Thierry Dias – octobre 2005 1
1/ faire des maths
2/ faire faire des maths
3/ regardez ce que ça donne…
Thierry Dias – octobre 2005 2
La construction du nombre
apprentissage et difficultés
Thierry Dias – octobre 2005 3
Plan général
1. Diverses conceptions de l’apprentissage
2. Repères didactiques
3. Quelques obstacles
4. Évaluer les difficultés
3. Les situations d’apprentissage
Thierry Dias – octobre 2005 4
Diverses conceptions de
l'apprentissage
Thierry Dias – octobre 2005 5
«tout sujet apprenant le nombre doit se poser naturellement les mêmes questions que ses inventeurs pour le comprendre»
Thierry Dias – octobre 2005 6
On admet que la plupart des connaissances (savoirs et savoirs-faire) ne sont ni reçues du milieu par un organisme passif, ni-pré-programmées à la naissance de telle façon que le sujet se les appropriait nécessairement.
Ces connaissances sont construites par le sujet dans le cours de son activité.
L’apport du constructivisme
Thierry Dias – octobre 2005 7
Piaget, Szeminska, 1941
sujet
milieu(d'apprentissage)
équilibre
élément nouveau
assimilation
accommodation
organisation
équilibration
Stades de développement=
Stades d’apprentissages
Thierry Dias – octobre 2005 8
Piaget, Szeminska, 1941
Trois opérations logiques élémentaires sont des pré-requis à la construction du nombre :
- la conservation
- la sériation
- l'inclusion
Ceci permettant de définir les stades de développement connus :
1. le stade sensori-moteur (0 à 2 ans)
2. la période pré-opératoire (2 à 6 ou 7 ans)
3. le stade des opérations concrètes (6 ou 7 ans à 11 ou 12 ans)
4. le stade des opérations formelles (ou hypthético-déductif)
Thierry Dias – octobre 2005 9
Piaget, Szeminska, 1941
Cette notion de stades d’apprentissages induit une conception « linéaire » de la construction de connaissances sur le nombre relative à l’âge des élèves.
Le nombre est ainsi au service de la construction du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc dépendant de l'accumulation d'expériences du sujet.
Thierry Dias – octobre 2005 10
La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable.
L’importance de l’activité de comptage / dénombrement.
Cinq principes régissent le comptage.
Une autre approche : Gelman et Gallistel (années 80)
Thierry Dias – octobre 2005 11
Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)
1. Principe de correspondance terme à terme : à chaque unité on doit faire correspondre un mot-nombre;
Coordonner le geste à la récitation : un mot par geste, pas plus, pas moins
un
deux
trois
quatre
cinq
Thierry Dias – octobre 2005 12
2. Principe de suite stable : les mots nombres doivent toujours être récités dans le même ordre;
Mémoriser une suite de mots et la restituer de la même manière dans des contextes qui peuvent varier.
Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)
1
1
Thierry Dias – octobre 2005 13
3. Principe cardinal : le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble;
Accepter de conceptualiser contre une connaissance… donc de force, par répétition ou imitation
La question du combien…
1 2 3 45
5
Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)
= ?
Thierry Dias – octobre 2005 14
4. Principe d’indifférence de l’ordre : les unités peuvent être comptées dans n’importe quel ordre;
L'ordre des objets à dénombrer n'a pas d'importance alors que les mots qui servent dans cette situation sont en ordre !
Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)
En revanche, l'organisation spatiale des objets dénombrés revêt une importance qui peut s'avérer fondamentale.
Thierry Dias – octobre 2005 15
5. Principe d ’abstraction : toutes sortes d ’éléments peuvent être rassemblés et comptés ensemble.
2
2
Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)
Thierry Dias – octobre 2005 16
La place du calcul dans la construction du nombre
Deux thèses modernes concernant le calcul :
Brissiaud : le calcul* comme accélérateur d’apprentissage du comptage, donc la nécessité de développer des compétences dès le plus jeune âge.
Gelman et bien d’autres… : le comptage doit précéder les activités de calcul (en référence aux cinq principes).
