Théorème de Thalès
1 Peux-tu utiliser le théorème de Thalès dansles figures ci-dessous ? Justifie ta réponse.
a. b.
c. d.
e.
[WX] est un diamètredu cercle et [XZ] estun diamètre du cercle
2 Rapports égaux
Dans chacun des cas suivants, écris tous lesrapports de longueurs égaux. Tu préciseras lesdroites parallèles utilisées. Les droitesreprésentées en bleu sont parallèles.
a. b.
c. d.
e. [AT] est un diamètre du cercle .
f.
3 Les points L, I, Z sont alignés et les points R,I, T aussi. Les droites (RZ) et (LT) sont parallèles.
On donne RZ = 5 cm ;RI = 2 cm et IT = 3 cm.
a. Reproduis cette figure à main levée etreportes-y les données de l'énoncé.
b. Écris les rapports de longueurs égaux.
c. Quelle(s) longueur(s) pourrais-tu calculer ?
4 Des lacets
Sur la figure ci-dessus, les droites représentéesen vert et en violet sont parallèles deux à deux.
a. Décris les deux configurations de Thalèsprésentes dans cette figure.
b. Écris tous les rapports de longueurs égaux àZCZG
. Tu préciseras les droites parallèles que tu
as utilisées.
5 Construis le triangle NAF tel que
NA = 5,6 cm ; FA = 4,2 cm etNAF = 70°.
Place sur [NA) le point R tel que AR = 8 cm.La parallèle à la droite (NF) passant par R coupe(FA) en T.
a. Trace en couleur les droites parallèles. Écrisles rapports de longueurs égaux.
b. Calcule la longueur AT. Vérifie sur ta figure.
6 Un triangle SEL est tel que SE = 6 cm etSL = 3 cm. Le point I est le point de [LS) tel queSI = 5,1 cm. La parallèle à la droite (EL) passantpar I coupe (ES) en X. On a alors IX = 6,8 cm.
a. Trace une figure à main levée. Code la figureavec les données de l'énoncé.
b. Calcule les longueurs SX et EL.
CHAPITRE G1 – THÉORÈME DE THALÈS 191
'.
R
S
J
T
U
V
W
ED
FG
H
E F
G
H J
A
G
O
Z
IA
O
C
M
N
O
PQ
R
T
US
V
AB C
D
E
M
A
BC
E
D
T
Z
L
W Z
T
F G H
I
JK
L
M
A
S
C
O NE
B
A
C
H
D
B
7 Soit PEM un triangle. A est un point dusegment [PE] et B est un point du segment [PM]tels que BM = 30 cm ; AB = 30 cm ; ME = 50 cmet (AB) // (ME). À l'aide du théorème de Thalès,on obtient PM = 45 cm. Vrai ou faux ? Explique ta démarche.
8 Les droites en vert sont parallèles.
On sait que GH = 15 cm ; GF = 6 cm ;GD = 14,2 cm et HD = 7,3 cm.
Calcule les longueurs EF et EG.
10 À la recherche des parallèles perdues
BANC est un parallélogramme tel queBA = 4 cm ; BC = 6 cm et AC = 8 cm.
P est le point de [AC] tel que AP = 2,4 cm.
La parallèle à (BC) passant par P coupe [CN] en O.
a. Trace une figure en vraie grandeur.
b. Montre que les droites (PO) et (AN) sontparallèles.
c. Calcule les longueurs CO et PO.
11 LOT est un triangle tel que OL = 9 cm ;OT = 7 cm et LT = 5 cm.
On appelle M le milieu du segment [LO] et N lemilieu du segment [TL].
a. Montre que les droites (MN) et (OT) sontparallèles.
b. Calcule la longueur MN.
12 Les points T, O, I sont alignés et les pointsR, O, E aussi.
On donne ET = 2,4 cm ; OT = 6,4 cm ;OR = 7 cm et RI = 3 cm.
Calcule, en justifiant, les longueurs OE, OI et ER.
13 EURO est un parallélogramme tel queEO = 5 cm et OR = 6 cm.
Le point P est le point de (OE) qui n'appartientpas à [OE] tel que EP = 3 cm. La droite (PR)coupe [EU] en A.
Calcule les longueurs EA et AU.
Petits problèmes
14 Aux sports d'hiver
Un skieur dévale, tout schuss, une pisterectiligne représentée ci-dessous par lesegment [BC] de longueur 1 200 m.
