Download - Themata panelladikwn me_th_nea_ylh
Δημήτρης Πατσιμάς
Στέλιος Μιχαήλογλου
Θέματα
Πανελλαδικών εξετάσεων
Γ΄ Λυκείου με νέα ύλη
Επαναληπτικές ασκήσεις
www.askisopolis.gr
2
[1]
www.askisopolis.gr
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Γ(2015)
Δίνεται η συνάρτηση 2,
1
xef x x
x
Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο
τιμών της είναι το διάστημα 0,
Μονάδες 6
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2
3 2 15
x ef e x
έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα
Μονάδες 8
Γ3. Να αποδείξετε ότι 4
4
2
2
17
ef t dt , για κάθε 0x .
Μονάδες 4
Γ4. Να υπολογίσετε το 21
lnln
e xf x dx
x .
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ (2015)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f για την οποία ισχύουν:
2
f x f xf x e e
για κάθε x
0 0f
Δ1. Να αποδείξετε ότι 2ln 1 ,f x x x x R
Μονάδες 5
Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και
να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f
(Μονάδες 3)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f , την ευθεία y x και τις ευθείες 0x και
1x
(Μονάδες 4)
Μονάδες 7
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:
( ) 1
0lim 1 ln
f x
xe f x
Μονάδες 6
Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
1 3
2 2
0 21 3 2016
03 2
f t dt f t dt
x x
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 2,3
[2]
www.askisopolis.gr
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ (επαναληπτικά 2015)
Δίνεται η συνάρτηση 1( ) lnxf x e x , 0,x .
Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
Μονάδες 6
Γ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h g με 2 4g x x , όπου
2 1 2h x f x f x .
Μονάδες 6
Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1
12
f f x
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες
1 2,x x .
Mονάδες 6
Γ4. Αν για τις ρίζες 1 2,x x του ερωτήματος Γ3 ισχύει ότι 1 2x x τότε να αποδείξετε
ότι υπάρχει μοναδικό 1,1x τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο , f να διέρχεται από το σημείο
3
0,2
.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικά 2015)
Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση : 0,f για την οποία ισχύει:
2 1x x f ΄ x xf x για κάθε 0,x .
Δ1. Να αποδείξετε ότι ln
,0 11
1 , 1
xx
f x x
x
.
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι 1
0xf x fx
, για κάθε 0,1 1,x .
Μονάδες 4 Δ3. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.
Μονάδες 5 Δ4 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
Μονάδες 4 Δ5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f και τις ευθείες 2x , 1x e και τον άξονα x΄x είναι ίσο με
1
2
1ln
1
2 1
e
x
x dxx
.
Μονάδες 5
[3]
www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικά 2014)
Δίνεται η συνάρτηση
ln
, 0( )
0 , 0
x
xe xf x
x
Γ1. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0
Μονάδες 4
Γ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
Μονάδες 7
Γ3. i) Να αποδείξετε ότι, για x > 0, ισχύει η ισοδυναμία f(x) = f(4) ⟺ x4 = 4x
(μονάδες 2)
ii) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x4 = 4x, x > 0,έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις
x1 =2 και x2 = 4
(μονάδες 6)
Μονάδες 8
Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(2,4) τέτοιο, ώστε
2 1( )
4f
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ (2014)
Δίνεται η συνάρτηση
1, 0
( )
1
xex
f x x
, αν x = 0
Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και, στη συνέχεια, ότι
είναι γνησίως αύξουσα.
Μονάδες 7
Δ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή.
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 1f f x έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι
η x = 0.
(μονάδες 7)
β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 από ένα σημείο A(x0, f(x0)) με
x0<0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x), x ≥ x0 με x = x(t), y = y(t), t ≥
0. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t) του
σημείου M είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t), αν
υποτεθεί ότι x΄(t)>0 για κάθε t ≥ 0.
(μονάδες 4)
Μονάδες 11
Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 2
1 2 , 0,g x xf x e x x . Να
αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση
τοπικού μεγίστου.
Μονάδες 7
[4]
www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικές 2013)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ ⟶ ℝ για την οποία ισχύουν:
22 ( ) ( ) 3 ( )xf x x f x f x για κάθε x∈ℝ
1
(1)2
f
Γ1. Να αποδείξετε ότι 3
2( ) ,
1
xf x x
x
και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
Μονάδες 6
Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του
ερωτήματος Γ1.
Μονάδες 4
Γ3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
2 3 2 25( 1) 8 8( 1)f x f x
Μονάδες 7
Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
της f τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες 0x και 1x
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2013)
Δίνεται συνάρτηση f: [0,+∞)⟶ℝ, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη
παράγωγο στο [0,+∞), για την οποία ισχύουν:
2
( ) ( ) 1 ( )f x f x f x για κάθε x > 0 ,
( ) ( ) 0f x f x για κάθε x > 0 ,
f (0) = 0,
2 1
1
11
1lim 01
x
x
f x x ex
x
Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις: ( )
( )( )
f xg x
f x
με x>0 και
3( ) ( )h x f x με x≥0
Δ1. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f ′ στο (0,+∞)
(μονάδες 4)
β. Να αποδείξετε ότι f ΄(0) = 1
(μονάδες 3)
Μονάδες 7
Δ2. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (0, +∞) , να αποδείξετε ότι:
α. ( ) 2g x x για κάθε x∈(0, +∞)
[5]
www.askisopolis.gr
(μονάδες 2)
β. 1
0(2 ) ( ) 1x f x dx
(μονάδες 4)
Μονάδες 6
Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
της συνάρτησης h, τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 1
Μονάδες 8
Δ4. Να δείξετε ότι f x x .
