� �� � ���� �� � ������ ��� ����� ���� 6��� �� ���� �������� ������� ����� ����� �� ��������� �� ��� '�� ������
� ����� ��� ����� � ������ "�� ��� � &� ��� .� 8� �� �� .� �#;�� ���
� � #�%�� � %� ��� �#;%� :� ��� .� 8 1�1=%������������
40
1 4
2
q Lc
EI�
= 1�1>%
��
��
����� ��� ���� �� ���!��� � !!����
������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
�� ��� �������� ��� �� �������� ��
40
4
2ˆ( ) sin
�
�
q L xv x
EI L= 1�1?%
(�� �� �� �� ����� ���������� ������ ������ �� ����� �� 6��� �� ����� '� �� ��� �����+����� 1�=� ���� ��� ��� ��������� v �%� ��� ��� �� ����� � �� � ���� ��� �� ���� �� ' ��
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Rd(L/4)=0Rd(L/3)=0Rd(L/2)=0 SOM
Normalised Axial location on the beam
Tra
nsve
rse
Def
lect
ion
���� ��� ����������
�
������� ��������� ������������������
�� ����� � ��� ����� � ��� ���� � ���
���������+�����1�>������� ��������������� ������� ���� ���� ����������� ����� �� ������� ��������� ����'�� �������������� �������������� ������ ���������������� �� ����� ������������' ������������(�� ��������������� ������������� ����������������� ���<��������<��� ���������� ��� �� ������������ �������.��#1��������������� ��� ��������� �� �������-
� � �%� �� v �%� .� �� ��� � �#�%� /� �� ��� 9� �#�% 1�1A%
����� ��" #��!�$� � !!����� ����� ����������
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
normalised x location
resi
dual
Residual Rd(L/4)=0
Residual Rd(L/3)=0
Residual Rd(L/2)=0
������� ����� � �������� ����� � �������� ����� � �
������� ������������
����� ��% &��� �� ����� ��'���!�$� � !!����� ����� ()���!��� ���*�
� �� �� �
40q L
= 1000EI
����
����
����
����
�
�� �����
(���� ����� ���!���� ��� �� �������� �� ��� �� ��� ��� �� ����� �� �
��� .� � � #�%� � %� ��� � �#�%� /� � 9� #�%� � %� ��� 9� �#�%� :� �� 1�1B%
<��� �� � �� ���� ���� ��� ��� �� �������� �� � � ��� ��� ����� �� 6��� �� ��������� ������� "�� ��� ��
04 3d dL L
R R⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1�98%
����
4 4
1 3 01 3 1
02 2
c EI c EI qL L
� �⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1�9�%
( )4 4
1 3 03 3
0 02
c EI c EI qL L
� �⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1�91%
<������ ���� �� �������� ��� �
40
1 4
2
3
q Lc
EI�
= 1�99%
�� .� 8�888891AB4
0q L
EI 1�9;%
+�����1�?����� �������������� v �%���� ����������� �� � ���� ����� ���� ��' ����������� +����� 1�A� ������ � ����� ��� ��� ��� �� ����� ���(� ������ �� �� ����� ����'�� ����� �������� ��� ��� ����� �� � ��� ����� �!� � ���� ��������� ���� ��� ������ ��� �� ����� ���� ����� ��� ' ��� ��������
������� ����������������
���� ��� ����������
�
����� ��+ #��!�$� � !!����� ����� ���������,-�'!��������� �� ����
������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
TWO TERM
SOM
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
) ������ ������������� �������� ��' �����6��� �� ���������������� ��� ������������������������ �� �� ������������������������� ���������������������������������� �� �� � ��� ��� ���� ����� ������� ��� � ���� ���!�������� �������� ��������
���������� ���� �� ������� ������ � �������������� ��� ������������������ ����������������� �
0 ( ) ( ) 0
L
i dW x R x dx =∫ 1�9=%
���� $� �%� �� ������� ���� ����� �������� ��������� ������ ��� ��� ����� ��� � �&� ����������� ��� ����� �� ���� ��� ���� ��� ��� (� ������ �� � �� �������� �������� ���� ��� ��� �� �� ��� ������� ����� ��� �� ����� ���� ��� �������� ��� ��� ������������������������� ����������+���' ��������� ����!������� �������������������� &����������� �������� �������� ��� �� �� ���� �� ����� ��� ��� ��� ����� ���� ��� ��������������(��������������������������������$ �%���������� ����� ��� ������ ����� ���6��� ������ ��%�� � ��!���"�#�$%���������������������� �����&��"�%������������� ���� ���� � ��������� ������ '���� ������ �� ����� ' ����� �� � &� ����������� ������� ������� ��#�%����� 9��#�%������"������������ �������������������* ��&�������������� �������� ���� ��� �!���� ��� �� �������� ����� ��
� �%� �� v �%� .� �� ��� � �#�% 1�9>%
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Residual Rd(L/4 & L/3)=0
������� ����������������
�� �����
�������� �� ����� ���� � ��� � �
����� ��. /����� ����� ��,-�'!��������� �� ���� ��(�0�� ���� �0�*� 1� 2�
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
������ �� ����� ���� .� � � #�%� � %� ��� � �#�%� :� �� 1�9?%
2�� ��� * ��&�� ��������� �� ��4
1 00
( ) ( )
sin sin 0� � �
��� �����������d
L
w x R x
x xc EI q dx
L L L
⎡ ⎤⎛ ⎞ − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ 1�9A%
(�� ������������������������������ �������������������� ���� ������������ ����� �� � �
42
1 00 0
sin sin � � �L Lx x
EIc dx q dxL L L
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ 1�9B%
������� �� .� 8�8�98?�����#� �� �������
40ˆ( ) 0.013071 sin
q L xv x
EI L
�= 1�;8%
+�����1�B����� �������������� v �%���� ����������� �� � ���� ����� ���� ��' ����������� ��� ��� ������� �� �� ��� �!���� �������� ��� ������� ���� �������� ��� ��� * ��&�
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
defl
ecti
on
SOM
Galerkin Solution
���
������ ��������
������� ����$�������
���������
�������3 #������4������������ (#56*�����7����8���9��� ����,#��!�$� � !!���������� ()���!������*�
������� ����� �� ������ ���� �������� ��� ����� �� ��� �������� �� ��� ���!�� � ��� 7���8�9AI�� +����� 1��8� ������ � ����� ��� ��� ��� �� ����� �� ��� ��� ��� ��� * ��&�� �������
(� � �� ����� ��������� � ���� �������� ����� ���� �������� ����'�� �� ��������� ������ ���� ��������������������������������� ���� ���� ��������� ����������������� ������ ������� ��� ��� ������ ��� �� ��������� �� �� � ������ ��� ���� ��� ��������� ��� ���������� (� ��� �� �� ��������� ����� ��� �� ����� ��� ����� ���� ��� �������� � ����� ��� ������ ��� ������� ���� �� ��� ��� ����� �� ��� 6���
������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� �
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
(� � �� �� ��������� ������ �� �6���� ���� ��� �������� �������� ��� �� ���� ��� ��� �� ������ ��� ��� ����� � ����� �� �� ��� �� ������ ��� �������� ����������� ��5�� �:5�� � ��������� �����$ �%�.�� �� :� ��%�� ���������� ����� �� ������������ ��������������������� �������������������� �������������������� ����������������.���������* ��&����������� ������ ����������� �������� ��� �� ��� ��� �� �������� ����������� �� ������� ��� ��� ��� �� �������� ��� ������ ��� �
� �%� .� � �%� /� � �%� �% 1�;�%
���� � �%� �� %� �%� �� ������ &��� �������� ��� ��� ��!������ ����� �� �� ��� ���� ����������� �� � ������� ��� � �%�� ����� ������ ����������� �������� ��� ��$� �%� .��#�.� %� �%�
(��������� ����������������������������������������������� ����� ���� ������� ��������������� ���������������� ������� ��������� ���� ���� ��������� ������������(������ ������&� ���� � ������� ' ���� �������� ��� � �� ������� ������� ������* ��&��(������)���� �� ��������,���'��' ���� ������� ��� ��� ����� ������� ����������� ��� � �� �� ���� ��������
���������� �������������������� ���������������� �������������������������������� �� ���������� ��� ������� ������� �� �� ���� ��� ���� ��
20
2
1 0
qd T dT
r dr kdr+ + = 1�;1%
������� ����������������
����� ���2 /����� ����� ��� �������� �$� 7����8��� ���4�� ()���!��� ���*�
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
resi
dual
Galerkin Residual
�� ����� –0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
�� ��� ���� ��� ��������� �� ���� ��
& �%� .� &�� ��� � ��� ���� ���
20 = ( )(2 )
r R
dTq R L k RL
dr� �
=− 1�;9%
��� ����� ���� ��� �������� ������� �� �� � �� �� ��� .� � �� �����(������ ��� ������ ��� ���� ���� ������������&� �� � ������� ��� � �� �� ��� ����� ��
����� �� ��� �� �� ������ ��������� (� ������ �� �� ��� � �� �� ������ ��� ������ ��� ��� ��������� �� ����� ��� �� :� �%� � ���� �� � ��
"�� ��� ������ ��� ��� �� �������� �
&� .� �� /� � �� :� �%� /� � �� :� �%� 1�;;%
+���� ��� ���� ��� ���������� �� ���� �� �� �� .� &�� �� �� .� : ���#1"%������ �� � �
&� .� D&�� :� ���#1"% �� :� �%E� /� � �� :� �%� 1�;=%
�������� ���� ��������� �������� ������&�.�� �%�/��% �%�����% �%�.� ��:��%�
����� �� ������������ �������$ �%�
����� �� ����� ���� �� ���� ��������� ��� ��� �� ����� �
��� .� 1�� /� ��#"� /� �#�%D: ���#1"%� /� 1� �� :� �%E 1�;>%
����� �� ���� ���� ���� ���������(� ������ �� �� ��� ����� �� ��� ��� ������������ ���� ������� ������ ��� ��� ��� �� �� �� � �� �� ������ ���� � ��� �� ������ ��� ���� �� ���������#%��������������� ����� ������ ������������ ������������������ ��������� � %������� '� ���������� #%����� �������������'������� ���� ������������������������ ����� ��� ���� �� 1��%�� �� ��� ������� ����� �� �� ���� ��� ���� ��
[ ]2
02 ( ) 0�
R
dL r R R r dr− =∫ 1�;?%
<������� �� ��� 02 =
4
qc
k− �� �������� ���� ����'�� ���� ��� ��� ���� ���� ������������ ��
2 20ˆ( ) ( )4wq
T r T R rk
− = − 1�;A%
��������������� ��������������� �������� ��� ���� ��������� ���������������� ������� �� �� ���� �� ��� ���� ��� ���������
(� ����� ��� ������� �� ��� * ��&�� (������ )���� �� �������� �� � ���!���� ��� �������� �������� ��� ��������� ' ����
������� ���� � ������� ��� ������� � �� ������� ��������� �� F' ���� 1���� "���� � �� �� ���7���� ��� � �� ���� � ����� �� ���� .����� ��� ������� ������� �� �� ���� ��������
2
2 0
d uAE ax
dx+ = 1�;B%
������� �������� ��������� ��� �� ������� ���������� ������ ������� ��
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
����� ��� ���� ��� ��������� 8%� .� 8�� 0x L
duAE
dx == �
������� ��� ���� ������ ��� ����� ��������� �� ������� ��� �� �� ������� '���� �� �� ���� ��� ��������� ������� �� � ������ ���� ������� �� �� � �� �� ���� ��F' ���� 1���� "�
�%� �� � �%� .� �� /� ��� /� ���� /� ��
� 1�=8%
+���� ��� ���� ��� ���������� �� ��
�� .� 8� �� .� : 1��� /� 9���% 1�=�%
����� �%� .� � �
�� :� 1��%� /� � ��� :� 9���% 1�=1%
����� �� ����� ���� �� ���� �������
��� .� �� 1�� /� >��%� /� �� 1�=9%
������� ���� ���� ������������������������������������������� ���* ��&�������� �� ��� ��� �� �������� ��������� ����� $� �%� .� ��� :� 1��%� �� $� �%� .� ��� :� 9���%�
����� �� � �� ��� ������� ����� �� �� ����
22 3
0( 2 )[ (2 6 ) ] 0
Lx Lx AE c c x ax dx− + + =∫ 1�=;%
3 22 3
0( 3 )[ (2 6 ) ] 0
Lx L x AE c c x ax dx− + + =∫ 1�==%
<������ ���� �� �� ��� �� ��� ��� .� 8� �� .� : �# >��%% 1�=>%
������ � �%� .� �# >��%% 9���� :� ��%�� ������ ��� � ����� ������� ��� � ���� ����� ��� ' ��� ��������
��� ��� �������� ������� �������� �� � ���!��C ���� ��������� ��� � ���� ������� �� ������������ ������ � ��� ����������� � � �� ������ ��� ����� ���� ��� �� �� ������� ����� �� �� ����
+��� ��� �&��� ����� � �� ��� �� �� ����� � ����'�� �� �������� ��� ��� ����
1
ˆ n
i ii
u u c N�
=
≈ = + ∑ 1�=?%
���� �� �� ��� ������ ���������� ��� �� ������� ��� ��� ()� ������� �� ������������ ��%�� ��������������� �� ���� � ������� ��� ���������������� ������������"�� ��� �� �� #%� �� ��� ��� �� ����� ��� ��� ()� �� ���� � � ��� �� ������ �
0i dW R d�
=∫ ���� �� .� ��� 1������ � 1�=A%
���� $�� .� %����� ��� ������� �� �� ����� �������� ��� ����������� � ������� ��� ��� ' ��� �������� ���� ���� ���
������ !��������� ������� ���� ��� ��� ����� ���� 6��� �������� ����� ��� ������ �� �� � ��
������������ �� ���� �������� �������� �� ������� ����������������������� ������������� ���������� �������������� ��������� ��� ��� ��� ��&��� �� �� ��� ��������������������� �� ��������� ��� ���' ��� ���������J������������ ������ �� � &� ������ ����� ��� ���� ������� ��� �����������%� ���� ��� ��� �� ������� ��� ��������$%�� �� '���� �� �� ���������������������� �������������������������������������'������������������������
������� ��� ��� ����� ��� ����� ���� ��� ��� * ��&�� ������� ��� � ���� �����'���� ����� ������� ��� ������� ��������� ��� ��� �� �� �� ���7���� ��� ������� �� �� �� ������+����� 1�������� ������� ������� �� �� ���� ��� ���� ��
3 4 4 4
02 4 2 2 4 2 0
12(1 )
Eh w w wq
v x x y y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + − =⎜ ⎟− ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
1�=B%
b
All edges simp supported
o
����� ���� :� ���!�$� � !!����� !�����
���� ���� � �� � � ����
#
� %
�!
�� ��� ���� ��� ��������� ��
! 8� �%� .� 8� .� ! �� �%� �!#��� .� 8� ���� �� .� 8� �� �
! ��� 8%� .� 8� .� ! ��� '% �!(��� .� 8� ���� �� .� 8� �� '
����� �� ��� �� �� ������ ��� ����� ��������� �� ���� ��� ��� ���� ��� ��������� ���� ��������������� �� ����� ������ � ������������ ������� ���� ��� �� ��������
"�� ��� ������ � �!���� ��� �� ������� ���� ��
! �� �%� �� w �� �%� .� ��� �� � �#�%� �� � �#'% 1�>8%
��
��� ������� ������� �������� &� '� ������ ��
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
��� ��� ��� ��� �� �� �� ���� ��� �� ������� � ������� ��� ��� ���� ��� ��������� ��� ��� �������
������� ����������� ������������������� ������� �������� ������������������ w �� �%������������ �� �� ���� �� �������-
22 23
11 02 sin sin
12(1 )d
Eh x yR c q
a b a bv
� � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− ⎣ ⎦
1�>�%
������� ���� ��������������������������������������$ �� �%�.���� ��#�%���� ��#'%����������� ����� �� �� ��������� ��� �
3 22 211 020 0
sin sin ( / ) ( / ) sin sin = 012(1 )
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ −⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ � � � �� �
b a x y Eh x yc a b q dx dy
a b a bv 1�>1%
<������ ���� ���� �� ��
��� .�22
02 3 2 2
16 12(1 ) 1
( / ) ( / )
q v
Eh a b� � �
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥+⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦
1�>9%
�����.�'����������� ���� ���� ������ ������������� ����������������� �� �������� ;#� �%� D�1 �� :� ��%# ���%E� ���
�%�
������� ��� ������� � �� ��� �� ����� =8� ��� ���� �������� ��!��� �� ����� �+����� �1��1%����� ���� �� ���� �� �� ���� ����� � ���� ��� ���� �� ��� ��988K������������ ������� �� �� ���� �� ��� ���� ��� ��������� �� ���� ��
L
¥
Wallw
����� ���� :� !��'����
��
�
"���
��
2
2 ( )
c
d T Phk T T
Adx∞= −
& 8%� .� &�� .� 988K�
( ) 0dT
Ldx
= ���� ������% 1�>;%
���" .� ��������� ��� ���� �� ������������) .� ��������� .� �����!����� �� � �� .� �������� � �� �� ���� ���������
&� .� � ��� ���� ����&� .� ����� ���� ����
"�� "� .� 188� (#�#K�� ���� ��������� �� .� 18� (#��K��� &�� .� 98K��� F���� �� ��� ���� ���
������������ �� ��� ��� ����� ���* ��&��������� ����� ��������(���� ��� ���� ����� �� � ������� � �
2
2 400( 30)
d TT
dx= − 1�>=%
with (0) 300 C, ( ) 0.dT
T Ldx
= ° =
����� �� ��� �� �� ������ ��������� "�
& �%� �� T �%� .� �� /� ��� /� ���
+���� ��� ���� ��� ���������� �� .� 988�� �� .� :1���� �������
T �%� .� 988� /� � ��� :� 1��% 1�>>%
����� �� *� ���� ���� ��������� <����������� T �%� �� ��� ������� �� �� ������� ��
�� �%� .� 1�� :� ;88D1?8� /� � ��� :� 1��%E 1�>?%
����� �� ���� ���� ���� ��������� ��� ������ ������� $ �%� .� ��� :� 1���� ����� �� � �
2
0( 2 ) ( ) 0
L
dx Lx R x dx− =∫ 1�>A%
<������ ���� ��� �� ��� �� .� 9A�?=��;9�� C��
T �%� .� 988� /� 9A�?=��;9 ��� :� 1��% 1�>B%
(� � � � ����� ��� �� ��� ' ��� �������� �
exact
( ) cosh [ ( )]
cosh ( )wT T
T x T m L xmL
∞∞
−⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
���
2 c
hPm
kA= 1�?8%
(������� �� �� ���' ��� �������� ��� �'���� �� ����������� ����'�� �� ���������� ��� 7���� ��� ��� �� �� ����� (� � � ������� ���� ����'�� ���� ��� � &��� ������ �������� �� � ��� ������� �� ��� �� �������� "�
T �%� .� �� /� ���/� ���� /� ��
� 1�?�%
��� ������� ������� �������� &� '� ������ ��
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
+���� ��� ���� ��� ���������� �� .� 988K��
�� .� :1��� :� 9��� 1�?1%
�����
T �%� .� 988� /� � ��� :� 1��%� /� � �
�� :� 9���% 1�?9%
��� ������� ����� �� �� ����� � � �� ������� ����� ��� ���� �������� ������� ��� :� 1��%� �� ��� :� 9���%�� (� � � ��� ��� �������� �
�� .� ;A�A>8�;� �� .� :�8B�11B 1�?;%�����
T �%� .� 988� /� ;A�A>8�; ��� :� 1��%� :� �8B�11B ��� :� 9���% 1�?=%
(� � � ������� ������� ���� ���� �������� ��� � &��� �� ���� ���� �� ��� ������ ���
T �%� .� �� /� ��� /� ���� /� ��
�� /� ��� 1�?>%
+���� ��� ���� ��� ��������� �� � �
� �� .� 988� �� .� :1��� :� 9���� :� ;��
� 1�??%�����
T �%� .� 988� /� � ��� :� 1��%� /� � �
�� :� 9���%� /� � ��� :� ;���% � � � 1�?A%
(� � � ������ ��� ���� ������� ����� �� �� ����� ����� ��� �������� ������� ��� :� 1��%�� ��� :� 9���%� �� ��� :� ;���%�� (� � � ��� ��� �������� �
�� .� =9�?81�A� �� .� :1==�>>A� �� .� ��91� �� �8�
�������
� T �%� .� 988� /� =9�?81�A ��� :� 1��%� :� 1==�>>A ��� :� 9���%� /� ��91 � �8� ��� :� ;���% 1�?B%
� ��� 1��� ���� ��� ��� � ������ ����'�� �� ��������� ����� ��� ' ��� ��������� ��� ��������� �� �� ��� ���� ��� ��� ��� * ��&�� ����'�� �� ��������� � � �� ����� ��� ����������� ��� � &��� ���� �� ���� ����� �� ��� ����� ��������� C������ ��� � ��� ��� �
��� ��� �������������������������������� �� ����� ������
:���� ; ������� � ��� ; ����� )���������� �� ��� �� ��� �� ��� �� ���
! #!! #!! #!! #!!!$!!% &'($%) &'!$'* &'!$*% &'!$*%!$!( &+%$(& &+,$(( &+,$!! &+,$!&!$!(% &%!$%) &,)$+& &,)$+! &,)$+&!$!& &#'$!! &#*$## &#*$#) &#*$,#!$!&% &&*$#, &&*$(+ &&*$&* &&*$#(!$!# &('$+& &()$!& &()$(& &()$(+!$!#% &(($', &(&$'# &(&$'+ &(&$)(!$!, &!*$!! &!'$%( &!'$,# &!'$,)!$!,% &!,$!) &!%$)' &!%$*) &!%$'%!$!% &!#$(& &!%$(+ &!,$)( &!,$)*
� ���� ����������������������(��������� �����������������������������������&��������������� ����������������� ������� ������������������������������ ������������ &����� ��� ��� ������� ����� �� �� ����
��" ���#� �$��������� � ���!� ��� �� ������� �������� ���!����������� ��� �� �� ������� ����� �� �� ���� F��� 1�=A%�� ��� ��� �������� ��� � ���� ������� ���� ��� � ���� �� �� ��� ��� �� �� ()� �� ����� ����� ����� ����� ��� ���������������� �� ��� ��� �� ������� ������ �� ��� ��������� (� ����� ����� � �� � ����� ���������� ��� ��� �� ��������� "�� ��� ������� �� ����� ����� ��� ��������� ' ����
������� ��� "�� ��� �������� F' ���� 1�>� �� ������ �� � �� ��� ������� ������� ��� ���
2
2 0
d uAE ax
dx+ = 1�A8%
����� ��� ���� ��� ��������� 8%� .� 8�� �� 0x L
du
dx == �
"���� �� ��� ��� �� �������� �������<����������� �� ���������� �� �� ������� ���� ����� �� ����� �� �� ��� .� ��� ���#���% / ���
(����$ �%� �� ��� �������� �������� �� � �� ��� ������� ����� �� �� ���
2
20
ˆ( ) 0
L d uW x AE ax dx
dx
⎡ ⎤+ =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ 1�A�%
���2
20 0
ˆ( ) ( ) 0
L Ld uW x AE dx W x ax dx
dx+ =∫ ∫ 1�A1%
��
0 0
ˆ( ) ( ) 0
L LduW x d AE W x ax dx
dx⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 1�A9%
)� ��� ��� �� � ��� ������ � ���� ���� ���� ��� � ���� ���� � ������ ���� �%
[ ] ( ) | ( ) | u dv uv v du uv uv v du� � ��
� � �� � �
= − = − +∫ ∫ ∫ 1�A;%
(��������� ���������� ����.�$ �%� ����.�ˆdu
AEdx
������ �������������������F��� 1�A9%��� � ����� �� � �
0 00
ˆ ˆ( ) ( ) 0
LL Ldu du dW
W x AE AE dx W x ax dxdx dx dx
⎡ ⎤ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ 1�A=%
(������ ˆ( / )AE du dx .�)�� ��� '� �� ����� �� ��� ��������� � � ������ ��� ���� �� ���� �
00 0
ˆ( ) (0) ( ) 0
L L
Ldu dW
W L P W P AE dx W x ax dxdx dx
− − + =∫ ∫ 1�A>%
���(� &)���������'� ����� ��� ��������� �������� ������ ��
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
(��������� ���������������� ����� �%�� �������������������� ������������� �� �� ����� F��� 1�A�%�� �� � �� ��� ���� ���#���� ����� �� F��� 1�A>%� �� � �� �����#���� ����� ���� ������ ���� �%� ������� �� � ��� �� �� �� ���� ���� ��� ����� ��������� ����� ��� ��������������� ����������� ������ �� �� �� ��� �� �������� ������������������� ������� ��� �%����� ������������� ����'��������������������������()��� ����������(�� � ��� �������������� ����&��� ��� ������ ��������������)�����)��� ����� ��� ��� �������� ������������� ������ ���3���� �4����� ����������� ����.�8�� ���� 8%�.�8�%����������������()��� �������� �������!��"� ��������������%���� ������������������� ��� ����� ��� ��� ������ ��� �� ���� &� ������� ������ ���� &�� ����������� ���� ����� �� ��������� +���� ��� ��� �� ����� ��� ���� ����� ����� ��� ��� ()� �������
+���������������� ��� ������ ������������ 0.Ldu
AE Pdx
= = ������������������
������������� ������ ����������� ����+�8��� 8%,����������� �������������������$ �%� �� ����� �� �� $ 8%� .� 8�� ����� ��� � &� ����� �����
0 0
ˆ ( )
L Ldu dWAE dx W x ax dx
dx dx=∫ ∫ 1�A?%
� � � � � ���7��� ��� 8%� .� 8, ( 8%� .� 8
"����� �� ���� �� �� �� ����� �� �� �� �������� �� ���� ���� ���� ������ ������ ������ ������� �� ����� �� � ��� 1�1�
��� ��� ���!�� ��" �� � ����������#��� ����� � ��
/����������� 9���4���� ����� �� 9��8� ���� �< ���� ���������
2
2 0
d uAE ax
dx+ =
2
20
ˆ 0
L d uW AE ax dx
dx
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 0 0
ˆ
L Ldu dWAE dx W ax dx
dx dx=∫ ∫
��-��� �� ��!�� .� ! ��-��� �� *�!�� .� ! ��-��� �� *�!�� .� !
( ) 0du
AE Ldx
=ˆ
( ) 0du
AE Ldx
= ��!�� .� !
��� ������� �� ��� �������� ��� ��� � &� ����� �� ���� ��� ��� ���� �������� ��
�%� �� � �%� .� ��� /� ��� 1�AA%
��� �� � �
��#��� .� �� /� 1��� $�� .� �� $�� .� ��
�$�#��� .� �� �$�#��� .� 1�
(� ������ �� �� � 8%� .� 8� $� 8%� .� 8� �� $� 8%� .� 8�� �� �������
$ �%������������
����������������
1 20 0
( )( 2 )(1) ( )( )L L
AE c c x dx x ax dx+ =∫ ∫�����
2 31 2( ) /3AE c L c L aL+ = ������
$ �%���������&��
21 2
0 0( )( 2 )(2 ) ( )( )
L LAE c c x x dx x ax dx+ =∫ ∫
�����
2 3 41 2 4
3 4
c L c L aLAE
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
���� �
) �� ���� ��� ���� �� ������ �� � �
2
1 2 3
aLc c L
AE+ =
2
1 24
3 4
aLc c L
AE+ =
������
2
1 27
, 12 4
aL aLc c
AE AE= = −
����� ��� �������� � �%� ��� ��� ��� �
2ˆ( ) (7 3 )12
aLu x xL x
AE= − 1�B1%
��� ��� ����� ������� �� �� ��� ' ��� �������� ��
2 3( ) (3 )6
au x L x x
AE= −
��������� ����'�� ����������� �������������' ��������������� ��������������������������� ������� ���� ���� �� �� ���%�� +���� F' ���� 1�>�� ��� ��� ������� �� �� �� �� ������� ��� �� ������� ������ ���' ��� ������������� ���* ��&��������� ����� ���� ������� ��� ���� �� � '����� ���� ��� � ��� ��� ����� �� �� ��� �� ��� ��� � &� ��� � �� �� �� ������ ���������������� �%�.���/����/���
����������&�������������� ��* ��&�������������� ������� �� ������ ��� � �%� .� =��# �>��%% 1��� :� ��%�� +����� 1��9� ���� ��� ��� ���� �� �� ��� ����'�� ����� ����� ��� ' ��� ��������� ��� ��� ������� �� �� ��� � &� ����� ����'�� !���� ������� ����� �� � ��� ()� ����'�� ����
(� ����� ��� ����� ��� ���� ������� � ��� ��� �� �� ����� ��� ��� � �� ������ �������� �� ��������� ���� �� ���� �� ����� � �����
1�B�%
���(� &)���������'� ����� ��� ��������� �������� ������ �
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
��% ��!&������� ��� '����������� ()�����*� ������� ����������� ���#� ���!�
������� ���' ������� ��� '� ������� ������� � ���������������� ���������� ���� ���2
2 0
d uAE q
dx+ = 1�B9%
�� ��� ���� ��� �������� 8%� .� �
Lx L
duAE P
dx ==
1�B;%
��������'����������� ����'�� ��������������� ������������������������ ��� ���� �� �������-
2
20
ˆ( ) 0
L d uW x AE q dx
dx
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 1�B=%
���7��� ��� ��� ���� ��� ��������� 8%� .� �
ˆ L
x L
duAE P
dx ==
1�B>%
����� ���� ��!������ �� �!!�������� �� ����� ��� �� ��� ����� ���� ()���!��� ��3*�
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Axial Location
Axi
al d
efor
mat
ion
Quadratic - Weighted Residual
Quadratic - Weak Form
EXACT SOLUTION
�������������
����������������
����������������� �������
������������ ���
����� ��������
(�� &� ��� �������������� ����-
�� �������������� �%�������' ������������������������������ ��������������������� ����������� �� ���������������������$ �%� �������� ������� ��������������� ��� � ������ ��� ����� ���� 6��L� ��������� ��� ����� ��� ����� �%� ���������� ���� ��� ���� ��� �� �� �������� ���� �� ���
1� +��� �� ���� ������� �� �� ���� �� �#��� ��� ���� ��#� ��� ��� ���%�� �� � ����� ��� ������� ����� �� �� ����
9� ��������������� ���� ����������� �������������������� ���� ���� �������� ������ ���� ���� ��� ���������� ��� ��� �� �������� ��� '����� ��� � ������ ��� ������ ��� ��������� �� ��� ���������������� ��� ��� �� ����� �� ������� �� ������� ��������� ���� ����
;� ����������� ��������$ �%� � �� �� ��������� �� �� �6���� ���� ��� �������2����������3�4����������������������������� �������� ������� �������� ��� ����� ���� ��� ���������� � �� .� ��� 1�� ��� �%� �� ��� ��� �� �������� ���� ������
=� �� �� ��� ��� �������� ������� $ �%� ��� ���7��� ��� ���� ������� ���������������� �� � ��� ����� ����� � �� ��� �� +��� ' ����� �� ��� ���� � ����� ��� �� �������� � �%� � �� ��� �� �� � ��� ����� ������� ��� �� ��� ��� ��� ���� ��#���%�� ���� �� ����� ���������� ������ ���� ����������� �������������7���������������� ���� ���� ��� � ���� �� �������� ��� � &� ����� ��� ��� ���������� ����������� �� �� ��������� ���� ��� ��� �� �������� � �%� �� ��� �������������� $ �%�
M���������������� �������� ���������� ������ &�������� ���������������� �
0 00
ˆ ˆ( ) ( ) 0
LL Ldu du dW
W x AE AE dx W x q dxdx dx dx
⎡ ⎤ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ 1�B?%
<����������� ��� ��������� ��� �� ����%� ���� ��� �������� �� �� .��,� ���
ˆ L
x L
duAE P
dx == �� �� �������� �� �� $ 8%� .� 8� �� ���� ��� ��������� ���� �� ���� ��
�������� 8%� .� ��� �� ��� ��� � &� ����� �� ���� �
0 0
ˆ ( ) ( )
L L
Ldu dw
AE dx W x q dx W L Pdx dx
= +∫ ∫ 1�BA%
���7��� ��� � 8%� .� ��� $ 8%� .� 8�
���������� �� �� ���� ����
�� �� ��� � &� ����� ��� ��� ��� ���� ���� ��� � ����� ��� ��������� �� �� �� ��� �������� � � �� ��� ���� �� �� �� �� ��� �������� ������� $� � �� ��� ���
���+������� ��� "����������� �������,� ������� �������� ���� ���(� ����� ��
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
1� +��� �� ����� ������� �� �� ����� ��� ���� ����������� �� � ���������� �� �������&%�� �� ����� �� ��� ��� ���������� ��� ��������� �� �� ��� ��� ������� ���%�� �������������� ������������������ ����������������������������������� ���� ��� � ���� ��������� ����� ��� �����
9� <������ ��� ������ �����������'��������� ��������������������� ������� �������� ��������� ���������� ������������ ��� ������ �������������,��� ���� �������� ������ ������������� �������� ���������������� ���������������� &� ����� �� ����
;� �� ���� ��� ��� ���� ����� ������ � ����� ����� ������ ��� ��� �� �������� ���������� ���� ����� ����� ������� ��� �� � ��� �������������������� ����� �� �����%��� � �� ���
=� ��� � &� ����� � � �� ������� ���� ��� ������� ����� �� ����� ��� �� �������!� �������!����� ������� �� �� ������� ���� ������������������ ����� ������
>� ������������������������� ������ ����������������������� ������������������� �� 6��� �� ��� ����� ������ �� ��� ���� ��� ���� ����� ��������� ���������� ����� ��� �������� ������� ������� � ������ ��� ��������� � ��� ��� ����������� ���� �� ���� ��� ���������� ������� �� ����� �� �� ����� �� ��� ��� �� ����� ��� ��������� ��� ��� ��� � ���� ������������� �������� ��� �������� �� ����� �� ����� ���� �� <����� 9�1%� ��� �������� ��� �� �������� ����� ������������ ��������� ���� �� ��� ��������������� ��������������� �������� ���������� '����
(� ����� ��� ������� �� ��� ����� ���� ��� ��� � &� ����� �������� �������� ��� ����������������' ����
����������� "������������F' ����1�;������������������������������ ����������������� ���������������������������� �������������������� ���� ����� �������
4
4 0
d vEI q
dx− = 1�BB%
�� ��� ���� ��� ��������
F���� �-� � 8%� .� 8� � �%� .� 8 6��� ����� ����%
@ ��� �-�2
2(0) 0
d v
dx= �
2
2( ) 0
d vL
dx= 6��� �����%
"�� ˆ( )v x � �� ��� ������ ��� �� �������� �� ��� $ �%� �� ��� �������� �������� ��������� ����� �� �� ���� � � �� ������ �
4
40
ˆ( ) 0
L d vW x EI q dx
dx
⎛ ⎞− =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 1��88%
���
3
30 0
ˆ( )
L Ld vW x d EI Wq dx
dx
⎧ ⎫=⎨ ⎬
⎩ ⎭∫ ∫ 1��8�%
,� ���� ���� ��� � ����� �� ��
3 3
3 30 00
ˆ ˆ( )
LL Ld v d v dW
W x EI EI dx Wq dxdxdx dx
⎡ ⎤ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ 1��81%
���� ���� ��� � ���� ��� � ��� �� ��� �
3 2 2 2
3 2 2 20 00 0
ˆ ˆ ˆ( ) ( )( )
L LL Ld v dW x d v d v d W x
W x EI EI EI dx Wq dxdxdx dx dx dx
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎬− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ 1��89%
����������� ���� ����������������� �������������������� �� ��� v �%� ���� �������� ������� $ �%�� <����������� ���� ��� ��������� ��� �� ���� ��� ��������� ������ �� �� �� �� v #���� �� 6���� �� � �� ��� �������� � &� ����-
2 2 3
2 2 30 00
ˆ ˆ( ) ( )
LL Ld v d W x d vEI dx W x EI Wq dx
dx dx dx
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ 1��8;%
���7������������� ������ ������������� �� v 8%�.�8�� v �%�.�8��������������������������� �� ���� ��� ������������ ������ �� �� ����������� ������� �� ����� �� ��$ 8%� .� 8�$ �%� .� 8�� ����� ��� � &� ����� �����
2 2
2 20 0
ˆ ( )
L Ld v d W xEI dx Wq dx
dx dx=∫ ∫ 1��8=%
���7��� ��v 8%� .� 8� .� v �%$ 8%� .� 8� .� $ �%
(��������� ������ ��� ���������� v �%�����F��� 1��8=%��������������������� ������� � ��� �� �������� ����F��� 1��88%� ������� �� ������� ��� �� � ��� ����� ������ ������� � � ��� &� � ������ �� �� ���� ��� �� �������
"�� v �%� .� � �% �� :� �%� ������ � ������� ��� ���� �� ���� ��� �������� �� �� ������� ���� �� 6��� �� ����� ��� ������ ��������� ��� * ��&�� ��������� �� ������ ���������������������������� ��������������� ���������� ��$ �%�.�� ��:��%�������� ���� ������� ��� ������������������$ �%��+��� ������������ ���� �%�.����� ���������������������� ��� <����������� ���� �� ��� � &� ������ �� ��� �
0 00 0
( )( 2)( 2) ( )( ) L LEI c dx x L x q dx− − = −∫ ∫ 1��8>%
���3
00(4 )
6
q LEIL c =
��2
00
24
q Lc
EI=
���+������� ��� "����������� �������,� ������� �������� ���� ���(� ����� ��
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
����� ���� ����'�� �� �������� ��� ��� ���� ������� ��
20ˆ( ) ( )( )
24
q Lv x x L x
EI= − 1��8?%
��� ' ��� �������� � � �� � ����� ��� ��� �
3 2 30( ) ( 2 )24
q xv x L Lx x
EI= − + 1��8A%
,��� ����'�� ����������� '���������������� ���� �� �� ������!�� ����������18I���������C������ ��� ��� ��������������� �� ��������� ���������� ������������' ���������N� ��� � ��� ��� ����� ��� ����� ���� ����� ������
�������� �
�� (��������� ������������������()��� �������F' ����1�;�������������� ��������� ����� ��� �� ����������� ������� ���� &������������� ����� v �%���� �� �� ��� ��� ������� ����� ����� ������� ���
1� (��������� ��� ���!��!� ������ �������������� �� ������������� ����������������� �� ��� �� �������� ��� ������ �� �������� ��� ������ ��� �� ������ ��� ������ �������� ��� ����������� ��� ��F' ����1�;� �� �������� ���+�����1��;������ � ���� ����� ��� ��� ���� ��� ��� ������� ���� �������� ��%� �� ����� ��
0
0.35
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Quadratic
Sinusoidal
Exact
��������� ��!���������!!���������� �������������������������!�$�� !!����������()���!������2*�
���������
��������� ��� �����
��������� ��� ����
����� ��� �����
�
�������������
���������������������������
����
�
� ������� ������ �� ����� ���� ����� �� ���� ��� �� +������ 1��= %� �� 1��= �%���������� �� �� � ��� �� �������� �� ����'�� �� ��������� �� ��� ������ � �� ������� ���� ��� ���� ���� �� ������� �� �� ���� ������� ����'�� ���� ��� ���� ��������� ��� ����� ���� �� ����� ������ �� � �� ���� ��� ������ �� ��� �������� ������ �#� ������� � �� ���'�� ���� ��� ��� ��������� �� �������� ��� � �� ���� ���������'����� �� "��&�� ���� ���������� �������������� ����%� ���� � �� ���� ����'���'��� ���� ��������� ��
-1
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Quadratic
Sinusoidal
Exact
�������������
/�� ���������
��������������
����� ���"(�* ��!������ �� ������ ������������ �� ���������� ()���!��� ���2*�
9� (�� ���� � ������ ����� ������� �� ��� ����������� ����'�� �����C������ ���� ������� ����������� ���������� ��������������� �� ��������� ���� &�������� ����� ��� ������&������ ���������� ������� ����������������� ��&� ��� ���������� ����'�� ���� ��� �� ���� ��� ����� ����� ������� ����(� ������� ��� ������������������ �������������� ������������� ���(����������������������� ����'�� ���� ��� �������� �� � ���!���� � ��� � ���� �� � ����� � ������������� ��� �� ������� ���� ��� ����� ��� ��
��+ ,����-.���� ���������� ������ �������� �������� ��� ����#� ���!
(�� ���� �� �� ����� ����������������������� �� ��������������� �� ������� ��� ����������������� ������������������� ���� ���� ����������* ��&��������� ���� �� ����� �������� ��� ������� ���������� ���������(�� �� ��� � ������������� ��� �������������� ��������� �� ��������������������C�������� ���� �������� ��������
! (!$)!$( !$& !$# !$, !$+ !$* !$'!$%
0�������1��� �����2���
-����$.���� ���������� ������ �������� �������� ��� �� ���(� ���� �
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
������ �� � ����� ��������� �������� � ���� ���� ��� ���� �������� ��� ��� +��� ' ������ ��� � �#�%� ���� ��F' ���� 1�;�� �� � ���� ���� ��� ���� �������� ��� �� 8� G� �� G��,� ������� ���� � �� �� ����� � ��� <���� ����� ��� ��� �� ������� ��� ��� ��#�%� ��� ��#'%� ���� �F' ����1�?�� ��� �������������������������� ��8�G���G����8�G���G�',��������������� ��
(������������������������()������������� ������� ���� ���������������� ��� ������ ��� �� ������� �� �������� ��� ��� ' ��� �������� ��� ��� ���� ������� �� �� ��� �� ��� ���� ��� ������������ � ���� �� �� ����� ��� ���� ���� � ������� ��� 3����� ������4�� ����� ���� &��� �� �� ����� ������� ��� ���� ��� 3���!���4L� � ��� ���� ��� ����� ��� ���������������������+�����1��> %�������� ��������� ������ ��� �������� � �%�.���� ��#�%���� ����'�� ����������� ���������������<��� ���� ��������� ����� ���������� ��������������� ��� ��������� ����'�� ��������� ���� ����������������������� ��� ����.�8� �� ��.��#1���� ����� ����� ��� ������ ����'�� ������� ��� ������� ������O��#1�� �������������������� ����������������� ���������������������� ��������������H��������������������� ���� ����.�8� ����.��#1L� ����������������������������� ��� ����.��#1� �� ��.����F ������ ���� ��� ���� ����'�� ���� ��� ��� ������������� �� �� �������������������� �H��� ����������� �� ������!��� ��8�G���G��#1�� �� ��� � ���� �� �����!��� ���#1�G���G������ ������������� ������ ����'�� ���������������������� ����������������� ��� � &��� ����!��� ����� ����'�� ���� �� ����� �� +����� 1��> �%�
����� ��� ��� ���� �� �� � ��� ���!���� ��������� ��� �� ������� ����'�� ���� ���� ��� &� ������ ,�� ������� ��� �� ������� ���!���� ��� �� ��������� �� �� ��� ������������������������ �� ��� ���������� ����� �����7��������(�������' ���������������������������������������� �� ��� ���""�������� ��������'��������� ������� ���������� ��� ���� ����� ��� ���� ������ ���� ����� ���� ����'�� �� ��������� ����� � ��� ���
����� ���"(�* ��!������ �� ������ ������������ �� ���������� ()���!��� ���2*�
-3.5
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Quadratic
Sinusoidal
Exact
�������������
1���������������
0�������
1��� �����2���
!$)!$'!$*!$+!$%!$,!$#!$&!$(!!
3#$%
����� ���%(�* 5��� ���� ��'����� �������� �!!��������� �� �� � ������
����
� ���
4��� �����
�5�� �����
����� ���%(�* � �'����� �������� �!!��������� �� �� � ������
2���/���� �����
(
!$)
!$'
!$*
!$+
!$%
!$,
!$#
!$&
!$(
!$(
!
! !$& !$# !$, !$% !$+ !$* !$' !$) (
&
(
!
! !$( !$& !$# !$, !$% !$+ !$* !$' !$) (
-����$.���� ���������� ������ �������� �������� ��� �� ���(� ���� �
�
����
������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
�������������������������(� ����������������� �� �� �� ���� ���� ����������������� ����������� ���������� ����������������� ��%�������� ����!����� �������� ���� ����������� ��
"�� ��� ���� ���� ��� �� ��������� ��� � ���� �� ���� ��� ���!��� ��� �� ����� ��� ���������� ���� �����������������!��� ���+���' ���������+�����1��>�������������� ��������� �� ��� � �� �� �������-� ���� ��� �!��� ����� +����� 1��> %%� ����'�� ����
� -%� ��(0.5) 0
0.5 0
f −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
-� .� � 8�=% P 1-� 8� G� -� G� � 1��8B%
���� ��� ���!��� ����� +����� 1��> %%� ����'�� ����
� -%� �� � 8�=% P 1-, 8� G� -� G� 8�= 1���8%
� -%� �� � 8�=%� /�0 (0.5)
1 0.5
f−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
-� :� 8�=%� 8�=� G� -� G� � 1����%
���� ��� ����!��� ����� +����� 1��> �%%� ����'�� ����
� -%� �� � 8�1=% P ;-� 8� G� -� G� 8�1= 1���1%
� -%� �� � 8�1=%� /�(0.5) (0.25)
0.5 0.25
f f−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
-� :� 8�1=%� 8�1=� G� -� G� 8�= 1���9%
� -%� �� � 8�=%� /�(0.75) (0.5)
0.75 0.5
f f−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
-� :� 8�=%� 8�=� G� -� G� 8�?= 1���;%
� -%� �� � 8�?=%� /�(1) (0.75)
1 0.75
f f−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
-� :� 8�?=%� 8�?=� G� -� G� � 1���=%
+������!��� ������!������� �������� ����� ���������������������������� ������������������� ���� �������� ��������������������'�� �������������� ������!��� �� �� �������� ���� +����� 1��> �%%-
+��� ��� ���!��� ����� +����� 1��> �%%� ����'�� ���� ����� �� .� �#1� .� �#1%�
+����� ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8%� /� D�#�E � 8�=%� 8� G� �� G� � 1���>%
<���� ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8�=%� /� D�#�E � �%� 8� G� �� G� � 1���?%
+��� ��� ����!��� ����� +����� 1��> �%%� ����'�� ���� ����� �� .� �#;� .� �#;%�
+����� ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8%� /� D�#�E � 8�1=%� 8� G� �� G� � 1���A%
<���� ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8�1=%� /� D�#�E � 8�=%� 8� G� �� G� � 1���B%
������ ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8�=%� /� D�#�E � 8�?=%� 8� G� �� G� � 1��18%
+������ ���!��� �� � �%� �� D�� :� �#�%E � 8�?=%� /� D�#�E � �%� 8� G� �� G� � 1��1�%
L/2 L/2
x l=0x =
0x = x l=
(� ������ �� �� �� � �� ���� ��� �� � ��������� �������� D�� :� �#�%E� �� D�#�E� �������� ������ ���������������� �� �������������������!��� ����������� ���������������� �� ��� ��� ��� ��� ���!��� ���(� � � ����� �� �� ���� �������� �� ���������� ��� ����� ��� ������ � ��� �%� ��� ����'�� �� ��� �������� +��� ��� "��� ��� ������ � �
� �%� �� D�� :� �#�%E ���� /� D�#�E �� 8� G� �� G� �� .� �#� 1��11%
���� �� � ��������� �������� (�� )� "�*�%+� �� (�*�+� ���� �� ���� ������ ���� �� � ����������������� �������� ��� ������ �������� ���� ���� ������ ��� �� �� ��� � �� ���� ��� ��������������� ������!��� ���(�������������� ����%� ��.����1���������� �%�������� ���� �� �� ��������
���� �� � ��������� �������� ���� �� ��� ����������� ��� � ���� �� ��� ��� � ��� ��� ��������� �� �� �����)� ������ ��� ��� �� 8� G�-� G���� +����� 1��?� ������ ���� ������ ����������� ���� ��� ���!��� ����� � �� ��������� ������ +����� 1��? %� ������ ��� ������ !���� �������� �� � ���� ���� ��� ���� ���!��� �������� ��� +����� 1��? �%� ������ ����������� ����� ���� �������� ��� �� 8�G�-� G���� +����� 1��A� ������ ���� �� �� �������� ���� ������!��� ����� � ��
L/4
x l=
0x =
0x = x l= 0x =
x l= 0x = x l=
X0X =
L/4L/4L/4
����� ���%(�* =��� �� ����� ��������� �������
�6, �6, �6, �6,
/� .� !/
/� .� �
�� .� ! �� .� � �� .� ! �� .� �
�� .� ! �� .� � �� .� ! �� .� �
,#&(
� �
��
�
�
�� .� ��� .� !
( &
�� .� ��� .� !
�6& �6&
-����$.���� ���������� ������ �������� �������� ��� �� ���(� ����
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
(��������� ����� �� ��� ���� ����������%� ������ ���������� ����������� ��� ������ ����� <������ �� ����� �� �� �� �� ��������� ��� �������%� � ���� �� ������������ ������!��� ���F ���%� � &�������� ����������� ������������.��� ����� ��� 6��� �� ��� ����� �!������ �� .� �� ���� "%�� ����� ��� ��� �� '����� ����� �� �� .� ��� ������� ����������� ��� ��� � ��� ��� ��� ������� ����� ����� �� ��� �� �� ���� F�� ��������� �������� ���������������� ������� ���������������� �� ��� ������������������ ��� ��� ��� ������� ���������� ��� ���!��� ��� �� ���� ����� ���� ���� �� ������������ ����� ����� ���!��� ��� ��� ������ ��� ��� 3�����4�
(���� ������ ��� ��� �������� ��� ������� �� �� ������ ��� �������� ��� �� ������� � �������������������������������� �%�������������� ����'�� ����� ����!����� � �� ��������� ����� ������ ��� ��� � ���� ��� ��� ������� ��� "� .� ��� 1�� 9�� 0�� ��� ��� �� ������������ ��� ��� ��� ������ ��� ����� ������� � �������� ��� � &� ������ ����������� ������ ���� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ������������ � ����� ��� �� �������� ������ ����� � �&����� �� ���� ��� ���� �� $� �%�� �%�������� ������ �� 8�G�-�G��%�(���� ��� ��� ��� ������ ���� �������� �� '�� ��� ����� �� �� ��� ������ ����� �� $� �%�� �% ���� ���� ��� ���� ���� ��� � ����� ���� ���� ��� ���!��� �� �� ������ ���� ��� � ����� ���� ���� ��� ��� ���!��� ���� ,�� ������ ����&� ���� '� ��� �� ����������� ��� ��� �������� ����� ���� ���� �������� '� ���� ��� ���� ����� �� ���� ���-��������� &���� ��� ��'����&��.������� ���������� �� ���� �������� ��� ���� /������� �� ��� ���-������� ��� �������� ����� ����� ��� ���� ����������� �������� � �������� ��������� ���� ������� ����������<������� &������������� ���������������� ���� ���� ����� ��� ����� ������������������� ������ ������������ �������� ���������������� ��������� ������ ��� ����� �� � �� ����� �� � ���
(� ���� �� ��� � ��� �� �� ��� �&��� ���������� ��� �� ������� ��� ���� &� ���� ����� ���� ������� ��� ������ �� ��� �� �� ��������� ������!��� ���� �������������� ��
1
��� 7��� ������� ��������5����� ����� ���������
��� 8�� ��� �� �� ������� ��� �� �� �������
1 �x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ �
x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ �
x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 �x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
(
&
($!($!($! ($!
��0����0�!��0����0�!
1�
1� 1�
($! ($!
( ��0��
($!
����� ���+ ������� �����!������ � �������
&
������ ����� ��8�G�-�G��� ���� Q�R� ���!��� ������ ������ ����/����&���� ������� ��������� ��� �� ������� �������� � �������� ��� � &� ������ (� '���� ��� �� �� Q�� /� �R ���� ����� ���������� �������������� ���'������ ��D�E�S�T�.�S'T�����Q��/��R���������������� ��� �� �� ��� ��� ��� �� ����� �� ��� ������ ���� �������� ����������������� ���* ��&�� ������������� ������ ���� ����������� �������� �� ��� � �� ������ ����� �� +������ 1��?� �� 1��A�� ��� ��� ������� �� �� ���� �������� ������� �� ��������� ����� �� ���!��� �� ��� ������ ������ ��� ��� ������ ���� ��� ��� ��� ���
F
����� ���. >����!������ � ������� ��� � �'�������� �!!���������
( & # ,
( & # ,
( & # ,
( & # ,
( & # ,
($!
($!
($!
($!
($!
1�
1�
1�
1�
1�
-����$.���� ���������� ������ �������� �������� ��� �� ���(� ���� �
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
������ ���������� ��� �� ������� ��� ���� �� $� �%�� �% ������ ����� &� ������ 7������� ������ "��� ���!��� ��� �� ����� ���� ��� � �� ������ ���� ��� ����� ���!��� ��� ��� �������� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ���!��� ���� (� ��� �� �� ��� ������������ ����� �����!��� �������������������� ���'�D�E� ������������� ���������� ��'������ ������������������������� ������������������&��������������������!��� �� ��� ����� ���������� ������������������������� �� ���������� �������������� ���������� &��������� ��� ���� ��� �� ��� � �� ���� ���������� �� ��� ���� ����� ���
� F� �� �� ��� ���!��� �� ���� ������������ ��� ��� ������� ����� �� ��� ������������� ��� ���� �� $� �%�� �% ��� ��� ���� � &� ������ 7���� ��� ���� ��� "��� ���!��� ��
� 2������������������������� ������D�E� ��S'T���� ������� ������ �����������!��� �� ���� ������������ �� ��� ������� �� ����� �� �������
� <������� ��/��%� ���� ����� ������������������&�������6����������� ����� �� ��� ��� ��� ��� ���!��� ���
,�� ��� �������� ���� �� �� ��������� ������!��� ���� ����������� �� ����� ��� ��� � ��� ��� ��� ������� �� �� ������� ����� � � �� ��� ��� ����� ��� ������� ������� ���� ��������
�������������������������������������F ������������!��� ������� ���� ���������� ���H����������������� ����� ���������� �� �������� ������������� ���������� ��� ��� ���!��� �� �� ������ ��� �� ��������� ��� ��� �����(������ � ��� �� ����������������� ���� ��� ��� ����� ��� ��� �� ���� ��� ���� ���� � ���� � � � �����!������������ ���������������&����������� ������ �����������������!��� �� �� &��� �� ��� ������ �������� ��� ������ � ������%�� �� �� �� ����� ���� � � ����� ���������� ���� ������ �� �������� ����� ���� ���������������!��� �� ���������������� ����� � &� ����� �� ����� ���� ������ ��� �� ��� ���� ������ ���������� ��� ������� ��� ���������� ��� ���� ��������� � ������ D�E� �� S'T� ��� &��� �� ��� ������� ��� ���� '��,� ���� ����������� ������� ������ �������������� �������� ���������� ���������������� �����
(��������� ������� �� ��� ����� ���� ������ ����� ����� ���� &� ����� �������� ������ ' ����� �������� ����� ' ����������� �� ������ ���� ��� �!������ �� � �� �������������� ��� � ��� ��������� ���� ���� �� ��� '� �� ����� ���� QR� �� ��� �� �� ��� �� �� ������� ����� ��� � ���� ������ ���� ��� ����� �������� ��� �����'� ����&� ����������(�������������� ��!������ ��� ���������������� ����������������� �� ������� ��� ������� �������� �� �� ����������� ��������� �� ������ ���
��/ 0��-��!��������� 1��� ������ (��!��"�������������F' ����1�B�������������������������������� &��������������������������������!��������� ������ �������������+����F��� 1�A=%�� ���� &��������� ��������� �� �� ���� � � �������� �
0 00
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 0
LL Ldu du dW
W X AE AE dX W X q X dXdX dX dX
⎡ ⎤ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ 1��19%
(� ��� ��� ������� 3-4� ���� 3���� �4� ������ �� ����� ���� ��� ����� ��� ��� ���� �� 8� ����%�� �� ��� ������� 3�4� ���� �������� ��� 3��� �4� ������ �������� ��� ��� 8� ��� �%�� )������� F��� 1��19%�� �� � �
0 0 0
ˆ ˆ ( ) ( ) ( )
LL Ldu dW du
AE dX W X q X dX W X AEdX dX dX
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫ 1��1;%
"�����3��������4����� ������3�4������������������ ������������ �������� ��������+�����1��B��+�����1�18������� ������ ��� ������������������������� �� '� ������ ���� � �� ��� �� �� ������
21 &( �(
��� .� ! �� .� �
/
/� .� !/� .� �
����� ���3 6��4� �� �� ���� ���������
( (� 9� (
�� .� ��� .� !
��
�� ����
����
������ �$�$�$
������ �����
����� ���2 -$!����� ���� ��������
+��� ����� �!���� ����� ��� ��� ������ ��� ���� �� ���� �
0 0 01 1 1
ˆ ˆ ( ) ( ) ( )
n n n
k k k
du dW duAE dx W x q x dx W x AE
dx dx dx
�� �
= = =
⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑∫ ∫ 1��1=%
������ � �� ��� ��� ��� ���� �� ���� 8� ������ ��� ���� ���� ���� ��� ��� ����� �����"��� �%������� ������������������������� ��������������������� �������������� � "��� ����
1ˆ ˆ ˆ( ) 1 k kx x
u x u u +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� �
� .� D%E� S�T 1��1>%
������� ������������������������ ������������� ����������������� �� �������� ����H� �������� ������������ ������������������� ��������H������ �����
(
2��$������������ 3��� ������ ������ �
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
������������������� �������������������� ������� ��������� �� ��D%E� ������� �������� �� ��S�T� ����� ������� ����6�������������������������� �����+����������� ��
1
ˆˆ[ ] 1 , { }
ˆ
kk
k
ux xN u
u� �+
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭ 1��1?%
11
ˆ ˆˆ 1 1ˆ ˆ ˆ [ ]{ }kk kk k
u uduu u B u
dx�
�
��� � � �� � �
� 1��1A%
���
D.E� .�1 1
� �
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
"�����������������������������������"�������������"C<�����F��� 1��1=%� ��������
$� �%� .� �� :� �#� %� �$�#��� .� :�#�
$� �%� .� �#� %� �$�#��� .� �#� 1��1B%
�������������'(��� ��)����*+
!���
11
0 0
ˆ ˆˆ 1 k ku udWdu
AE dx AE dxdx dx
� �
� �+ − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
1
1
ˆ ˆ ( )
ˆ [1 1]
ˆ
k k
k
k
AEu u
uAE
u
�
�
+
+
= −
⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
1��98%
<���� ����
12
0 0
ˆ ˆˆ 1 k ku udWdu
AE dx AE dxdx dx
� �
� �+ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
� � � � � � � � � � �
1
1
ˆ ˆ ( )
ˆ [ 1 1]
ˆ
k k
k
k
AEu u
uAE
u
�
�
+
+
= −
⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
1��9�%
�������������"(��� ��)����*+
(� ������ �� �� ��� ������ ���� �� ��� )C<� ��� F��� 1��1=%� ������� ��������� ��� ���� ��'�� ���� ��������������������� �%�.���� ����� ����� ������ �����������)C<�����
�
01 0
0 0( ) ( ) 1
2
qxW x q x dx q dx
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫� � �
�
02 0
0 0( ) ( )
2
qxW x q x dx q dx
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫� � �
�
1��91%
+��� ���������������� �%������� �������� ����� ���� ���������������������������� ��� ����� ���� ��� )C<� � � �� �������� �� �������-
1 00 0
ˆ( ) 1
du xW x AE P P
dx
��
�⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
20 0
ˆ( )
du xW x AE P P
dx
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
��
��
1��99%
���� �� � �� ���� ��� � ��� �� �� ��� ������ ��#��%� �� ��� ���� ��� '� �� �����)� �� ��� � � ���� ���������������)�� ��)��� ��������������� ����������������������� ����������� ���������� ����� ���� �������������'�� ���� �������������� ���������� ������� �� � ����� �������� ����� ����� ������ �� �� �� '���� �� ����� ���� ��� ��� �7��������%�� �� �� ��� '����� ��� �� ������� ����� ���� ��� �� � ��� �����
�������� F���� 1��98%: 1��9;%�� �� � � ����� ��� ������������ ��� ��� "��� ���� ����� ��� ��� ������ �� ����� ���� �� F��� 1��1=%� �
"C< )C<
1
1 1
1 1
k
k
uAE
u +
− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭�
0 0
0
/2 +
/2
q P
q P
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ �
�
� 1��9;%
���� ���� ���� ��� ����� ��������� ��� 3�� � ��������� � �����4� ��� 3�� � ���������� ����4� ���� ���� �������(������� �� �� ��#�%� ������� ��� '� �� ����������� � ���L��� ������ ����������� ������� ����� �� ���������� ��� ��� ����������������������� �� ������ �� ����� �� ������� ��� �� �� ����� ����������� �� ������ �� ���� ��� ��� � ��� �� ����� �� ����� ������ ��� ����!�������� �� ����� ���� ���� �� ����� ���"C<�� ���'� ������� �������� �������������� ������ �����)C<�������� �������� ����������������������
@������� ��� ������� ��� ������� ���������������� ����� �� ��� ������ ����� ��������� �� ������������������������������������������������������������������ � ������ ���� ����� ��� ������� �� ���� ��� ���� � ������ ��� ������� 3�� �� ������� ���4��������������� ������������������ ���������� ��������� ����!��������2 ����������������� �������������� ��� �����������3 �������������� ����4���� � ��� ���
����������� ������������������ '���� �������� � ������� ��� �� �������.�1��� ������������� ���� ������ �� ����� �� +����� 1�1��� ��� � &� ����� ��� ��� ������� �� �� ���� ��������
2��$������������ 3��� ������ ������ �
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
((
�� .��6&
&
( &
�
& #
:���������������
�����������������
:���������������
�����������������
&
&
&
#
(
( ( &&
(
(; &; #
2�������� $
����� �� $
;
����� ���� -�'�������� �������������� �� �� ���
(
(
( &
&
&
($!
1�;��
1�;��
1�;��
($!
($!
����� ���� 9���4�� (�4�!�*� � ������� ��� ��� ������� ���� ���������
0 0 0
ˆ ˆ
LL Ldu dW du
AE dx Wq dx WAEdx dx dx
⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 1��9=%
(��������� ���������������������� ���������� ���������+�����1�11������� �
��� +������ 1��?:1��A� ���� ������ �� ����� ������� �� � � ����� ��� �������� ������� ��������-
$� �% .� �� :� �#�� 8� G� �� G� � �� ��� ���� ���.� 8 �� ���1�� ���
$� �% .� �#�� 8� G� �� G� � �� ��� ���� ���.� �� :� �#�� 8� G� �� G� � �� ���1�� ��� 1��9>%
$� �% .� 8 �� ��� ���� ���.� �#�� 8� G� �� G� � �� ���1�� ���
(�� ����� �������������� �� ��������� ����� ����� ���������������������������� ��� �� �� ��� ���� �� ����� ��� ��� ��� ����� ���� ��� ���� ����� � �� ����<����������� ���� �� ��� � &� ������ �� ��� ��� ��� ��� �� ����� �� �������-
01�� ��2��� "����3%
� � � � �
21 1
0 01
2 1
0
1 2
ˆ ˆ
1 0
( )
�
�
� �
�
L dW dWdu duAE dX AE dx
dX dX dx dx
u uAE dx
AEu u
=
− −⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= −
∑∫ ∫
∫ 1��9?%
22 2
0 01
ˆ ˆ =
L dW dWdu duAE dX AE dx
dX dX dx dx�� ��
� � � � � � � � � � � � � � �
3 22 1
0 0
1 2 2 3
1 1
[( ) + ( )]
u uu uAE dx AE dx
AEu u u u
�� �� �� � � � � �� �� � � � � � � �
� � � �
� �� �
� � � �
�
1��9A%
� � � � �
23 3
0 01
3 2
0
3 2
ˆ ˆ
1 0 +
[( )
L dW dWdu duAE dX AE dx
dX dX dx dx
u uAE dx
AEu u
�
�
� �
�
=
−⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= −
∑∫ ∫
∫ 1��9B%
41�� ������ ����� �� 2��� "����3%
20
1 0 1 0 00 0 0
1
1 + 0 2
L qxW q dX W q dx q dx
� � ��
⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫ 1��;8%
2��$������������ 3��� ������ ������ �
������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
20 0
2 0 2 0 0 00 0 0 0
1
= 1 = 2 2
L q qx xW q dX W q dx q dx q dx
� � � � �� �
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫ ∫ 1��;�%
20
3 0 3 0 00 0 0
1
0 + 2
L qxW q dX W q dx q dx
� � ��
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ ∫ ∫ 1��;1%
41�� ������ ����� �� 2��� "����3%
2(1)
1 1 00 0 01
ˆ ˆ( ) ( ) = 1 + 0 =
Ldu du x
W X AE W x AE P PdX dx
��
�⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ 1��;9%
%���/� � ��� ����������� �� ��� ����� ���� ��� (1)0P %� ������� ���� ����� �� ��
���������� ����� ��� �� .� 8� ��� ��
2
2 20 01
0 0
(1) (2)0
ˆ ˆ( ) ( )
1
Ldu du
W X AE W x AEdX dx
x xP P
P P
�
��
�
� �
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= −
∑
1��;;%
2(2)
3 30 0 01
ˆ ˆ( ) ( ) 0
Ldu du x
W X AE W x AE P PdX dx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑� �
�� 1��;=%
����� ��� ������ �� ����� �� ����� F���� 1��9?%: 1��;=%%
(1)001(1) (2)
2 0 0 0(2)
3 0
0 1
0 0 2
30
/21 1 01 1 1 1 /2 /2 0 1 1 /2
/2 /2 /2
/2
�
�
�� �
� �
�� �
�
PquAEu q q P Pu q P
q Fq q F
Fq
⎧ ⎫−− ⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− + − = + + −⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
1��;>%
(���� ������ ��� ��� ������ ��� �� ����� ���� ���� �� � � � &� ��� ������������� ����-
�� ��������������� ������ ���� �������������������������������� ������� ������� ���� 3�� ���4� ���� �� ��� ������� ������
1� <��� ���� �� ���� � ��� ����� �� � ��������� ����������#��� ��� � �� ������� � � �� ����� �� � ����� �� ��� ������� ������ ������� �� ��� 7���������� <��� ���� �� �� ��� � �� �� �� ����� ����� ���� ��� �� ������� �� � � ��� �� ��� 7���������� ����� ����� ������� �������������� ������� ����' ���� �� 7������ ��� 1� ��%�
9� ��� ������ ���� �� ��� )C<� ������� ��� ���� ��� �� �� ����� ���� ��� ��������������� ��� �� ��� 7������ ����� ��� ������ ���� ��� ���� ���
;� (�� ���� ��� �� �� �������� ������)C<���������� '� �� ����� �� ������������������ ��� �� ����� ��� '�� �� ������ �%� ������ �� �� �� ������ �� ���� ���� ��� �� � ����� ������ �%� �� �� ��� '����� ��� �� ���� � ����� ���� � ����������C����������� ����������������������������������������� ������������ ��� ����������� ��� �������� � �����@���R��������� �%�� ���� ���� ��� '�� ���� ������ ����� ��� �� �� ������
=� F ��� ��� ��� �� ����� ������� ��� �� �� ����� ����������� �� ����� ������ �������� ������������ ������� �������� �������������� ���������������������� ������������������� �������������� ������������� ���� ������������������ ��� �������� ��� ���� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� ������������ ����� ����� ��� ���� �� ��� ����� ����� � ��� ��� ��� ��� �������� ������� ��������������������������� ����� ��� ������� ����������������� �������������� �������� �� ����� ����� � �� �� �� ���������������� ����� ��� ������ �� ������������� �� ��� �� ����� ����
>� (�� ���������� �� �� ���� &������� ������ ��� ������� ���������� ���� ��� �� ��� ��� �� ���� ��� ���������� ����� ��� ����� ���� �� ����� ���� ���������� ����� ��� � &� ������ � ��� �� ������ ����� �� ���������� ���� ��� ���� ����� ��� ��������� ����� �� ��� ����� ���'��� ��� ���� �� ���� ��� ������������ ��� ��������� � ���� ��� ��� ����� ���� 34�
(� ������� �� ��� ����������� ����� ���� �� ����� ����� ��� ��������� ���� ' �����
���������� �� ���� ������������������� ����� �������� ���� 9 � �8���������!�����%���� ��'�� �� ���� ���� �� �� ���7���� ��� � ����� ��� ����� ��� �88�@� �� ���� ������ ��� "���� ��� ��� ���!���� ���� ��� F' ���� 1���� ��� ����� ����� �������� <����
�� .� 98� ���� .� 98� �� �8��� ��� �� .� 1� �� �8��� @#���
��� .� 8� ��� .� ��� ��� �������� � ����� ����%
��� .� 8� ��� .� �88� @
(�� �� ��� ����� ���� �� ����� �� �������-
1 16 11
2
3
1 1 0(30 10 )(2 10 )
1 2 1 0(0.5)
0 1 1 100
u R
u
u
−−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪× × ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− − = ⎨ ⎬⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
1��;?%
2��$������������ 3��� ������ ������
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
��� ��� ���� ��� ��� ���� ��� �� ���� �� ����� ��� ���� �� ���� ��� �������� ��� �� ��� .� 8�� ��� ��� ������� �� �� ��� �&���� �� ���� �� ����� �� ������� ��� �� ������ ���������� �� ���������� ����� ���������(� �������� &� ��� ������������ ��������� ���������� ���������� ��F��� 1��;?%� ���� ����� ��� � ��� ������ ��������������������� �� ��� ������ �� ���� ���� ��� ���� ��� � ����� ��������� <��������� ��
�� .� 8�88A9;� ��� �� .� 8�8�>>?� ��
��� .� :�88� @ 1��;A%
(� ������ �� �� ��� ���� �������� � ���������� ��� ' ��� � ��� 3 F L
AE
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠�
��������� � ���������������'������������������� ������ �������� ��� � �� ���� ��� F' ���� 1��1� ���� ���7���� ��� ������ �� ����� �� +����� 1�19�
����� ���� �� ����� ������� ���� ���� ������������ ������ ()���!��� ����*�
( & # ,
& # ,
� � ��� .� !$&%
(
�� .� (!!��6�
(!!� �
(��������� � ����!��������������� �� ��� �������(�� �� ������� ������ ���� �
(1)6 11 1 0
(1)2
1 1 12.5(30 10 )(2 10 )
(0.25) 1 1 12.5
u P
u P
− ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ −× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭�
(2)6 11 2 0
(2)3
1 1 12.5(30 10 )(2 10 )
(0.25) 1 1 12.5
u P
u P
− ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ −× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭�
(3)6 11 3 0
(3)4
1 1 0(30 10 )(2 10 )
(0.25) 1 1 0
u P
u P
− ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ −× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭�
(4)6 11 4 0
(4)5
1 1 0(30 10 )(2 10 )
(0.25) 1 1 0
u P
u P
− ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ −× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭�
1��;B%
%
���������������� ���������������� �������������������������� ����� �
1 1
26 11
3
4
5
1 1 0 0 0 12.5
1 2 1 0 0 25 0(30 10 )(2 10 )
0 1 2 1 0 12.5 0(0.25)
0 0 1 2 1 0 100
0 0 0 1 1 0 0
u R
u
u
u
u
−
− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪× × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = +− − ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭
1��=8%
C������.�: (1)0P � ������� ��� � ����� ����� ����� '������� ��� ���������<��� ���� ����
'�� ���� ����������� �������� �����1����9����� �� (1) (2)0 P P=
� �� (2) (3)
0 P P=�
������� ;� �� � �� (3) (4)
0 = 100P P−�
�� �� ��� =� ���� ��� ���� (4) = 0P�
�<����������� ���� ������� ������ ����������� �� ����.�8����� ������ ����� ����
��� ��� ��� �&��� �� �� ��������� �� ��� �������� � ����� ����� �
�� .� 8�88=?9� ��� �� .� 8�8�8;� ��� �� .� 8�8�;>� ��� �� .� 8�8�;>� ��
��� .� :�=8� @ 1��=�%
(��������� ����� '� �����������������;� ��=��������� �� ��'����� ���������������%����� � ����� ����� �� �������� �� ��� ��� ��� �� '�� �� ����� �������� ��� ���������
(� � �� ������ ��� ���� ��� ������ ��� ����� ���� �� ������ �� ����� ����� ��� &� �������� ���������� �� �� ����� ���� ��� '� ������� ������� �� ���(��������������� �� ���� ������ ��� ����� ����� �� � � �� ������ ��� �� ���� ������� �� �� ����� (������ �� �� �� ' ����� ��� � �� �������� � � �� ���� ��� ������ ��� ���� ' ����� ��� � ��� ���� ����
��2 0��-��!��������� 3��� ��������� (��!��������� � �� � � ��� ����� � ��������� ����������� � �� ������� ��� ������� ������� ��� ���� ���� ��� �� ��� �� �� �!������ �� ��������� � �� �� ���� ��� ���� ��
2
02 0
d Tk q
dX+ = 1��=1%
����"����������������������� ��������������������� ��� ���&��������������� ���� �� ��� ��� ��� �� � �� ������ ��� ���� ������� (� ����� �� �� "� ��� ��� � ������� ������ ����
��� ������� ����� �� �� ���� � � �� ������ �
2
020 0
L d TW k q dX
dX
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 1��=9%
2��$������������ 4��� ��������� ������ �
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
���� ���� ��� � ����� ��� � &� ����� ��� ��� ������� �� �� ���� � � �� ��� ��� �
00 00
0L
L LdT dW dTWk k dX Wq dX
dX dX dX⎡ ⎤ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ 1��=;%
���
00 0 0
L
L LdW dT dTk dX Wq dX Wk
dX dX dX⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 1��==%
��� � &� ����� ���� � ����� �� ���� ��� �� ����� ����� � � �� ������ �
00 0 01 1
n n
k k
dW dT dTk dx Wq dx Wk
dx dx dx
�� �
= =
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ � 1��=>%
��� ������ ��� ��� � ��� ��� �� �� ��� ��� ����� ����� ��� ��� � &� ����� �� ��� ����� ���� �� �� �� �� F��� 1��1=%� ���� ��� � �� �������� (� ��� ������� ��� ������ ��� �!������ �� � �� �� ���� ���� ��������� ��� �������� �� ���� ����� �������� ���� ����� ���� ���� �������+�����1�1;������� � ����� ������������ �������� �� ��� ����� ��� ������ ��6��� ���� ���%�� +�������� ��� ����� ����� ��� ��� � �� �� � �� �� ���
����� ���� -$!����� ������?� 4���� ��� ����� ��������
2����� ( ����
��0� �
����� < 9 (����� <
��
��.� !
