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MECÁNICA DE MATERIALES
INTEGRANTES: - GAMARRA PAREDES, JONATHAN. - IDROGO AGUILAR, ALEXIS. - ROSADO LUJAN, ANGEL. - RUIZ RUIZ, LUIS EDUARDO.
DOCENTE: - RODRIGUEZ HERRERA, JORGE
TORSIÓN
Demostración de fórmulas del tema de Torsión
Capítulo de Estructuras Indeterminadas
UNIDAD
2
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
MECÁNICA DE MATERIALESMECÁNICA DE MATERIALES
2 - 2
Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Deformación Unitaria.
Deformación Unitaria máxima.
Esfuerzo máximo.
Momento Polar de Inercia.
Barra Circular Maciza.
Tubo Circular.
Ángulo de giro en el rango elástico.
Contenido
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
R L
A
A’
LA
A’
=
*Longitud de Arco
Deformación Unitaria
MECÁNICA DE MATERIALESMECÁNICA DE MATERIALES
2 - 3
Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
Distancia del eje al punto a analizar
Longitud de la barra
< de torsión
Donde:
L
* Ahora, cuando la deformación unitaria es máxima:
Tenemos que,
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
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2 - 4
Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
*Despejando:
*Reemplazando en:
*Obtenemos:
*Deformación Unitaria:
*Tenemos:
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
*Dela Ley de Hooke: *Para el esfuerzo y la deformación a cortante de la sección.*Donde G es el módulo del material.*Ahora, cuando son
máximos:
*Dividiendo:
*Despejando:
*Obtenemos:
*Recordando que la suma de los momentos de las fuerzas elementales ejercidas sobre cualquier sección transversal de eje debe ser igual a la magnitud T de par ejercido sobre el eje.
dAT
*Sabemos que:
*Entonces:
*Tenemos:
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
J
*Reemplazando:
*La integral en el último miembro representa el momento polar de inercia J de la sección transversal con respecto a su centro O.
*De:
*Reemplazamos:
*Constante:
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
*Barra Circular maciza:
*Tubo circular:
44
2 io ccJ
421 cJ
41422
1 ccJ
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
Ángulo de giro en el rango elástico
Permanece elástico = cumple la Ley de Hooke
*De la Ley de Hooke:
*Despejando:
*Igualando:
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2 - 10
Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
MECÁNICA DE MATERIALES
FLEXIÓN
Demostración de fórmulas del tema de Flexión
UNIDAD
2
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
FLEXIÓN
MECÁNICA DE MATERIALESMECÁNICA DE MATERIALES
2 - 12
Flexión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Introducción.
Superficie Neutra.
Eje Neutro.
Deformación Unitaria longitudinal(DUL).
DUL máxima.
Esfuerzo y Deformación.
Explicación de eje Neutro.
Esfuerzo máximo.
Contenido
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
*Recordando de la estática que un par M en realidad consiste de dos fuerzas iguales y opuestas. La suma de las componentes de estas fuerzas en cualquier dirección, es igual a cero. Además el momento del par es el mismo alrededor de cualquier eje perpendicular a su plano y es ceo alrededor de cualquier eje contenido en dicho plano.
=
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2 - 13Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
Flexión
*La superficie neutra interseca el plano de simetría según un arco de círculo AB e interseca una sección transversal a lo largo de una línea recta llamada eje neutro de la sección.
C
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Se
gu
nd
a
Un
ida
d
Flexión
*Longitud de Arco AB:
*Ahora la longitud de Arco CD:
*Entonces tenemos que:
*Sustituyendo:
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2 - 15Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
Flexión
*Deformación unitaria:
*Sabiendo que:
*Reemplazando:
*Obtenemos:
^
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2 - 16Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
Flexión
*Ahora cuando la Deformación unitaria es máxima:
*Entonces:
*Resolviendo y reemplazando
*Obtenemos:
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2 - 17Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
Flexión
Esfuerzo y Deformación
* Se analizan elementos homogéneos y elásticos.