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2012 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:A⟶ℝ με A=(0,+∞) για την οποία ισχύουν σχέσεις:
,0f - ,
η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ∞),
11 1
ff e
2 22 1f x
x f x x e (1)
Δ1. Να αποδείξετε ότι 2
2ln , 0
1
xf x x
x
.
Μονάδες 8
Δ2.Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μέγιστο Σ(x0,f(x0)), x0>0, το
οποίο και να βρείτε. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ∈(β, x0)
με 00 x , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο
σημείο M(ξ,F(ξ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία
ε: x ( 1) y 2012( 1) 0f
Μονάδες 6
Δ3.Αν β<1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
351 1 1
01 3
f f x x
x x
έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ως προς x, στο διάστημα (1,3)
Μονάδες 5
Δ4. Να αποδείξετε ότι 2 2
1 1ln 2 2 2 ln 2 2 1
e ex xe x x dx x e dx
, για κάθε x>0
[6]
www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Δ(2012) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)⟶ℝ, η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(x) ≠ 0
2 12
x f x2x - 2x
e
1
1 ln x lnf x x x f x x f xx
Δ1.Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.
Μονάδες 10
Αν είναι ln , 0xf x e x x x , x>0, τότε:
Δ2.Να υπολογίσετε το όριο: 0
limx
2 1f(x) ημ - f(x)
f(x)
Μονάδες 5
Δ3.Με τη βοήθεια της ανισότητας 1lnx x - , που ισχύει για κάθε x>0, να
αποδείξετε ότι
α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (μονάδες 2).
β) η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).
Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:
3 2 2f x f x f x , για κάθε 0,1x (μονάδες 4).
Μονάδες 6
Δ4.Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός 0,1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει
μοναδικός ξ ∈(β,2β) τέτοιο ώστε:
3 2f f f
Μονάδες 4
ΘΕΜΑ Δ(2011 επαναληπτικές)
Δίνονται η συνάρτηση f : ℝ→ℝ, η οποία είναι 3 φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε:
x 0=
f(x)lim 1 f(0)
x , f΄(0) < f(1) f(0) και f΄΄(x) ≠0 για κάθε x∈ℝ
Δ1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x0=0.
Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ℝ.
Αν επιπλέον g(x)=f(x) x∈ℝ τότε:
Δ3. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και να βρείτε το : x 0
ημxlim
xg(x)
Δ4 .Να αποδείξετε ότι 2
02f x dx .
Δ5.Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης g, τον άξονα x΄x και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 και x=1 είναι
[7]
www.askisopolis.gr
5
2E e τότε
α) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1
0f x dx και
β) να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈ (1, 2) τέτοιο, ώστε
1 2
0 02
02 1
f t dt f t dt
ΘΕΜΑ Δ (2011)
Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : ℝ→ℝ, οι οποίες για κάθε x∈ℝ ικανοποιούν τις σχέσεις:
0f x και 0g x
2xef x
g x
2xeg x
f x
02 2 2
00
gt
ff t g t e dt
Δ1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο ℝ και ότι
f x g x για κάθε x∈ℝ.
Μονάδες 9
Δ2. Αν
0
1lim 0x
f xg
x
, να αποδείξετε ότι: , .xf x e x
Μονάδες 4
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:
0
lnlim
1x
f x
fx
.
Μονάδες 5
Δ4. Αν 2
2
03 2 44f x g x x x f t g t dt να βρείτε τον τύπο της συνεχούς
συνάρτησης g.
Μονάδες 7
[8]
www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Δ(2010 επαναληπτικές)
Έστω συνάρτηση :f η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο με
0 1f και 0 0f .
Δ.1. Να αποδείξετε ότι 1f x για κάθε x .
Μονάδες 4
Αν επιπλέον δίνεται ότι 22 2 ,f΄ x x x f x x x , τότε:
Δ.2. Να αποδείξετε ότι 2 2 , xf x e x x .
Μονάδες 6
Δ.3. Nα βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2 ln , 0x a x a .
Μονάδες 5
Δ.4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης 4g x f x ,τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες
x=0 και x=1.
Μονάδες 5 Δ.5. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f ,τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες x=0 και x=1
είναι μικρότερο από το εμβαδόν ορθογωνίου που σχηματίζεται από τους άξονες
την εφαπτομένη της f στο 0 και την ευθεία x=e-1.
Μονάδες 5
[9]
www.askisopolis.gr
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ
Λύση
Γ1. 2 1 0 ,fx A
22 2
2 2 22 2 2
1 2 2 1 1
1 1 1
x x x xe x e x e x x e xf x
x x x
( ) 0f x για 1x επομένως η fm στο αφού η f είναι συνεχής στο 1.
Το σύνολο τιμών της f είναι το lim ( ), lim ( ) 0,x x
f A f x f x
αφού 2 2
1lim ( ) lim lim 0 0 0
1 1
xx
x x x
ef x e
x x
και
2 . . . .
lim ( ) lim lim lim1 2 2
x x x
x x D L H x D L H x
e e ef x
x x
.
Γ2. 2 31 1
3 2 3 2
2
21 (2) 1 2
5 1
fx x
x
e ef e x f e x
e x
m
3 3
2(x)
2 1 2
xe e ef
x
Ο αριθμός 3
2
ef A άρα υπάρχει 0x τέτοιο ώστε
3
02
ef x .
Το x0 μοναδικό αφού η f είναι 1-1.
β΄τρόπος
Θεωρούμε τη συνάρτηση 2
3 x 2 eh x f e x 1 , x
5
. Είναι
ΘΕΜΑ Γ(2015)
Δίνεται η συνάρτηση 2,
1
xef x x
x
Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο
τιμών της είναι το διάστημα 0,
Μονάδες 6
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2
3 2 15
x ef e x
έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα
Μονάδες 8
Γ3. Να αποδείξετε ότι 4
4
2
2
17
ef t dt , για κάθε 0x .