* attention, le calcul dont parle Brissiaud n’est pas l’algorithme de l’addition par sur-comptage, mais plutôt la perception d’une quantité par la somme de ses parties (voir les constellations, les livres à compter…)
Thierry Dias – octobre 2005 17
Les apports de la recherche récente (neurosciences)
Des capacités numériques sont repérables chez le nourrisson dès l'âge de 6 mois : discrimination perceptive, addition et soustraction de petites quantités.
Des capacités que le petit d'homme partage avec ses semblables : singes, dauphins, oiseaux… pas de quoi pavoiser !
Les régions cérébrales concernées par le calcul et la manipulation des quantités ne sont pas toujours les mêmes (le diagnostique de la dyscalculie s'en trouve compliqué).
Rôle prépondérant du langage comme désignation dans la construction du principe de cardinalité.
Thierry Dias – octobre 2005 18
Repères didactiques
Thierry Dias – octobre 2005 19
Une solution au dilemme :
Le nombre outil et la problématisation…
apprendre en...
Thierry Dias – octobre 2005 20
apprendre en résolvant des problèmes
Les connaissances1 du sujet se construisent à travers des actions finalisées2 c'est à dire permettant de résoudre un problème, de répondre à une question dans une situation qui a du sens pour le sujet dès le départ ou dont le sens apparaît très vite au cours de la résolution.
2 : véritables activités de recherche et pas seulement de manipulation
1 : savoir, savoir-faire, conceptions et représentations
Thierry Dias – octobre 2005 21
Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le chiffre 5 ?
L’escalier ci-dessous est construit avec 15 pavés et il a cinq marches.
Quel nombre de marches aurai-je à monter si l’escalier était construit avec 120 pavés ?
1
2
Thierry Dias – octobre 2005 22
apprendre en remettant en cause des connaissances antérieures:
Les connaissances ne s'entassent pas, ne s'accumulent pas. Elles ne se construisent pas de façon linéaire et continue. Leur élaboration est soumise à des ruptures.
"On placera les élèves dans des situations qui permettent de provoquer un conflit."
Thierry Dias – octobre 2005 23
La monnaie de la pièce...Trois jeunes gens prennent leur petit déjeuner dans un bar. Ils doivent payer 30 euros et donnent chacun une pièce de 10 euros. La patronne, charmante, décide de leur faire une réduction de 5 euros.Le serveur prend donc 5 pièces de 1 euro, mais, ne pouvant les partager en trois il décide subrepticement de glisser 2 euros dans sa poche et donne généreusement une pièce de 1 euro à chacun des trois jeunes gens.
Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9 euros. En ajoutant les 2 euros du serveur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 euros.MAIS nous avions 30 euros. Où est donc passé le dernier euro?
Thierry Dias – octobre 2005 24
apprendre en dépassant ses erreurs
Identifier ses erreurs et les analyser pour pouvoir les corriger se fait grâce à la médiation de l’autre.
L'erreur est « normale »; c'est une forme de connaissance. Elle est constitutive de l’apprentissage.
Thierry Dias – octobre 2005 25
apprendre en faisant fonctionner, en répétant
Apprendre ne se fait pas en une seule fois (ou très rarement). Apprendre c'est aussi recommencer, revenir en arrière, donc répéter, mais en comprenant ce que l'on fait et pourquoi on le fait.
"La répétition mécanique d'actes dépourvus d'intentionnalité ou de sens ne saurait être génératrice d'acquisition d'un savoir-faire réellement maîtrisé (et cela en particulier pour les enfants en difficulté)."
Thierry Dias – octobre 2005 26
apprendre en communiquant avec d'autres
Apprendre ne se fait pas tout seul, mais dans un contexte d'interactions sociales.
D'où l'importance du travail en groupe dans les classes. "Les seules actions que les enfants imitent sont celles qu'ils peuvent déjà faire parfaitement bien." J.Bruner
Le contexte de ce dispositif de travail renforce le rôle essentiel de médiation de l'adulte.