*Ley de Hooke:
*Recordando:
* Reemplazando y multiplicando ambos miembros por E:
Obtenemos:
Módulo de elasticidad
Deformación unitaria es máxima:
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2 - 18Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
Flexión
*Explicación del eje Neutro:
*Constante:
*Primer momento de Inercia
*Cuando pasa por su centroide de la sección transversal
FF
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2 - 19
Flexión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
*De Momentos alrededor del eje Z:
*Sustituyendo:
*Constante:
*Entonces: I
=
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 20Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
MECÁNICA DE MATERIALES
FLEXIÓN
Desarrollo de ejercicio referente al tema de Flexión.
UNIDAD
2
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
FLEXIÓN
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3 - 22Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
• EJEMPLO
La viga de hierro fundido soporta las cargas mostradas en la figura. Si los esfuerzos admisibles son de 48MPa y 120MPa en tracción y compresión, respectivamente, determinar el valor máximo de la longitud del voladizo, sabiendo que la posición racional de la sección transversal de la viga es la mostrada en la figura
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3 - 23Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
CALCULO DE REACCIONES20 KN/m
15 KN15 KN
Ax
By
X X
Ay
4 m
∑ Fx=0Ax=0
∑ Fy=0Ay+By= 15+15+(20*4)
Ay+By= 110……..(I)
∑ MA=0
(15*x)-(20*4*2)+(By*4)-(15*(4+x))=0
By=55 KN………..(II)
15x-160+4By-60-15x=0
Reemplazando en (II) en (I)
Ay+55= 110
Ay=55 KN
A B
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3 - 24Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
20 KN/m
15 KN15 KN
55 KN
X X
55 KN
4 m
DIAGRAMA DE CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
V (KN)+
-
15
15
40
40
-
+ +
--
M (KN-m)-
+
M(I)= 02 m III
15X 15X
15X-40
DIAGRAMA DE MOMENTOS
A B
I
II
M(A)=15*x
M(II)= 15x+1/2(2*40)=15x-40
M(B)=15x-40-(1/2(2*40))=15x
M(III)=15x-(15*x)=0
-
+
RELACION DE TRIANGULOS
X=2m
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3 - 25Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
CENTRO DE GRAVEDAD
EJE BASE7 5
7 5
150
mm
30 m
m
30 mm 30 mm120 mm
CENTROIDES
Ab mm2 yb mm Abyb mm3 I Ab(yb-y)2
1 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25
2 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25
3 (180)(30}=5400 165 891000 405000 17085937.5
∑ 14400 1566000 17280000 27337500
I=bh3
12
y=Abyb mm3
Ab mm2
y=1566000
= 108.75 mm14400
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3 - 26Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
MOMENTO DE INECIA
EJE BASE
7 5
7 5
150
mm
30 m
m
30 mm 30 mm120 mm
CENTROIDES
Ab mm2 yb mm Abyb mm3 I Ab(yb-y)2
1 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25
2 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25
3 (180)(30}=5400 165 891000 405000 17085937.5
∑ 14400 1566000 17280000 27337500
I=bh3
12
IEN= I + Ab(yb-y)2
IEN= 17280000 + 27337500
IEN= 44617500 mm4
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3 - 27Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
POSICION RACIONAL DE LA VIGA
EJE NEUTRO
150
mm
30 m
m
30 mm 30 mm120 mm
Tiene que cumplir las siguientes condiciones:
1. POR AREAS
108.
75m
m71
.25
mm
Asup=(41.25)(30)+(180)(30)+(41.25)(30)=7875 mm2
Ainf=(108.75)(30)+(108.75)(30)=6525 mm2
Por lo tanto la parte superior se encuentra en tracción.
Entonces el momento máximo debe ser negativo.
2. POR MOMENTO MAXIMO
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3 - 28Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
CONDICIONES DE RESISTENCIA
TRACCION
COMPRESION
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3 - 29Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
2.003 3.282
Por lo tanto el valor máximo de “x” es 2.003 m
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3 - 30Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
ida
d
GRACIAS