Μονάδες 4
Γ4. Να υπολογίσετε το 21
lnln
e xf x dx
x .
Μονάδες 7
[10]
www.askisopolis.gr
23 x 2 3 x 2 3 x 2 3xh x f e x 1 e x 1 f e x 1 e x 1 0
για κάθε x 1 και επειδή η h είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα ( 2 )
στο .
Έστω 3 x 2s x e x 1 , x . Είναι
23 2 3 3s x e 1 2e e 1 0 x x xx x x για κάθε x 1 και επειδή
η s είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα ( 2 ) στο .
Είναι 3 x 2
x xlim s x lim e x 1
(από το Γ1) και
2
x 3 x 3 x 3x x DLH x DLH x
x 1 2x 2lim s x lim lim lim 0
e e e
(από το Γ1), άρα
s A 0,
Είναι xx 0
f 0, lim f x , lim f x 1,
Επειδή 2e
1,5 , υπάρχει 1x 0, τέτοιο, ώστε 1
23 x 2
1
ef e x 1
5
και
επειδή η h είναι γνησίως φθίνουσα, το 1x είναι μοναδικό.
Γ3. Για κάθε 2,4t είναι 2 4
2 4 2 45 17
f e et f f t f f t
m
και
επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε
2,4t , έχουμε: 4 4
4 4 4
2 2 2
2( ) ( )
17 17
e ef t dt dt f t dt .
Γ4. ln
2 2 21 1
ln lnln
ln 1
xe ex e x x
f x dx dxx x x
2 2
ln
ln 1
x
x x
1
e
dx
2
21
ln ln 1ln 1 ln 2
1ln 1 2 2
e x exdx
x x
[11]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1. ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2f x f x f x f xf x e e f x e f x e
( ) ( ) ( ) ( )2 2 ,f x f x f x f xe e x e e x c c .(1) 0
(1) 0x
c
οπότε
( ) ( ) 2 f x f xe e x
( )
f xe
2 2
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 f x f x f x f xe xe e xe
2 2
( ) ( ) 2 2 ( ) 22 1 1 0f x f x f xe xe x x e x x (2).
Η συνάρτηση ( )( ) f xa x e x είναι συνεχής στο και ( ) 0a x οπότε η α
διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επειδή (0) 1 0a η α(x)>0 οπότε
( ) 2 ( ) 2(2) 1 1 f x f xe x x e x x (3).
Είναι 2 2 2 2 21 1 1 1 0 x x x x x x x x (2)
ΘΕΜΑ Δ (2015)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f για την οποία ισχύουν:
2
f x f xf x e e
για κάθε x
0 0f
Δ1. Να αποδείξετε ότι 2ln 1 ,f x x x x R
Μονάδες 5
Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη
και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f
(Μονάδες 3)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f , την ευθεία y x και τις ευθείες 0x και
1x
(Μονάδες 4)
Μονάδες 7
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:
( ) 1
0lim 1 ln
f x
xe f x
Μονάδες 6
Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
1 3
2 2
0 21 3 2016
03 2
f t dt f t dt
x x
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 2,3
Μονάδες 7
[12]
www.askisopolis.gr
Η (3) γίνεται 2ln 1 f x x x
β΄ τρόπος
2
( ) ( )2 1 0 f x f xe xe Θέτω ( ) 0 f xe , τότε 2 2 1 0 x . Είναι
24 4 0 x , άρα
2
1,2 1 x x
Από τη σχέση (1) είναι 2 1 0 x x , και επειδή ( ) 0 f xe , είναι
( ) 2 21 ln 1 f xe x x f x x x .
32 2
2 2
1( )
1 1 1
x xf x
x x x
.
3
2 2
( ) 0 0 0
1
xf x x
x
.
Για κάθε 0x είναι 0 f x , άρα η f είναι κυρτή στο ,0 και για κάθε
0x είναι 0 f x άρα η f είναι κοίλη στο 0, .Παρουσιάζει σημείο
καμπής το 0, (0)f δηλαδή την αρχή των αξόνων.
β) 1
0( ) E x f x dx .Η εφαπτομένη της f στο 0 είναι η y x .
Επειδή η f είναι κοίλη στο [0, ) είναι ( ) ( ) 0.f x x f x x
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
1
21 1 1 1
0 0 0 00
( ) ( ) ( )2
xE x f x dx xdx f x dx x f x dx
1 11
0 20 0
1 1 1( ) ( ) (1)
2 2 1xf x xf x dx f x dx
x
1
2
0
1ln(1 2) 1
2x
1 1ln(1 2) 2 1 2 ln(1 2)
2 2
Δ2. α) 2 2 2
1 1( ) 1
1 1 1
xf x
x x x x x
2 1
x x
2 2
1
1 1
x x
x 0
( )f x +
f x 3 4 Σ.Κ.
[13]
www.askisopolis.gr
β΄ τρόπος:
020
0 0 0 0 0 0
2
11ln
lim 1 ln lim lim lim1 1
1 1
uu f x
f x
DLH DLHx x u u u u
u u
eu ue f xu
e e
0
2 1lim 0
1
u u
x
e e
.
Δ4. Θεωρούμε 2 3
2 2
0 2( ) ( 2) 1 3 ( ) ( 3) 2016 ( )h x x f t dt x f t dt .
Η f συνεχής στο [2,3] σαν πράξεις συνεχών…..
3
2
2(2) 2016 ( ) 0h f t dt αφού
3 3
2 2 2
2 20 0 2016 0f t f t dt f t dt
1
2
0(3) 1 3 ( ) 0h f t dt αφού
1 1
2 2 2 2
0 0(x) , 0,f x x f t t f t dt t dt
1
31 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0 00
13 1 1 3 0
3 3
tf t dt f t dt f t dt f t dt
Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον 2,3
τέτοιο ώστε
:( 2)( 3)2
2 2
0 0( ) 0 ( 2) 1 3 ( ) ( 3) 2016 ( ) 0h f t dt f t dt
2 32 2
0 21 3 ( ) 2016 ( )
03 2
f t dt f t dt
.