Thierry Dias – octobre 2005 27
apprendre en utilisant
Dans la programmation des apprentissages
visant la construction du nombre, la fonction outil
est à privilégier sur la fonction objet.
La formalisation du signe et la mise en évidence
du concept n’a de sens qu ’après sa mise en
œuvre répétée dans des contextes différents.
Thierry Dias – octobre 2005 28
Quelques obstacles
Thierry Dias – octobre 2005 29
numération et compréhension des bases
problèmes de chiffres : transcodage
difficultés de la numération de position
la question du zéro
documentaire : l'empire des nombres
quelques obstacles…
Thierry Dias – octobre 2005 30
la question de la dyscalculie
DSM-IV : trouble du calcul
1. retard significatif dans les tests standardisés de mathématiques par rapport à l’âge développemental;
2. interférence avec la réussite scolaire;
3. ne s’explique pas par un déficit sensoriel
Le problème peut donc coexister avec d’autres affections.
CIM 10: trouble spécifique de l’acquisition de l'arithmétique
Altération spécifique des performances en arithmétique, non imputable exclusivement à un retard mental global ou à une scolarisation inadéquate. L'altération concerne la maîtrise des éléments de base du calcul : addition, soustraction, multiplication et division.
Thierry Dias – octobre 2005 31
Quelques stratégies pour lutter contre les symptômes de la dyscalculie
Outils d'apprentissage pour l'élèvePermettre l'utilisation des doigtsPermettre la multiplication des écrits de recherchePermettre l'utilisation de l'ordinateur pour l'entraînement et l'étudeSuggérer l'utilisation de papiers spéciaux : millimétré, quadrillé…
Démarche et méthode de travailTraduire en dessin les mots d'un énoncé problématiqueFavoriser la manipulation pour expérimenterUtiliser des procédés mnémotechniques
Stratégies d'enseignementUtiliser les schémas et les graphiques pour l'explicationFavoriser les aides possibles par des pairsDiversifier les techniques de communication écrite (couleurs…)Utiliser le rythme et la musique pour enseigner certaines notions mathématiques
Thierry Dias – octobre 2005 32
Évaluer les difficultés
Thierry Dias – octobre 2005 33
QUOI ?connaissance de la comptine
- jusqu'où?- stabilité?- erreurs? (omissions, régularités récurrentes,...)
recours spontané au dénombrementmaîtrise du dénombrement
- synchronisation entre geste et récitation de la comptine- organisation- réponse par le dernier mot énoncé
constitution d'une collection de cardinal donné lecture des nombres successeur d'un nombre (si on ajoute un élément à une collection dénombrée, le nombre d'éléments est le nombre suivant dans la comptine).
repérer les compétences et les difficultés de chacun.
Thierry Dias – octobre 2005 34
COMMENT ?
• observations au cours de différentes activités
• entretiens individuels
• observations en contexte collectif
repérer les compétences et les difficultés de chacun
Thierry Dias – octobre 2005 35
Que faire des données observées :
Organiser la re-médiation
Thierry Dias – octobre 2005 36
Évaluation préalable
Situations d’apprentissages
Activités conjointesde structuration
Activités conjointes complémentaires de
re-médiation
détour
Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001
Thierry Dias – octobre 2005 37
Les principes du détourLes principes du détour
• Faire un détour prend du temps.
Évaluation préalable
Situations d’apprentissages
activités de re-médiation
détour
Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001
• Le détour est un autre chemin.
• Le détour est accompagné.
• Le détour ramène sur le chemin principal.
Thierry Dias – octobre 2005 38
Connaissance de la comptine orale
Comptine stable jusqu'à : ………………………………………………………………………..Erreurs repérées : ………………………………………………………………………………..
Connaissance de la comptine écrite
Erreurs repérées : ………………………………………………………………………………..
repérer les compétences et les difficultés de chacun
Thierry Dias – octobre 2005 39
repérer les compétences et les difficultés de chacun
Recours au dénombrement
Dans la situation problème proposée (aller chercher des crayons pour un nombre d'élève donné) repérer si :
L'élève a recours au dénombrement
L'élève apporte en un voyage un lot de crayons approximatif
L'élève apporte en un voyage tous les crayons
L'élève tente d'organiser les collections
Thierry Dias – octobre 2005 40
repérer les compétences et les difficultés de chacun
Maîtrise du dénombrement
1. "Combien de ?" (collection d'objets réels dont le cardinal est choisit dans le domaine de connaissance de l'élève).
