Download - TIN206 7 Konsep Dualitas
-
Konsep
Primal - Dual
-
Teori Dualitas
Persoalan Primal dan Dual Persoalan Primal (asli)
Persoalan Dual (kebalikan dari primal)
PRIMAL DUAL
A. Fungsi Tujuan A. Fungsi Tujuan
1. Maksimisasi Laba 1. Minimisasi Biaya
PL gunakan Metode PL gunakan Metode Simpleks (variabel Simpleks Big-M (var.
Slack atau +S) buatan atau +A)
-
Model program linier memiliki 2 bentuk,
yaitu:
Model primal
adalah bentuk asli dari suatu model program
linier
Model dual
adalah bentuk alternatif yang dikembangkan
dari model primal
-
Latar Belakang
Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya.
Satu problem disebut sebagai primal dan yang lainnya disebut dual.
Kedua problem sangat dekat berhubungan, sehingga solusi optimal disatu problem menghasilkan informasi yang lengkap untuk solusi optimal yang lainnya.
-
Kegunaan bagi pengambil keputusan
adalah:
Model Primal akan menghasilkan solusi dalam
bentuk jumlah laba yang diperoleh dari
memproduksi barang ataupun biaya yang
dibutuhkan untuk memproduksi barang.
Model Dual akan menghasilkan informasi
mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang
membatasi tercapainya laba tersebut.
-
Hubungan khusus antara primal
dan dual adalah : Variabel dual Y1 , Y2 , Y3 berhubungan dengan
batasan model primal. Dimana untuk setia batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan.
Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual.
Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel keputusan dual.
Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual.
Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan-batasan .
-
Tabel Primal-Dual PL
PRIMAL
Koefisien
X1 X2 . . . . . . Xn NK
Y1
Y2
Y3
.
Yn
a11 a12 . . . . . . a1n b1 a21 a22 . . . . . . a2n b2 a31 a32 . . . . . . a3n b3
. . . . . . . . ..
am1 am2 . . . . . . amn bm
KOEFISIEN
FUNGSI
TUJUAN
MINIMISASI
NK C1 C2 . . . . . . Cn
KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN
MAKSIMISASI
DU
AL
-
PRIMAL
F/t Max : Z = 2X1 + 3X2
F/k : 5X1 + 7X2 < 35
8X1 + 4X2 < 40
F/s : X1 ; X2 > 0
F/t Max :
Z = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2
F/k : 5X1 + 7X2 + S1 < 35
8X1 + 4X2 + S2 < 40
F/s : X1 ; X2 ; S1 ; S2 > 0
DUAL
F/t Min : Z* = 35X1 + 40X2
F/k : 5X1 + 8X2 > 2
7X1 + 4X2 > 3
F/s : X1 ; X2 > 0
-
PRIMAL
2. Minimisasi Biaya :
PL gunakan Simpleks
Big-M (var.surplus S dan var. buatan +A)
F/t Min : Z = 2X1 + 5X2
F/k : 3X1 + 4X2 > 24
5X1 + 6X2 > 30
F/s : X1 ; X2 > 0
DUAL
2. Maksimisasi Laba :
PL gunakan Simpleks
(variabel slek +S)
F/t Max : Z = 24X1 + 30X2
F/k : 3X1 + 5X2 < 2
4X1 + 6X2 < 5
F/s : X1 ; X2 > 0
-
Keterkaitan Konsep Primal - Dual
Pada Analisa Sensitivitas
Analisa Sensitivitas mencakup investigasi pengaruh solusi optimal dalam melakukan perubahan nilai pada parameter model.
Perubahan nilai parameter pada problem primal juga berhubungan dengan nilai pada problem dual nya.
Dalam banyak hal akan lebih baik menganalisa problem dual secara langsung untuk menentukan pengaruh komplemennya pada problem primal.
-
Definisi Dari Dual Problem
n
j
jjxcX1
0Maksimasi :
0
1
j
i
n
j
jij
x
bxai = 1, 2, , m
j = 1, 2, , n
Pembatas :
-
Dual Problem Dalam Bentuk Kanonik Jika permasalahan mengacu sebagai Primal, hubungan
dalam dualnya adalah sebagai berikut :
m
i
ii yby1
0Minimasi :
0
1
j
j
m
i
iij
y
cxai = 1, 2, , m
j = 1, 2, , n
Pembatas :
y1, y2, , ym : merupakan variabel dual
-
Problem Dual Bila Primal Dalam
Bentuk Standard
Maksimasi
n
j
jjxcx1
0
Pembatas
0
1
j
n
j
ijij
x
bxa i = 1, 2, , m
j = 1, 2, , n
Maksimasi
n
i
ii yby1
0
Pembatas
m
i
jiij cya1
yi tidak dibatasi tanda untuk semua i
j = 1, 2, , n
Primal
Problem
Dual
Problem
-
Problem Dual Bila Primal Dalam
Bentuk Standard
Maksimasi
n
j
jjxcx1
0
Pembatas
n
j
ijij bxa1
i = 1, 2, , m
Maksimasi
n
i
ii yby1
0
Pembatas
0
1
i
m
i
jiij
y
cyaj = 1, 2, , n
i = 1, 2, , m
Primal
Problem
Dual
Problem
xi tidak dibatasi tanda untuk semua i
-
Membentuk Dual Problem dari Primal Problem atau Sebaliknya
Langkahnya sebagai berikut :