Δ3. 0 ( ) (0) 0f
x f x f [
0 0lim 1 ln ( ) lim 1 ln ( )
f x f x
x xe f x e f x
0
1lim ( ) ln ( ) 1 0 0
( )
f x
x
ef x f x
f x
0
0
. .0 0 0 0 0
1 1lim lim lim 1
( ) 1
f x u uu f x
D L Hx x u u x
e e e
f x u
( )
. .0 0 0 0 0 0
1
lnlim ln ( ) ( ) lim lnu lim lim
1
u f x
D L Hx x u x x x
u uf x f x u
u
2
1
u
0
lim 0x
u .
[14]
www.askisopolis.gr
Λύση
Γ1. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με x 1 1f x e
x
και
x 1
2
1f x e
x
.
Είναι f x 0 f 0, 1 . Παρατηρούμε ότι f 1 0 , οπότε:
για κάθε f
x 1 f x f 1 0 f 1,
1
1 και
για κάθε f
0 x 1 f x f 1 0 f 0,1
1
2 . Η f έχει ελάχιστο το f 1 1 .
Είναι x 1
x 1x x
ln xlim f x lim e 1
e
γιατί
x 1 x 1 x 1x DLH x x
1ln x 1xlim lim lim 0e e xe
και x 1
x 0 x 0lim f x lim e ln x
Στο διάστημα 1 0,1 η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα
1x 0
f f 1 , lim f x 1,
Στο διάστημα 2 1, η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα
2x
f f 1 , lim f x 1,
.
Το σύνολο τιμών της f είναι το 1 2f A f f 1, .
ΘΕΜΑ Γ (επαναληπτικά 2015)
Δίνεται η συνάρτηση x 1f (x) e ln x , x 0, .
Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
Μονάδες 6
Γ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h g με 2g x x 4 , όπου
2h x f x 1 f x 2 .
Μονάδες 6
Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1
f f x 12
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες
1 2x , x .
Mονάδες 6
Γ4. Αν για τις ρίζες 1 2x , x του ερωτήματος Γ3 ισχύει ότι 1 2x x τότε να
αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 1x ,1 τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της f στο σημείο , f να διέρχεται από το
σημείο 3
0,2
.
Μονάδες 7
[15]
www.askisopolis.gr
Γ2. g : Πρέπει 2 24 0 4 2 2 2x x x x ή x
h : Θεωρούμε 2 1,x x και 2,x x .
/f a a fx A a x A οπότε
2 1 0
x
x ύ
δηλαδή
f a
/f fx A x A οπότε
22 0 2
x xx
x x
δηλαδή 2,f a .
2,h f a f .
/h g g hx A g x A οπότε
2 2
22
x ή xx
x
δηλαδή 2,h g .
Γ3. Αρχικά πρέπει 1 1
f x 0 f x2 2
Για κάθε f
x 1 f x f 1 1
και για κάθε f
0 x 1 f x f 1 2
, οπότε:
1 1 3
f f x 1 f 1 f x 1 f x2 2 2
Επειδή το 3
2 βρίσκεται στο εσωτερικό του 1, , υπάρχει 1x στο εσωτερικό
του 0,1 και 2x στο εσωτερικό του 1, τέτοια, ώστε 1
3f x
2 και
2
3f x
2 .
Επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη στα αντίστοιχα διαστήματα, τα 1 2x , x
είναι τα μοναδικά στα διαστήματα αυτά.
Γ4. Η εφαπτομένη της fC στο , f έχει εξίσωση
ε: y f f x
Για να διέρχεται από το Μ, πρέπει: 3 3
f f f f 02 2
Έστω 1
3F x xf x f x , x x ,1
2 .
Η F είναι συνεχής στο 1x ,1 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
1 1 1 1 1 1
3 3F x x f x f x x f x
2 2
3
2 1 1x f x 0 , γιατί 1x 0,1 και
f x 0 για κάθε x 0,1 και F 1 f 1 0 3 3 1
f 1 1 02 2 2
.
Επειδή 1F 1 F x 0 , λόγω του θ.Bolzano, υπάρχει 1x ,1 τέτοιο , ώστε
F 0 3
f f 02
[16]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1. 2 1x x f x xf x 1 x 1 f x f x
x
x 1 f x ln x x 1 f x ln x c, c (1)
Για x 1 η (1) γίνεται: 0 c , άρα x 1 f x ln x και για 0 x 1 είναι
ln x
f xx 1
.
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, , είναι συνεχής στο x 1 , άρα
0
0
x 1 x 1 DLH x 1
1ln x xf 1 limf x lim lim 1x 1 1
, άρα
ln x,0 x 1
f x x 1
1 , x 1
.
Δ2.
1ln
1 ln x x ln x ln xxxf x f x1 1 xx x 1 x 1
1x x
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικά 2015)
Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει:
2x x f ΄ x xf x 1 για κάθε x 0, .
Δ1. Να αποδείξετε ότι ln x
,0 x 1f x x 1
1 , x 1
.
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι 1
xf x f 0x
, για κάθε x 0,1 1, .
Μονάδες 4 Δ3. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.
Μονάδες 5 Δ4 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
Μονάδες 4 Δ5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f και τις ευθείες 2x , 1x e και τον άξονα x΄x είναι ίσο με
1
2
1ln
1
2 1
e
x
x dxx
.