L'élève à recours au dénombrement
synchronisation des gestes et de la récitation de la
comptine
organisation du dénombrement
maîtrise du principe de cardinalité
L'élève a recours à une estimation
L'élève ne réagit pas
Thierry Dias – octobre 2005 41
Maîtrise du dénombrement
2. "Combien de ?"
(collection d'objets représentés, stylo ou crayon disponible)
L'élève à recours au dénombrementsynchronisation des gestes et de la récitation de la
comptineorganisation du dénombrement (par ajout de dessin)maîtrise du principe de cardinalité
L'élève a recours à une estimationL'élève ne réagit pas
repérer les compétences et les difficultés de chacun
Thierry Dias – octobre 2005 42
Maîtrise du dénombrement
3. +n ; -n
Lors de l'ajout puis du retrait de n éléments à la collection :
L'élève à recours au recomptage complet de la
collection
L'élève utilise un procédé de sur-comptage
L'élève effectue une opération mentale
repérer les compétences et les difficultés de chacun
Thierry Dias – octobre 2005 43
Constitution d'une collection de cardinal donné
On demande à l'élève de prélever ("donne moi") n objets réels pris dans une collection plus grande.
L'élève s'arrête au terme du dénombrement des n objets
en déclarant qu'il a terminé
L'élève dénombre tous les objets jusqu'à épuisement des
objets (ou de ses compétences)
L'élève s'aperçoit qu'il a oublié ce qu'on lui avait demandé
L'élève donne un tas sans dénombrer
repérer les compétences et les difficultés de chacun
Thierry Dias – octobre 2005 44
Maîtrise de l'aspect ordinal
On utilise un jeu de cartes-nombres et une piste incomplète.
L'élève sait replacer les cartes dans l'ordre croissant
L'élève sait placer les cartes dans l'ordre décroissant
L'élève sait compléter la bande numérique à trous
1.1 repérer les compétences et les difficultés de chacun
Thierry Dias – octobre 2005 45
Comparaison de collections
À faire avec des objets réels puis avec des objets représentés.
1. Comparaison de collections très différentes
L'élève donne une réponse immédiate
L'élève dénombre chaque collection
L'élève utilise la correspondance terme à terme
2. Comparaison de collections peu différentes
L'élève donne une réponse immédiate
L'élève dénombre chaque collection
L'élève utilise la correspondance terme à terme
1.1 repérer les compétences et les difficultés de chacun
Thierry Dias – octobre 2005 46
Les situations d'apprentissage
Thierry Dias – octobre 2005 47
On peut retenir trois caractéristiques pour définir les
situations d'apprentissage :
Les situations fonctionnelles
Les situations rituelles
Les situations spécifiques
Les situations « construites »
Thierry Dias – octobre 2005 48
1.2 développer l'envie d'utiliser les nombres.
situations rituelles :- appel, cantine- calendriers
situations occasionnelles :- répartition dans les ateliers- organisation pour aller chercher du matériel- distributions diverses- gestion de scores- utilisation de recettes
situations spécifiques:- comptines avec des nombres- jeux de doigts - jeux de dés (lecture des dés et déplacement sur une piste dans un jeu de l'oie simplifié)- jeux de cartes (Bataille, Pouilleux avec des cartes numérotées de 1 à 6 ou 8)
Thierry Dias – octobre 2005 49
mise en œuvre:
Cinq phases:
- découverte
- reconnaissance d'une procédure experte
- communication orale
- communication écrite
- réinvestissement
Les situations construites
Thierry Dias – octobre 2005 50
objectifs:
- comprendre que le dénombrement est un moyen expert pour construire une collection équipotente à une collection donnée, hors de la présence de celle-ci,
- élaborer un langage pour exprimer les anticipations d'actions et les validations des solutions. ("je vais compter pour voir combien il m'en faut" "ça ne va pas, il en manque" ...).