�
������� ������� ��� ��� � �� �� �� �������� ���� ������ ���� ��� ���� ���������� ������ ����� ��� �� �� ���� ������ �����
1( ) 1 k kx x
T x T T +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� �
1��=?%
1 k kT TdT
dx+ −=
� 1��=A%
1 1 ,x
W = −�
1 1 ,
dW
dx= −
� 2 x
W =�
� 2 1
�dW
dx= 1��=B%
(����������� ������� ���� ������������ ��� ���� &� ����� F��� 1��=>%%� ����
01�� ������ ����� �� 2��� "���$5%� <���� �� ��� ��� "C<� ��� ��� � �� ���� �� ����� "��� ��� ��� �� &� ��� ��� �� ����� �� � �
1
1 1
1 1
k
k
Tk
T�+
− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
1��>8%
41�� ������ ����� �� 2��� "���$5%� <��� ��� ��� ����� �� ��� ��� )C<� ������ ���� ��� ��� � ����� �� ����� �� � � ����
0
/2( )
/2q
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
�
� 1��>�%
41�� ������ ����� �� 2��� "���$5%� <��� ��� ��� ����� �� ��� ��� )C<� ����� ���� ��� � ������ �� � �
0Q
Q
−⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭�
1��>1%
���� 0��� 0� ������ ��� �� � �� ���'� �� ��� ��� ��� ��� ��������� ��� ���� ���� �� ����� � � �������� �
0
0
1
1 1 /2 ( )
1 1 /2
k
k
T Qkq
T Q�
�
� �+
⎛ ⎞ −− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ = +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠ 1��>9%
���"C<�� �� �� �������� ��� �� ��� 3���� ������ ��� ���'4� �� ��� ������ ��������)C<�������3���� ����� ��� �����'4������������������������������ �������#��&���� ����� ������ �� ��� )C<� ����� ��� ��� �� � �� ���'� �� ��� ���� �� ������� ��� ��������� ����������� ��� ������ �������������(������������ ������� �� �������������� ���� 0R�� ���� �� ���� ���� ��� ��� ��� ����� �� '�� ���� ������ � �� ���'� �� ��������
��� ��������� ���� ��� ����� ����� �������� ������������������� �������� �� � �� ��� ����� � �� �� ���� ����� �� �� ��� �� �� ����� ��� ��� ��� ��� ����� ����� ��� ��������� ������� �� �� ����� �� ��� �� �� �������� ����� ������ ���� ���� ��� � ��� ������ ������������ �� ��� ���� ������������'������ ������ �� ����� �������������� ��� ���������������������'��������������������� ����� �� ������������� ���������� ����� �� � �& �� ��� ��� ��� ����� � ���� � ����� ��� ������ �� ��������
(������ ������� �� ��� ��� ��� ����� � �� �� ���� ��������� ��� ��������� ' ����
����������� )�����!����!��������� ���������'���������������������� � ����!������� ���� � �� �� ��� ��� ����&��� 1��� �� ����� �� +����� 1�1=�� ��� ����� ��� ��� ������ ���� �� �� .� 1�#;� .� �#1�� ��� ���� ����� �� ��� ���� �� ��� ������ ��� ��� ��� � ��� ���������� �� &��� ��� ������� �� ����� �
0
left
2 0
3 0
4 0
right0
1 1 0 0 0 2
01 2 1 0 0
0 0 1 2 1 0
00 0 1 2 1
0 0 0 1 1
2
w
w
qQT
T qk
T q
T q
QT q
⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = +− − ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
�
�
��
�
�
1��>;%
2��$������������ 4��� ��������� ������ �
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
��� �&���� �� ��� ���� ����� �� ��� ������� ���� �� ��� � �� ���'�� �� ��� ��� ������������������ ����(����� ���� ��� �� ���� ������������� ������ ������������������ �� ��� � ��� ����� ���� ����� ���� ��� � �� ���'�� �� ��� ������ ���� ����� ���� ������� ���� ��� ���� ������ ) �� ���� ��� ���� �� ����� ���� ��� ���� ���� ���� �� ������� � �
2 0
3 0
4 0
2 1 0
1 2 1 0
0 1 2
w
w
T q Tk
T q
T q T
�
��
�
−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
1��>=%
<��������� ��� ���� � .��#1%2
02 4
3
8 wq L
T T Tk
= = +
20
3 2 w
q LT T
k= +
��� ��� ����� ������� �� �� ���� ������� � ��������� ��� ' ��� ��������
����� ���" &����� ����� ���4� ������ 4���� � ���� ()���!��� ����*�
"���� �� ����������
"���� �� ������
�� �� �� �� ��
( & # ,( & # , %
� � � �
&�
1��>>%
�������
(�� ������������������� ��������������������� ������ ����������� &�������� �� ������� �� �� ����� (� � �� ���� ������� ��� ��� �������� �������� ���� ����� �� �!������ ��' ����H '� ������� ������� ����� ��������� ������������������ �� ����(� �� ���������� ����������������� ��������� ������������ ����� �� ������������� �������������������(������������� ���������������������������� ��������� ��������� ���� �����,������������������������������������������������������� ���� ���� ��� ���� � � �� ���� �� ������ ��� ����� ������
� ����� �� �� � ������� �������� ��������� ��� ����� � ��� �� ������ ����� ������� ��������
�� (���� ���� ���(������)���� �� �� ����
1� $������ ���� ���� ��� � ���� �� ������ ���� &� ����� ��� ���()� �� ����� ������ �������� ������������� ����������������������������������������������������� ���� ���� ��� ����� � �� ��� �� ����������� �������� ��� ��� �������� ������ &������������� ���������������� ���� ���� ����� ��� ������ �����������
9� )����� ��� � &� ����� �� � ���� ���� ���� �� �����
;� 5��� ��� ����� ���� ���� ��� ������� ��� ��� ����� ���� ����� �� �� ������
=� 5��������� ����������� �������������M������ ��������������������� ����
>� ������� ��� ���� ���� �� ����� ��� ������������ ���� �� ���� &� �����
?� +��� � ���� ��������� ��� ����� ���� ����� ������ ��� ��� ������ �� ����� �� �������� ����������� ������ �����
A� <��������� ��� ��������� ���� ��� ��������� �� ����� ���� ��� �&����
������
��� <���� ��� ��������� �� ���� ����� � ���!� � ���� ��� �� �������� ��� %� ��� ����!������ ���������� ��� .� 8� �� �� .� �#9� �� �� .� 1#9%L� �%� ���* ��&��������� ������� �� ��� ���� ��������� ����� ��� ' ��� ��������
0dy
ydx
+ = � 8� �� �� �� �
� 8%� .� �
��� <������������������ ������������* ��&�R�������� M�� ��� ��� ����!� � ����������%-
50(1 cos ) 0.05dy
x ydx
= + − � 8� �� �� �� 1�
� 8%� .� 188
��� 5����� ����!� � �����������������������������������* ��&�R�������� ����� �� ��� ����� ��� ' ��� �������-
-��%���� ��
�� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
2
2 cos ,
d yx
dx�= − 8� �� �� �� �
8%� .� 8� �%� .� 8
��3 5����� ����!� � ����* ��&�� ����'�� ������������������������� ���� ���-2
02 ,
d uf
dx= 8� �� �� �� �
= 0du
dx �� �� +� 8� �� �
��$ *��� ��!� � ����* ��&��������������������������� ������������������� ������� �� +���� $1�=-
2 2
2 2 + = 1
u u
x y
⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
�� .� !
�� .� !�� .� !
�� .� ! �(;(��!;(�
�!;!� �(;!�
� �� .� ! �� .� !+!=
+!= +!=
�� .� !
����� &��" (�*� #< ���� ������ ��� (�*� -����� ���� ������
��5 5����� ��� � &� ����� �� ���� ��� �������� +���� $1�>%�4
04 0
d vEI q
dx− =
(0) 0; (0) 0dv
vdx
= = �
2
2( )
d vEI I M
dx= �
3
3( )
d vEI I P
dx=
��
�
-
�
����� &��% ����������� �����
��6 +��� ������ ������� ������ ����� �� � �� �� ���� +���� $1�?%�� ��� �������� ������
1 �
d dur k
r dr dr⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
= 0,r au = = 0r bu =
+��� ��� �������� ����� ��� � &� �����
�� 0� �
�� 0� %
����� &��+ ���� �4� �4� ��� ���� !�!��
��7 <���� ��� ��������� ���� &��� ��� ��� � &� ������ ���� +���� $1�A%-
4
04 0
d vEI q
dx− =
(0) 0,v = (0) 0dv
dx=
( ) 0,v L = ( ) = 0dv
Ldx
��# +���� �� ��������� �������� � ����� ����� +����$1�B%�� ���������� �� ���� ������ ����� ��������� ��� ���� ��� ����������5���� ���� &� ����� �� ���� ���������
20
2
1 0
qd T dT
r dr kdr+ + =
& ��%� .� &�� & ��%� .� &�
����� &��. �����'������ �����
��
�
-��%���� ��
� ������ ������� ����������� ������� ����� �!������� "����������� ��������
���8 +��������������������������� ����!� � ����* ��&�� ����'�� ������������ ���� ��� ������������ ��� �� ��������
2
2 cos 10 0
�
�d y x
dx− − =
0 at = 0 and dy
x Ldx
=
���� 5����� ���* ��&�� ����'�� ��������������� ���������� ���� ���2
2 0
d u duA B C
dxdx+ + =
8%� .� �%� .� 8
���� �� ��� �� ������� ��� �!������ �� �� ��� � �� �� ���� ����� � ����������� � ������� ��� ������ ��� �� ���
2
2 1 0
d
dx
��+ + =
�� .� 8 �� �� .� 8
at 1d
xdx
��= − =
+��� ���* ��&�� ����'�� ���� ����������� ��� ����������� �� �� ����
���� 5����� ����!� � ����* ��&�� ����'�� ������������������������� ���� ���
2
2 ,c
d uf
dx= 8� G� �� G� �
= 0du
dx �� �� .� 8L� �� .� �
����� &��3 @���� ��� ����� ��� �� �����
����
��
��
������ ��� ��������
���3 ��� �������� ��� �� ������� �� ����� ���� � ��� ��������� ��� � � �� �� ��������-
21
0 2 a
d du dvAE q
dx dx dx
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
24
4
1 0
2 td v d dv du dv
EI AE qdx dx dx dxdx
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞⎜ ⎟⎨ ⎬− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
���� ��� ��� ���� � � �� &��� ���� ��L� � �� �� ���� ��� '� �� �� �� �������������� 5����� ��� � &� ����� �� ���� ���� ����� ��� �� �������
-��%���� �
��
��� ������� ����������� ������������������������������������������������������������������ �� �������� ������ �������� ������ ���� ����������� ��������� ����� ���� �������������������������������������������������� ��������������������������� ���� ������ !���� �� ����������� ��� �� ����� ���� ����� ������� ����� �� ������������������������������������� � ������������������������������������� ������������������� ���� ����� � ���� � ������� ���� ��������� � ��� �� ����� ��� "���������� ��� ����������#�� $�� ��� %���������&� ��� ���� �� ������ �� �������� ��� �� ������� � ���� ��'�������� ����� ��
21
( )( ) 2
duI AE q u dx
dx
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∫ ()�*+
����� ������������ ������� ����� ����� ����������������������� ����� ������ ������ ����������������������� �� ��������������� ������ ��� ��� �� �������� �� ���������� �������� ��� ������ ������ ���� �� ��� ��� ������������� ����� ���������� ���� ��������� ���������� � ��������� ��� ������ ���� ,��� '���� � ���� ���� ��� ���� ��� ��������� �������� � ����� �� ���������'�������� ������� �� "���� ������� ��� �� ����# � �� ������� ���� ����� �������������������������������������������$������� ��������� ���'����������������������������������������������������(���������� � -��������������������'�������������+������ ������ ��� ������� �� ������� ��� '����� ������� $�� .�������� ��� /�������� $���.������ (./$.+� ������������� �� ����� ����� ������������� ��� �� ������� ��� �� ���0�������������� ��� ������������������� ,��� ���������� ������ (���� ��� ���������� �����+ � �� ��� � ���� ��
��������� ��������� ����������� ���� ��� ������������������������������ ���� ������� �������� ������ ������ ���� ������ ��������� ��� ���� ������� ���������� ����� �������� ��� ������� ��������� ���������� ��� �����������
���������������� �������������������������������� �������
CHAPTER 3
1�� �� ��� �� ��� %������� �&� �� ����� � �� ���������� ����� ��� �������� �������� �������� ���������� ���� ���� ��� ���� �� ���� �����2�������2����� � ��� ��� ��������� ,��� ���� � �� ���� �� ������� ������� �� ��� ����� ������ ��� ����������������� ���� ���� ���� ���� ��� ���� ��� ��������� �������� � �� ���� � �������� �� ����./$.�������������������������������$����������������������� �������������� ����� ����� �� ��������� ��������� �� ���������� ��� �� ����������� ��� ��� � �� ������������� ���� ��� �������� ��� �� ��� 34�� ���� ����� 54�� ��� ���������������������� ����� ������ ��������� ��� �� ������� �� ����� ��� ���� ��� ��������� ���������� /� ������ ����������������������� ��������������������������������������������������� ���� ����� ������� �� ������������ ���� ��� ��������� ���������� ������ ����������6������������������������������������������� ���7� ������������������ ���������� �������������� � ���������� � ����������� ����� ��� ��� � ��
��� ���� ������� � �� ����� ����� �������� ���� ����� ����� ��� ����������� ��������� ���� �'���� ��� �� ���������� ���� ����� ��� �� ��������� ���������� �������� (8���9:�������������+����� �����������������$�������� ��������������������������������������������� ���� �� ���������� �����������!� ����� ��� �������� �� ����� ��� ������������'�������������������� �������������������������������� ���� ��(�+�������������������'���������� �� �������������������������������������������������������������������!��������������������0�����������������������������������������������������������������������������������������������������!������������������������������������������������������������ ���� � ������������������������������������������������
�� ���� � ��������� ��� �� ����� ���� �������� ���� � ������ ����������� ����������� ������������������������������������������������������;������������ ���������������� �� ��������� ��� ���� ������� ����� �� ������������� ���������� ��������������� �� � ����������������������������������������������������������������������<����������������������������� ��������������������������(���������'���+�����������������������������������!���������������������������������(����./$.�����������+��������������������������������� ������� ����������������������� ����������� ����� ���� ��� ������ �� '����� ��� �� ����������� ��� �� �� ���������� � �� ����� ��� ��� ��� ������ ��������� ��� ���� ��������� �� �������� ���������
��� ����� ���� ��� � ������� ��� ����� �� ������ ��� ����� �� ����� ��� �� ����� ����������� �� ������� �� ������ ����� ��� ��������������������$�� ����������� ���������� �� ���� �� ���������� '����� ���� -���!���������� �� ���� ����������� �� �� ������ ������� ��� ����������� ���������
�� ��� ���� ������ ��� ���� �� �������� ��� ������ ����� � � ��7� � �(�+ � �� ��������� ���� ��'����� �������� �� �2 ��=�4��6� ����������� ������ ����� ��� � (�� ��� �> ���+������ ���� ��'����� �� �� ����� (�� � �� �> � ��+� ��
1 2
0n
f f f
x x x
∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂
� ()��+
��������� ��� ���������� �������� ����� ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
?��� �������� �� "���������#� (���� �������� ��� ��������+� ����� ��
( ) , , b
a
duI u F u x dx
dx⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ()�)+
!��������������(�+�������������������������������� ��� -�������������������(�+� =���� �����(�+� =����� 6�� ��� '���� � ����� =� (*2�+� ( �2 �+�� 9� (�+(�+ � ���� �� ������ ���� ���������� ��� �(4+� =� 4@� �(!+� =� 4 � ��� ���� ������� �� ��� ��� ��� �� �������� ����������� ����������� �� -��� ��������� ��� ������(�+�� ���,�����)�* ��� ������ ������ ������� u (�+���������������������������������(�+��!�� ����������� u (�+�������
����� ��� ����� ��� ���������� �����
����
��
��
����
����
���� �����
�������� �������������� ��������������������������������'����������������!������� ����� ���� ������� �� � � ��� �(�+� ��� �������� ������� �� u (�+ � ���
( )u x � =� �(�+� A� ��(�+ ()�B+
���� � � ��� �� ������ ������� ���� �(�+� =� 4� =� �(�+�$�� �������� ��� u(�+� ���� �(�+� ��� ���� �� "��������#� ����(�+ � ������ ���
���� �� � �(�+�� $��� ��(�+� =� u (�+� 9� �(�+� =� ��(�+ ()�3+
�
,����� )��� ������ �� ���������� ��� �� ������� �� �� ����� �������� � � �� ����������� ����� �� �� �������� ��� u (�+� ���� �(�+� ����� �� ����� �� �� ���������� �������� �(�+� ��� �� ��� ������� �� �� A� ��
����� ��� ������������ ������� ���� ���
����
����
��
��
��
� ������
�
����
!�����
� (��+ =� �������� ��� ����� ��� u (�+� ���� �(�+
=� u �(�+� 9� ��(�+� =� ��(�+� A� ���(�+� 9� ��(�+=� ���(�+� =� C��D� ()�5+
���� (� +E� �������� ������������ ���� ����� �� ��� $���� �� � ���� ��� �� ������� ����������������������������������� ���?�� ������������� ����������������(�+��� u (�+ �� ���
��� =� �(u � u � � �+� 9� �(� � �� � �+� =� �(�� A� �� � ��� A� � �� � �+� 9� �(� � �� � �+ ()�F+
8'�������� �� ����� ��� ��� $�����&�� ���� � �� ���
�(�� A� �� � ��� A� ��� � �+� =� �(� � �� � �+� A� F F
u uu u� �
∂ ∂ ′+′∂ ∂
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2 2 2
2 22 2
1 2
2!
F F Fu u u u
u uu u� � � �
⎡ ⎤∂ ∂ ∂′ ′+ + + +⎢ ⎥′ ′∂ ∂∂ ∂⎣ ⎦� ()�G+
��������� ��� ���������� �������� ����� ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
$���
2 2 22 2
2 2
1 2
2 !
F F F F FF u u u u u u
u u u uu u� � � � � �
�� �
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞′ ′ ′= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠()�H+
$�� ����� ��������� ����� ��� ������ ��
F F
F u uu u
� � �∂ ∂ ′= +
′∂ ∂ ()�*4+
���� �� ������ ��������� ����� ��
2 2 22 2 2
2 2
2 ( )
F F FF F u u u u
u uu u� � � � � � �
∂ ∂ ∂′ ′= = + +′ ′∂ ∂∂ ∂ ()�**+
$�����
21
2 !F F F� �� = + + � ()�*�+
?��� �� ��� ����� ���� ������� �� �� ��� �� ���� �������� ��� �(�+ � ���
� � =� �(u � u ��� �+� 9� �(��� ���� �+
=� ( , , ) ( , , )b b
a aF u u x dx F u u x dx′ ′−∫ ∫
=� � b
aF dx�∫
=�21
2!
b
aF F dx� �
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ � ()�*)+
$�� ����� ��������� ��� �� ��� ������ ��
b
aI F dx� �= ∫ ()�*B+
���� �� ������ ��������� ��� �� ��
2 2 b
aI F dx� �= ∫ ()�*3+
$�����
��� =� � �� A�1
2 ! ���� "�� ()�*5+
��� �� ������� �� ���� ������� ��� �� ������� ���� �� ����� ���� �� �� �� ����� ���������������� � ���������� �� ������(�+� ������������ ��� /�����(�+���������� � ������ 4��6��� ��� ����� � ��� ���������� 7��� ���� ���� u (�+� =� �(�+ � �� ������ �� �������� ���� ��� �� 4�
I���������� �� �������������������������� ���������� ��� � �� �������� �� ���������� ���������������#(�+������� ������#(��+ ����!������������������������ �� ���������������������� ���� ������ �� �������� �� � � � ���� ���� �� ��������� ���� �� �� � �������� ����� � �� =� 4��!� ������� �� ����� ��� �� ����������� ����� ����� �� � �� =� 4� ������ ��� ��������� ���������� ������� ��� �� ��� ���� � ,���� � 8���� ()�*4+9()�*B+ � �� ���
b
a
F FI u u dx
u u� � �
∂ ∂⎛ ⎞′= +⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠∫ ()�*F+
,���� 8��� ()�5+
( ) ( ) ( )d
u u udx
� � �′ ′= = ()�*G+
$���
( )b b
a a
F Fu dx d u
u u� �
∂ ∂′ =′ ′∂ ∂∫ ∫ ()�*H+
.��������� ��������� �� ���� � �� � ���
( ) ( ) b
b b
a aa
F F d Fd u u u dx
u u dx u� � �
∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′ ′∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ()��4+
/� ������� 8��� ()��4+� ��� 8��� ()�*F+ � �� �
0b
b
a a
F d F FI u dx u
u dx u u� � �
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ()��*+
/���� ���� �� ����� ��������� �(�+� ������� �� ��� ���������� �� �� =� �� ���� � � �� ���
��(�+� =� 4� =� ��(�+ ()���+
,��� �� ������ � � � �� ������ ��� � ����� 8��� ()��*+ � �� ������
0F d F
u dx u
⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎢ ⎥′∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦()��)+
$���� ��� ������ ��� �� 8���9:������� �������� ,��� '���� � ��
21
( )( )2
duF AE q u
dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��� �� ���
F
qu
∂ = −∂
F du
AEu dx
∂ =′∂
()��B+
/� ������� ��� 8��� ()��)+ � �� �2
2 0
d uAE q
dx+ = ()��3+
������ ��� �� ��������� ���������� ������� ���� �� ��� �� -��� �� ����� ��� �������� �(�+�
��������� ��� ���������� �������� ����� ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
:� ��� ���� ����� 8��� ()��*+� ���� �� �������� ���� ��� �'���� ���������� ��� �� ����!����
2
20
0L
b
a
d u duq AE u dx AE u
dxdx� �
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ()��5+
��� ��(4+� =� 4@� � �(!+� =� 4� ��� ���� ��� ������ �� �������� ���������� �� �� =� 4 � !�J����������� �������� �������� ����� ���� ���� ��� �� ��� ���
2
2 0
b
a
d uq AE W dx
dx
⎡ ⎤+ =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ()��F+
!������������� ������ ���� ���������� ���$(�+� �7����� ��������������� ��� ������ ��� $��� �$(4+� =� 4� =�$(!+�
���������� �� ����� ��� �� �������� � ����� ������ �� ���� ����� ���� �� �������������� � �� � ���� ��� �� �������� ��������$(�+� ���� ������ ��� ������ ������������� ���� �� ���������� ��� �� ��������� ����(�+ � ���� ��(�+� ���� /���� ���� �� �������������(�+� ���� ��������� ������� �� ������� �������� ��������� ���(�+� �� �� =� �������� ��7���� ��� ������ ���� � ������ ����� ������� ���������� �������� �� � 7��� �� ��������� ,���� � ���� ��������� ��������� ��� ��� � ��� �(�+� ����� �� ����� ���������������� ���(�+�(��������$+�������������������������������������������������� �� �������� ���������� (��� � ��(�+� =� 4� =� ��(�++��� �� =� 4 � �� �������� ��� �� ����������� ���� ��������� �������� ����� ���������
!������ ���� �� ��� ��� '����� �� �� ����� �� ����� ��� ��
( , , ) b
aI F u u u x dx′ ′′= ∫ ()��G+
�� �������������8���9:������� ������� ��2
2 0
F d F d F
u dx u udx
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠()��H+
6�����'���� � ��22
2
1 ( ) ( )( )
2
⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠d w
F EI q wdx
���������� ������������ ����� -��
������� ��������������������(�+��$����������8���9:����������������������������������� �� ��������� ���������� ������� ��� �� ���
/�������� ���������0�������������� ���������� �������������������������������2
02 0
d Tk q
dx+ = ()�)4+
�� -�� ��%(4+� =�%� � x Lq = � =� �(%�� 9�%�+� ��� �������� �� ����������� �� ���������
22
00 0
1 1 ( )
2 2
L LdTI k dx q T dx h T T
dx ∞⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ()�)*+
�� -�� �� % (4+� =� %��
/�������� � ���� ��0����������� ��� ��������� � ���������� �� ���������� ������
2 2
02 2 0
T Tk k q
x y
∂ ∂+ + =∂ ∂ ()�)�+
���� �� �������� ���������
(�+ % =� %�� ��� &�
(��+ �� =� q � ��� &� (���+ �� =� �(%� 9� %�+� ��� &
����������� ������������������������
1
2 22
01 1
2 ( )2 2cA S S
T TI k q T dA q T ds h T T ds
x y ∞
⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫
�� -�� �%� =� %� ��� &� ()�))+
$��� � ����� �� ���������� � � ������ �� ����������� ��������� � �� =� 4 � �� ���� ����� ���������� ���������� �������� $����� � ��� ������ (���������� ���� ���������+� ����������
!� ����� ���� �������� ��� ��������� �� ����� �����'���� ��������� �� �� ��� ��� ���������������������������� ���� ��(�+��������������������'���������� ����!�������� ���� ���� ���������� � �� �������� ��������� ��� ��������� �������� � ��7� � �� .�������� ��/�������� $���� .����� � ���� ����� �� J������9J�7� ����� ��� �������� �����'������������ ���������������������!���������������������������������������������������������������������������� ����� ��� �����������0�������������� ����� ��������� ������� ��� ����������� ��� �� ����� ���� �������� ������� ����� �� ����� ����������
��� �� �� ���� �� ���� ����� ����� ����� ��� ����� �������� �� ������0����� ����� ������ ��� ,����� )�)�� :� �� �������� ��� ��� ����� ��� �������� ����������'��������������?�� ������������������������������� ��������'�������!����������������������������������.�����������/��������$����.������ ������������������ ������������������������0�����������6�����'���������������������� ��� ����������������������������������(*2�+(���+��$���������������������������� �� ����� ���� ����� �� �� ����� ����('� 9� �+�� /�� �� ����� �� ���� ������� ��� ������ ��� ���� ������������� ��
21 ( ) ( )
2p kx mg H x� ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ ()�)B+
I�������������������������� ����������������������������������������� �� ����� ���� ���� �� ��� '����� ������� $�� ��������� ��� ��������� ���� ������������� ��� ������� ��������������� ������ ����� ��� ������������� ����� ���� ��� �������������� � ���
��������� ��� ��������� ���� �������� ����� �
� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
0pd
dx
�= ()�)3+
��� (�+(���+� 9� (�+� =� 4 ()�)5+
$��� ����� �������� ��(�2�+ ����'�����$����������������'����������������� ���������!�� ������������������������������ ���������������������������������������!� ���� ������ �� ����� �� ����� ������� ���� ����� �� ��
21 ( )
2p kx mgx� ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ ()�)F+
$���� ������� ������� ������� �� � ���� �� ��� '����� � ����� ��� �������� �� ������ ���� ������������� ����� �� =� 4�� $�� ����� ��� ���� '����� ���� ��� ���� � ���� '����(���������+� �����(�� ���������� �������� '�������� ���� �� ����������� ��� �� ������
�� =� ������� ������ ����� ��� �� ������� A� .������ ��� '����� ����� ()�)G+
$������������'������������� � ���������� ����������������������������������(����������������+������������������ ��������������������������� ���������
0p
�
�∂=
∂()�)H+
$��� � ���� �� ������ �������� ��� ������ ������ � ��� �� � �� � �� � � � ��� ��� ����������� � ��� �� ���
0,p
i�
�∂=
∂�� =� * � � � > � ()�B4+
$��� � ���� ��� ���� �������� � �� ���� �������� �� ����� ��� �������� ��� �����'����������� �� �� ��� ��� �� ����� ��� ��������� K��� ��� �� ���� ��� �� ������ �������� ������������� ��������� � ��� �������� ��� ������� ����� �������� �������� �� ����� ����,��������������������������������������������������������� ��������������
����� ��� �������� ������ ����� �������
�
!
�"
������� ���� ������ ���� � ����� �����
#
�����
����������I������� ��./$. �������� ������������������ ����������� ��������������������!������������������ ����������� ��J������9J�7����� ������� ���������������� ��� ��������� ���������
������������ �������� ��
$�� J������9J�7� (J9J+������ �������� ��� ��� ����� ���L
���� ! ��������� ��������������� ��:������������������ ������ ��M�(�+�A��)�N ��=�* �� �> � �����)����������������������������������������������������������� ��� � ����� ��� �� ������� ���������� ����� ������� ������� ��� �� ������� �������������������� ����� ������� ������� ������ ���� � ���� ��� ������� ��������� � ����� � �������� �� �������
���� "! ��������� ��� ���� ������ ��������� ,��� �� ����� ����� ����������� � ������ ����� ��������� �������� ���� �� ������� ���������� ����� ��� /�� *� � ���
����#! &��� ���� � ������ ���� ���������� ��������� I���������� ��./$. � �� ���� ����������� � ������������� ����� �� ������ ���������� ��� �� ���������� ������$�� ���������� ���� ���������� ����� ��� ���� ���� ��� ������ �� ������ ���������� ��� �� ���������� ����$����� ���
0,p
ic
�∂=
∂�� =� * � � � > � ()�B*+
������ ����� ����� �� �������� �������� �� � ������ ���� �� ���������� ���$��������������������������� ��J�������(*GFF+���������������������������� �
J�7�(*H4G+��J�����������������-�������� ���7� ���)�������J�7�'�����������������0��������'��������1���� � ���������������������������)����������������������� ��������� ������ ���� �� ���� ������� ��� �� ��� ���� ,����� '������ ��� ���������� �� ������ ���0���� ������ ����� ��������� )�� ����� ���� ��� �� �� ��������������������� ��� �� ����� ���������
!� ����� ���� �������� �� ����� ����� ��� J9J� ����� ���� ���� ������ '������� ����
���������� ������ � ��� ������� ��� ���������� �� ��� ������� �� ��� ��� ���� ��� ������������������� -����������������'������������������������,�����)�B��$�������������������� ������� �������� � �
����� ��! "�� ����� �#���� ���� �$#������ �����
�
��
� � � � �
��������� ��� ��������� ���� �������� ����� ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
2
2 0
d uAE q
dx+ = ()�B�+
���� �� �������� ���������� �(4+� =� 4@� � = 0x L
du
dx =�
!���������� �� �������������� ���������������� ������������� ���8'�����)�*�!������ ���� �������� �� �������� ������ ��J9J������� ,��� �� ������ ���������� �(�+
/����� ����� ����� ��� �� �� �*� =�2
0
1
2
L duAE dx
dx
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ()�B)+
.������ ��� �� '����� ����� � +� = 00
( )L
Lq u dx P u L− −∫ ()�BB+
��� ��������������������� �����������(��=�� x L
du
dx =������ ���������������������
��� '����� ������� ��� ������� �� ������ �������� �������� � �� '�������� ���� �� ��������� '����� ������ ������ (���� ���� '����+� �� �� ���������L
00
L
V q u dx= − ∫ ()�B3+
$���� �� ��� �� ����� �(�+� ��� ��������� �� ���� ������� ��� �� ����� ����� �
2
00
1
2
L
Pdu
AE q u dxdx
�⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ()�B5+
�� -�� �� �� ������� �������� ��������� ��� �(4+� =� 4�� �� ��� �� � � ����� ��� �� ���� ��������������������������� ( / | 0)x Ldu dx = = ����� �������������������'����������� �� ���������� ����� ���� ���� �� ����� �������� ������� ��� ����� ������� �� ������ ������������������6��� ���� ������� ����������������������(�+� ��� �����(�������� � �������� �� ����� ���+� �������� �� �� ���������� ������� �����
:� ��� ���� ����� ���� �� ���������� ����� ������ �� J9J������
���� ! ������� �� ����������� ���� �� :� ��� ������ ��
�(�+� �� ���� A� ���� ()�BF+
$���� �������� �� ������� �������� ��������� ��� �(4+� =� 4��!� ���
1 2 2du
c c xdx
= + ()�BG+
���� "! ��������� ��� ���� ������ ���������� $�� ���� ������� ��� �� ����� ��� ����� ��
2 21 2 0 1 2
0 ( 2 ) ( )
2
L
pAE
c c x q c x c x dx� ⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫2 2 3
2 22 11 1 2 0 0 23
4 2
2 2 33
c c LAE Lc L c c L q q c
L
⎡ ⎤= + + − −⎢ ⎥
⎣ ⎦()�BH+
���� #! &��� ��� � � ������ ���� ������� ��� ��������� ,���� �� ��������� ��� ��������� ���������� (./$.+ � �� ���
0p
ic
�∂=
∂ � �� =� * � � ()�34+
$�����
22 0
1 2 0 (2 2 ) 02 2
p
i
q LAEc L c L
c
�∂= ⇒ + − =
∂
33 2 0
2 12
0 (8 /3 2 ) 02 3
p q LAEc L c L
c
�∂= ⇒ + − =
∂ ()�3*+
/������ ���� ���
��� =�0q L
AE ��� =� 9
0
2
q
AE$���
20 0( ) ( /2) (2 )2
q qu x x L x Lx x
AE AE= − = − ()�3�+
������ ��� � ����� �� � �� ���� ��� ��� � ����� ��� 8'����� ��*�
�������� � ����������������� ������� ���������� ��� �� ������������������������� �������� ��������������� ��� ����������� ������ ���,����� )�3��,��� �� �����������(�+ �����
����� ��% &������ ��������� ���� ����� ���� �$#������ �����
� � $
�
� � �
��
0
��������� ��� ��������� ���� �������� ����� ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
$�� ������ ����
*� =�22
20
1
2
L d vEI dx
dx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ()�3)+
$�� ������� ��� �� '����� ������ ��
+� =� 00
Lq v dx−∫ ()�3B+
$������ ���� �� ���� ������
22
020
2
L
pEI d v
q v dxdx
�⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ()�33+
���� ! ������� �� ����������� ���� ��:� ��� ������ �(�+��� ��� ���� (� �2!+��$���� �������� �������� �������� ���������� �(4+� =� 4� =� �(!+�� !� ���
22
12 sin
d v xc
L Ldx
� �⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠()�35+
���� "! ��������� ��� ���� ������ ���������� $�� ���� ������� ��� �� ����� ��� ����� �
22
1 0 10
42 01 13
sin sin2
2
4
L
pEI x x
c dx q c dxL L L
q LEIc c
L
� � �
�
�
�⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
= −
∫()�3F+
���� #! &��� ��� � � ������ ���� ������� ��� ��������� ,���� �� ��������� ��� ��������� ��������� ��� ���
1
0p
c
�∂=
∂ ()�3G+
$����� 4
32
EI
L
� 01
2 0
q Lc
�
− =
���
��� =� 4�4*)4F4
0q L
EI()�3H+
$���� �� ������ �������� ��
�(�+� =� 4�4*)4F4
0 sinq L x
EI L
�
()�54+
!�� ������������������������������������������� ������������������������(���� 8'����� ��B+�� ��� �� �������� ���� � �� ��������� !����� J������� ����� ���������������������������������������� ������ ��������������������������������������� ������� ���� �� �������� ���������� ��� �� ��� ��� (������� ���� ������+�� $�� J9J�������� ������������������������������'���������� ������� ������������ ����������� ���� ���� ������� ������� �� ������� ��� �� '����� ������� $���� �� ����� �������� ����� J9J� ����� ��� ����� ������� �� ������� �������� ����������� ��� ����� � ��� ������������������ ��������� �� ���������� ������������������ ������ ��������� � � �����������������������J9J����������� �������������������������� ��������������� ������� �������� ���������� ���� ���� ��� ��� ��� �� ���� ����� ���������
��������� %����������� �����������������,��������������*��������� �34������������������ ���0���� ��� ������ ��� ,����� )�5 � ���� �� ������ �� ��� ������� ����� �� ����������������������)44O���:���=��44�!2�2O�� ���� ���������@���=��4�!2��2O� �%
��=�)4O��
����� ��' � ��� (��� �$#������ �����
������
$
%��
$�������������� ������������������� �����������������������������8'�������G ���� ��� �� ��������� ���������� �������� $�� ��������� ���������� ������� ���� � �������� ���������� �� ���� ��� ����� ��� ���� ��������L
2
2 ( )
c
d T Phk T T
Adx∞= −
(0) 300 CwT T= = ° ()�5*+
( ) 0L cdT
q kA Ldx
= = (����������+
������ ��� �������������� ������ ���������� �(� ��� ������� ��� ��� �������0���������� � �� ��� �� �������� ��� ������� �������� � %�� ��� �� ����� ������ � ���� %�� ��� ��� �������� $�� �������� ���������� ���������� ��� ����� �
��������� ��� ��������� ���� �������� ����� ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
22
0 0
1 1 ( )
2 2
L L
L Lc
dT Phk dx T T dx q T
dx A� ∞
⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ()�5�+
��� ��������� ����������'����������������1���� ������������������������ ��������������� ������������������������ �������������%(�+�������������������������
22
0 0
1 1 ( )
2 2
L L
c
dT Phk dx T T dx
dx A� ∞
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ()�5)+
�� -�� �� �� �������� ��������� ��� %(4+� =� %�� =� )44O��
���� ! ������� �� ������ ��������� :
%(�+� �� T(�+� =� ��� A� ���� A� ����
,���� �� �������� ��������� � ��� =� )44�� $�����
T (�+� =� )44� A� ���� A� ���� ()�5B+
���� "! -������� ���� ��������
[ ] 22 21 2 1 2
0 0
1 2 270
2 2
L L
c
Phk c c x dx c x c x dx
A� ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ()�53+
���� #! .������� ���� ��������
1
0,c
�∂ =∂ 2
0c
�∂ =∂ ()�55+
,���� 8��� ()�53+
32 2 42
1 2 12
(2 2 ) 270 03 2c
cPh Lk c L c L c L L
A
⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 2 5 4 322 1 2
8 2 2 180 0
3 5 2c
cPhk c L c L L c L L
A⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
()�5F+
��� �� ������� �� ��������� ������ ���� �������� ���� �� ��� ���������� ��� ���� �� ��� �
��� =� 9)H�)�)5 ��� =� B4 BHG�BB ()�5G+
$���� ���� �����'���� �������� ���� ������ � ���� ��� �� ������������ ��� ���������� � ��� ����� ��� �������L
%(�+� =� )44� 9� )H�)�)5�� A� � B4 BHG�BB�� ()�5H+
$����������!J� �������� � ����� ���8'����� ��G� ��� ��������� ��� �����8��� (��5H+���� ����� �����L
%(�+� =� )44� A� )G F3*�B)(��� 9� �!�+ ()�F4+
$����������'����������������������� ��'����������� ���$� ��)�*��8��� ����� ���������������������������� � �� �����������������������������$��J9J����������������� ���� A� ���
�� (���� ��� � ��� ��� �������� ��� ���� ��+������ �� �����������������!J����� ���� ��(�
�� 9� �!�+� ���� ���������� ��� �� �������� ����������
�� ��� ��� )���������� �(� *����+��� ,"� ��� "-"� &��������� �$#������ ����
#���� �������� $#���� �������� *����+��� ," "-"� ����������������
� ��� ��� �������� ���� � ��!��" ��!�#����! �$#��� �$��!� �$#������!� �#"�$� �����" �����$���� �� �#� ������ �� � ������ �� ��! �� ��# �� ������� �!"�!$ �!��$� �!�� ������ �!��"! �!!��# �!���"���# ����#" �� ��� �� ��$���#� ������ ��#��" ����#$���� ��#�" ����!� ������
��! � ���"# ��� $�� ����� �� ��� ����� ��%� � ��� �������&��'
��� �� '������ ��� ��� ��� ���� ���� �� ������ �������� ����� �������� �������� ���� �� ����������� !��� �� �������� �� ����� ��� �� J9J� ���� � ��� � ��������� �� ����� ��������������� ���� �������� �� ��� ������� ��� ����� �� �� �� '��� ������� � �� ������ ��� ���� ����������� �� ������� ��� "����� �����#�� �� ������� ������ ��� ����� ������ ��� �� �������0���;������ �� ��� �� ��� ���� � �� �� �� ����!� ���� ���� ���� �� ������ ���0���� ������ ����� ��������� ����� ���� �� �� ��� ��������� ������ ���� �� ���� ������� ��� ���� ����!������ ���� �������� ���� ������� ������� �� �� ����������� ��� �� ����� �������������������������������������������!������� ������������������������������� �������� ��������� ���� �� ���� ������� ��� �� ��� ����!��� �� ������������ ��� �������������� 0���������������������0����������������������� ������������������������ ���� ���� �� 0������� ("����� ���#+� ���� ���� ��� ���� ���� �� ������!������������� �� �������� ��� �� ��0����������� ��� ��� ��� ���� �������� ����� ��� ������ '����� �� ���� �� ��� �������� ��� ��� ������ ��
����� ������������������������ ����������������������������
�������� �� ������� ��� ���� ��� ������ ��� ,����� )�F� ���� ��� ����� ���� �� �'������������� �� ��� �� ������ ������� !� ����� ��� �� ���� ����������� ��������� ��� ���� �������� � � ��� � �� ���� ����� ������ �� ���� �� ���
1 2 1 x x
u u u⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � ()�F*+
�����&'����(���������� ���� ���������)������� �������*��%�� ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
$���� �� ������ ����� ����� ������ �� ���� ��� ����� �
2 22 1
0
( )
2 2e u uAE du AE
U dxdx
�
�−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ()�F�+
��� ��� ��� �� ����� ��� ����� ��� ������ �� ���� ����� ��� �� ���� ���� ���������������� �� �� ���� � �� ������� ��� �� '����� ������ ��� ����� �
0 1 1 2 2 0 1 2 1 1 2 20
( ) 2
eV q u dx F u F u q u u F u F u= − − − = − + − −∫� �
()�F)+
$���� �� ���� ������� ���� �� ��� ���� ��� ����� �
ep� � =�* �A� + �=�
202 1( )
2 2
qu uAE − − ��
(��� A� ��+� 9� ����� 9� ���� ()�FB+
,��� �� ���� ������ � �������� ��� �� ����� ������ ��� ���� ���� � �� ���
1
n
ep p
k
� �=
= ∑ ()�F3+
I������������./$. ������������������� ��������������������������������������� �� ���������� ������$�� ���������� ��� �� ���������� ����� ��� ���� ���� ��� ������ ������� ���������� ��� �� ������ ������ � ���� $���
0p
iu
�∂=
∂ �� =� * � � � > � ()�F5+
!������������8���()�F3+��� �� ������������������������������������������� ������������ ��� �������������� � �������� ������������ C/DM�N�=�M �N��$������� ��������� ���� ���� �� ��� ����� ���� �������� ���� � � ����� �� ��������� 8��� ()�F5+� �� ����� ���� ������� ��� ����� ��8��� ()�FB+�� �$���������� �� ���� ���� ����� �������
01 2 1
1
0 ( ) 2
ep qAE
u u Fu
�∂= ⇒ − = +
∂�
�
02 1 2
2
0 ( ) 2
ep qAE
u u Fu
�∂= ⇒ − = +
∂�
�
()�FF+
����� ��. �������� ��� ��������
� � �
�
��
� � �
��
��
!
��
�
�������'� ���� � ������ �� ���� ���� �������� ��� �������L
1 10
02 2
/21 1
/21 1
�
� �
u FqAE
qu F
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭
()�FG+
!�� ���� ��� ������ �������� �� ������������� ����� �� ������ �������� ��������������� �������� ���� � ������� ����� �� ��������� ���������� ������� ��� ���� ����(.����������������������������������������(�����8���(��*)B+�+�$��������������� ����� ����� �������������������� ������ ��� �������� �� ������ ������������ ���� ������
����� �!����"�����#���$���"����������"������ ���������������������������
�������� �� ���������0�������������� �������������� ��� ������ ���,�����)�G����� ������� ���� �� ������� %� ��� �� ������ ������� $�� ��������� ���������� ��� ����� �
����� ��/ �������� 0���� �����(��� ��������� � �
�
+�
!
��
� � �+�
�
��
2
0 1 1 2 20
1
2
dTk dx q T dx Q T Q T
dx� ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
�
()�FH+
������� � ��� ���������� ����������0� �0�� ��������� ���'��� ��������!��������� ������������������������������������������� ���� �����������������������������
1 2( ) 1 x x
T x T T⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � ()�G4+
$���� �� ���� ���� ���������� ��� ����� �
2 02 1 1 2 1 1 2 2
1 ( ) ( )
2 2e qk
T T T T Q T Q T� ⎛ ⎞= − − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠�
� ()�G*+
,��� �� ���� ���� � �������� ��� �� ����� ������ ��� ���� ���� � �� ���
1
n
e
k
� �=
= ∑ ()�G�+
$����������������� ����������������������������������������������������������
�����&'����(���������� ���� ���������)������� �������*��%�� �
� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
$������������������������������������������������� ����������������������������������� %�� � $���
0,iT
�∂ =∂
�� =� * � � � � � ()�G)+
!������������8���()�G�+��� �� ������������������������������������������� ������������ ��� �������� ������ � ��� ������ �������� ��� C/DM�N�=�M � N��$�� ����� ��������� ���� ���� �� ��� ����� ���� �������� ���� � � ����� �� ��������� 8��� ()�G)+� �� ��������������������������� ��8���()�G*+��$������������������������� ��������
01 1
02 2
/21 1
/21 1
qT Qk
qT Q
�
� �
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭
()�GB+
!�� ���� ��� ��� ����� ������ ��� �������� �� ����� ����� �� ������ ����������������������������������� ������������������������������������������������ ��� (����� ��� ��� �� ���� ���0�� ��� ��� ������� �� ��� ���0�� ��� 8��� (��*5�++�
��( &��� �)� �� � � ��� �������� ����� ��:� ��� ����� �� �� ���� ���� �������� ���� �� ��� �����!���� � �����8��� ()�FG+ ������� =� 4
1 1
2 2
1 1
1 1
u FAE
u F
− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭� ()�G3+
���C/DM�N� =� M�N
$�� ����������� ����� ��� �� ���� ������������'� ���� �� ����� ����������������/������ �� �������� �� ���������� ��� ���� �� ���� ������ �� ���� ��� =� *� ������=�4��,����������������������������������������������������������������������������������� �� 2!� �� ��������������*���� � ����������� ��� �� ������� �� �����������������������������������������������,������� ������������������������� ������ �� � ��� ���� ���� ������ �� ��������� � �� �� �� ���� ������!� � ���� ������������ �� ��������������� ��������������'���� �������� �� ��� �������/�������� �������������������������������������=�*��������=�4 ��������������������� �������� �� ������ ������� ��� �� �������� ����'��$���� � ������� ��� ����� �� ���� ��� �� �������������%� ����� �� ������� ���� ������ ������� ��� ������ �� ������� ����������� �����&���� ���� �� ���� ��������� ��� �� ����������� ������� ����� ���� ���� ������� ��� ������ ������� �������� ����� ������ � �� �������� �� ���� � � ����� ������� ��� �� �� '���
!������������������������������������������� ��������������������������������� � ������ �� (����� ������� ��� ���� ������ ��� ����� ���� ��������� !� ������������������������������������������������� ������������(�� ��������������������/�����B�3+������ �������(,�����)�H+�����������������������������-��������
��� ��� � �� �� ������� ������ �� ���� ���� ��� �� �������� ���������� � � ���� ������ (��������� ������+� �2 ���!� ���� '��� �� ����� �� ��� ���� �������� ��
11 12 13 14 1 1
21 22 23 24 1 1
31 32 33 34 2 2
41 42 43 44 2 2
k k k k v F
k k k k M
k k k k v F
k k k k M
�
�
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
()�G5+
I���� ��� �� ��������� ���������� ��� �� �������� ��� �� �������� ����'� � �� � �� ���� ��� �� �������� ��� �� �������� ����'� ������� ���������� �� �� ������ (�����+������� �� ����� �� ���������� ���� ������ ��� ,����� )�*4�� ,��� '���� � �� ������������������������ ��� �� �����������������0��� ���(��=�!� ��������������+� ���� �� ����� �� ���� �� �����.� ������� �� �� ��� �� =� 4� ����� ��� �� �������� ��������������������� ��7�����������,������������������������������������������8���9I�������� ��� ���� � �� ����� �� ������ (�����+� ���� �������� ��� ������������� ��� ������ ��� ,����� )�*4�� $���� �� ��� ���� �������� ����'� ������ ������ �"����#� ����� ��� ������ ��
3
2
3 2 3
2 2
12Symmetric
6 4
[ ] 12 6 12
6 2 6 4
�
��
� � �
� �� �
EI
EI EI
kEI EI EI
EI EI EI EI
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
()�GF+
����� ��1 �������� ���� ��������� � �
�
,�
!*�
*�
,�
� � �
�
10
x
dv
dx�
==
2 �
�x
dv
dx ==
�� ��
*����"� ��� ������� ������� �������� ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
!����������� �� ��������������� �������./$.��������������� ��������������������(��/�����B�3+��8������������������������������������������������������������������������'��������������������� � ������������������������������������� ��� ������ �� ����� ������ ������!����� �������� ��0� ���� ��0����������� ��������� ���� ������ ����� ����� ���� ������� ���� � �� � �� ��� ��� ����� �� �� ����� ���������������� ������� ���� ����������������!���������������������� ������
����� ���2 )0������������� �(��������� �0����� (��� �� ���� ��������
!��
!��
!��
!��!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
!��
,� � !��% �� � �,� � �% �� � �
,� � �% �� � !��,� � �% �� � �
,� � �% �� � �,� � !��% �� � �
,� � �% �� � �,� � �% �� � !��
���� ����������!J���� ��P�������������� � ���������� ��������������!���������������� ���������������������������������������������������������������
!������������������������������������ ���� ����������������������� �������������� ����� �� ��� �������L
%����&����������������������'���"�"����
� <����� �� ��������� ���������� ������ ����� ����� �������� �������� �����.��������������� ������������������� ����������������������������������������������������J���������������������������������������
�J� !��� �� ���������� ���������� ��� �� ��������� ���� � �����
���� "
� Q�������������� ��������������������� �������� ������������������ Q���� �� ����� ��� ����������� ���������
���� #
� ������ �� ���� ���� �������� �� �� ������� ��� ����� ��������� ��� ����� ����� ��� �� ���������� ����������
���� )
� Q�����������������������������������������,�������������������������������� � �������������������������� ������ �������������������������
� /� ���� �� ������ �� �������� ���������� ���� ����� ���� �� ���������
�(��'�)
!��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,������� ������� ������������������������������� ��� ������������������ ��� � ��� � ����������� ������� ����������������� ������ ����������������./$.�����������������������������������������$������������������������������������������������������������������'������������������� ��������� ������� ���� �� ��������� �������� 1���� � ����� �� ���������� ���� ������ ��� (����� ��� �� ��� ������� '����� � ��+ �������� � � �� �� ������ �� ������������ ���� ��������� $�� ���������� ���� ���� ��� ��� � ����� ��� ���� ��� ���� ��� ��������� ���� ������ ���� � ���� ��� ���� ���� ����� ��������� ������ � ���� ��� �� ���� � ����������� �� ��� �� ��� ��� ��� ���� ��� �� ��������� ���������� ��������� �� ���� ��������� ��� �� ����� ���� �������� ���� � ������ ������������ ���� ����� �� ������� ��������� �������� ������������� ��������� �������;���������� ��� ������������� �� �� ����� ������� ��� �� ' � �� ����� ��� ��� ��� ������ ��������� ��� ������������ �� �������� ����� �����
������ ��
�� ������� ������� ���������� ����� ��� ����������� ��� � ��������
&� �*���
#� J���8'����� )�*����� �� ��� �����(�
C'��1� <�� +� =� 9(�(!+D�
#�" J��� 8'����� )�*� ���� �� �������� �������� ����� �� =� ���� Q�� �� ����� �� ��� '���������R
#�# J��� 8'����� )�� � ������ �(�+� �� ��(�+(!� 9� �+�
#�) J��� 8'����� )�� � ������ �(�+��� ��� A� ���� A� ����� A� ���
�� A� ���
()���1�� ���� ��� ���� ������������ ������������ ������� ��������� ����������������� ��� �� ��� ���� $���� �� ��� �� �� �(4+� =� 4� =� �(!+ � �������� ���������� ������� ����!� ��� �� �� ��������� ��� �������� ����� �� ./$.�+
#�* /���� ���� �� ���������� ����� ��� �� �������� ��� ����� ���������� ����� ������� ���� <�� �(�+� �� ��C*� 9� ���� (��2�!+D�
�������� �� �����������
#�+ $����������� � ��������0�������������� ��� �������������������� � �������� �
22
20 ( )
2
(0) (0) 0
LEI d yI dx Py L
dx
dyy
dx
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= =
∫
I������������������������ ��=�4 ����������������������������������������� ��� ���� �� �������� ���������� �� �� =� !�� !��� ��� �� ��������� �������������� �� ���� ���������R
#�, ,��� �� ���������� ����� ��� � � ���� �� ������������� ���������� (8���9:������+� ������� ���� �������� ���������L
22 2
0
1 ( )
2
L dyI y ryx dx y L
dx� �
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫�� -�� �� �(4+� =� 4�� 6����� ��� �� �� � ������ ��������
��
��� ����� ������ � �� �� ����� ������������� � ��� ������� ������� �������� �������� �� ���������������������� ����� ��� ����������� ��� �� ������������ ���� ������������� � � ����� ������ ������ �������� ������� ������� ������ ���� ����� ������������������������ ��������� ����� ���� �������� ��� �� �������� ������ �� �������� �������� ��� ��� ��������� !�� ��� � �������������� ���������������������������� � ������������ �������� ��� ������������������������� ������ �����������������������������������"����������#�����������$���������������#��������%������������������������������������� ���� ���������������� ��� ��� ������������ ����� ����������� ������� ��� �� ������� ���� ��� ��������� �������� �������� �� ��� � � ���� ���� ���������� $� ���������� ��� ����� � �� � ���� ���� ��� ����� ������� �� &�� ����� ��� ���� ��� �� ��� ����� � �� ���� ����� ���� ���������
��� ������ � ��� �� ���� � �� � ������ � �� ���'� �������� ������ ������� " ���� � � �� �� �� �� ���%� ����� ��� �������� �� � (����� ��� �� ���� ������� ��� ���� ���� ��� ��� ���� � " ���� � � ������%�� ���� � � �� ���� ���� � ������ " ���� � � �� �� ��%� �� ����������� ���� � ������ ��� ������� ����� �� ���� �� �� ������� �������� ������������ �������� ��� ����� ����������������������������������!������� �� �� � (����� ��� �������� ���� � ��� �� � � " ���� � � ��� ����� �������������� ��� ������������%��)��� ���� ���������� ���� ��� �� ��� �� ���� �������������������� ������� " �� � � ��������� ���� ���������%�� ������ � ���������� ��� ��� � �������� ����� ������������������ ������� ��� ���� ���� ��� ���� ������ ���������� ��� ���� �� ������� � ������ ������ ��� ���� ���������������� ������*����+ ����������� ��� ���������������� ���������������� �����������������
$�� � ��� ,��"��� -� ���%� .� ��� "/�0%
��������� � � ������������ ������������ � � ������������ �� ����� � �� �"��%��� ����������� ������������������ �����"���%��������� ������� �������������� ���� ���� ���������������� ����
������������� ������������� ������
CHAPTER 4
�� ������������� ������ ������� ������
������� 1�� ��� �� �� �� ��� ����� ���� ������� ��� ���� ���� ����� ����� ������� ��� ��������� ������������ ��� ����� ������ ��� ��� � ����� �������� ��� � � ������ �� ���� ����������� ���� ���������� � ���� ������ ��� ����� "�%� ��� ����������� � ���������� "��%�� *���� 2�3� ��� � ��� ���������� � ���������� ����� ������ � ���������� �� ��� �� ��� ���
��� ,� 4�54��5� ,� 4"��%"0%"0%54"���%"0%5� ,� �� ��� "/�6%
$� ��������� ��� �� � ���� 7��� "/�0%� ��� ����������� ����� � ����� ��� ����� ���� � ���� ���������� ��� ��� � ����� ���������������������� ������� ������������� ���������� �������� ���� ���� ������ ����� ������� ��� �
20 0
1
2� � � � �x x x x xU E A dx E A dx A dx
⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ ∫ "/�8%
������������������������������������������������ ������������� � �������� ���������������� ���� �� ���� ����� ���� ������� �� ����� ��� ����� ��������� � � ������ � ��
�� ,� - "�9��%�� ���
���� � ��� �� �������� ������ ������� ���� �� � �� ���� "�� ��� ����� ������%� �� ����������"%�� ��������� ���� ���������� ��� �������� ���� � � � ������ �
( ) i iV q dx P� �= − + ∑∫ "/�/%
�������� ����������������������������������������������� ��� �� ����������������� ��������� � ������ ���� ���� ���� ����� � ����� ����������� ���� � ��� �� ����� ���� ������ ���������� ��� ��� ������� � � � ������ �
p U V� = + "/�:%
�������� � �� ��� � ������� ���� ��� ��� ������ � �� ���� ������ ����������� ��� ����� ���� �������������� �������� � ��� ����� ������� ����
��� �������� � ��� �� ������� ������� ����� ��;�������� ��������������������������������������������� ������������������������������� ��� � ���������� <�=�� � ���� ���� ����� �������� ��� � � ������ >
�� ,� 4�5<�=� "/�?%
���� ������������� ��� 7��� "/�?%� � � � � ������ >� &�� �� �������� ������ �� ����� ��� ����� ����� � ��� � ���������� ��� ����� ������ "������ � ���������� �� �� ��� �� �� � ���������� %�� ��<� =�� � � �� ������� ������ ��� ����� ������ ��� ���� �������� ��� � � ��� ���� ������ ��� ���� ������ ����� �� ��� ��� � ��� �������� "@@A7;%� ��� ���� ������ ��� ���� "@&B77%�
&�� �� �� �������� "&����� /�0%�
@@A7;�,�6@&B77�,�0
{ } 1
2
e
u
u�
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�C%
&�� �� ���� �������@@A7;�,�6@&B77�,�6
{ }
1
1
2
2
/
/
e
v
dv dx
v
dv dx
�
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�D%
���� ������������� �4�5� ��� ���� ���� ���������������������� �� ���� ����� ����� ����������� ������������ ���� ��������� ��� ���� ���� ��� ���������� 4�5������ �� ��� � ���������� ���� ������ <�=��� &�� ��������� ��� ���� �� ��������� 4�5� � � ������ �
[ ] 1 � �x x
N⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
"/�E%
���� ������� ����� ��� �� ������ � ������� ���� �������� "������ ��%� � � ������ ��� ��� � ��� ����������� � ��� ���� � ���������� ����� ��� � � ������ ��� ����� ��� ��� � ��� ����� ������ �
��� ,� 4�5"�%� ,� 4�54�5<�=�� ,� 4�5<�=� "/�0F%
����� 4�5� � � �� ����������� ������� ��� 4�5� ,� 4�54�5�� ��� ������� ���� �������� � ��� ����
�������� �� &�� �� �� ��������� ��� ��������� 4�5� � � ������ �9��� ��� 4�5� ,� 1 1
� �−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦�
��� ���� ���� ������ ���� ������� ���� ���� ��� ���� ������ ���������� � � ������ � ���7��� "/�8%�� &�� ��� ��������
0 01
{ } [ ] [ ]{ } { } [ ] { } [ ] 2
T T Te e T e e T e Tx xU B B EA dx B E A dx B A dx� � � � � �= − +∫ ∫ ∫ "/�00%
'����� ���� 7��� "/�/%�
{ } [ ] { } [ ]T Te e T e T
i iV N q dx N P� �= − − ∑∫ "/�06%
1 2
�� �� �
� ����������� ��������� �� �
��
��
��
��
��
������������� �
����� ��� ��� � �� � �������
����� �����
������� ��� � ������ ������� ������� ��
�� ������������� ������ ������� ������
��� �
0
0
1 { } [ ] [ ]{ } { } [ ]
2
{ } [ ] { } [ ] { } [ ]
T T
T T T
e e T e e Tp x
e T e T e Tx i i
B B EA dx B E A dx
B A dx N q dx N P
� � � �
� � � �
� = −
+ − −
∫ ∫∑∫ ∫
"/�08%
����� 4�5�� � � ���� ������ ��� ����� ��������� ����� � ��� ���� ��������� ��$����� <�=�� � � �� ������ ��� ����� ������� ��� � � ���� �� ��������� ��� ���� ������� ��������� ��
��� ���� �� ������ ��� ��� ���� ������������ ��� � ��� ���
( ) 0 01
{ } [ ] [ ] { } { } [ ] + { } [ ]2
{ } [ ] { } [ ]
T T T
T T
e e T e e T e Tp x x
e T e Ti i
B B EA dx B E A dx B A dx
N q dx N P
� � � � � �
� �
� = −
− −
∫ ∫ ∫∑∫
"/�0/%
G�������� ���� �������� ������ � ������ 4�5�� ��� ���� ���� ������ < � =�� �
[ ] [ ] [ ]e Tk B B EA dx= ∫ "/�0:%
0 0{ } [ ] [ ] [ ] [ ]e T T T Tx x i if B E A dx B A dx N q dx N P� �= − + + ∑∫ ∫ ∫ "/�0?%
��� ���� ������ 7��� "/�0/%� ��� ���� ���
1 { } [ ] { } { } { }
2
T Te e e e e ep k f� � �� = − "/�0C%
#��������� ep� � ����� �� ����� ���������� ���� ������ ���������� ��� ���� �� ��� ������� ������� � ���� �
� ������ �� ������ �������� ���� ������ ���������� ��� ���� � ���� � � ������ �
NOELEM
1
1 { } [ ]{ } { } { }
2e T T
p p K F� � �� �= = −∑ "/�0D%
������� ���� ��� ��� ������ � ������ ��� ���� ������� 4�5� ��� ���� ��� ��� ���� ������ <�=� ��� �������
NOELEM
1
[ ] [ ]e
n
K k=
= ∑ "/�0E%
NOELEM
1
{ } { }eF f= ∑ "/�6F%
2@A7;7H3���� ��� �������� ������������ ���������� �����<� =�������� ����������������������� �� ������������������������������� ������� �������� ������������ �� ���������������������������������������� ������ �������������������������������� ��������� �������������� ����� ������� ��� � �� ���
) ���� ���� #$�#����� ��� ���� ������ ���������� �������������� � ����� ��� ����� �������� � ������ ����� ������� ����I�
= 0{ }
p
T�
�∂
∂ "/�60%
��� � ���� � ���� ������ �������� � ��� ������ �
[ ]{ } { }K F� = "/�66%
�������� ���� ���� ����� ��������� � ��� ����������� ������� ���� �������� �� �������� ������� ����� ���� �������������� � ��� �� ���� ����������������� ������� ��� � ������� ��������� ����� ��������� ��� �������� ������ ������� � �� ��� ��� � ���� ���� � � ��� �� ��� ������ ���������� ���� ����� ��� � ���������� ������ ����� �� ����� ������ � �� ��� ���� � �� ��� ���� ����
��� ���� ������ ��� ������� ��������������� �������� ������ �� �������� "&�����/�0%� � � ���������� ������ ����� ������������� ������ ��7������������������������������� ����������������������������������� ������������������ ���� � ���������� ��� ���� ������ �� � ������� � � � ���� ��� �� ����� ��������� ��� ����
G� ���������� ����� <�=� ,�� "/�68%
@���� ������ ������ <�=�� ,�1
2
u
u
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�6/%
$����� �������� � 4�5� ,� 1 2[ N ] = 1 � �x x
N⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
"/�6:%
$����� <�=� ,� xdu
dx� = "/�6?%
��� � ���� ����������� ������� 4�5� � � ������ �9���� *�����
1 2 1 1[ ]
� �dN dN
Bdx dx
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦"/�6C%
��� � ���� �������� ������ � ������ � � � ������ �
0[ ] [ ] [ ]
�e Tk B B EA dx= ∫ "/�6D%
0
1/ [ 1/ 1/ ]
1/
�� �
�
lEA dx
−⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∫ "/�6E%
1 1
1 1�AE −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
"/�8F%
�������� ����� ������ � ��� ����� � � � ������� ����� ����� �� ��� ����� � ������ ���� ���� ����� ���� ���� ������� � ����� ������� ��� ����� !���� �� � � ���� �� �!� � ���� �"�"�"
��� ������ ��� ������ ������� ��
�� ������������� ������ ������� ������
������� ����� ����� ������ ����� ������������" ���7���8�CD%��!������������� ��������������������� ���� ����� ���� � �� ��� ���� �� �������� ��� ������ �������� �
���������� ��������������������������� !�"�1�� �������������������������"&�����/�6%��� ������� #�� ������� �� � ��������� ������� �� ���� ��� ���J����+ � ����� � ������ �� �� ������ ���� ����� ��� ���������� ��� �� � ��� ���� �� � (����� ��� ������� ����� � ���� ���� ��������� (� �� � �� ��� ������� ��� � ��������� ����� �� ��� ���� ���� ������ �� ���� � ����� ��������� ��� ������� �������� ����������� ������� �
&�� �� �� ��������� ���� ������ � ������ � � ������ �� 7��� "/�8F%�� ��� �
1F
����� ��� �� �� �������� ������ ��� ��������� �����
1 1[ ]
1 1
e AEk
l
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦"/�80%
&�� ������ ���� ��������� ���� ��� ����� "������ ����������%� ���� �� � � 2�3���� ����� ������� � ������ �� "�� %�� !�� ����� ����������������� ������ ����������������� ����������� � ������� �7��� "/�0?%>
{ }0
1 / [ ] ( ) ( )
le Tx l
f N q dx g A dxx l
�
−⎡ ⎤= = ⎢ ⎥
⎢ ⎥/⎣ ⎦∫ ∫ "/�86%
/2
/2
Alg
Alg
�
�
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�88%
$����� "��� %� ��� ��� � ���� ������� ��� ���� ��������� ���� ����������� ����� ����� ������ (� �� ������ � � ��� � ����������� �������������� ������������� �� ������������������������������ ������� ����� ����� ������ ���0?� ������� ������� � ���� ��� ����� �� ��� ���������� ���������������� ������ ��������� ���� ������ �������� � � ������ ������� ��� �� ������ �
�
�
G� ���������� �"�%� ,�2
2
g xLx
E
� ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠"/�8/%
$�� � � "�%� ,� � "#� -� �% "/�8:%
���� ��������� ���������� ����������� ��� ���� ������������������ �� ������������������������ ���������������� ������������� ������������������������������� �������������� "7��� /�6:%� ���� ��� ���������� ��� ����� �� �� ��� � ��� ������� ��� �������� ��� �� ��������������� ������������ �� ����� �������� ����� �������������������������� �������� �� ���� ��� �� ��� ������� �
��������������� ��� ���� ���� ������ �������������������������������������������� � ����� ��� &����� /�8"�%����� ����
1
2
11
2
3
����� ��� ������ ������� �� �� !� � �� � "�� � ��!#$������ ��������� �����
�� # ������� � �� ���� ����� �� �� $�������� ��
�
2
�L=
4
�L=
� ��
� �
�
�
� � �
1 1
2 2
1 1
1 1
u FAE
l u F
− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�8?%
) ������$�#���� � ������������ ���� ������������������,�F������� ����������������� ,� �� #96�� ��� ���
��� ,�2
2 2
AgL L gL
AE E
� �⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠"/�8C%
� � �
��� ������ ��� ������ ������� ��
� ������������� ������ ������� ������
��� �
�"�%� ,�2
gLx
E
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
"/�8D%
$����� ��� ,� 2
gL
E
�"/�8E%
$�� � ��� , = 2xgL
E�
� "/�/F%
����������� ���� ��� ;��� � � � ���� �� ���� �� ����� ���� ������ ������� ������� � "�� ,�#96%� � ����� ��� &����� /�8" %�� &�� ���� �� �� ��������� ��� ����
(1)1 1
(1)2 2
1 1
/2 1 1
u fAE
L u f
⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�/0%
&�� ���� ����� ��������
(2)2 1
(2)3 2
1 1
/2 1 1
u fAE
L u f
⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�/6%
' �� ����� ���� ���� ����������������� �������������� ������ ����
(1)1 1
(1) (2)2 2 1
(2)3 2
1 1 0
1 1 1 1 /2
0 1 1
u fAE
u f fL
u f
⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− + − = +⎨ ⎬⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�/8%
$� ��������� ���� ������ ���������� ��,� F�� ��� ���� ������ ����
(1)2
/2
2
AgLf
�= ��(2)
1/2
2
AgLf
�= �(2)
2/2
2
AgLf
�=
��� ���
2
3
2 1 /2
/2 1 1 /4
u AgLAE
L u AgL
�
�
− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
"/�//%
$������������ ����
22
3
3/2
4 2
u gL
Eu
�⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭
"/�/:%
���� �������� ������ ���� � ��� �� � � ��� �������� �
(1)1(1)
2
2
01 1 3
[ ] 3/2 /2 48
x
u gLB gLL L Eu
E
��
�
⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎡ ⎤= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭
⎩ ⎭"/�/?%
(2) 21(2)
22
3 /81 1 1 [ ]
/2 /2 4/2x
u gL E gLB
L L Eu gL E
� ��
�
⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭"/�/C%
(1) (1) 3
4x xgL
E�
� �= = "/�/D%
(2) (2) 4x xgL
E�
� �= = "/�/E%
������������ ���� ������ ������ � ����� ����� ��� ���� ���� ������� � � �� ������ ������&�����/�8"�%�� ������ ���� ������ ��� �� ���� �� ���������������� ���������� �������"#9/%��&������ ��������� ��� ����
1 1
2 2
1 1
/ 4 1 1
u FAE
L u F
− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�:F%
' �� ������������������������������������ ���� � ���������������� ��������������������� ������ ���� �� ��� � ����
2
3
4
5
1 1 1 0 0 1/2 1/2
1 1 1 1 0 1/2 1/2
/4 40 1 1 1 1 1/2 1/2
0 0 1 1 1/2
u
uAE ALg
L u
u
�
+ − +⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− + − +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥− + − +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
"/�:0%
$�������� ��� ���
��� ,�27
16 2
gL
E
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� ��� ,�212
16 2
gL
E
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
��� ,�215
16 2
gL
E
�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� ��� ,�2
2
gL
E
�
"/�:6%
���� ��� ������� �� � � ��� ��������� ������� � ��� � ������ �
��� ������ ��� ������ ������� �
�� ������������� ������ ������� ������
(1) 7 ,
32gL� �
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠(2) 5
32
gL� �⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ �
(3) 3
32gL� �
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ �(4) 1
32
gL� �⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ "/�:8%
A�� ������ ���� �� ��� ���� � ����� ���� ������������� ������ ��� 0?� �� ������� �� ����� ���� � ������� ������� ������������ � ����� �����&������������� ����� ����� �� "��,�6���0F���@9�����,�C�DFF���9��%���� �� � ��������� ����:�������� ���/�0� "&���� �/�/����/�:%� ������ � ���� ��������� � " �� � %� � ������ � ���� ���� ����� � ������� �������� ���� � ����� �� ���� ����� ��������
%����� ��� &��� "�� � '��!#$�����(����� � �� �!� ��!������ � ���!������ � � �� �� ��� ����� �
� �� ������ �� ������ �� ������ )� ������ �*� ������ �����
� � � � � � ��"�%�& �"��'� �"��'��"��& �"�(() �"�(() �"�(()�"�)*& �"�%(+ �"�%(+�"�& �"�)'% �"�)'% �"�)'% �"�)'%�"'��& �"��� �"����"'*& �"��% �"��% �"��%�"('*& �"�'� �"�'��"& �"�(' �"�(' �"�(' �"�(' �"�('�"&%�& �"�&& �"�&&�"%�& �"�%( �"�%( �"�%(�"%)*& �"�*� �"�*��"*& �"�*+ �"�*+ �"�*+ �"�*+�")��& �"�)( �"�)(�")*& �"�)) �"�)) �"�))�"+'*& �"�+� �"�+�� �"�+� �"�+� �"�+� �"�+� �"�+� �"�+�
���� ���� �������� ���������������� K����������������������������� ����������� ��������������� ���������������� �������������������� �� ������L�7���������(� �������������"������ �� ������ ������� ����� ��������� ��� � ���������� ������� ���� ������ �%�� ��� ���� ���� ����������� ��� ���� � ����������� ����� � ���� ������ �������� � � ������� �� �������� ��������� ��� ���������LI�*������������ ������������������������� ��������� ���������������� ���������������� ������� �
'� ������ ��� ��������� ����� �� � � 2����� ����� � ��������� � ����� ������� ���� ����� ��� �� � � �� ���������M3��������������������� �� ����� ����� (� ����� �������������� � ��������� ��������� ��� � ���������� ������� ���� ��������� $����� ���� �������� � �� ����� � ����� �����
,����� ������������ ������������-"��� ���.����������� �������� ���/�����/ ������� ��������� ���������� �� !�������+�� ��� �*)0�)��� �+%+"
.�����������
�%�.���� �� �������
)�.���� �� �������
�
����� ��, &��� "�� � ��!#$�����(-���� � �� �!� � � � � �$���� )� ��� �*� ������ ��
����� ��� &��� "�� � ��!#$�����(-���� � �� �!� � � � � ��.� �� ��� �� ������� ��"��� ��
.�����������
(�.���� �� �������
��.���� �� �������
��.���� �� �������
�
��� ������ ��� ������ ������� ��
��� ������������� ������ ������� ������
������������� ����������������������� ��������� ���������������������������� �������� �� � ����� ��� ���� ����� ��� �� ���� � � �������� ���� ������ ��� � ���������� ��� ��� ������� ������ � ������� �� ��� ������� �������� ��������� ;��� � � ���� �� ��� �������� ���� � ���������� ���� ,� F�88#�� ������ � � ���� �� ���� ��� ���� ��� ���� ������� �������� ������� � ��� � ������� &�� ��� ���� ������ �� �� �������� ��������� �������� ��� � ������� "��� ������� ��� �� ,� F�88#%� ��� ���� � �� ���� ������ ������������� �������� �����
1 � �
ip pp
j
ux xu
u
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪= −⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭"/�:/%
����� ��� ��� ��� ��� ���� ����� � ��������� � ��� ����� �������� ��� ��� ��� ��� � ��������� ��� ��� ���� � ������ ���� ���� ���� ���� ��� ���� �������� ��� ���� ������� "������ ����� ��� � �� �� �������������� � ���� ��� ����� �������� ����� �� � ������ ������ ��� ���� ���� ����� ��� &����� /�0%��� ��� /�6� ������ � ���� ������ �������� ��� ���� ������� �������� �������� � ����������� ���������� �� ��� ������� ������ ���� ����� ��� ������� �������� �������� � � ��� ����� ��� ���������� ����� �������� ������ � ����� ����� ���� ��� �� ��� ������� �� ��� ����� �������� ���������2����������3� � � ��� ����� �� ���� ��� �� ��� ������� �
������� �� ����� ���������������� ������ �� ���������� �
/��� �! /� ���� ��� �� ��������� ��� �� 0� 1��������� ���� �� �������� 2������ ��"����
� �"&+)� �")+)( �"+*&) �"++'�% �"++)
$����� ��� � �������� � � � ������ ������������� �������� � ��� � ����������� ��� � � �� 2��� ���� �� 3� ��������� ��� � � � �������� ��� ��� ������� �������� � ��� � ��� �� � � � � ����� ��&���� �/�/����/�:�������� ���������� �������� ��� �� � � � ���������� ������� �������������������������� � ���� ���� � ���� 2 ���3� ���������� A�� ������������� ��� ��� �� ������ � ��������� ���� ��� �� ��� ������� �� $����� �� � � � ��� ������������ ����� ������������ � ���� ������� ����� ���� ��� ����� ���� ����� � ��� �� K���� ��� ������ ��������� '� ����������� � ���� � ����� ���� 2������3� ������ ��� �� � ��� ���� ���� ������ � ����� ���� ������ �������L� !�� � � �������������� ��� ��������� �� � ������ � ��� �� �������� ������� �������� �� �� ��� ������ �� ������������ ��� N� ��� � ��� � ��� ������ ������ � ����� ������ � �� ����� � ���������� �� � ���� �������� �� ��� ���� ����� ���� ������� �������� ����� � ��� �� � ��� ���� ������ ��� ����� ���������������������������� ���������'� ������������������ ������������ �� ����� �������������� ������������� � ������� �� ������� �������� ����� ���� ��� ��� ���� � ��������� ��� �� � � � � ���� ��� ��� !�� � ��������������������������� �� � ���������������������� ��� ������� �������������������� ������ � ��� ����� �
'� ������ ��� ��� � ������� � � �� ��� ���� � ���� � �� ���� � � ���� ������
� G��������������������������� ������������� ���"� ���������� ��� ��� ��� �%������� ������������� �� �������������������������������������������������� ������������ ����� ����������� � ��������� ��� ���� ������� ����� �
� ���� ����� ���� ��� �� ���� ���� �� �� ��� ��� ����� �������� ��� ���� ��� ��� ����������� � "����� �� � ���%� ����� �� ��� ��� ���
� $�� ��������������� ������ ��� ������������� ���� ������������� �� ����������(������� ���� ������� ������� �
���� ����������� ����� ����������������������������������������� ���������������������� ����������� ���� ������� � �������� �� ��� ����� � ���� �������������� ���� ������� ��� �������� �� ���������� �������� ��������� ��� � ���������� ������� ���� ������������ ����� ���� �� ������������������������������������������� �������������������������������� �"���������%&�����������������������%������ (� �� ������� ���� ���������� ���������������� ������ ��������
!�� �� �� �� � ���� ����� ��� ����� ����� � �� ���� ��� � ����� ��� �������� ���'��%&����� �������� ����������� ����� ���������� ����� �"�%� ,� ��� .� ���
��� &�� ���� ��� ����������� ,� ��9��� ,� 6����� ��� �� ����� ��� �� � ����� ����� � �� ���� ��� ���� ��� ��� ����� �������"��� �� ,� F%L
��� ���� ������� ��� ������
����� �������� �� ������������� ������ ����������������� ���������� � � ����� ���&�����/�?�������� �� ���� ���������� � �0� ���6� ��� ������������� � ���������� ��8������� ���������� ��� ����������������� ���
� �� �1�� �� �� �� �
'��
�� �� ��
����� ��* 3"�� ����� �� � �������
�
�������� � � ���� ����������� ���� ���� ����� ����� � ��������� � � ���� ���� ����� �������� � � ������ >
�"�%� ,���"�%��� .���"�%��� .���"�%�� "/�::%
���� ����� �������� � ��� ���� ������������ ������� ���� �������� ��� ��� ���� � �� � � � �������� ������� ��� ����� ���� ����� �������� �� ;��� �"�%� �� ������ �� ���� ��������������������������
�"�%� ,� ��� .� ���� .� ���� "/�:?%
��� ����� ����� �"F%� ,� ���� �"�%� ,� ��� ��� �"�96%� ,� ���� *������ ���� 7��� "/�:?%�
��� "�������� ��� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
��� ,� ��� ��� ,� ��� .� ���� .� ����
2
3 0 1 2 2 2
� �u c c c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠"/�:C%
$������� ��� ���� ��� � ������� ,� ��
���,� "/��� -� ��� -� 8��%9� � "/�:D%
���,� "6��� .� 6��� -� /��%9��
��� � ��� ����
�"�%� ,� ��� .�3 2 1 1 2 3 2
2
4 3 2 2 4
� �
u u u u u ux x
− − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠"/�:E%
B��������� ���� ��� �� ��� ���
2 2 2
1 2 32 2 2
3 2 2 4 4( ) 1
� � �� � �
x x x x x xu x u u u
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠"/�?F%
1�������� 7� �� "/�::%� ��� "/�?F%�� ��� � ����
2
1 2
3 2 1 ,
� �x x
N = − +2
2 2
2 ,
� �x x
N−= +
2
3 2
4 4
� �x x
N = − "/�?0%
��� � � � �� ������� ���������� ��� ���������� ���� ���� ��� ����� �������� � ������ �� �� �����������������������������"7���"/�:?%%��$� �������������������������� ���������������� ���� ���� ���� �� �� ����� ��� ����� ������� ��� �������� ���������� ��� �� ��� �������� "7��� "/�:C%%� ��� ����� ��� ����������� � ��� ��� ��� � ��� ����� ������ ��� ����� � ������� ��� ��"7��� "/�:E%%� ��� ������� ���� ��� � ��� � ����� ���� � ��� ����� �������� � "7��� "/�?F%%�� ;������ ��� ����� � �� � ����� ������� � ��� ���������� ���������� ��� ���� � ��� ����� ���������
����� ��������������
O����� ���� ����� �������� �� ��� ���� ���� ������ ���������� �������� ������ 4�5� �
[ ]{ } [ ]{ }e ex
du dN B
dx dx� � �= = = "/�?6%
����
31 22 2 2
2 3 2 4[ ] 2 2 (2 )
2 2
� ��
� �
dNdN dNB x x x
dx dx dx l
⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦"/�?8%
*����� ��� ����� ���� �������� ������ � ������ ������ �� ���� 7��� "/�0:%� ��� 7��� "/�?8%>
[ ] [ ] [ ] e Tk B B EA dx= ∫ "/�?/%
( )
2
20
2
2 32
2
2 2
2
42
��
��
��
l
x
x
x
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ � 2 2 2
2 3 2 42 2 (2 )
2 2
� ��
� � �x x x EA dx
⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦"/�?:%
A�� ����������� ���� ���� ������� ����� � ����� ���� �������� ������ ������� �
7 1 8
[ ] 1 7 83
8 8 16�
e AEk
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
"/�??%
����������7�������/�0������ ��� ��������������������������� ���� � ��� �� ������ ���� �������� ����� ��� "������ �%� ��� ������ ��� "�������� �%� ������� ������� �
�������� � �� ��������(�!�' �' � ���� )���%&���*"+�,�������-"� &�� ������ ���� ������������ ��� ����� ��� ��� ������� ���� �� � � ����� �� ��� ����� ������� � � ������ �� "�� %�� ��� ����� �������� ����� ����� ������ "��� ���� � ����� ��� ���� ����� ����%� � � ������ �
2
2
2
20 0
2
2
3 21
2{ } [ ]
4 4
�� �
� �
� �
� �
e T
x x
x xf N q dx Ag dx
x x
⎡ ⎤− +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ − ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ "/�?C%
� � � �
1/6
1/6
4/6
Agl�
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�?D%
) ����(� �������������� ������������������������������������ � ��������&�����/�C����� ����� ���� ��������
��� "�������� ��� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
2
3
7 8 1/6
3 8 16 4/6� �
�
uAEAg
u
− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
"/�?E%
��������� ������������������,�F������������������� ������������ ���� � ����������� ,� #�
$�������� ��� ���
2
2 2
gLu
E
�= �2
33
8
gLu
E
�= "/�CF%
$� ��������� ��� �� �������� � ��� 7��� "/�?F%�� ��� � ����
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 4 4 3( )
2 8
2
2 2
� �
� �
� �� �� �
�� �
x x g x x gu x
E E
g x x g xLx
E E
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞−= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
"/�C0%
1�������������7���"/�8/%������ ������������������������ ��������"��,�#%������� ��������� ������ �������� ����������� "����� ���� (� �� ��� ���� ��� � ��� ������� ����� � �� �%�� !�� � � ����� � ��� ����� �� ��� ���� ���� ��� ���� ����� ���� �� � � �� �� ������ ���� ������ ��������
�'
�
�
�
����� ��+ &��� "�� � ��!#$�����(3"�� ����� ������� ��"���� ��������� �����
�
������ �� ������������������������������� �������������(� �������������� �������������� � � ��� ����� ������ ������ �� ������� � ��� ���� �� �� ��� ��� �������� ��������
! ����� �'� ���� ������ ��� ������� � ��� ��� ������ ��� ������ ����� ��� ������� �
���������� ����������'����'�%����' ��'�����%����������'����%�����"������� �������� ��������&�����/�D��������������������������� ������������������������������������ � ������ � ��� �� ������� � ����� ��� ������� �� ��� ��� ���� ���� �� � � ��� ����� ���� ���� ��� ����� � ��������� &�� ����������� ���� � � � ������9�� ,� 0����� � ���� �������� ������ ������� � � ����������� �
1 1[ ] =
1 1
ek−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
"/�C6%
&�� ���� ���� ������� ���������� �� � ����� ��� &����� /�D�� ��� ���� ������ ���� � �� ����� � ����� ���� ��� ��� ������ �������� !�� ������ �� ��� ����� ����� ��� ����� ��� ����� ������
� � ' ( & % *
� * � % ' & (
� � ' ( & %
%&('��
�� 2���� �
�/� 2���� �
����� ��) 4� � ������� �� �(5�!!� ��� ���� "��� ��� ��������� �����
��� ���� �� "C��� C%� ��� ��� ������ ������� ��� ���� ������ �������� &�� ���� ���� ��� ��������������������������������������� N������������������ � ������������ ���������� � �������������� ���������� �������� � ��� ���� ����������� � ��� ���� ������ � ��� ���� � �� ��� ������ ��� �����������
��� "�������� ��� ������� ���
�� ������������� ������ ������� ������
� � � � � � � � � � � � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������
����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� � � � ������
����� �� � �� ������� �� �� �� ��
� �� �� �� � �� �� ���� � �� �� �� � �� ��
����� ��
����� �� � �� ������� �� �� �� ��
� �� �� �� � �� �� ���� � �� � �� � �� ��
����� ���
����� � �� �� ������� �� �� �� ��
� �� �� � � �� �� ���� � �� �� �� � �� ��
����� ���
����� �� �� �� ������ �� �� �� ��
� �� �� �� � �� �� ���� � �� �� �� � �� �
����� ��
����� �� �� � ������� �� �� �� ��
� �� �� �� � �� �� ��� � �� �� �� � �� ��
����� ��!