Μονάδες 5
[17]
www.askisopolis.gr
x ln x x ln x x ln x x ln x
0x 1 1 x x 1 x 1
Δ3. Για κάθε 0 x 1 είναι
2 2
1x 1 ln x
x 1 x ln xxf xx 1 x x 1
Έστω x x 1 x ln x, x 0, . Είναι x 1 ln x x 1
xln x
Για κάθε 0 x 1 είναι x 0 0,1 1 , άρα x 1 0 για κάθε
x 0,1 .
Για κάθε x 1 είναι x 0 1, 2 , οπότε x 1 0 για κάθε
x 1 . Άρα x 0 για κάθε x 0,1 1, , οπότε
2
xf x 0
x x 1
για κάθε x 0,1 1, και επειδή η f είναι συνεχής
στο x 1 , είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, .
Δ4. 0 0
lnlim lim
1x x
xf x
x
οπότε η ευθεία 0x (o άξονας y΄y) είναι
κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f .
ln 1
lim lim lim 01x x DLH x
xf x
x x
οπότε η ευθεία 0y (o άξονας χ΄χ) είναι
οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .
Δ5. ln 1
2, 1 1 , 2 , ln 2f e
f e f e fe
2
οπότε 0f x στο 2, 1e
και 1 1
2 2
ln( )
1
e e xf x dx dx
x
.
1 1
2 2
1ln ln 1 ln1 1
2 1 2 1
e e
xx xx dx E dx
x x
1 1
2 2
ln 11 ln
2 1 1
e ex xE dx dx E
x x
2 1ln 11
22 2
exE
1 1
0 0 0 02 2
ισχύει.
[18]
www.askisopolis.gr
Λύση
Γ1. Είναι 0 0
ln 1lim lim lnx x
xx
x x
γιατί
0 0lim ln lim lnx x
x x
και
0
1limx x
.
Άρα αν θέσουμε lnx
ux , προκύπτει:
0lim lim 0 0u
x uf x e f
, οπότε η f
είναι συνεχής στο 0 0x .
Γ2. Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων
με:
ln ln
2
ln 1 lnx x
x xx x
f x e ex x
.
ln
ln 0
2
0
1 ln0 0 1 ln 0 ln 1 0
x
x
x xx
e
xf x e x x x e
x
Για κάθε 0,x e είναι 0 0,f x f e 1 και
για κάθε x e είναι 0 ,f x f e 2 .
Είναι
1
lnlim lim 0
1x DLH x
x x
x
, άρα
0lim lim 1u
x uf x e
και
ln 1e
e ef e e e .
χ 0 e
f +
f [ ]
ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικά 2014)
Δίνεται η συνάρτηση
ln x
xe , x 0f (x)
0 , x 0
Γ1. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0
Μονάδες 4
Γ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
Μονάδες 7
Γ3. i) Να αποδείξετε ότι, για x > 0, ισχύει η ισοδυναμία f(x) = f(4) ⟺ x4 = 4x
(μονάδες 2)
ii) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x4 = 4x, x > 0,έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις
x1 =2 και x2 = 4
(μονάδες 6)
Μονάδες 8
Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(2,4) τέτοιο, ώστε
2 1f ( )
4
Μονάδες 6
[19]
www.askisopolis.gr
Στο διάστημα 1 0,e η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα
1
1 0 , 0, ef f f e e
Στο διάστημα 2 ,e η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα
1
2 lim , 1, e
xf f x f e e
.
Το σύνολο τιμών της f είναι: 1
1 2 0, ef A f f e
.
Γ3. ln ln 4
4ln ln 4
44
x
xx
f x f e ex
4 44ln ln 4 ln ln 4 4x xx x x x
Γ4. H f είναι συνεχής στο 2,4 , παραγωγίσιμη στο 2,4 και 2 4 2f f
οπότε ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle δηλαδή υπάρχει 1 2,4x
τέτοιο ώστε 1 0f x .
Επίσης ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στο [0,1] οπότε υπάρχει 2 0,1x
τέτοιο ώστε
2
2 12 1
1
f ff x
Εφαρμόζεται το ΘΜΤ για την f στο 2 1,x x οπότε υπάρχει 2 1x ,x
τέτοιο ώστε 1 2
1 2 1 2
2 1f x f xf
x x x x
2 20 1 1 0x x (1) και 12 4x (2).
Με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε
2 1 0
2 1
1 2 1 2
1 1 2 1 2 11 4 1
4 4x x
x x x x
[20]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1.
0
0
0 0 0. .
1lim ( ) lim lim 1 (0)
xx
x x xD L H
ef x e f
x
.Άρα η f είναι συνεχής στο 0
2
1 1( ) 0
x x xe xe ef x
x x
για 0x και η f συνεχής στο 0 .
Άρα η f1 στο R
(Θεωρώ ( ) 1,x xa x xe e x R
( ) 0 0xa x xe x .Άρα η 1 στο [0, ) και2 στο ( ,0]
Επομένως παρουσιάζει ελάχιστο στο x=0 και (x) (0) 0a
Δ2.α)
0 0
0 0
20 0 0 0 0
110 1 1 1
lim lim lim lim lim2 2 2
x
x x x
x x x DLH x DLH x
ef x f e x e ex
x x x x
οπότε 0 1f
ΘΕΜΑ Δ (2014)
Δίνεται η συνάρτηση
xe 1, x 0
f (x) x
1
, αν x = 0
Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και, στη συνέχεια, ότι
είναι γνησίως αύξουσα.
Μονάδες 7
Δ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή.
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 2f x 1 έχει ακριβώς μία λύση, η
οποία είναι η x = 0.
(μονάδες 7)
β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 από ένα σημείο A(x0,
f(x0)) με x0<0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x), x ≥ x0 με
x = x(t), y = y(t), t ≥ 0. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής
της τετμημένης x(t) του σημείου M είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής
της τεταγμένης του y(t), αν υποτεθεί ότι x΄(t)>0 για κάθε t ≥ 0.
