DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematcke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

TOPOLOGIJA( pismeni deo ispita,septembar 2015)

1. Dati su skupovi X = {a, b, c}, Y = {1, 2, 3, 4, 5} ,kolekcije podskupovaTX = {{a}, {b, c}X, ∅} skupa X, TY = {{2}, {5}, {2, 5}, {1, 2}, {1, 2, 5}{2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}Y, ∅} skupa Y i preslikavanjaf : X −→ Y, f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 3, g : X −→ Y, g(a) = 1, g(b) = 3,g(c) = 5.(a)Dokazati da je kolekcija TXtopologija na skupu X,kolekcija TY toplogijana skupu Y .

(b)Ispitati povezanost i kompaktnost prostora X, Y .

(c)Za podskup A = {1, 2, 3} prostora Y naci intA,A, ∂A,A′.

(d)Ispitati neprekidnost preslikavanja f, g.

(d) Dat je niz (yn)n∈N, yj = j(j ∈ {1, 2, 3, 4, 5}), y2j = 3, y2j+1 = 4(j ∈{3, 4, 5 . . . }) prostora Y .Posmatranjem okolina tacaka 3 i 4 proveriti da lidati niz ima granicnu vrednost i da li je jedinstvena .Sta se moze reci oHausdorfnosti prostora Y ?

10+10+15=35

2. Neka su X, Y, topoloski prostori ,f : X −→ Y bijekcija i f−1 : Y −→ X

neprekidno preslikavanje. Dokazati da je f homeomorfizam ako i samo akoje f−1 zatvoreno preslikavanje.

10+10=20

3. Neka je X topoloski prostor ,A,U podskupovi prostora X ,gde je U otvoreni A zatvoren.Dokazati da je tada (A ∪ U) = A ∪ U, int(A ∩ U) = intA ∩U, ∂A = ∂(X \ A), intA ∪ U ⊆ int(A ∪ U)

10+15=25

4. Ako je (X, d) metricki prostor, ∅ 6= A ⊆ X i ε > 0.Dokazati da je skup{x ∈ X : d(x,A) < ε} otvoren dokazujuci jednakost⋃

{B(a, ε) : a ∈ A} = {x ∈ X : d(x,A) < ε}

gde je B(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) < ε} i d(x,A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}Objasniti zasto tacnost gornje jednakosti implicira da je skup na desnojstrani otvoren!

10+10=20∑= 100

broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10