����� �� �� �� ������� �� �� �� ��
� �� �� �� � �� �� ���� � �� �� �� � �� �� ������ �
&������������ � ����������� ������ ������� ���� �� ��������� �� ��������� ������� &���� � /�E� ��� /�0F�
��� � ���� ���� ���������� ����� � ����� ��� ���� � �� ��� ������ � ������ ��� ��� ������>
����� ��6 � ������� ��!!� � ��� ��� 7#8� !� � 9� �� �
1 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0
0 0 1 2 1 0 0
0 0 0 1 2 1 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
1 0 0 0 0 0 1
0 2 0 0 0 1 1
0 0 2 0 1 1 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 2 0 0
0 1 1 0 0 2 0
1 1 0 0 0 0 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
����� ���1 � ������� ��!!� � ��� ��� 7#8� !� � 9� �� ��
H���� ������� � ��� ���� � �� ��� ������ ������� 4�5� ��� ����� B������ ��� ��������������� ���� ������� � ��� �� ������� ��� ��� �������� ������ � ������ 4�5�K���� ���� ������� ��� ��� �������� � ������ ������ �������������� ����� ���� ��������,�0�������������������������������� ��� � �� ���� �������� ������ � ����� ��� ����� � � ������ ��� �� ������� ��� ����� ���������� ����� ��� ���� ������� ����� ��� �� �� "0%�� ��� ��������� ����� ������� � ��� �������������� ������� ��� �� ��� � � �� �� ��� ��� ����� ��� ����� ���� �� ������� ��� ���� 6� "��� �������%� ��� ��� ��� ����� ���������� ��� ���� ?� ����� ���� ����� ������ �� ���
���� � �� ��� ������ 4�5� ��� ���� ���� �� � � � � ��������� ��� � ��� ���� ����� ��� �������� ����������� ����� ������ ���� ����� �� ���� ����� ��������� ������ ����� ��� ��������������'��� ���� ������� ����������� � ��� �� �� 0� "&����� /�E%� ��� ��� ���� ����� ���� ������� ������������������������������� ������������� ��6�"&�����/�0F%��!��������������������O�� ��������������� ����� ��� ���� ��������� � ���� 4�5<�=� ,� <�=�� �� �� ��� ��� �� ���� ����������� � ��� 4� 5� ���������� ���� ���������� ���� �������� ���� ����� � ����� � � ��� �� ��� ��� ����� ���� ������ ��
��� "�������� ��� ������� ��
��� ������������� ������ ������� ������
��� ����� ��� ���������� ����� � ��� ������ ��� 4� 5� ��� ���������� � �� �������� ������� &���������� �������� �� ���������� ��� ������ ���� ���� ���������� � � ���� ������ ������� ���H� ��0
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"/�C/%
!�� � � � ������ �� ������ �������� ������ ����� ����� � ��� �� ������ � ����������� � ��� �������������� �������� � ��� ���� ������ ��� ��� ������ �������
����������� ������������������ ��"0%���� ������������ ������� ���� ���������4� 5�@��� ��� ������ ��������� �� � �� ����������� ������� ��� ���� � �� ������ ��� ���� ��� ����������������� ����������� ���������4�5������������'��'����'�%����' ���!�%����������������������� ���� ������� �� � �� ������������ �������� ��������� ������� �������� �� ��� �
�������� ��������������������!��%�������������1�� ������������������������#�������� �� � ������� ��� J����+ � ����� � ��� ��� ���� ������������ ��� ������� ����� ���� ��� ���������������������������������� �����.P1��G������������������� �� � �������� ����������� �������� � ����� ��� &����� /�00"�%�
����� ���� %�� ���� � � � ���� � � ��������� �����
���$����3����/
���� 4� �������5��� � ���� ��� �� �����
�/��$����3������/
���� -���� �� ��� ��
���
-������ /�6/ � ������
��� ����������� ����� �������������������� ��� ������������ �����<��=���� ����������������� ����� ��� ��� � �������� � ���� �������������� ���� ��� !�� ������ ������ ����� ������������� �� � ���� � � ���� ����� �������� ������ ��� ���� ���� ��� � �������� ��� �� �� ��������� ���������� ����������� ����� � ��������� ����� ����� ��� ��� ��� �������� � ���������� ����������� ������� �
Q������������� �� ���� ��������������� �������� ��� ������ ������������� ������ ������ �������������� ������� �� � ������������ ���������������� ����������� ��.�� �������������� ��� ������ �� ��� ������� "�#.%�� ��� � ��� ��� � ��� ��� �������� ����� ��� ,� "�.%�� !�� ��� ������ � ����� � ��� ���� �� ��� ���� ����� ��� � ����� ���� � � �� � ���� ����� ���� �� ����������� � ���� ������������ ���� "�#.%�� ��� ��� � ��������������� ����� ��� ���� �� � ������� ��� ,��#.9#� ,� "�.%�� ��� � � � ���� �� �� ��� &����� /�00"�%��' � ����� ��� ��� ���� � � �������� ��� ������������ ��������������� ������������� �� � ������������� �� �������������������������� ��������� ��������������� �
�� ,� �"�� -� ��%� ,� �"�.� -� �.%� ,� F "/�C:%
*������� � � ���&����� /�00" %�� ��� ���� �� � � �������� �������� ������������� ���� ���������� ����� ���� � � ������� �� ���� �������� ����� ���� ����� ��������������� ����� ��� ���� �� � �� ,� F�� ��� � ���� �� � � � (����� ��� �� ����� ���� �� � �
�� ,� �"�� -� ��%� ,� �"F� -� �.%� ,� -��. "/�C?%
��� ����� ���� ���� ��� � ����� ���&�����/�00"�%�� ������ ���� ������ �� �������� �������������� ������� ���� ������ �� ���� ������� "�#.%�� ��� ���� ������ ������ � �������� ���� �������� �� ���� �� ���� "����� ����� %����� �������� ��� �� ����������� ������� !��� ����������� ��� ������ � � �� ������� � ������ ����� ���� ���� ��� ��� ���� �� � � ����� ��� &����� /�00"%� �� ���������� � ��������������� ��������� ����� ����� �������� �� � ��� ���������� ������� ��� ������� ��� �������� ����� ������� � ���� ��������� ���� ������� ������� ������� ���&����� /�00"%� � ��� ���� ���� �� ��� ���� ������� ������ !�� ���� ������ ������� �� ���� ��� ���� ������� ������ ������������ ����� �������� ������� �� ������� ���������� ������������ ���������������������������� ������ ������� ����� ��������� ����������
��� ������������������������������������� ���������� ��� ������� >������ ��������������������������� ���� ���������������������� ������������������ ����������� ������������� ��� ��� �� ������������� ����� ������ ��� ���� �������� ������)��� ��� �� ��� ����� ����� ������� ������� ���������� ��� ���� ������� ��� � ����� ����� �� � ������ � ������ �������� �� &����� �� ������� ��������� �� ��� ���� ���� ������� ����������� ������ ���� ��������� ������� ��������������������� ����� ��� �������������� ���� �� �������� ����� ��� � ��� ���� �������� �� � �
&������ ������� ���� ���� ��� ����� ����� ������ ������ ���7��� "/�0?%�� ���� ����� ��� ��� ��� �������� ����� ��������� �
0{ } [ ]e Tx
vf B E A dx�= ∫ "/�CC%
&�� ���� ������ �� ��������
1 1[ ] B
l l
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ "/�CD%
���� ,��. "/�CE%
��� � ���� ����� ����� ������ ��� ������� ��� �������� ����� � � ������ �
{ }0
1/
1/
lel AE T
f ETA dxl AE T
�
�
�
− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
∫ "/�DF%
��� "�������� ��� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
��� ����� � ��� ��� ���� ���� �� ��� ���� �������� ���� ������ �� ������� �� ����� ��� ������"#96%� ������������ ���� ������ ��� &�� �������� 0����� ������ ��� ���� � ����� ��� ���� ����� ����
(1) (1)1 1
(1)2 2
1 1
/2 1 1
u AE TfAE
L u AE Tf
�
�
⎧ ⎫− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�D0%
&�� �������� 6�� ��� ����
(2) (2)1 1
(2)2 2
1 1
/2 1 1
u AE TfAE
L u AE Tf
�
�
⎧ ⎫− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�D6%
!�� � � ������ ���� ����� ��� �� ���� �� ������� ��� �� ���� �� ��������� ����� ��� �� ���� ��� ������� ��� ���� �������� ����� ��� ,��.��' �� ����� ���� �������������� �� ��� ���
(1)1 1
(1) (2)2 2 1
(2)3 2
1 1 0
1 1 1 1 / 2
0 1 1
u fAE
u f fL
u f
⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− + − = +⎨ ⎬⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�D8%
!�� ���� ��� �� ,� #� � � ����� ����� ��� ������ ����� ��� ,� F�
2
3
2 1 0
/ 2 1 1
u AE T AE TAE
L u AE T AE T
� �
� �
− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
"/�D/%
$�������� ��� ���
��� ,� #�.96� ��� ,� #�. "/�D:%
&�� �������� 0�� ���� ������������������ ����� �
{ }01 1
[ ]{ } /2
eB Tl l L T
� � �
�
⎧ ⎫− ⎪ ⎪⎡ ⎤= = =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭"/�D?%
���� �������� ������� �� � ��� �������� 0� � � ������ �
<�=� ,� �"�� -� ��%� ,� F "/�DC%
$��������� ��� �������� 6�� ��� ���� ���� ����� ���� �������� �� � � ����� �� ����� !�� � � ����� � � ������� �� ��� ���� ���� ��� ���� ����� �������� �� � � ������ ��� "/�.%������ �� �������� ��� ������ ��� ���� �� �� ,� #� � � �� �� �������
"����#$� ������� ������� % ����&� �� '����� "�����0��&� +1 1������� ���� �������� ����� ����� ������ ��� ������� ��� ���� �������� ����� <��=�
0��&� 21 $����� ��� ���� ��������� � ��� ���� ������� ����� � (����� ��� ���� 2��� � ��� ���������� ����3� ������ ����� ���� ����� ��� � ��� ���� �������� ��� � ����� ����� ��� ������ �������� �
0��&� 31 &���������������� �� ������ ���$����6�� �������������� ������������ ������ ���� <�=� � ���� <�=� ,� 4�5<�=��
0��&� *1 7�������� ���� �������� �� � � �������� � ���� ���� ��� ��������� ��������� ��� ������������ ������ <�=� ,� �"<�=� -� <��=%�
������� ��� �� �!�������� ������ '������" ;��� � � ��� ��� ���� ���������� ������������� ������� ����� �� � � ����� ���&�����/�06��)���������� ���������� �������� �� �� �� ����� ��� ��� � �� �� ������� � � ��� ���� ������� ��� ���� ���� ��� ���� ��������� � �� ��� � �������� ��
X
��
'
(��
'
$
%
&
����� ������� %� ��#������� ������ �!� ����� ������ � " � ��������� ��,��
����� ���� �� �� ��#�� � � " � ��������� ��,��
$
%
�
&
���� ���� ���� � ��� ��� 2��� ������3� �������� ������ �������� � ��� ������ �������� � ����� �������� ��� ��� �������� ����� ����� � �� ���� $����� ���� ������� � � � (����� ��� ����� ��������������������������������������������������������������������������� �������������� ������� ����� ���� ������ �� �������� ����� ������� ��� ����� �� � ��� ��� &����� /�08"�%
��� "�������� ��� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
&�� ����� �� � �������� ��� �� � ���� ������ ��������� ������ ��� ����� ���� ��������������������� ������
1 1
1 1
i i
j j
u FAE
l u F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�DD%
!��������������������������������������������������������� �#��������������������������� �� �#9�� ������� ������������������������������ ������ ��� ��������� ������ ���7���"/�DD%� ���� ������� ��� ���� ���������� ������ ��� �������� �������� 1�� ������ ���� ��������� � ������������ � � ����� ��� &����� /�08" %�� ��� ���� ����
��� ,� ���� �� � �� .� �� ��� �
��� ,� ���� �� � �� .� ��� ��� �"/�DE%
��� � �� ������ ���� ��������� ������ ����4��5� ������� � � � ������ ��������� ��� ��� �� ������ ���������K���� � ������� ���������� ���� ����� �� ������ ���� ��� � ��� ���� �������� ��������� � � ��������������������������� ����� �� ������ ������� ���� ������� ��������������� ������ ������ ��������� ����� ��� ���� �������� ��� ���� ������� ������ ��� ���� ��� ��� ����� ���� �������� �
cos sin 0 0
0 0 cos sin
iX
i iY
j jX
jY
u
u u
u u
u
� �
� �
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�EF%
����� ������� 4� � ������� �� ������ ��� ������� ! ��� �
�
���
��
'���
�
��
�
%
&
�
��
�� ��� �
��
�
�
��� ���
�� �
����� �
��
'
��� � �� ������������� ����� ��� ���� ������� ���������� ���� �������� ��� � � ��� ���� ������ � ������� �� ��������������� ������������&�����/�08" %�������������� �������������� ��� ���� ����� ������ ������ �� � ��� �� ������ ��� ���� ���� ����� ������ ���� ��� ��� ��� �
��� � ��� ����
{ } [ ]{ }� ��
e egT= "/�E0%
��������� � �����2�6� ��� ����������������� � �����2 6� ��� ������� �����������������!�� �������� ���� �������� ������ �������� � �
[ ] { } { }�� � �
e e ek F= "/�E6%
����
[ ] [ ]{ } { }�� �
e e egk T F= "/�E8%
#������������� �� 4.5�� ��� ���
( )[ ] [ ] [ ] { } [ ] { }�� �
T e e T egT k T T F= "/�E/%
���� B*$� ���� �� ������� �
cos cos 0
sin sin 0[ ] { }
cos 0 cos
sin 0 sin
��
��
��
��
�
i
i iT e
j j
j
F
F FT F
F F
F
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
"/�E:%
&��� &����� /�08" %�� ��� ��� ����� ��� �� ��� ������� ���� � ��� ���� ��� � ��� ���� ��� ��������� �� ��� � ��� ����
{ } { }[ ] �
e eTgT F F= "/�E?%
!�� ��� ������ ���� �������� ������ � ������ ��� ��� ��� �������� ����� �
[ ] [ ] [ ] [ ]�
e T egk T k T= "/�EC%
����� 7��� "/�E/%� ���� �� �������� �
{ }[ ] [ ] ee egg gk F� = "/�ED%
&����� /�0/� ����� � � ���� �������� ������ �������� � ��� ������ ��� ��� ��� �������� � ��� �������� ���������7�������� "/�EC%�� ������� ����� ��� ���� �������� ��� ��� � �������� ��������� � � �������� ���������� ��� ���� �� � �� ��� ��� ���� ���� ������� �������� ������ ������� ���� �������� ��� ��� ��������� �����
��� ���� ����� 7��� "/�EC%� ��� ������� ����� � �� ��� ���� ������������ ��� ���� �������� ���� ����� ��������� ���� ����������� ��������������������� ������������ ����������������� ������� ��� ��� ��� ����� ��� ����� ���� ������ ��������� ����� �� �� ��� ��� �������� � �����*����� ���� ��� ������� ����� ������ ��� ���� ��������� �� �� �� �� ���� ���� ��� ����������� ��� ���� ��������� �������� ������ ��� � ��� ����
�� ���� ,���� ��� "/�EE%
( ) ( )1 1{ } [ ] { } { } [ ] { }
2 2� � � �
� � �
TTe e e e e eg g gk k= "/�0FF%
��� "�������� ��� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
) ���� ���� ��� ��������
{ } [ ]{ }� ��
e egT= "/�0F0%
��� ����
( ) ( ) ( )1 1{ } [ ] [ ] [ ] { } { } [ ] { }
2 2� � � �
�
T Te T e e e e eg g g g gT k T k= "/�0F6%
��������
{ } [ ] [ ] [ ]�
e T egk T k T= "/�0F8%
������ � � ���� ���� � � ���� � ���� � ������ �������������� ���� � �� ��� � � ���� ��� ��� ���� ���� �������� ������ ������� � ��� ��� ��������
1 1
1 1
u Fi iAE
L u Fj j
−=
−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
����
'
�
��
��
��� ���
���
���
'
������
�
���
���
����� ���� 4� � ������� �:"���� � �� ������ ��� ������� ! ��� �
2
2
2 2
2 2
cos Symmetric
sin cos sin
cos sin cos cos
sin cos sin sin cos sin
�
� � �
� � � �
� � � � � �
iX iX
iY iY
jX jX
jY jY
u F
u FAE
L u F
u F
− −
− −
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦
=
������� ������ �������� ������ ������� ��� �� � ���� ��������� ����� "�(%� � � ������ �
1 1[ ]
/ cos 1 1
el
AEk
L �
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦"/�0F/%
!�� ���� ��� ��� �������� ����� "45%�� ��� ������ ����� �� ,� ��
7����� "04% "05% "84% "85%#���� "�4% "�5% "(4% " �5% ;���� O�� ��
2 2
2 2(1)
2
2
( ) (1 )cos sin cos cos sin cos
( ) (1 )sin sin cos sincos [ ]
( ) (3 )cos sin cos
( ) (3 )Symmetric sin
g
iX X
iY YAEk
L jX X
jY Y
� � � � � �
� � � ��
� � �
�
� �� �� �� �� �� ��� �� �� ��
"/�0F:%
�������������������������"�(%������� ��������"45%���������������������������� ��� ��� ��������� ������������ ����
"6% "8%"�% " �%
[ ](2)1 1 ( ) (2)
1 1 ( ) (3)
g
iAEk
L j
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦"/�0F?%
7�������� "/�0F?%�� ����� �������� � � �� "/� �� /%� ������� ��� � ������� �
� � � 7����� "64% "65% "84% "85%� � � #���� "�4% "�5% " �4% " �5% ;���� O�� ��
(2)
1 0 1 0 ( ) (2 )
0 0 0 0 ( ) (2 )[ ]
1 0 1 0 ( ) (3 )
0 0 0 0 ( ) (3 )
g
iX X
iY YAEk
L jX X
jY Y
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"/�0FC%
������� ��� ���� ��� ��������� ������ ����� �� 4."-�%5�� �����
cos sin 0 0[ ] =
0 0 cos sinT
� �
� �
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
"/�0FD%
��� "�������� ��� ������� ���
�� ������������� ������ ������� ������
��������"/4% "/5% "84% "85%"�4% "�5% "�4% "�5%
2 2
2 2(3)
2
2
( ) (4 )cos sin cos cos sin cos
( ) (4 )sin sin cos sin[ ]
/ cos ( ) (3 )cos sin cos
( ) (3 )Symmetric sin
g
iX X
iY YAEk
L jX X
jY Y
� � � � � �
� � � �
�� � �
�
⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"/�0FE%
*������ � ������ ���� �������� ������ � ��� �� ������� ��� ��� ����� 45�� ��� ��� ���� ��� �� ��������������� �������� ��������������&���������������������� �� �������������������� �������� ������ ��� ������� ������ �������� � ��� ���������� ����������� �� $�������� ����� ������ ������� ����� ��� ���������������������������� �� �� ��������� ��� ������ ������� � ��� ���� "D� �� D%�� ���� � �� ��� �������� � ��� ������ ��� &����� /�0:�
����� ���, � ������� �:"���� � ��������� ��,��
Q�� ������ ��� ���� ������ �������� � ��� ��� ����� � ��� ��� � 0�� 6� ��� 8�� ��� ����
���� ,� F� ,� ��� ���� ,� F� ,� ��� ���� ,� F� ,� �� "/�00F%
��� � ���� ���� :��� ��� ?��� �������� � ��� &����� /�0:�
33
23
1 2 cos 0
00 2 sin cos
X
Y
u PAE
L u
�
� �
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦
"/�000%
$�������� ��� ���
3 3
1 ,
1 2 cosX
PLu
AE �
=+
��� ,� F "/�006%
������ ������ � ����� ���� ����������� � ����
3 2 3 2
2 2 2
3 3 2
2 2 2
3 2
2
cos sin cos 0 0 cos sin cos 0 0
sin cos 0 0 sin cos sin cos 0 0
1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
1 2 cos 0 cos sin cos
2sin cos sin cos sin cos
cos sin cos
Symmetric sin cos
� � � � � �
� � � � � �
� � � �
� � � � � �
� � �
� �
AE
L
⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢⎢
−⎢⎢⎢⎣ ⎦
1
1
2
2
3
3
4
4
0
0
0
0
0
0
0
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
u
u
u
u
u P
u
u
u
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭
*������ � ������ ���� ���������� ��� ���� �������� ��� ���� � �� ���� �� �� ��� �������� � ��&����� /�0:� ��� ���� ���� ������ ������� � ��� ��� � 0-8�� ������ �� ��� ����� ���� � ��������� ������ ����� ���������������� ����� ������������������������ �� �������������������������� �
"����#$� ������ %��� �� �� (����)#0��&� +1 !�����������������"���������%������������� ���"��� ������%��������������������
��� ��������0��&� 21 A ����� ���� �������������� � ��� ���� ������ �������� �����0��&� 31 A ��������������������� ���������������4.5� ����������������������� �������
��� ��������0��&� *1 ��� ���� ���� �������� ������ � ����� ���� ������� ��� ��� �������� �����0��&� 81 !������� ���� ��� ��� �������� � ��� ���� ��������� ����������� � ��� ���� ��������������
� �� ��� ������ ��� ��� ��� ���� ��� � �0��&� 91 ' �� ��� ������������������ � ���������� ��������������� ���� ������������������
��� ����� ���������� ����� � � � ��������� ��� $���� :�
��* ���� ������
����� ������ �� ��� ������ ���'��� ��� �������� ����������������������������� ���� ����� ������������ � ������������ � ���� ���� � ���������� ��� ��� � ���� �� �������� �� � (� �� �� ����� �������� ����� ������ � ��� ����� ���� ������� �� � � ���� ����� ������ '� ����� ��� ���� ����� ����� ������ ��� �� �� ���������� ������ �� �� &����� /�0?� ��� � �� �������� ���� ������� ����������� �� �� �������������� � ���� ����� ���� �� � ������� � � �� ��� �������� ��� ���� �����
����� ���* %������� ����� ������ ��� �� � ��!� ������
(
%
)
���� ������� ��
��� ������������� ������ ������� ������
���� � ������ ��� �� ������ ��� �������� '������� ��� ���� ��� ����� ������ ��� ���� �����"7���-Q�������� �����%�� ���� ������ �� � ������� �� � ���� ���� ��� �� �� ���������� � � � ������������� N� ������ ��������������������������������������� ������� ������� �������*�������� ��������� � ��� ����� ������ � ���� ����� ���� �������� ��� ����� ������� � � ���� ���� � � ��� ������������������������������������������������"� 9��%������������������������������������������������������������������� � "��� ��� �����������%� � ������� �����,�- ":%"� 9��%��.!��;��� )�-���������%�'��;��!�'��!���'�������������������%����'�����!�����(������%&�����(������%�'���
A�� ������������� ����������� ���� ����������������������� �����������'������������������ ����� *������� ��� ��� ��� �� ��� ���� ����������� ��� ���������� ��� ���� ������ "����� �!����'� �!�� '������� ����� ��� ����� ��� ���(� ���%� ��%�� ��� ����� ��� �� ��� ����� � ��� "� 9��%� ����������� ����� �������� ��� � �� ������� ���� ����� ������� ������ � ��� �� ",� � 9��%�� ��� � �������� ���� ������� � ��� (����� ��������� ����� ���� �� ������� ���� ��� �� ����� ���� ������ �� ������������ ��� ������ !����������� ����� ���� ������������ ���������������������� ����� ��� ����� ��� ����� ��� �� ������������ � ���������� ���� �������� �� �������������������� ���� ����� �� �� ����� �� ��������� �� ��� � ���� ����� � ����� ���� ���� ������� ��� � ������������� ������� "���� ���������������%���������� "��������������%����� ������ ����� ��� ��� �� ���� "������ ��� ����������� ��������� ��� %�� ���� � ������� ������ �������� � ��� � �� �� ���� � ��� � 9���� ��� �� ������� ��� �� ����� ������ ����� � � � ��� ������ � ���� �� �� �� ������� ������ �������� � "����� ����� ��� �,�F�,� � 9��%��H������� �� �� �� ������������������������������� ����������������������������������������������������7���-Q������� ���� �������� � � ����� ��� &����� /�0C�
����� ���+ %��� �"�� ;4� �"���� ����� �������
*�
��
�� �� �
*�
�� �� �
��
����� �������� �� ������������� ��
����� ���������� ����� "�%�� ���� ��� ���� ������������ ����� �� ���� ����� ��� ���� ���� �������� � ��� ���������� ��� ���� ����� ��� ������ ��� � � ������ �� ��������� ����� � ������� ������� ;�� "�%� �� ������ �
"�%� ,� ��� .� ���� .� ����� .� ���
� "/�008%
G�������������� ����� � ����� ��� ��� ��� ����
� 9��� ,� ��� .� 6���� .� 8���� "/�00/%
'�� �� ,� F� ��� #�� ��� ����
��,� ��� ��� ,� ��� �� ,� ��� .� ��#� .� ��#�� .� ��#
�� ��� ,� ��� .� 6��#� .� 8��#� "/�00:%
��� ���� ����� ��� ���� ����������� � ���� ���� ���� ��� ��� ��� � ��� ���� ����� ������ ��� ���� ��� ��
��� � ������� ��� 7��� "/�008%� ��� ���
"�%� ,� �� ��.� ����� .� �� �� .� ���� "/�00?%
����� ���� ����� �������� ��� ��� ������ �
��� ,� 0� -� 8��9#�� .� 6��9#�� ��� ,� �� -� 6�
�9#� .� ��9#�
��� ,� 8��9#�� -� 6��9#�� ��� ,� /�
�9#� .� ��9#�"/�00C%
"����1� ���� ���� � � ��� �� ��� ���� ���� ���� ��� � ��� ����� ����������� ����� ��� � ������ ��������� ���� ����� �������� �%
B�������� 7��� "/�00%�� ��� ���
"�%� ,� 4�5<�=�� ,� 4��� ��������5
i
i
j
j
v
v
�
�
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�00D%
����� ��������������
���� ����� ��� ���� ������ ��� ���� ���� � � ������ �
{ }2
2 x
du d dv d vz z
dx dx dx dx� �
⎛ ⎞= = = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ "/�00E%
&��� 7��� "/�00D%�� ��� ����
{ }
{ }
22 2 231 2 4
2 2 2 2
2 3 2 2 3 2
6 12 4 6 6 12 2 6
� �
�
ex
e
d Nd N d N d Nz
dx dx dx dx
x x x xz
L LL L L L L L
⎡ ⎤= − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
"/�06F%
��� � ���� ����-� ���������� �������������� 4�5� � � ������ �
4�5� ,� -: 3 2 2 2 3 2
12 6 6 4 6 12 6 2
x x x x
L LL L L L L L
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦"/�060%
��� ���� � ����� ���� �������� ������ � ������ �
[ ] [ ] [ ]e T
vk B B E dv= ∫
���� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
3 2
2
3 2 2 2 3 20
2 3
2
12 6
6 4
12 6 6 4 6 12 6 2( ) ( )( ) ( )
6 12
6 2
l
A
x
L L
x
LL x x x xz E z dA dx
L LL L L L L Lx
L L
x
LL
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
"/�066%
@������ �����2
Az dA I=∫ �� ���� ���������������������� ������ � ����������������
���� ���� ����������� ����� � ����� ��� ��� ��� ���
2 2
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2[ ]
12 6 12 6
6 2 6 4
e
L L
L L L LEIk
L L L
L L L L
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
"/�068%
���� �������� ����� ����� ����� � ��� ���� � ������ ��� �������� �� � � ��� �������
"�����#����$� �
O�������������� ����������� ������������ ������� ��"� %������������������"�� %����������������������� � � ������ ��� ������� ��������������������������������� ����������� ��� ���� �� ���� ��� ����� ���� �� � ������ �
0 { } [ ] ( ) [ ] ( )
Le T T
vf N g dv N g A dx� �= =∫ ∫ �
2
2
/2
/12 ( )
/2
/12
�
�
�
LAg
L
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�06/%
'��� ����� � �� ���� ���� ��� �� ���� �������� ��� ���� ���� ��� 2�3� ��� ����� ���������� �� �� �� ��� �� ������ ������� &�� �� �������� �"�%�� ���� ���� ������ ���� ������������ 4�5�"�% ��� ��� � ����� < �=��� ��� �� ��� �� ��������� � �� ���� ����� ���� ��� ���� ����� �������������� ����� ����� ������ �
0
20
00
0
20
/2
/12 { } [ ]
/2
/12
Le T
q L
q Lf N q dx
q L
q L
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ "/�06:%
��� � ���� ����� ��� ����������� ����� ���� � ������� ����� ������ L���� ���� ��� � � ������������������� �� ���������������� �� ���������� ����������� ������������������������ ��������� � �� ���� ���� ������� ��� ���� � � ���� � �� ���� �����I� *����� ���� �� ���������� � � ����� ��� ���� ����� ����� �������� ��� ����� ����� ������ ������� ���� ������ �� ���� ����� ��� ���� �������� "��#%� �� �������� ����� ����� ��� ���� ���� ��� �� $���� �� ��������� ������ � � ����� ������ ����� ����� ������� ��� � � ������ �
0
0
/2
0 { }
/2
0
e
q L
fq L
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�06?%
$���������������������������� ������������������������������������������������������� � ��� � ��� �� �������� H������� ��� ���� �������� ����� ��� ��������� ������ ������� ���������������� ��������������� ������������������ ��������������������������� �������������� ������� ������� � ���������� ������������������ ������ ��������������� ��� ���� ���� ��������� � � � ��������&�����/�0D������� ������� � �������� ����������� ��� ���� ���� ������� ���� �������� �������� ���� �� � �
,7����� ���� ��6� �� �� �� ������ ���������� ��"� ����� ��6� �� �� / � ���� �����/����� ����
consistent0 0
elemental force
( ) ( ){ } [ ] { } [ ] { } { } � � �
� �
���
T T Te T e T eq dx v q dx N N q dx f= = =∫ ∫ ∫
�� -�����!�� ������ ������ ��
�� ��
(�(�
����� ���) 4���� ������� !� �� �� ������
���� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
���������� <�'���� ������%��'�������'� ���������"1�� ����������������� ��������� � ����� ��� &����� /�0E�� ) ���� ���� ���� ��������� ��� ���
1 1
2 21 1
32 2
2 22 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
v FL L
ML L L LEI
L v FL L
ML L L L
�
�
− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�06C%
2
qL
2
12
qL
2
qL
2
12
qL−
2
P2
P
8
PL
8
PL−
$
�1�
�
�
�/� 4� ����� �� ���� �����
����� ���) 4���� ������� !� �� �
$
(
�
��
����� ���6 -������� � ����� ��������� ��*��
'�� ���� ������� ���� ���� ������ ��������� �������� � ����� � ,��� ,� F��'�� �� ,�#�� ����������� �������� ����������� ����9������� � � ����� � � ����� ���� � ����������� ��� ���� � �� ������� �� ��� ����
02
2
q LF P
−= − "/�06D%
20
2 12
q LM M
+= − "/�06E%
&��� ���� �� �� ���� �� � ��� 7��� "/�06C%�
0
2
3 222 0
12 6 2
6 4
12
q LPvLEI
L q LL LM
�
−⎧ ⎫−⎪ ⎪− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ +− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ −⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�08F%
$������������ ����� ���� ���������� �������������� ��� ����>
320
2
220
3 4 6
2 12
2 6 12
q Lv PL MLL
EIq L PL M
�
⎧ ⎫−⎧ ⎫ − −⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ − − −⎩ ⎭
� "/�080%
��� � ���� � ���������� ����� "�%� ���� ���� �������� � � ������ �
"�%� ,� 4�5<�=�� ,� "��%"F%� .� "��%"F%� .� "��%" �%� .� "��%"��%
( )
32 30 2
2 3
3 22
02
23 2 0 3 2 2
33 2 4 6
2 12
2 6 1212
( 3 ) (2 5 )6 2 24
q Lx x LPL ML
EIL L
x x Lq L PL M
L EIL
qP Mxx x L x L x L
EI EI EI
⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= − − + − "/�086%
&��� ����� ����� ��� � ��� ���� H������� � ��� H������ �� ��� ����� ����
23 2 0 4 3 2 2( ) ( 3 ) ( 4 6 )
6 2 24
qP Mxv x x x L x x L x L
EI EI EI= − − + − + − "/�088%
���� ���������������� ��� ������������������ �� ������������������ ��������������������� �������� ��� ���� ����������� ���� � ��� ���� ������� =�� *������� ���� ��������� �� ���� ����� ��� ��� � � �� �������� ����� ��� ��� ������������ �������� � � ��� ���� ��������� ����� ��� �������� ����� ������� ��������� ��� �� ��� ������� �
���������� ����'��'��������%"� &�����/�6F� ��� � �� �������� ��������� � ���������� ����� ����� ����������������� ���� ����� ���� ���� ������������ (� ��� �� ���&�� ������������� ���� �>� ,� 0�
�������� ����� �� ��������������� ��� � ����� ��� ���� �������$� ������� ���� ����'Q� ��������������� ������ ��������� ���� ������������ � ���� ��������� ���������������� �� ���� ������������������� ��A���������������������������������������������������������������������������� ���� ���� ��� ��� ���� ����������� ����� ���� �� $����� ��� ����� (� �� ���� ���� ��� ���
���� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
������ ������������������ ������������� �������������������������� �� �������������������� ���� ������� � ��� ���� ���� 1G�� A�� �� ����� �� � �� �� �� ��� ����� ���� ������� � ��� ��������� ���������� �������������������&������������� ����������������� ������������ �� ������ � ������ ��� ����� ������ �
12 12 12 1 12 1[ ] { } { }K F�× × ×= "/�08/%
12 6 12 6 0 0 0 0 0 0 0 0
4 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0
12 12 6 6 12 6 0 0 0 0 0 0
4 4 6 2 0 0 0 0 0 0
12 12 6 6 12 6 0 0 0 0
4 4 6 2 0 0 0 0 [ ]
12 12 6 6 12 6 0 0
4 4 6 2 0 0
12 12 6 6 12 6
4 4 6 2
12 6
Symmetric 4
K
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥
+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥
⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
� �1 1 3 4 6{ } 1000 0 0 ( 600) 1000 12000 0 ( 6000) 1000T
F R M R R R� � � � � �"/�08?%
1 2
23 43 54
$� �� �� 6� �� �� ��� 6�1�
������������
�� 6� %� 6� ��� 6� %� 6�
� � ' ' ( ( & & %
�� 6�3��� 6�3��
�
�� 4� �� �����/��
����� ���1 %������� ����"�" � ����� ��������� ��+��
�/� $� ��������� �������
849:
"/�08:%
$����� ����� ��� ��� ��� � ��� ���� ������ ��� ����� ���� ��� ��� ������ � ������ 4�5� � � �� ����"06���06%����<�=�� ������������������� ����"06%������ �������������� � ��������� �������� ����� ��� ���������� �� ���� ��� ���� 0�� ��� ���� �������� ���������� �� ���� ��� ��� � 8�� /���?����� ���������� �������������� ������������������������������ � �� ������������������ �
2
2
3
4
5
5
6
24 0 6 0 0 0 0 1000
8 2 0 0 0 0 0
8 2 0 0 0 0
8 6 2 0 1000
24 0 6 12, 000
8 2 0
4 1000
�
�
�
�
�
v
v
−⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =− −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ −⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩⎩ ⎭
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
"/�08C%
$�������� ��� ��� �� ,� -F�0:CF� �� ,� -0�/C6F
��� ,� -F�00:8� ��� ,� -F�8/6C "/�08D%
��� ,� F�/?06� ��� ,� 6�?6E8
��� ,� -0�6:D?
) ���� ��� �� ����� � ��� ���� � ���� �������� � "7� �� "/�08/%-"/�08?%%�� ��� ���� � ����� ��� ������ �������� ���� ��&��������� ������������� ����������� ��������� ���������� �������� ������ �������� �
2 exact
5 exact
0.1570
1.4720
v
v
= −
= −"/�08E%
&��� ���� �������� ������ � ������ � ��� ���� ����� � ��������� �� ��� ���� � ����� ����������� ������ ���� � �
{ } [ ] { }e e ef K �= "/�0/F%
��� ����� ���� ���� ���� ��������������� �� ���� ������������������� � �������� ��� ���� ������� �������� ������ ���� � ��� ����� ��� &����� /�60�� ����� ���� ��������� ������� � ��� ����������� ��� ������� ���� ������ ����� ���� ���� � ��� ���� �������� �������� � � ����� ��� ����������'������������ ���� �������� �������� ���� �������������������� ���� � ������� ���� ���������������������������� ��!��������� � ������������� ������������� ����� ��������������
��+ ����� ���������� �� �������� ���� ������ ����� ������ ���������� ��� ���� ���� �������� ���� ������ ������� �� �� ����������� Q�� ��� ������ ���� �� ��� ���� ���� ������� �� ��� � ����� ���� 2����
����� ������� ���
Symmetric
�� ������������� ������ ������� ������
�������3� ������ ��� �� � � � ��� ����� �������� �� ��� � ��� ����� ������ � ������ ��� �������������� �������� ���������������'����������������������������� � ��������&�����/�66�������� ��� ������� �������� �������� � ��
4�5�<�=�� ,� <�=� "/�0/0%
0.7112
1.1918
1.0 4.5927
12.8405
1.0
12
1.0
3.944
0.7112
1.1918 -1.1918
0.4806
Element 1
–0.4806
0.1918 –-0.1918
0.6724
Element 2
–0.6724
–4.7845 4.7875
–4.1121
Element 3
3.1121
8.056 –8.056
4.944
Element 4
–4.944
3.944 3.944
1.0
Element 5
����� ���� ������� ��� � ���� ������ !� �� � ��������� ��+��
����� ���� <���� ! ���� �������
*� *�
���� '�
��
�
�� �� ��� �� �
��
0�"�+�)
("*)(&
0'"+((
("+*%'
0�"�+�)
�"�
0("+((
�"*���
�"�+�) ��")(�&
�"� �"�
'"+((
��
�"�
'"+((
.���� �
0("����
.���� �
.���� � .���� �
.���� �
�"%*�(
0)"�&%
0�"�+�)�"�+�)0�"�+�)�"�+�)
�"*��� �"()�%
0("*)(& ("*)(&
0�"%*�(
0�"()�%
)"�&%
("+((
����
{ }{ } Te
i i i j j ju v u v� � �= "/�0/6%
��� ���� �������� ������ � ������ �
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
/ 0 0 / 0 0
0 12 / 6 / 0 12 / 6 /
0 6 / 4 / 0 6 / 2 /[ ]
/ 0 0 / 0 0
0 12 / 6 / 0 12 / 6 /
0 6 / 2 / 0 6 / 4 /
e
AE L AE L
EI L EI L EI L EI L
EI L EI L EI L EI Lk
AE L AE L
EI L EI L EI L EI L
EI L EI L EI L EI L
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
� "/�0/8%
���������� �����%�������������1�� ������� ����������� �������������� ����� ������� &����� /�68"�%����� �� �� ��� � ����� ���� ��������� � � ���� ���� ����� �������� (� �� � �� ��
��������";�������
;����� 3/��� �� ��������
���������
(��
'��
��� 6������ ������� '� "��" �� ������ � ��������� ��)��
������� ��� � ��������� ��� ����� ���� ����� ���� ������� ��� ��� ��������� ��� ����� ������������� � ���� ������ ��� ��� ��� �������� �������������� �� �� ���� ���� �������� ���� (���� � ���� ����������� ����� � �� ���� ������� � � � ����� ��� &����� /�68" %�� ) ���� ���� ���� ���� ��
����� ������� ��
��� ������������� ������ ������� ������
���� �������� ������ ������ � ����� ��� ���� ���� �������� ������ � ������ � � � � �� �� ����
������� �� # $ 8 �;� � $ 6�FFF� ����� � , 6FF�FFF� @9���;� > , 0F�� ����� ���� ������� ������ ������� ��� �� � ������ ��������� ����� � � ������ ��� ���� ���
6
2
6 9(1)
6 6
2 6 2
6 6 6 9
0.133 10
0 0.889 10 Symmetric
0 0.133 10 0.267 10[ ]
0.133 10 0 0 0.133 10
0 0.889 10 0.133 10 0 0.889 10
0 0.133 10 0.133 10 0 0.133 10 0.267 10
k
⎡ ⎤×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥× ×⎢ ⎥=⎢ ⎥− × ×⎢ ⎥⎢ ⎥− × − × ×⎢ ⎥⎢ ⎥× × − × ×⎢ ⎥⎣ ⎦
"/�0//%
1
2
2x
����� ������� ������ ������� ������ ��������� ��)��
'
�
%
��
&
��
;�����<3/��� �� ��������
���������
� (
��� 6�
���
��
��������";�������
���� ������ ��������� ����� ��� �������� 0� � � ��������� ��� ���� ��� ��� ����� ��� ������ ����� ��������� � � ������
������� �� #�,�:���� ��,�80/�0?������ ��$� 6FF�FFF�@9���;� >� ,� C�D:/���������� ������� ������ ������� ��� �� � ������ ��������� ����� � � � ������ ��� ���� ���
( )
5
3 72
5 5
3
3 6 3 7
0.126 10 Symmetric
0 0.151
0 0.377 10 0.126 10[ ]
0.126 10 0 0 0.126 10
0 0.151 0.377 10 0 0.151
0 0.377 10 0.628 10 0 0.377 10 0.126 10
k�
⎡ ⎤×⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥× ×⎢ ⎥=⎢ ⎥− × ×⎢ ⎥⎢ ⎥− − ×⎢ ⎥⎢ ⎥× × − × ×⎢ ⎥⎣ ⎦
"/�0/:%���� ������ ��������� ����� � � ������������� � ����� ��� ��� ��� �������� ����� ��������
������������� ���������������� ������ ��������������� ���������&�������������������� ������ ��������������� �������� ������ ��� ��� ��� ������ ���� �� ������ ����� ��� �� ������ �
cos sin 0 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0[ ]
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1
T
� �
� �
� �
� �
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"/�0/?%
��� � ���� �������� ������ � ������ ��� ���� ��� ��� ����� � � ������� ��� ���� ���
� (2)(2)[ ] [ ] [ ] [ ]Tg lk T k T=
4
4 4
3 3 7
4 4 3 4
4 4 3 4 4
3
0.452 10
0.603 10 0.804 10 Symmetric
0.302 10 0.226 10 0.126 10
0.452 10 0.603 10 0.302 10 0.452 10
0.603 10 0.804 10 0.226 10 0.603 10 0.804 10
0.302 10 0.226
×
× ×
− × × ×=
− × − × × ×
− × − × − × × ×
− × 3 6 3 3 7 10 0.628 10 0.302 10 0.226 10 0.126 10
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥× × × − × ×⎢ ⎥⎣ ⎦
"/�0/C%
����� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
���� �!
