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Thermodynamique et modèles thermiques
Guy GauthierÉté 2014
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Niveau microscopique
Notions d’énergie
Énergie totale
Énergie cinétique
Énergie potentielle
Niveau macroscopique
Énergie interne
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L’énergie totale
L’énergie totale d’un système est définie comme étant la somme de: L’énergie interne; L’énergie cinétique; L’énergie potentielle.
TE U KE PE
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Énergie cinétique
L’énergie cinétique est associée au mouvement.
Elle s’exprime par l’équation suivante:
KE mv 12
2
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Énergie potentielle
L’énergie potentielle est associée à de l’énergie stockée et qui peut être utilisée.
Elle s’exprime par l’équation suivante:
PE mgh
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Niveau microscopique
L’énergie interne
Énergie interne
Agitation thermique
Énergie de liaison
Énergie nucléaire
Température
Chimie
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Ainsi…
Mécanique des fluides: Énergie au niveau macroscopique;
Réactions chimiques: Énergie au niveau microscopique;
Transfert de chaleur: Agitation thermique.
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Énergie par unité de masse
Dans certains modèles il peut être plus facile de représenter l’énergie par unité de masse. Ainsi:
Énergie totale:
Énergie cinétique:
Énergie potentielle:
TE U KE PE 21
2KE v
PE gh
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Hypothèse simplificatrice
Pour la majorité des procédés chimiques, les termes d’énergie cinétique et d’énergie potentielle sont négligés. Leur contribution est de 2 ordres de
grandeur inférieure à l’énergie interne.
Un réacteur chimique n’est pas en mouvement et ne change pas de
position dans le champ gravitationnel.
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Vers la définition de l’enthalpie
Transformation isobare (P=cte): Échange de chaleur et travail Qp; Force de pression Wf,p.
Premier principe de la thermodynamique: Variation d’énergie interne:
,B A p f pU U U Q W Gain
d’énerg
ie
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A pression constante
Travail des forces de pression:
Ainsi:
p B B A AQ U pV U pV
,f p B AW p V p V V
Enthalpie
Perte d’énergie
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Enthalpie
Dans le cas des fluides, on utilise l’enthalpie pour représenter l’énergie.
Elle se définit par:
Par abus de langage: Chaleur enthalpie.
H U pV
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Enthalpie
Par mole:
Par unité de masse:
ˆ ˆ ˆH U pV
H U pVpU
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EXEMPLE – CHAUFFE D’UN LIQUIDE (BOUILLOIRE)
Comment utiliser ces informations en modélisation ?
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Exemple
Soit un réservoir isolé thermiquement pour éviter les pertes. Ce réservoir est traversé par un liquide qui sera chauffé par un élément chauffant.
Ce liquide sera mélangé pour assurer que la température soit uniforme dans le réservoir.
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Bilan matière
Masse dans le réservoir = masse entrante – masse sortante :
Si changement de densité négligeable et changement de volume nul :
d Vdt
F Fi i o
F F Fi o
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Bilan énergétique
Accumulation d’énergie :dTEdt
F TE F TE Q Wi i i o T
Énergie totale
- Liquide entrant
Énergie totale
- Liquide sortant
Énergie injectée
par l’élément
chauffantTra
vail fait s
ur le
système
Variation de
l’énergie totale
dans le
réservoir
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Bilan énergétique
Accumulation d’énergie :
L’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont négligées:
dTEdt
F TE F TE Q Wi i i o T
dUdt
F U F U Q Wi i i o T Énergie interne
TE U KE PE
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Le travail fait sur le système
Combinaison de l’énergie du mélangeur et de l’énergie pour amener le liquide dans le réservoir et le sortir du réservoir:
W W F p F pT S i i o
20
Le travail fait sur le système
Combinaison de l’énergie du mélangeur et de l’énergie pour amener le liquide dans le réservoir et le sortir du réservoir:
Donc :
W W F p F pT S i i o
dUdt
F Up
F Up
Q Wi i ii
io S
Enthalpie
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Enthalpie totale
Équation de l’enthalpie totale :
Donc, en isolant l’énergie interne et en dérivant :
H U pV
dUdt
dHdt
dpVd t
F H F H Q Wi i i o S
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Simplification
Or :
Si le volume est constant et que la variation de la pression moyenne peut être négligée, alors :
( )d pV dV dpp Vdt dt dt
( ) 0d pVdt
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Simplification (suite)
Ce qui mène à :
i i i o SdU dH F H F H Q Wdt dt
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Simplification (suite)
Comme la densité est supposée constante et les débits sont les mêmes (car volume constant), alors :
dHdt
F H H Q Wi S
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Enthalpie totale revisitée
Le terme d’enthalpie totale est :
S’il n’y a pas de changement de phase :
H VH
H T c dT c T TpT
T
p( )*
* Température de référence
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Retour sur le bilan énergétique
Le terme d’enthalpie totale est :
Puisque la densité et le volume sont constants :
d Vc T T
dtFc T T T T Q W
pp i S
** *
Vcd T T
dtF c T T Q Wp p i S
*
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Retour sur le bilan énergétique (suite)
Puis :
Négligeant l’effet du mélangeur :
dTdt
FV
T TQVc
WVci
p
S
p
dTdt
FV
T TQVci
p
1
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En régime permanent
Température de sortie en régime permanent :
On bâtira le modèle sur l’écart entre le système et son régime permanent.