À son point de départ C, le dénivelé par rapportau bas de la piste, donné par la longueur AC,est de 200 m. Après une chute, il est arrêté aupoint D sur la piste. Le dénivelé, donné par lalongueur DH, est alors de 150 m.
Calcule la longueur DB qu'il lui reste àparcourir.
THÉORÈME DE THALÈS – CHAPITRE G1
La figure n'est pas à l'échelle.
60°
60°
E
T
O R
I
E
F
G
H
DE
F
G
H
D
192
SapinPellicule
Imagerenversée
Objectif
A'
B'
O A
B
d' d
30m1,5m
60 cm
Mur
15 Sécurité routière
D'après le code de la route (Article R313 - 3) :
Les feux de croisement d'une voiturepermettent d'éclairer efficacement la route, lanuit par temps clair, sur une distanceminimale de 30 m.
Afin de contrôler régulièrement la portée desfeux de sa voiture, Jacques veut tracer unrepère sur le mur au fond de son garage.
La figure n'est pas à l'échelle.
Les feux de croisement sont à 60 cm du sol.
À quelle hauteur doit-il placer le repère sur sonmur pour pouvoir régler correctement sesphares ?
16 Promenons-nous dans les bois
Par un beau dimanche ensoleillé, Julien sepromène au pied de la montagne SainteVictoire, au bord de la rivière Arc.
Il se demande quelle est la largeur de cetterivière.
Il prend des repères, compte ses pas et dessinele schéma ci-dessous.
a. Quelle est, en nombre de pas, la largeur dela rivière qu'obtient approximativement Julien ?
b. Julien estime la longueur de son pas à65 cm. Donne une valeur approximative de lalargeur de cette rivière, au centimètre près.
17 Extrait du Brevet
Voici un schéma du fonctionnement d'unappareil photographique argentique : un objet[AB] situé à une distance d de l'objectif O a uneimage [A'B'] située à une distance d' de O.
a. Prouver que les droites (AB) et (A'B') sontparallèles.
b. Démontrer l'égalité :dd'
= ABA'B'
.
c. Pour un certain appareil, d' = 50 mm. Un sapin d'une hauteur de 12 m se trouve à15 m de l'objectif. Quelle est la hauteur del'image qui se forme sur la pellicule ?
Parallèles ou non ?
18 Prenons de bonnes habitudes
ABC est un triangle. D est un point de [AB] et Eest un point de (AC) n'appartenant pas à [AC].On donne AB = 4 cm ; AC = 3 cm ; AD = 1,2 cmet AE = 0,9 cm.
a. Alixien a écrit sur sa copie :
« Les droites (EC) et (DB) sont sécantes en A.
D'une part,ADAB
= 1,24
= 1240
= 310
.
D'autre part,AEAC
= 0,93
= 930
= 310
.
CommeADAB
= AEAC
, alors les droites (BC) et (ED)
sont parallèles. »
Quel théorème Alixien a-t-il utilisé ?
b. Trace une figure.
c. La réponse d'Alixien est-elle juste ? Si non,rédige la bonne réponse.
CHAPITRE G1 – THÉORÈME DE THALÈS
20 pas
5 pas
1 pas
193
19 Démontre que les droites (MN) et (ST)sont parallèles.
On donne OM = 2,8 cm ;ON = 5,4 cm ;OS = 2,7 cmet OT = 1,4 cm.
20 ABC un triangle tel que BC = 3,3 cm ;AC = 2,4 cm et AB = 2,5 cm.
a. Réalise une figure. Place le point D sur [AC)tel que CD = 6 cm et le point E sur [BC) tel queCE = 9 cm.
b. Explique pourquoi les droites (ED) et (AB) nesont pas parallèles.
21 Thalès incontournable ?
ABC est un triangle rectangle en A tel queAB = 12 cm et AC = 8 cm.
Le point F est le point du segment [AC] tel queAF = 4 cm et le point E est le point de [AB] telque AE = 6 cm.
a. Dessine une figure en vraie grandeur.
b. Démontre que la droite (EF) est parallèle à ladroite (BC).
22 ABCDEFGH est un parallélépipèderectangle tel que AB = 7 cm ; AD = 3 cm etAE = 2,5 cm.
La figure n'est pasen vraie grandeur.