���� ���������������������(����� �������������� �0����6������ ������������������� ����� �������� ����������� ������� ������� ���������������������������� ���� �������������(�������� � � � �������� ��� � �� ��� � � ���� ��� ������ � ������� ���� ���� ��������� ��� � � "�� � �����������%��������������������������������������������������� � �"�� �������������%����� ������ �������� � ������ ����� ��� ���� 0�� ���� ���� ������ �� �� ��� ��� ��� ���� 8�� ������ ������ � �� �� ���� ��� � ���� ����� � ���� ��� �������� � � � ������ � � ������ >
2 4 2 4 2 3 4
26
24 4
26 9
33 3 7
3 3 6 7
, ,
0.138 10
0.603 10 0.813 10 Symmetric
0 0.133 10 0.267 10
0.302 10 0.226 10 0 0.126 10
0.302 10 0.226 10 0 0.628 10 0.126 10
u u v vu
v
� � �
�
�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥× ×⎢ ⎥⎢ ⎥− × ×⎢ ⎥⎢ ⎥× − × ×⎢ ⎥⎢ ⎥× − × × ×⎢ ⎥⎣ ⎦
4
0
10, 000
0
0
0�
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
"/�0/D%
$�������� ��� ������ ,� -F�06� ��� �� ,� 6�:?/� ����� ,� F�FF08� �� ��� ,� ��� ,� 8�6?� �� 0F��� � "/�0/E%
��� �� � ��� � ���� �� �� ���� ������� � �� ��� ��� ����� �������� ����� � ���� ����� ���������� ��������8����/���� ���� ���� �����������6�� ����������� �������� (���� ���� ��� ����� �� ��������� ��� �� � � ��������
���������� 0�%&�(���&&���������%��'������%��'����������'�����'� ����������"�1�� ������ ������ ������� ���� ��������&�����/�6/� � (�������������������������������� �� ������ ������� ������ �������������������(� ��������������������� ��� �������������� �
1 21
���:���� �� � �!���� ������ � �/��
�/��$� ���� ����� �������
����� ���� 4���� "�� � �������� ���� �
2
L
$�
$�
$�
�
'
$�
� � �
(� �� ���� ������� �� &�� ����������� ���� �>� ,� 0�� #� ,� 6�� ��� ,� 0�� !����������� ���� ������������� � ��� ��� � 0� ��� 8�� ��� ���� ���� ���������� �������� � ��� ���� �������� ����� �����>
1
2
2
2
3
3
4 0 6 2 0 0 0
1 0 0 1 0 0
24 0 0 6
8 0 2 0
1 0
0Symmetric 4
t
a
u
v P
u P
�
�
�
−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦
"/�0:F%
���� ������������� �������������� ���������� �� ����� ����� ����� �������������������������������� � ��������>
1
2
2
3
4 6 2 0 0
24 0 6
8 2 0
Symmetric 4 0
�
�
�
tv P
− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
"/�0:0%
2
3
1 1 0
Symmetric 1 a
u
Pu
−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦
"/�0:6%
���� ������������ ��������� ����� ����� ����������������������� ��������� ������� �������������������������� ������� ��������������������������������������� �� �������������� ��� ������� �������� ������������� � ���� ������ �������� ��� ��� � �� ���� � � ������ �
3
max3
tan
12 483
tPLLV V
EI
� �
�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠
"/�0:8%
����2
2 4
aP L
EI� = "/�0:/%
��� � � � ��� �� �������� ����� ��� 7��� "/�0//%� ����� � � ��� ��������� ������� ������ ����� �� �� ��������� � "����� ���� ���� � ��� ���� ������ � ������ 4�5�%�� H��� �������������� ������� ������������ �������� ���� ��������� ����� ����������� ����������������������������� �������� ������� ���� �� �� �������� �� ��������� ��� ����� ����� ����� ����� ��
����� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
���������� ���� ���� ��� ����� ������ ����� ���� ��������� ��������� ����������� ������ ���������������� �������������������������������� ������������������� ������� ������������������������ ���� � � �������� �� ���������� ��� ��� ����������� ���� � ��� �� �������� ���� " ���� � �� ���� ���%�
! ����� ����� ������� �������� �������� ������� ������� ����������� �� ���� ������ ���� ������� � ��������� ����� �������� ��� ���� ����������� �� ���� ����� ����
��� ����� ��� � ��� ����� ����� � � ���� � ��� �������� ������ ������� �������� ����� � ������������ ���� ��� ����������������� ���������������� ������������ ��������� �������������������������� ������������������� ��������������� ������������������ ���� ����������� ����� ��� ��!��$�������6�C����� ����������������� ����������������������� �������������������������������������������� ������������ ������������������������������� ������ ���� ��������� ��� ���� �� ��� �
��, -���������� �� .��� ����������� ��������� ����������� ��������� ��� ���� ����� ����� �������� ������ ���������� ������� ��� ����� ����������� ����� �� � ���� ������� ����� � � � ������ �
2
2 ( )
c
d T Pk q h T T
Adx∞
⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠"/�0::%
����� ,� ������������ ��� ������� ������������ ��� ���� ��������. ,� ����������� ,� �������� ����� ����� ��� ����� ������� ,� ���������� ,� ���� �� � ��������� ����! ,� ����������� ����� ��� ��� ������������� ��
.� ,� �� ����� ����������
���� �������� � ����� ��������� ���� �� ������� �
2
20 ( ) 0
L
c
d T PW k q h T T dx
Adx∞
⎛ ⎞⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ "/�0:?%
Q�� ��������� ����������� �� ��� �� ���� ����� ���� ��� ���� ����������� ��������� ���� �� �������
0 0 00
( ) 0L
L L L
c
dT dW dT PWk k dx Wq dx W h T T dx
dx dx dx A ∞⎛ ⎞⎡ ⎤ − + − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ "/�0:C%
����
� �0 0 0 0
0
( ) L
L L L L
c c
dW dT P P dTk dx W hT dx Wq dx W h T dx Wk
dx dx A A dx∞⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ "/�0:D%
���� ����� ����� ��� �� �������� �� �� ��� '� ������� ������� �� ���� �� ������� �
0 0 001 1
�
� � �n n
c ck k
dW dT P P dTk dx W hT dx W q hT dx Wk
dx dx A A dx∞= =
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ ∫ "/�0:E%
���� ���������� ��� ���� ���� � � ���� ��� ���� ��������� ��� ���� ����� ���� ��� ���� � ������������ ��� ����� ��� 7��� "6�06:%� ��� ���� �� �� �������� ���� ���� �� ��� ������� ���� �������� ������ ����� ��� ��� �������� ���������� ���� ������� ��� � �� ������ ���������� ����������� �������� �����������&�����/�6:� ��� ������������������� ������������������� ����
����� ���, %������� ����� � � !� � �������
�� ��
� � ��
� �� �
����� ������ �
��� ����� ������ &��������� ���� ��������� ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� ������������ ������ � ����� ���� ����� �������� � ��� ������������� ���� ����������������� ���� �������� ���� ���� ��������������
1 2( ) 1 � �x x
T x T T⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
"/�0?F%
2 1
�T TdT
dx
−= "/�0?0%
11
1 1 ,
� �dWx
Wdx
= − = −
22
1 ,
� �x dW
Wdx
= ="/�0?6%
��� ���� �������� ���� �������� ������ ����� ����� � ��� 7��� "/�0:E%� � ����
��� � �� ���� ���� ��� !"##� $������ ��� ���� ;*$� ��� �� �������� "7��� "6�06:%%�� ������� � ��� ��� .� ������ � �"� ��� � ��� ����
1
2
1 1
1 1
Tk
T�
−⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦
��� ����� ���� ���� ��� !"##������� ?��
[ ]
1 20
2
1 20 0
1 2
1 1
= 1 1
= 2 6
�
� �
� � �
� � �
c
c
c
x P x xh T T dx
A
Ph x x xdx T T dx
A
PhlT T
A
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
+
∫
∫ ∫
������������� +��� ������� ���
��� ������������� ������ ������� ������
�����?��
[ ]1 2 1 20
1 26
�
� � �c c
x P x x Phlh T T dx T T
A A
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠∫��� ���� ���� ����� ���� ����� ���� ��� ���� ;*$� ��� ������ ��������� �
1
2
2 1 6 1 2c
TPhl
A T
⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦
$��� ������� $�������������B*$��� ������������� ������������������������������
�� 0 c
PhTq
A∞⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ��� ���� ����
0
/2
/2
�
�c
Pq hT
A ∞⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎪ ⎪+ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩ ⎭
$������������$���������B*$� ���������������� ����������"7���"6�06:%���������
0
l
Q
Q
−⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
�����@���@����� ��������������������������� ����������������"��� %����� �������������������������� � ���� �� ������� �
010
2
1 1 2 1 /2
6 /2 1 1 1 2
�
� �c c l
QTk Phl Phq T
A AT Q∞
⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟+ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠"/�0?8%
���� ;*$� ���� �� ��� ���� ��� �� ���� �������� ����������� ������� ��� ���� �� �� ����������B*$�� ���������������������������������� ��������������� �� ��������� ����9 �������� ����� ������ ��� ���� B*$� ��� � ��� ���� ���� ����� ����� ��� ���� ��� � ��� ����� � � � �������������� �� ��������� �������������� ��������������������������� ����� �� ����������� ��� ��@+ � ���� �������� ��� ��� ��� ���� � ������� ���������� ������� ����� ����� ��� ��� �������� 1�������� 7��� "6�0?8%� ��� "/�0?8%�� ��� � ���� ����� ���� ������ ������� � ��������������� ��� � ��� ������� ��� �����������
��� ���� ���� ����� ���� � �� ��� ��� � �������� ������� ���� ���������� ��������
������� ���� .�%&�������� �����������'� �'� �� &�'���'"�1�� ��� �� 0 ��� �������� :F� ������� ���������� �������� � � ����� ��� &����� /�6?� � �� ��� �������� ���� ����� ��� ��� ���� � ������ ����� ���������� ��� 8FFP1�� ) �� �� ,� 6FF� �9�9P1� ��� ����������� !� ,� 6F� �9��� 1�.�� ,� 8FP1����� � ������ ���� ���������� � �� ������ ��� ���� ���� � ���� ���� O������� �������� ��������������7�������6�D��������������� ��������������������������������� ��������� ����������������� ����������� ��� ������ ����� ���� ������� �������� � � �� ������������ � ���� ������������ �����
����������� ���� ��� $� ��������� ���� ��������� ����� � ��� 7��� "/�0?8%�� ��� ���� ����������� �������������� ��
1
22
wall
2tip
1 1 2 1200 ( )(0.001)(20)(0.05)
0.05 (6)( )(0.0005)1 1 1 2
0.025( )(0.001)(20) (30)
( )(0.0005) 0.025
T
T
Q
Q
�
�
�
�
⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎜ ⎟+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�0?/%
&��� ���� ������ �������� ����� �����.�� ,� 8FFP1��@��� ,� F����� ���� ���� �.�� ,� 0ED�C: 1�
��������������� ��� ���������������������� ������������,�F�F6:����' �� �������������������� ������ �������� � ��� ���� �������� � ���� �� ��� ���� ���� �� ������� ����� ���� ��� � ���� ������ �������� � �
1
22
3
2
1 1 0 2 1 0( )(0.001)(20)(0.025)200
1 2 1 1 4 1 0.025 (6)( )(0.0005)
0 1 1 0 1 2
0.0125( )(0.001)(20)
(30) 0.025 ( )(0.0005)
0.0125
T
T
T
�
�
�
�
⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
wall
tip
0
Q
Q
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
"/�0?:%
&��� ���� ������ �������� � ��� ����� .�� ,� 8FFP1��@��� ,� F�� $� ��������� ��� ���������� �������� �� ��� ���
.�� ,� 66?�0D:P1� .�� ,� 6F8�:/DP1 "/�0??%
=��
�
�
�
��
����� ���* �� ��#!��
������������� +��� ������� ���
�� ������������� ������ ������� ������
������������ ���� ��� ����� ���� ������ ������� �� ��� ����� �� ,� F�F06:� ��� ���� �� ��� �������� � ���� �� � ������ �
2
1 1 0 0 0 2 1 0 0 0
1 2 1 0 0 1 4 1 0 0( ) (0.001) (20) (0.0125)200
0 1 2 1 0 0 1 4 1 00.0125 (6) ( ) (0.0005)
0 0 1 2 1 0 0 1 4 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1 2
�
�
⎛ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+− −⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝
1
2
3
4
5
T
T
T
T
T
⎞ ⎧ ⎫⎟ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎟ ⎨ ⎬⎟ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎠
wall
2
tip
0.00625
0.0125 0( ) (0.001) (20)
(30) 0.0125 0 ( ) (0.0005)
0.0125 0
0.00625
Q
Q
�
�
⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
"/�0?C%
$� ��������� ���� ������ �������� � ��� ������� ���� �������� �� ��� ���
.�� ,� 6:?�8CP1� .�� ,� 66C�F8P1
.�� ,� 60F�0/P1� .�� ,� 6F/�?8P1"/�0?D%
���� ������ �������� ��� ��� � �� ���� � � ������ �
wcosh ( )
( ) ( )cosh
m L xT x T T T
mL∞ ∞−⎡ ⎤= + − ⎢ ⎥⎣ ⎦
"/�0?E%
����� c
hPm
kA= �
&����� /�6C� ������ � ���� ������ �������� ����� ���� ����� � ������� �������� ������� �� !�� � � ������������������� ��������� ������������������������������������������������������� �������������������� ��� ����������������� ����������������� ���������������������������� ������ ���������� ������� ������������ ��'�0F��������� ��������� � ��������������������� ������������ ������ �������� ��� &����� /�6D�
' � � ���� ����� � ����� ��� ���� �� ���� ��� �� �� ���� ����������� "7������� /�0� ��/�6%�� ��� ������� ����� ����� ��� �� ��� ������ ��� ������� �� ����� �������� ����� ��� ��������������� ���������� ����� �������� ����� ���� ������ �������� � �� ����
����� ���+ -���� � �� �!� ������ ��"���� $���� !����� ������� ��"��� � ��������� ���1��
����� ���) -���� � �� �!� ������ ��"���� $���� �1#������� ��"���� ��������� ���1��%
T(X
)
������������� +��� ������� ��
ExactOne-elementTwo-elementFour-element
%
ExactTen-element
T(X
)
��� ������������� ������ ������� ������
�"���#$
!�� ��� � ����������� ����� � �� �� ���� ������� ����������� ��� 0�� ������� �������� ����� � ��������� ����� ���������������� ��� ������������� ���� ���������������� ������������ ������ ����� ������ ���� ������ ���� � �� �� ����� ����9������ ��� ������� ������� �� ��� � ��������� ��� �� �������������� ��� � �� ���������������� ������� �� � �� ����� !��1������ :���� ����� ������ ��� ���� � ��� �������� 6�� �� ��� �
%#&'(���
�� 1�� ��� �� �� �������� ��� �� ���� ��� �� � ������� ���� � �������� ������ ��������������� ��� � "&����� #/�0%��G����� �� � ������ ��������*�������� ��� � ��������������� ������ �������� ������� ��������������� ��� ������������9 ������������� ����� ��� �� ����������M
����� <��� 4� � ������� $���� �� ���� � � # ������
�� � � �� �
�
��% ���� ���������� �� ����� ��� &����� #/�6� �� � ������ ���� � ������� ���#98� ��� 6#98�� ) �� ���� ������� �������� ������ ��� �������� ���� ������ ��������� � ��� ������������ �
'$ $
�,- �,- �,-
����� <��� �����#!����� �� �
��& &�� ���� �� ����� ��� &�����#/�8�� ����� ���� � �� ��� ������ ������� ��� ���� ���������� ����� ����� � �������������� ��������� �������� ������������� ���� �� ��� �����M�'��� ��� �9 � ,� �N� J����+ � ����� � ��
��� 1�� ������� ������������ �� ��������&�����#/�/��$������������� ��������� ��� ����� � � ���@� � ���� �� ������� � "� ���� ��� ,� ��� ����%�
1 2 3 4
����� <��� �!!���� �!� ���� "��� ���
'
�
&
�
�
'
�
(
(
&
;�������
;�������
�
����
����� <��� '� ��� ��"���� �� �
��! ���������� ������� ����� ���&�����#/�:� � � ������ ��� ���� ����� ��� ������ ���������� � ��� ���� �� � ����� ��������� �� � ��������� ������� �� &��� ���� ���� ���������� ��� ���� ����<� ���� ���� ������� ��� ���� ������ �������
.
�
$ " ���� �
�$
$/
�0 �0 �
�0 �
�0 �0 ���
����� <��, �� ���� � � "��" ��
� � ' (
$�1��� ���
��� ������������� ������ ������� ������
��' G�������� ���� ��������� � ��� ���� �� � ������� ����� ��� &����� #/�?�
$
�0 �0 ��0 �0 �
%�> %�> .
����� <��* �� � " � � "��" ��
��( 1�� ��� �� �� �������� � ���� �� ����� ��� � � � ����� ��� &����� #/�C� ��� �� ��� ���� ������ �9 �� G����� ���� �������� ����� ����� ������ ��� ��� ���� ����������� ���������� 1�� ��� ���� ������ ��� �������� �� ������� �� ;��� ���� �� ���� �� �� ��������� �� � ��������� ���� ��
�����<��+ &������� ���
8����
��
��
� �1�
��) 1�� ����� �� ���������� �������������� ��� ������ !�� ������������ ���� ���� ����� ������������������������ ��"����(���:�%����"����(���:�%�������������������������� ��� � ��� ���� ����� ������ �
2 2 2 2 2 2 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
� �
� � � � � ��
x ym
x y z x y z= =
+ + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )
zn
x y z
�
� � �=
+ +
�������,����-���N�(�,�(��-�(�N�:�,�:��-�:���$���� ����� ���� ��� ��������������4.5������������������� ��������� ���������������� ���������������� �� ������� �
0 0 0[ ]
0 0 0
l m nT
l m n
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦G����� ���� �������� ������ ������� ��� ���� ��� ��� �����45A�
��" &�� �� ������� ������� �9 � �� "���������� �������#������� � ��� �������7%� ������ ��� �������� ���� ������ � �������� �� ����
1 11 12 1
2 21 22 2
T k k
T k k
�
�
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
) �� ��� � ��� ����� ��� ���� ������ ��� ��� �� � ��� ����� ��� ����� ��� &����� #/�E
8��� ��� 8��� �
� �
� �
����� <��6 %� ��� �!� �� ������� ��!��
�� * '��������������������������� � ��������&�����#/�0F��) �������� �������������� ��� � ����� ����� ���� ������� ���� ���� ���� �����������) ���� ��� � � ���� ���� ������������� ��� ���� �������
�� &������ ������ ���� ��������&�����#/�00������������������������������ ������� ���� ����� ������
�� % '� ������������ � � ����� �������������� ������� �����&��� ������� � ���������������������*������������� �������������� ������������������������������������ ���� ����� ����� ��� ���� ������
$�1��� ���
��� ������������� ������ ������� ������
P
�1'
��1'
�1'
� � �� ���� ��� �1��
����� <���1 �� �������� � ����� "�� � ��� � ������ �����
����� <���� < ������ �������� � �����
'��
���
(
����� �
#� �� �����1�
�� �� ������1�
�� & G� �� ����������������������������� ���������������������� ���� �������&����� #/�08�
�� � &�� ���� � ���� ������ ��� ���� ������� � ����� ��� &�����#/�0/�� ��� �� ���� ��� �� � � ��� ������ �� ���� ������� ��� ���� � �� ��� ������ � ������ 4�5�
�� ! ���� ������� � ��� �� ����� ���������� ���� ������ ������� ��� �� �� �������� �������� ����� ��� ���� �� ��� �� ���� ��������� 7������� ���� ��� � � � ��
�� ' ��������������� ����� ���&�����#/�0?� � � F�:��� ����������� ����� ��������� ��������� ������������������� ������������������6FFP1�������������� ������� ��� ������
����� <���� 4���� �� � ��� "��� � �
�� $
.�
�
.�
1
2
3
4
5
����� <���� /���� "��� ���
����� <���* =���� ���"����� �� �� ����
* + ��
��
�'��)
&
(
�(
�&
�%
%
'
�
�
�"&��
< ������
�� �� ���>4
3 400 W/mQ =
25 W/m Ck = °
$�1��� ���
��� ������������� ������ ������� ������
���� ������� ������������ �� ,� 6:��9�P1�� ��� ����� � � �� ������� ����� ����������� ��� ��������� ���@�,� /FF��9���� G�������� ���� ���������� � �� ������ ��������������� ������� � � ���� ������ ������� �
�� ( &�� �� ������ �������� ������� ����� ������� ���� ����� �������� ����� � "������� ��� � ������ 6;%�� ���� ��������� ��������� �
2
2�
d u dP
dxdy=
����� � � � ���� �� �� ���� ��� ���� �����G����� ���� ��������������� ��������������������� �������������� �� ��������� ������������� ������� �����������9�������� �������������� �������������������������� � � ���� ��� ���� ������ ��� ���� ����� � ����� �"-#%� ,� FN� �"#%� ,� F�
�������� �� �����������
�� ) !������� ����� �� ������� �� �������� � � ��� ����� ���� GA&� ��� ����� �������� ������ ���������� �� ��� ������ ����� ���� *��� �������� ������ ��� ����� ���� ��������������� ���� ������ M
�� " *������������������������������������������������� ���� ����������� ��������� ���M
��%* !�� �������� �� ����� ����� ����������� �� ���� � � �� ���� ���� ��� ��� ��������� ������������ ������� ������� � ��� ��������������������� �� ���� ����� ������������� ��� ��������� ��� ������� �������� ������ �������� ��� �������� ����� � � ����������� ���� �������������������������� �����������������&�������� ����������������� ����� �� � ������ �
��% G������� �� �������� ������ ��� ������� �������� ����� � � � ���� ���� ������� ������� � �� �� ��� ��� � ��������J��� ���� � �� ���� ���������� ��� >
'����� ���� � �� ��� ���� �� ���� ����� ��� ����� � � " �������9����� ��� ���� ����%� ��� �������� ��� �������� "�� 9 ���9������ ������ �����9��������� ��� �� ��%�
'������������������������������������������������������������������ ���������� ���� ��������� ������ ��������� ����� �� ����
O������� �������� ������ � ��� ��� ���� ��� ��� ��� �������� �����
#����� � �� ��� ������������ ������ �������� �
$����� ��� �������� ���� �� �
&��� ���� ����� ���� �� � ��� ����� ��������� �������� ���� ��������� � ��� ����� ��� ���� �� � �� ����� �����
���
��� ������� ��� ���� ��� ��� �� �� ����������������� ������������������������ ������������������ ������������� �������� �������� �� �������� ��� ��������� ��������� ���� ��� �������� �� ��������� �� ���������������������������������������������������������������������������������������� ���������� �� ��������� �� ������ �������������� ��� ������� ���� ������������ ��� ��� ��� ��� ������ ����� � ��� �� ����� !����� ��������� � ���� ������������ ��� �������� ���������� ����� ����� ��� ���������������� ������� ��� �� ������������ �� � ������� �������� ���� �������� �����
"� ��� �������� �� ����� ����� ��� ����� ����� ������� ��� ��������� ������������� ��#����������������������������������������������������������$��������������� �������������������������� �%������������������� ������&����'�()�� ��� � ���� ������ ��� ������� ��� ����� ���� ������� � ���� ��*� ������� ����������� ��� �� �������� ������������� ��� �� �������������� ������ +��� !������ ���� �� ������ ���� ��� �������� ������������� �������*����������������������������������� ����������*�� �� ����������� ������������ &���� ��������� �����)��,���� �� ���� ���� �����!� �������� �������� ����� ���� ���� ���� ��� �� ���*� ������� ���� � ��� �� ����*� ������ � �� ��*�� �� ����� �������� ��������������������� ����� ������������������ ���������*��������������������������� ���� ���������+���������*����������������������������������� ����!������ ����������� ��� ���� ������� �����!����� ��� #��� ����� ���� ��� ���� ��� -���� $���� � �*� ��������������������� ���������������*�� �� ���������������+����������������� ����� �������� ��� ����� �� �� ��� ��� �������������� �������������� ��� �������������� ���� �� ������� ��� �� �������������� �������� �� ���� �� �������������� ��!���� � �� ������� ����� ��� ���������� ��� �� ������ ��������� ���������� � ���� �������� �������������������������������������%���$����������#������������������ ��������������� � ���*� ���� ������� ��� ���������� ������� ��. ������������� ������� $�� ��������������������������������������������������������������������������!���� ����������� ��� ����� � ���� ������������� ����� ���� ����� ������ ��� ���� ������
/����������������������������������������� ���� ������������� ��� ��������� ��*� ��������� ���������� ����� �� �������� ��� ��*�� �� �������� ��� �� ��������������$��� ����������� �������� ��������� ��� ���� ���� �������� ��� ��������������������� ��� �� ��� +����� 0���� ��� �� ����� ���� 1+���� 0���2�� �� ������� ��� ��� ���� ��� �������
����������� � ����� ����� ����
CHAPTER 5
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
����� ��� ��� �� ���� ��������� ��� ������� � �����
��� ���� ��� ��� ����� ������
��� ����� ��������� ����� ��� ����� ������
��� ������������ ��������������� ����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��������� �������������������������������� ���������������������������� ����$����� ��� ��������� ����� ��� ��� ���������������� �������� ���� ����� �� ���*���� ��� ������ ���������� ���%��� ����������3������� ��������������������������$���� ����������%�������� ��� ���� ���� ����� $�� ����������� ������� � ������� ���� �� ������� ������� ��������������� ����� ����� ���������� ��������� ��� �� �� ��
{ }0
2
1 0
1 0 1
10 0
2
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
� � �
� � � ��
� � �
x x
y y
xy xy
E
&0��)
��� 4�5�� ������� ��� ������� ������$�������������������������� ������������&+����0���)� ��� ������!������ �
����� ����� ��� �� ����� ��� �� ����� ��� ��� ����� ��� �� ��� ��������� �� ������ ��������������������������%���������������������������������������3���������������������������������$���� �� ����� ���%��� ������� ��� ���� ���� �����$�� ����������� ������� � ������� ����� ������� ������� ���������������� ����� ����� ����������� ��������� ��� �� �� ��
{ }0
1 0
1 0 (1 )(1 2 )
1 20 0
2
� � � �
� � � � �� �
� � �
x x
y y
xy xy
E
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥+ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
&0�-)
������������� ���������������������� ������%�������������������������������� ��������� ��� �� ������������ ������ ��� �� %���
$����������������������� ��� �� ���������&+����0���)����������� ���������������� ��������� ��������� �������� ��� ����������� �������� ���� ������� ������ ��� �������� ��� ��� ������� ������� � ������ �� �� ���������� ���� �������� ��� ��������������� ��� �� ��� ��������� �� ������ ��� �� �������� ���������� ���� ����� ��!���������� ����� ��������� ���������� ������������������������$����� �� ������������ ��������� ����������� ����*�� ������� �������&������������� ������)� �������������� ��� ��� �� ��� �� ������� ��� ��������� ������� ������ ��� ���� �� ������ �������������� ����� ����� � ������ ����� ����� �!���� ������� ����� ��� ������� ��� � ������ ����� �������� ������ �� ��� ���� �� ������ �� ������ ���!� ����� ��������� �� ������� �������� -��� �!���������� 6� ��� ������� �� ����� �!��������� ������� ���� ����7��� �� ����!��������� �������� ����� ��� ������*� ��������� �� ���� ����� �� ������ �������� �� ������������� �!��������� ��������� ����� ���� ������ ���� �� ����������� ������������������������$�������!������������������!���������������������������������������������� ���� �� ���������� -��� �� ���� �� !������ ��� �� +������ ������$�� ���� ��������
������������������ ���� ��� �� ���� � ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
��� ������ �� �������� �������� ����� ����� ��� �� ���� ��� ������ �������� ���� �� ���� ����� ��������� ��� �� ������������� �������� $�� +������ ���������� ��� �������� ��� ���������� ����� �� ���� �������� $���� ������� ��� *�� �� ��� �������������� +8,�� $�� ���%�������� ���� ������� ��� �� ����� �!��������� �������� ��� ����� ��� ����� �9
� { }0
1 01 1
1 0(1 ) 1 (1 )(1 2 )
1 0
1 2Sysmmetric
2(1 )
� �
� �
� �� �
�� ��
� �� �� �
� ��
�
r r
z z
rz rz
E
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎜ ⎟= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ − ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
&0�#)
3������� �� �������������� ����������� �� � �� ��������� ��� �� �������������������� ���� ������ ��� �� ���� ��� ������ ���� � ���� �������� �� ����������� �����������������������������$�������� ������������������������������������������������� ��������� ������� ���� ������ ������� ��� ������ &����� ��� �� ����� ���)�� �� �������������� ����������� � �� ��������� ������ ������������� ����� �����
��� ����� ��� �� �� �������� ��� � ��� �� ����/�������� ��������������������������������� �����+�����0�-�� ��� ������������* ��������������������7��������������������������� ��������*�����������������
����� ��� ��� �� ���� ���������� �� ����� ����� �� ������ �� �����
�������������������� ����������������� ������������������!� ������������������������������� �������� ���������������*�� ������� ��������$��������� �������������������� ��� ����������� �������������������������������������� ������� ��� �������� ���� ������������� ��� ��� �� ��� +����� 0�#��8���� ���� ��� ����������������������������������������!����������������� ��� ��������������������������� ���� ��� ������ &������)� ���� ����� �������� ��������� 6� ��� ��� ��� ����� ��������� ������� ���� -��� ��� ������� ��������� 3����� �� �� ����� ����� �� � ����������������������������� ������,��������!������������������������� �����&������ ������� ��� ��������� ����� ��� ��������� �������� �� ������������)� �������������� �� ������� �����
2
����� ��� ��� �� ���� ������ ���������
�� ���� �� � ����� ���� ����������� ��� ������������� �������� ���� ����� �������� �� � ������� ����� ���� ��� � ���� ����� ���������� 3���������� � ���� �������� ������������ ��� -��� ��������� ��������� ���� ��� ������.������ ��� � �������� ������ ���������� ���� �� � ����� ���� ����������� ��� �� ������� ����� �%��� �� ������������������������ ����*�����������������������������������7�������������& �%���������� )� ��� ������� ����� ������� �������� ���� ������������������� ������ ���������� �!�� ���� ��������� ��������� ��������� $�� ��� � ��� ��� ����� ������ ��� -��� ���� �������� ��� ���� ��� �� ������� ������� �������� ���� ��� � �� � ����� ��� ������� ��� ����
����� ����� ����������� ���������������
/� ������� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0���� �� ���� ������� ����� ���� ��� ������ ��� �� ��� �!��$��������� �����������&������)�� &������)�� &������)� ��� �������������������������
�
� � �
�
!
�
"
��
�
�
�
!
"
�#
$
������������� ��� ������ ��� �� �� !����� ���
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
��������������� �� ��� �� �������8������������ 7��� ������������������� ���������� �%���� ���� ��� �� ����������� ������ ��������� ������ �!��� ����� ���� ��� ��� ����� ��� � ��� �� ����� &����������)� ��������� ���� �� ������� ����� ���� ��� �� ���� ���� ����������������
�� ������ ��� �� ������� ����� � �� �� ���� ��� �� �� ��
�&�� �)� :� ��� ;� ���� ;� ��� &0��)
����������� ��� ���� !�������� ������� ����� �� �� ������ ������� �� �� ������������ � ��
��� :� ��� ;� ����� ;� ����
��� :� ��� ;� ����� ;� ���� &0�0)
��� :� ��� ;� ����� ;� ����
3�� ���� ���� ���� ���� ���� � �
11 10 1
1 2 2 2
2 33 3
1
1
1
x yc T
c x y T
c Tx y
−⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦
&0�<)
3��������� ��� ��� 8��� &0�0)� ���� � ������� � �������� �����
3 3 31 1 1 2 2 21 2 3
( , )
2 2 2
x yx y x yT x y T T T
� � �� � � � � � + ++ + + + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ Δ Δ &0�=)
����� ��! "������ ������������ ��� ��#� �� �������������
"
# $
������ ��� �
��
���� ��� � ����
��
� ���� �����
����� :� ����� �� ����� ��� :� ��� >� ��� ��� :� ��� >� �� &0�?)
@��� ���������� &���� ���� ��)� ���� &���� ���� ��)� � ���� �� ������� ��� �� ������ ��������������� ��� ���������� ��� -�� #�� /����
�
1 1
2 2
3 3
1
2 1
1
x y
x y
x y
=Δ � :� -� &/��� ��� ������� �-#) &0�A)
��� ���� �������� ����� ���� �������� � ��� ���� ��
�&�� �)� :� ����� ;� ����� ;������ :� 1�24�5� &0��B)
$���� � �� � �� ����� ������������ ��� ����� �9
{ }1 ,
2i i i iN x y� � �= + +Δ
�� :� ��� -�� # &0���)
��� �������� ������� ������������������������������������������ ������ � ��������� �%����� ���� ��� ���� � ���� ��� �� ����������� �� ���� ������� ����� ��� ���� ��� ������� ����������� ������ �� ���� ����� ��������� ��
�&�� �)� :������ ;������ ;����� &0��-)
�&�� �)� :� ����� ;� ����� ;� ���� &0��#)
������� �������� ����� ���� �������� ������������ ����� �� ��� ������� ����� ��� ����� ��� ���� ��� ���� ��� �� ������ ������� ��
&0���)
�� ���� � ��� ���� ���� ���� ����� ����� �� ������ �������� ��� �� ��*�� �� ���� ������� ����� ���������� ������� �� �� �������� �������������� ���!� ��������������������� �� ����� ��� ������������������� ���� ���� ��� ����������������*�� ������ ������� ����� ������� &� �)���� �� � �������� �� ������� ���������� ����
������������� ��� ������ ��� �� �� !����� ���
1
1
1 2 3 2
1 2 3 2
3
3
0 0 0[ ]{ }
0 0 0�
e
u
v
N N N uuN
N N N vv
u
v
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
����� ����������������������������
/� ������� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0�0�� �� ��� ���������� ���� ���� ����� ������ ��� �� ��� �!�� $�� ����� �� � ���������� &���� ��)�� &���� ��)�� &���� ��)� ���� &���� ��)� ��� �� �������������� ��������� ����� &���)� ��� ��� �� ��� �� ������� +��� ��� ��� ��� ������ � ����
����� ��� $� �#�������� ���� ��#� �� ��������#
"
$
�
� �
�
� %
�� ������ ��������� ����� &���)�� 8���� ���� ���� ������� ��������� ��� �� �������� �%��� �� ������ �� �����������������������������������!��� ����� ���� ��� �������� ��� � ������� �� ����� &����������)� ��������� ���� �� ������� ����� ���� ��� �� ���� ���� ����������������
�� ������ ��� �� ������� ����� � �� �� ���� ��� �� �� ��
�&�� �)� :� ��� ;� ���� ;� ���� ;� ���� &0��0)
�� ���� � ��� ��� � �� � ����� ����� �� �� � ��� ���� �� �*� �� ������ ��� ��� �������������� ����������������� ��� ���� !�������� ������� ����� �� �� ������ �������� ��� ������ ������ � �� �� ���� �� ���������� ���� ��� ��%� &�� �� �)� ��� ��� �� ��� +����� 0�0�
��� :� ��� ��� :� ��� ;� ���� &0��<)
��� :� ��� ;� ���� ;� ���� ;� ����� ��� :� ��� ;� ���
3�� ���� ���� ���� ���� ��� ���� ���� � �
� � � �0 1 c T= � 2 1
1 T T
c−
=�
� 4 12
T Tc
h
−= � 3 1 2 4
3
T T T T
ch
+ − −=
�&0��=)
3��������� ��� ��� 8��� &0��0)� ���� � ������� � �����
�&�� �)� :� 1 2 3 41 x y xy x xy xy y xy
T T T Th h h h h h
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � � � � �&0��?)
�
�
��� ���� �������� ����� ���� �������� � ��� ���� ��
[ ]
1
21 2 3 4
3
4
( , )
T
TT x y N N N N
T
T
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
&0��A)
$���� � ������ �� ����� �����������9
1 1 x y xy
Nh h
= − − +� �
� 2 x xy
Nh
= −� �
3 xy
Nh
=�
� 4 y xy
Nh h
= −�
&0�-B)
��� �������� ������� ������������������������������������������ ������ � ��������� �%����� ���� ��� ���� � ���� ��� �� ����������� �� ���� ������� ����� ��� ���� ��� ������� ����������� ������ �� ���� ����� ��������� ��� ����� �9
1
1
2
1 2 3 4 2
1 2 3 4 3
3
4
4
0 0 0 0 [ ]{ }
0 0 0 0�
e
u
v
u
N N N Nu vN
v N N N N u
v
u
v
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
&0�-�)
������ � ��� ���� ���� ������ �� ������ �������� ��� ��*�� �� ����� ������� ������� :� ������� ��� �� :� ������� ������ ���� ���� �� ��� *�� �� ��� �� �������� �������� 3����� ������ ���!� ��� ��� ���������� ������� ����� �� ����
�� ���� �� � �������� �� ������� ������ ����� ����
����� ���������� ���������������
/� ������� ������ ����� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0�<�� �� ���� ��!� ������ ��� �� �� �������� ��� ��� �� ���������� �������� �� ��� ����� ��� ������ �� �� ���������� �� ��� ����������� C�� ��� ������ � ������ �� ����� ��� ��� �� ��� �� ������� $�� ����� ��
������������� ��� ������ ��� �� �� !����� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
�������������
����� ��% $� ��&������� ��� ��#� �� ��������
����������&������)��&������)�����&������)��������������������������������������������� ���� �� ������� 8���� ���� ���� 7��� ������� ������� �� ��� �� �������� �%��� �� ���� ��� ������������ ������ ��������� ������ �!��� ����� ���
3���� ��� � ��!������� ����� ��� ����������������������� ���� �� ����������� ���*�� �� ����� �������� $�� �� ������� ����� ���� ���� ��������� � ���� ������ ��� �� ��!���������� ��&�� :� B�� ������ 0)�� $���� � ������ ��� �� ������� ����� � �� �� ������ �� ����� �� ������ ��������� ����������
�&�� �)� :� ��� ;� ���� ;� ���� ;� ����� ;� ����� ;� ��
� &0�--)
����������� ��� ���� !�������� ������� ����� �� �� ������ ������� �� �� ������������ � ��
2 21 0 1 1 2 1 3 1 4 1 1 5 1 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +
2 22 0 1 2 2 2 3 2 4 2 2 5 2 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +
2 23 0 1 3 2 3 3 3 4 3 3 5 3 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +
2 24 0 1 4 2 4 3 4 4 4 4 5 4 T c c x c y c x c x y c y= + + + + + &0�-#)
2 25 0 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 5 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +
2 26 0 1 6 2 6 3 6 4 6 6 5 6 T c c x c y c x c x y c y= + + + + +
������� ���������������� ����������������� > �� ��� ����������������������� � &������)�&���� ��)� ��� &���� ��)�� ���� ������ �������� �� > ��� ���� ������� ��� 8��� &0�--)� ��� � ����������� �� ���� �� �� �� ������ ����� ����������6� ��� �� ����� �� ��� ������ �
�
"
# $
!
�
"
�
�� !������ !��������� ���� �� ����� ��������� ��� ���� ������� +����� ������������ ������������ ���������������������� �� �������� ������������������ ������������������ �� ���� ����� �
@�������� ��� ���� �� ������ ������� ������������ �������������� ���������� �����$�� ����� ������� ��������� �������� � ����� ��*� ���� ����� �� �������� ��� ��������� ��������� ������������*����� ������������������� ������������������������� ��� ��� ����� �� ����������� ���� �� �������� ������ �� ������� �������� ������������ ����� ��� ��������� ���������
��� ����� �� ���� � ��� ������� � �� � �������� ������������ ������� ���������� �%��� �� ���� ������� ������������ ������ �� ������� ��� � �� � �� ����� ������������� ��� ������� ����������� ����� ��� ���������� �� �� ������ ���� ��� �� ���� �!����������� ��� ��� �� ���+�����0�=��$��������� ���������� ���� �����>�� ��;��� ���� �� ��%�������������� ������-���-�������������� ������������������%��������������������������!���D������������������������������ ����&�)�������&�!�)������� ����� ��������������������������������������������������������������� ��� ��� �� ���� ��� �� �!�� ����������� �� ���� � ��� �� ��� � ��� ������
(1,1)
����� ��' $� ����� �� �#�������� (# ���� ��� �� ������ �������� ����� ���� )� ����*� �(# ��� ��������
�
"
#$
���� ���
���� ���
���� ���
���� ������ %���%�� %��
��� ���%�� ��
��
�
#
�
�
�
���������������������������� ���������������&������������������)���������������������!�������������������������&�)���� ������ ������������������������������������������ ������� ����������� �� ���� �� ��� �� ����������� �� � �� �� �� ������������������������������������������������������������������ �������� ����������������� ���� ���������� ��������� ������������������������ ������ ����������� �������������������� ��������������. ����������������� ��� �*���� �� ������������������������������
�
������������� ��� ������ ��� �� �� !����� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
��! "������� #� ������ ��� #� ����� $��������� ��� ����������� ����������������������������������������������������������������������� �����+�����0�?� ��� ����������������������������������"&��)�����#&��)��$�
����� ��+ , �#� �� ������� ���� ��� ����
��
�� & %��
� &�
�� & ��� &
�� & ���
$
�� &���
����� ���� ���������� � ������� ����� "�&>�)� �� #�&;�)� ��� ����� ��� �� ��� �� ������� /����������� ������ ������������� � �� �� ���� � ��� �� �� ��
1 2
1 2 2 1
1 2
1 1 2 2
( )
2 2
1 1
2 2
N N
x x x xx
x x
N x N x
� �
� �
����� �����
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
&0�-�)
��� ��� ������ �� ����������� ��������� ���� ���� ��������� �������������� 6�� ��������������������������������������& ����������)������������������������������������������� ������ ��������������*�� ������� ������������������������������ ��������� ��� ���� ���� ����������� �� ��*�� �� ����� ������� ���� ������������������� ��������������������������������������������������������������������������� ��� ��� �� �� �� ���� ���� ���� ���� �� ��*�� �� ����� �������� ��� � ������� ������������� ������ ���� ��� �� ���� ������ �� ����� ��������� ���� ���� ��������������������� ��� ��� �� ������ ���� ���� ���� ���� �� ��*�� �� ����� �������� ��� � ������� 3������������ �����
E ������ �� ��� � ������� ��� ���� �������� �������� ����� ��
[ ] 11 2
2
xx N N
x
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
&0�-0)
+��� �� ����� $ ��� � :� B�0�� ���������������
1 2 3
4
x xx
+= ����� ��� �� �����$�
+��� �� �����%�
�� :� ��� ;�2 1
4
x x+
���������������� � :� >B�0� ����� ��� �� �����%��
'� �� ' �
��� ����� �� ��� �� ��������� ������������� � �� �� ���� �� � ��� ������� ��������� ��� �� ���+�����0�A��$�� ������������������ ���� &"�����#�)� ��� ����� ��� �� ��� �� ������������ � ������ ����� ���� ���������:�B� ���� ���������������������������� ������� ���� ������ �������� ��� �� ����"#� ��� �� �������� �����
�� ���� ��� �� ������������� ��
� & )� :�� ����� :������ ;������ ;����� &0�-<)
�� ���� �� � �������� ������� ���� ��� ��� ���� �� ����� ��������� ��� ��� ����������������
����� ��������������� ��!�"���#�����������������
�������������� ���
/�� ���� ��� ��� ������ �� �� �� �������� ����� ��� ����������� ��������� ��� ��������� ����� ����� �9� ��� � ���� � �� ������������ ��� ����� ��������� &���� ���� 8��� &0�-�))�� � ����������� �*���� �������������� ������� ������������%�������������������&��� ���$������� ������� �������� ��������� �����������:�� ������������������ ���� ���� �� ����� ��� ����� ��������� ��� ������� +��� !������ � ���� �� � ��� �� ����� �������� ��� ��8���&0�-<)�������������� ����� ��������������������������������������%����������-� ���� #�� 3���� �� ���������� ��� ������ -� ���� #� ���� :� �� ���� B�� ����� ���� �� �������� ����������%��� �� ��������-� ����#� ��� ������� � &� >�B)� ���� &� >��)��$���� ����� ���� ������� ����� �������� ��9
��� :� &3+)&� >� B)&� >� �) &0�-=)
����������������&3+)� ���������������������������������������������������&� :� >�)���� ������� ����� ��� SF� :� B�0�� $���� �� ������� ����� �������� ��
��� :� B�0&� >� B) &� >� �) &0�-?)
@�� �������� ������ � ���� ������� ��� �� ���� �� ����� ��������� ��
��� :� B�0&� >� B)&� ;� �) &0�-A)
��� :� > &� ;� �)&� >� �) &0�#B)
��� ���� ���� � ���� ����� ��� �� �� ��� ������ �� ����� ��������� ���� ���� �����!�����������������������!�������������������������������������������������� ��� ������ 8���� &0�-?)>&0�#B)� ��� 8��� &0�-<)�� �� ������� ������������
� � � �& � : ���� ; ���� ; ���� : B�0& )&� >� �)�� ; B�0& )&� ;� �)�� > & ; �)& > �)�� &0�#�)
��� ����� #� ��� �� ��������� ����� �!�� �� �� �� ������ ��� �� ����� ���� �� : &B�0)&�� ;� ��)�� ��� � ���� � ����� �� ��� � ������� ��� �� ��������� ������������� 7��
�� � &� &�� & ���
$( �
(��� & ��� �� & ���
����� ��- .# �� ���� �� �� ��� ����� �������� �� ��� ��
�� � ��� �� � �� �� � ��
)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
������� ������ �� �� ������ ������ ������������� ������� ������� 6� ��� ��� ����� #� �������� � ��� ����� ������������ ���� ���� !������ ��� :� ��� ;� &B�-0)&��>� ��)�� ��� � ��������������������� ��� �� ������������������� ���������� �� ����������� ��� ��������$���������������� ����������������������������������8���&0�#�)�������&���������������� ��� :� B�� ��� :� ��� ��� :� �)�
�& ) :� B�0& )&� >� �)&B)� ;� B�0& )&� ;� �)&�)� >� &� ;� �)&� >� �)&�)
:� &�� ;� )� &0�#-)
$���� � ���� ��� �� ��������� ������������� � ���� ������3���� �� ������������� ����������������������������� ��������������� ��������� ��� ������������� ���������� ������
���������������� ��� �
��� ����� � ���� ������� ��� �������������� ���� �� ���������� ��� �� ����� ������� ������������ ������ ��������� �� ��������������������������������� ������������������������������������� ���������������������&����)��������������������� ����������������������� "������(�� ����������� ��������� ��� � ��� �� ��� ��� ������� �� �� ��� ���� ��������� ������� ��� ���� �� ������������� �������� ����� �� ��� ���� ������ ��� ���� ������� ���� ���� ��� ��
� &�)� �� '� ��� ;� '� ��� ;� �� ;� '� �� &0�##)
���'�� ��� �� "������� ������������ �� �� ��
1 2 1 1
1 2 1 1
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )i i n
ii i i i i i n i
x x x x x x x x x xL
x x x x x x x x x x− +
− +
− − − − −=− − − − −
� �� � &0�#�)
������ � ��� ��'���� ����� ����������� �� ������������ �������������$���� ���� ��� �� ����� ��������� ���� �� ��������� ��������� ������������� ��� � ��� ����� �9F� �� ������������ &��:�>�)�� &�:��)� � ���� &��:�B)� ���� ��������������� �������� �������� ���� ���� ���� � ���� ��� �� ������� "������� ����������� ������������ ��
2 31
2 1 3 1
( )( ) (1 )(0 ) ( 1)
( )( ) (1 1)(0 1) 2N
� � � � � � � �
� � � �
− − − − −= = =− − + + &0�#0)
� �1 3
21 2 3 2
( )( ) ( 1 )(0 ) (1 )
( )( ) ( 1 1)(0 1) 2
� � � � � � � �
� � � �N
− − − − − += = =− − − − − &0�#<)
21 23
1 3 2 3
( )( ) ( 1 )(1 ) 1
( )( ) ( 1)(1)N
� � � � � ��
� � � �
− − − − −= = = −− − − &0�#=)
������ � ���� ���������� �� ����� ������������ �� ����� �������� ���������� �%��3�����������"������(��� ��������������3���� �� ����� �������� ��� ������ ����������������������������������������������������������������������������!�������������������������8����������������������3��������&"������)���������������������������*�� �����3��������&"������)�����������������"�������������� ��� ���������������������������������������������������������������������������
����� $������%��������� &'�����������������
�� �������������������������������������� �������������������������������$��� � ��� ���*���� ���� �������������� �� &�!�)� ���� &�)���������� �� ������ �����������"#�(� ��� �� ��� +����� 0��B�� $�� ����� ������"�#���(�� ���������� ��� ������� ����� >�� �;������������� ����� ��������� ��� ������ ��� ��&�!�)� ����� ������������ &��%������)�
�
"
# $
���� ���
���� ���
���� ���
���� ������ %���%�� %��
��� ���%�� ��
��
�
#
�
�
�
�
����� ���/ $� ����� �� �#�������� (# ���� ��� �� ��������
�� �������������� ������������������������ ������������������������������������ ���
2
x� =
�&0�#?)
2
y
h� = &0�#A)
+��� �� ������ ������������ ����� � �� � �� ������ �� ������������
&��� �)� � � &�� ) &0��B)
$������������������ ���������������������������������$&�� �)� �������������������� �� ������ ���������� &7��� ��� � �������� �� ���������.������� ����)�� ���� � ���� ��
��� :� � ����� ��� :� � ���� &0���)
��� �� :� ��� -����� GG@8"� ����� ������ ���� �� ������ ��� ����� ��� ���� &:� �� ��)������������ ������ ���� �� ����� �� ���� �� ���� %��� �� ���� ���� ������ �� ����� ����������� ���� �� ������� ��
�� : &3+) &8������� ��� ���� ->#) &8������� ��� ��� #>�)
: &3+) &� > ) &� > ) &0��-)
�� ( �
&���
�
(
&
�
)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
��� �� ����� ������ &3+)� ��� �� �� ������ ����� ������ ��� ����� �� ���� �� ���� �� ��������� ������� ��� ����� ->#� ���� #>�� ���� ��� �*�� �� ����� ��� ��� ��� %��� �� ����� -�� #���� ��
/� ���� ��� � :�� :� >�� ����� ������� 3+� :� B�-0�� $���� ���� ����� �������� ��� �� �� ��
11
(1 ) (1 )4
N � �⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
&0��#)
@�� �������� ������ � ���� ������ �� ���� ����� ��������� ��
21
(1 )(1 )4
N � �⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
&0���)
31
(1 )(1 )4
N � �⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
&0��0)
41
(1 ) (1 )4
N � �⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
&0��<)
����� � �� � ��� �� �� ����� ��������� ��� �� 3�������� ���������� �� ����� ���� ������������������������"������(������������+�����0������� ���������������������������
����� ���� "� ��� #�������� )�� 0�� 1� �2� �2� �2� !3� ��� .# �!� ��������
�
�'(
�
�
�'(
�
��
�'(�'(
�
� � �
�
���)� ���)�
���)� ��)�
�
H����� ������������� �������������� � ���������� ������������� ���������� ��&�)����������������������������������������������&�!�)����������������������������!����������������������������� �����+�����0��-��H���������������������������� �� � ���� ��
�� :�� ����� :� ���� ;��� &0��=)
�� :�� ����� :� >0��� ;� 0�� &0��?)$���� � ��
[ ]1 (1 )(1 ) (1 )(1 )
4x � � � �= + + − − − &0��A)
[ ]5 (1 )(1 ) (1 )(1 )
4y � � � �= − + − + − &0�0B)
H����� ���� ������������� �������� � ���� ��*� ������ �������� ���� ������� ��� �������� �� ���� � :� B� ��� �� &�)� ������ ��� �������� ���� �� &�!�)� ����� ��� �� �� ��
�� :� &�.-)� �� :� &0.-) &0�0�)
$������� �� ������� ��� �� ���� ��� �� &�!�)� ����� ��� �� :� 0����� ����������������:�B������&�)������������������������&�!�)����������� �
���� :� &�.-)� �� :� >&0.-) &0�0-)
$���� �� ������� ��� �� ���� ��� �� &�!�)� ����� ��� �� :� >0��� $��� �� ����� ��� �������� ��+�����0��-�������� ���������!��������� ����������������������������&�!�)��������� ��� �� �������� �� �� �� ���� �� �!��� $�� ���������� ����� ��� ��� �� �� ������������ �� �!�� �������� ����� �� ���� ��� ���� ������ ������� &����� ��� ����������)� ��� ���������� ��������� �!�� �!��� ���� ��� ������ ��
����� ���� , �#� �� ��� 4 ����� �� ������� ���� ��� � ����� �� (# ���� ��� �� ��������
"
�(� !�
� ��� (��%�� (� �
� �(� %!�
� & ( ���� � � & !��
� & ( ���� �� & %!��
$
)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
+��� ����������������� ��� ����� ���������������������� ��� �������� ����������������� ������ ���� ��� &�)� ����� ���� �������� ������������ ������ ���� ���� ��������� &�!�)� ������ ��� � ��� ������ ��� �� ��� ����� � ������ �� ������ ����������������� ���� � ���� �� � �������� �� ��������� ���� ���� ���� �������
�������� �� ������ ������������ ���� ��� �� ��� +����� 0��#� ��� ���� ������ $������������������� ��� &�)� �������������������� �� ��� �� �������$����������
����� ���� $� ����� �� ������������ (# ���� ��� �� ������ �������� ����� ���� � �����
(0,1)� ��� ��
" ��� (�
�%�� ��
"
$#
�%�� (� $
�%�� %�� � � ��� %��! �(� %��
�
�
�������
������� #� �������
" �������
� �������
! �������� �������
����� $
�� ����� ��� ��� �� �� �� ��� ����� ����� �� ��� ��������� �� ������ $�� ����� ����������� ���� �� ������� ��
� :� &3+)&8��� ��� ���� -><>#)&8��� ��� ���� #>=>�)&8��� ��� ���� �>?>�)
:� &3+)&�� >� )&�� >� )&�� ;� ) &0�0#)
��� �� ����� ������ &3+)� ��� �� �� ������ ����� ����� ��� ����� �� ���� 0� ���� �� ��������� ���������� �����-><>#�� #>=>�������>?>��������� �*�� �� ����� ����� ��� %����� ������� �����
/�����0���:�>�������:�B������ �������3+�:�B�0��$������������� �������� ����� ���
( )( )25
1 1 1
2N � �
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠&0�0�)
@�� �������� ������ � ���� ������ �� ���� ����� ��������� ��
( )( )26
1 1 1
2N � �
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠&0�00)
( )( )27
1 1 1
2N � �
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠&0�0<)
( )( )28
1 1 1
2N � �
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠&0�0=)
# �(� ��
������ ������!�����������������������������������������3���������������������������� ��� ������ ����
E������� �� �� ���� ������ ���� �� ���������� ���� &+���� 0���&�))�� � ���� ����� �� ��������������������������������������������������������������������������������� ���� �����*���� �� ������ �� ����� 0� ���� ?� ������ $����
1 1 5 88 4
1 1
2 21 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )(2 ) 4 4
1(1 )(1 )( 1 )
4
Node NodeN N N N
� � � � � �
� � � �
� � �
� � � � � � � �
� � � � � �
&0�0?)
@�� �������� ����� � ���� ������ �� ����� ��������� ���� ���� ����� ��
2 2 5 68 Node 4 Node
1 1
2 2
1 (1 )(1 )( 1 )
4� � � �
N N N N= − −
= + − − + −&0�0A)
3 3 5 78 Node 4 Node
1 1
2 2
1 (1 )(1 )( 1 )
4
N N N N
� � � �
= − −
= + + − + + &0�<B)
4 4 7 88 Node 4 Node
1 1
2 2
1 (1 )(1 )( 1 )
4
N N N N
� � � �
= − −
= − + − − + &0�<�)
)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���
����� ���! ��� #������� � � .# ��+� ��������
�
"
#
$
�! �
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
/��������������������������������������������+�����0�����H�����������������������������������������������������������&>)������������� ���������������&���)�������������� ��� �>0>- &� : >�)��@�� ���� ���� � �� ���� :���� :���� :���� :���� :� B�� $���� �� �� ���� ���� ���� �� �������
�� :������ ;������ ;��� &0�<-)
�� :������ ;������ ;��� &0�<#)$����
21 2 5
(1 ) (1 ) (1 )
2 2x x x x
� � � ��
− − += + + − &0�<�)
21 2 5
(1 ) (1 ) (1 )
2 2y y y y
� � � ��
− − += + + − &0�<0)
+��� �� ������ ����� ��� ������ ���������� &���� ��)�� &���� ��)� ���� &��� �)�� ���� ���������� �� ��������� �������������� +��� !������ ��� �� ������ ���������� ��� �� �� ��&B�� B)�� &#�� A)� ���� &-�� �)�� ��� � ��
23 1 (1 ) (1 )
2 2x � �= + + − &0�<<)
29 1 (1 ) (1 )
2 2y � �= + − − &0�<=)
$������� �� ������� ��������� �� ��� �>0>-� ��� �� �������� ����� ��� &���������� ����� 8���� &0�<<)>&0�<=))
��� ;� ��� ;� -��� ;� �-�� >� #B�� :� B &0�<?)
$����������������������������������������������������&>)������������� ��������������&�>�)� ������ ���� � ���� ���� � ���� ����� ��� ��� �� ���� ��� ��� �� �� ���� ��������� �� ��������� ��� �� ������� ����� ��� ���� 0� ��� ������ �� ����������� ��� ��� �>-� ���� ��������� ������ ����� ��
1 25
2
x xx
+= &0�<A)
1 25
2
y yy
+= &0�=B)
��� �� ������������� &��� �� �� ��� 8��� &0�<�))&0�<0)� ���� ������ �� �� ������ ���� ���������� �� ������� ��� �>0>-� ��� �� &>)� ����� �� ������ ������� ��� ��� �� ��������&�>�)�������$����������*�����������0��<��=����?��� �� ����������������������������� �� ��������� &�>�)� ������ � ���� ���� � ��� �� ��� ������ �� ��� ���� �� ���������� � ��� ���� ��������� ��� �� ��������� &���)� ������ ������ 0�� <�� =�� ?� ��� �� ���������� ���� ���� ��� �� >� �����
����� $������%��������� & ��������������� $�� ������� ���������� ���� ���������� ����� ��� � ��� ������ ������ ��� ��� �� ��+����� 0��0�� $�� ��� ������� ���������� ��� ������ ��� �� ����� ���� !��������9
11
Area of 23
Area of 123
A PL
A
��
= = &0�=�)
22
Area of 1 3
Area of 123
A PL
A
��
= = &0�=-)
33
Area of 12
Area of 123
A PL
A
��
= = &0�=#)
��������� ���������������������������������������������������������� ���������B� ����������� � ��� �� ������������������������������������� ������������������ ���� ��� �� ������ $����
'�� ;� '�� ;� '�� :� � &0�=�)
+�������������������������������������������������������������������� �����
�� :� '���� ;� '���� ;� '��� &0�=0)
�� :� '���� ;� '���� ;� '��� &0�=<)
��� ���� �������� ����� ���� �������� �� ����������������� ��� ���� ��
1
1
1 2 3 2
1 2 3 2
3
3
0 0 0
0 0 0
x
y
N N N xx
y N N N y
x
y
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
����� ���� , �#� �� ������� ���� ��� ��� ��#� �� ���������
�
�
�
� �*��*�� *��
#
"
$
&0�==)
)����� � (��������� ��� (�������� ������������ ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
��� �� ����� ��������� ��� ������� ������� ��
��� :� '�� ��� :� '�� ��� :� '� &0�=?)
���������� ��� �� ����� ��������� ������� ���� �� �������� ���������� ���� �������� 0�-���� �� ��� ���� �� ��� � ���� ��� ������ ��� �� �� �� ������� ����� ����������� ������� ������������������� 7������������ ��� � ������������������� ����������������� !������ �� ����� ��� �� ��������� � ���� ��� ��� �� ��!������ ���������� ���� ����� �� ��� +����� 0��<�� $�� ������� ���������� ��� �� ����� ��� �������� ��� �� ������+���� ���� ���� ������ ��������� �� ����� ��������� ���� �� ������� ��
�� :� &3+) &8������� ��� ���� ->0>#) &8������� ��� ���� �><)
:� &3+) &'�) &-'� >� �) &0�=A)
����� ���% $� ��&������� ��� ��#� �� ��������
��� �� ����� ������ &3+)� ��� �� �� ������ ����� ������ ��� ����� �� ���� �� ���� �� ��������� �� �������� ��� ����� ->0>#� ���� �><� ���� ��� �*�� �� ����� ������ ��� %��� �� ���� �������� 8������� ��� ���� ->0>#� ��� '�� :� B� ���� ��� ��� ���� �><� ��� '�� :� �.-�� ����� -'�� >� �� :� B�/��������'��:�������� �������3+�:����$���� �������� ����� �������� ��� ���������������
��� :� &'�) &-'�� >� �) &0�?B)
3���������� ���� ����� ��������� ���� �� ������� ��
��� :� &'�) &-'�� >� �)� ��� :� &'�)&-'�>� �)
� � � � � � ��� :� �'�'�� �� :� �'�'�� ��� :� �'�'�&0�?�)
"
# $
�
�
!�
"
�(�(���
���(�(�
�(���(�
1 1, ,0
2 2 � � �
1 10, ,
2 2 � � �
1 1,0,
2 2 � � �
���������� ��� ���� ����������� ��� ������ 0�-�#�� � ������� ���� � ��� �� ���������������� ��� ������ ��� ���� �� ���������� ���������� ������������� ��������� �� ��� ������������������������ ������ �������������������������������� ���������������������� �%�������������!������������������������������������������������������������������� ��������� �������� ���� ������ ��� � ��������
��% �&� '�������� ��� (���������� )��*�� ��
��(�� )��������������
�� ���� �� � ��������� ������ ������ �������� ����� ���� �� ������ ���� ���� �� -��� ��������������������������������+����� �������������������������������������������������� ���� �� � �� �������� ������������ �%��� �� ���� ��� ������ �� �� ������������������� ������� ����� ����$�� ���������������� �������� ��� �� �� ��
xu
x�
∂=∂ &0�?#)
yv
y�
∂=∂ &0�?�)
xyu v
y x�
∂ ∂= +∂ ∂ &0�?0)
1
1
2
2
3
1 2 3 4 5 6 3
1 2 3 4 5 6 4
4
5
5
6
6
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
x
y
x
y
x
N N N N N N yx
y N N N N N N x
y
x
y
x
y
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
&0�?-)
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
H����� ��� ����� ���������� � ���� ��
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
+��� �!��������� ��������� � ���� �������� �� �)� ����� &���������� �� ���� ����� �������� �������)� ��� ��� �� ��� +����� 0��=���� ���� � ���� �� ������ �� ���������� ��
����� ���' $�� &���������� ����� ��������
)�������������
)�������������
�
�
�!���������� ��� ���� �� ����� ��������� ���%��� ������� &��� �� ������ ��� ������������������ ����� �� ������������� ��������)9
ru
r�
∂=∂ � &0�?<)
u
r�� = &0�?=)
zv
z�
∂=∂ &0�??)
rzu v
z r�
∂ ∂= +∂ ∂ &0�?A)
��� ���� �������� ����� ���� �������� � ��� �� ���������������� �������� ��
4�5� :� 1#24�5� &0�AB)
��� �� ��%� ��� 1#2� ���� 4� 5� ���� �� ������ ��� �� ���� ���� 1#2� ���� ������� ���� �� �� ��� �� ����� ����������$�� ����������� �������� ���� ����� ����� ���������� ������ #��� 6��*(�� �� �� � ��� �� �� ��
{ } { }0 0
2
2
1 0
1 0 1
0 0 1 /2
� � �
� � � � ��
� � �
x x
y y
xy xy
E
⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟− ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠
&0�A�)
��� 4�5� ���� 4�5�� ���� �� �� ������� ������ ���� ������ ����� ���
�
$�� ����������� �������� ���� ����� ������ ��� �� �� ��
{ } { }0 0
1 0
1 0 (1 )(1 2 )
0 0 1 2 /2
� � � �
� � � � � �� �
� � �
x x
y y
xy xy
E
⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= − − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟+ − ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠
&0�A-)
+��� �!��������� ��������� � �� � ����� �������� ���%��� ������ �� �� ��
{ } { }0 0
1 /1 /1 0
1 /1 0(1 ) +
(1 )(1 2 ) 1 0
Symmetric 1 2 /2(1 )
� �
� � � �� �
� �� ��� �
� �� �
� �� �
r r
z z
rz rz
E
− − ⎛ ⎞⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎝ ⎠
&0�A#)��� ���� �������� ����� ���� �������� � ��� �� ������ ����������� ������� ��
4�5� :� 1(2&4�5� >� 4�5�)� ;� 4�5� &0�A�)
��� ���������� �� 1(2�����!������������������.�����.�!����������������������� �*�� ����� 8���� &0�A�)>&0�A#)�
/� ������� ����� ��� ������� �� ���7��� �� ��������� �������� ��� �� ����� ��� ����& ����)�������4*5������������ ���� ���������������� �����������4*5����������������������������������� ��������������������4$�5�� ����������������7��� �� �����������������������&��������������������������������������������)��H���������������������������� �� �������� ����������� �������� &������ ���� �� ����������������)������������������� ���� ����� ������� ������ ������$�� ������ ����� !�������� ���� �� ���� ��
{ } { } { } { } { } { }( ){ } { } { } { } { } { }
0 0
0 0
1 1 [ ] ( )
2 2
1 [ ] [ ]
2�
� � � � � �
� � � � � �
T T
v v
T T T
U dv D dv
D D dv
= = − +
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫&0�A0)
$�� ��� ����� ��� �� ��� � !�������� ����� �� ������� ���� ����������� ��� 3����� ���&8��� &��#))� !��� ��� � �������� ������!� ������� �� ������� ���� ������������� ����� ����.������
+���� 8���� &0�AB)� ���� &0�A0)�� ���� � �� ������ ����� ��� �� �� ��
{ } { } { }
{ }
0
0
1 [ ] [ ][ ] [ ] [ ] { }
2
[ ] { }
� � � �
� �
T T
T
e e ee T T
e T
U B D B dv B D d v
B d v
= −
+
∫ ∫
∫ &0�A<)
+��� � ���� ���� ,�������� � -��%���� ���
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
$�� ������� ��� !����� ������ ��� �� �� ��
� � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � TT Tev s i iv s
V q dv q ds P &0�A=)
��� 4�5�� ��� �� ���������� ��� �� ����� �� ��� ����� �� ��������� �����$�� ��� ������ ����� ��������� ��� �*�� � �� ���� ����� ������� �� ��� ���� �� ��� ��� ����������� 4� 5� ��������� 4*5� �� � ���� ��� ���� ������������ 6���� ��������� �� �� �����
{ } u
v�
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
&0�A?)
{ } x
y
q
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
&0�AA)
+���� 8��� &0�A=)�� ������ �� ������� ��� 8��� &0���)� ���� &0�-�)�� � �
{ } { } { } { } { } [ ] { } [ ] [ ]� � �T T Te e ee T T T
v S i iS
V N q dv N Q ds N Pv
= − − − ∑∫ ∫ &0��BB)
��� 1�2�� ��� �� ���� ��� ����� ��������� �� �� �������� ��� $���� �� ���� ������� ��� ������ ���� �� ���� ��
{ } { } { }
{ } { } { } { } { }
0
0
1[ ] [ ][ ] [ ] [ ]{ }
2
[ ] { } [ ] { } [ ] [ ] { }
� � � �
� � � � �
T T
T T T T
e e ee T Tp
e e e eT T T Tv S i i
v S
B D B dv B D dv
B dv N q dv N Q ds N P
∏ = −
+ − − − ∑
∫ ∫
∫ ∫ ∫&0��B�)
3���� 4�5�� ��� �� ���� ��� ������ �������� �� ���� �� �*�� ������ �� ���������� $���� � �
{ } ( ){ } { } { }
{ } { } { }
0 01 [ ] [ ][ ] [ ] [ ]{ } [ ] { }
2
[ ] { } [ ] { } [ ] { }
� � � � � �
� � �
T T T
T T T
e e e ee T T Tp
v v v
e e eT T Tv s i i
v s
B D B dv B D dv B dv
N q dv N q ds N P
∏ = − +
− − − ∑
∫ ∫ ∫
∫ ∫D������� �� ���� �������� ����!� 1+2�� ���� �� ����� ���� 4�5�� ��
[ ] [ ] [ ][ ] e T
vk B D B dv= ∫ &0��B#)
{ } 0 0[ ] [ ]{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { }� �e T T T T T
v s i iv v s
v
f B D dv B dv N q dv N q ds N P= − + + + ∑∫ ∫ ∫ ∫ &0��B�)
� ���� � ��� � 8��� &0��B-)� ��
1 { } [ ] { } { } { }
2e eT e e eT ep k f� � �∏ = − &0��B0)
@��� ���� �� ����������� ��� '�������(� ������ � ������ �� ���� ������� ���� ����� ��
&0��B-)
1 { } [ ]{ } { } { }
2e T T
p p K F� � �∏ = ∑ ∏ = − &0��B<)
��� ���������������������!���� ���������1,2�������������� ����� ����4-5������ ���
NOELEM
1
[ ] [ ]e
n
K k=
= ∑ &0��B=)
{ } { }NOELEM
1
e
F f= ∑ &0��B?)
G@8"8,������ �� ��������������������4� 5������������� ��������������� �������� ����� ���� ����� ���������$�� ���������� ���������� �������� ������ ��� �� ���� ������������������ ���������������������� ��� ���������������� ����� ���� ����������������� ��� ��������
H����� ��I����������� ��������� ���� ������� � �� �� ���� ������� ��������� ������� �� ������ ��������� ��� �� ������ �������� ���J
0 { }
p
T�
∂=
∂ &0��BA)
$���� � �� � �� ����� � �� �������� �� �� ��
[ ]{ } { }�K F= &0���B)
�� ������ ������������� ���� ������-�������������������� ������������������!� ���� ������ ����� ����� ���� �� �������
��(�� ����������� ���������������
$���� ��������� ������������������������������� ����������������� ��������������/������� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0��?�� /�� ��������� ��� ������ � 0�-���� �� ����� ����������� �� �� ��� &����� 8��� &0���))�
1 1 1 11
( )2
N x y� � ��
= + + &0����)
2 2 2 21
( )2
N x y� � ��
= + + &0���-)
3 3 3 31
( )2
N x y� � ��
= + + &0���#)
3���� �� ���� ��� �������� �� !�������� ��� � �� ����� ��������� ��� ��������������������������� � ������ ��� ��� ������� ����� ���� ������ �� ������� ����������
*��� �� ���� �+ ����� �� ,������ �� ������� ������ ��������� �� �� �� �� �����-� ���� �� ������ ������ ������� ����� ��������� �� ���������� ,��� ������� �� ����� -��������� �� ���� �� �-��� ���� '�'�'
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
������� ���� �������
$�� �������� ���%��� ������� ���� ����� ����.������ ��� �� �� ��
131 2
1
231 2
2
33 31 1 2 2
3
0 0 0
= 0 0 0
x
y
xy
uNN Nu
vx x xx
uNN Nv
y y y y v
uu v N NN N N N
y x y x y x y x v
�
�
�
⎧ ⎫⎡ ⎤⎧ ⎫ ∂∂ ∂∂ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭
&0����)
$���� �� ���������������� �����������!� 1#2� ��� �� �� ��
31 2
31 2
3 31 1 2 2
0 0 0
[ ] 0 0 0
NN N
x x x
NN NB
y y y
N NN N N N
y x y x y x
⎡ ⎤∂∂ ∂⎢ ⎥
∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
&0���0)
����� ���+ "������ ������������ ��� ��#� �� ��������
"
# $
������ ��� �
.�
���� ��� � �� .�
.�
� ���� �����
$���
1#2�
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
0 0 01
0 0 02
� � �
� � �
� � � � � ��
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
&0���<)
������ � ��� ������������ ���������� ������� ������������������� &�������1#2� ��� ���� �������)� ����� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ��� *�� �� ��� ��������� 3����$�������&�3$)��$��������������������� ��������������������������������������������������� �!�������� ����������������������������������!����������� �� �������������������.��������������$������������������������!�1(2������ �����8���&0�A�)��������� ����� ���� ��� 8��� &0�A-)� ���� ����� ������ �����
��������������
+���� ���� 8��� &0��B#)�� �� ���� ������������!� ��� �� �� ��
6 3 3 3 3 6[ ] [ ] [ ] [ ]e T
vk B D B dv× × ×= ∫ &0���=)
$�� ��%� ��� �� �������� ����!� ��� &<� �� <)� ����� �� ���� !�������� �� ������� ��� �������������!�� � ����� ��� �� ����� -�� �������K� 3���� �� �������� ��� ���� ���������� ��������� ���� �� ������� ������� ��� ���� �� ���� ������������!� ������� ��
1+2�� :� 1#2�1(21#2&)&") &0���?)
��� � ��� �� �������� ���*���� ����"� �� ���� ��� �� ����+������������!�����������������������������1#2�����!� ���� �������������
������� �����������������!������������������!����������������� ������������� ��� �������/����� �� ��%� ��� ������!� ����� ���� �� ������ ���� � ��� �� ������������������ $���� � ���*� ���� ��� ������� ��� ��� ��������� ��� �������� ����������� ������ ������� ��������� ����� ��� ������� ������������ ������ ������� ����������
8!����� ������ ���� �� ��������� ������ ������ �� �� ����� ������ ��������� ���.��� ��!��� ���� ��� ���� �� ��������� � �� �� ���� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0��A�� $ ������� ��� �������� ��� ���� ������ ������ !���� ��� �� ����� ������ � ����� �� ���������������� �������������������������������������������������������� ��������������������������� ���� ������������������������ ��*��������������������$�� ���� ������ ����� ���� 4 �5�� �� �� ��� 8��� &0��B�)� ��� �� �������� ������ ����� ������ ���� �������� �� ��� ��� ���� ���� ��� �� ������ !�����
������� ��� .��������� ��� ��� ���� ���� �� ���������� ���� �� ������ �� ���������� �� ���� ���� ���7��� �� !�������� ������ ��� ��� �� ��� +����� 0�-B���� ���� ��� ���3$����� �� ��� � ���� �������� +���� �� ���������� ��� �� ������ � ����� ���������� � ������ ��� ��� ����� �9
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
������� � ����� �������� ������������
��� :� �-� ��� :� B� ��� :� >���� :� B� ��� :� #� ��� :� B &0���A)� � :� B� � � :� >#� � � :� �
������� �� ����� �������� ������������
��� :� �-� ��� :� >#� ��� :� B��� :� B� ��� :� #� ���:�>�������������������������������������&0��-B)� � :� B� � � :� B� � � :� �
# $
"
��
��
��
��
.���������� �������� ����/������ ��
������
����� ���- ������� ��� � 4"� ��������
����� ���/ ���� �� ��� #����� #�� ���� �������� 05& ����� ���3�
�
�
�
�
���
��
�01��
�
�� ���� � ��� �� ���� ��� ���� �� ����� ��� <� ���� ���� � �� �� ���*���� �� ������ ���� ����� ������ $�� ���������������� ����!� 1#2� ��� �� � ������� ��� �� �� ��� �
������� � ������������������� ������
(1)
0.25 0 0.25 0 0 0
[ ] 0 0.333 0 0 0 0.333
0.333 0.25 0 0.25 0.333 0
B
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
&0��-�)
������� �� ������������������� ������
(2)
0.25 0 0.25 0 0 0
[ ] 0 0.333 0 0 0 0.333
0.333 0.25 0 0.25 0.333 0
B
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
&0��--)
/��������/� :� -� �� �B�� G.���� ���� � :� B�#� ���� ���� � �� � �� ����������� ����������!� 1(2� ��
8 7
7 8
7
0.22 10 0.659 10 0
[ ] 0.659 10 0.22 10 0
0 0 0.769 10
D
⎡ ⎤× ×⎢ ⎥⎢ ⎥= × ×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
&0��-#)
$�� ���� �������� ����!� ���� ���� ���� ��� �!� ������� ��
1+2�� :� 1#2�1(21#2&)&") &0��-�)
$�� ��������� ����� ��� � 1+2�� � ���� �� �� ����� ��� ������� ��� �� �� ��� �
������� � ��������� ������� $�� ���� �������� ����!� ��� �� �� ��
(1) 7
1.34
0.714 1.75 Symmetric
0.824 0.33 0.824[ ] 10
0.385 0.288 0 0.288
0.513 0.385 0 0.385 0.513
0.330 1.47 0.33 0 0 1.47
k
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
&0��-0)
1 2 3 4 5 6
1 2 5 6 3 4
1"����2
1F�����2
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
������� �� � ��������� ������� $�� ���� �������� ����!� ��� �� �� ��
( )2 7
1.34
0.714 1.75 Symmetric
0.824 0.33 0.824[ ] 10
0.385 0.288 0 0.288
0.513 0.385 0 0.385 0.513
0.330 1.47 0.33 0 0 1.47
k
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
&0��-<)
� � � � � � � � � � � � � � �
1 2 3 4 5 6
7 8 3 4 5 6
3���� �� �� ����� ��� ��������� ��������� � ���� � ��� ���� �������� �������������� ��������
+��� ��� ��� ��������� �� ������ ���� ������� ���������� ��� �� ����� ��� �� �������������� �� � ����� ��� �������� ��� �� +���� ���� �� �������� �������� ��� �������� ���������������� ��������������������� ������:�B�:����:����� ��� �� ������ �� ��� ���������� ����� �9
2
3
73
4
4
1.75 0
0.714 1.34 Symmetric 1.5
10 0 0 1.75 0
0.385 0.513 0.33 1.34 1.5
0.288 0.385 1.47 0.714 1.75 0
v
u
v
u
v
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪− − −⎣ ⎦ ⎩⎩ ⎭
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
&0��-=)
$�� E63� ����� ���� ��� ��� ���� ������ ������ ���� �� ��������� ����� ��� �� ��#>��� �%��� ����� �� ���� ����� �� �������� ��� �������������3�� ���� ��� ��������� ���� ������ ��������� ��
��� :� >��0� �� �B �� ��
��� :� -� �� �B �� ��
��� :� B &0��-?)