(μονάδες 4)
Μονάδες 11
Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 2
g x xf x 1 e x 2 , x 0, . Να
αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία
θέση τοπικού μεγίστου.
Μονάδες 7
[21]
www.askisopolis.gr
1 1
2 1 2 1 2 ( ) 1f
f f x f f x f f x
1 11
( ) (0) 02
f
f x f x
αφού η f κυρτή άρα η f 1 και 1-1
β) Έστω t0 η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης
του .
Ισχύει :σημείου Μ είναι διπλάσιος το ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης.
0 0 0 0 0
1 1 1( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
2 2 2
1 1( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0
2 2
y t x t f x t x t f x t x t x t
f x t x t x t f x t x t
Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το (0,1)
Δ3. ( ) ... 2( )( 2) ( 1) , 0x xg x e e x x e e x . Θεωρώ ( ) ( 1) , 0xx x e e x
Θ.Bolzano 1 ρίζα στο (1,2) μοναδική αφού ( ) 0xx xe ,για κάθε x>0.
(ή Rolle για την g στο [1,2])
Για κάθε 10 x x είναι 1x x 0 και για κάθε 1x x είναι
1x x 0 .
0 1x xe e e e x
Άρα……….
ή άλλος τρόπος
Παρατηρούμε ότι ( ) (1) (2) 0g x g g για κάθε (0, )x οπότε η g έχει ολικό
(άρα και τοπικό) ελάχιστο στα σημεία x1=1 και x2=1.
Από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής για τη συνάρτηση g στο [1,2]
υπάρχει 3 [1,2]x τέτοιο, ώστε να ισχύει 3( ) ( )g x g x για κάθε [1,2]x
Αν ήταν 3 {1, 2}x τότε θα ήταν g(x)=0 για κάθε [1,2]x πράγμα άτοπο. Άρα,
είναι (1,2)x οπότε η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x3.
x 0 1 x1 2 +∞
ex-e - + + +
x-2 - - - +
β(x) - - + +
g΄(x) - + - +
g(x) 2
1 2
1
T.E. T.M. T.E.
[22]
www.askisopolis.gr
Λύση
Γ1. 2 2 22 3 2 3 0xf x x f x f x xf x x f x x f x
2 2 2 31 2 3 1x f x xf x x x f x x
2 31 ,x f x x c c 3
2,
1
x cf x x
x
.
Για 1x είναι 1 1
1 02 2
cf c
, άρα
3
2 1
xf x
x
3 2 2 3 4 2 4 4 2
2 2 2 2 2 2 2
3 ( 1) 2 3 3 2 3( ) 0
1 ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x xf x
x x x x
για
0x
H f συνεχής στο 0.Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
Γ2. Είναι 3 3
3 3lim lim lim 1x x x
f x x x
x x x x
και
3 3
2lim lim lim
1x x x
x xf x x x
x
3x1
x
x
.
Είναι 3 3
3 3lim lim lim 1x x x
f x x x
x x x x
και
ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικές 2013)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ ⟶ ℝ για την οποία ισχύουν:
22xf (x) x f (x) 3 f (x) για κάθε x∈ℝ
1
f (1)2
Γ1. Να αποδείξετε ότι 3
2
xf (x) , x
x 1
και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
Μονάδες 6
Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του
ερωτήματος Γ1.
Μονάδες 4
Γ3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
2 3 2 2f 5(x 1) 8 f 8(x 1)
Μονάδες 7
Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες 0x και 1x
Μονάδες 8
[23]
www.askisopolis.gr
3 3
2lim lim lim
1x x x
x xf x x x
x
3x1
x
x
.
Άρα η 1y x είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC και στο και στο .
Επειδή η f είναι συνεχής στο δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Επειδή η f έχει πλάγια ασύμπτωτη, δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη.
Γ3. 3 2 3 2
2 2 2 25 1 8 8 1 5 1 8 8 1f
f x f x x x 1
3 2
2 25 1 8 1 8 0x x (1). Θέτουμε 2 1x , οπότε η (1) γίνεται:
3 25 8 8 0 . Με σχήμα Horner βρίσκουμε ότι
3 2 25 8 8 2 5 2 4 , άρα
2 2 4 0
2 22 2 4 0 2 1 2x
2 1 1 1 1x x x
Γ4. Για 0 0x f x οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι
23
1 1 1
2 2 20 0 0
1
1 1 1
x x xx xdx dx x dx
x x x
22 ln 1 1 1 ln 2
02 2 2 2
xx
[24]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1. α. Θεωρούμε
2 111
1( ) , x 11
xf x x exg x
x
2 11
1 11
xf x g x x x ex
.
2 1
1 1
1lim lim 1 1 1 1
1
f ήx
x xf x g x x x e f
x
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2013)
Δίνεται συνάρτηση f: [0,+∞)⟶ℝ, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη
παράγωγο στο [0,+∞), για την οποία ισχύουν:
2
f (x)f (x) 1 f (x) για κάθε x > 0 ,
f (x)f (x) 0 για κάθε x > 0 ,
f (0) = 0,
2 1
1
11
1lim 01
x
x
f x x ex
x
Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις: f (x)
g(x)f (x)
με x>0 και
3h(x) f (x) με
x≥0
Δ1. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f ′ στο (0,+∞)
(μονάδες 4)
β. Να αποδείξετε ότι f ΄(0) = 1
(μονάδες 3)
Μονάδες 7
Δ2. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (0, +∞) , να αποδείξετε ότι:
α. g(x) 2 x για κάθε x∈(0, +∞)
(μονάδες 2)
β. 1
0(2 x)f (x)dx 1
(μονάδες 4)
Μονάδες 6
Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 1
Μονάδες 8
Δ4. Να δείξετε ότι f x x .