1. Tiap batasan di suatu problem berhubungan dengan variabel pada variabel lainnya.
2. Elemen pada RHS pembatas pada suatu problem sama dengan koefisien fungsi obyektif yang sesuai pada problem lainnya.
3. Satu problem empunyai tujuan maksimasi lainnya minimasi.
4. Problem maksimasi mempunyai pembatas ( ) dan minimasi mempunyai pembatas ( ).
5. Variabel untuk kedua problem adalah non-negatif.
-
Contoh :
Maksimasi : X0 = 5 X1 + 6 X2
Pembatas : X1 + 9 X2 60 y1
2X1 + 3 X2 45 y2
5X1 - 2 X2 20 y3
X2 30 y4
X1, X2 0
Minimasi : y0 = 60y1 + 45y2 + 20y3 + 30y4
Pembatas : y1 + 2 y2 + 5y3 60
9y1 + 3 y2 2y3 + y4 45
y1 ,y2 ,y3 ,y4 0
Primal
Problem
Dual
Problem
-
Penyelesaian Dual Simplex
Maksimasi : X0 = 2 X1 + X2
Pembatas : 3 X1 + X2 3
4 X1 + 3 X2 6
X1 +2 X2 3
X1, X2 0
Dengan mengubah fungsi obyektif Maksimasi menjadi
Minimasi dan fungsi pembatasnya menjadi bertanda ,
kemudian dibentuk tabel simpleksnya adalah sbb :
Minimasi : X0 = 2 X1 + X2
Pembatas : -3 X1 - X2 3
- 4 X1 - 3 X2 6
X1 +2 X2 3
X1, X2 0
-
Penyelesaian Dual Simplex
Metoda Simpleks yang biasa, memberikan hasil didasarkan pada kondisi optimalitas dan layak (feasibility), sebagai berikut : Kondisi Layak : Leaving Variabel adalah
variabel basis yang mempunyai nilai paling negatif.
Kondisi Optimalitas : Entering Variabel dipilih diantara non-variabel basis dengan cara Rasio dari koefisien fungsi obyektif dengan koefisien
pembatas yang terpilih sebagai leaving var. Entering Var. adalah salah satu yang mempunyai
rasio terkecil untuk problem minimasi, atau nilai terkecil absolut untuk problem maksimasi.
-
Penyelesaian Dual Simplex
Minimasi : X0 = 2 X1 + X2
Pembatas : -3 X1 - X2 + S1 = - 3
- 4 X1 - 3 X2 + S2 = - 6
X1 +2 X2 + S3 = 3
X1, X2 0
Merubah fungsi pembatas dari Ketidaksamaan kedalam bentuk
Persamaan
-
Penyelesaian Dual Simplex
-3 -1 1 0 0
-4 -3 0 1 0
1 2 0 0 0
Var
Basis
Koefisien dari
X1 X2 S1 S2 S3
2 1 0 0 0
X0 RHS
Ratio bj
-3
-6
3
0
0
0
S1
S2
S3
0 -2 -1 0 0 0
Leaving
Variabel
Menentukan
Rasio
-
Untuk Mendapatkan Entering Variabel
Dengan Memilih Nilai Rasio
Variabel X1 X2 S1 S2 S3
X0 equation -2 -1 0 0 0
S2 equation -4 -3 0 1 0 (leaving var)
Rasio 1/2 1/3
X2 terpilih sebagai entering variabel karena merupakan nilai
terkecil (minimasi problem)
-
Penyelesaian Dual Simplex
-5/3 0 1 -1/3 0
4/3 1 0 -1/3 0
-5/3 0 0 2/3 1
Var
Basis
Koefisien dari
X1 X2 S1 S2 S3
2 1 0 0 0
X0 RHS
Ratio bj
-1
2
-1
0
1
0
S1
X2
S3
2 -2/3 0 0 -1/3 0
Hasil optimal tapi belum feasibel maka dengan cara yang sama
seperti iterasi sebelumnya dilakukan perhitungan untuk
mendapatkan hasil yang optimal dan feasibel.
Leaving
Variabel
-
Penyelesaian Dual Simplex
1 0 -3/5 1/5 0
0 1 4/5 -3/5 0
0 0 -1 1 1
Var
Basis
Koefisien dari
X1 X2 S1 S2 S3
-2 -1 0 0 0
X0 RHS
Ratio bj
3/5
6/5
0
2
1
0
X1
X2
S3
12/5 0 0 -2/5 -1/5 0
Nilai Optimal dan Feasible untuk permasalahan ini adalah :
Maks X0 = Min X0 = 12/5, X2 = 3/5, X2 = 6/5