��� :� -� �� �B �� ��
��� :� >��0� �� �B �� ��
+���� �� ������ ���������� � ���� ������ ���� � �� ������ ��� �������� �� 9
1"����2
1F�����2
������� �� ������
4 �5���� :� 1+2���4�5���� 7
1.34
0.714 1.75 Symmetric
0.824 0.33 0.824 10
0.385 0.288 0 0.288
0.513 0.385 0 0.385 0.513
0.330 1.47 0.33 0 0 1.47
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
�� �7
8
0 1.5
0 0
2 10 1.5
00
00
04.5 10
−
−
⎧ ⎫ −⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪× ⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭⎪ ⎪− ×⎩ ⎭
&0��-A)
������� �� ������
4 �5���� :� 1+2���4�5��� 7
1.34
0.714 1.75 Symmetric
0.824 0.33 0.824 10
0.385 0.288 0 0.288
0.513 0.385 0 0.385 0.513
0.330 1.47 0.33 0 0 1.47
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
�
� &0��#B)
7
8
8
7
2 10 1.5
4.5 10 0
0 1.5
04.5 10
02 10
00
−
−
−
−
⎧ ⎫× ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪− × ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬− ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪×⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
$���������������������������+��������������������������������������������-� ���� �� ������� ��� ����� �9
4�5�� :� 1#2�4�5� &0��#�)������� � �������
{ }(1)
0.25 0 0.25 0 0 0
0 0.333 0 0 0 0.333
0.333 0.25 0 0.25 0.333 0
x
Y
xy
�
� �
�
−⎡ ⎤⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= = −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦
��
8
7
8
8
0
0 5 10
2 10 1.5 10
0 0
0
4.5 10
−−
−
−
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
⎧ ⎫⎪ ⎪ ×⎪ ⎪⎪ ⎪×⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− ×⎩ ⎭
&0��#-)
������� �� �������
{ }(2)
0.25 0 0.25 0 0 0
0 0.333 0 0 0 0.333
0.333 0.25 0 0.25 0.333 0
x
Y
xy
�
� �
�
−⎡ ⎤⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= = −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦
� � �
7
88
8
8
7
8
2 10
4.5 10 5 10
0 1.5 10
4.5 10 0
2 10
4.5 10
−
−−
−
−
−
−
⎧ ⎫×⎪ ⎪⎪ ⎪− ×⎪ ⎪ ⎧ ⎫×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬
− ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪×⎪ ⎪⎪ ⎪− ×⎩ ⎭
&0��##)
�� ��� ���� �� ��� ���� �������� ������ ������� ��� �� !���� ��������� �%����:� &$'."/)� ������� ������� ��� ��� �� �������� ��$�� ���� ������ ������ ������������������ ��� �������
����� � ���� �� !����� ������ ���� ���� ������ ������� ��� �� �3$� ����� ��
������� � ������ !��� ����� �� ����� ���������� ������ �� ��� ����� �� ������� ���������� ��� �������� �� �� ���� ����������� �������� ��� ����� &����� ����� ����������� ����� ���� ��� ���� ������ ������ �����)�� �� �3$� ���� ���� ��� �� � ����� ������
��(�� ����������������������������
$���� ��� �� �������������� �� ������������������������������������� ��������� ��+����� 0�-��� �� ���� ����� ������ ������� ������ ���� ���� ���� ������ �� �������� �%��� �� ���� ������������ ������ ������� ���� ������ �!��� @��� ����������� ��� �� ���� ����� �� ��������������� ���� ��� �������� �� �
����� ���� $� �#�������� ���� ��#� �� ��������#
"
$
��� �
�
� %
������������������������������������� ��
+���� 8��� &0�-B)�� � �� � �� ����� ���� ����� ��������9
1 1 x y xy
Nh h
= − − +� �
2 x xy
Nh
= −� �
&0��#�)
3 xy
Nh
=�
4 y xy
Nh h
= −�
����� ������� ���� �������
$�� �������� ���%��� ������� ���� ����� ����.������ ��� �� �� ��
#
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
{ }
1
131 2 4
2
231 2 4
3
33 31 1 2 2 4 4
3 8 4
4
0 0 0 0
= 0 0 0 0
x
ey
xy
u
vNN N Nu
ux x x xx
vNN N Nv
y y y y y u
vu v N NN N N N N N
y x y x y x y x y x u
v
�
� �
�
×
⎧ ⎫ ∂∂ ∂ ∂⎡ ⎤∂⎪ ⎪ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥∂∂ ∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ ⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦
8 1×
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭&0��#0)
$���� �� ���������������� �����������!� 1#2� ��� �� �� ��
1 10 0 0 0
1 1[ ] 0 0 0 0
1 1 1 1
y y y y
h h h h
x x x xB
h h h h h h
y y y yx x x x
h h h h h h h h h h
� � � � � �
� � � �
� � � � � � � � � �
⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎢
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎢ −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
&0��#<)
������ ���������:��������������������� ������������� ��������� ��� �����$������� ��� *�� �� ��� �� �������� ���������� ���� ����� ��� ����� ��������� �� �� � ����������������� ��� ���� �� �� ���� �� ���������� $�� ����������� ������� ����!� 1(2� ��� �� �� ��8��� &0�A�)� ���� ����� ����� ���� ��� 8��� &0�A-)� ���� ����� ������
��������������������
$�� ���� �������� ����!�� ����� ���� 8��� &0��B#)�� ��� �� �� ��
1+2�� :� � 1#2�1(21#2 �� &0��#=)
$�� ��%� ��� �� ������������!� ��� &?��� ?)� ����� ��� ��� ����� ����� ���� �� ������� ��� ������� �� ���� !�������� �� ������� ��� �� �������� ����!�� � ����� ��� �� ����� #<�������K�/���������������1#2�����!��� � ��������������������� ���������������!������ ��������� ��� !��������� ��� �� ��� � ������� ������ ��� ������
8!����� ������ ���� �� ��������� ������ ������ �� �� ����� ������ �� ��������� ���.���� �!�� &��)� ��� ���� �� ��������� � �� �� ���� ���� ��� ��� �� ��� +����� 0�--�� $ ������� ��� �������� ��� ���� ������ ������ !���� ��� �� ����� ������ � ����� �� ���������������� �������������������������������������������������������� ��������������������������� ���� ������������������������ ��*��������������������$�� ���� ������ ����� ���� 4�5�� �� �� ��� 8��� &0��B�)� ��� �� �������� ������ ����� ����
��(�( %�����*���+��!�"� �������
��� ����������������������������� ����������������� �������������������������� �� ������ ������� �� ����� ��� ������� ������ ����������� �� ���������� ����� ���� ������� ��������� ��� ����� �� ��� �������� ��� *��*���6� ��� ��� �� ����������������� ��������������������������� �������������� ��������������������������� ��� ����� �� ������� ��� ����� �� �� ���� ���� �� ��� ������� �� ������ �� ��������� �������"������������ ���������� �������������� 7������������������� �� ��7���� ����� ��� ��� �� ��� +����� 0�-#���� �� ��� ��� ����� ������� ����� �������������� ��� ������ �� ���� �� ��� ������ ������ ���� ���� ������ G� � �������
��
����
��
��
��
��
��
"
# $
�
� �
����� ���� ������� ��� 654!� ��������
����� ���� 4�����#��� � � ����� ������� ������ ���� ���������
� �
� �
� ��
�
�
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
��� �������� �����$� ��� ��� ->#� ���� ���������� ���� ��� ������ �� ��������� ������������������������������������������@�����->#�� ������������������:���������
1 0,N = 2 1 ,y
Nh
= − 3 1 ,y
Nh
= − 4 0N = &0��#?)
1
1
2
1 2 3 4 2 2 2 3 3
2 2 3 31 2 3 4 3
3
4
4
0 0 0 0
0 0 0 0
P
P
u
v
u
N N N N v N u N uu
v N v N vN N N N u
v
u
v
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ +⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
+⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
$���� ��� ������ �������� ������������� �� ������������$�� ��� �������������������������� ������� �%���->#��3����������������������������� �������� ��������� ���� �� ��������� ��� �� �������� ��� ��� ������� ����� ��� �� ��� ���� ����� �� �� �������������������$���� ��� �������������������������������������������@���� �� ��7��� ���������� ��� �� �������� ���� ��� ��������� ��� � ��� ��� �� ���� ����� ����������� ��� ������ �� ���� �� � �������� ��� ���� ���� ���� ������ �� ������������������ � ������ ������� ������������ ��� ����������� ������� ������ "� ������������ ������������������������������� �� ���+�����0�-�� ����� �� �������������� �� �� ��
� &�� �)� :� ��� ;� ���� ;� ���� ;� ���� &0���B)
�&�� �)� :� ��� ;� ��� ;� ���� ;� ���� &0����)
3���� ��� !��������� ���� ����� �� ������ ����������� ��� � ������� ���������������� � �� �� ����� ���� �������� ���� �!���������9
��� :� ��
��� :� ��� ;� ���
��� :� ��� ;� -���� ;� ���� ;� -���� &0���-)
��� :� ��� ;� ���
3�� ���� ���� �� ���������� ���� ����������� �� ����� � �
�&�� �)� :������ ;������ ;������ ;����� &0���#)
&0��#A)
��
1 1 ,x y xy
Na b ab
= − − + 2 x xy
Na ab
= − &0����)
3 ,2
xyN
ab= 4
2
y xyN
b ab= − &0���0)
/� ���� -����� :� �� ������� :���� :���� :� B�� 3���������� �� ���� #����� :� ������ :���� :���
:�B��6� ��� �������� ���������������� �����->#�� 1y x
b a⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
� ��� ��� ������
������������ ������� ��� ��� ������� 3��� �� ���������� ��� �� ����� ��� ��� ->#�� ��� ��������� �� �� ��
�� :������ ;������ ;������ ;����� &0���<)
3���� ���� ����������������������� ������� &��������������� �� ����7����������������������)�� �����������������������->#� ��������������� ������ �� ���� ������������ ���� ���� �� ����������� ���� ����������� ����� ����� ������ ��� �������� � ���� ����� ���� ����������� ��� ���� !� ����� �� ���� ����� ������������� ��� ��������� ������� �������� ����������� �� ���� �� � �������� ���������� ������������ ���� ������ �� ������� ���������� ���� ��� � ��� �� ��� �������� ����� ������������������
��(�� ����������'�����������������
������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������� �����+�����0�-0��$������������������������$&�� �)��� ��������� ����� ������ ���������� ��� ����� �9
4
1
i ii
x N x=
= ∑ &0���=)
4
1
i ii
y N y=
= ∑ &0���?)
������ ��� ��� �� �� ��� 8���� &0��#)>&0��<)�
����� ���! $� (# ���� ��� �� ��������
$�(� (� �
�(� ��
� ��� (�
� ���� ��
"
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
$������������������������������$���������������������������������������������������������������������������� �����������������������L���������������M�$�� ����������� ���� �� ���� ��
1
1
2
1 2 3 4 2
1 2 3 4 3
3
4
4
0 0 0 0
0 0 0 0
u
v
u
N N N N vu
v N N N N u
v
u
v
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
&0���A)
"� ��� �� � ��� � ��� �� ����������� ��� ���� ���� ��� ��������� ������� �������� �����������/����� ��� ->#� &� :� �)�� ���� !������ �� ����� ������������ :� B� :����$������������ �������������������������������������������&���� ������������������������)�� �� ����������� ��� ���� ����� ��� ��� ->#� ��� �� �� ��
�� :������ ;�����
�� :� ����� ;� ����&0��0B)
����� ���� $� ����� �� �#�������� (# ���� ��� �� ��������
�/�� %�� ��� %��
�/�� ����� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�������
�������
�������
�������
"
# $
$������� � ���� � ��� �� ���� �� ������ ������������ ������ �� ������������ ����������� �� ��������� ��� ����������� ������� �������� ��������� ����
E������������� ������������������������������!������������������������>��/����� �� �!��� ��� ���������� ���� ���� ��������� �>�� ������ ���� ��� �� ����������� $���� ��� �� ������ ���������� �������� ��� ��� ����������� �������� ����� ��� ������� ��
{ }
x
y
xy
u
x
v
y
u v
y x
�
� �
�
⎧ ⎫∂⎪ ⎪
∂⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∂ ∂⎪ ⎪+
⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭
&0��0�)
�� ���� � ��� �� ���� �� ��� �� �� ��� ���� ��� ����� ������������ ����� ��� !�������� �� >� ���������� ����� ���� �>��� +��� �� ������ �������� ��� ������ �� ������ ���� ��������������� � ������ �� �������
f f f
x x x
� �
� �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂
f f f
y y y
� �
� �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ &0��0-)
6� ��� ����� 8���� &0���=)>&0���?)�� �� ��� ����� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� &�>�)� ������ ��� &>)� ����� ���� �� ���� ��� ������� $���� � ��
f f x f y
x y� � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂
f f x f y
x y� � �
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ &0��0#)
$����� ��� ������� � ���� ��
x y
x
x yy
� ��
� � �
∂ ∂⎡ ⎤∂⎧ ⎫ ∂⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ⎢ ⎥∂ ∂ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦
&0��0�)
���
[ ] x
J
y
�
�
∂⎧ ⎫ ∂⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ⎩ ⎭⎩ ⎭
&0��00)
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
��
[ ]
x y
Jx y
� �
� �
∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
&0��0<)
+���� 8���� &0���=)>&0���?)�
[ ]
i ii i
i ii i
N Nx y
JN N
x y
� �
� �
∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
∑ ∑
∑ ∑&0��0=)
6��� 102� ��� *�� �� ��� �� N�������� ����!� ������� �� ��� �� �� ��� �� ���������������$���������� !�������� ���� 102� ��� ��� ���� ���� -��� ������ ��� �� ������ ������������ ������!� ������������ �� ����� ��������������������� ������� ������ � ���� ������� ����������
+��� ���� ���������� ����� ���� !������ �� N�������� ��
[ ]2 1 3 4 2 1 3 4
4 1 3 2 4 1 3 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4
x x x x y y y y
J
x x x x y y y y
� � � �
� � � �
⎡ ⎤− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎢ ⎥− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
&0��0?)
+���� 8��� &0��00)�
[ ] 22 121
21 11
1
� �
� �
J JxJ
J J Jy
−
∂ ∂⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎡ ⎤∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
&0��0A)
�� ���� �� � ������ �� ������� ������ ���������� ��������
{ }
[ ]1
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 1 0
�
������B
u
xuuxyv
y v
xu vvy xy
∂⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫ ∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ∂∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ⎢ ⎥ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ∂∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭
⎪ ⎪∂⎩ ⎭
&0��<B)
6� ��� ����� 8��� &0��0A)�
[ ]2
22 12
21 11
22 12
21 11
0 0
0 0
0 0
0 0
B
J Juu
J Jx
J Ju uJ Jy
v vJ Jx J J
v uJ Jy
J J
�
�
�
�
���������������
⎡ ⎤− ∂⎧ ⎫∂⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥∂ ∂− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦
&0��<�)
+���� 8��� &0���A)�
131 2 4
1
231 2 4
2
331 2 4
3
31 2 4 4
4
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
� � � ��
� � � ��
� � � � �
� � � � �
uNN N Nuv
uNN N Nuv
uv NN N N
v
v NN N N u
v
⎧∂∂ ∂ ∂⎡ ⎤∂⎧ ⎫ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪∂∂ ∂ ∂∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪∂ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
&0��<-)
+��� ���� ����� ���� !������ �� ����� �������� ��� �� �� ��� �� �� ����� ��� ������� �9
1 (1 )
4
N �
�
∂ − −=∂
�1 (1 )
4
�
�
N∂ − −=∂
2 1
4
N �
�
∂ −=∂
�2 (1 )
4
�
�
N∂ − +=∂
3 1
4
N �
�
∂ +=∂
�3 (1 )
4
N �
�
∂ +=∂
4 (1 )
4
N �
�
∂ − +=∂
�4 (1 )
4
N �
�
∂ −=∂
$������������������������8����&0��<B)>&0��<-)�� �������������������������������� �����
:� 1#�2 4�5�
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
&0��<#)
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
{ } { } [ ]
x
ey
xy
B
�
� � �
�
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
&0��<�)
��� 1#2� : 1#�21#�21#�2�$�� ����������� �����������!� 1(2� ������������ �������� &��� ����8��� &0�A�))��$���
� �� � �� ���� �������� ����!
[ ]8 8
1 1
1 1
[ ] [ ][ ] = [ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
e T T
v
T
k B D B dv B D B t dx dy
B D B t J d d� �
×
− −
=
=
∫ ∫∫
∫ ∫&0��<0)
��� �� ��������� ������������� ���� ��� �*�� ���� ������� ���� �� �������� ��� �� �� ������� �� ����������������� ���������������������3����1#2� ��������� ��������� ����� �� ����� ����� �� ����� � ���*� ���� ���� ��� �������� ��� ������������������ ������������������������������������������� ����!����������� ����������� ��������� ��������� ������ ��� 3����� 0�0�
��(�, �����������'�����������������
�������� �� ����� �������� ���������� ���� ��� �� ����� ��� ��� ��� �� �������������������������������������������������� �����+�����0�-<��$�����������������������$&�� �)� ��� ��������� ����� ������ ���������� ��� ����� �9
i ix N x= ∑ � i iy N y= ∑ &0��<<)
(1,0)
(0,-1)
# �(� ��
�������
� ��� ��
" ��� (�
�
� �
� ��� %��! �(� %��
�������
�������
�������
��������������
�������
�����
�
"
�
!�
$
#
�%�� ��
�%�� (� $
�%�� %�� �
����� ���% $� ����� �� ������������ (# ���� ��� �� ��������
��� ������*��������������7���������� �������������� ����������������������������� ��������� ������������� &��)� ��� �� ����� ���� ����� �� ����� ��� �� ����� $�����������������������������$������������������������������������������������������ ���������� $��� ������������ ����� ��� ��� �� ��� 9
���������� ������������� ������������ �������������"����� &���� ����� �!� ����) O�������� &���� ���� ���� ����)O������� O�������O������� "����
$������������������ �� ���������������������������������� ��������� ���� ��������� ������ ��� ������ ����������� ��� ��*�� �� ����� �������� ���� �� �� � ����� ����������$����������������������������������������������� ���������������� ��� ��� ��������� ��������� ��� ������������ ��� �� ������ ���� ������ ��� �� �������� ��� ��� �� �� � ����� ������� � ���� ��� �� ����� ���� ��������� �� �� �������������������� $�� ����������� ����� ��� ������� �� ���� ��
1
11 2
2
1 22 1 2 162
16 1
0 0
0 0
�
u
vN Nu
uv N N
v× ×
×
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
…⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥…⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
&0��<=)
��� �� ����� ��������� ��� ������������ �*�� ����� 8���� &0�0�)>&0�<�)� ���� ��%�� ��� �������� ��� �� ��� ����� ���� �� ����� ���� ������������ �����
$�� ������������� ���������������� �������� ����� ���� 8��� &0��<�)�� ��� ���� ��
{ } { }
[ ] { }
1 3 4 2 4 4 3 4 163 1 16 1
16 13 16
[ ] [ ] [ ]
� �
�
�����������e
e
B B B
B
× × ×× ×
××
=
=&0��<?)
+��� ����������� ����������������� ����!������ ��N�����������������������
[ ]
8 8
1 1
8 8
1 1
i ii i
i i
i ii i
i i
N Nx y
JN N
x y
� �
� �
= =
= =
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
∑ ∑&0��<A)
$�� �������� ����� �������� ��� �� �� ��� �� �� ����� ��� ���������� �� � ����8���� &0�0�)>&0�<�)9
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
1 (1 )( 2 )
4
N � � �
�
∂ − +=∂
�1 (1 )( 2 )
4
� � �
�
N∂ − +=∂
2 (1 )( 2 )
4
N � � �
�
∂ − −=∂
�2 (1 )(2 )
4
N � � �
�
∂ + −=∂
3 (1 )( 2 )
4
N � � �
�
∂ + +=∂
�3 (1 )(2 )
4
N � � �
�
∂ + +=∂
4 (1 )( 2 )
4
N � � �
�
∂ + −=∂
�4 (1 )(2 )
4
N � � �
�
∂ − −=∂
5 (1 ) N
� ��
∂ = − −∂
�2
5 (1 )
2
�
�
N∂ −= −∂ &0��=B)
26 1
2
N �
�
∂ −=∂
�6 (1 )� ��
N∂ = − +∂
7 (1 ) N
� ��
∂ = − +∂
�2
7 (1 )
2
�
�
N∂ −=∂
28 (1 )
2
N �
�
∂ − −=∂
�8 (1 )
N� �
�
∂ = − −∂
�� ���� ��� �� !�������� ���� �� ���� �������� ����!� ��
[ ]
1 1
1 1
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
e T
v
T
T
k B D B dv
B D B t dx dy
B D B t J d d� �− −
=
=
=
∫∫∫∫ ∫
&0��=�)
����� ���� �� ������ ��� ������ ������� ��������� ��������� ������
��(�- $���������'�����������������
$��������������� �����+�����0�-=������������������������������������������������� ������ 0���<� !��� ��� � �� � ����� ������� ���� ��� �� ���� &� :�� :� B)� ��� ������$���������������������������������� ����� ������������������������������ $�� ������ ���� ������ ������� �� ���� ���� ��� ��� ��� � ���� ��� �� �����������������������"��������������������+������������������������������������"����������������� ��� � ���� �� ���� ��
5 21
1 5 1 2
( )( ) ( 0)( 1) 1( ) ( 1)
( )( ) ( 1 0)( 1 1) 2L
� � � � � �� � �
� � � �
− − − −= = = −− − − − − −
&0��=-)
���� ���� �� ���� �� ���� ��
8 41
1 8 1 4
( )( ) ( 0)( 1) 1( ) ( 1)
( )( ) ( 1 0)( 1 1) 2L
� � � � � �� � �
� � � �
− − − −= = = −− − − − − −
&0��=#)
$�� ������ ����� �������� ���� ���� �� ���� �� � �� ������� ��� ������� ��� �� ��� ������������� ��� �� ����
1 1 1 1
( ) ( ) ( 1) ( 1) (1 )(1 )4 4
N L L��
� � �� � � � �= = − − = − − &0��=�)
$�� ���� ����� ��������� ���� ���������� �� ������� ��
2 3 4
(1 )(1 ), (1 )(1 ), (1 )(1 )4 4 4
�� �� ��� � � � � �N N N
− −= + − = + + = + −
2 2 25 6 7
(1 )(1 ), (1 )(1 ), (1 )(1 )
2 2 2
� � �� � � � � �N N N
−= − − = + − = + −
2 2 28 9 (1 )(1 ), (1 )(1 )
2
�� � � �N N
−= − − = − − &0��=0)
$�� N�������� ����!� ��� ��������� ������������� ��� �� �� ��
[ ]
9 9
1 1
9 9
1 1
i ii i
i i
i ii i
i i
N Nx y
JN N
x y
� �
� �
= =
= =
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
∑ ∑&0��=<)
(1,0)
(0,-1)
# �(� ��
�������
� ��� ��
" ��� (�
�
� �
� ��� %��! �(� %��
�������
�������
�������
��������������
�������
�����
�
"
�
!�
$
#
�%�� ��
�%�� (� $
�%�� %�� �
����� ���' $� ����� �� ����������� (# ���� ��� �� ��������
2�����2 �(� (�
+��� � ���� ���� ,�������� � -�%���� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
���� ����� ���������� ����� ��� ��� ������� �
{ } { } [ ] { }1 3 4 2 4 4 3 4 183 1 18 1 18 13 18 [ ] [ ] [ ]
e eB B B B� � �× × ×× × ××
= =��������� �������
����� ���� ��� � � ������������ ������ ��� ��� ����� ���� �������� ��������� ����� �
[ ]1 1
1 1
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
e T T
v
T
k B D B dv B D B t dx dy
B D B t J d d� �− −
= =
=
∫ ∫∫
∫ ∫�������
���� �������� ������ � �!�� �!���� � �!����� �!������ ������"�� ��������������� ���������������������������" ������� ��#�� ����������" ��$���������������"�������������� �!���"��� ���!��� "�� ���� �"�� "�� � �" ��� %�� �� "���� � � ���� ���� ����� ��#� �����!���"��� � "� ��� ���� �"��"����������"�#�"��� �����&
��� ��� ��� � ��� ���� ���� � ���� �� � �����'�
���� $������ ����� �!���"��� �"�� ���� �����" �� �������� ���! �� �� �"��� �����"�#�"��� ������ (�
� �� � �����)�
��!��� �"��� ���� ��������� "��� �"��� ������ ���� �������#� �"�� ���� �"������� *! ����"�#�"��� �� �� +���� (��� ���� ������ � ��� ����� ���� %�� �������� ����� ��#� ��������� � �� ���������� � ������� ������ ��"� ��������� ��� �"��"��#� !�� � �� ��"� ����"��� ��#��� � � � ���������!��� ��"������������� "!���� ���� � ��!��"��"�����������#"� �������"��"�� ���� �������� ��!��"��
����� ����� ������������� � �
,� �#���� ����" �� ����!��� �������� �� ��"��� �� -�!��� ��.������� *! ���� ����� �!���"���� ��!��� �""� ����� ��� "���� � ��"�� /*��� ����)�� � � ������� �� �"��"��&
��� 0� ���.�� + ��� ��� 0� ���.�� + ��� ��� 0� ���.�� + ���������
��� 0� 1����� ��� 0� 1����� ��� 0� 1����
2�� ������ ��������������� ��� �"�� � ���� ���&
��� 3� ��� 3� ��� 0� �4�����
��� 0� �� +� ��� +� �� �����.�
5"�� �� ������ "�� ���� ���� ��� ������� ���� ����� �!���"��� �
��� 0� ��� +� ��� +� ������ +� .��� +� .���� ��� 0� 1����� +� ��� +� ���� ��� 0� 1�� ��� +� ��� +� ���
�����6�
���� �� � ��� "�� ���� ����� �!���"�� ��� � ��� �#
1 11
1 2
2 22
1 2
3 31 2 1 2
1 2
4 42 1
1 2
5 52 1 2
1 2
6 62 1 1
1 2
4 1, 0
0, 4 1
3 4 4 , 3 4 4
4 , 4
4 , 4 4 8
4 4 8 , 4
N NL
L L
N NL
L L
N NL L L L
L L
N NL L
L L
N NL L L
L L
N NL L L
L L
∂ ∂= − =
∂ ∂
∂ ∂= = −
∂ ∂
∂ ∂= − + + = − + +
∂ ∂
∂ ∂= =
∂ ∂
∂ ∂= − = − −
∂ ∂
∂ ∂= − − = −
∂ ∂
�����1�
���� 7�"��� �"�� ���� �"�������� �������� �� � ��� �#
[ ]
6 6
1 11 1
6 6
2 21 1
i ii i
i i
i ii i
i i
N Nx y
L LJ
N Nx y
L L
= =
= =
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥
∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
∑ ∑�������
����� ��� � ��� ������ ����������� ��������
�
�
�
�
�
�
��
�
���� � ���� ���� ��������� � ������� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
���� ����� ���������� ����"�� 8�9� ��� ��� ������� �
{ } [ ] { }3 1 12 13 12
eB� �× ××= �����:�
�����
[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 33 12 3 4 4 4 4 12 B B B B× × × ×= �������
������8��9�� �8��9���� ���������� ��"���� ��� ��/*��� ����:)�+����:����� �8��9� ��"���� �
[ ]
3 5 61 2 4
1 1 1 1 1 1
3 5 61 2 4
2 2 2 2 2 2
3 3 123 5 61 2 4
1 1 1 1 1 1
3 5 61 2 4
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
×
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎢
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢⎢
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎢⎢ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢⎣ ⎦
N N NN N N
L L L L L L
N N NN N N
L L L L L LB
N N NN N N
L L L L L L
N N NN N N
L L L L L L4 12×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
����������� �������� ��������� ����� ��� ��� �������� � �
[ ] 11 1
1 20 0
[ ] [ ][ ] = [ ] [ ][ ] Le T T
vk B D B dv B D B t J dL dL
−
−= ∫ ∫ ∫ �����'�
������ ���� ���� � �!�"�� "�� ���� �������� ��� ��� "��� !���� �!����� ������"�� �!��� �����!��� �""� ������2�� "���� �� ���� ������� ��� ����� �"� ����� ������� ���� ����� "�� ��� ��)� ��� ������ ���� �+�� ��� � �� �� ��� "�� ���� ����!��� "���� ��� ���� �������� )� � ��� +� ����
2�� � �� ��!��� � ���� �"��!��"�� "�� �� ���� ��"� ����"��� ��������� �"�� ���!��!����#��� �!��"���� ����� ��!��� �""� ����� � � �"�������� �"��!��"��� ���� ��"�� !��� �"� �� �"�� "�� �������� ����������� ������� �� ���#� �#������� � � ������� �"�"��!�����"��� 2���� ��� � �� ��!��� � ����� � � *! ���� ��������� ���� ��� �"���"��"��#� !�� � �� ����������� ��� ����� � ���� ���� ��"�� !��� �"� �"��!���� �!��� "�� *!���"��"�����������"� �������������/������ �� �"��"������������ ������������*!����� "!��� ��� �"";� �"�� ���"����� �������� �"�� �!������ ������"��� ����� ���� �"�� ��� ��!��� �
��� ������� ����������2����������� ��!����!������������"����"��� ����"��� ����������� �������������"���" ����"����<"�� ��� ����� �!�"��"�� ���� �"��"���� ������&
2
1
( )x
xI f x dx= ∫ ����')�
������"����������������"��"������������"����������������#����"� ���������������!� ������ �!� �� � ���� �������� ���� ����� ��� � � ���� $��� ���� �!���"�� ��� ;�"��� �� ������� �"���� ������������ �����"����������������"���!������������"�������������(" ���!���� ����5���"�=�� �!���� ������ ��� �"�� �!����� �
����� ���� ����������
$��� � ������� ���� "�� !��"���#� ���� � �"���� ��� � � ���� �"�����"� ��� �!��� "�� ���� �!���"�������� ����%�������������������!������������!���"���� �#��������#������������������� ��"��� �� -�!��� ��.'��2�� ;�"�� ���� ���� ��� "�� ���� ����(!����� �� � ��� �#
����� ���� ������������ ����� ���� ���������� ������������
� ��
� �
� ���
� ���
�� ��������
� �
�
�
!
"
,������ 0� 1
2i if f
d−+����'��
���� ��� !� ��� ���� �!� �� �� ����� ���"���� � �� ���� �!�� "�� ���� ���� "�� ���� ����(�� � ��� � �� ���� ��!���� ��!�� ��� � �
1 12 3 1
1
( ) ( )
2 2
ni i n
ni
f f f ff x dx d d f f f�−
−=
+ +⎡ ⎤≈ = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∫ ����'.�
-"�� ����� !���� ��� �"�� ������� ���� �"��!�� �
1 2 2 11
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
n
n n i ii
d df x dx f d f d f d f f W f� −
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑∫ ����'6�
��������� ��� ���� ������� �"�����"� ��� �"� ���
#������ � $�%����� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
����� ����������� ����
%�� ���� �������� ���� � "�� ����� ���"���"��� ��� !��� � ���"��� ���"���"�� �"�� ����!���"������� ���� �������� �� ��"��� ��-�!��� ��6)��2�� ��� �� � ���� ��� !� ��� ���� �!� ��� "��� �!��� �������� �� �"��"��&
����� ���� ������!�� ��� �"���� ����� ���� ���������� ������������
� ��
� �
� ���
�� ��������
� �
�
!
�
�
&
"
'
�
,��� !� ��� ���� �!� ����� 0� ,����� � 3� ,������ ����'1�
,����� � 0� 1 11 1
(2 ) ( )
2i i
i if f
d d f f− +− +
+⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎝ ⎠����'��
,��� ���� 0�2
3� ���� ������� 0� 1 1 2
(2 )3 2
i ii
f ff d− ++⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
����':�
��!�
,��� "�� "��� �������� 0�3
d� ����� 3� 1��� 3� ���� ����'��
�"��� ��� !� ��� ���� �!� �� 0�2 3
n
i
d
=∑ ������ 3� 1��� 3� ����
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 3 15 6 5
3 3 3 3 3n nd d d d d
f f f f f−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�
����'��
��!�� "!�� ��"�� !��� �"�� �!������ ������"�� �"������ "�� ��"� ������ ������� (��� ����� "��!� ���������������������"����������"�������!���"�������������������� ������� �!������ �"��� ���� � � �������� ���� ���!��� �� � ������� �"��!�� "�� ���� �#��
1
( ) n
i ii
f x dx W f=
= ∑∫ ����''�
�����!������������"����������"�!���#�!�� �����������������"��!��"�����;�"���� ��������������������������� �� ��������#���� �"�� ����� ������2������ ����� ��!��� ���>���"�+<"���� �"��!�� � � ����� �������� ���� ?!��� *! ��!��� �!���� �"��"�� � �#� � ���� "���������� %�� ��� "�� ���� ���� � � �����"�� �� ����� �������� �"��!��"��� !���� ��!���""� ������ ��� ����� �;��� ���� ����� "�� ������"�� �"� ��� +�� � � ��
���� ! "��#$�� ��%������
$��� !�� �"�� ��� ���� � �!�"�� "�� ���� ������
1
1( ) ( ) I x f x dx
−= ∫ ���.))�
�����������!��� ���� ���� �!���"�� �!��� ��� �� �"��� � ������#� ���� ������0����.��@����� ��;�"����2�� ����� ���"����� ���� �!���"�� � ���� !���� � �"�#�"��� ����� �
� ���� �� ����� 0� �� 3� ���� 3� ����� 3��� 3� �����
��� ���.)��
<"�� ����� ���� �� �� 0� ���� ������ 0� ���� ��� ���� �*!�"��
2 10 1 1 2 1 1 1 1
2 10 1 2 1
nn
nn n n n n
c c x c x c x f
c c x c x c x f
�
� � � � ��
−−
−−
+ + + + =
+ + + + =���.).�
%���������������� ���� ���� �����/*��� ���.).�� ��� ������ ����� ������� �*!�"��������������� �#��"� � �!������"���������� ����?!��������"���2����!�� �� �����*!�"��� ��� !�;�"����� ����� ��� ��� !�� � �"� �"� �� �"�� ���� �"��������� ��� ������� ����� �� ������ "�� ����!���"�� �!��� ����,��!���������������"���������� ������� ������� ��������� �!��������������
1 1
1 1 ( ) ( )I f x dx g x dx
− −= ≈∫ ∫ ���.)6�
4"�� ���
1 12 1
0 1 2 11 1
( ) ( )� nng x dx c c x c x c x dx−
−− −= + + + +∫ ∫
� � � � � � � � � � � �
12 3
0 1 2 1
1
2 3
n
nx x x
c x c c cn−
−
⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥
⎣ ⎦�
� � � � 0 2 42 2
2 0 0 3 5
�c c c= + + + + + ���.)1�
#������ � $�%����� ��
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
%����� �!����!��� ���� �!���"�� ���� �"��������� �� ���� �������"������"���� � �"��!��"����� �#��
�� ���� ��� 3��� ��� 3��� 3��� �� ���.)��
����� ���� �"��!������� � ����>���"�+<"���� �"��!���"!��� �!�"��"�� ���� ������������� ����� �� ���� "����� �!���"�� ����� ����� �#� �"�#�"��� !�� �"� ������ � + ���4������� � ���!�� � ���� �� � ��� �"��"��� �������� �"����� ���� ���� �!���"�� �!��� ��� ��� ;�"���� 4"� "����;�"���������� ����A�"" B� �"��"��� �"��������� ���� �!���"�C�����?!���*! ��!���"��!�� �������� �"� �� � ���� �"��"��� "�� ���� ������� �"���� ��� ������� �� ���������� ���"������2�������"�� ��!��� ���� �����"�� ���� ������������ ���"��"��#�!�� � �� �������������"��!��"���
����� &�����'�������� �%������
$��� �����!���"��������"���� ��#���"�#�"���"�� ������������������"��"�����"!� �� �������
����� �� ����� 0� �� 3� ���� 3� ����� 3��� 3� ���
� ���.):�
���� � �!�"�� "�� ���� ������� ��� ��� "��� �� �"��"��&
� � � �1 1
10 2 4
1 1
2 2 ( ) ( ) = 2 [1 ( 1) ]
3 5 1� p pc
I f x dx g x dx c c cp
+
− −= ≈ + + + + − −
+∫ ∫ ���.)��
,�� ���� "!�� ������� �"��!��� ��� ������� �"� �������� ���� ������� �� ���� �"��"���� �#&
�� ���� ��� 3��� ��� 3� �� 3��� �� ���.)��
����� /*�� ���.):��� ��� ��� ����
21 0 1 1 2 1 1
22 0 1 2 2 2 2
20 1 2
( )
( )
( )
pp
pp
pn n n p n
I W c c x c x c x
W c c x c x c x
W c c x c x c x
≈ + + + +
+ + + + +
+
+
+ + + + +
�
�
�
�
�
���.)'�
<"������ ���� �"��������� "�� ��� ���� ���� @� �� /*��� ���.)��� � � ���.)'��� ��� ��� ����
1 2
1 1 2 2
2 2 21 1 2 2
11 21 2
2
0
2
3
1
[1 ( 1) ] 1
n
n n
n n
p p p pn n
W W W
W x W x W x
W x W x W x
W x W x W xp
�
�
�
�
� +
+ + + =+ + + =
+ + + =
+ + + = − −+
���.�)�
�������*!�"����������"� � ��"�� ���� �"��"���"�� ������������"���������0����.��@� ��� � ���� �"�����"� ��� ������ ���"�������� 0� ��� .��@�� ���� %�� �� ��#� �"� ���� ���� "!�� �!����"�� !�;�"���� � (��� .��� � � �*!�"��� ����� � �� 3� ��� ����� �����#� ����� ���� �"�#�"�� ������ �� �� �!��� ���
�� 3� �� 0� .�"�
� �� 0� .�� +� � ���.���
%�� "����� �"� ��� !���� �� ?!��� ������� �"���� �� ������� � �" ��� ��� ��� � �!��� �������� �����#� �� ���� ������ � �!���"�� � ���� �� ��"�#�"��� "�� ������ ����� ����"�� �*!�� � �"�.� + ���� ��!��� ���� "����"��� �!���� ��� ��� �������� � ����� �"�#�"��� �����#�� ����� �����"��"��� �!������ ��� �������� !�� �"� �!��� �"�#�"��� �����#�� %�� ������� !���� ��� "���� ����� ������"������������������������������� �� ������ �� ������"� ���"��?!���*! ��!���!���� ,�� �"���� � �"� ���� >���"�+<"���� �"��!��� ��� "���� �� ����� �"�� � � ��� �!����� "���������"���������?!���*! ��!����!�����������#����������!��������� �������"�#�"���
2�� �"�� ���� ���� ������� �"���� � � ���� ������ ���"��� �"�� ?!��� *! ��!��� �"�� "��� ����"��� ���� ������� ����
��#��� ��$ �������� %������ ���� &���"��� ���� '����� (���������
)�������� ��� ��������� ������ �� &���"�� �������(�
� �
�1
3+ �
1
3− �
� + 0.6 ���
��
0.6− ���
� �� ������ ���� �� �������� � ���������������� � ����������� � ������ ���� �� ��
%������#��"�"���� ����������������!������ �!���"��������������"����� �������������"���� "���� � �� � �"�!�"�� "�� /*�� ���.�)��� ���� � "�� ���� ������"�� ���� ��� ��!�� ����"��!������� � �� ��"���������� ��+���"����;���������� �������������������"��!��"��!������!����""� ������%���������� ���� ��������������� ��"�����"��������"����������"�� �""� ����� �!��� ���� ���� ����� ���#����� +�� � � ���2������ �"�� ��!������ ���� !��� "�� ����"��!�� ���"!��� ���� �"��"���� ��������
������� ���� � � �!����� �"�� �������!
( )12
1 2 I x x dx
−= + +∫ ���.�.�
#������ � $�%����� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
%������#��"� ���#����������� �����������"��"���������"���!������������������ ��"�����*! ����������2������"����"!�����"���"���"����������������"���� ���"��"���?!��*! ��!��� �!���� � � ��"�� ���� ���� ��"��"��� �!��� ���!��� ������� ���� ���� ����� �"�!�"��
-"�� � "����"��� �!���� ��"�� ����� ����� ��� � �
��� 0� )� ��� 0� .4�����
�� �� .�.� 3� )� 3� )�� 0� 1 ���.�6�
-"�� � ��"��"��� �!���� ��"�� ����� ���� ��� � �
��� 0� 31
3� ��� 0� �
��� 0� +1
3� ��� 0� �
������"���
1 1 1 1 (1) 2 (1) 2
3 33 3I
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠� 0� 1�:::� ���.�1�
���� ����� �"�!�"�� �� ���#� ���� � �"� ��
( )1 12 2 31
1 (2 ) 2 /3 4.6667I x x dx x x x −
−= + + = + + =∫ ���.���
������� � � � �!����� �"�� �������!
1
1 cos
2
xI dx
�
−= ∫ ���.�:�
���� ����� �"�!�"�� ��� ��� �� �#� "���� � �� �"��"��&
1
1
sin 1.273239544
2 2
xI
� �
−
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠���.���
-"�� ���� "����"��� ?!��� �!���
( )(0) 2 cos 2
2
�I
⎛ ⎞≈ =⎜ ⎟⎝ ⎠���.���
-"�� ���� ��"��"��� ?!��� �!���
1 1 1 cos 1 cos
2 23 3
� �I
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−≈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���.�'�
0� 2 cos 1.2323812 3
�⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠���..)�
-"�� ���� �������"��� ?!��� �!���
( )5 8 5 cos 0.6 cos 0 cos 0.6
9 2 9 2 9 2
� � �I
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � � � � � � � � � 0� ��.�1�.6��1 ���..��
2��� � �"!���"��� ?!��� �!���� ��� ���
(0.347854845) cos (0.8611363)2
I�⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠
(0.652145155 ) cos (0.3399810)2
�⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
(0.652145155) cos ( 0.3399810)2
�⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
(0.347854845) cos ( 0.8611363)2
�⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠0� ��.�6..'�)� ���...�
5�������������� ����"����������"�#�"����"!���!������������������ ���� ���������� �"�!�"�� �!�� ���"������ ���#� ����� ����� �!������� �!����� "�� �"���� ��� �;���
����� &�����'�������� ����"��(�� ����
2�� ����� ����� ��!��� ��"� ����"��� �!���� ���"����� �"�� *! ������� ����� ��������� � ����� �������� ������"�� �!���� �"�� ����!��� ���������
-"�� ��"� ����"��� ������"��� ��� ��� ����
1 1
1 1
1
1
( , )
( , )
( , ) ( , )
i ii
j i i j i j i jj i i j
I f d d
W f d
W W f W W f
� � � �
� � �
� � � �
− −
−
=
⎡ ⎤≈ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤≈ ≈⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∑∫
∑ ∑ ∑ ∑���..6�
��!�� ��� ��� "���� ���� �������#� ?!��� *! ��!��� �!��� ����#� �#� �;��� �����" !��� "�� ���"����� "��� ����"��� �!�������!��� � �.��� .��?!��� �!����"!� � ��� �� ��"���� -�!��� ��6��
1 1 1 1 1 1 (1)(1) , (1)(1) , (1)(1) ,
3 3 3 3 3 3
1 1 (1)(1) ,
3 3
I f f f
f
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −≈ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞−+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
���..1�
#������ � $�%����� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
5����#�� � �6� �� 6�� �!��� �"!� � ��� �� ��"��� �� -�!��� ��6.�� ��!��
1 2 3
4 5 6
7 8 9
5 5 8 5 5 5
9 9 9 9 9 9
5 8 8 8 5 8
9 9 9 9 9 9
5 5 8 5 5 5
9 9 9 9 9 9
I f f f
f f f
f f f
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���..��
����� ���$ �������� ������� ���� �� �� �� �� '����� *���������� �����
�
�
1 =
3� − 1
= 3
�
����� ���� �������� ������� ���� �� �� �� �� '����� *���������� �����
= 0 .6 �
= 0.6 � −
= 0�
= 0.6� = 0�
�
�
1 =
3�
1 =
3� −
= 0.6� −
4 3
21
7
4 5 6
98
1 2 3
%�����"���������#���������;�����������!�����"���"�����"����"������ ��� ����"���-"�� �������� � �.� �� 6�� �!��� �"!� � ��� �� ��"��� �� -�!��� ��66�
� � � 1 2 3 4 5 65 5 8 8 5 5
(1) (1) (1) (1) (1) (1)9 9 9 9 9 9
I f f f f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���..:�
����� ���� �������� ������� ���� �� ���� '����� *���������� �����
= 0.6 � −
= 0�
1 =
3� − 1
= 3
�
�
�
���� ?!��� *! ��!��� �!���� ��� ��� ������ ��#� !�� � �"�� ����� �������� �"��!��"���<"�� ��� ������� ��� � �"� � �!��� ���� �"��"���&
1 1
1 1[ ] [ ] [ ][ ] � �e Tk B D B t J d d
− −= ∫ ∫ ���..��
����� ?!��� *! ��!��� �!��� ��� ������� ���� �*!�"�� �
( )[ ] [ ] [ ][ ] e Ti j
i j
k B D B t J WW= ∑∑ ���..��
������ ��� ���� ����������� ���� ����������� ��� � �!�� � �� ���� ���������� D������� ������� ������"������!�����"��?!����"������� � ����� �"��������������"�#�"��������������� ������������ ���������� �#�� �!����������������������������"�����"� ����"����������" ��"���� ���"�� ��� � �!�� � �� � ����� ������� >!������ ������"�� �"�� ����!��� "����"��"����������������4"�� ������� "��"�� �;�� ������" !���"��?!���*! ��!��� �!��� �� ��" ����"���� %���� �� ��� ����
11 1
1 2 1 20 1 ( , )
L
i iI f L L dL dL W f�
�
� � �� � ���..'�
5 6
43
1 2
#������ � $�%����� ���
= 0.6 �
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
���� �"��"��� "�� ���� ������� �"���� � � ���� �"�����"� ��� ������� ��� � ��� ������ ��.� � � ��� ����� � �� -�!��� ��61�
�
� �
��������������
��� ���������� ����
����� ���+ �������� ������� ���� ���������� ������������ �,��� ����������� ������� -��#��� ���.�
��#��� ��� '����� (���������� %������ ���� &���"��� ���� ����������� /������
)�0��� ��� ������ )�������� ��� ��������� ������ &���"�� �������(
� *�� � ���*�� � ��� �*�� � ���
� ������ ����� ��������� �� ��� ������ ����� ��� ���
� ����������� ��� ����� ����� ���� �� ���� ����� ���� �� ���� ����� ���� �� ����
2�� � �� �"� ��� ��!��� �� �� ����� ���� �"��!��"�� "�� �������� �� ��� �*!�"��� � � �!�"�� "�� �������� ����������� ������� ���"!��� �!������ ������"��� ������ �������������� ��� ��� ������� � �"������� �"� �"��� ���� ��"��� �#����� �� ��� �������� �� � �����
�
��
�!� "���������� ����
����� ���� ��
����� ���� ������� ���� ��
����� ���� ���
�
�������� �����
������ �� ��� ��� ����� ���
�#� $%���������� ����
����� �"� ����������#���"�� !���!�� � �"��"��� ����"�����"�������E��"�����������!��#!��� ������ ��������� �"� �"� �� �"��� ������� ��"������� ��� ��� � �"� ��!��� ��"� �"��� ������� (��� ��"��"����� ���� �������� � �"!� �#� �"� �"��� � �� ���"� �#�� ���� �"�!�"�� "�� �#������ ��� �*!�"���� %�� ���� ����"��� ���� �"��"��� ��� ���� ��!��� ������ ��"� ��!���
��� ����������� �� �������� ��������$��� ���� �#����� �� ��� ������� � �*!�"��� ��� � ��� �
{ } { }1 1[ ] n n n nA x b× × ×= ���.6)�
%�� �������� � �"���� ��� �#� ��� �������� � �"� ��� (��"� ������ � ��� � �!��"��� "�� � ���!��!���� "��"�(��"���������������� ������������!�����,�������� ���#�"��������������������"!� �#�"� �"�����"�� ������ ��F���������"������"���������"��8�9�� �G#H��������������" �#���� � � #�� �
ii ii pa a a= + ���.6��
i p ib a x= ���.6.�
��������� ������ �������#��!������ � ix � �� ������������ � �!���"����� � ix ��#�"���#��"����(��"�����!��"!������" � �� �"� ����#� ��������������#�� �#��� ix � � � ���� �"� ���������� �"��� �"�������� ����� %�� ��� II� ���� � $� 0� ��� .�� ��� ���� ���� �*!�"�� ���� ��������#� � ���� �� ix �� ���� ������ ���� �!�� "�� ���� ���� ��"���� "!�� ���"�������� "�� ���� �"������� ��� 0� ix ��#����#�����0��)
��+��)���������������" � ����#� �"� ��������� ����"��!������"���J� �����;�� ���� "�� �������� � (��"K�"�(��"� �"�������J� "��� �"�� � "� �� �#� ������������ "��"��������� �� 8�9� "�� G#H��4"�� ���� � ���������#� �� � �"� �!������ ���!����� �� �"�!�"��,�������������� �� �"� �;������"���������� �(��"��"!� �#��"� �"�� �� �"� ��"��"���� ������� ���� "�� ������#� ������� ����� �� � �"���� �� �������� � �"� ��� (��"�� � "� �"�� �������� ����*!�"��������������"��� ��"�!����������������L�,��"����!�����"����#�"���������������� ������� �"�(��"� �������� � �"!� �#� �"� �"�� �� �� �"��"���� <"�� ��� ������ �*!�"��� ������� !�;�"���� �
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + =
+ + =
+ + =
� � ���� 1x � 0� 1x ��2�� ��� ������� ������ �*!�"��� �
1 1
22 2 23 3 2 21 1
32 2 33 3 3 31 1
x x
a x a x b a x
a x a x b a x
=
+ = −
+ = −
��!���"!���������������#��� �"��;������0���� ����"������"��������� �� �����"��� ��"�!���"� ��� (��"��,��"�� ����F45� G#H� ���" �� � �
$���+������� ��� !������� "������� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
{ }( ) , 1, 2, , j ji ib a x j n�− = ���.66�
���� ���� �������� �� G#H� �� ����#� �;��� �� ix �� ���� ;�#� �� "�� ���� ����" � �� ���� ���� ����*!�"����� ���"��� �����#������0� ix J������ �!�� ix �����!��� ������"������*!�"���� �;��� �"� ����F45������ ���"��������"�� ���� �"����������0� ix � �� ����� � ��"�� ���"����� ��� ���� �����#�����" �
��� ������� �� ���� �������� ������������ ������� �"��� "�� ���� ����� �������� �*!�"��� �� ����� ����� ��#��� �� � ��� �#
{ } { }1 1[ ] n n n nA x b× × ×= ���.61�
%���#������������������" ����"���"�����������������"��������������!�����"���������������*!�� ��4����������(��"�������������� (�������!�!��#� ��#�������������������������" ������� �� ���� ��"!�� � �"���� ��� �"!����#� !�� �� ��!��� �"��!��"���#� �������� �"�!�"���"������������!�������"��� �"�����������������"��������;������"����"������"� ����"�!�"�� "�� /*�� ���.61�� ��� �"�����M ����� ����" � � � ���� ���� �� ����" ��� ���� �����"�!�"�� ����" �� ��� ��������#� ��� � "�� �� �"��� ?!��� �����"�� ������#��,�"��� ������� ������" ��� ����?!��+5� ��� � � ���� �"�N!������ ��������" � ���������"� �"������� �"�!���� 2�� ���� ��!��� ����� "��#� ?!��� �����"�� ��� � ����� ����" ��� %�� �#� �������� � ����� �� ���� ���� ?!��� �����"�� ��"������ ���"!��� � ������ "�� "����"��� "�� ���������� 8�9� � � G#H�� ��� �� �"� �����"��� /*�� ���.61�� ��"� ���� �"��"���� �"��&
11 11 1
22 2
33 3
1, 1 1,
0
0 0
0 0
n
n
n
n n n n
nn
a a a
a a
a a x b
a a
a
− − −
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
� � �
� � �
� �
�
� � �
���.6��
���� �"������������� �� ���� �"��� �� � ������ !����� ����!��������� ���� ���� �"�� �/*�� ���.6��� �� �
nn n na x b= ���.6:�
��!��
/n n nnx b a= ���.6��
-�"�� ���� ���!������ �"��� ��� � �
1, 1 1 1, 1 + n n n n n n na x a x b− − − − −= ���.6��
5!����!���� �"�� ��� ��"�� /*�� ���.6��� ��"� /*�� ���.6���� ��� ��� �� � ������ ����� ��� � ������ ��� ��� �� � ������ � � �"� "�� ���"!��� ���� ��"����� "�� ��;�� � �!����!�"��
2������������"�������������������*!�"�������"���� �����������"�(��"������������8�9��� ��!����� � �"!� � ���� ������� �"��� �� ��"��� ���"��
�������������"�� 8�9� ���#"� � � ����������� ������ �(��"�� ������(��"� ���"!��"!�� ���?!��� �����"�� �"�!�"�� ��"������ ��!�� �� �� !��������#� �"� ��"��� � � "������ "�� ��������������
,� �!������ ����������� "�� ���� ����� �������� �"�������� ������� �� �#���� ���!��!���������������"������#�����#�� ��"�� �� �������������������������� �!���"��8�9����"�� ���� -"�� � �#�������� �� � � 8�9�� ��� ��� � "��#� ��"��� � � "������ "�� ���� �"�(��"��������� �"���� � ����� ���� �� � ���� �� ��"��� ���"��
0
0
× × × ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥× × × ×⎢ ⎥⎣ ⎦ 0
× × × ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
&��'(�'�%
� �� � �� ,
)�* )��*
+������(�'�%&��'(�'�%
0
0
× × × ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥× × × ×⎢ ⎥⎣ ⎦
�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ��
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
5���� #� OO� ��� ���� � ��� �� �"��!���� ��"���� ����� � � ��"� �!������ �"��!��"��� �"!� � �������� "!���4"�� ���� ���� ����� �"�� � �!�!��#� ������ �"��!���� ��"���� �"� ;���� ���;� "�� ����"�����"� ����� "�� ��������� �� ���� "����� 8�9� � � 8��9� �������� ���� ;�#� ��� �� �!��� ��"���� ��&
� ���� ������� �"��� �� 8�9� �� ���� ����� �"�!��� �� 8��9�� ���� ����� ��� 0� ������ ��� �"��� 0� ��� ��
� 5����#�� �"�� $�0� �� �"� ���3��� � ���+�������% $��0���� ���������������� ���� � ��� ����"��� ��"�� �� �"� �� � ���
� -�"�� �#�����#�� �� $���� 0� ���� $��
-"�� �#�������� �"�� �� ������� �� � ������ 8�9�� ����?!��� �����"�� �"�!�"�� ����� ������ ��#� ��������� � � ���"!��� <�"���;#� ���"���"�� ����� �� �"�� ��!��� �
��������� ����������
4���� ��� �� �"� ���"���� ���� � ��� �"�������� ����� �
[ ] [ ][ ]TA L L= ���.6'�
������ 8�9� �� � �"���� ����!��� ������ ����
11
12 22
1
0[ ]
n nn
L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�
� �
� �
� � �
���.1)�
%�� ��� ����"��� ���� �!������"�� 8�9� 8�9�� � � �"����� �"�������� �#� �"�������� ������������ �� 8�9�� ��� ���� ���� �������#� �*!�"��� �"� �� � ��� &
211 11 11 11 � �a a= ⇒ = √
111 1 1 1
11
, 2,jj j j
aa j n= ⇒ = =� � �
�
2 2 212 22 22 22 22 12 � � � �a a+ = ⇒ = −
2 12 112 1 22 2 2 2
22
, 3,
� �� � � � �
�j j
j j j j
aa j n
−+ = ⇒ = =
2 2 2 2 213 23 33 33 33 33 13 23 ( )a a+ + = ⇒ = − +� � � � � �
3 13 1 23 213 1 23 2 33 3 3 3
33
( ) , 4,
� � � �� � � � � � �
�j j j
j j j j j
aa j n
− ++ + = ⇒ = = ���.1��
��!��� ��� ���� �"��������� �� 8�9� ��� ��� ������� ��2�� � �
[ ]{ } { }A x b= ���.1.�"�
[ ][ ] { } { }TL L x b= ���.16�
���
[ ] { } { }TL x y= ���.11�
4����
[ ]{ } { }L y b= ���.1�����
11 1 1
12 22 2 2
1
0
�
� �
�
� � �n nn n n
y b
y b
y b
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
���.1:�
���� ����� �"�� � ��
111 1 1 1
11
b
y b y= ⇒ =�� ���.1��
� � ���� ���"� � �"�� #�� �
12 1 22 2 2 + y y b=� � ���.1��
5!����!�����"��'����"��/*�����.1������������ �'��� ���"�"������'�����"!���������"����"�� A�"��� � �!����!�"�B�� D���� G'H� �� �"!� �� ��� !��� ���"�� /*�� ���.11���
11 12 1 1 1
22 2 2
0
n
nn n n
x y
x y
x y
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
� � �
�
�
�
���.1'�
/*!�"�� ���.1'�� � ��� ��� � � ��� �� � ������ �������� ��� ���"!��� ��;�� � �!����!�"����!�� ���� <�"���;#� ������� "�� �"�!�"�� �� �� ������ �����&
(���� )&� � <�"���;#� ���"���"�� [ ] [ ][ ]TA L L= �
(���� *&� � -"��� � �!����!�"�� [ ]{ } { }L y b= �
(���� +&� � E�;�� � �!����!�"�� [ ] { } { }TL x y= �
�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
%�� ���� ��!�� ���������"�� "�� � �� � � ������ ���� �"��������� ������ "!�� �� ����� � ��� ��� (��"� � � ��� ������"��� �� ��� �"��!�� �� -"�� � ����� [ ]b n bA × � �(��� 8�9� �� ��""���(�� �����#��� %�� ��������"��� ���� ���� �"����!�����"�� ��"�����"���"����"��� � "� � � ����� �" �� ������ ������ �� ���"�����#� 2( / 2) 2nb nb⎡ ⎤+⎣ ⎦�� ������ ���� <�"���;#� ���"���"��;��� ��#�K.�� ��"��� � � ���� "�� � ������ .� � � 6� �;��� ��#�� ��"���� -"�� � � ��� ����� ����� �� �� ����������" ���!�������������� �������� � ���#�� ������"��!��"������"��� ���� ���������#� "��#�� 4����� �� �������� �"�!�"�� ������#����� ��*!��� ���� �� � ��� A#B� ��� ������ �� �"������� ��!�� �������� �" �� �!������� ��������� ����� "���(�� ���� ���!������ � ���� ��� �� ������� ���� "�� �#� ������"����"�� �� � �#���� ����� �������� �"�������;����2�� ���� �"�� �������� � ���� ������� ��"������
������� ��� �!!�������,�� ,�� ���� ,�� #�!������ ��������!��� �!�-���&� 2�� ���� �"� �� "� �����"�����"��/������������!�����������!�����������������!���������������������"����-�!�����6���������"��!��"����������� ������������ �"���.���.�?!���*! ��!����,�����������"�� �"���� ���� 7�"��� � � 8�9� ��� � ��� �� �"��"��&
���������� ���� ��� 0� +�K�6� �� 0� +�K�6
2 0[ ] , 3.0
0 1.5J J
⎡ ⎤= =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
0.197 0 0.197 0 0.0528 0 0.0528 0
[ ] 0 0.263 0 0.0704 0 0.0704 0 0.263
0.263 0.197 0.0704 0.197 0.0704 0.0528 0.263 0.0528
B
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
���.�)�
��!,
��!, ��-�,
��
��
����� ���� �"��� ������ ������ �������� �������� -1������� ��+.�
���������� ���� ��
�� 0� +�K�6� �� 0� �K�6
2 0[ ] , 3.0
0 1.5J J
⎡ ⎤= =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
0.0528 0 0.0528 0 0.197 0 0.197 0
[ ] 0 0.263 0 0.0704 0 0.0704 0 0.263
0.263 0.0528 0.0704 0.0528 0.0704 0.197 0.263 0.197
B
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
���.���
���������� ���� ��
�� 0� �K�6� �� 0� +�K�6
2 0[ ] , 3.0
0 1.5J J
⎡ ⎤= =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
0.197 0 0.197 0 0.0528 0 0.0528 0
[ ] 0 0.0704 0 0.263 0 0.263 0 0.0704
0.0704 0.197 0.263 0.197 0.263 0.0528 0.0704 0.0528
B
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
���.�.�
���������� ���� ���� 0� �K�6� �� 0� �K�6
2 0[ ] , 3.0
0 1.5J J
⎡ ⎤= =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
� �
0.0528 0 0.0528 0 0.197 0 0.197 0
[ ] 0 0.0704 0 0.263 0 0.263 0 0.0704
0.0704 0.0528 0.263 0.0528 0.263 0.197 0.0704 0.197
B
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
���.�6�
���� ����������������� 89� ������ ���� ���� �� ���"��� ����� /*�� ����.6���� ���� ���������������� ����� �� � �!�� � �
2 2
1 1
[ ] [ ] [ ][ ]e Ti j
i j
k B D B t J WW= =
= ∑ ∑ ���.�1�
,��������"����� �!���"��" ������ ���� ������"���"������������ ������������ ������������� �� �"��"��&
�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
�������� ��������� �����
7
0.891
0.357 1.17 Symmetric
0.379 0.0275 0.891
0.0275 0.296 0.357 1.17[ ] 10
0.446 0.357 0.0672 0.0275 0.891
0.357 0.585 0.0275 0.881 0.357 1.17
0.0672 0.0275 0.446 0.357 0.379 0.0275 0.891
0.0275 0.881 0.357 0.58
ek
−
− −=
− − −
− − − −
− − − −
− − 5 0.0275 0.296 0.357 1.17
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
��"����"��"����������"!� �#��"� �"���� �!�����*! ������" ���"���������"������� ���� ���� "�� �*!�"��� �"�� ���� !�;�"��� ������"���� �
2
2
73
3
4
0.891 1.5
0.357 1.17 Symmetric 0
10 0.0672 0.0275 0.881 1.5
0.0275 0.881 0.357 1.17 0
0.357 0.585 0.0275 0.296 1.17 0
u
v
u
v
v
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =− ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
���.�:�
5"� ������� ���� ���� �" �� ������"�� �
��� 0� .� �� �)��� ��
�� 0� )
��� 0� .� �� �)��� �� ���.���
�� 0� + 1��� �� �)� � ��
�� 0� + 1��� �� �)� � ��
��������� �������,���!�-�����"����,���"��.��,#������<"�� ��������"!���" ��*! ����������������"�����-�!�����6:���������"�����"� ������������������������������������"���� -�!��� ��6:���� �"��� ���� ���� ������� �"���� �"�� .� �� .� ?!��� *! ��!��� �!���� -"�� ���?!��� �"���� ��� ���� �"�� �"��!��� ���� ������ �"��� �� ���� ���� ��'� ����� � � ��"� ���7�"����2�� ���� �"� ��! #� ���� ������� �"� 8.9� �� ���� �������� �"���� ��� ������!��� �����
���.���
-"�� ���0� +�K�6�� ���0� +�K�6�� ��� � ��� ��"�� /*��� ���16�+ ���1:��� ���� ����"��
( )( ) ( )( )
1 1 2 2 3 3 4 4
1 3
1 3
( 1) 0 (1) 0
1 1 1/ 1 1/ 1 1/ 1 1/
4
1/
px N x N x N x N x
N N
N N
�� �� �� ��
��
= + + +
= − + + +
= − +
⎡ ⎤= − + + + − −⎣ ⎦
= −
���.���
( )( ) ( )( )
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
4 2
(0) ( 1) (0) (1)
1 1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3 0
4
py N y N y N y N y
N N N N
N N
� � � �
= + + +
= + − + +
= −
⎡ ⎤= + − − − + =⎣ ⎦
���.�'�
-�"�� /*�� ��������� ��� � �
[ ]
1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3(0 1) (1 0) ( 1 0) (0 1)
4 4 4 4
1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3 1 1/ 3(1 0) (1 0) (1 0) + (1 0)
4 4 4 4
J
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ √ − √ − √ + √+ + − − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− √ − √ + √ − √+ + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
����� ���2 � �������� *������������� �������� -1������� ���.�
�
�� ����
� ��� �
� ��� ��
����� �
� ���� ��
�
�
����� �� �
����� � � � ���� �
�� � ������ � �����
�� � � 0.6
�� � 0.6
�� .�/��'�� ���,��� �# 0������ ���,���� ������
� .
& '
�
�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
��!��
[ ]0.5 0.5
, 0.50.5 0.5
J J−⎡ ⎤
= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���.:)�
5����#�� �"�� "����� *! ��!��� �"����� ��� "���
2 1/ 3,� = − √ 2 1/ 3,� = √ 0,Qx = 1/ 3Qy = √
0.5 0.5[ ] , 0.5
0.5 0.5J J
−⎡ ⎤= =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦���.:��
3 1/ 3� = √ � 3 1/ 3� = − √ � 0Rx = � 1/ 3Ry = − √
0.5 0.5[ ] , 0.5
0.5 0.5J J
−⎡ ⎤= =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦���.:.�
4 1/ 3� = √ �4 1/ 3� = √ � 1/ 3Sx = √ � 0Sy =
0.5 0.5[ ] ,
0.5 0.5J
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.5J = ���.:6�
4
1
0.5 0.5 0.5 0.5 2J = + + + =∑ ���.:1�
��!��� �!�� "�� ���� ���������� "�� 7�"��� �*!��� ���� ��� "�� ���� ��������2��"���� ������P . P����"�� ��� �!��"��������*! ��!����"�����$���!���"���"�� ��
� ��"��� � �"!���" �� *! ������� �� ��"��� �� -�!��� ��6��� ���� �"�����"� ��� �"��!��"����� �� �"��"��&
����� ���3 � ���������� *������������� �������� -1������� ���.�
� ����
� ��� ��
�������
��� � �
�
�
1 1/ 3� = − √ � 1 1/ 3� = − √ � 0.35566Px = � 0Py =
0.0915 0.5[ ] ,
0.0915 0.5J
− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦ 0.0915J = − ���.:��
2�� "���� �� ���� ���� '�� ����� "!�� �� ���� �������� � � P . P� �� ���� ��
2 1/ 3� = − √ � 2 1/ 3� = √ �� � � 0.25Qx = � 1/ 3Qy = √
0.3415 0.5[ ] ,
0.0915 0.5J
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦ 0.125J = ���.::�
3 1/ 3� = √ � 3 1/ 3� = − √ � 0.25Rx = � 1/ 3Ry = − √
0.0915 0.5[ ] ,
0.3415 0.5J
− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.125J = ���.:��
4 1/ 3� = √ � 4 1/ 3� = √ � 0.64434Sx = � 0Sy =
0.3415 0.5[ ] ,
0.3415 0.5J
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.3415J = ���.:��
4
1
0.0915 0.125 0.125 0.3415 0.5J = − + + + =∑ �� ��� "�� ���� ������� ���.:'�
2�� "���� �� ����� �� ���� �������� �� ��"��� � ��"�� ��� ������!��� ������ P . P� �#� �#��"���"��� �"� �"��� � ��#� ���"��� � ��� ���� �����"!��� ���� �"�������� �"��!��"�� ���!����""� �������������������*! ����������������� �� �����������������!� � �� ��������������!������������ �"�����!��#������ ��"��� ���"���������!��������� %���! � �������� ���� �������� ��"��"�� P . P� ��"��"���?!����"��� �"��"������ ��"�"�� �������"�� ���� �������"� ���� �������� � �� ������� ��"��� ����� ���������!�� ��� � ����"�� ��"��"���5!������!���"�� *!��#� "�� ����� "�� �� �������� ��� ��"��"��� � �� ��� ���� !�"���� ����� ������"���"������ ����� ���"��� �"������� -/� �"������ ��;����
������� ���� � /��� ,�� �!���� �!�-����� �,�� #������&� %�� ���� �������� ��� ���� �"�� ��� �����������"�����"�������� ���������� 0 )��::� � �)��>�������!�N���� ��"�������" ����������2��������� �"�!��� ����.� ��������������� �"��" ��� ������� ��� ��"���"���<"�� ��� �������� ���������"�����-�!�����6����� �����������" ������������� ���� ������"��� ���"����� �� �#�"���� ��
�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
3
tip 0.02 cm 3
PL
EI� = = ���.�)�
2
tip 0 .003 2
PL
EI� = = ���.���
2������ ����� !��� ���� ����� �"!���" �� *! ������� � �������� �"��" ��� ���� ��"����������" � �� ���� ��� �� ����!�� � �������� ���� �" ��� !���� ���� �"�������� �" � ���"��� (��
[ ] .TN q dv∫ ���� ����� �������� ��!��� � ����� "��� �"�� ������ �"��"��� �"���� �� ���� �" ���
��!�� ��� �"��!��� ���� ��"��� �� ���� ��� �� ������ +� ��������K"�� ������ ����� � � �������� �"�����"� �"������"��� ��"��"���" ���� �"�������������"������������������!����"���� ����� �������������� ��� ���� � �� ����� ��6�
�������� ������������������������������ !