[25]
www.askisopolis.gr
22 2 2 21 1
1 1 1 1 11 1
x x x x xx x
.
2 2
1 1lim 1 0 lim 1x x
x x
οπότε από κριτήριο παρεμβολής
2
1
1lim 1 0
1xx
x
1 1
1 1lim lim
1 1x x
f x f f x
x x
1
1
1 1lim 1 0 1 1
1 1
x
x
eg x x
x x
1 1
1 1 1 1 11 1
x x x x xx x
.
1 1
lim 1 0 lim 1x x
x x
οπότε από κριτήριο παρεμβολής
1
1lim 1 0
1xx
x
και
01 0
1
1 1
1lim lim 1
1
xx
x DLH x
ee
x
Επειδή f x f x 0 οι συναρτήσεις f,f δεν μηδενίζονται και επειδή είναι
συνεχείς διατηρούν σταθερό πρόσημο. Επειδή 1 1 0 0f f x για
κάθε 0x και 1 2017 0 0f f x .
είναι 0f x για κάθε 0x .
β. Επειδή f x 0 από την (1) έχουμε ( ) 1 ( ) ( )f x f x f x
H f ΄ είναι συνεχής στο 0
x 0 ,άρα
(0) 0
0(0) lim 1 (x) (x) 1 (0) (0) 1
f
xf f f f f
.
Δ2.α. Είναι
2
2 2
1f x f x f xg x
f x f x
και
2
11 1
1g
f . Επειδή
11 1
1
fg
f
, η εφαπτομένη της f
C στο 0
x 1 είναι
1 1 2y x y x .
Επειδή η g είναι κυρτή, βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της, εκτός από
το σημείο επαφής, άρα 2g x x για κάθε 0x .
β. Είναι
2 2 2
f xg x x x f x x f x
f x
και επειδή η ισότητα
ισχύει μόνο για 1x και οι συναρτήσεις , 2f x x f x είναι συνεχείς στο
0,1 , ισχύει ότι:
1 1 1
0 0 02 2 1 0 1f x dx x f x dx x f x dx f f
[26]
www.askisopolis.gr
Δ3. Επειδή η h είναι συνεχής στο 0,1 και 3
h x f x 0 , το ζητούμενο εμβαδό
είναι:
31 1 2
0 0E f x dx f x f x dx
1 12
00
2f x f x f x f x f x dx
13
212 2
0
0
1 1 0 0 2 1 23
f xE f f f f f x f x dx
3 3
1 0 1 11 2 1 2 1
3 3
f f .
Δ4.
2f x 0
2 f (x) 1f (x)f (x) 1 f (x) (1) f (x)
f x
άρα η f είναι 3 φορές
παραγωγίσιμη.
Με παραγώγιση της (1) έχουμε
(3) (3)f x f (x) f x f (x) 2f (x)f (x) f x f (x) f (x)f (x)
(3)
(3)
2
f x f (x) f (x)f (x)f x f (x) f (x)f (x) 0 0
f x
f x f x0 c,c
f x f x
(2).
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0x
f f f f f
.
1 12 0
1
x fc c
f
.
Άρα 0f x .
01 2
1 11 1 1 , .f xx
f x f x f x x f x x c c
Για 1x : 1 1 11 1 1 1 0f c c c .
Επομένως .f x x
[27]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ.1. 2 2
1 1 1 11 1 1
2 2
f x f xe f x f x e
x x
1 1 1 1,
2 2
f x f xe x e x c c
x x
(1).
Η αρχική σχέση για x 1 γίνεται: 1 12 1 2 2 1 1
f ff e f e .
Όμως f ( ,0] - , άρα 1 11 0 1 0 1 1 0
f ff e e f , άρα
1 0f .
Τότε η σχέση (1) γίνεται 1 11 1 0
2
fe c c
. Τότε
ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2012 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:A⟶ℝ με A=(0,+∞) για την οποία ισχύουν σχέσεις:
,0f - ,
η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ∞),
11 1
ff e
2 22 1f x
x f x x e (1)
Δ1. Να αποδείξετε ότι 2
2ln , 0
1
xf x x
x
.
Μονάδες 8
Δ2.Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μέγιστο Σ(x0,f(x0)), x0>0,
το οποίο και να βρείτε. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
ξ ∈(β, x0) με 00 x , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο M(ξ,F(ξ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία
ε: x ( 1) y 2012( 1) 0f
Μονάδες 6
Δ3.Αν β<1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση
351 1 1
01 3
f f x x
x x
έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ως προς x, στο διάστημα (1,3)
Μονάδες 5
Δ4. Να αποδείξετε ότι :
2 2
1 1ln 2 2 2 ln 2 2 1
e ex xe x x dx x e dx
, για κάθε x>0
[28]
www.askisopolis.gr
2 21 1 1 1
ln2 2 2
f x f x x xe x e f x
x x x
1
2 21 1ln ln
2 2
x xf x f x
x x
2
2ln
1
xf x
x
, 0x .
Δ.2.Είναι 2
2
2ln ln 2 ln 1
1
xf x x x
x
και
2 2
1 12 2
2 1 1
x xxf x
x x x x
.
Για κάθε 0,1x είναι 0f x , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,1 .
Για κάθε 1x είναι 0f x , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1, .
Επομένως η f έχει μέγιστο το 1,0 .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει ,1 με β>0 τέτοιο, ώστε
1
ff
.
Από το θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει ξ 1 , β τέτοιο, ώστε
1
1 1
f f ff
.
2 2 2
2 22 2 22 2
2 1 41 2 1 1 2 2
1 1 1
x xx xf x
x x x xx x
.
Για 0
2 2 21 1 1 0 2 2 0x
x x x x
οπότε 0f x στο 0,1 δηλαδή
f 2 στο 0,1 και 1-1.