Note: Ti est assumé constant.
0 FV
T TQVci ss
ss
p2
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Modèle basé sur les variations
Combinant et la température de sortie en régime permanent est:
En posant :
dTdt
FV
T TQ Q
Vcssss
p
x T Tu Q Q
ss
ss
1
y T Tss
1 2
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Passage aux équations d’état
Alors: xFV
xVc
up
1 1
1
1y x
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Transformation de Laplace
Cela donne :
Système de 1er ordre (normal car il n’y avait qu’un seul état).
1( ) ( )
( )pVcY s G s
U s s F V
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Et, si Ti n’était pas constant (perturbation)
On aurait alors eu en régime permanent:
Ce qui aurait mené à :
0 FV
T TQVciss ss
ss
p
dTdt
FV
T TQ Q
VcFV
T Ti issss
pss
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Modèle amélioré
Posant:
Les équations du modèle deviennent :
x T T d T Tu Q Q
ss iss
ss
1
xFV
xVc
uFV
dp
1 1
1
1y x
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Transformation de Laplace
Cela donne :
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
( ) ( )p
Y s G s U s G s D sVc F VU s D s
s F V s F V
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Exemple numérique
Si F = 10 pi3/min, V = 20 pi3, ρ = 62.5 lbs/pi3, cp = 1 BTU/lb/°F, alors on fait face à ce système :
. . .x x u dy x1 1
1
0 5 0 0008 0 5
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Simulation
Résultats:
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
Temps (minutes)
Éca
rt de
tem
péra
ture
(°F)
Réponse du système
Échelon sur u(t) de 1000 BTU
Échelon sur d(t) de +5 °F
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ÉCHANGE D’ÉNERGIE ENTRE UN RÉSERVOIR ET SA CHEMISE DE REFROIDISSEMENT
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Du point de vue du réservoir
La modélisation est faite de la même façon et on trouve:
Mais, Q est l’échange de chaleur entre le réservoir et la chemise de refroidissement.
dTdt
FV
T TQVci
p
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Bilan matière de la chemise de refroidissement
La masse de liquide dans la chemise de refroidissement est:
On assume que le volume dans la chemise est constant et la masse volumique ne change pas.
Ce qui mène à:
( )JJin Jin J J
d VF F
dt
J JinF F
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Bilan thermique de la chemise de refroidissement
En s’inspirant que l’analyse faite avec le réservoir:
Notez les indices « J » pour Jacket (chemise de …).
Notez la présence de la variable Q.
J JJi J
J J J pJ
dT F QT Tdt V V c
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Échanges entre le réservoir et la chemise
L’échange d’énergie entre deux liquides de deux cotés d’une paroi est:
U : Coefficient de transfert de chaleur (W/m2K)
A : surface de la paroi
( )JQ U A T T
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Bilan thermique global
Réservoir:
Chemise:
( )Ji
p
UA T TdT F T Tdt V Vc
( )J J JJi J
J J J pJ
dT F UA T TT T
dt V V c
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Bilan thermique global
Réservoir:
Chemise:
( )Ji
p
UA T TdT FT T
dt V Vc
( )J J JJi J
J J J pJ
dT F UA T TT T
dt V V c
T TJ
Si T>TJ
Si T<TJ
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ON REVERRA CES ÉQUATIONS THERMIQUES BIENTÔT !!!
Qu’en sera-t-il des réactions chimiques endothermiques ou exothermiques ?