Thierry Dias – octobre 2005 51
procédures:
- procédures relatives au dénombrement, relatives à la mémorisation du nombre, relatives à l'écriture du nombre ou relatives à la validation.
variables didactiques:
- nature des informations et du matériel., nombre d'essais autorisés, champ numérique, communication.
Thierry Dias – octobre 2005 52
Le coloredo
Il s’agit d ’utiliser un jeu du commerce constitué de plaques en plastiques, de jetons de 4 couleurs pouvant s ’encastrer sur les plaques et de modèles de dessin se glissant sous les plaques.
Chaque binôme reçoit une plaque, un dessin. Il faut regarder le dessin avant d ’agir. Comme les jetons ne sont pas à la disposition immédiate des joueurs, il faut se déplacer. Un seul voyage est toléré. La commande est vérifiée au retour par la mise en place des jetons.
Thierry Dias – octobre 2005 53
Phase 1 : aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires.
Phase 2 : aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires en un seul voyage.
Phase 3 : remplir un bon de commande puis aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires en un seul voyage.
BON de commande
….. Jetons rouges
….. Jetons bleus
….. Jetons jaunes
….. Jetons verts
signature :
Il s’agit d ’utiliser un jeu du commerce constitué de plaques en plastiques, de jetons de 4 couleurs pouvant s ’encastrer sur les plaques et de modèles de dessin se glissant sous les plaques.
Les élèves sont en binômes de joueurs, on garde deux binômes pour jouer le rôle des magasiniers.
Le coloredo
Thierry Dias – octobre 2005 54
Le coloredo
Cette situation représente une situation fondamentale d ’utilisation des nombres. En effet, l ’élève qui s ’y engage se trouve dans l ’obligation d ’utiliser les nombres et de prendre conscience du rôle de ces nombres, de ce à quoi ils servent.
La règle lui est tout à fait compréhensible : apporter le nombre nécessaire et suffisant d ’objets en une seule fois. Ainsi, l ’élève peut se lancer dans l ’action quelles que soient ses connaissances sur le nombre.
Cette situation permet à l ’élève de :
- contrôler son action et recevoir le contrôle des autres,
- débattre avec eux de la qualité de son résultat;
- de recommencer de lui-même autant de fois qu ’il le souhaite;
- de décider seul ce qu ’il choisit d ’entreprendre.
Cette situation permet enfin au maître d ’organiser de très nombreux problèmes de difficultés progressives, elle est a-didactique car elle valide les propositions des élèves sans recours à la parole de l’enseignant.
Thierry Dias – octobre 2005 55
Bibliographie autour de la construction du nombre
- Comptes pour petits et grands (Baruk, Magnard, guide pratique)- L'enfant et le nombre (M. Fayol - Delachaux et Niestlé - 1990) - Partager, c'est compter (O.Frydman - La Recherche - n°215 - 1989) - Le développement du concept de nombre chez le jeune enfant (M-P Chichignoud - Revue Grand N n° 36, IREM de Grenoble) - Comment les enfants apprennent à calculer (R. Brissiaud - Retz) - Calcul ou comptage ? Calcul et comptage (R.Charnay - Revue Grand N n°50) - Apprentissages numériques en grande section (ERMEL - Hatier 1990) - Apprentissage numérique au CP (ERMEL - Hatier 1991) - Compte sur moi (Magnard 2001, CP et CE1)- Activités de partage en maternelle (Revue Grand N n°33) - "Jeux numériques et élaboration de règles à l'école maternelle" et "Jeu du loup et de l'escargot" (Revue Grand N n°46) - Deux oiseaux dans chaque nid (GS - Revue Grand N n° 48) - Du rite de l'appel... à des activités mathématiques en grande section d'école maternelle (Revue Grand N n°51) - Livres à compter (Revue Grand N n° 52) - La préparation des ateliers "jeux de société" en grande section (revue Grand n°55)