4��"� ��� (���+� �������� ���� ����������� �!, ���� �����
�����,��� ��� ���� � �� ,�1% ��� ����������,���1�����2����2�%3������,���� ���%��2%�� � �� ,�1% �� ����� � �� ,�1% ���� ��� � �� ,�1% ��� ���� � �� ,�1% �� ���
2�� "���� �� ���� ���� ����� Q! 1� �������� �� �""� ����� � ������"�� �� !� �������� �� �"��" �������!������ ��� ��"���"��� � ���"�� �"����!�� � �"�� �!�����"�������2�� �� � ���� �� ������"�� �"� ��� �)R� �� ���"�� � ������� 1)� ��������L� -�"�� ���� ����� �!���"���� ��� "���� ����� "�� �#� ������ ���� ���� ��"��"���� ���������� �� ����������� �� ���� ���� ��/!���+E���"!��� ���� ��� ���� ��!�� �� �� �"������ �!������� �� �"� ��#� ���� Q! 1� �������=�����"������ �� �"� �""��� ���� �������� � �� ��� �� �� � �"� �"��!��� ���� �"�(��"� ����� ������ ������������!� ���� �#�����!������ ����"������������ �������������� ��������� ��"���(��"��� ���� ��!�"!�� ����� ����� �����#� ������� ������ ���!���� �� �""�� ����"������ "�� �����������
%������" ���������"�������������������" � ������ ��#�����������������!����"���� ������� � ������� ��1�
&� � � -
��!,
��!,
����� ��� � �������,��� ������� ��� �"�� ���� -1������� ��2.� -�� �� �� ���"� ��� (���+� �������� ��� �"�5�.�
�������" ������������������������������ !
4��"� ��� (���� �������� ���� ����������� �!, ���� �����
�����,��� �� �� ��� �� �� ,�1% ���� ���
%�� ����� ����Q! '��������� ��������� �"!� � �"����� ���������� ����Q! ���������� �� ������"������ �#� �"� ����� ��"��"��� ���#� �"��" ��� ��� ��� ��"���"��� � � �"� "��
������� ��� (������ �,���������,�� ��,���� �� �����!��� ",!�&� %�� ���� �������� ��� ���� �"��!������ ���� !��� "�� �#���� .� � ��������� �"���" ������ ���� ��"�����"�� ������� �"�������"�� �� ���� ��������� � ���!��� �"����2�� ��"����� �"� ��!��� ����"���� �#�����#� �� �#���� -/��#����<"�� ����������!�N���� � �"� �������!����� ����"������"�����-�!�����6'��-"�
����� ���� �"��� ������ 5��"� �� ��������� "���� ������ �������� �������� -1������� ��3.�
�
�
��
��"�"����"!��� �"��"������������������ �#�����#��������"!�� ����0��� �1����� ��"��� ����� ��!���� ��!�� "��#� "��� *! ���� �� ��"��� �� -�!��� ��1)� ��� �� �"� ��� �" ���� � �"�� ����
����� ��+� (�������� ��� ������ -1������� ��3.�
�
�
�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ��
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
����������#����-"������" ����������"�������#�����#�������������� ��"����!�����#�����#�"!� �#��"� �"����E#� ��!��"���#�����#�������"����"������0�������"��#��" ���"������0����� 5����#�� �"�� �"���� "�� ����1�����,� �#��������� �"�� ���� *! ���� "�� ���� ���!��!��� ���"�����-�!�����1���������������" ���"������� ������" ���� ����"���������" � ���"���"�
���� ��������� -"�� �������� �"�� � Q! � 1� ��������
{ } [ ]
1
1
2
2
3
3
4
4
0
0
0
0
0
0
0
0
�T xe
ys
N
N
N
qNf N q dv ds
qN
N
N
N
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
������ ��� ��� ���������� ���� ����!�� � �"���� ���� !��� ������� "�� ���� � ��J� ����� �!���"����� ��� � �!�� � "�� ���� � ���� � � �� �� ���� �""� ���� !�� � �"�� ������"�� �"��� ���� � �����������"������%���������������"������"��#���"������������" ���"�������" � �� �������� ��"��(��"��" �� �"������-"��� �#�����"!� �#� �� ���������������0�)�� ���0�+��"�� ����� �����!��� �"���1��" ��������������0�)�0���� � �������0�)�� ���� �������� �"���" �� �"���� ���"�
����#� � "� �� 1( 1) yN q� � � ��� � � 4 ( 1) .y yN q d� � � � ���� �"�������� �" �� �"����� �"�
Q! � 1� � �Q! � '� ��������� ��� ����� � ���"��
����� ��+$ �6������ ������� �������� ���"� -1������� ��3.�
-�"�� ���� ������� �"�!�"��� �� �� ����� ;�"��� ���� ���� ������� �"�������"�� ���"�� �� 6�)�"�� ���� ��"������ ���� -/� ������� "�� ������� �"�������"�� �"��� ���� ������ �'� 0� )�� � ��� ���"�����-�!�����1.��"����)�������������)�����������"���� ��� �����"������!��������
����� ��+� ������ �������������� ������� �#������� ������ �14� -1������� ��3.�
yq
yq
2yq h
2yq h
6yq h
4
6yq h
6yq h
�
�
Quad4 elements
Quad9 elements
1.70
2.813
1.265
1.0831.168
1.0031.045
0.966
0.9470.959
0.9360.944
0.93
0.925
0.917 (0.907)
(0.923)(0.923)
(0.930)(0.930)
(0.938)(0.938)
(0.949)(0.949)
(0.970)(0.970)
(1.011)(1.011)
(1.095)(1.096)
(1.282)(1.285)
(1.720)(1.727)
(2.795)
0.928
1
2
4
6
7
8
9
10
3
1
4
5
6
7
8
9
10
6°
��
�
�
�
�
�
�
�
0.447
����� �������
��� ���������� ������
���� ����������� �������
���� ������������ �������
����� ����������� �������
��� ������������ �������
����� ����������� �������
����� ��������� � ����� �
�� ���������� �����
���� �������� ������
���� �����
����� ������������� ��������
�� ����� ��� ������� �-�� �,����� �-������ ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
����"��� "��Q! 1� � �Q! '� �������������� �������"�� �� "��� �� ��"������ ��"�����"��� ���� � �� ����"�� ��"� ���� ��������� ������ ���� �"��� ��� ������� �� �(��� �!�� ���������"�����"�� �� ���!��������� ����"��� ���� ��"� �!������ "�� ������ � �� "�� � �" �� ��� ����������� "�� ������� �"�������"�� ���"�� "���� � �#� ������� ���� �" �� �� ���"����� �"� "����������"������"������%����"���� � ���������-/��"�!�"��!� ����������������������"�������"����"��� ���� ��������� �� � �"��"�� �" �� ��� ��������#� �������� �"�� ���� Q! 1� ����� �������#� ��� ��#��!��� !��"��� �"�� ����Q! '������� ���� ��"�� "�� ������� �� � �"��"�� �" ������ �"��!�� �"�� ��� ���� N"���� ��������� ����� ����� ���� �" ��� �� �� � ���"�� ���� *!��#"�� ���� ������ , �� �� ���������� "�� ������ ��������� � �� ��#� �"������� -/� �"�������;�����!�����!���� �����"������� ��#������������������������� � ������"���"�����������"�� ���� ���� �#��� ������ � ��� �� ��� ����� "�� Q! 1� ��������� ������ �� ������� � �"� �� "��'��������-���&�����A"B��������������"��������������(����������������!�������A���#��B���������������� ��� ������ ���� �"�#�"��� ����� �!���"�� !�� � �Q! 1� � �"� Q! '� ������
2�� � �� �"� ��� ��!��� � ��"� ����"��� ����� �������� ��#��� �"�� ���!��!�����������,�� ��!��� ����������#�"�� �����"������� ��!��� ������������ �"�"����� ��� ���"��2������ �"�� ��#��� ���� ����� �������� �"�!�"�� "�� .� � ��! � ��"�� ��"������� %�� �"������"� ���� ���!��!��� �������� ��"������� ��� ���� �"� ����� ��"�� ���� ���� �" ������ ���������*!�"�� � � � ��"�� ���� ����� �������� �*!�"��� ���"!��� ������;� �"��� ���������
�� !"� #��� #��$2���"�� ��!��� ���� ����� �������� �"�!�"�� "�� � ������� ��"� ����"��� ��! � ��"�� ��"����� (��� ���� ��� #������ ��"��"��� ��"��"�� �� ��� ��! � " ��� � �#�� ���� �"���� ��������� ��"������� ������ �� ��"��� �� -�!��� ��16��2�� ��!��� ����� �� ���� ������ ���� ��"��#� �� !��"����#� 2�� 2�� ���� �"� �������� ���� ��"�� ��"����� ���� ���� �#�� ���� 2�� ���� �"��!���� ���
����� ��+� 7����� ������ ���5� �,��� �� �6�������
/�
��"����� �� ������ "�� ������ �!���"�����,� ������ ���� �� � ���� ���� �� ������� �"� ���� ��"��# ���"��� E#� ����"��� ������"���� ������ �� �"� ��"�� ��"��� � ������ ��������� ������ �!���"�� ��"������ �"�� � ������ ���� ���� � �� �!��� � �#� ���� ���� ��"��#� �"��"������ ��� � ��� �#
uy
�∂=∂ � v
x
�∂= −∂
���.�.�
� ��� ��"!� ������"�������"�������5���� ������"�� ��"��������"��#� �� � ���"������#�����#� �!�� �"���� ��� ��� ��"����� $����� 0� )� "�� ���� ���� ���
���� �!� � � �"!� �#��� �� ��� � ������ ���� �� �� ������"������� ���"���� � ������"���!"!�� ������ ������ ���0�)�"�� ����� %�� ���"�� ����!��"��� ����� ��"��#�2����0�2�&"�� ���� ��������D�� ���� ������� ������"������0�23��E#� ��!�� "�� �#�����#�� "�� ���� �����
/ 0y�∂ ∂ = ��2�� ��� ����� ���� ������ � ��� !�� ��������� �
2 2
2 2 0
AW dA
x y
� �⎛ ⎞∂ ∂+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫∫ ���.�1�
F����� ����� ��������� �#� ������ ��� ���
2
2
uu u
xx x
x xx
d d ddWW dx W dx
dx dx dxdx
� � �
� ��
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ���.���
D�� ����� ������ ��� ����� �!���� ���� ?����+?!��� ���"����
2
2
uu
xy
A y Ax
WW dA W dy dA
x x xx
� � �
��
∂ ∂ ∂∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂∫∫ ∫ ∫∫ ���.�:�
���� ������� ���������"�� "�� ���� ��� � � '��� '�� �� ��"��� �� -�!��� ��1��� ������"���
xdy ds�= ± ���.���
����� ��++ /������ ����� ���� ������� �������� ����������
r a=
/�� � �
�
*� !
"
0
�
�
���� �" ������ ��������� �*!�"��� �� ������ "�� ���� ������ �!���"��� �� � ��� �#
2 2
2 2 0
x y
� �∂ ∂+ =∂ ∂ ���.�6�
<"�� ����� ���� �#�����#� �� ���� ��"������ "��#� "��� *! ���� �� ��"��� �� -�!��� ��11��� �� �"� ����" ���� �� E#� ��!�� "�� �#�����#����� ���"���� � ������ ���� ��"� ��"�� ��"��� ��
���� � ���� � �� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
�������� �� ���� ����"�� �"����"�� ����"!��� ��"���� n� � � �S� �� ���" !�� � �"� �;�� ����"�
�"��� �� �� ���"�����#�� ��!��
s =
� �
��
�u
ux
y
xy
x
W dy W dsx x
∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∫ ∫ ���.���
5!����!���� �� /*��� ���.�:��� ��� ���2
2 s
� � �� x
A A
WW dA dA W ds
x x xx
∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂∂∫∫ ∫∫ ∫ ���.�'�
������ �� ������� �"� ���� �"!� �#� �!� ���5����#������ �
2
2 s
� � �� y
A A
WW dA dA W ds
y y yy
∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂∂∫∫ ∫∫ ∫ ���.�)�
5!����!���� /*��� ���.�'�+���.�)�� �� /*�� ���.�1��� ��� � �
2 2
2 2
0
� � � �
� �� ��
A A
x ys
W WW dA dA
x x y yx y
W dsx y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
=
∫∫ ∫∫
∫ ���.���
������"���
s s =
� � � � �� � x y
A
W WdA W ds W ds
x x y y x y n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ ���.�.�
������ / n�∂ ∂ � ����������� ��"�� ��"��#� �� ���� ���� �� �� ����"�� ����� = sy
Vn
∂−∂
��
����� ��+� 7����������� �������
�
�
����
��
����
� ���
-"��� �#������������������" �����"��� �"����� (��� �����������!���"�� �!����� %��"!���� � � ����� �������� �"��"��� �"�� � ������� .� � ��������� ��� � �
�� 0� 8� 9G�H ���.�6�
������ 8�9�� ���� ����� �!���"�� ����� � � G�H �� ���� �" �� �!��� "�� ������ �!���"�� �;����"������(�� ���� ���"�� �������������-"���Q! 1���������� �����(������G�H
����� 8�9����
[ ]{ }ex
B
y
�
��
∂⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪ =⎨ ⎬
∂⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎩ ⎭
���.�1�
������8�9��"����� ���� �� � ���"��������!���"���� %�� ����?���;���"��!��"������!��� ������� ����� �!���"��� �� ���� ������ �!���"��� ��"� �������� 0� ���� ��!��� /*�� ���.�.�� �"�� ��������� ��� ��� ��������� �
( )s
[ ] [ ] { } [ ]�
� �T e T
AB B dA N ds
n
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫∫ ∫ ���.���
���849 G�H � 0� G�H ���.�:�
�����
( )s
[ ] [ ] [ ] , { } [ ]�
�e T e T
AK B B dA f N ds
n
∂⎛ ⎞= = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫∫ ∫ ���.���
-"�� ���� ������ ����� �������������� ��� � �NELEM NELEM
s1 1
[ ] [ ] [ ]�
�T T
AB B dA N ds
n
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ ∑∫∫ ∫ ���.���
���849G�H� 0� G5H ���.�'�
�����
NELEM
1
[ ] { }eK K= ∑ ���.')�
NELEM
1
{ } { }eF f= ∑ ���.'��
� � G�H� �"����� ��� ���� �" �� �"���� "�� ������ �!���"�� �!��� �"�� ���� ������ ����� � � ����!���"�� " ��� ���� ��������� �� ��������� � �� ���� ��� � � ������#� ��"�� !��� �� -/T�
���� �����"�� ����F45���/*�� ���.���� ��� �!�� ��"��� �������������"!� �#��-"��� ��#� ���"���������������� ������ ������"�������������� ���� ������������� �!�� ������"�����"�;������"��"������������� �����"����������"�;������"������"���������������4�����������!��� � !�� �"�� ��� ���� ���������� ������ ������ "�� ������� �"!� ���� "�� � !�� ��������
���� � ���� � �� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
����� �� ��� "!�� "��#� ���� "!���� �"!� �#� "�� ���� ������ "���� %�� ���� �������� ��"������ �" ��"��#�������� �"��#��"!� �#�������� ����2��0�+ / n�∂ ∂ ���������������� �� ������� ������������ ��� (��"�
-"��"���� /*�� ����:1��� �"�� � �#���� �������� ��� ����
�� 0� 8�9G�H ���.'.�
[ ]{ } [ ] [ ] [ ] { }1 2 3 NDF×12 2 2 2 2×NDF
2 1
�
� ��
e exB B B B
y
× ×
×
∂⎧ ⎫⎪ ⎪∂⎪ ⎪ = =⎨ ⎬
∂⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎩ ⎭
���.'6�
������� �"�� ���� �������� ����
[ ]1
2 2
1 0
0 1B
×
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦���.'1�
[ ]
22 12
2
21 11
2 2
J J
J JB
J J
J J×
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���.'��
[ ]1 2
3
1 2
2×NDF
N N
BN N
� �
� �
�
�
∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
���.':�
������>U-��� ���� �"����!�����"�� �"���� �"�� ������������������1��"��Q! 1��'��"��Q! '����������!�� ���� �"�!�"�� "�� ���� ��! � ��"�� " ��� �#�� ��� �� ��#� �!��� ����� �"� ���� �������"�������"�� ��"����� ��!��� � ������ ��������� ��� �"�� ��� 89� �"� ��� ����#�������� � ��� !��� ���� ���� ����� �"�� �"��� ���� ��"������
�����" ������ �*!�"��� ��� ����#� "���� � �
849G�H� 0� G)H ���.'��
������� �"�� ����" ��� ������"�� ���� ������� "���� �-�!�����11����0�)J� � �"���" ���"�� ���� ������ ��� 0�23J� �"�� ���� �" �� "�� ���� ���������� 0�2��� ������ �� ����������� ���� ���""� ���"�������" ���-"���������������� ��"!� �#��"� �"��������"� ��/*�����.'����"������������!�;�"��� �� �!���� D���� ���� �� �!��� ��� ;�"���� ���� ��"�� ��"����� �� �#� �"��� �� ��������������������!��� ���"��8�9G�H ��"���������������F��!����"���� �������)������������)�����������"���� ��� �����"������!��������� ����"���"��Q! 1�� �Q! '������������ ��"��� ��-�!�����1:�� %�� ���������#� ���� � ���� ���� ����� �������� �"�!�"�� ������ ��#����� ���� ���� ����� �"�!�"��
�)**+�,2�� � �� ��!��� � �"!�� .� � ����� ��������� �� ���� �������� D!�� ���� ��"�� !��� �"�� ������������ �"��!��"�� ��� ����� ���� ���� �� ���� !�� � �"�� �� � ����������4"�� ���� �"� ��"�� �"�������� �!� � �� ���������������� ���" !�� � ������!��� �""� ����� � ��������� � ����!���"��!������������"���"�� �!��������������������������#����-/���"�����2����"���;� �"!����"��"��"��"���������� ��"!� �#��"� �"���� �?!��������"����� ���"������"���"�!�"��"���*!�"����2����! � ��#�������!��!������������ � �����! ���"����"������/�����"�� �"� ������ ����"��� ��"������ �� �"������� ����� ����!��� ��������� ���"�������� ����������� ��!������ ������"������� �� �"�������� �"!�� ��6� ��5"������"�� ������� �� ��!��� �"��#���� #��������"�������%��<������:��������� ��!��������������������"�!�"�� "�� �� ��"����� ����� "�� ��"������� (��� �+ � � � .+ � �������� #���� ��"������
����� ��+2 ���5� ,������6� �#������� ������ �14�
Quad4 elements
Quad9 elements
1.6165
2.012
1.3765
1.23081.2305
1.14241.1422
1.0887
1.05631.0562
1.03671.0367
1.0252
1.018
1.017
1.019
1.7878
1.7878
1.4812
1.28461.1813
1.18131.1124
1.11241.0706
1.07061.0454
1.0454
1.030
1.0177
1.022
1.0221.0177
1.0253
1.030
1.0886
1.2846
1.4812 1.6160
6°
9
10
8
7
6
5
4
3
2
1
�����
������� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
��� U�������������"���������" � ���"���"������<5����������!� ���������"��"�������" ����"��� �� -��� V��.�
-�./0�*�
�� -"�� ���� ����!��� �������� ��"��� �� -��� V����� ���� �" �� �!��� "�� ����������� ��&
��� 0� .�)� ��� 0� 6�)� ��� 0� ��)
�� 0� ��)� �� 0� .�)� �� 0� 6�)
D���� ���� ����������� ����� ��� �� "�� �"�����.�� .�� ����� ���� ��������
����� %��$ /������������ ��� �� 8 �� ��������
�
�
�
� ���� �
� ���� �
& ���� �
���� � �
����� %��� 8���������� ������ ����� ,������ ���� 8 �� �������� -�"��9����� :� ��$� �.�
+�� � �� -�,�
��,
���,
���,
�
�
�
+� � �� -�,�
��� U�������� ���� �"�������� �" � ���"�� �"�� ���� <5�� �������� !� ��� ���� ��"�� "�� �� �#�" ���� ����� �� ���� ����� "�� ���� ��������
��� -� � ���� �"�������� �" �� �"���� ���"�� �"�� ���� ����" � � ����!��� �������� �" � � ���"��� �� -��� V��1�
��� D���� ���� �"�������� �" �� �" � ���"�� �"�� ���� �������� ��"��� �� -��� V����
����� %��+ 8���������� ������ ����� ,������ ���� ) �� �������� -����� �����"� :� );� �"��9����� :� $.�
�
�
�
�
�
��
�
+�� 1� +
����� %��� 8���������� ������ ����� ,������ ���� (���+� �������� -�"��9����� :� $.�
� ����� � � ���� �
� ���� ��� ����� ��
�
�
+�
�
��
��
�
�
�
�
+�
����� %��2 8���������� ������ ����� ,������ ���� (���� �������� -����� �����"� :� �;� �"��9����� :� $.�
+�
��� -"�� �� ������" � � *! ������� ��������� ��"��� �� -��� V��:�� �������� ���� �"��������" �� �" � ���"��
2
1y
L
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
&��, �� ��
�� ����������� � ����� � ��� �� ����
��� / �!��� ���� �"��"���� ������� �#� � .��� .�?!��� *! ��!��� �!��&
1 1
1 1
2
3
xdx dy
xy− −
++∫ ∫
��� U�������� ���� ����� � ��� �� -��� V���� �#� ����� ?!��� *! ��!���
��� <���;� ���� "� ��� "�� ?!��� *! ��!��� ����� >"�� "�� �"����� �"!� � �����#� �������� ����"��"���&�� .� 3� 6�� 3� ���� 3� ���J��� �.� +� ���K�.� 3� ���J��� ���� 3� '��J� � .� 3� 6�� 3� ���J��� �.� +� ��K�.� 3� ���
����� %�� ���� ��� �� �������
��
����
������ ���
��� � ���� �
�� � ���� � .� �� .� ?!��� *! ��!��� �!��� �"� � �!��� ��2
2
3 , (0, 6), (0, 4)
2
xI dx dy x y
y
+=+∫∫
�� /����� ��#� ���� ������ ���"��� �� �� � ?!���� *! ��!���� �!�� !�� �"� .�
�� � U�������� ���� ��� �"!� � � �#� '�� 0� 1��� '� 0� )� � � �� 0� 1� !���� � �������"��� ?!��*! ��!���� 2��� �� ���� ���������� ���"�C
�� � 5��������"��������"� ����"��������"� !��"���*!�"���"�����������������" �������"���������!��� ����"����� �"�� � �������" �� ����!��� �������� ���"!��� ?���;��"��!��"��
�� � -"��������"� ����"�������������������*!���������"�����-���V���1��������������$6� ��� ���� �"��"���� �*!�"��&
25 1 21 300
1 18 7 500
21 7 41 800
i
j
k
T
T
T
−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
,��� ���� � ���� ��� ����� � �� 7� 0� )�<�� D���� ���� ���� �*!�"����� ����� ���������������� ������� � � ��"��"����� ���� �"!� �#� �"� �"���
�� � -"�� ���� �������" � � ����!����������� ��"��� ��-���V���������!���� ���� �������!�����"������ � ��� ���� �" �� �������!���� �� 7�� 0� �))W<�� 7�� 0� .))W<�� � � 7�� 0� 6))W<�
j
����� %��$+ � �*����� ���#�
�
� �
�
2� 2
3
3 22
�
�� 3
�
����� %��$� ������������ ��� ��� ��������� ������
���� � �
��
�� ���� �
� ����
0� ������ ���
�� � %�� � ����!��� �������"�� �"������� "�� ��� ����" �� �������� �"�� ������� ��#���� ����������!���" ��������������������;����"�����"��������#��7
���������������"������
������ � ��U�������� �������������" �� �" � ���"�� �� �����������"���#�"����� �" ��
�
�
� �
&��, �� ���
��� ����������� � ����� � ��� �� ����
����� %��$ 0���� ���#������
�� � ���� �������!��� �� ���� �"!�� �"����� �" ��� "�� � �"!���" � � ��������� ���7���7���7��� � 7���U�������������"���������" � ���"���"���.� ���#������ ��"� ���������������������������
�� � >!����� ���� �" ��� �� ���� �"��"���� �������"�� �-��� V������ !���� ������" � *! ������K����" � �����!��������������"����"������������� � ����2���������� � ��� �"�� �!��� �!������C
�� � ���� ?!��� �����"�� ����" � �"�� <�"���;#� ���"���"��� ��";�� "��� ����� �"� ��� �#����� "�� �*!�"��� ����� ��"�� -/T�� /����� ��#� ���� �#� ��� �"�
�������� �� �� �������
���� <"�� ��� ���� !��"��� ��������� ���� ��"��� �� -��� V��.)�� %�� �� �� � �� !���� ��"� ����"��� ����� ��������� �"� ��! #� ���� ��"�� "�� ����� ��"��� ���� ����� "�� �!���
����� %���� <������� �������"� #����
��
&
� � 2 20
xh h
l=
���� �� "� ��� �"� ���#� ���� ��!��#� "�� ���� /!���+E���"!��� ��!���"���� 5�"�� �����#�"�������!� � �� ����#�����" ���� �!�����"���������������������"!������"�����""� ���� �����"���"��
��� 2���� ��� ���� ����� �!���"��� �"�� ���� ��������� ��"��� �� -��� V��.��
���� ? �������"������������"�� ���� �"����!�����"���!������"������"����� � "� � � �����?!���������"���"�!�"��"��869���G�H����0�G � H�����5�"������������"����� "� � �� <�"���;#� ���"����� � �� � �� �#������� ����� 869���� �� �#
�K.�
���� 2������ �����"� �"��� �"���"� �������� �� ���� ���������� ������������� �"��!��"�C5�"�����������"�������������*!������������������ ���0������������=���������������� ���������� ����� �!���"���
���� -"�� � ����" � � ����� ����� ����!��� �������� !�� � �"�� .� � ������� ��#��&�� 5�"���������� ���� �*!���!�� �*!�"��� ���"���� �" #� �"������ ��� ����� � "�� �"�
����� ���� ��������� ���
0, 0xy xy yx
x y x y
� � �� ∂ ∂ ∂∂+ = + =
∂ ∂ ∂ ∂��� U��!��� �������� ���� �*!���!�� �� ����� � ��"��� ������������� �"!� ������� <"������"�������"������#���"������������"!� ������������������������������ � 5���� �������� "�� �"�� ���� �*!���!�� "�� �" �� �"����� � � �"������ �� ����� �
����� %���$ ����������� ���������
� � � � � � �
�
��
��
��
�
&��, �� ���
1 13 3( , 1)( , 1)− − −
���
�������������� ���������� ��������
CHAPTER 6
��� ������� ���� ���� �� ��� � ������� � ���� ���� ��� �� ������� �� ��� ��� ��� ���� ��� �� ������� ���� ������ ��� � �� ���� ����� ������� �� ����� ����� ���� � ���� ����� ���� ���������������� � ���� ��� ����� ����� �� �� ��� ��� � �� �� � �� �� ������� � ���������� ����� ������� ������� ��� ��������� � �� � �� ������� ���� �� �� �� !��� ������� ��� �� ���� ���������� ��������� ���� � ��� �� �������� ����� ���� ������ ����� ���� ��� ��� ��� �� �������� "� ��� � �� ��� ��� ������ ��� �� �� �������� ���� �� ���� ��� �� ��� ��� ��������� �� � �� ���� ���� ��� �� ��������� ����� #�� �� � ���� �$� ������� �� ������� ��� ��������� ��� ��� �� ����������� ������ ��� �� ���� ��� �� ��� �� ��� �� ������ ���� ���� �� �� ��� �� ������ ��� ����� ������� ����� ��� � ������ �� �� ��� ������� ����� ��� �� ���� ��� ���� ��� �$� ����� �
%�������� �$� ������������ �������� ����� �������� ���������������� ������� �� �� �$� �� ���������� �� ������ � ���� ����������� ���������� ��� � ��� �� ����� ������ � �$ ������������� �����������#��� ����������� ���������������� ������������ ������������������� �$���� � �������������%�� ���� ����� ��������� ���� ���������������������� ��� ��� �������� ��������� %� ���� ������ �� �������� ��� �� �$� �� $���� �$� ����� ���&��� �������� ��'�����( ������ �$����� ����$���� �� ������� ��'�����) �������� ��� ���� ���� �� �������� ��� �������� ��� ���� � � ���� � ���� "� ��� � ����� ����� �� �$���� �$� &��� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��� ���� ��� � �� ���� ���� ���� ��� ���� ����� �$� �������� ������� ��� ���� ��� �� ������� %� � ��� ������� �� ����� ��� ��� �� &��� ���� ����� ��������� ��
��� � ���� �� �������%�� �� ��������� �� �� ��� ��� ������ � �� ����� � �� � ��� �� ������� ��� �� ��������� ������ � ������ �$������ ��� �*� �� ��� ��������� ����� ����������������� ����������+���� ������ ����� �$� ��� ����������������������� ��������������� �� ������������������������ ���� �� ���� �� �� �� ���� ��� � ������ ��� "��� �� �� ������ ��� ������ �� ��� ���� �
����� �� ������ �,��� �� �� ��� ��� ������ ��� ���� �$� ������� � �� � ��� �� ���� ������������������������������ �������� �� ������ � ���� #�� �� $��� ��&�������������� ��� �� ��� ��� �� ���� ���� ������ ���� ��� �� ������ ����������� � �������� ��&����� ��� ����������� �� ���� �� ������ �� �� �������� ������� ��� �� ���� � ���
" �� ���� �� ��$��� ����� �� ��� ���� ������� ��� �� � �$�� ������� ������ ��� �� ����� ��� ��� ��� �! $��� -�. �� "���$� � ��� ��� ������� �/! �� � ��� �� ������� ���� �� �� ����� �������� �� ���� ���� �� ���� �� ������ �� �� $ ��� ��
( )2
1MF
1 /�n
=− � �-�.
��
1 , MF 1.125
3�n= = �-�(
��� ����� �� ���� ����� �����
����� ��� ����� ������ ������� � � ���� ������ ��������
�
�������������������������������
�
�����
���
���
���������
"��� �� ����� �� ������� ���� ����� ��� ����� �� .(�01����� ���� �� ���� �� ������������ 2���*)��"� ��� ���� ������� ��� ������ �������� ������ �� �� ������ �������� ��&��� � �� �� ����� ��! $���-�(������ �������� �� ������ �������� � ��� �� ���� ��� ��� ��&����� ����� ���� ������ ���� ��� �� ������ ����������� � �������� ��&����� ��� �� ������
����� ��� ������� �������� ��� �� ������ ������ �������
�������
� �����
st| | /MF x �=
������ � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
%� ��� ��� � �� �$� �� ���� ����� ��� ����� �� ������ �� ��������� ������ �� �� ��������������������������������������������� ���� ��! $���-�)��#�������������$�� ����������� �� �� ��� ��� �� �������� ��� ������ ��� ������ ����� �������� ���� �$� ���� �� ����� ��� ��� ��������������"��� ������������������� ��������������3�������� �������� ���"�� ������� �������������������������� ����3������� �� ������� �������������� �������������� ��� �����$��� ��� �� ���� ��� ������ �� ���� �� � �� �� �� ���������� '���� ������ ���������� ����� ��! $���-�)�� � ���� ��� �������������� � �� ����� #������������ �������� �� ���� �� ���$�� ��������� �� ������ ��� �������� �����$�� ��� �������� #�� �� ����������� ����� ������������������ ���� ������������ ���������������� � ����� �� �������������� �� � ������� ������� ��� ����� ������ �������� +�� ������� �� ����3� ����� � ���� ��� ����� �! $��� -�)�� � �� �� ��� ���� ������� ��� � �� ����� +� ��� ���� ���&��3� �� ��� ��� ����� ����&��� �� ��� ���� ���� (0��4�� ���� �� ���� ����� �� ���� ��&����� ����������� ����� �� ���������� ����� �� ������� ��� ������� ��� �������� ���������� ��� ���� ���� �$�
����� ��� ������ ��� ������ ���������
��� ���������� ���
��� ��!� ������ "�� �����
5���� ����� ��� �� � �����3�� ��� �� ��� ��� �������� � � �� ����� ����� ������ ��������������� ��� ��������� %� � ��� ������� �������� ��� ��� � ���� ��� � ��� ��� �� ��������� � ��� �������� ���6���� ��� ���� � � ��� ���� � ���� ���� ���� ��� ��� � ����� ��� ��� ��� � ��������� ������ � ���� ��� � ��� ������� ��� ��������� ����� � �� ���� �$� ����� �� !�� � ���� ������������� $����������������������� ���$ ������������������&��� �������������� ��� �� ���������� #�� �� ���� ����� ��� ������ ���� �� �� $��� ��� 3���� �� ���������&��� �� ������ ������� ���������� �$���&��� � ������������� ������� ��������$ �� ������������ ���� ������������&� �� � �� ������� �����$������������� � ��� ��� &� ������ � ��� � ���� � ������ �� ��� � ���� ��� �������� ���� ��� ��3� ��� ���� ��� ��� ��� ����� ������� �� ������� ��� ���������� ���6���� ��� � �� ������� ������
7���� �$� ��� �� � ���� ������ ��� �� � �$�� ������� ������ �! $��� -�. ���� ������ ����� ������ �������� ��&����� �� $ ��� ��
2 1 d n� � �= − �-�)
����� �� ������ �$� ��������8����������� ������ ����� � ��99�.��!���������� ����2�:�.� � ��.:1� �� � ���� ���� �$ �� ��� 2� :�;;0���� ���� ���� ����� ����� ���� �������� ��� �� ���� #�� ���������������� $�������� �$� ���������� ����������������&��� ���������������������� �� �������� �� �� � ������ ���� ��� ��� �� ���� �$� ������ �� �� ������ ���� �� � �� ������ ���� �$�� �� �� ��� �$� �� ����� �� �������
! � �� ����� &��� ���� ��������� ��� �������� ��� �� �������� �� ���� �����$���� ������ �� &��� ����� ������� ����� �� ������� ��$��'�����( ��%�������� �� �� ��� �������� ��� ����� ��� &��� ���� �� �� ����� ��� ��3� ������ ���� ������ �� � � �� ����� ����� ��� ���3� �����&��� ����+������ �������������������$������������ �� � ���� ���'�����) ��� �� �� �� � � �� ����� ����� �� &��� �����%�� ��� � ������ ���� �������� ���� ��� ���������
��� ����� ��� �� �� �� ����� �� ����� ��
����� ������ �������������
"�$���� �$�&��� ��� ���� ����� ���� ���� �������� ���� ����� �� �$� ������� ��&� � �� ����� �� � ����� ��� ���� � �� $ �����
2 2
2 2
u uAE A
x t�
∂ ∂=∂ ∂
�-�<
=� �$� �� ��� &�� ��� ������ ��� ��� ��� ����� ���� ����� �$� ����� �� � ���� ���� �� ��
���� � 2� ��� ���� � �-�0
����� ��� �$� ����� >&�� �-�0 � �� >&�� �-�< �� �� ���� �
22
2 0
d UAE A U
dx� �+ = �-�-
������� �� ��� ����� � ������ � � ���� ��� ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
"�% $���7� ����� �%7 � �������� ���� �� �� ���� ��
22
20( ) 0
L d UW x AE A U dx
dx� �
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ �-�?
#��$��� �$� ��� ������� �� ��3� ����� ��� �� %7� �������� ���� �� ��� ���� ��
2
0 00
( ) ( ) ( ) 0L
L LdU dU dWW x AE AE dx W x A U x dx
dx dx dx� �
⎡ ⎤ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ �-�@
%����������� ��� ���� ������������ ��� ���� ���>&���(�;? ���������������� � �������� ����� �$� ������� ��� ��� � ��� � � ������� !��� �� � � �� ��������� �� ��$����� ���������� ���� ��� ����� ���� ��� ������ ��� �� ���� ���� ���� ������
%� � ��� ���� ������ �� �������� &��� ���� ���� �� � �$�� ������ !��� �� ��� ���� �������� �! $��� -�< �� �� ��� ���� ����� ���� �� ��� ������� ��� ������� ��� ��� ����� " �������� ��� ����� ���� ��� $ ��� ��� >&�� �(�.(- �
1 2( ) 1 x x
U x U U⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � �-�;
��
��
��
��
#�
����� ��� �������� ���� �������
!����� �$� �� A���3 �� �������� ���� �� � $�� ����� ���� ��� �� ���� ��� �� ���� �������� �� � ����� ����� ��� �� ��
1( ) 1 ,x
W x�
= − 2 ( ) x
W x =� �-�.:
%� � �$� �� ��3� ����� &��� ���� � �� ������ ������ �������� �� ���� �� ������ >&�� �-�@ �
22 10 1 2
0 0
1 1 1 0
U U x x xP AE dx A U U dx� �
⎡ ⎤− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫� �
� � � � �
�-�..
22 11 2
0 0
1 1 0
U U x x xP AE dx A U U dx� �
⎡ ⎤−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫� �
� � � � � � �-�.(
��� �� ������� ��� ( / ).AE dU dx
��!��� ! �
%� ���� ��� �� � �� �� ���� �� ����� ��
0 001 12
2 2
0 0
1 1 1 1 1
1 1
1
� �
� �
� ��
� � � �
�
� � � �
x x x xdx dx
PU UAEA
U UP x x x xdx dx
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎡ ⎤ −⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫�-�.)
5�� ������ �$� �� ��$������ �� ���� �� �� >&�� �-�.) � ��
201 1
2 2
1 1 2 1
6 1 1 1 2
PU UAE AL
U UP
� �−⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦�
��-�.<
%� ��� �� $����� �� ����� �� ������ ���� �� ��
1 1[ ]
1 1
e AEk
�
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦�-�.0
%� ���� �� $���� �� ����� ����� ���� �� ��
2 1[ ]
6 1 2
e Am
� � ⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦�-�.-
%������� ���� ������������� ������ � ���� �� � ����������� ��&��������� ��������� �� ������ >&��� ��� �-�.< � ���� �� ��� ���� ��
0 2[ ] { } [ ] { }
e e e eP
k mP
� � �
�
−⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
�-�.?
��� B� C�� ����� ��� �� ������ ������"� ����� ����� ���� ��� ���� �� �������� ������ �$� ������� �� ���� �������� ��
������������� ���������� ����� ������� ���� ������������������ ���������������������������������������� �������������������������� ������� �������� ���� ���&��� ��
D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.@
��� D� E� ���� D� E� ������� �� $������� �������� �� ������ ������������� ���� ����� �������B� C������ ����������������������" �� ������� ���� $��������������������� ���� ������� ����� ��� ��� ���� &��� ���� �� ��� ��� -�@�
����� ������������ �������������
"� $���� �$� &��� ��� ���� ��� ��������� � ���� ��� ��� �� ��������� ��� ��>���FG������ ����� ����� �� �$� �� ����� �� &� � �� ������ �� � ����� ��� ���� � �� $ ��� ��
������� �� ��� ����� � ������ � � ���� ��� ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
4 2
4 2 0
v vEI A
x t�
∂ ∂+ =∂ ∂
�-�.;
=� �$������ &����������� ��������� �������������� �$������ ��� ���� ��������
���� � 2� ��� ����� �-�(:
����� ��� �$� �� >&�� �-�.; �� �� ���� �4
24
0d V
EI A Vdx
� �− = �-�(.
"� %7� �������� ���� �� �� ���� ��
42
40( ) 0
L d VW x EI A V dx
dx� �
⎡ ⎤− =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ �-�((
5�� ��$��� �$� ��� ������� �� ���� �
3 32
3 30 00
( ) ( ) ( ) 0
LL Ld V d V dW
W x EI EI dx A W x V x dxdxdx dx
� �⎡ ⎤
− − =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ �-�()
5��� �$� �� ������ �$� ��$��� ��� ��� ������� �� $�
3 2 2 2
3 2 2 200 0
2
0
( )
( ) ( ) 0
L LL
L
d V dW d V d V d WW x EI EI EI dx
dxdx dx dx dx
A W x V x dx� �
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− =
∫
∫�-�(<
!��� �� ��� ����>���FG������ � ��������� �! $��� -�0 ���� ��
��� � 2� ���� H� ���� H� ���� H� ��� �-�(0
����� ��� �������� ����!"�������� ����� �������
��
����
��
��$� �
��$� �
��� ��� ��� ������ �����$ ��� ��>&���<�..? ���������������������������������I
��2� .� !� )��*��� H� (��*���
�� 2� �� F� (��*�� H� ��*��
�� 2� )��*��� F� (��*���
�� 2� F��*�� H� ��*�� �-�(-
!����� �$� �� A���3 �� ��������� �� ��� ��� ���� ���� ����� ���� ��� �� � $������ ���������� ��� �$� �� ����3� �����D>&�� �-�(< E����������� �$� �� ��$������ �� ����������������� $� �$������ ������������� ��������� ����$���� �$�&��� ������������������� ���� �� � ���� ��� ����� �� D>&�� �-�(< E� ��� � � ���� ��� �������� ��� �� �� ���� �����D>&���(�.:) E������� ��������������������������� � �������������� ��������"��������� �� ������ ��� ���������� ��� �� ������ �$� ��$����I
2 3 2 3
1 12 3 2 30 0
2 3 2 3
1 22 2 3
2 3
22
1 1 2
3 2 3 2( ) ( ) 1 1
2 3 2
156 22 54 420
x x x xAW x V x dx A V
x x x xx V
x xdx
AV V
� �
�
�
��
� �
� � � �
� � � �
� �
��
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎫⎛ ⎞ ⎪+ − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭
= + + −
∫ ∫
[ ]213 �� �-�(?
2 3 2 3
2 12 2 30 0
2 3 2 3
1 22 2 3
2 3
22
21 1 2
2 3 2( ) ( ) 1
2 3 2
22 4 13 13420
x x x xAW x V x dx x A V
x x x xx V
x xdx
AV V
� �
�
�
��
� �
� � � �
� � � �
� �
�� � � �
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎫⎛ ⎞ ⎪+ − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭
= + + −
∫ ∫
( )2�
[ ]
2 3 2 3
3 12 3 2 30 0
2 3 2 3
1 22 2 3
2 3
22
1 1 2 2
3 2 3 2( ) ( ) 1
2 3 2
54 13 156 22420
x x x xAW x V x dx A V
x x x xx V
x xdx
AV V
� �
�
�
�� �
� �
� � � �
� � � �
� �
�� �
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎫⎛ ⎞ ⎪+ − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭
= + + −
∫ ∫
�-�(;
�-�(@
������� �� ��� ����� � ������ � � ���� ��� ��
�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
2 3 2 3
4 12 2 30 0
2 3 2 3
1 22 2 3
2 3
22
2 21 1 2 2
3 2( ) ( ) 1
2 3 2
13 3 22 4420
x x x xAW x V x dx A V
x x x xx V
x xdx
AV V
� �
�
�
�� �
� �
� � � �
� � � �
� �
�� � � �
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎪= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎫⎛ ⎞ ⎪+ − +⎜ ⎟ ⎬⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭
⎡ ⎤= − − − +⎣ ⎦
∫ ∫
�-�):
7�� � �$� �� ����� ������ �� ������ �� ���� �� �� >���FG������ � ���� ������������� �� ��
2
2 2
156 Symmetric
22 4[ ]
420 54 13 156
13 3 22 4
e Am
� � ��
�
� � � �
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
�-�).
%������� ���� �� ���� � ���� ��� ����������� �� ��������� �$� ��� �������� ����� ������
viz. (156 + 54 + 54 + 156)420
� �A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� ���� ��� ��� ���� �� ����� ��� �� �����
#������� ����� �� ����������� �� ����������� ��������������������� �� �������������������������������� ��� �� 6���� ������������������� ��� � ���� ��������� ��� �� ��� ��� <�-�
%���� �������������������� ������� � �������&��� ��������� �$��������$���� �$� ����� ��� &��� �����%� ����� ���� ��������� ��� ��$�� ����� �������� ����� ���J�$���$K�&��� ���� ��� ��� ���
��! ����� ��� �� �� �� "� �#� $�#���#�%�� &''���("� &��� ���� ��� ��� ��� D�$�� >&��� �-�< � ���� �-�.; E� ���� �� �� ��� ��� ��� ��� �� ���� ���� ������������� ���������������������� ����� �����������8����K��������J��������� ���/���� �� � �� �� �� ����� ��� ��� ��� ��� ��$�� ����� ����� ���� J�$���$K�� &��� ���L������ ��� ��� ��������� ����� #�� "� �������� �� 3 �� �� ��$�� ��� �� ������ ���� �� �������
L%&������������������������� ��������'�� ���(���������������������� ��"�������������� ���&��������������� ������������ �� ������"�#�����)����'��*� �"����)�*�+ �,-.�)�/,�0� !)��123�����#��� ��� �� ��������������4�)� ������� � ��)�*�+ �,-.�)� /,�0� !)� �135�
����� �����$������J�$���$K��&��� ���������� ��� ���� ��������$���� �������� ������ ��� $ ��� ��
+ = q
d T TF
dt q q q
�⎛ ⎞∂ ∂ ∂−⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠� �-�)(
��� # M�� �������� �� $���� ��� ����� �� �� ����� ���� �� ���� q� � 2� ��*���%�� ��� ��������� ��������J�$���$K���������� ���������� �$� ��&��� ���������� ��
����$� �� ������ �$� � ���� ������
���������� '��� ������������������� �$����������������� ��! $���-�-N����� ��������� ��� �� �������� $���� ��� ����� ������ "� 3 �� �� ��$�� ��� �� ������ �
2 21 1 2 2
1 1
2 2T m x m x= +� � �-�))
�� ��
�� ��
�� �� ��
����� ��� �# ������ ������� $ %������ ���&�
"� ����� ��� ��$�� ��� �� ������ �� $ ��� ��
2 2 21 1 2 1 2 3 2
1 1 1 ( )
2 2 2k x k x x k x� = + − + �-�)<
!��� ��������� ��J�$���$K��&��� ��������������� �� ���� ��� ������"� ���������������� ���� 1x� � ���� 2x� �
1 1 1 11 1
, T d T
m x m xx dt x
� ��� �
⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
2 2 2 22 2
, T d T
m x m xx dt x
� ��� �
⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠�-�)0
1 2
0, 0T T
x x
∂ ∂= =∂ ∂
1 1 2 1 21
( )k x k x xx
�∂ = + −∂
3 2 2 1 22
( )k x k x xx
�∂ = − −∂
������� �� ��� ����� � ��� �� #��� ��$�� �%%���& ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
����� ��� �$� �����>&�� �-�)0 � ��>&�� �-�)( ���� ���� �� �� �&� ��� &��� ���� ������ ��� ��
1 1 1 1 2 1 2 1 ( ) ( )m x k x k x x F t+ + − =��
2 2 3 2 2 1 2 2 ( ) ( )m x k x k x x F t+ − − =�� �-�)-
���� �� ���� �� �����
1 2 2 11 1 1
2 2 22 2 3 2
( ) 0 ( )
( )( ) 0
k k k mx x F t
x x F tk k k m
+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦⎣ ⎦
��
���-�)?
����� ���������������������������� ������
=� �$����������������������� �������������� ����� � ����������� ��������������� ��� ���� ��� ���� �� �� ����� �� ����� ��� �� ������ �������� ��
B�C� 2� D EB�C� �-�)@
O ����� �� �$�� �� � ��� �� ���� ��� ��� �� �� ��� �� $ ��� ��
{ } [ ]{ }ed N �= �� �-�);
������������ �� ����� ���� ������ ����� ������������ ����� ����������� �������� �������� ��� ������ � �� ���� ����� ���� { }e
�� �������� ������ ���� � ��!��� �� � ���� ������ �����
1
2
{ } 1 ux x
d uu
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞= = − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭� ��-�<:
1
2
{ } 1 ux x
d uu
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞= = − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭
�� �
� � ��-�<.
!��� �� ���� �����
[ ]
1
11 2 3 4
2
2
{ }
v
d v N N N Nv
�
�
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
�-�<(
[ ]
1
11 2 3 4
2
2
{ }
v
d v N N N Nv
�
�
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
�
�� �
�
�
�-�<)
!���������� ��� ���������������� ���������������� �� ���������������������
1
1
2
2
{ } [ ]
u
vu
d N uv
v
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭�
�-�<<
1
1
2
2
{ } [ ]
u
vu
d N uv
v
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
�
��
� ��
�
�
�-�<0
��� �� � 4� ��� D E� ���� B�C�� ����� ��� �� ���� ������ ����� ��$�� P���<�� P���@�� ��� ���� � ������� ��'����� 0��"� 3 �� �� ��$�� ��� ��� ��������������� �� 2����� �� � �� ������ ��$ �����
21 1 ( ) (velocity) = { } { }
2 2e TdT dm d d dV�= � � �-�<-
=� �$� >&�� �-�); �� �� ���� �� �
1 { } [ ] [ ]{ }
2
Te e T edT N N dV� � �= � � �-�<?
!��� ������������ ��3 �� ����$�� ������ ������ ��$��� �$����� ����������������I
1 { } [ ] [ ]{ }
2
Te e T e
vT N N dV� � �� �= ∫ �-�<@
� ����������� ������� � ��B�� C��������������������� �������� ���� � ���������������� �� ��3�� ���� ��� �� ��$����� ���� ��
( )1 { } [ ] [ ] { }
2
Te e T e
vT N N dv� � �� �= ∫ �-�<;
1 { } [ ] { }
2
Te e e eT m� �= � � �-�0:
�� ( )[ ] [ ] [ ]e T
vm N N dv�= ∫ �� �� ���� ����� ����� ���� �� ���� �� �����
������� �� ��� ����� � ��� �� #��� ��$�� �%%���& ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
!��� �� ���� ����� � ��� ��� ��� � � �� ����� �� �� ��
NOELEM
1
eT T= ∑ �-�0.
��� �85>J>/�� �� �� ������ ��� ������"� ������ ����� ��� ��$�� ��� �� ������ ��� ������� ��� ���� ��� �� '����� 0� ���� �
��������� �� ����� >&�� �0�.:0F0�.:- I
NOELEM
1
1 { } [ ] { } { } { }
2
T Te e e e ep k f� � �� ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ �-�0(
#������ �$� �� ������ ��� ���� ���� �� ������ ��� ��� ��������� �������� ��� � � �������� �� ���� �� �
1 { } [ ]{ }
2TT M� �= � � �-�0)
1 { } [ ]{ } { } { }
2T TK F� � � �= − �-�0<
��� B� C� ���� { }�� ����� �� �� � ��������� ���� ���� � �� ���� ���� �� ����� ��� �� �� ���������N� D$E� ���� D�E� ��� �� �������� $������ �� ������ ���� ����� ���� ��N� ���� B#C� �� ��������� $������ ������ ����� ������
"� �&� ����� ��� ��
0, [ ]{ }, [ ]{ } { } { } { }
T T d TM M
dt� �
� � �
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠� ��
� � �-�00
���� �� ������� ���� ������ ��� �� J�$���$K�� &��� ����
[ ]{ } { }{ }
K F�
��
∂ = −∂ �-�0-
����� ��� �$� �� J�$���$K�� &��� ���� ������ ������ ���� �
[ ]{ } [ ]{ } { } {0}M K F� ��� + − = �-�0?
��
[ ]{ } [ ]{ } { }M K F� ��� + = �-�0@
��� �� $������ ����� ���� ��� �� ������ ���� �� ���� ����� ������� ��� ���� ��� ������ �$� ������������������ �� � ������������������ ����"��� ���������� ������������������������������������ �� ������� ������������!�������� �������������������� ��� ������������� ����������� ���� ��������������������������� ��������������� ��������� �������������� �� ��>&���-�0@ � �������� �������������� ���"����� �������������� ������ �� ��� ������ ��� � ������� �� �� ������ �$� ��� ���
����� !����������"���"���#��� ������������������
���� �����
0
1
[ ] [ ] [ ] 1
2 1
6 1 2
� �
�
� �� �
�
�
e T
v
x
x xm N N dv A dx
x
A
⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
�-�0;
" ��&��� ��� ���������������$ ������>&���-�.- �� ���������� ����� �$�����3������
����� �����
[ ]
1
2
1 2 3 40
3
4
[ ] [ ] [ ] e T
v
N
Nm N N dv A N N N N dx
N
N
� ��
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫�-�-:
��� �� ���� ����� ���� ��� ��� �� ���� �� ��� $ ��� �� >&�� �-�(- �+���� ������ �$� ���� �� ��$��� ����� �� �������������� �� �� ���� ��� ��
2
2 2
156 Symmetric
22 4[ ]
420 54 13 156
13 3 22 4
� � ��
�
� � � �
e Am
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
�-�-.
� �� �� �� ���� ��� �� ����� ���� �� $ ��� �� >&�� �-�). � ���� ��� �� �$� �� ��3� �����
������������ ������
#��$������ �� ���� ��������������� ��������������������� ����������������������� ��� �$
[ ] [ ] [ ]e T
vm N N dv�= ∫ �-�-(
!���������� ������P���@����������� D E������"���� D E�D E�� ������� �.-���.- ����� ��>��� �������������������� ����������������.)-� ��$����Q�#���� ����������������� ������������������ ������ �� ���������������$�����% �������� �$����� ���� ��$��� ���
������� �� ��� ����� � ��� �� #��� ��$�� �%%���& ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
�� ����� �� ������� ���� ���� ��$����� ������ D E�D E� ���� ��� ������ "� ����� �� � ��$����� ������ �� ���������� �� D��>&�� �0�.:) E������� �� ���� D%E�D&ED%E��������� � ��� ��D%E�������� ����� ��� ������D E��"�������� $����$��������� ������� ������������ �� ����� ��� �� ������� ��� �� �$�� $�� ���� ���� ���� �� ���������� ��� "��� �� ����������A�����&���������������������&������������������� �����������������������������
��) *�� ������ ��� $��'�� ����� ���� ���"���������� ����� ���������������������������������������� ������������������ ����� ���� ��� ���� � �� �� ������ ���� ���� #�� ��� ������ ���� ��� ��� ����� �� ����� ������ ���������� �������������������� ���������������&� �������������� ���������� ��� � �� ���� �$� �� �� ���� ���� ���� ���� ���� ������ �� ! $��� -�?�
�
�
'��
���
(� (�
����
���#
���#
���#
���#
����� ��' (���� ������� ���� ���� � � ����� ��������
/����� ������� �� ��������� �$� ������ ����� ���� ��� ���� �� �� ���� ��
� � � � � lumped
02
[ ]
02
e
A
mA
�
�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�
����� �� ���� ���� �-�-)
lumped
0 0 02
0 0 0 0[ ]
0 0 02
0 0 0 0
e
A
mA
�
�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�
����� �� ���� ���� �-�-<
!���� �� ���� ����� ������ ����� ���� ��� �� ������ ���� �� ��� ��� $��� �������� ������� ��� �� ��� ��������"������ ���� �$� ��� ���������� ������� �� �� � �$������������� ��� �� ���������� ������������������$�����"� $�������������������� ������ � ���� ��� �������� ��� ��� ������ ���� �� ��� ��� ��� -�@ � ���� ����� �� �������������� ���� ������� ������ �$������� �������� �������� ��� ����������� ���-�; ������������������� ������� ���� ���"������ �$�������������� ��� ����������������������������� ��� �������� �� � ��� ����� ��� ��� �� ��� �� ��������������� �� ����� ����� ��� � ������'�� ���� �$�������%�� ����� �������� ��������������������������� ������� � � ��������������� ����
��$�� %�&�'��(��)�*#+���
"����� ��� ��� ��� ������ �� ���� ���������������� �$�������������� ������ ������������� �� ���� ��� ����� ��� �� ���� ������ ���� �� ����������� ��� �� ����� �� �������!��� ������� ���� �� ���� ������ �� �7R� ������ ����� ���� �� ���� �� �� ���� ��
HRZ
1 0[ ] =
2 0 1
e Am
� ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��-�-0
% �� ������ ��� �� ���� ����� ������ ����� ���� ��� �� � ���� �� �� �� � �$���������� ��� �� ���� ����� ����� ���� �� �>&�� -�). � ��� �������I
2
diag.
2
156 0 0 0
0 4 0 0[ ]
420 0 0 156 0
0 0 0 4
e Am
�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��
�
�-�--
"� ������ ����� ���� �������� �� � �� ���� � �� ���� ��� ��� ���� �$� ���� �� � �$����
������ ��������� �$� ��� �������� ������������ ������ ��� ����"�����$��420
A� ��.0-�H�.0-
2�312
420
A� � ��� ����� �������������� ������� �� A� � �� ������ �$�������� �� 420
312��%�����
���� �� � �$����� ������� �� � �� ����� ������� ��� $����� ���7R� ��������������� �� ����� ���� ��
2
HRZ
2
1/2 0 0 0
0 /78 0 0[ ]
0 0 1/2 0
0 0 0 /78
em A�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��
�
�-�-?
)� ����� �� � �� #��%��� ����� ������� ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
� ���� ��� � �� ���� �$� ���� �7R� ���� �$� ����� ���� �� ��� ��� ���� �� ��� ����� ��� �����������������!����������������P���@����������7R������� ��� ��� ���� ��� ��� �� ����� ���� �$� ��� �� ����� ��� ����� �� ! $��� -�@�
36
m 8
36
m
36
m
8
36
m 8
36
m
8
36
m
36
m
36
m
����� ��) *+,� ����� � ����� �����%� ���� -�� )� ������� $���� � �� � � �� .����� /�� ������&� � � � � � � � � � $�� 0� ������ ����� ��� �1�� ������&�
%�� ��� ���� ����� �� ��� � ���� ��� � ���� ��� ��������� #�� �� ������ �$� ��������������� �� � ���� ��� �������� ��&��� �� ���� ��� �� �$� ���� ���� ����� ���� ������ �������� ���
�������� � '��� ��� �� �� �������������� ������� �! $���-�; � ��� ��$��(����������� ����� ��� ���� S���$K�� �������� ���� ��� ��� ��� $ ��� ��� )� ���� ��� >�� ���� �� ���������&��� �� ��� �� ��� � ���� ��� ��� �� ���� �� �$� ���� ���� ����� ���� ������ ����� ���� ���
������ ��2 3� ������� ���� $ %������ ���&�
=� �$�6�������������������� ������� �����2�( ������� �$���������������� �������
1 12lump
2 2
101 1 2
1 1 1
02
u uAEA
u u� �
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
��
�-�-@
#�� � �� ��� �� ��������� ���� � ��� ��� ���� .� ���� 2� : �� �� ��
22 lump 2
2
AE ALu u
L
��= �-�-;
����
lump 2
2 1.414
E E
LL�
��= = �-�?:
% �� ��� ����� ���� ���� ����� ����� ���� ��� �� ��
1 12cons.
2 2
1 1 2 1
61 1 1 2
u uAE AL
L u u
��
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦
�-�?.
���� � �� ��� 2� :�
( )22 cons. 2 2
6
ALAEu u
L
��
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠�-�?(
"�����
cons. 2
3 1.732
E E
LL�
��= = �-�?)
"� ����� ����� ��� ���� �� ����������� ��&����� ��� �� � ������ ���� �� $ ��� ��1.571 / .�E �"������� ���� ������ �������������� ������� ������������ �������������� �� ������ ������ �� �������� ��&�����
#���� ������� �� ������������� ��� �� 2�L*(�� �� ! $��� -�.:���� $�� �� ������ �$������� � �� ������ ���� ���� ����� ����� ���� ���
� ����� ���4 �5�#������� �� ��� ��� �� ���� $ %������ ���&�
� #
� 6#
��� �� ���� � ����� ����� �����
"� �������� &��� ���� ���� �� ��� ��� �� � �� ��� �� $ ��� ��
1 1
22 2
3 3
1 1 0 1/2 0 0
1 1 1 1 0 1/2 1/2 02
0 1 1 0 0 1/ 22
u uAE L
u A uL
u u
� �
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
�-�?<
% �� ��� 2� :� ���������� ���� � �� �� �� ��
2 22
3 3
2 1 1 02
21 1 0 1/2
u uAE AL
L u u
��
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦
�-�?0
)� ����� �� � �� #��%��� ����� ������� ��
�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
��
2
3
2 1 0
0 1 1 ( /2)
u
u
�
�
− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦
�-�?-
���2
2 4
L
E
�� �= �
!��� �� ����� � ��� ����� ������ ��
2 1 0
1 1 ( /2)
�
�
− −=
− −� � �� �$� �� 2� :�0@-� �� 2� )�<.< �-�??
"��� �� �������� ��&��� �� ��
11.531
E
L�
�= � 2
3.695
E
L�
�= �-�?@
��� ��� ���� ������� ����� �����
=� �$� ���� ����� ����� ���� ���� �� ���� �
1 12
2 2
3 3
1 1 0 2 1 0
1 2 1 1 4 1/2 12
0 1 1 0 1 2
u uAE AL
u uL
u u
� �
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦
�-�?;
=� �$� ��� 2� :� ���������� ���� � �� � ����2 2
24
L
E
� �� = �� ���� ����� � ��� ����� ���� �� ���� �� �
&��� ��
2 4 1 0
1 1 2
� �
� �
− − −=
− − −�-�@:
5�� ���� �$�� �� $�� �� 2� :�.:@� ���� �� 2� .�)(�� "��� �� �������� ��&��� �� ��
11.61
E
L�
�= � 2
5.63
E
L�
�= �-�@.
"� ����� ����� ��� ���� �� ��� ��� �� � �� ��� �
2ii E
L
��
�= � �� 2� .�� )�� 0�� ��� � �-�@(
"���
1 2
E
L
��
�= �
23
2
E
L
��
�= �
35
2
E
L
��
�= �� ��� �-�@)
%�������������$ ������� �������� ���������������������� �� � ������������������������� �� � �������������������&��� ���5���� � ������������� ������������6���� ��� �������� �������� ���� ���� � �� ���� ������ ��� 6���� ���� �������� ������� "���� ���� ��� ��� ����� ��� ��� ���� �������� ��&��� ��� ���� �� �������� ���� ������������������� �����+������ �������� ��������������� � ������������ ���������������� �� �$��������������������� ���� ���������� ��� $���������� ��&��� �� ������"��������� ��� ��� ���� �������� ��&��� �� ����� �������
"����-�.��������������� ���� ���� ������������������� ��������������&��� �������� �� �� ���
������ ��� 6������� ���/������� ��� �� ��%� #����� "��
�#� $� � �)��� $� #��� ����� /7��)��� $� 52��� !�7��)��� $� 6�� �� ����� ���
6�� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � ) � � � � � � �� %���(� �
� ��8��� �#68�� �#9#�� �#92�� �#38�� �#39���613�� �#11�� �#2��� �#58�� �#32�� �#33�� �#39�1
� #152�� 68#��� 692#�� 6586�� 6528��8965�� 8�22�� 8��1�� 6296�� 62�#�� 6515�2
� 835��� 9633�� 3�52�� 3#33��5915�� 56���� 3923�� 3616�� 36#1�3
� 36�1�� 2�2��� 2322����)93��� 1936�� 1�65�� 223��9
� ��)����� ��)�6����#)29��� ��)55��� ��)616�6
#��������������������� �� ���������&��� ������ ���� ���������������������������� �� ��&��� �� ���� ��� � �� ���� ����� ����� ���� ����%� ������ ���� ��� ������ ������ ���� �� �� ����� ���� ����� ������� ��� �� ��&��� �� ���� �� ����� ��&����� �� ������� #�� ������ ����� ��������������� �� D�E�� �� ���������$���� �� ������������ �$����� ��������� ���� ��� ��� ��Q
������� ��� '��� ��� �� � ����� ��������� ����� ����� �� ! $��� -�..�� J�� �� ��$�(�2�.�:����)�2�(���.:���8*��N����������������� ������2�):����N���������� ��� ��*�2�.::����N��� �����2�?@::�3$*����%�� ������� �� ��� ���� � ���������� ��&��� ���� �$� �� ��� ������� ����� ���� ���� � 4��� � ���� ������� �7R� ������� ���� ���� ����� ����� ���� ���"���� -�(� $ ��� �� �������
�)� �� � &���)� '��*� �"����)������ ��� ��������� �� ������)� #��� ��)�*�+ �,-.�)�/,�0� !)� �123�
)� ����� �� � �� #��%��� ����� ������� ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
%�������������� ������������������� ����� $���4���������� ��� ���������������� ���4��� ����� ���� �� ������� "������ �� ��� ���� ���� �������� ��&��� �� ��� ��������"��7R����� �$�������������� �������� $� �$�������� �������� ����� ��� ���������������������������� ���� �������� ��&��� �� ��� �� ����� ���� �������������� ���+�$�������� ���� �$� ����� �$�� �� �7R� ����� �� �������� ������� �������$����� ������� ���������� ���� ��� ������� ���������� ����
"� ����� ���� ����� ���� �� � ����� ��������� ���� ��� $ ��� ��
2( ) sin i
i xv x
AL L
�
�= � �� 2� .�� (�� )�� ��� �-�@<
"�� ����������������������� ��������� ��! $���-�.(��% � ���������������� ������ ���� �� �������� ��� ����� ���� ���� ��� �� ��� �� ��� �� ���� "���� ��� � �� $�������� ���� ������ ��� ��� ��� �� ���� ���� �� ��������� ���� �� ���� �� ������ �����<1� ����� �� �� �������� ��&����� �� �$� ���7R� ������������ "� ��� � ��������� ���� ��T�� �� �� �� � ����� ����� ���* �������� ��� ����� ���� ����� ������� �� ����� �� � ��� �� �� � �$� �� � ����� ��� � � �� �������� �&� ��� ���� ����� ��� ��������
����� ���� ������ �������� � ����� $ %������ ���&�
������ ��� 6������� ���/������� �.:�� ��� �� ������ ������� � "���
��� � �������)� ��� �� ��� �,� ��"�� ��� ����� �������� ,���� ����� ������)��� ������ �,� ,���� .;<� ������)� ���� ��� ��� �� �,� ,���� ���������� ����� ��� �&��
� � � � � � � � � � 6��� ��� ������� � � � ) � %���� � � � �(� �
� �8�8# �8�9# �8�9# �8�9#�8�#� �8�83 �8�9� �8�9# �8�9#�8�92 �8�96 �8�9# �8�9#
� 95�35 92��5 92��1��8�6 93�28 95�28 92��6 92���38�85 92�6# 92��� 92��1
� �##�8 �6��9 �6��5�81�# �#��# �#1�6 �6��8 �6��59�3#�� �66�� �6��1 �6��5
� #6��5 #6#�6�2��� 8�3�# ##5�8 #6��8 #6#�89#19�9 #95�1 #66�6 #6#�8
� 698�5 63#�282��6 682�� 63��3 636�#�8�1�1 633�8 636�6
��� ��� �� � ��� �������� ����� ��� ��� � ���� �� �������+���� ���� � � �� ����� �������� ���������� ��� ��$���� �$�&��� ������
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}M X C X K X F t+ + =�� � �-�@0
#�� ��������� ���� ���� ���� ��� ������������ ���� �$�B#C�2�:��������� �$�����$� $ ������� "������ ���� �������� ��� � ���� ��� ��������
[ ]{ } [ ]{ } 0M X K X+ =�� �-�@-
+���� �$� ����� �� � ���� ��� ��� �� ��&��������� B+�C� 2� B��C� � �� � ����� ��
F� i�D� EB��C� H� D� EB��C� 2� : �-�@?
��2
1 1[ ] { } [ ] { }n n i n i n n i nK U M U�× × × ×= � �� 2� .�� (�� ��� � �-�@@
" �� �� �� ��� �� &��� ���� �� ���� �� ������ $���� �$� �� �������� ��� � ���� ��� ��� ����������� A ��� �� �� ������ ���� ����� ���� ��� D� E� ���� D� E�� �� ��� ��� � ��� �� ���������&��� �� ��� ���� ���� ����� B��C�� �� 2.�� (�� ��� ��� "�� ������� ���� �� ������� �� ������� ��� ��� � ���� ��� ��� �� ������� ��� ���� ����� ������� ��� ��� ��� $��������� ��� $������� B��C�
>&��� ��� �-�@@ � �� �� ��� �����&��� ���� �� ���H�. � ��3������� � 4���� �� ������ ������ ��B��C�� ��� �� �� &�� ����� ��� ������� �� ���� ����%� ����� ��� ���� ��� ��� ���� �� ��� ��� �����������B��C��"��� ���������������� ��������� � �������� ������ �������� �� �� �� ��� ��� $������� B�C�� ���B�C� �� �� : � �� ����� ��� $�������
#�� �� ��� �� ���������� ���� ��� � ��� �� �� ��� ��� �������� ��&��� ���� �������� ���B� C�� #�� �� ��������� �� �� ��� ��� �� ��&����� ���� �� ������ � ����� ���� ���� �� ��� ����� ���� � ��� ��� ����� ��� ���� ����� ��� $ ��� �� �� ���� ���� $������� B��C�� !��������� �� � ���� ���� ��� �� � ����� ��������� ���� ������ �� ��� ����� �� ! $��� -�.)�
����� ���� ����1� �� �� �1���� ��� �� ������� �������� � �����
5( ) sin
xx
L
�� =
����� ���� ������ �� �� �1���� ��� �� ������� �������� � �����
( ) sinx
xL
�� =
���� ��� �� ���� ����� �� ������� �� ��� ������ � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
#�������� ���������� ������������������������ � ��������������� ����� ��� ����� ��� ����� �� �� ������ �$� &��� ��I
1
1
2
2
3
1
3
4
4
5
5
0
1
0.707
0.707
1{ }
0
0.707
0.707
0
1
v
v
vU
v
v
�
�
�
�
�
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎩ ⎭
�-�@;
"���������������� �� ����� ������ ������ ��������� ���� ����� 4����������������� ���� �� ������������ ������������������������ �����"������������� ��B��C������ �$ ��2�.:��� ������������ ���������� ���������������������������������"������ ������� &����� ����������� ���� ����"��������� �������������������������������� �$��� ���� ��� � ������ ����� ���
+������������ ������ �$�������������&����������������� ������� ���������������$ ������ � � ���� ���������������� ���������������� �$���������� ������ �����$ ��� ������� ����� ���� ���� ��� ���� �������� �������� ��� ���� �������� ���������� ��&���������������� ��� � �$�������� ������ �����
� ��� �� � � �� ����� ��� ��� �� ��������� ��� ���� �������� ���� ����� ������ � ��� ��� ��� ��� �������� ��&�������� ���� ���� ���� B��C� ��� 2� .�� (�� U�� � �� #�� �� ��� �� ����� ������� �� ���������� � �$� �� ���� ������ ������� ��� �� � ��������� �������� ���� ��� �� � ���������������� ��&��� �� �������� ������"��� �� �� ������ ���� ���� � � �� ���������� ����������������������������������� ��������"�$���������������$���� �$&��� ���� ���� �� �������� ��� � ���� ��� �� $ ��� ��
21 1[ ] { } [ ] { }n n i n i n n i nK U M U�× × × ×= �-�;:
%� ���� ��� �� >&�� �-�;: � ��
1 2[ ] [ ]{ } { }i i iM K U U�− = �-�;.