Le point K appartient à l'arête [GH] et le point Lappartient à l'arête [GF].
On donne GK = 6 cm et GL = 2,6 cm.
Les droites (KL) et (HF) sont-elles parallèles ?Justifie ta réponse.
23 On donne les longueurs suivantes :AB = 6,3 cm ; BC = 4,9 cm ; AE = 16 cm etDE = 7 cm.
Les droites (BD) et (CE) sont-elles parallèles ?Justifie ta réponse.
24 L'unité de longueur choisie est le mètre.
a. Pour x = 2,5, lesdroites (AB) et (CD) nesont pas parallèles. Vrai ou faux ? Expliqueta démarche.
b. Pour x = 1, les droites (AB) et (DC) ne sontpas parallèles.Vrai ou faux ? Explique ta démarche.
25
a. Le triangle ABC estrectangle en A. On donneAB = 6 cm et BC = 10 cm.Démontre que AC = 8 cm.
b. On donne CM = 2,56 cm et CN = 3,2 cm.Explique pourquoi les droites (AB) et (MN) sontparallèles.
26 Extrait du Brevet
Pour consolider un bâtiment, des charpentiersont construit un contrefort en bois.(Sur le schéma ci-dessous, les mesures sont enmètres.)
a. En considérant que le montant[BS] est perpendiculaire au sol,calculer la longueur AS.
b. Calculer les longueurs SM et SN.
c. Démontrer que la traverse[MN] est bien parallèle ausol.
Agrandissements, réductions
27 Pour chaque figure ci-dessous, indique sile triangle OMN est une réduction ou unagrandissement du triangle OAB ou ni l'un nil'autre. Justifie ta réponse.
a. b.
c.
THÉORÈME DE THALÈS – CHAPITRE G1
AD
E
BC
S
1,8
M N
A B
6
sol2,5
1,95
C
A B
MN
O
M
NA
B
A
BD
C
E2
1,5
xx + 2
O
A
B M3
62
5
N
O N
M
A
B
O
M
N
ST
A
C
E
G
194
28 Grandir
a. Construis un parallélogramme RAVI tel queRI = 6 cm ; IV = 4 cm etRIV = 130°.
b. Construis un agrandissement de rapport 54
du parallélogramme RAVI.
c. Quelle est la nature de la figure obtenue ?Justifie ta réponse.
d. Déduis-en la mesure des angles de la figureagrandie. Justifie.
29 Ainsi font font font
Julien souhaite préparer un spectacle demarionnettes en ombres chinoises. Son écranmesure 2 m. Sa marionnette mesure 24 cm.Perché sur une estrade, il tient sa marionnette à30 cm de la lumière, placée sous l'estrade.
À quelle distance de la source de lumièredoit-il placer l'écran pour agrandir samarionnette au maximum ?
31 Extrait du Brevet
On veut réduire la taille de la flèche RE.
Pour cela, on réalise le schéma ci-après danslequel (RE) et (R'E') sont parallèles.
Données :
RE = 8 cm ; OE' = 9 cm ; EE' = 15 cm.
a. Calculer la longueur de la flèche réduite R'E'.
b. Quel est le coefficient de réduction ?
c. En utilisant le même schéma, on veut obtenirune flèche R''E'' dont la longueur est la moitiéde la flèche de départ RE. À quelle distance deO sera placé le nouveau point E'' ?
32 Noir & blanc
La photo ci-dessous représente un agrandisseurpour le tirage des photographies noir et blancargentiques.Une source de lumière est diffusée à travers lenégatif et une lentille appelée objectif. Uneimage agrandie du négatif est alors projetée surun plateau.
Les deux pyramides ci-dessous représentées enperspective schématisent le faisceau delumière.La petite hauteur mesure 10 cm et la grandehauteur mesure 60 cm.
Les formats des négatifs utilisés sont24 mm × 36 mm, 6 cm × 6 cm et 4'' × 5''.(Le symbole '' représente l'unité de longueuranglo-saxonne, appelée inch, qui correspondenviron à 2,54 cm.) Avec chacun des négatifs, quel agrandissementmaximum peut-on obtenir ?
CHAPITRE G1 – THÉORÈME DE THALÈS
R
E E'
R'Dessinde départ
Dessin final(réduction)
O
Négatif
Objectif 10 cm
60 cm
195