Επομένως το ξ είναι μοναδικό.
Δ.3.
351 1 10
1 3
f f x x
x x
351 3 1 1 1 0f f x x x x
Έστω 351 3 1 1 1 , 1,3g x f f x x x x x .
Είναι 1 2 1g f f
Είναι
1
f ff f f
1 1 0f f f f , άρα 1 0g .
και 3 128 1 0g , αφού 1 . Δηλαδή 1 3 0g g και επειδή η g είναι
συνεχής στο 1,3 , λόγω του θεωρήματος Bolzano, εξίσωση g x 0
351 3 1 1 1 0f f x x x x
351 1 10
1 3
f f x x
x x
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο
1,3 .
[29]
www.askisopolis.gr
Δ.4. 2 2ln 2 2 2 ln 2 2 1x xe x x x e
2
2
1 02 2
2 0( 7 0)2 2 2 2 2 1
xex x
x xe x x x e
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2ln ln
1 2 2 1 2 2
x x
x x
e x e x
e x x e x x
2 2
2 12ln ln
1 11
x
x
xe
xe
[1, ]
1 1 1 0f e
x x xf e f x e x e x 2
ισχύει.
( Θεωρούμε 1xg x e x .
1 0xg x e για x>0 οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα και
0 0 0 1 0g
xx g x g e x 1
για x>0)
οπότε 2 2
1 1ln 2 2 ln 2 2 1
e ex xe x x dx x e dx
ΘΕΜΑ Δ(2012) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)⟶ℝ, η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις σχέσεις:
f(x) ≠ 0
2 12
x f x2x - 2x
e
1
1 ln x lnf x x x f x x f xx
Δ1.Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.
Μονάδες 10
Αν είναι ln , 0xf x e x x x , x>0, τότε:
Δ2.Να υπολογίσετε το όριο: 0
limx
2 1f(x) ημ - f(x)
f(x)
Μονάδες 5
Δ3.Με τη βοήθεια της ανισότητας 1lnx x - , που ισχύει για κάθε x>0, να
αποδείξετε ότι
α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (μονάδες 2).
β) η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).
Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:
3 2 2f x f x f x , για κάθε 0,1x (μονάδες 4).
Μονάδες 6
Δ4.Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός 0,1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει
μοναδικός ξ ∈(β,2β) τέτοιο ώστε:
3 2f f f
Μονάδες 4
[30]
www.askisopolis.gr
Λύση
Δ1. Έστω 2 12
h x x f x2x - 2x
e .
Είναι
2 21 1 0 0 12 2
x f x x f x h x h x h2x - 2x 2x - 2x
e e
Η συνάρτηση h παρουσιάζει ελάχιστο για 1x .
Επειδή η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο 0, σαν πράξεις
παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 2 2 4( ) 2 1 ( )
xh x xf x x f x
e
και το
1x είναι εσωτερικό του πεδίου ορισμού της h, λόγω του θεωρήματος Fermat,
είναι 2 1
1 0 2 1 0 1h f fe e
.
Επειδή η f είναι συνεχής στο 0, και f (x) 0 , η f διατηρεί πρόσημο στο
0, . Επειδή επιπλέον 1
1 0fe
, είναι 0f x για κάθε 0,x .
Η σχέση 1
1 ln x lnf x x x f x x f xx
γίνεται
2:1
1 ln lnf x
f x x x f x x x f xx
2
11 ln
ln ln lnf x x x f x
x x x x x xx
f x f x f x f x
,
οπότε:
ln,xx x
c e cf x
.
Για x=1: 11
11
c e c
e
και
lnlnx xx x
e f x e x xf x
Δ2. Έστω 1
f x , 0 με
0 0 0 0
1 1lim lim lim lim 0
ln ln
x
xx x x x
e
f x e x x x x
γιατί
0
lim 1x
xe
και
0lim lnx
x x
. Τότε
2
20 0
1 1 1lim limx
f x f xf x
[31]
www.askisopolis.gr
0
0
20 0 2
lim limDLH
0 0
1 1 1lim lim 0
2 2
Δ3. α) 1 1
( ) ln 1 ln 1 0, 0x x xf x e x x e e x x xx x
,
γιατί ln 1 ln 1 0x x x x και
10
x για κάθε 0x .Άρα η f είναι
γνησίως αύξουσα στο 0, .
β) 2
1 1 1( ) ln 1 1x xf x e x x e
x x x
2
2 2 2
0
0 0
2 1 1 1ln 1 1 0 0 1 1 1 1 0xe x x x x
x x x x
Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).
Από το θεώρημα μέσης τιμής για την f, υπάρχει 1 , 2x x και 2 2 ,3x x
τέτοια, ώστε:
1
2 2
2
f x f x F x F xf
x x x
και
2
3 2 3 2
3 2
f x f x f x f xf
x x x
.
Επειδή η f είναι κoίλη στο (0,1), η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε επειδή
1 2 , ισχύει ότι:
0
1 2
2 3 2
xf x f x f x f xf f
x x
2 3 2f x f x f x f x f x f 3x 2f 2x .
Δ4. Έστω
( ) 2 ( ) (3 ) ( ), ,2G x f x f f x . Είναι
( ) ( ) (3 ) 0G f f γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,
Επειδή
0 3 3f
f f 1
.
Είναι (2 ) 2 (2 ) (3 ) ( ) 0G f f f γιατί x 3x 2 2xf f f για
κάθε 0,1x .
Δηλαδή ( ) (2 ) 0G G και επειδή η G είναι συνεχής στο ,2 , λόγω του
θεωρήματος Bolzano
υπάρχει ,2 τέτοιο ώστε: 0G 3 2f f f . Είναι
2 0G x f x είναι G γνησίως αύξουσα στο ,2 ,οπότε το
ξ είναι μοναδικό.