��
[ ]{ } { }i i iA U U�= �-�;(
��� [ ] 1[ ] [ ] A M K
−= ���� 2 i i� �= �� %� ���� ����� ��� �� >&�� �-�;: � ��
12
1{ } [ ] [ ]{ }i i
i
U K M U�
−= �-�;)
���B��C� 2� D�EB��C �-�;<
��� D�E 2 D�E��D�E� ���� � 2 .*� ���
"� ����� ��� �������� ��
D�EB�C� 2� B�C �-�;0
��3�������� ������������������� $������������������� �� �����D� EB�C�2�� D� EB�C �� 3����� ��� �� ������������ ������ % �� �� ��������� �$� ���� ��� ���� ������ ���� ��������� ����� ��� ��� �� ���� �� ���� �� � ��� ��� ���� �� ������ �� ���� ����&���� ����� ���� ������� �� ����� �� ����� ���� ����� �� ��� ���� � � �� ����� �������� ����D�E��� ���� ���� �� ���� ��� ��� ������� ��$�� ������ ��� � �$����� 4���� �� �� ������ �������� � �� ��� D�E��� ���� ���� �� �� ����� ��$�� ���� �������� ����� ������ ���� ���$� � 4���� ��� ���� ����� ��������� � ��� �� ���� �� "��� �� � ��� ��������� ��� �� ���� ��� � ��������� ��� ��� ��� �����
+�� ����������������������������� ����� 4��������������+���� ����� � ������������������������� �������������� �����������������������������������D� E�����D� E���� ��� ��� ��� � �� � 4�� ���� �� ���� ����� ����� ���� �� ������ �������� ���������&��� �� ��� �� �������������� ������� ����� ���� �������� �� �� ��� ��� ��&��� �� �� �� �� � � ��� ���$� �������� ���� ���� �� ���3�4 � ���� ����� ��������� ��� �� ������ ���� ������ � �� ���$����� � ����� $� � ������� �� �� ��������"�������� ������� ������ � �$�� ��� ������� .:�� (:� ��� 0: � �������� ��&��� �� ���� � � �� �� ��&����� ���$� ��� ������ ������+����� ������ ��� � �� ��� � � �� ����������� ��� ��� ���� ����������� $������ ������� �� �� �������� ��� D� E� ���� D� E� ���� ���� % �� ������ $����� ������� ��$�� ���� ����� �������������� ���������� �� $������������������ ���� ������������������������������������ �� ��� ���� � � ������������� ��
#�� �� ������ ��� ���������� ���� ��� �� ��� �� ������ �� ��� �� $������� ��� $������������������������� ����������$�� ��������� ������������� ��� ����#���������� ������ �� ��� ���� ���� ���� �� �� ������� ���� ��� ��� ��� �� $��� ���
��+ ,��� ��'��� ��� �� � #��'� �������� ������
"� $�������� ����� ���� �� ����� ������ ��� � ������ �������� ���� ����� ��� ��������+��� ������� ���� ��� �� ��������� ���� ���� �� �������� ��� �� � ���� ���� ��� ����� ��� $�������� B��C�� ���
B+ C� 2� �B��C� H� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C �-�;-
*���� ��%������ ��� ���� %��� ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
����������� ��� ����������� ����� ��������� ��������
'��� ��� ���� � �� ���� $��� ��� ����� B��C � ���� ���� B�C I
D� EB��C� 2� 2i� D� EB��C �-�;?
D� EB�C� 2� 2j� D� EB�C �-�;@
V����� ��� �$� >&�� �-�;? � ��� B�C��� �� ���� �
2{ } [ ]{ } { } [ ]{ }�T T
j i i j iU K U U M U= �-�;;
"�3 �$� �� ��������� ��� >&�� �-�;@ � ���� �������� ��� �$� ��� B��C�� �� $�
2{ } [ ] { } { } [ ] { }�T T T T
j i j j iU K U U M U= �-�.::
#�� D� E� ���� D� E� ��� ������ ���� �� �� ��������� �� ���� ���� �� � � �� ����������� ������������ >&�� �-�.:: � ����� >&�� �-�;; � ���� ���� �
:� 2� 2 2( )i j−ω ω B�C�D� EB��C �-�.:.
� ��� ��� ��� � �� ���� $��� ����� �� ���� "�����
B��C�D� EB�C� 2� : ��� �� , �-�.:(
��� �� $�������� ��� ��������� ����$����� � �� ������ ��� �� ����� ���� �� D� E�
��������� ������
D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.:) =� �$� �� ������� ��� �� ���� �� �
�D� E� F� �D� E B�C� 2� �� �� F� � D� EB�C �-�.:< ��
[ ]K B�C� 2� D�EB�C �-�.:0
"��� �� �� ���� ��� ���� �$� �� � ��� �� �� $������� ��� �� ������� �� ��� ������$ �$��� $���������" ���������� ������ ����� ���������������������� ������ ��4�� $������� � ��� � $ �� ����� ���� � ��� ����� ��� ������ �� �����$��� ��� ���� ���� $�������
����� ������ ��������
%���D�EB�C� 2� D�EB�C �-�.:-
J�� ��� ��� �� � ����� � �� �$
DD� E� F� �D� EEB�C� 2� �� F� � D� EB�C �-�.:?
#�� �� ���� '���3�� ������ �� ���� ���
D�E� F� �D� E� 2� D(ED&ED(E� �-�.:@
���D(E� ����������� ��$��������� ������D&E� ����� �$��������� ��������� �������������������D&E� ������������������$�� �������� ��D&E�&���������������� $��������������������" ���������� �� ��� ���������� �����3����� $������ ����� ���� #����������� ��������� $��������������������� ��������������� ��� $���� $�������� $��� $��������� ��� ������������������� �&���� ��3��+���������3� �� �� �� �� ����� �� ���������� $������� ����� �� ������ ���� ��� ������ ������� " ������� ���� ���� $������ ������ ���� ���� ���� $�������� �� ��� �$� ���� �� ��� ��� ���� �� ������ ��
��- ,��� �� �� � #��.����� �������"�� ��� ���� ����� ��� $������ ��������� ��� ����� ��� ��� $������ �������I
.�� O��� ����� ����� �����(�� "���������� ��� ����� �����)��W����� ���� ��� ����������
"� �������� ������������� ��� �� ��� ��� ����� ��� �� ������ �$I
D�EB�C� 2� B�C �-�.:;
DD�E� F� D*EEB�C� 2� B:C �-�..: ����
[ ] [ ]A I�− � 2� :� ���� �� ����� � ��� B�C �-�...
"���� ���� �� ������������3����� ����������������������������� �����MD�E�F�D*EM�% �� ������ �� ��� ������� �� ���� $����� �� ����� ���� ��� �� ��� ����� �� ! $��� -�.<�� G��� ��������� ��� �$� �� � $�� ���$�� �� �� ����� ��� �� ���� ������ �� ���� ����� ��������� $��������
���� �� ���� ��� ������ ���� �������� �� ����� �� ������ ��� �� ����������� ����� ������>������ ������ ������� �������� � 4� ����� � � �&� ������ ������������
����� ���� ���������#���� � ���1� �
�� �� �� ��
��
� � �� �
*������ � ��� ���� (����� ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
����� �$��� �������� ��������������� ���� �����������&� ���������� �������� $��������� ������� %� � ��� ������ ���� � ������ ��� ������ �� � �� ���3�
"� ������ $����� ��� ������� � 4��� �� ����������� ������ �������� ������� ������������ �� $������ ������� ��� �������I�A ��
D�EB�C� 2� B�C �-�..(
"��������� D�E� ���� �� � �$����� ���� �� ��� �� � �$����� ���� ��� �� �$� �� �� �� ��� ���� ������������ ���� ��� �� ���� [ ]A � 2� D" E� D�ED" E�� ��� D" E�� �� ����������� ��� ���� ��� ����������������$��������� ��� ���D" E��2�D" E����#������������������������D�E���������� ������ �$��������� ��� ��� ����������� ��� �$����� ���������� �� �&� ��� $�������+���$� �� ���� 3����� ������ ��� � �� ���� ��� �� A ���� ������ ���������� �����X���� �������������J���4���������%�� ���� ��������X���� ������ ��� �������� � �� ��������� �������� ������� ������ ��� � � �� ����� �������� ���3�$��
"� � ���� $����� ���������� � 4��� ������ ������� �������������� ������ ����� �$� ��� ��� $������� ���� ������ �$� ������ ���� �� ��� ����� ���� ��� �����$� ��� �� �� �� $��������%�� ���� ����������� ����������� ���� ���������������������������������� ����� ���� ��� ������� ���� � ���������� ���� �������� ���� ��� ������� W����� ���� �������� ��� ��������� ��� ����� ������� ������ ��� � � �� ����� �������� ���3�$��
��,�� ������������������"��+���
"� ������� ��� � ��� ��� ������ �� ����� ��� �� ����$���� ��� �������� ��� � $���������%� ������ ����� ���� �� ������ �� $������ ������� $ ��� ��
D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�..) %���
B��C�D� EB�C� 2� : ���� �� �� , �-�..<
#�� �� ����� �� $�������� ���� ���� B��C�D� EB��C� 2� .� ���� �� �����$� ��$��
�� � ����� $�������� ��� �������� ��� �� ���� ��� �� ���� �� �
D�E� 2� DB��C� �� B��CE �-�..0
D�E�D� ED�E� 2�
1
2
0
0 n
�
�
�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��-�..-
D�E�D� ED�E� 2�
1 0
1
0 1
�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�..?
��� �� ��� �� $�������
"��� �� ���� ���� ��� ���������� �� $������� ��� D�E� ����$� �� �� �� ��� ���� �� ��� ������ ���� ����$�� ���� �3� ��� ���������� D� E� ���� D� E� ���� � �$��������� ����%� �������� �� �� ��� �� �������� � �� ������ ��� �� $������ ������� �� ��� ��������� ������ ��
D�EB�C� 2� B�C �-�..@
J�� ��� ����� �� ����������� ��� ���� ��� ���� ��� D" E�� "� ���� �� �������� ���� ����� �������������I
O���� D��E� 2� D�E �-�..;
'������ D��E� 2� D"�E�D��ED"�E �-�.(:
���D"�E�����������������������3������������� �$������������������� �4����'�����
D��E� 2� D"�E�D��ED"�E� 2� �D"�ED"�E
�D�E�D"�ED"�E �-�.(.
��� D"�E� �� ������ �� ���� ������ ��� �����3� ������ ����� �$����� ����� ��������� � 4���#�� ������������ �������� �����$����� ��� ������������.��( ������������������$� ������ ���4��Q� "��� �� ��� ��� ������� ������ ���� ����� '�����
D�E� 2� D"�ED"�E �-�.((
7���� � ��������� � ��������� �� ���F�.��� ������ �$����������������3� ��4����+�� � ����$��������� ��������������Y������K��������������� �$������������8����������� �� �� �����
+���� ������ �������������������������� ����� �$���� ���� ������ �� D�E��%���3�������� ��� �$���� ��� ���������������������� ����� �$����� �������� ��������������� �� �� ����� � �$���� ��� ���� %� ���� �� �� �� ������� ����� ��$�� .1� ��� �� �������� �$��������� ������ ���������� �$���������� �� ���� ���� � ����������������������� �� ����� 4��Q�5��� �� ������� �� $������� ��� ��� ���� ���$� �� �������$ ������ ������������ �� ����������� ��� ���� ��
D�E� 2� D"�ED"�E� � �-�.()
���� �� � �$����� ������ ������� ��� ���� ������ ��� ��� ��� �� $�������
������ �������
#���������� �$������������� �� ����� ������ ���4���� ����������� �$����� �� D"E� ��������
�-�.(<
*������ � ��� ���� (����� ������ ��
1 0 0 01
1cos 0 sin th row
[ ] 0 1
sin cos th row1
0 1
th col.
� �
� �
�
�� �
�
iT
j
i
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− ←⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥
←⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
↑ ↑h t col.j
�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
��
2tan 2 �
ij
ii jj
a
a a=
− ��� ���� �� ���-�.(0
4
�� = �� ���� � 2� � �
#�� �� ��� ���� �������� �������� ���� �� ��������� ��� ���� ��� ��� ������� D"E�D�ED"E����$� ����������� ������ �� ��� ���� #�� �� 6���� �� � ���� ���� ��� ��� ��� �� ��������� �$���� ����� ���� ��������� � �� �� ���� ��� �� ���� �� ��� ��� �� ����
%�� �� ��� ���� D�E� ���� D�E� ��� �� �� ��� ���� !>/�� �� ������� � ������ ������ �X���� ������������� ������������ ��D�E� ����� �$�������������������� ���#��D" E����������� �����3� �� $�� ��� ��� ��� D"E�D�ED"E� � ��� ��� �� � �$����� ����� ������ 2����%� ���������� ����� �� ��� �� X���� � ���� ��� �� ������������ $������ �������
D� EB� C� 2� ��D� EB�C �-�.(-
J���������������� �������3�$������������ ���J������� ��������������� ������� ���
1 0
1 th [ ]
1 th
0 0 0 1
i rowT
j row
�
�
⎡ ⎤⎢ ⎥ ←⎢ ⎥=⎢ ⎥ ←⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.(?
���� ��� ��� �� �
[ ] [ ] [ ][ ], [ ] [ ] [ ][ ]T TK T K T M T M T= = �-�.(@
#�� �� �� ��� �� � �� ���
� � ��ij ij ii jj ijk k k k k= + + + �-�.(;
� � ��ij ij ii jj ijm m m m m= + + + �-�.):
� ���� � ���� �� ���� ��� �� ���� ������ ���� 0, 0ij ijk m= = �� "� ����� ��� ����� ���� � ���
�� ���� ��� ��� �������I� J�
1 ii ij ii ijk m m k� = −
2 jj ij jj ijk m m k� = −
3 ii jj ii jjk m m k� = −
thcol.j↑
thcol.i↑
=>�?��@���)��� ��������� ����������)� A ����-.�� ��� B����)�/,����)� #����
23 3
4 3 1 2 sign ( ) 2 2
� �� � � �
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠�-�.).
��
2 1
4 4
, � �
� �� �
−= = �-�.)(
#�� �� ��� ��� ���� ���� D�E� �� �� � �$����� ������ ����� ���� ��� �� ��
1 2 , ii ij jj ijm k m k� �= − = − �-�.))
%�� ��� ��������� ��$���� ��� X���� �������� �$� �� ������ �$�������
���������� '��� ������������������������ ���������������� ��! $���-�.0 ����$� �$� �� ��� � ���� ����� J��(� 2� .������ 2� ):� �� .:��� ����)� 2� (� �� .:��� 8*������ 2� ?@::
� # # 6 6
#76
� 8
#76 #76
����� ���� �1���#������� �� ��� ��� �� ��%� #����� ���� $ %������ ���&�
3$*���� =� �$� ���� ����� ����� ���� ��� �� �������� �� ������ ���� ����� ���� ��� ��� ��� ������ �����
8 8
8 8 81
8 8
1
0.360 10 0.180 10 0
[ ] 0.180 10 0.360 10 0.180 10 ,
0 0.180 10 0.180 10
0.052 0.013 0
[ ] 0.013 0.052 0.013
0 0.013 0.026
K
M
⎡ ⎤× − ×⎢ ⎥⎢ ⎥= − × × − ×⎢ ⎥⎢ ⎥− × ×⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.)<
������ ������������������� � ��� ��������� ������������ �������������� �$��������������� ��� ���� ��� ������� �
%� � ��� ���� �� �� $��� ��� ��� � �� ������ �� �$� �� $���� ��� X���� � ������ 5������ ��� ���� ��� ��� 4�� �$� �� ������ �.�� ( �� �.�� ) � ���� �(�� ) � �� D� E� ���� D� E����� ���! ���� ���� �� 2� .�� � ,� 2� (�� !���� >&��� �-�.). F�-�.)( �
��� 2� .<:�<:::�:� ��� 2� .<:�<:::�:� ��� 2� :� ��� 2� .<:�<:::�:
*������ � ��� ���� (����� ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
1
1 1 0
[ ] = 1 1 0
0 0 1
T
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.)0
82 1 1 1
1.08 0 0.180
[ ] [ ] [ ][ ] 10 0 0.360 0.18
0.18 0.18 0.18
TK T K T
⎡ ⎤⎢ ⎥
= = −⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.)-
2 1 1 1
0.078 0 0.013
[ ] [ ] [ ][ ] 0 0.13 0.013
0.013 0.013 0.026
TM T M T
−⎡ ⎤⎢ ⎥
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.)?
! ���� ���� �� 2� .� ,� 2� )�
2
1 0 0.309
[ ] 0 1 0
1.24 0 1
T
−⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.)@
83 2 2 2
1.80 0.222 0
[ ] [ ] [ ][ ] 10 0.222 0.36 0.18
0 0.18 0.172
TK T K T
−⎡ ⎤⎢ ⎥
= = − −⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.);
3 2 2 2
0.0856 0.0161 0
[ ] [ ] [ ][ ] 0.0161 0.130 0.013
0 0.013 0.0415
TM T M T
⎡ ⎤⎢ ⎥
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.<:
! ���� ���� �� 2� (� ,� 2� )�
3
1 0 0
[ ] 0 1 0.47
0 1.36 1
T
⎡ ⎤⎢ ⎥
= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.<.
84 3 3 3
1.80 0.222 0.105
[ ] [ ] [ ][ ] 10 0.222 0.188 0
0.105 0 0.421
TK T K T
−⎡ ⎤⎢ ⎥
= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.<(
4 3 3 3
0.0856 0.0161 0.00756
[ ] [ ] [ ][ ] 0.0161 0.242 0
0.00756 0 0.058
TM T M T
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
�-�.<)
%������� ���� ������� �$����� �����������4������������ ��� ��4����+����� ����������$� $ �������%������������������������������������.��( �����(��) ������%� ���� ������ �� ������� ����� �� � ��� ���� ���� ��� ��� ��������� ���
69
6
1 0 0
[ ] 0 1 0.132 10
0 0.373 10 1
T −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
= − ×⎢ ⎥⎢ ⎥
×⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.<<
10 17
8 10 2210 9 9 9
16 16
1.96 0.216 10 0.284 10
[ ] [ ] [ ][ ] 10 0.216 10 0.161 0.222 10
0.416 10 0.421 10 0.424
TK T K T
− −
− −
− −
⎡ ⎤− × ×⎢ ⎥⎢ ⎥= = − × ×⎢ ⎥
× ×⎢ ⎥⎣ ⎦
� �-�.<0
11 18
1110 9 9 9
18 17
0.0859 0.156 10 0.204 10
[ ] [ ] [ ][ ] 0.156 10 0.248 0
0.195 10 0.694 10 0.0612
TM T M T
− −
−
− −
⎡ ⎤× − ×⎢ ⎥⎢ ⎥= = ×⎢ ⎥
− × ×⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.<-
%��������� ���� ������� �$����� ������ �� D��E� ���� D��E� ����$� $ ���� �������5���� ����� ��� �� $������� ��� �� ���� ���� ������
811
111
1 1 1.96 10 7597 Hz
2 2 0.0859
kf
m� �
×= = = �-�.<?
822
222
1 1 0.161 10 1280.43 Hz
2 2 0.248
kf
m� �
×= = = �-�.<@
833
333
1 1 0.424 10 4187.64 Hz
2 2 0.0612
kf
m� �
×= = = �-�.<;
� ������������������$ ����$� �������� ���������� ��"����-�.��������������������$� �� ����� �� ������$��� 5��� �� ���� ��� �� $�������� �� $ ��� ��
1 2 9[ ] [ ][ ] [ ]T T T� = � �-�.0:
*������ � ��� ���� (����� ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
0.697 0.745 0.886
[ ] 1.21 1.29 0
1.39 1.49 0.886
�
−⎡ ⎤⎢ ⎥
= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.0.
���������������� ������������������������������������� [ ] [ ] [ ] [ ].T M I� =Φ%����� ������� �� D�E����������� ������� ����� D�E� ����� [ ]� �� ������ �$� �� �������� ������� ����� �� �� ��� ����%� ��� ���� �
2.38 1.50 3.58
[ ] 4.13 2.58 0.005
4.74 3.01 3.59
�
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.0(
%������� ���� ���� $ �������� ������������ ��� ������ �����( ��O�� �$�X���� ����������� �������������� ������$������������� ��������� ���� �������� �������������� �� ������ �������� ������� � � �� ����� ��� ����$� �������� ����� ��� ���� �� ��������,�� ������ ��� ������ ������� �� �� ��� ��� ����� �� �� �� ��� �� � � �� ������ ������������ ���� #�� ���� �� ��� ��� ����� ���� ��� �� � �$����� ������ ����� ���� �� � ��� ���� ��� �� �$����� ����� X���� � ����������� ���� /������� ���� ���� ���������� ������ ������� ���� ������������� �����"����������������� �������� ��������$���� ���X���� ���������� ��� ����� �� ������ $������ ������� ��� �� �������� ���� ��� ��� &�� � �������������� �� ��� ��� � �� ��� ���
��,�� ��#����-��������"��+������ �� ������ �������� ������
'��� ��� �� ��������� $������ ������� D�EB�C� 2� B�C�� J�� ��� $��� ��� �� ��B��C ���B��C ���� ��B��C �� � ��� ���� ������� ���� ���� �� �������� ��� �� � ���� ���� ��� ����� ��� $��������� �� �� ��� ������ B+�C� ���� �� �� ���� ��
B+ �C� 2� �B��C� H� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C �-�.0) '�����
B+�C 2� D�EB+�C� 2� �D�EB��C� H� �D�EB��C� H� �� H� �D�EB��C
2� ��B��C� H� ��B��C� H� �� H� ��B��C �-�.0<
+���� ������ �$� ������ �� ��� ���� � �� D�E��� � ���� �� ���� �
11 1 1 2 2 2
21 1 1 2 2
1 1
{ } { } { } { }
{ } { } { }
m m m mn n n
m m
m nn n
X c U c U c U
c U c U c U
� � �
���
� �
+ = + + +
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
�
� �-�.00
#�� �� Z� �� Z� ��� �� Z� ��� ��� ( )2 1 1/ 1, , / 1n� � � �< < �� ��� ����� ������ ���� ����
1
0�
�
m
i⎛ ⎞→⎜ ⎟
⎝ ⎠� ��� 2� (� )� <�� ��� � �� ��
11 1 1{ } { }m mX c U�
+ ≈ �-�.0-
!��� ������� �� ��� $������ �� ���� ��� �� $��� $������� ����� .:� ���� ����������.*0 �� 2� :�::::::.:(<�� � �� �� �$� $ ���� ������� #�� �� �� � ����� $������� ��� ������������ �� �� ���������B+���C�� ������� ���������� ��������������� ����������B��C� �� ���� ���� ����� ������ ��� ��� %� ���� ���� �� ��� �� ��� ������$���� ��� � $������� B��C��� ������� ����� ��� ����� ���� �� ���� ������ �� ����� ��������
�� �� ��� ���� ����&����� #�� �� ���� ������� ( ){ } [ ]{ }/{ } { }T TX A X X X �� �� $�� ��� ������ ����� ���� ��� ��� #�� ������ �� ������� ����� ������ �� ��� ���� �� �� ���� �� ��� ������ B+�C������$��� �� ������� ��� �� ���$��� $������ ���� �� ��������� �$� $�������
"�������������$���� ������&� �3����������� ���� ������������������� ������ ��� ��� ���� �������� �� $������� ���� #�� ��� $������ �� ����� ��� �� $�� $������� ����� �� ��� �� ��:�;�� ������������������ ���� ����� �������� ��� ��� ��B+C�� ������ ��� ��� "�� ������ �� ���� ��� �����$���� �� ��� ��� ������� �� $������� �������� � �� �������� �� ���� ������������ ���� �� �� $������ � ��� ��������� !��� ������� ���� 2� .::� ������ 2� ;:�� � �� �$��*�� 2� :�;�� #�� �� ��� �� � ��� ����� 2� @0�� ��� �� ������ �������� �� [ ]A � 2� D�E� F��D* E�� ������ ��� ���� ���� ��� 1� � 2� .::� F� @0�2� .0� ���� 2� �2�;:� F@0� 2� 0� � �� �$� 2 1/� � � 2� :�))�� +���� .:� ���� ����� ��*�
�� 2� �;:*.:: �� 2� :�)<@-� ����� ��*��
�� 2� �0*.0 �� 2� :�::::.0Q
������� �� ����� ��������
#�� ��� ���� � � �� ����� �������� ������� ��� �� ������������ $������ ������
D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.0?
%�� �� ����� �� ��� �� ������ ���� ��� ���� ��� � �� ������������ ������ �� ��� ������ ���� D� EB�C� 2� ��D� EB�C� ���� �� �� ���� ��
=C���� ���� ���� ���� ����� ��� ��� ��� ��� ����,��� �� � � ��� "��� � D+E� ��� � ����� � �������� ��� D��E�
D�E��D�EB�C� 2� � �B�C
D�EB�C� 2� B�C
+����� B�C� ���� ������ ���� ��� D�E� �������$� ��� �� ���$����� ��� �� ���$���� �
!57%+7O�#">7+"#58
.*� �B�C� 2� D�E��D�EB�C
B�C� 2� D�EB�C
+����� B�C� ���� ������ ���� ��� D�E� �������$���������$����� �������������
#8W>7�>�#">7+"#58
� ���������������� ������� ���������� $������� ������ ����������������� � ���������� �� ������� ��� �� �� ����� ���� ��� �� ��������� �������
#�� ��� ���� �������� ������� �� $���������������� ������������ �$���&��� ��������7��� $�P��� ��� �-. �� �� ��� ��
{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ }
T
T
X K XRQ
X M X= �-�.0@
*������ � ��� ���� (����� ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
" �� �� ����� ��� �� ����� ���
D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.0;
"�����
B�C�D� EB�C� 2� ��B�C�D� EB�C �-�.-:
"���
2 { } [ ]{ } { } [ ]{ }
T
T
U K U
U M U� ≈ �-�.-.
" �� ��� �� ������ �������� ��� �� ����� ��� ��$�*3 �� �� ��$���%� ��� ������� ����� ���B�C� �� �� ��� ��� ���� �� ���� ������ "�� � �� �� ��$� ���� ��� �� ������ B�C�� �� ������������� �� B�C�D� EB�C� 2� .�� ���� �� ��� ���� ��� � ����� ������� ��-.�� ���� ���� ��� � ���� �� ������� � ��� �� $������ �����$��� � �� �� ����� �������� � � ��
�������� ��� ����� �������� �����
/���� 01 !�������� �� $������ D�E� ���� D�E� ���� �� ���������� ��� ����� D� EB�C� 2���D� EB�C�
/���� 21�+����� �� �� ��� ������ B+�C�
/���� 31� '������ B-C� 2� D� EB+�C�
/���� 41� ����� D� E{ }X � 2� B-C�
"����� �� ���� ������� ��� � ������������� ��� �$����� ���������B+ �C����D� E��D� E�#��������� ��� � �� �������� ��� ��� D� E������ ��� ���� �� ��$�� ���� ���� ���� �$� D� E{ }X � 2B-C�� ��� � ������� �� '����� 0� ��� ��� ��� 0�? �
/���� 51� 5��� �� B+ �C� ���� { }X ���� ���
2{ }TX D� EB+�C� 2� .
��
2 1{ } { }
{ } [ ]{ } TX X
X M X= �-�.-(
/���� 61� '������ � 2� 2{ }TX D�EB+ �C�
7���� ����� �) F�- � � ��� � �����$�� ��� � � �� �� ����� ��������"� ����� ���� ������������������� ��������������� ������ ���� ������ ��� ��
��� �� � ���� $��� �� ��� �� ������� � ��� ������ ����� �������� ���� � ���� �� �� � ���� ������������ ��� �������� ������� �� ���� � �$� �� ��� ����� ���� 6���� �� ����� � $��� ���#�� �� � ������ �������� �� ���������������������$�� ��� �� ���$��� $��� ���"���� ��������� $��� ��� ������ ��3� ��� � �� ���� �� ��� �������� ��� � ��� ���� �����$� ��� �� ���$�� $��� ��������7��������� �� ������������������� ��������� �������������$���������������� $�������� ���� �� ���� ���� �����$� ��� � �� $�������� " �� ����� ��� ��� �� ���� ������ � �$� $�� $��� ��� ����� � �� ����� ���� ��� �������
!����������� ��������
%���D� EB�C� 2� ��D� EB�C �-�.-)
J�� �B��C�� �� ������ $��� ��� �� ������� 3����� ���� ���� ������� ����� ���� ���� "������ ���� �� ��� ������ �� ����� B+�C� ��� $�� B��C�� ��������� �B��C�� ��
�� 2� B��C�D�EB+�C �-�.-<
2{ }X � 2� B+�C� F� �B��C �-�.-0
"��� ����� ������ ���� ���� 2{ }X �� ��� �����$� ��� B��C�� J�� ��� �� ��� � �� ������
J�B+�C� 2� �B��C� H� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C �-�.--
����B��C
�D� EB+�C� � 2� �B��C�D� EB��C� H� �B��C
�D� EB��C
� � � � � � � � H� �� H� �B��C�D� EB��C �-�.-?
� ��� �� $�������� ��� D� E� ����$�����
B��C�D� EB��C� 2� : ���� ,� 2� (�� )�� ��� � �-�.-@
B��C�D�EB��C� 2� . �-�.-;
"����� �� 2� B��C
�D� EB+�C� 2� � �-�.?: "���
2{ }X 2� B+�C� F� �B��C
2� �B��C� H� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C� F� �B��C
2� �B��C� H� �B��C� H� �� H� �B��C �-�.?.
%���� ����� � �����B��C���������� ����� �� �� ��������� 2{ }X ��"������ 2{ }X �"������ ������������������$�������������� ������������$�����B��C��#�� ��� �������� �� �� ����� ���� ������������������������ ��A���F��� �������� ��� ������ ���� ���5����� ���������� �����������$������ $��� ��������B��C��+�������� � �$�������B��C��� ���� ���� ���� B��C�� ��� ��� ��� �� ������� �� ��� ������ $ ��� ��
{ }X � 2� B+C� F� �B��C� F� �B��C �-�.?(
��� �� �� � � ������ ���� ���
�������� ��� ����� �������� ���� !����������� ��������
/���� 01� !�������� �� �������� $������ D�E� ���� D�E� ���� �� �� �� ���������
/���� 21�+����� �� �� ��� ������ B+�C�
*������ � ��� ���� (����� ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
#�� ���� �$� ���� �� ������ $��� ��� $�� ��� ���� <�� >���� $�� ��� ���� )�
/���� 31� V������ ����� ���� ��
1 11
{ } { } { }m
i ii
X X U�=
= − ∑ �-�.?)
��� �� 2� B��C�D� EB+�C� ������ ������ �� 8��� ��� $��� ��� ������� ������
/���� 41� '������ B-C� 2� D� E 1{ }X �
/���� 51� ����� D� E 1{ }X � 2� B-C� �� � ���� ��� ����� ��� ��� ���� �� ������ �
/���� 61� 5��� �� B+�C� ����� 1{ }X � ���� ���
{ }2T
X D� EB+�C� 2� . �-�.?<
21
{ } { } [ ]{ }T
XX M X
= �-�.?0
/���� 71�'������ �� ��� H� . � � $������� ��� ���� 2� B+�C�D�EB+�C�
7���� ����� �) F�? � � ��� �� ��� ��������� �����$��� �� �� ���
���������� �������� ������
#�� �� A���F��� ��� ����� ��� ��� &��� ��� �� ��� ������ ���� ���� ����$����� ��� ���� � $�������� ���� ��� ��� ��� "��� �� ���� ����� ���� �����$��� ���� ���� ��� ��� � $��� ��� �� �� �&��� ��� ������� ����� �$� ����� �� � ���� � ��� ����� �� ��� ������� #�� ������� ������ �� ������ � �� �� ��� ��� �� ��� ������� ���� ����� ��� ��� � ������������
" �� ���� ������� ��� � ������������ �������� ���� �������������� ������ ����� ����������"���� �� ��� �� �������� ���� �� �� � ����� �� ��������������������������$����� ���� ���� ��� ��� ���� ��� � ��� �����$� ��� � �� ���� $���������%� ��
D� EB�C� 2� � �D� EB�C �-�.?-
"� ��� �� ����� �� � �� ����� ��� ���� ���� ���
/����01�'�������� ������������ 1{ }n mX × ��!���������� �������� ������������� �� � �������������������������$����� ������ �������J����� ������ ���� ��� ������������������ ���� ��������� ��� ����������� ��� ��� ������� 1{ }n mX × � ����� 1{ }n mX × �� ���
1 1{ } [ ]{ } [ ]TX M X I= �-�.??
/���� 21�'������ 1{ } [ ] { }n m n n n mR M X× × ×= �
/���� 31� ����� ���� 2{ }X � ����� 2[ ] { } { }n n n m n mK X R× × ×= �
� ��
/���� 41� '������ 1 1[ ] { } [ ]{ }Tm m X K X� × = �� DE� �� ���� ��� ��� �� � � ���� ��� �� � �$����
������ ��� � �� ��� ���� ������� ������ ��� ��� ��� �� $�������� "� ���� ���� ������ ���� � ��� DE� �����$�� �������%�� �����$��� DE� � ��� �� ��� �� ����
1
2
0
0 n
�
�
�
≈⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥≈⎢ ⎥⎣ ⎦
� �-�.?@
���� �� ��������� �$� B+ C� � ��� ��� �� $��������%� �� ���� ��� ��� �� ����� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ����� ���� ��� ����� ���� �
������ ��� ���� ��� �� ��� �������� "� � $� � ����� �� �� ��� �� �� �� �������� ��� $����������� ��� ������� B+C� ����� �� $ ���� { }X �� � �� �� ���� ���� ���
"�� $�� B+C� ����� { }X �� �� ��� �� ������ �$� ���� � ��I
{ } [ ] { } [ ]Tm n n n n m m mX M X I× × × ×= �-�.?;
J�
{ } { } [ ]n m n m m mX X S× × ×= �-�.@:
"�����
{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ }[ ] [ ] [ ][ ] [ ]T T T TX M X S X M X S S D S I= = = �-�.@.
��
[ ] { } [ ]{ }TD X M X= �-�.@(
'���3�� ������ �� ��� ��� ��� 0�? D&E� 2� D(ED(E� �-�.@)
"��� ����� >&�� �-�.@. �D/ E� 2� D(E�� �-�.@<
"���� ��������� ��� � �� �$� �� ����������� ������ ��� B+C� ����� { }X � ������� ��� ���� ����� ��� �� ����� �� ��$����� ���� �� D(E� ���� ��� ����� '���3�� ������ ��� ��� ��{ } [ ]{ }TX M X �� %� ������ �� �
{ } { }[ ] TX X L −= �-�.@0
V������� ��� �$� � �� D(E��� �� $�
{ }[ ] { }TX L X= �-�.@-
+�� � �$� �� ��� � �� �������� ������ �� ����� 1[ ]L − ��������� ������� ��B+C� ��� �� ����� ��
��� >&�� �-�.@- � ��� ���3����� ����� ��� ��� ��� ��� ��� 0�? �
=C����� ���� �� ������� � �F��;����� ��)�)��%�������������&� ���������� �� ��� ������)�*�+ �,-.�)� /,�0� !)� �112�
*������ � ��� ���� (����� ������ ��
�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
�������� ��� ��������� �������� �����
/���� 01� !�������� �� �������� $������ �� ������ ���� ����� ���� ��� D�E� ���� D�E�
/���� 21� '���� �� �� ��� ������ ��� 1{ }n mX × �
/���� 31�'������ 1 1[ ] { } [ ] { }Tm m m n n n n mD X M X× × × ×= �
/���� 41� '���3�� ������ �� [ ] [ ] [ ]Tm m m m m mD L L× × ×= �
/���� 51� ����� ���� 1{ }n mX × � ����� 1 1 { } [ ] { }Tn m n m n mX L X× × ×= ���� ���3� ����� ��� �� �
/���� 61� '������ 1[ ] [ ] { }n m n n n mR M X× × ×= �
/���� 71� ����� ���� 2{ }n mX × � ����� 2[ ] { } { }n n n m n mK X R× × ×= �
/���� 81� '������ �� 7��� $� &��� ������� �� DE� 2� 1 1{ } [ ] { }Tm m n n n mX K X× × × �
7���� ����� )F@� � ��� ��� ��������� �����$��� �� ���� ��� �� DE�� ��� �� ����� �$������������������$� $ ��������������������$� ����� �$������������������� ���� ����� �� ��������� �� �$� $ ���� ������
%� � ��� ���� ��������� �� � ���������� ������ ���� ��� �������� �� �$� �� ������ �$������
������� ���� ������ �9�������� �:� �� :�����:���� 9��; '��� ��� �� )������ ����� ��� ��� �������������� ��! $���-�.0��J��(���.��������):���.:�������)���(���.:���8*��������?@::3$*���� =� �$� ���� ����� ����� ���� ��� �� �������� �� ������ ���� ����� ���� ��� ��� ��� ������ �����
8
0.360 0.180 0
[ ] 10 0.180 0.360 0.180
0 0.180 0.180
K
−⎡ ⎤⎢ ⎥
= − −⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.@?
0.052 0.013 0
[ ] 0.013 0.052 0.013
0 0.013 0.026
M
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.@@
� ����� ��������� ���� ��>������-�<��J��������� �� �� ��� $��� ������ � �� ������� �$� �� � ���������� ������ ���� ��������
������� J�
1 3 3
1 0 0
{ } 0 1 0
0 0 1
X ×
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.@;
1 1
0.052 0.013 0
[ ] { } [ ]{ } 0.013 0.052 0.013
0 0.013 0.026
TD X M X
⎡ ⎤⎢ ⎥
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.;:
"� ���������� ��� �� ��� ������� ��� $ ��� ��
1
4.39 1.13 0.444
{ } 0 4.53 1.78
0 0 6.66
X
−⎡ ⎤⎢ ⎥
= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.;.
1
0.228 0 0
[ ] [ ]{ } 0.057 0.221 0
0 0.0589 0.15
R M X
⎡ ⎤⎢ ⎥
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.;(
���� �$� ���� 2{ }X � ����� 2[ ] { } [ ]K X R= �� �� ��
72
0.158 0.155 0.0834
{ } 10 0.190 0.311 0.167
0.190 0.343 0.250
X −
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.;)
>������ �$� �� ����������� ��� ��� ������� B+�C�� ����� 2{ }X �� �� ������ ��� �� �����
���� ����+���� � �� ���� ����� ���� ������ ��� ��� ������� ����� �� ���� ��� ��
1.50 3.59 2.37
{ } 2.59 0.008 4.12
2.99 3.57 4.76
�
−⎡ ⎤⎢ ⎥
= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�.;<
"�����������&��� ��������� ����������� �$����������������7��� $�&��� ������ �� ��
:�� 2� .(@:� �4� :�� 2� <.@@� �4� :�� 2� ?0;?� �4 �-�.;0
"����� �������������� �$� ��� ��� ��&����� � ��� ����� ������������ D�E ������ �� ���� ���� ��� ����� $���� ��� X���� � ���� �� >������ -�<�
������� �������� ��������
" �� ��� &�� ���� ���� ����� �� � ��� ��� � �$� � � ���� ��� � �� � ���������� ���� ����� &������� �$������ �� ������ ������������ ��� ������ �� ���������� ������� ���������� $�� B+C� ����� { }X [� #�� � �� ���� �� ������
[ ] { } [ ] { }Tm m m n n n n mK X K X× × × ×= �-�.;-
*������ � ��� ���� (����� ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
[ ] { } [ ] { }Tm m m n n n n mM X M X× × × ×= �-�.;?
J�� ��� ���� ��� �� $������ ������
[ ] { } [ ] [ ] { }m m m m m m m m m mK M� � �× × × × ×= �-�.;@
" �� �� �� �� ��� ����� ���� �� �������� ���� ��� ���� � ��� �� ������ ��� �� ��� �� ���������������� ��� ���� ��� ��� �� ��� ���� � � ����������������� �� � ������ ���$����������������� ������� ���� ��� $��� �����������99����"� ��� ������������������2�.:�:::������2�(:Q�"�� 4�������������� $������������� �����������������������������������
8������ ����� ���� ���� �� $��� ��� { , }� � �� �� �$�� ���� ������� �� $���� ��� X���� ����������� ��� ����� 5��� �� B+C� ��
{ } { } { }n m n m m mX X �× × ×= �-�.;;
" �� �� �����
{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }{ } { } [ ]{ } [ ]T T T TX M X X M X M I� � � �= = = �-�(::
� ��� �� $�������� B�C� ��� D M E� ����$�����"���� ����������� �$�B+C�2�BXCD(E���� ��� ��� ���������������� ���� ����������
B+C� 2� BXCB�C�� D�E� ��� ��� �� ���� ��� ��� �� ����� ��� ��� �� �������� $������ �������% �� �� � $������ � ����� ��� ��� �� �����$��� ������� �� ��� ��� ��� ���� ��$�� ���� �
������ �� ����� ��� �� ���3�� �� ������ $� �� �� �� ���� �� �� ������� ����� �� ��� ��3� (�� �����H�.: ��� ���� ������������������ ���������������� ������ ������������ $��� ���
��/ 0���� ���� � ���� �� &���1� �
��.�� "�����)����/�(��)
%������������ ����������� ���� ��������������������� ������������ ������������������� ��� ��� ����� ������ ����� �����$�� �����%�������� �������� �$���� � ���� ����� �� ����� ������ ��� �� �������� ��&��� ��� ���� ��� �� ���� �� �������� ��� � ���� ����������� "� ������� ��� ���� ��� ������ �� $��� ��� �� $��� ���� �� ��� ���� ��� �� �������� ���� ��� ��� � ����� ��� ��� ����� #�� ����� ����� ���� � ���� ����� ������ � �� �������� ��� ��� ������ ��� ������� ������ ���� �� �� ��� ������ ��� � ��� �� ������� ����� �� ��������� �� ��������� ��� ���� ��� �� ��� ���
%� ����� ������� ���� �� ���� ������ ���� ��� � ���� ��� ���� � ����� � $� � ������� �� ������ �� ������� �� ���� �������� ��&����� ������� ������ ���� ��&����� ��������� �� ��� ��� ���� !��� ���� �� � ���� ���� �� ����� �� ������� �� � � ��� ���� ����� ��� �� ���� �$������ �� �� ������� #�� �� ��� ���� ���������� ��� � ��� ����� ������� ��� � �� ��� ��� ���� ��� �������� �� ��������������������3��������� ������������ � ��'������ ���� �� ���� ���������� ��� ���� �$� ����� � � �� � �� ���$�� ���� #�� ����� ������ ��� ��� ���� ���� ���� ���������� �����������������&� �������������� �������� ������������������ �$������� ��������� �����������$� �� ���"�������&� ������� ���������� �$������ ��������������,� ������ �� �� ��� ������ � �$� � ������ ������� ����� ��� �� ���� �� ���� ���� ������ � $� � ����
����� �$� �������$�� +����$���� ��� �� �� ������ ���� ����� ���� ���� �� ���� ��� �� ���� �$���� �� ������ �� �� $���� ��� $���� �$� &��� ���� ��
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}M X C X K X F t+ + =�� � �-�(:.
% �������� �������� ����� ������� ��� �������� ������������������� ���� �� ������� ������� ������� � �����$������ �� � �������������������� �$����� ��D<E������������� ����%�� ����������� �� ������� ����������A ��������� �$������������������������ ��� ������� �� ���� � �$� �� ������� B+�� C�� "�� ��� $������� ���� ���$�� �� �������� ��� ���� �$� >&�� �-�(:. �� � 4��� � ���� ����� ��� �� �$� �� ���� ���� ��$��� ��� ���������������� ���������������'��� ������ ��������� ���������� ���&��� ���� ������ ��������������������&��� ������ �$� ������������� ��� ��� ������ ���� ��$��� ��� ������������������������� ���'�� �� %� � ��� � ������ ���� ��� ������ �� � �� ������
%� ��� ������� ����� ���� ���� ������� ���� ��� �� ��������� ���� �� �������� ���� � ���� ���� ��� ��� ��� ��� $��������� ��
1 1 2 2{ } { } { } { }n nX c U c U c U= + + +� �-�(:(
���� � ��� �� �� ��������� ������� ���� �� ��� ����� � �� �� ���$� ��� �� ��� ��� ��&��� � ����� ������� ����� ���� ��� �� ����������� �������
1 21 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
m
n n n n m mn m
X t u u u p t
X t u u u p t
X t u u u p t
�� � � � �
××
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
�-�(:)
���� � �����B+�� C� 2� D� EB ��� C �-�(:<
"������� ���������� � ��� ��� �������� �� ��� �$�������������������� ����� ���� ������� ���� ��� �������� ����� � �� � ��� B+�� C� ����� ��� ���� �� ������ ������� ������ ����� �� �� � � �� ����� ���� ����� ��� �$� ����� >&�� �-�(:< � �� >&�� �-�(:. �� �� ���� �
[ ]{ }{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } { ( )}M U p C U p K U p F t+ + =�� � �-�(:0
V����� ��� �$� ��� B�C����� $�
{ } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }{ } { } { ( )}T T T TU M U p U C U p U K U p U F t+ + =�� � �-�(:-
!���� �� D� E� ���������� ��� �������� ��� $��������
B�C�D� EB� C� 2� D* E �-�(:?
!���� ��7��� $�&��� ���
B� C�D� EB�C� 2� 2
0
0
�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�
�
� �-�(:@
,� ��� �� ������ � � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
"���� B�C�D� EB�C� ���� B�C�D� EB�C� ��� ���� � �$������ ����>&�� �-�(:- � ������ ��� ���� ��
2
0
{ } { } [ ]{ }{ } { } { } { ( )}
0
T Tp U C U p p U F t�
⎡ ⎤⎢ ⎥
+ + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�� �
�
�-�(:;
#�� D<E� �� ���� ���� B�C�D<EB�C� �� ����� � �$��������� ��� ��� ���� ������������� �&��� ���������� ����"� ��������&��� ����������� ��������� ������������������� ����� ����� ��� &��� ���� ��������� �� ��� ��� �$������������ ����� � ����� �� �� ����� ��� ����� 3������ !��� �� � �$�� ������� ��� �$������������ ������� �� ��
( )mx cx kx f t+ + =�� � �-�(.: >&��� ��� �-�(.: � ���� �� ��� ���� ��
2 ( )2
f tx x x
m�� �+ + =�� � �-�(..
��� �� �� �� ���� �$� ������� $ ��� ��� /2 ( )c km� = �"� �� &��� ���� �� ������ ����� ����� ����� ��� �� >&�� �-�(:; � ���� �� �� ����� �� �
������ �����$���� ��� >&�� �-�(.. �� ��
22 ( ), 1, 2, ..., i i i i i ip p p f t i m� � ��� �+ + = = �-�(.(
"�����������&��� �������������������B�C��&� ���������� ����� $������� ������������ ������ ��� ������� ��� ���� ��� ��� �$� �� ����� ��� ��� �� �������� ��� ���� �����������"����������� �$� �������� ������� ���������� ��� ��� �������� ������$$�� ����>&���-�(.( ������ ���&��� �������������� ������� �� ������� ��������������� ��� &�� ��3�������� �������������� � ��� ��� &����"������� ������������ ����������� � ������ �$����� �� D<E��������� ��������� �� ������� �� ������ �$���� �� D<E� �� ����� �� �� �� ���� ������ �� �� ������ �$����I
B�C�D< EB�C� 2� DE� 2�
0
2
0
��
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�
�-�(.)
J���������������B�C� �����&�������� ������� � �$�����������������������������"���
D< E� 2� D� E��DED� E�� �-�(.<
#�� ���� �� ��������������� ��3������������ ������� �� ���� ������� �$����� �D< E����������� ������������������������� �$����������������� ������� ���� �� ������ ������ �������� ������ ��� �� ���� ��
D� E�D� ED� E� 2� D*E �-�(.0
=C�� ��� ���� �� � ������ � � ����� ������ ��� *�������"� ;�4�� ����� ���� ?�� A�:��)� *�+ �,-.�)/,�0� !)� �12#�
V������� ��� �$� ���� � ��� ��� >&�� �-�(.0 � � �� D� E���� �� $�
D� E��� 2� D� E�D� E �-�(.-
����� ��� �$� �� >&�� �-�(.< �� �� ��� D� E�� 2� D� E �� �� $�
D< E� 2� D� ED� EDED� E�D� E �-�(.?
#������������ � 3��� ������� � ���� �� �� ������������������� ������ �� ������� ������ ���� �$� �������� ���� ����� ������ ��� �� ���� �� �� >&�� �-�(.? � ��
D< E���� 2� D� E���D� E���DE���D� E����D� E��� �-�(.@
���� ��� ��� � �� �������� ��� ��� �� ������ ���� �$����� �� �� ��������� ����� ���� ������ �� ������� B+�� C� ����� >&�� �-�(:. � �� �$� � ���� ��$��� ��� ������� ��� � ��� �� ������� �� ��� ��� -�;�)�� +� ������ ���� �$� ���� �� D<E� ��� ��� �$� �� ����$���� ��� � ������� ��� �� ���� ����� D��� �� >&�� �-�(.) E� �� ������ ��� ��� 7��� $� �V������ ���� O��� �$��%� ����� ��� ����� � �� ����� ��� ���� �$� �� �� ���� ��� ���� � ����� ���
��� �$� �������� �� ���� ��� ����� �$� ������ ���� �$�� �� � ��� ���� ������ ��� �� ����� ����������� ������ &������������ �������������� ��� ����%�� ���� ����� �������/��� ������� � ��� ��� &�� ���� ����&������ �� � ���� ��$��� ���������
��.�� �+��"����*�(��(��������*#+���
=� �$� �� ����$���� ��� �������� ��� �� ���� ����� ���� ����� �$� 7��� $� �������� ���� ���� �$�������� �������������� $ ����&��� ���������� ���$ ��� ��>&�� �-�(:. � �������������������� � �$�� �$�� ��� ������ ��� ������� &��� ���� �������� ����� ����� ��� �������I
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2 2 2 2 2
2
2 ( )
2 ( )
+ 2 ( )m m m m m m m
p p p f t
p p p f t
p p p f t
� � �
� � �
� � �
�� �
�� �
�
�� �
+ + =
+ + =
+ =
�-�(.;
��� 1 2( ) , ( )f t f t ������������� ��������{ } { ( )}TU F t ��#��������������������������������������������� ������� ���������������������� �$����� �������������� �$��� ������ ����� �� �$� $ ���
"�� ��� �� ��� ��� �������� ������ ����� � ����� ��� &��� ���� � �� ���� �� �� ��������� !��� ������� ���� ��� ���� ��� ��� �� &��� ���� �� >&�� �-�(.; � ����I
22 ( )i i i i i i ip p p f t� � ��� �+ + = �-�((:
" �� �� �� ������ ������ ��� ����� � ����� ��� &��� ��� ������ �$� �� &� � �� ��� ��� �� � �$�������� ��� �������� #��� ����� ��� ���� �� ���������� �� �$� �� ����3�����O����� ��$���
0
1( ) ( ) sin ( ) sin cos
t
i i i i i i ii
p t f t t d t t� � � � � � ��
= − + +∫� �-�((.
������ �� ��� ���� ��� ����� �� � � ��� ���� � ���� ��� ��� ��� ip� �
,� ��� �� ������ � � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
"� � � ��� ���� � ���� ���� ������ 3����� �� ����� ��� ��� ���� ����� ����� B+C� ���B X� C�� %� ��� ��� �� ���� B�C� ���� B 0p� C� ����� �� 3����� B+C� ���� BX�C�� %� ��
B+C 2� D� EB�C �-�((( "�����
D� E�D� EB+C 2 D� E�D� ED� EB�C �-�(()
� ��� D�E�D� ED� E� 2� D*E�� �� ��
B�C� 2� D�E�D� EB+C �-�((<
0{ }p� 2� D� E�D� E 0{ }�X �-�((0
"� ��$���� �� >&�� �-�((. � ���� ��� ��� �� �������� ���� ������� +����� ���� �������� ��� �����$�� ���� �� ������� ���� �� ����� ��� ��� >&�� �-�((: �
�������� ��� ���� ����������
/���� 01 ! ��� ���� ���� $��� ������� B��C�� �� 2� .�� (�� ����;
/���� 21 >������� 1 1{ } { } { }Tm n n mU F f× × ×= �
/���� 31 "��������� �� � � ��� ���� � ���� B+C� ���� 0{ }X� � ���� � � ��� ���� � ���� �� ���������� ����� B�C� ���� 0{ }p� �
/���� 41 =�� �� � � ��� � ��������� ���� ���� ��� ���� � ���� ���� �� ���� { ( )}f t ��� ������1 1{ ( )} , { ( )}m mp t p t× ×� �
/���� 51 =�� �� ����������� ���
1 1{ ( )} { } { }n n m mX t U p× × ×=
1 1{ ( )} { } { }n n m mX t U p× × ×=� �
��� ���� �� ������� � ��������� ���� ���� ��� ��� ���� �� ���� ��� �� ���������
/���� 61 !����+�� �� ���� �� ���� ��� ���� ��� ������� ��� �� ����� ��� ��� � ��� "��� �� ����������������� ������� �� ��� �����
/����������������� �������������������$��� ������������ �$���$������D�E�����D�E���������� �$� �� $��� ���� "� ������ ��� ����� �� � ���� � ��� �$� �� �� ������� �� ����������� ������� �$���� 2� .:� ��� (:�� ����� �� ������� ��� �� � � �� ������������� �� ���������������"������� ������� � ��� ����� ������������ � ���� ����� �������� ����� ������ ������ �� �� �������� ���� ���� ������ ��� ��� ����������� �������
%� � ��� ���� ��������� �� ���� ������� � ��� ��� &�� ����$� �� ������ �$� � ����������
������� ��� '��� ��� �� ��������� (�������� ������ ����� �� ! $��� -�.-�� ! ��� ����������� ����������� ��� �������������� ��$ ������ � � ���� �������������� ������������ ����� ����
"������� ���� �������� ��� ��� �� ������ ���� ���� ����� �� � ���� ��� �� $ ��� ��
1 12
2 2
2 0
2 0
k k mx x
x xk k m�
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦
�-�((-
!���������� � ��� ����� ���
2
2
2 0
2
k m k
k k m
�
�
− −=
− −� �-�((?
� �� �$
1 k
m� = � 2
3
k
m� = �-�((@
"� ��������� �$� ���� ����� ���1
1
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
� ����1
1
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬
−⎪ ⎪⎩ ⎭�
#�� �� ��$�� �� �� ���� ���� ����� ��� �������� ��� �� ���� ��� D� E�� ��� �� ��
1 1[ ]
1 1U
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦�-�((;
1 1 0 1 1 2 0[ ] [ ][ ]
1 1 0 1 1 0 2
Tm m
U M Um m
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦�-�():
=��'��������������'��������'��������'������������'����������������'��'���D� E�D� ED�E�2�D*E��� ��� ��� ���� ��� �� ��� �� ���������� ��� ���� ����� ��
� �
�� ��
� � �
����� ���� �5�# ������ ������� $ %������ ���&�
,� ��� �� ������ � � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
1 1
2 2[ ]
1 1
2 2
m mU
m m
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�().
=� �$� ��� ����� ��� ���������� �� ��� ���� ����� ����� ���� ������ ����� ������ �� �� �
1 1
2 2
1 1
( ) ( )2 2{ }
( ) ( )1 1
2 2
x t p tm mx
x t p t
m m
⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
�-�()(
���� �������� &��� ���� ��� $ ��� ��
1 1 1 ( )k
p p f tm
+ =�� � 2 2 23
( )k
p p f tm
+ =�� �-�())
� ���������������������4��� 1 2 ( ) 0 ( ).f t f t= = �J�������������� � � ������� � ��� �� ���� ��� ���� ����� ����� ��� ���� ��� ���� ���� ��������� ����� ����� ��� ���� ���� "� � � ������ � ���� �������� ����� ����� ��� $ ��� ��
10
20
1 1
0 12 2 2
01 1 0
2 2 2
mmp m m
p m m
m m
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭
�-�()<
� ��� 1 2(0) 0 (0)x x= =� � �� 10 20 0 p p= =� � �� "� ����� ��� ���� ���� � ���� �� �� ���� ��
���� � 2� �� ���� ���� H� %� � �� ��� �-�()0
����� �� � � ��� ���� � ����� 1(0) / 2p m= � ���� 1(0)p� � 2� :�� �� ��
/ 2A m= � %� 2� : �-�()-
"�����
1( ) cos 2
m kp t t
m= �-�()?
� � ������
23
( ) cos 2
m kp t t
m= �-�()@
"���
� � � � � � � � � � � � { } 1
2
( ) ( ) [ ]{ }
( )
x tx t U p
x t
⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
1 1cos
2 2 2
1 1 3 cos
2 2 2
m kt
m m m
m kt
m m m
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭
1 1 3 cos cos
2 2
1 1 3 cos cos
2 2
k kt t
m m
k kt t
m m
⎧ ⎫+⎪ ⎪
⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪
−⎪ ⎪⎩ ⎭
�-�();
��.�� /���#��-���)������"��+���
"� $���� �$� &��� ��� ���� �� ����� ��� ����� �� ������� ��� �� ��������� �� $ ��� ��
D� E{ }X�� � H� D< E{ }X� � H� D� EB+C� 2� B#�� C �-�(<:
O ���� ��$��� ���������� ��� �� ���� ��$$����� ������� ��� � ������ ��$���� &��� ���-�(<: � �� � ��� ����� ���� ����������� ��� ��� ����� ����� ��$�� ��������� ����� ����� ��� ��� �� �� ���� ������� � ��� ���� �� "� 3�� ���� �� ���� �� ����� ��� � ���� ���� ��� ��$��� ��� ��� ��� �������I
� "������&��� ��������� ��� ����������������$����������� �������� ����� ���������� � �� ���� ��� �� �� �
D� E{ }nX�� H� D< E{ }nX� � H� D� EB+�C� 2� B#��� C �-�(<.
��� "� ����� �� ������� �� ���� ��� ��� ����� ��� ��� �� ����� &��� ��� ��"������ ������� ��� ������������������$����� ������� ����&��� ��������� ��
�$� �� ��� � �� ����� 2� ��H� ������ "� � �� ������� ��� �� ����� ��� �� ���� � ����� ������ ��� ����� ��������� ���
���� � ������ �� ����� ������ ���� ����� ��� ������ �&� �� ���� ��� �� ���� ���� �� ��� � �� � � ��� ��
��� �� ������ �-�(<(
� ����� � �� �� ����� �$� ����� ��� ������ ��������� $���� ���������� "�� �������� ��� ���������������� ���9������'����� #������� �� ����� ���� ���� � �� �� ������� ���� ���� ��������� "� ������� ����� �� ������� ��� �� ��������� ���� ��������� �������
,� ��� �� ������ � � ������ ��
�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
=����� � ��������������������������������������#����������������������������� ������ ����� ��������� �� ��� ��� � ���� ������ ��� ������ ���$�� ��� ��� �����
-� � ��� �� ��� �� � �$�� ���� �� ����� �� ������� ���� ���� �� �� � ����� &��� �������� ��� ��>&�� �-�(<. � ��� ��$������ �� �� �������� "��� �� �� ���� ��� �� ������� ������������ ������ �� ��������� ��$��� ������ ������� �� $� ��&����� � ������"� �������5�����������������&� ��������������� $�����&������������������������ ���� �����������/����������� ���������"�����-�.�����-�(������� $ ��� � � �� ����� ���� �� $��� ��&��� �� ���� ���� �� �������� ����� ����+����� ���� �$� ��� �� ��&����� ������� ��� �� �� ��� ���� ����� �� ��� ����� ������� ����� ������������"�������������� ���������3� �$� ��� ������� ���������� ������ ���� ���
?� � ������������ ���� ������ ��$���� ��&��� ��������� ������������� �&� �� ����� $������� ���� $�������� �� � ���� ���� ���J�� ��� ���� ������ �� � ��������� ��� ���� �$� �� &��� ��
D� E{ }nX�� � H� D< E{ }nX� � H� D� EB+�C� 2� #��� C �-�(<)
"����� ��������� ������
#�� � �� ������ �� � �� �� ��� ��� ��� B+C�� � 4��� { }X� � ���� { }X�� �� ��� ������ ����� ��
{ }1 11
{ } { } { }2( )n n nX X X
t� + −= −� �-�(<<
{ }1 12
1{ } { } 2{ } { }
( )n n n nX X X X
t� + −= − +���-�(<0
��� �� ��� ���� �� ��������� 8����K�� ������� � ������ ��������� ����� ��� �$� �>&�� �-�(<) �� �� $�
{ } { }1 1 1 12 2
1 1[ ] { } 2{ } { } [ ] { } { }
( ) 2( )
[ ]{ } { ( )}
n n n n n
n n
M X X X C X Xt t
K X F t
� �+ − + −− + + −
+ = �-�(<-
7�����$ �$� �� ������ �� ���� �
12 2 2
12 2
1 1 2[ ] [ ] { } { ( )} [ ] [ ] { }
( ) 2( ) ( )
1 1 [ ] [ ] { }
( ) 2( )
n n n
n
M C X F t K M Xt t t
M C Xt t
� � �
� �
+
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�-�(<?
!��� ��� �������� ������
1 12 2 2
1 2 1[ ]{ } { ( )} [ ] [ ] { } [ ]{ }
( ) ( ) ( )n n n nM X F t K M X M X
t t t� � �+ −⎛ ⎞
= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
�-�(<@
!��� �� ��������������� ��� �� ��� ���4��� � �$����� ������ �� ����� ��� ���� B+���C� ����� � ������ �� ���� ��
( )1 21 1{ } [ ] { ( )} [ ]{ } ( ) 2{ } { }n n n n nX M F t K X t X X�−
+ −= − + − �-�(<;
��
1
0
1[ ]
0
ii
Mm
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�
!��� � �$����� D�E� ���� D<E�� �� ����� ��� ��� >&�� �-�(<? � ���� B+���C� �� ���� $���������5��� ��� �� ����� ��� ��� >&�� �-�(<? � ��� ��� � �� ���� ���� �� �������� ������� ���� � ������� �$�
5����� ��� B+���C�� �� ���� ������ �� ������� �� ���������� ��� � ��� B+���C�� ����� �$� �������������� ���$ ��� ��>&�� �-�(<? �� #�� �&� �������� � ������������� ��������� ��� ��� ���� ��� �� �$� >&��� �-�(<< F�-�(<0 �
%� ������ ����� >&�� �-�(<? � ���� �� ����� ��� ���� B+���C� �&� ��� 3�����$� ��B+�C� ��� ���� ��� B+���C�� %�� �� ������ ���� �� ����� ��� ������� ��� � �� �� 2� :�� �� 3���� � � � ������� � �����"��� ���$�� �� ���������� ��2����������B+C���������B+���C��5�� ������B+�� �C���������� ������� �$����� ������ �������� ����� ��3����� � � ��� ���� � ���� B+C���� B 0X� C� ��
( )01
{ } { } { }2 t tX X X
t � �� −= −� �-�(0:
( )0 02
1{ } { } 2{ } { }
( )t tX X X X
t� �� −= − +��
�-�(0.
>� � ��� �$� B+��C� ����� ��� ���� &��� ����� �� $�
20 0 0( ) { } 2( ){ } 2{ } 2{ }tt X t X X X
�� � −− = − +�� � �-�(0(
"���2
0 0 0( )
{ } { } ( ){ } { }2tt
X X t X X�
��− = − +� �� �-�(0)
,� ��� �� ������ � � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
#�������������������� �� � � ������� � ���������� � ������������� � ����������� ������B 0X�� C� ��������� � � ������� � ������������������ ������������ �$���&��� ��������� ����� � �� �� 2� :�� ��
0 0 0[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { (0)}M X C X K X F+ + =�� � �-�(0<
"���
( )10 0 0{ } [ ] { (0)} [ ]{ } [ ]{ }X M F C X K X−= − −�� � �-�(00
%� ���� ���� ������ �� ���� ����� ��� ��������
�������� ��� ������ ��������� ������
/���� 01� !���� �������� D�E�� D�E� ���� D< E�
/���� 21� !���� �� ����� ��� B+C� ���� 0{ }X� �� � ��� 0{ }X�� �� �$� >&�� �-�(00 �
/���� 31� =� �$� >&�� �-�(0) �� � ��� B+F��C�
/���� 41� ����� ���� B+��C�� B+���C�� B+���C�� ���� ��� ������ ��� ��� >&�� �-�(<? �
"���,��� ����9�$� �:� ������� ��::���������'��� ��� �'��� ��� ��� ����� ������������� ���9��
���m ax
2t
�
� < ���������� ������� ������&��������D�EB�C�2���D�EB�C��#���������
�� ���$�� ���� � ��� �� ����� ��� ���� ���� ��� �� ��������� ������������� ������������ ���������� ����B+���C��������������� ���� ���
������� ���� ����B+�C��B+���C�� �� ��3����������������������'����*����������'������������������&� ����3�����$���� � ���� ��� ������B+���C����� ������ ��� ������B+���C��%� ��� ���� � ������ ���� �������� ��� � �� �������/���� ��� ���������� ��� �����������������9��� ���� ����� ��� ���� �� ��� ��� ��� ����� ��� �&� ��� ���� ���������
������ ����������� ������ #�����$����� ����%
J�� { }nX�� ��� 1{ }nX +�� �� �� ������� ���� ��� � �� ��� ���� ������ ����� ����� #�� �� ������
����� ���� �� �� ������� ��� �� ������� ��� �� ��������� ��� 11/2({ } { }),n nX X ++�� �� ��� �� ����� �! $��� -�.?�� "������ �� ���� �� �
( )1 11
{ } { } { } { }2n n n nX X X X t�+ +
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠� � �� �� �-�(0-
( ) 21 1
1 1{ } { } { } { } { } ( )
2 2n n n n nX X X t X X t� �� �� ��+ +
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠�-�(0?
=G����� ��� ������ �� ������� (� $� �� H� ��� ���� �� $� ��� H� I� ����
����� ��� �$� >&�� �-�(0- � �� >&�� �-�(0? �� �� ���� �
( )1 11
{ } { } { } { } t2n n n nX X X X �� �
+ += + + �-�(0@
7�����$ �$� �� ����� �� >&�� �-�(0@ �� �� $�
[ ]1 12
{ } { } { } { }�
� �n n n nX X X X
t+ += − − �-�(0;
!���� >&�� �-�(0? �
[ ]1 12
4 4{ } { } { } { } { }
( )n n n n nX X X X X
tt ���� � ��
+ += − − − �-�(-:
%� � �$� �� &��� ��� ��� ��� ��� D>&�� �-�(<) E� ��� � �� ������ �� ��
1 1 1 1[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}n n n nM X C X K X F t+ + + ++ + =�� � �-�(-.
����� ��� �$� ����� >&�� �-�(0; � ���� >&�� �-�(-: � �� >&�� �-�(-. �� �� $�
1 1[ ]{ } { }n nK X F+ += �-�(-(
��
2
4 2[ ] [ ] [ ] [ ]
( )K M C K
tt ��= + + �-�(-)
��� �����
x����
1
2� x���- x�����
x���
� �� ���
C��
����� ���' 37������ ������������ ��1����
,� ��� �� ������ � � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
1 1 2
4 4{ } { ( )} [ ] { } { } { }
( )
2 [ ] { } { }
n n n n n
n n
F F t M X X Xtt
C X Xt
��
�
� ��
�
+ +⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠�-�(-<
%� ���� ��� ��� ����� >&� �-�(-( � ��� B+���C�� ���� �� ���� ������ �� �� ����� ����������
�������� ��� ������� ����������� ������
/���� 01� !���� �������� D� E�� D� E� ���� D< E�
/���� 21� !���� �� ����� ��� � � ��� ���� � ���� B+C� ���� 0 0{ }, find { }� ��X X �� �$� >&�� �-�(00 �
/���� 31� !���� [ ]K ��� >&�� �-�(-) �
/���� 41� !���� BF C� ���� ����� ���� B+C� ����� >&�� �-�(-( � �������� ���� �� 2� ���� (���� )���� �
%� ������ ����� ���� � ���� ��������� [ ]K � ���� ���� ���$� � �� � ��� #�� �� ������ ������� ���� ��� ���� ��� ���� D� E�� ���� ��� [ ]K � ������ ����� ��� B+C�� #�� �� ��� �� �$'���3�� ������ ��� ��� ���� ���� ����� ��� ��� [ ]K B+C� 2� [ ]F �� ���� � ���� �������� �� ����� ������ �� [ ]K � ����� �����7����� ����� ��� ���� [ ]X � �� ������ �� ���� ���� $����������%����� ������ ���� [ ]K � ��� ����� �$����� ������ ���� ��� ���� D� E� �� � �$������ "�������� ��������� �������������$� ���� �$�� �$��������������������� ���"�������������������� �������������� ��� ��� ��������� ����� �� ��� � �� ��$��� ����������5�� �� �������� �� ������� � ����������� �� �������� ������� ������� �� ������� ��� �$����� �������������� ��� " ������� ���� ���� �&� ��� ��� 3� �� ������� � ������������ ���� ��� ������� �$� ��������� #�� �� ������ � ������� ������ ����� ������� ��� ���� �� ����� ���� ������������ ��������� �� �� ���
&���� ����������� ������
"� ����$� ������� �������� ������� ������� ��� ��� �� �� ����� �� �� ������� ����� ���� �#�������������������������������� ������ ��� ����������� 1{ } to { }n nX X +
�� �� ��� �� ���� �� ! $��� -�.@�
"��� �� ���� ���� ���� � �� ��� H� ��� �� ���� ���
1{ } { } ({ } { })nt n n nX X X X
t�
�
�+ += + −�� �� �� �� �-�(-0
#��$��� �$� >&�� �-�(-0 � � �� ������ ��� � ��� �� $�
2
1{ } { } { } ({ } { })2( )nt n n n nX X X X X
t�
��
�� � �� �� ��
+ += + + − �-�(--
2 3
1{ } { } { } { } ({ } { })2 6( )nt n n n n nX X X X X X
t�
� ��
�+ += + + + −� �� �� �� �-�(-?
+�� � �� ����� ��� ������� ��
1 1{ } { } { } ({ } { })2
��� � �� �� ��n n n n n
tX X X t X X+ += + + − �-�(-@
2 2
1 1( ) ( )
{ } { } { } { } ({ } { })2 6
� ��� �� �� ��n n n n n n
t tX X X t X X X+ += + + + − �-�(-;
>&��� ��� �-�(-; � ���� �� ��� ���� ��
2
1 12
12 2
6 ( ){ } { } { } { } { } { }
2( )
6 6 6 { } { } { } 2{ }( ) ( )
n n n n n n
n n n n
tX X X X X t X
t
X X X Xtt t
���
�� �
+ +
+
⎡ ⎤= + − − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − − −
�� �� � ��
� �� �-�(?:
=� �$� >&�� �-�(?: �� >&�� �-�(-@ � ���� �� ��� ���� ��
1
12 2
1
{ } { } { } { }2
6 6 6 { } { } { } 2{ }
2 ( ) ( )
3 3{ } { } 2{ } { }
2
n n n n
n n n n
n n n n
tX X X t X
tX X X X
tt t
tX X X X
t t
��
��� �
�� �
+
+
+
= + −
⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − − −
� � �� ��
� ��
� �� �-�(?.
����� ���) 8����� ������������ ��1����
��� �����
x����
x���
� �� ���
C��
,� ��� �� ������ � � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
"� &��� ��� ������ ��� ��� � �� ����� �� $ ��� ��
1 1 1 1[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}n n n nM X C X K X F t+ + + ++ + =�� � �-�(?(
����� ��� �$� ����� >&��� �-�(?: F �-�(?. � �� >&�� �-�(?( �� �� $�
1[ ]{ } { }nK X F+ = �-�(?)
��
2
6 3[ ] [ ] [ ] [ ]
( )K K M C
tt ��= + + �-�(?<
1 2
6 6{ } { ( )} [ ] { } { } 2{ }
( )
3 [ ] { } 2{ } { }
2
n n n n
n n n
F F t M X X Xtt
tC X X X
t
��
��
+⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
� ��
� ���-�(?0
+����������������� ���������� ����������� �������� ����% ����������������� ������� ��� �� ������� ��� �� � ����� ���� 6���� � � �� �� ������� ���� �� H� �� � ���� ���� �������� � �� ������� ���� �� H� ��� �� ��� �� �� .�� ��� ����� �� ! $��� -�.;�� #�� ���� �� �������� �� �� �� .�)?�� ������ � ����� ���� � ��� ���� �� ������� "���� ���������� �� 2� .�<� �� ����
%����������������� � � ���� � ������ ���� �� � ���� � ����������� ��� ������������� �� ���� ��� �� &��� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��� H� ������ ����� ���� ��� ��� H� ���� "��� ���� ��� ����������� ������ � ����� � ����� ������ ��� � �� ��� H� � ���� "� � ���� &��� ���� ������ �����
[ ]{ } { }nt tK X F
��+ = �-�(?-
��
2
6 3[ ] [ ] [ ] [ ]
( ) �� ��K K M C
tt= + + �-�(??
( )
2
{ } { ( )} { } { }
6 6 [ ] { } { } 2{ }
( )
3 [ ] { } 2{ } { }
2
�
��
�
�
�
��
��
� ��
� ��
n nn t t t
n n n
n n n
F F t F F
M X X Xtt
tC X X X
t
+= + −
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
�-�(?@
"'�� ��������� ������ ��� �'�� ��������� ����� ��� ��� ���� ��� ����� .F<� ��� ����$������� ��� ����� ����� ���� �� ��� >&��� �-�(?? F �-�(?@ � ���� [ ]K � ���� [ ]F �
'�����( ������ �� ������
"�8����3������ ���� �� � ��� ��� �� $���� ��� ��� ��� �� ����$� ������� ����������� � ���� ������� ��� ������ J�� ��� ���� �������� �� ��� �� &��� ���� ���� �� ��� ���������
� ������ ��������������'��!���� >&��� �-�(0- F �-�(0? �
1 11 1
{ } { } ( ) { } { }2 2n n n nX X t X X�+ +
⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦� � �� �� �-�(?;
2
1 1( ) 1 1
{ } { } ( ){ } { } { }2 2 2n n n n nt
X X t X X X��+ +
⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦� �� �� �-�(@:
(��������������������'��!���� >&��� �-�(-@ � ���� �-�(-; �
1 11 1
{ } { } ( ) 1 { } { }2 2n n n nX X t X X�� � �� ��
+ +⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
�-�(@.
2
1 1( ) 1 1
{ } { } ( ){ } 1 { } { }2 3 3n n n n nt
X X t X X X��+ +
⎡ ⎤⎛ ⎞= + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦� �� �� �-�(@(
#�� �� 8����3� ������ �� �� �
1 1{ } { } ( ) (1 ){ } ( ){ }n n n nX X t X X� ��� � �� ��+ +⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦ �-�(@)
2
1 1( )
{ } { } ( ){ } (1 2 ){ } (2 ){ }2n n n n nt
X X t X X X� ��� � �� ��
+ +⎡ ⎤= + + − +⎣ ⎦ �-�(@<
����� ���2 9����#�� ������ ������������ ��1����
��� �����
x����
x���
� �� ���C�����H�����
x���� H��� ��
,� ��� �� ������ � � ������ ���
��� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
���� ������ ������������ ������������ ��$��� �������������������� � ���� #�� �� ��� ��� �����
���� 1
2� = � ����
1
4� = �� 8����3� ����� ������ ��� ����$� ������� ��� ����
����1
2
� = � ����1
6
� = �� 8����3� ����� ������ ��� � ���� ������� ��� ����
#�� �� 8����3� ������ �� ����� ��� �� &��� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��� H� ���� ��
1 1 1[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( t)}n n n nM X C X K X F t �+ + ++ + = +�� � �-�(@0
!���� >&��� �-�(@) F �-�(@< �� �� ���� �� �
1 12
1 2 1{ } { } { } { } ( ){ }
2 ( )n n n n nX X X X t X
t
�
� �
��
�� �� �+ +
− ⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ �-�(@-
1
12
1 2{ } { } ( ) (1 ){ } ( ) { }
2
1 { } { } ( ){ }
( )
�� �
�
�
�
��
� � �� ��
�
n n n n
n n n
X X t X X
X X t Xt
+
+
⎡ −⎧= + − + −⎨⎢ ⎩⎣
⎤⎫⎪⎡ ⎤+ − − ⎥⎬⎣ ⎦⎪⎥⎭⎦
�-�(@?
����� ��� �$� ��� �� >&�� �-�(@0 �� �� ���� �� �
1[ ]{ } { }nK X F+ = �-�(@@
��
2
1[ ] [ ] [ ] [ ]
( )( )K K M C
tt
�
�� ��= + + �-�(@;
{ }
( )
2
1 1 1[ ] { } [ ] { } + { }
( ) 2 1( )
( ) [ ] { } { } { }
( ) 1 2 / 1
nt t n n n
n n n
F F M X X Xtt
tC X X X
t
� ��
� �
� � � �
� ��
��
� ��
� ��
+⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠
�-�(;:
"� ����� ��� ����� ��� ��� ���� ��� ���� $ ��� ��� �� ���� ����$� ������� ��� ��������� ���� �� ����� ���� �� ��� >&��� �-�(@; F�-�(;: � ���� D K E� ���� BF C�
8����3� �� $ ������ �������� �� ������ � ������� ������ ���� � �� 12
� � � ���� 14
� �� ��� �� ��������� ����$� ������� ��� ��� �� !��� $������ �� ��� �� ���� �� ����� ���� ������ �������� � ������� ����������� �� 2 1/2.� �≥ ≥
%�� ������� ������������������ ���� ��$��� ����������� �$���������������������� ����� � 4��� �������� ��� �������� �� �� � ��
���2 0(������ 0���� ����3"�����1� 4���� 0�������� �� �� � �5 �#�� ��� ��� <�?�� �� � ������� �� ����� ��� ��� ����������� ��� ������� ��� �������� � ������� ��� ����� ������� ���������%� ���� �� �� ���� ������ ������ ��� �� � ��� �� ������� ��� �������%� ����� ���� ���� ��� �� � ���� ������ �� ��������� ��� ������� ���� �� �� � � �� ������� �� �������� �� ��� ��� ������ ��� ��� ���" ��� �� �� ���� ��� �� � �� �� � � ����� ����� �������������%��������������������������� ��� ��������$��������� ������� �� ��������� ��������� ������������� ����� ������������ ������� ���5�� ����������������� �� �� � �� ���� � ��� ���� �� �� ��� ��� � �� ������ ���� �� ����������� ����� ������ ��� ����� ���<�?��"�� ����� ���&��� ���$���� �$�� ��������������������������� �� $ �����
2
2 ( )
c
T P Tk q h T T c
A tx�∞
∂ ∂+ = − +∂∂ �-�(;.
���$�2����� � ������������������� � ������������ ����"�2�������������2� �������������������� �����������2��� ��������2���������� ����� �����'�2������� ����� ����������� � ���� "�� 2� ��� ��� ���������� �� 2� ��� ���� ���� � 2� ��� � �� ���
"� � $����� ����� �������� ���� �� �� ���� ��
2
20 ( ) 0
L
c
T P TW k q h T T c dx
A tx�∞
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂+ − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ �-�(;(
J�� ��� ������ ���� ��� �� ��� ������� ��� ������ � ��� �� 2� : �� "� ��3� ����� ��� �� ����� ��� &��� ��� ���� �� ���� ��� ��� ������ �$� ��$��� ��� ��� ������ ��
0 0 00
( ) 0L
L L L
c
T W T P TWk k dx W h T T dx W c dx
x x x A t�∞
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ − − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ �-�(;)
��
0 0 0
00
L L L
c
LL
c
dW T P Tk dx W hT dx W c dx
dx x A t
P TW hT dx Wk
A x
�
∞
⎛ ⎞∂ ∂+ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂⎡ ⎤= + ⎢ ⎥∂⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ �-�(;<
"� ��3� ����� ���� �� ��� ���� ��� ��� ���� � � �� ������ ���� �� �� ���� ��
0 0 01
001
n
c
n
c
dW T P Tk dx W hT dx W c dx
dx x A t
PhT TW dx Wk
A x
�� � �
��
∞
⎡ ⎤∂ ∂+ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∫ ∫ ∫
∑ ∫ �-�(;0
,&����� ,� ��� ��.� ������� /���� ,� ���� � � �� �� 0�� ��
� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
%� ������ ���� ���� �� ����� ��� �� ���� ��� ���� ��� �� D�� >&�� �<�.0; E� ����� ����� ��� � ����� ���� ����� �$� �� ��� � �� ���� !��� �� ��������� � ���� �������� ��
1 i jx x
T T T⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠� � �-�(;-
O ����� �� �$� � �� ������ ��� � ��� �� $�
1 i jx x
T T T⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� � �� � �-�(;?
"� � $�� ����� ���� � �$� �� ���� ��� �� ���� ����� ����� �� ��
1 1 x
W⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠� �-�(;@
2 x
W⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠�
�-�(;;
%� ���� ���� ������� �� �������� ��$��� ��� ���� �� ��� � ����� ��� � �� ��� ���� ���������I
10 0
1 1 i jT x x x
W c dx c T T dxt
� �⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫
� � � �� � � �-�)::
20 0
1 i jT x x x
W c dx c T T dxt
� �⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫
� � � �� � � �-�):.
'���� �$������� ��$��� ����������� � �$���������� ������ ����������$������������ ��� � �� ������� �� ��
[ ]2 1
6 1 2
ie
j
Tcc
T
�⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
���
�-�):(
"����� �� DE�� �� ������� ��� �� �����$���� ��� �� ����� ���� �������������� ������ ���� �� �� ���� ��� ��� ��� �� ���������� �� � � ���� ��� ������� ���� �$��� � ������� ��� ��
8��� �� � ���� ����� ���� &��� ���� ���$ �����
01 1 2 1 2 1 /2
6 6 /2 1 1 1 2 1 2
i i
c cj j
T T Qk Ph c PhT
A AT QT
�∞
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ −⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟+ + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎩ ⎭ �
� �� ��� �
�-�):) =���� ��������� ���� �� ��� ��� � � �� ������� �� $�
[ ]{ } [ }{ } { ( )}K T C T F t+ =� �-�):<
���� � ��N�'�2�(:�%*���\'N�����"��2�):\'��+������������ �������� �� �� ���������"� ����� ���������� �������%�� ���������������� �� ��������� �� �� � ����� ��� �� � ������ ���� �$� ��� �� ������ ����� ����� ��� ���� ��� �� >������ <�.:��%�� ��� ��� ����� &�����$�� ������ �������� �� � ��
"� �������� ���� ��� ���� �� ���� ��� ��� �������I
2
1 1 0 0 0 2 1 0 0 0
1 2 1 0 0 1 4 1 0 0( ) (0.001) (20) (0.0125)200
[ ] 0 1 2 1 0 0 1 4 1 00.0125 (6) ( ) (0.0005)
0 0 1 2 1 0 0 1 4 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1 2
K�
�
⎛ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝
⎞⎟⎟⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎠
����� ���4 ������������ ���������� �� �� ��#��� $ %������ ��'&�
4�
,�
& ��
#
!��� ������� �� �$� �� ����4� ���� ����� �� � ���� &��� ���� ���� �� ��� ��� ���� ��� ��
1 12 2
[ ] [ ] { } { } { } [ ] [ ] { }n n n nK C T F F K C Tt t� �+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�-�):0
%�� ��� ��������� �� ����� ������ � �� ��������� �$� �� ������ �$� ������
���������� "�����������������9���������������:��;�'��� �����.����� ������0:�������$���� � ��� � ��� �� ��� ����� �� ! $��� -�(:� ���� ��� ����� �� ��� �������� ����� �� ����������� �� ��� ��� ��� )::\'�� =�� $� 2� (::� %*�*\'�� �� 2� (?::� 3$*���� � 2� ;::� X*3$\'� ���
,&����� ,� ��� ��.� ������� /���� ,� ���� � � �� �� 0�� ��
�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
2 1 0 0 0
1 4 1 0 0(2700) (900) (0.0125)
[ ] 0 1 4 1 0(6)
0 0 1 4 1
0 0 0 1 2
C
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
{ } 2
0.00625
0.0125( ) (0.001) (20)
(30) 0.0125 ( ) (0.0005)
0.0125
0.00625
F�
�
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
{ }
wall
0
0
0
0
Q
Q
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
�-�):-
% �����2�.���� �������� �������������� ��� ���� ���� ����������$ ��� ��"����-�)����� �� ����� ����� ��� �� $ ��� �� ! $��� -�(.�
������ ��� 6� ��� ������������� �� �� :�#��
����� ��� ,� ,� ,� ,� ,�
� 6�� �85�92 61�#6 6��56 6����# 6�� �33�19 28�#9 65�53 6��58
6 6�� �23�68 ����83 95��8 61�1�
8 6�� �19�22 ��2�26 5��55 93�3�9 6�� #�8 �6��2 23�69 5��95
3 6�� #�1�12 �8��13 11�#6 29��6
5 6�� #�9�6 �9��#� ����86 15�562 6�� #�1�2� �91�3 �##��3 ��1�8
1 6�� ##6�28 �33�16 �6��31 ��1�31�� 6�� ##5�61 �56�9� �8��# �#2�19
*0""��1
#�� � ��������������� ������� ���������� ������������ ������ ����� �������� ����������� �$� !>/�� %� ������� ���� �� ����� ��� ��� ����� ��� ����� ��� �������� �� ���� � ������� �$� ���� ������� ������ ����� ����� � ����������+������ �� ���� ��7R���� � ���$���� �$� ������ ����� ���� ��� ��� ��� � �������� +����� ����� �$� ��� ���� �$� ��� �������������������$�� ������������� ����������� ��&� � �� ���&��� ��������������� �� ��� ��� "���$� �� ������� ��� ����������� ����� ��� ���� ������ ����� ����� �� ������������������ � ��������������� ������������� ���������� ��������������� ��������� ��� ����������� ��������
2�3�'�"*
!" '��� ��� �� ������ ����� �� ! $�� V-�.�
�� %� �� ����� �� �� ������ ���� ����� ���� ��� ��� �� ���������
����� ���� �������� ������������ ����������� �� �� ��#��� $����#������� �� ��� ��� %������ ��'&�
#
#
3
#
3
6
3
����� :��� 3� �# ������ �����#����� �������
������ ��
0
100
200
300
0 10 20 30 40 50 60
T1
T2
T3
T4
T5
C��� ���
C�� ���
�� �� ����� � ������� ��� �� �� ���� ����� ��
�� #�� �� 3����� ���� �� �������� ��&��� �� ��� �� ������ ��� .� (� ���� )� ���*��� 8��������������&�������������� ����������������������&������=����� ������ �� ���������� ���� �����&���� ��������$����� ��������������������������� ������ ��� �� D&E� ���� ��
!"# #�� ��� ���������� � �$������$��� $���������� $���������������� ��$ ��������V������ �� �������� �������� ���� ������ �$� �� ����� ������ ���� ��� �����
20 10 0
20 10
Symmetric 20
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
!"$ !��� �� ������ ����� �� ! $�� V-�.�� ���� �� �� $��� �������� ��&����� ��� ����� ���� ��������
!"% >���� ����������������� �� �� ������ $����������� ������ ��4������� �� ���� ���� ��� ��� &�� �� ���� �������� ��� ����������� �� � �� �����[
!"& O��� �� �� ���� $������� ���� $�������� ��������� �$� ��� �� ���� ���4��������� �� �$� �� ����� ��� �������� ���� ���
2 1 0 0 2 0 0 0
1 2 1 0 0 1 0 0[ ] , [ ]
0 1 2 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
K M
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
!"! !��� �� ������ ����� �� ! $�� V-�-�� ���� �� �� ����� ��� ������� ���� �� ������� :��� �� ��� �� ����� ���� � ����� ��� �� ��� <� ��� �����
#��
����� :��� �������� ��� ��� ��� �� ������ � ����
� ���
) ��
##
��
��
�� �
���
���������� � ������
CHAPTER 7
������������ ������ ����������������������� ��������������������� �������������������������� ��������� ��� ���� � ��� � ���� ��� ��� ����� �� ��� ������� ���� ���� ��� ���� ��������� ������������ ���� ��� ������ ��� �� ���������� ������� ��������� ��� �� ������� ��� � ��������������� ������������������������������� �������������������� �� ������������������������ � ���� �� ��������
��� ����� �� �� �������� �� ���������� ��������� ��������������������� �������� �� ��� ����� ��� ���������� �� !���� ���� ��� �� ����� �� ����� ��� ��������� ���"� ������ ��� ������ ������ � ��� ���� ��������� ������ ����� ��� ������� ������ ������ � ���������� �� !���� "� ������ ��� ����� ������� ��� ������� ���� ���� ��� ���������� ��� ������� ��� � �������� ���������� �� � ���� ��� ������� ������ ��� �� ������ #�� �� ��� �� ������� ��� �������� ��������� �� � ���� ��� ������ ��� �� ������ $���������� ������ ������������� ����������� ������������� ��� ���������� ������%�� ����� ����� �������������������� ���� ��� �����������������"���������������������� ������������� �������������"����� ������� �� ������� ��� ����� ��� ������ �� ������ ��� ������ ������ &��� ����� �� ���������� �� ������� ����� ���� �������� ������ ��� � ���� ����������� � ������� �������� ������ ���� � ������� ������ ���"� �������������� ��� ����� ������� ��� �������� ����� ����������� ������������'��������� ����� ��� ����� �� � ������� ���������� ��� �������� ���������������������������������������������� �� ����������������� �����������������������������"����������������������������� ��������� ������������������������������������������ ���������
��� ����� ���� ��� ���� ���� ���� ������ ��� �� ���������� �������� &��� ������ ������������ (����� ���� ��� ���� ��� � ������ �� � ����)� ���� ����� ����� ��� ������ ���� �������* ������� ���� �� ����� ���� ����� ��������� �� ���� � �� ����� ��� ������� ���� �� �� ������ �������� "��� ������� ��� ���� ������� �� ��� ����� ��� ���� ���������� �������
��� ���������� � ������
���������
����� ��� ��� �� ���������� �� ���� ���
�� � ����
�� � ���� ��������� ����������� � ����
����� ��� ���������� ��� ���� ������ �� � �� ��
������ ���� ����� �������������������� ������� �������� ������
����� ��������� ���������������� ��������
�� ������ ������� ����� ��� ����������� ��� ������ ��� +��� �� ,�-�� "��� ���� �� ��� ���������� ������ � ������ �� ������ ��� +��� �� ,�.�� "��� ����������� ��� ���� ������ � ������ �
������ ���� ���� ���� ����� �� ��� ������ ������ �!���� ���� �� ��� ���� ���� � ������� "�������������������������������������������������������� �� ������������/� ������ ��������� �������� ���� � ����� ������������ ��� ���� ���� ����������� (��0��� ��������� �� ������� ���)���������������������� �������������������"��� �������( �� ���)� ����������������������������� ������ ������������ �� ��� ���� ������� ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� �!��� ��� ���� ������ ������� ( �� ���)��"��� ��������� ���������� �� ������� ����������� ��� ��� ������� �� ��������� �� ������� ������
"��� ������� ���� �� ����� �� ��������� �� �� ��� ����� ��� ���� � �� ����� ��� ���������������� ��������� ���������� ������������"���� ���������������������������� ��������
�������������������������
�����������
����� ��� ���������� ��� ���� �� ���� ��� �� �� ���
��� �� ����� ��� ��� ������� ���� ���� ��� �� ���� ��� �� ����������� ������� ����� ��� 123� �������� ��������� ���� ����������������� ��.13������������� ����� ��������� �������������� ���� ����� � ���� �� ����� ���� ������� ����� "��� ��� �� �� ��� ��� ��� �� �� �� � � ����������� � �� ������� ��� ��� �!����� ����� ���� ��� ���� � ���� ��� �� ����� "��� �� ������������� ��� ������� ����������� �� ������� ������ ���� �� �� ������� �� �� ������������� ������� �������� ������ ��� ���� ������� ��� ������ ��� +��� ��� ,�'� ��� ,�4�� +� � ��������� ���� ����� ����������������������� � �� �������������� ������� ����������������� ������������������ �� ������ ��� +��� �� ,�1�
������ ��� � ���� ������� � !��� �"�� #� ��� ����� � !��� $���� � %&&'�
���� �� ���� ����(���
)����*� ��� �*������ ���
������ ������� �������� �� ���������� ������� �������� ���
��� ���������� � ������
����� �� !�������� ����� �� �� �������� ������ ��� �� ���� ���
�*������ ���
���(� ��� �*���������*(�(
!+� !��� ��� ����(� �� ��� �������
������������"(
,!
,!
)����*� ���
!��� ��� ������ (� -.'/!��� ��� ����(� %. 0112� ��� ������� 03 /'1
�*�����
)����*
������������"
����� ��" !�������� ����� ��#������� �������� ������
���� ��� $��� ������ ��� ������ �� ���%�������� &'()� ���� *� �� ��� ��� ������
� � � � � � � � � � � � � � � +����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +����� �
4��� 0� 5��� )�� ��� 0� 5��� )�� ��� !�� ����� ����� ����� ��� ����� ����� ����� ���
% 3'6 '&0 7&�0 3&/ 3%/ 7%/�0. %./' %.&% 3�/ %.-/ %03/ 3�/00 %&6% %'%. 7%3�/ %&'- %'6' 7%'�66 .%.& %'30 7.%�6 .%0. %'30 7.%�11 0/.0 .001 7..�- 0/.3 .00- 7..�-
���� ��� $��� ������ ��� ������ �� ���%�������� &'()� ���� *� �� ��� ��� ������
+����� � +�����
4��� 0� 5��� )�� ��� 0� 5��� )�� ��� !�� ����� ����� ����� ��� ����� ����� ����� ���
% 6-3 1'. %1�6 1%' '/' %3�1. %/&0 %%3. 3�. %%0. %.%0 3�%10 %6-3 %1/1 %�. %6&% %1%0 %�16 %-&. ../3 %'�3 %&.. ..%' %1�01 .&.6 06'& %-�' .&'' 063. %3�%
����� ����� ��������������
�������������� ����
"����������'������������������ ��������������������������������������������� ����� �� ����� ������������ 5
� $������ -5 �� ������� ������� (� ���� ��)� �������� ���������� ������� ��� �� �����
� $������ .5 $������ -� ��� ��������� ��� ��������� ���� �� ��� �� �����
� $������ '5 $������ -� ��� ��������� ��� ��� �� ����� ���� ��������� ��� �������
� $������ 45 $������'� ������������������������� ���� �� ��� �� ����� �� ���� � �� �����
� $������ 15 $������4������������������������������ ��� ������������������������������ ����� ���� '�� ������ ��� ���� ���� ������� ���� ���� ��� ������� ��� ��� �������� "���� ������� ��� �� ��� � ����� ��� ������ �������� �������
"��� ����� �������� �� ������� ��� � �� � ��� ������ ���� ������ ��� �� ��� �� ���������������������������������� ��� �!���������������������������� ���������������"�� ���������� � ������ ������������ �� � ���������� ����� ��� ���"�����,�-6,�'��*����������
������ ������� �������� �� ���������� ������� �������� ���
��� ���������� � ������
���� ��� $��� ������ ��� ������ �� ���%�������� &'()� ���� *� �� ��� ��� ������
� � � � � +����� "
4��� 0� 5��� )�� ��� !�� ����� ����� ����� ���
% 6-6 06' .-�1. %/&3 %.-' %3�.0 %6.0 %6-3 6�16 %-.- %&1% '�31 .-&' 0..- %%�1
����� ��� +������ ����� �� ��� ��� �� ���� ���
������� ��� ������� ��� ������ ������ �� �� �� �� ������ ������� "��� ����� ����� �����(+��� ���,�76,�8)������������������������������������������������������ ��������������������������� ��� ����������
����� ��, ������ ����� �� ��� ��� �� ���� ���
����� ��- ����� ����� �� ��� ��� �� ���� ���
��������� ��� ���� ��������� ��� ������� ��� ���� ������� ������������ ����� ���� ��� �� �!������� ��� ���� �������� �� �� ��� ���� ���� � ��� ���� ������� ��� $������� -� ��� '�� "�� ������������������ ��� �!���������������������-83�������������� ����� ���������������� ������ ����� ����� ���� ��� �������� ��� ������� ��� ���������� ���� ������ ���� �������� ��� ������������������ ���������������������������������������� ��� �� �������� ���� ��� ��������� ��� ���� �������� ������������ ������ ���� ��� �� � �!������� ��� $������ 4�� "��� ���������� ���� ��� �� � �!������� ��� ����� -73� �� � ���� ������ ��� 73� �� � ���� '�� ������� ��� ��������������������������������� ��������������������������������������������������� ������������� ����� ���� ��� �� � �!�������� + ��� � ��� ����� ��� ������� �������� �� � �������� -� ��.� (� � '� ��� 4)�� ��� ���� ��� ���� ���� ��� �� � �!������� ��� �� ���� ��� �� ���� �� 76,3������������� ����� ����������������������� ���� �� ������������������� ��������������������� ��� �� ���� ��� ���� ��� �������� ��� �� ����� ������ ���� �� ����� � �� ������ ���������9����� �� � � ��� ������ ��� ������� ��� ������� �� ����� ������� ���� ��� ����� ���������� �����
��� �� ��� ���� ���� ���� ���� ���� �������� ������ ��� ��������� (� )� ���� ��������� ��� �������� ��� �� ���� �� (-76.23)�� "��� '��� ������� �������� ������� ������� �!�� ���� � ��� ����������� ���� ���� � ������� � ��� �������� ��� ���� ������� � �!������� ��� ���� ������� ����� � �������� ����� ���� ������� ��� ����� ������� �
���� ����������!������������
"��� ��� �� ��� ��� ���� ��� ���� �� ��� ���� ��� ���� ��� ������ ������ ����� ��� ������ ��� ������������ �� ��� ��� ���� ������� ��������+�� �� � ������� ��� �� �� ���� ��� ������ ���� �� ��.2�� ������������������������ ���(+��� ��,�:)��"��� ���������������������������������� ��� �� ������� ��� ���� ������� �� ������ ��� +��� �� ,�4��"����� ���������� �� ����� ������� �� �� �� � ����� ������� ��� ������� ��� ������ ���� ������ ����� ��� ����� ������� �;����� ���������������������� ����������� ����������������������� ��������������������
������ ������� �������� �� ���������� ������� �������� ��
��� ���������� � ������
������
������
������
������
������
�����
�
������ � � � � � � �
�����
�����
����
�����
�����
�����
�
�����
�����
����
� � � � � � � � ��������������� ������ �����
����
������
� !�
�"�
#���
�����
�� ��
��
����� ��. /� ���� ������� ��� �� ���� ��� ��� ������ �������� ��������������
����� ���0 /� ���� ��������� ��� �� ������ &�� �� �������� �����)�
����� ��������� <������ ������� ��� ���� �� ������ ���� � (.222� =� �>�)� �� ����� �� �� ��� �������� ��� ������� ��� (������� ����?�2�2-)��������� ����� ���������������� ����������� ����������� ��������
"��� ������� �� � ����������������� �� � ��� �������� ��� ���� �� ����� �� ���� �� � ���������� ���� ������ ��� ������� ��� ���� �������� "��� ���� /����� �� ���� �� ���� ������ ��� ���������� +��� ��� ,�-2� ��� ,�--�
��������� �
�� ����
��� ����� ������ �����
����
����������� ����������������
������������
��������
�������
� ��
�
���
�� ���
�!"
�
�!"
�
�!"
�
����� ���� /� ���� ��������� ��� �� ������ &��� �����)�
"���*@A� ������������� �� �������������������������'�����������$���A�� �� �� �������� ��� �� ��������� -.� ��� ��� ������ ���� �� � ���� ���� ������ ��� �� ��������-.����������9����� ������������ ������������������������������� ��������� ����� ����� ���� �� ������ ����� ��� ��� ����� ������� ���� �� ������� ��� ��� ���� ������� ��� ����������� ��������� ���������������������������"������������������������������������� ������������������������������ ��� �!������������������ �������������'������������������������������ � ���� ����� � �������� ����� ���� ������� ����� ������ ��� ����� �� ���� ������� ��� ���� ���������� ��������
��� ����� ���� ����� �� �� �������� �� � ������ ����$���� ��� ���� �������� ������ �� ��� ��� ���� �� � ���� �� ��������� ����� ������� ���������� ���������������������� ������������������ ��������� �������� ��������������������������� ���������� ��� ��� ���� ���� � ������ �� �� ��� ������� �� �� ������ �������� ��� ����������� �� ���������� �����������"���� ���������������� ���� ������� ���� ��� �� ����� ������ ����� ���� �� ���� ��� "���� ���� ����� �� ���������� ��� ��� ��� � ��� ����� �� ���� ���� �������� �� �������� ��� ����� ��� ����� ��� �� �������� �� ������� ���� �� ���� ��� ���� �>��� ��� � ������� ���� ��������� ���� ������ ��� �� ������ �� ���� �� ������������� ��� ��� ���� � �������� ������ �� ��� ��� ���� ��� ������ � � ���� ������������ �������� ���� ���� �� ������ ���� ��� � ����� ������� ����� ��� � ��!������ ;��� �������� �� ����������������������!�������������������������������������������������+�� �� ��� ����
� ����������� ������ ������� �������� �� �� ��������� ������ ���
������ ���
��� ����
��� ����� ������ �����
�
�
#
�
����
����������� ����������������
"
�
�� ���
������������
��������
�������
�
���
�
��
�� ���������� � ������
���� ��� �8�(*��� ��� ( �� �� ����2*������ ��"� ���� �� ������
�8�(���(*��� *
�8�(���(*��� *
����� ���� 1� ���� �� ��������� �������
"��������������� �������������� ���������������������� ��+�� �� �� �����B����� ���������� ��� � ����� ��� ����� ���� ������ ���� �������� ���� ���������� � ����� ��������� ����� �������� ������� ������������������� ����������������� ������������� ���� �� ������������������ �� ������� ��������� ��� ���� � ��������� ��� ���� �� ���� ������� ��� � ������ � ���� ��������
����� "��� ������ "������ �������������� ���#����
��������� ���� ��������� ����������� ������� ������ ��� ���������� (����������� ���������)���� ��� ������� �������� ��� � � �� � ���� �� ������ ��� +��� �� ,�-.�� "����� ��� ���� � ����� .��
����������������������������*���� �1����0����� ���������� ������������������ ���������� ������!�� ���� ��� ������������!�� ���� ��� ���� ����� �� ��������� �������� �� �������������#������������������������� ���������������� ��� ����� ������!�� ���� �� �������������� ������ ��� +��� �� ,�-.�� A����� ���� �� ����� ���������� ���� ������������ ��� ��� ������ �������� ���� �������� �� ������� ��� �� ��� ��� ����� ������������� �
�� ?��� ����� �� ?��� ���� (,�-)
��� ���� ����� � ������� ��� ���� ������������������� ������������"�������� �������� �� ���� ���� �� ������ ������ ��� *���� � 1� C���� #!��� (1�4')6 (1�47)D�� ��� � ���� ����������
����� �� � �������� ������ � � ���� ������ �� ���� ��� ���� ��� ���� ��� �� ����� ��� ��� ���0� �� ������������ �� ���� ������� ���� ������ ����� �� ���>�� ����"��� ������������ �� ���� �� �������� �� ���� ������ �5
ru
r�
∂=∂
� u
r�� = � z
v
z�
∂=∂
r zu v
z r�
∂ ∂= +∂ ∂ (,�.)
A����� ���� ����� �������� �� ��������� ��� �� ��� ���� ������ �� ���� ��� �� ��� ��� ���������������� �� �������5
{ } [ ]{ }eB� �= (,�')
"��� �� ������ �� ������ ��
1 01 1
1 0(1 ) 1 (1 )(1 2 )
1 0
1 2Symmetric
2(1 )
r r
z z
rz rz
v v
v v
vE v vv v
v
v
� �
� �
� �
� �
� �
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
�����
{ } [ ]{ }D� �= (,�4)
"��� �������� ���������� �� ��� ��� ������ ��
CD�� ?� � CD�C�DCD � � ?� � CD�C�DCD (.� �) �� �� (,�1)
"�������� ������ �� �������� ������ �� �� ���� � �� � ��� &���� !�� �� �� ����
����� $ ������������ �� � %������� &�����
�� ������ ����� ����� ����� ��� � ���� �� ������� ����� �� ����� ���� ���� ��� (+��� �� ,�-')��� ���� ����� �� � ���� �� ������� ����� �� ���� ������� ���� � �� ���� ��� � ���� �� ��� .222� � (������ �� ���� .22� /@)�� ��������� �� ���� ��������� ��� � ����� � ����������� �� ��������� ���� ���� ������ ����� ��� ���� �� ���� ���� � ������ ��� � ����� �� �������� ��
+� � ���� ������ ��� ��������� ������ ��� +��� �� ,�-4� ��� ���� ���� �� �������� � ����� ��� ����1222������������������������������� ���.,12����������������������������������� ����������� �������� ��� +��� �� ,�-1�� "��� ��������� ����� � ��� �!������� ��� ��� ������� ��� ����� 1122(?� �)�� ����� � ��������� (?� �)� ��� ����� -22� �� � ���� ���������� �� ���� "��� *�������� �����(����������������)�������������� ��������� �����!��������"����� �� ���� (����������)������ � �� ������ ��� +��� ��� ,�-7�
� ����������� ������ ������� �������� �� �� ��������� ������ ���
��� ���������� � ������
����� ���� +������� �� ��� ���� ��� � ���� �� ��������� �������
9*�����������((��
2��������������(��
����� ��� �2� ��������� ����� ��� ��������� �������
2��������������(�� 9*�����������((��
����� ���" /�������� ����� ��� ���� �� ���� ���� ��
����� ���, ��� �� ������� ��������� ������ ������ �� ��������� �� �����
� ����������� ������ ������� �������� �� �� ��������� ������ ���
���
��������� ��� ������� ������
APPENDIX A
���������� ��������������������������������������������������������������������������� ����������� ��� ������� �������� ���������� ��� ����� ��������� ��� ������������������������������ ����������������������������������������������������������������� ��� ���� ��� ����������� ���� ����� ������ �� ����� ���������� ������ ��� ����� ������ �� ����� ���� �������� ��� ��� �������� ���� ������ ���� ����������������� ������� �������� ��������� ���������
������� � � ����� �������� �� � �������� ��������������� ������� ������ ������ ������������������ ������������������������������������������ ���� ����� � �������� ���� ����� ��� ��� �������� ������
� !� ������� ��������������� ������������������������������� ��������������������� ��� �"������ ���� �#����������� � ��� ����� $��� ����� ��� �������
� $ � � ����� � � �%� ��� ����� ������ ����� ������� ���� � ����� ���� ���� &� '(()*� �������� &� +()*�� ����� ��� ������ ���� ��� ��,� ��� ��� ��� ������ �� ��� ������� ���� �� �������
� -���� ��� ��� ������ ���� ��� ��,� ��� ����� ��� ���� ������� ��� ��������� ������� ��� � �� ������ ������.+()*��/������ ��������������������������� ������� �������� ������ � �������� ��������� � � ,�� �+� 01��2�� 3� ����%� �� ���� � ��4���� ��� ,����� ��������� ��� ����� ���� ��� � �������� ��������� � ��� �((� 01��2�
� ������������� ��� ������� �"������� ��� ���������� �������� �(1)*%� ���� ��� ��� ���������� ����������5����(1)*������� ��� �������� �������� �� ������ � ����� ����������
� /�� ������ ������ ������� ���,��� � ������ ����������������� �������������� ������������������ ��� �������� � .+()*�� ����� ��� ������ ���� ��� ��,� ��� ��� ��� ������� ��� ����� ��� �� ����
��� ��� �� ������ �� ��� ��������� ������%� �����������6�� ��������� &� 7����� �(��� 81��%�����6�� �� �� &� (�'%� ���� ����� �� &� 9:((� ��1����$������ ��,��� � ������ ���� ��� 7+)*�
��� �������� ��� ����� ������������ ������
����������� �� � ��� ���
� ���� ��
��� � �� �������
����
����
��� �� � ����
����������� �� �
� ���
��
� ���
� ���� ���
� ���
��
����� ��� �� ���� ��������� ��� �� � ���� �� �������
������� �� ���������� ������� �������� �� � �������� ���������� ,�� ���� �� ���� ���� � ��� � ������� � � ��� ���� �������� � ����� ��������� �� �� ���������������� ��� ���� �������� ���� ���� ��� �����
� !� ��� ���� ���� ��������� �� ��� ������ ��������� ������� ��� �"������ ���� � ��� ����
� ;� � ���������������� ������� ����������,��7((����������� ���� ������� ��� ����������� ��� �������� <�� �� ��� ������� ������ ��� ���=
�������� ��� ����� ������������ ������ ���
����� ���� �� ���� ��� ��������� ��� �� � ���� �� �������
����
����
� ���� ��
����������������� �� �
��� � �� �������
� $���"������������������� �������������������� ���������������� �� �������� � ����"������ ��� ������ �������������7��������� ������� � ��������� ��� ������������������������
� ���� ������� ������ � ,�� ��� ������ ��� ��� �4����� ����� ������ *������� �� ��������� �4����� ������ � ��� ������ ���� �� ������� ��� � ��� ����� ��������
0
6.9
13.8
100 200
Time(ms)
�� ���� �� !"#
� $
��� �������� ��� ����� ������������ ������
������� �� �������� �� � ������� ���������������'� ����� �� ���������������� �� �� ������� �,����� �������� �� �#�������� >-� ��?������ ������ ���������������%������������������������,���������� �%������� ������� ������� ���� �� ����� ���4�������� ���� ���� �������� $������ �� � ��� �������� ���� �� �� ���� ,���� ������� ��� ��� ��������� �� �� ������� ��������7+ ������!� ������� ��� ���������� ��� ��� ���
510 /fk N m=510 /rk N m=
����� ���� ��������� ��� ������ � � ����
%�����# �������� � ���##
��&���� �� ��# #& ��'��(� ��� ���)��� ���*� ��� �
���
���
���
�����+
��+
���
���
�� ,� ���� !"#
�� ,� ���� !"#
���
���
�������� ��� ����� ������������ ������ ���
������� �� ���������� ����� ��������$� ������� �� � ���� �������� ��� ����� ��� ������� ���.>�?�� $� ����� ��� �� ���� �������� ��������� ��%� ��� ��� ������ � ���� %� ��� ���� ����� ���� ��� � ��� ����� ���,���� �� ��� ������������� ��� ����� ����#��� ���
���������� ��� �-���� ��� �� >@���? &� ��+� �-���� ��� �� >��� ? &� �� �0�����,��� &� 7�+� �A��# #���� ���� � &� .� �!�� ����� ,� �������#����� � &� �� �
*��,� ����� &� � B((� ������� ����� ��� ��� ���� �� �� ������ �� ������ A����������� &� '((� ��
>����� ����� � ��� �������� � �� � � � ��� � ?C�� ������ ����� &� '((� ��
>����� ����� � ��� �������� � �� � � � ��� �!%��� ��� (�9+� �� ���� ��� ����� �"���?
����� ���� �! ������� "������#��� � ���� �$��� ��� ������%� ��� �� ��%� ���� �� � �$��� ��� ��� ��� "&� ��� ����������� ��� ��� ��
�����������
@���� ���������� ����� �� >'� ���D9+ ��? � $������� � �� � � � ��� �� @�%� @,%� ���� @����� � ���������� ����� �� >7� ���D9+ ��? � $������� � �� � � � ��� �� ��� ���� �,�-�� #�������� ��������" ��&�5(��81�������������������������������������������>9(���?��� ���� � #�
Section
H
W
W=5 cm
H=10 cm
t=1 cm
F
1m
4 m
2.5 m
1 m0.75 m
RB
1.5 m
1A2A
aF
bF
aR
cR
bRL
Curb weight
��� �������� ��� ����� ������������ ������
����� ���
���� �������� ��� ����� ��� ���� ���� ����� ������ ���������� ���������� ��� ���� ������������ ��� ���� ,�� �������� ��� ����� ��� ������� ���.>,?�
������ ��������"� &� �5%(((� 81�$� &� 9(� 81�1�
���� ��������"� &� 7(%(((� 81�$� &� �((� 81�1�
������� ����� � � ����� �� ������ ���� ��� �� &
>����� ����?� E� >$"��� ����17?
����� ��� ����� &� �((� ��
����� ��� ����� ����� &� '+� ��"����� &� �((� 81�$����� &� 7((� 81�1�
����� ���� '! ������� �������#����������� %�������
������
- � .����
������
/��0���1� #��
2��*&���& ��
��� �
����
�
-��� 3������
��� ���� �������� ���� ���� � ����� ��� ����� � ����� ��� �������%� ������� ������� >����������%� ,��#������ ����%� ���������� ����%� �"��# ���� ����� ���� �������?�� !� ������� ��� �� �������4�������� ���� ���� ������� �� ��� �������� � ��� ���� ����� �� �� ���� ��� �������� ��� ��� ���� ����� ����%� ��� � ��� �� ����� ���4�������� ���� �� � ��� ������������ ���� �������
-�,�� � ��� >�������� � ��� ���� E� ���������?� � �� ������� ��� ���� �"�� � ����������� ���.>�?� ����� ������� ����� ������ ��� ����� �� ��� �������%� ��� � � ������ ��� �������� ���#��������
/������� � ������ �� ��� �"�� � ��������� ��� ����� �������� ���� ��� ���%���������� �������������� � �������%� ��� ����� � � ��� ���� �����
�������� ��� ����� ������������ ������ ���
������������� �����
$����� �������&�(� ��� &� ()% ��� &� ()C �� ��� �"���� ������ ��� ���� ���� ��� ������ ��� &� 5()% ��� &� 5()
���
��� &� ()% ��� &� 5()% ��� &� ()% ��� &5()
��� ��� �,��� ��������%� �� ������>�? ��� �������� ��� ������� ���� �������� � � ��� ���������� ��� ���>��? �������� ���>���? �������� �� ��
� � ����
� �
�
�� �
���� ����������� �� ���� ,�� ����"��� ��� ��� ����� ��� &� $� ��� >��� E� ��?� F����������� � � � ��� #��� � ���G��� &� $� ��� >��� E� ��?� F����������� � � � ��� #���� � ���G��� &� $� ��� >��� E� ��?� F����������� � � � ����#��� � ���G��� &� $� ��� >� �� E� ��?� F����������� � � � ����#���� � ���G
*�������� ���4������� &� >7� 1�?� �� >�������� �����?H������������ &� B(� ��1��
0������� �� �� &� 7�+� �� >����� ��� ������ ,���?$���� ���� �� ���� ,����� &� (�(+� �
��������� �!
Pitch
Roll
Rear Bounce
Front Bounce
bd
’a’c ’d
’ ’a c- b d- ’ ’b d-
��� �������� ��� ����� ������������ ������
������� !� �������� �� � ���"��� ���#$� ������� ����� ����� ��� ���� ��,����� ��� ����� ��� ������� ���+�� ������� �"������ ���� ���� ������� � ��������� �� ��� ����%� ������ ��� �������� ����������� ��� ����� � � ��� � � �� � ����� �����%�� ����
����� ���( ������� �� '�� ������� �� %��)�
��
��
�(�
�
��
����
-��
-��
-��
-��
���
���
���
���
��
���
�������� ��� ����� ������������ ������ ��
������� $� ������� �������� �� � %���&��'*������� �� ����������� ����� �� �� ������� ,�������� ��� ����� ��� ������� ���B�� ����� ���� ������ �� ����,�� ����� ��� ����� �����6���������&���.��� �(���81��I������6�� �� ��&�(�'I����� �� &� 77.(� ��1��I� ������� ���� ����� �������� >(�7� F2G� E� (�.� F�G?�
� ����� ��� ��� ��� ������ ,���1��� �� ������ �� ���� �� ������� ��� ���� � ���� �� �������4�������� ���� ��� ������������ ���� �������
� ������ ���� �� � � ���� ���������� ���� ���� �� ��� ������ ����� ���� ��������� ������� ��� ������ ,��� � ����� � �� ����� �������� &� +((( 8I� ����� � ������� � �������&� :(( �81�I� ��,�������� ����� �� ��� � �� &� � ��� � � ��� ����� ���� �� �� (�� �I� � �����������&�'(((������!� ������� ���� ������ � ������������ ������ ������� ����� ��������� ���� ��� ���� ���
���#
����� ���* �������� ��������� ��� �� �������� '���%���� �� ���� ��
��#
�(���#
��#
��#
��#
�(� � �(��#�
�� �������� ��� ����� ������������ ������
������� (� � ����� �������� �� �� ) *�'��� ����&��*������� �� ����������� ����� �� ��� /*� ������� ��������� ����� ��� ������� ���9�
� ����� ��� ��� ��� ������ ���� �� ������ �� ���� ����� ��� � ����� � � �� ������ ������ ��,� ��� ������ �� � ��� &� 7(()*� ���� ��� &� '()*�� $������ &� &� .+� 01�)*� ����� &� 7(� 01��)*�
� J��� ��� ������� ������ ���� ��� ��,� ��� ���� �� ������ ��� ����� ��� ��� ������� ���������� �� ������� � �������� ��������� ��� ������ ���� ��� ��� ������ �� ��� ���������
� !������ �������� �� ����� �� ��� ��������� ,���� � ��� �������� �� ��� � �������� ��� ������������� ���,��� �� ����� ���� �������� ��� � ,�� ���� ��� � '%� ���� ����� ���� ���� ,��� ��������� '� ��� ���� ���� �� � � ���� ���� 7(� ���
��
��
�
�
�
� ��
�
���
���
� ��
����� 0������ ���4 � � #0 ����
� ��� ��� ��� ���%�1������#��1������ 1� �$
���
���
���
���
���
���
���
2��4 �� #0(�+�
����� ���+ �� ���� ��������� ��� �� �������� ,"� ������� �����%� �
�������� ��� ����� ������������ ������ ���
������� +� ������ ������������*������� ��� � ����� ��� ��,� ��� ������ �� ������ ��������� ���� ��� �� ������ ��� �� ��,�� ��� � ���#�"���� ������� / � ��� ����� ����� �� � ��� ���� ����� � ����� ����� �� ��� ��� �� ��� ���� ����� ��'��0������� �������� ��� ����� ����� ���%� ���� ����� � ������ ���� �� � � ����� ����� �� ����� ����������������� ��������"����������������� � ��������/�� ��������"���������������������� �� ��� ����� ��� �� ������%� ���� ����� ��� ���������� � ��������� � ��� � ����� ��� ��,� ���<�����%�������������������������� �������������� ������ ���������������%� ������� ���%������� �����������"��� ���� ������������� ���������������������������� ����������� ������������������� ���� ��� ����� ��� ������� ���:�
� ����� ��� ��� �� �� �� ��� ��� ���� ��������� ���� ������ � ������� �#���������������� �� >����� ��� :15#����� 4������� ����I� B#����� �������?� ���� �� ������� ��� ������� ������ ��� ����
� *����������� ���������������������������� ������ ������������������ �����,���������>������������%�,�� �������������?��������� ����K�1��� ��1���,����� ����������4����� � �� � ����#������� � ����� ��� ��,� ���
����� ���- ������ .���� ������
������� ,� �������� �� � -��& ���# ����� .��&/0���� -��& �����"��
������� ���5� ����� �� ����������� ������� �� �� ������� @���10�� �� <���� �����,��� ����� ������ �������������������������� ������ � ������ ������� ������ ��������� ���@10������� ���������� ��� � � ��� ���� � ��������� �����,��� ��� � � ��� �,� � ��� �"��� �������������� � ���������� ��������� ����������������� �������� ������� �������������� ���> ����?��� ������������ ����� ����� �%� ����� 8��,��� �� ������ ���� ��� ��� ����� ����������� ���� ��� �������� ���� ���������� ����� ������������ / � ��� �������� ���� �� � �� %� ����� ��� �����,��� ��� ����� � �� ���������� ��%� ��� ��������� ��,�� ���� � � ��� ��� ��� �� ��� @10� ����� ,�� ��� ��� ��� ����,���� ������ �������� ����������������"%��� ���� ��������������,�� ������ �����������,���������� ��� ���%������������������ ������ ����������������� ������ �������� �������� ������� ������� ���� �� ����� ���4��������� 8�" %� ������� �� %� ������ �� ������� � ����� �� ��� ������� ����%� ��@10� ����� �����,��� ��� � � ��� ,�� B()� ��� �(� ��� ������ ������� �������� ��1�������� ��� ���>����%� ��������������� ��������?��!� ������� ��������������,�� ����� � ��� ��%���������� ��@10���������� ������������ ������������%�������� �� ���� ���B()���� ��� ������ ���,��������� ��� � �� ��� � ���� ��� ��������
��� �������� ��� ����� ������������ ������
��������/ 0� %�%���� % ����123����%� �����'���
%�����# �������� � ���##
���
��
%�� ����*� ��� ��##$ 2� �� ����*� ��� �(��##$
���
�
�
��
- ��
-�- ��
��
� �
� �� � �� �
� �
�
�
���
������� �� ���� �������
APPENDIX B
���� ����� � ������� �������� �� ���� ���������� ������ �� ���� � ��
������ �� � ������ ���� �� ������ � �� ��
� � ������� �� � ������ ���� �� ������ � �� ��
�� � ��� ������� ���� � � ������� ������� ���� � ��
� ������ ������� �� ������
� !�"����������� ��������� � ������� ����������� ��� ������������������ ��� ��"� ���#������������ ���� ����� ������$�%"���������������� �������� �� ������� ��������� �����"������������������&��$�$��� �������� �����������'���� �&�� �����������&��"�������� ����������� �$�$� '��������� �������������������� �� �"����� ���������� ������ � �������� � ��������()$)$
0
0
Carpet width
Band width
������� ���
���
���
����� ���� �� ��� ������� �������
��� �������� ��� ��� �� �������������
%"�� �� *�� ��������� ���� ��� ��� ��� ��� �"�� ����� � �"�� �������� '��� ������� � �� +�,�"���������� ��������� ������� ���� �� ������ ��� ����$�-���� ����� �� ��� ������� �����������������������"��������������� ���������� ����"�� ������������� ��������"��������$%"��&
111
1
[ ]
n
n nn
aa
x xA
xa a
x x
∂∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥=
∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
�
� �
�
11 1
1
[ ]
n
n nn
a dx a dx
A dx
a dx a dx
�
� �
�
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫∫
∫ ∫��������� ���� ������������� ��� ������� ���� ��
������������� �� ��������
+���� .� ����,���� �� �/�
%"�� �������� ����� � ���� � ������ � �� ������ � ��&� ����&� #"���� ��&� ���� �������� �� ��� �"����� ������� � ���� � �� ����� ���� �"�� ������ �� �� ���� ������$� 0� ���� ��� ����� � �� ���������&���#���� ��� ����$� 0&� � � ������ &� ���� ��� ����������� ���&� �������s� �����������$�%"�� ������ �� ����� ������� ����� ���� ��"� ��� �$�$&� ����
������ �� /� +�� �� �,$
���� ������� ����1 ������ �� ���"���������� � �������� ��������������� � �� ��������� �����"�$�2���������"������ ������ ���&� �"�� � ��� ������&� ����� � +��,� ����* # �� ��#��#��"� �� � ��� �������������������� � �"�� � ��� � ������ ��� � � � ����������� �$�%��������&� �� ��� �������+�,� � ����������� ��� �� �"�� ����� ���� � ���"� �"��
��+��,� �� ��& �� �� )&� 3&��&� ��)
4�� ����������� ��������"�� ���������������� �� �� ��������� �����5� ������������� ����$���&� �"����� ������������ � ��� �� ���� � ��� � �� �"������������������$������ ����� ����� ��� ����� ��� � ����&� #"��"� �������� �"��� ��� ���� ��� ��� � �����"��#���� ��� �"�� ����$� %"�����������"��������� ��"������������������$�6 ����� ��������"������"��7���� ������"�$%"�� ������ ����� ��� �� #����
1
0
( ) ( )n
n i ii
p x f L x+
=
= ∑
�������� ��� ��� �� ������������� ���
#"������� ���� * # � ��� �"�� 7���� ��� ��� ������ ���� � ��
1 2 1 1 1
1 2 1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )i i n
ii i i i i i i n
x x x x x x x x x xL x
x x x x x x x x x x− + +
− + +
− − − − −=− − − − −
� �� �
0��#�������"������� � �������� �"��� �� ������� �"�� ���������� ��&�#�� ���� ��� � �������&� �"�� ������� � �"�� ��� ����&� ����� �� ��� �"�� ����$� 8#����&� �"��� ��� �� �� ������� ����$9���������� �����������������������"����� ����������+�,��������������� ���� �������#�� ��"�
�� ��� ��$� ��� � � �������&� ���� ��� �������� �� ��� �"�� � ��� � 2
1( )
1f x
x=
+� � � �"�� � ������
+.:&� :,$� %"�� ������ ��� ���� ��� ��� �� 7���� ��;�� ���"�&� ��� ���������� ����&� ��� ���� � � �������()$3$�%"������ ��� � +�,�� �� �"����� ����������� �����+�,+����<�� ��)3,������������� � �"�� �����$� 0�� ��� �������� �"��� ��� ���� �� �������� �� ���� ����� �� � � �+�,$
0 ������ � �� �� ���&� "��"� ������� ��� ����� ������ ��� � � �"�� � ����� � ������� �� �� �� �� �&#�� ���� ���������� �"�� � ������� � �� �� �� ����� ��� � �� ��� �������� �#� ������� ��� �����+���"� ������ � � �� ����� �,$� 6 �� ���"����"�� ����� ������ ���� ��� #"���� �� ������ ������ ��� ��#��"� � ���"� ����� �$� =��"� �� �����#���� ������ ���� �� ��� ��� �������� �� ���� �� �� �� ���&� "��"������� ��� ����� �� �"�� � ����� ���� &� ��� �"��� ��� �� ���>���� �� ��������� � ������������ +�,�������� �$
����� ���� ������ ���� � ���� �� ������ ����������
���
������� ���� �� � �� �������
APPENDIX C
������������������ ��������������������������������������������������������������� ����������� � ��� � � �� �������� ��� �� ����������� �������������������� ���� ���� ��������� ��� �� ����� � ��� �� �������� ����� �������� ����������� � �� � ���������� ��� � � �� �������� ������ ����� �������� ����������������� �� ����� ��� ���� � ���� �������� � �� ����� ��� �������!"�
�������� ��� � �������
������ ���� ��� ��� ��� ��� � ����������� ���� �������� � �������� ������� ����� �� ��� ���� ����� ���� � ���� � ��� !������ � ��� ��� ��� ���� ���� � ���"��#��� ��� ��� ��� ��� $������ �� %��&�� � ���� � %���� '��&������ ��(������ �)����*� %���'���� �(������ �)����*�� ����� ��%���� ��)����*
����������� ����� ���������������� ����������� ������������� ������ !"��#"$%���������� �������� &�����'()'�� )%�� **%� +,-%� ++%�� ,-,-%������������ )%� )%���.� ,-,-%��� � ++%��� ++%
&& ������ ��!��"!�#��$�%!�&
�#�,/�01,,-�#�,/�21,,-
�0 02%1/3/
�������� �� ����� ������ ������� ������� ���
,/ &#����4��#�*/��1,+�#�*/��1,+
�2!&� ��%1/3/*/ �5� ��%1/3/
���2!&� ,*% 1 "/3677+6/*8)*���2!&� **% 1 /3677+6/*8)*���2!&� ,+% 1 "/37796)888)*���2!&� ++% 1 /37796)888)*���5� ,,% 1 *3/���5� ,*% 1 ,3/���5� ,+% 1 63/')3/���5� **% 1 ,3/���5� *+% 1 -3/')3/���5� ++% 1 63/')3/
&& &�'����'�($��'$!� ))�&
�#�)/��!1,�5!4::���1�2!&� �!�5!4::%�#�-/���1,�5!4::���1�2!&� ���5!4::%
&& ���;!<���#����&0���4��#���5!4::��#�����;#:��&##=���!��:�!=�& �� ���%�� ���%& !���;�:�5!4::��#��������<!24!���>�?�>�?�@!�=�&�:�4:��5��"��!& =#4����&
%� ��"��!������!��� �� �(!�*�%��<1�5� �!�5!4::%A�5� ���5!4::%A�;&A����!&&!22��=!@42 ���+,-,-����%�#�7/��1,,-�#�7/��1,,-
�0 ��%1�0 ��%B���� ��%A�<-/ &#����4�)/ &#����4�&& ���;!<��:4@@���4��#<�=�!22��;��5!4::��#���:�!���#��!����& �2�@����:��CC��::�@!�=���>�0?&
=��4=�����'+$)'���!��"��!������!��� �� �(!�*�%��@�2�&����#4�2���=�&�:�#�� !";�#"D%�#4�2���=�&�:�#����� )%��� )%�!&�!&��< **%��@��:�#���2 )%2 )%�, +9%�* 99%�+ 9,-%&#@@#�'()'�� )%�!& **%� +,-%� ++%�0 ,-,-%
��� �������� �� ����� ������ ������� �������
&&���;��:;!���C4�&��#�:��<!24!����!���� ���%���.��� ���%&
�� )%1 ,3/"���A���%A ,3/"���A���%�� 6%1/36A ,3/"���A���%A ,3/"���%"/36A�� )%�� 8%1/36A ,3/B���%A ,3/"���A���%"/36A�� )%�� 7%1/36A ,3/"���A���%A ,3/B���%"/36A�� )%�� -%1/36A ,3/"���%A ,3/"���A���%"/36A�� )%�� ,%1/3*6A ,3/"���%A ,3/"���%"/36A �� -%B�� 6%%"/3*6A�� )%�� *%1/3*6A ,3/B���%A ,3/"���%"/36A �� 8%B�� 6%%"/3*6A�� )%�� +%1/3*6A ,3/B���%A ,3/B���%"/36A �� 8%B�� 7%%"/3*6A�� )%�� 9%1/3*6A ,3/"���%A ,3/B���%"/36A �� -%B�� 7%%"/3*6A�� )%
&&���;����=�<!��<�:�#C�:;!���C4�&��#�:E�����=��=�:���:���=�<!��<�����;��& ����=��=�:���:���=�<!��<�����;��&
��� )%1"*3/A���A ,3/"���A���%��� )%1"*3/A���A ,3/"���A���%
��� 6%1"���A ,3/"���%"/36A��� )%��� 8%1/36A ,3/"���A���%"/36A��� )%��� 7%1"���A ,3/B���%"/36A��� )%��� -%1"/36A ,3/"���A���%"/36A��� )%
��� 6%1"/36A ,3/"���A���%"/36A��� )%��� 8%1"���A ,3/B���%"/36A��� )%��� 7%1/36A ,3/"���A���%"/36A��� )%��� -%1"���A ,3/"���%"/36A��� )%
��� ,%1"/3*6A ,3/"���%"/36A ��� -%B��� 6%%"/3*6A��� )%��� *%1�/3*6A ,3/"���%"/36A ��� 8%B��� 6%%"/3*6A��� )%��� +%1�/3*6A ,3/B���%"/36A ��� 8%B��� 7%%"/3*6A��� )%��� 9%1"/3*6A ,3/B���%"/36A ��� -%B��� 7%%"/3*6A��� )%
��� ,%1"/3*6A ,3/"���%"/36A ��� -%B��� 6%%"/3*6A��� )%��� *%1"/3*6A ,3/B���%"/36A ��� 8%B��� 6%%"/3*6A��� )%��� +%1�/3*6A ,3/B���%"/36A ��� 8%B��� 7%%"/3*6A��� )%��� 9%1�/3*6A ,3/"���%"/36A ��� -%B��� 7%%"/3*6A��� )%
&&�������!2�:��>�!&?���.�>�?&
�#�,/��1,*�#�,/��1,*
,/� � � � � � �!& ��%1/3/
�#�*/��1,+�#�*/��1,,-
�������� �� ����� ������ ������� ������� ���
*/� � � � � � � ��%1/3/&&��C#=@��5��;���!&#��!�&
�#�+/�21,)�!& ,,%1�!& ,,%B��� 2%A�2 2%�!& ,*%1�!& ,*%B��� 2%A2 2%�!& *,%1�!& *,%B��� 2%A�2 2%�!& **%1�!& **%B��� 2%A2 2%
+/�&#����4�&&��C�����5��;������=@��!���#C��!&#��!��!�����<�=:��#C��!&#��!�&
����!&�1��!& ,,%A�!& **%"�!& ,*%A�!& *,%&
�4@,��1��!& ,,%'����!&�!& ,,%1��!& **%'����!&�!& ,*%1"�!& ,*%'����!&�!& *,%1"�!& *,%'����!&�!& **%1��4@,
&&
�#�9/��1,+�#�9/��1,9
9/ �, ��%�1�/�, ,,%1,3/�, *9%1,3/�, +*%1,3/�, ++%1,3/
�#�6/��1,9�#�6/��1,9
6/ �* ��%1/�#�8/��1,*�#�8/��1,*
8/ �* ��%1�!& ��%�#�7/��1+9�#�7/��1+9
7/ �* ��%1�!& ��%
�#�-/��1,9�#�-/��1,,-
-/ �+ ��%1/
�#�)/��1,)21*A�012",�+ ,0%1��� �%
��� �������� �� ����� ������ ������� �������
�+ *�%1��� �%�+ +2%1��� �%�+ 92%1��� �%
)/ &#����4�&!22�@!�@42 �,�*+99�,�*%&!22�@!�@42 �,�*�++9,-�%=��4=����
&&
���'+$)'���!��$�#' ���+�%� �#���(����@�2�&����#4�2���=�&�:�#� !";#"D%����@��:�#��! 2@%� 22%& 2�%� @�%!� */*/%!�� */*/%
&&������=#5=!@��#�&!2&42!��� �%1 !%�A �%A &%&
� � � �#� ,/� �1,2� � � �#� ,/� �1,@
,/ !� ��%1! ��%� � � �#� */� �1,@� � � �#� */� 01,2
!�� �0%1/3/� � � �#� */� �1,2
*/ !�� �0%1!�� �0%B!� ��%A� �0%� � � �#� +/� �1,@� � � �#� +/� 01,�
� �0%1/3/� � � �#� +/� �1,2
� �0%1� �0%B!�� ��%A& �0%+/����&#����4�
� � � =��4=�� � � ���
����'+$)'���!�#��#' ���+� �#���%�����@�2�&����#4�2���=�&�:�#� !";#"D%�����@��:�#��! 2@%� @�%& 2�%&& �=#5=!@��#�&!2&42!���>&?�1�>!?A>�? � � � �#� ,/� �1,2� � � �#� ,/� 01,�
& �0%1/3/� � � �#� ,/� �1,@
,/ & �0%1& �0%B! ��%A� �0%� � � =��4=�� � � ���
�������� �� ���������������������������������������������� �� �� ��� �� � � � !
"���#���� � �"�� ������� � � ��������$%�������
"����������� �"�%����� ������������������ �� �� �����%��� �� �� ��
"�%����� ������������� �
&��������''�������������� &�����(� '������������ � � �� � !&������������ ������ ������ ���&���������������������)&*+, ! �� �� �����
-��.���'����� ��!����������'���/������� ).��.��������, ��!
-�������' '������������� ��-����� ������������������ ��� �����.������������ �����.����� ������� ���
-������������� � � �� � � � �-��.�������� '���� �! �-%���������������!
0�������%���!�!��!�������!���'�����!�
0���������� �!��!���!���0��������� � � �� ���� � � � ����������� !� � � ��� ����%������������!�&*+ ! �� �� �� ����$%������ ��'���� ������� ! '�%�1������������%��� !� ��'���� �!���.��������� !� �� �!$%�� � !� � ��� �� � �$%�� � �� �� ��� � � �$%�� � � � �� � ����1����� ������%��� !�� !! �� ��� �����''���������� ! ��%�1.��������� !��%.��1.��������� !������1����� ������%��� �� �� � ��
0%����2��������$%������
3%�������� �� ��������4������' �������������� �' �� � ��
5�%�� ����������� �5����*��������'���������
6����.������� '%������ )��������� ��� �,6��������'��#��� ��!���������!�������%�������%������� �%��.��� �� ���
�����
���
��� ����
7����������� �!�����7������� �� �� � �� � � � �
2��������������� !� ���$%������ �� �� ���.��������� �
2������������������������������������2��� ������ ����������
2��������������'���� !�
8����'������� '����� )83, ���8��� ���������������� ��� �! �%�.�� ��� ���
8��� �%.��.������� ������ ��� ��!����
9�#���( ������� ��� ���9���� '���� ������ � � � ���������� � �%�.�� �
9�������� '�%�!�
:��1.�������� ���%���� �
;�������� ����� � �;���� ����������� ������$%� � ������������� .����� ��
<%�����%��9�#����&���� �� ��5�%�� ���� � ���*��.��� �����.�4����� �!
<%���1������ ���
/������� $%������ ��� �� /��������/��4������ �� �!/����%����%����� ������� �
/�'��������1��.� �� .1��.� ��
*���1����������308 ��*������.��� �������� !� ��*��.� '%������ � �! �!*��������� ����� .�������� .�����.�� �' �� �� �!*��''����������������� �� � � �������������� �!
*������������ �� � .���� �� �� ��
*�����1���.���������������������� �*������������ ��.���� �� �� �� �� �!������� �
*�%�� ��$%���� .��.���� �!� ���*%�����%�������(#���� �'��#��� � �
+����'�������������� ! ��+���� '%������ �.����1#��� ������%�%� �� �
+���� ���%���� )����� ��� ��� �,
=������������%��5����(�� ��������#������� �����%�� �����������������#��( '��� �' � ��1�� � ��� ���
=��������'%��������=�����1������� ���
Textbook of
Finite Element AnalysisP. Seshu
Designed for a one-semester course in Finite Element Method, this compact and well-organized text presents FEM as a tool to find approximate solutions to differential equations. This provides the student a better perspective on the technique and its wide range of applications. This approach reflects the current trend as the present-day applications range from structures to biomechanics to electromagnetics, unlike in conventional texts that view FEM primarily as an extension of matrix methods of structural analysis.
After an introduction and a review of mathematical preliminaries, the book gives a detailed discussion on FEM as a technique for solving differential equations and variational formulation of FEM. This is followed by a lucid presentation of one-dimensional and two-dimensional finite elements and finite element formulation for dynamics. The book concludes with some case studies that focus on industrial problems and Appendices that include mini-project topics based on near-real-life problems.
Postgraduate/Senior undergraduate students of civil, mechanical and aeronautical engineering will find this text extremely useful; it will also appeal to the practicing engineers and the teaching community.
KEY FEATURES
u
u
u
u
u
Clear and concise presentation of concepts
Large number of worked-out examples
Flow charts of key algorithms
Problems including Problems to Investigate at end of chapters
Large number of term-project topics
ABOUT THE AUTHOR
P. SESHU, Ph.D., is Professor, Department of Mechanical Engineering, Indian Institute of Technology Bombay. Earlier (1984–85), he worked as a Scientist at the Defence Research and Development Laboratory, Hyderabad; he was also a visiting scientist to academic institutions in USA, UK and Germany.
An outstanding student throughout his studies and a distinguished teacher, Dr. Seshu has contributed extensively to reputed journals in India and abroad, including International Journal of Composite Structures, Communications in Applied Numerical Methods, Journal of Sound and Vibration, and Journal of Aeronautical Society of India.
Rs. 250.00
www.phindia.com 9 7 8 8 1 2 0 3 2 3 1 5 5
ISBN:978-81-203-2315-5