Download - TPwR_1_2014.pdf
-
1
Techniki Programowania
w Robotyce
Wprowadzenie
Prof. dr hab. Edward Jezierski
Dr hab. in. Grzegorz Granosik
Politechnika dzka, Instytut Automatyki
Cele przedmiotu i efekty ksztacenia
Celem przedmiotu jest przekazanie podstawowej wiedzy dotyczcej sterowania manipulatorw i robotw mobilnych oraz wyrobienie umiejtnoci programowania przykadowych systemw robotycznych.
Student po zaliczeniu przedmiotu potrafi:
1. charakteryzowa podstawowe pojcia z zakresu kinematycznych waciwoci robotw,
2. objania metody planowania trajektorii, 3. opisywa metody programowania robotw. 4. tworzy programy dla robotw przemysowych na poziomie
podstawowym,
5. posugiwa si kilkoma metodami programowania 6. projektowa trajektorie robotw dla okrelonych zada.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 2
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 3
Organizacja przedmiotu, Literatura
Wykad 15 godz e-automatyka.p.lodz.pl (TPwR) Laboratorium 15 godz Laboratorium robotyki E100 robotyka.p.lodz.pl
Granosik G.: Hypermobile robots: concept, construction and control, Wyd. Polit.dzkiej, d 2011.
Jezierski E.: Dynamika robotw. WNT, Warszawa, 2006. Kozowski K., Dutkiewicz P., Wrblewski W.: Modelowanie i sterowanie
robotw. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003. Jezierski E.: Robotyka kurs podstawowy. Wyd. Polit. dzkiej, d, 2002.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 4
Troch historii
Po raz pierwszy terminu robot uy czeski pisarz Karel apek w 1920 roku w swojej sztuce R.U.R. (Rossumovi Universln Roboti). Terminem tym okreli maszyn-niewolnika zastpujc czowieka w najbardziej uciliwych zajciach. Nazwa wywodzi si od czeskiego sowa robota czyli cika praca.
Ojcem robotyki jest nazywany konstruktor
amerykaski George Devol, ktry zbudowa w roku 1954 pierwszy programowalny manipulator,
opatentowany w roku 1956. Bazujc na tym wynalazku firma Unimation w 1960
roku wyprodukowaa jego wersj uytkow i rok pniej zastosowano go w firmie General Motors na linii
produkcyjnej.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 5
Od patentu Devola po roboty humanoidalne "The present invention makes available for the first time a more or less
general purpose machine that has universal application to a vast diversity of
applications where cyclic control is desired - Patent USA No. 2,988,237
Patent USA No. 2,988,237
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 6
Podstawowe definicje (1)
Robotyka to interdyscyplinarna dziedzina wiedzy dziaajca na styku mechaniki, automatyki, elektrotechniki i elektroniki oraz informatyki.
Robotem jest nazywany uniwersalny system techniczny zastpujcy przez swoje dziaanie intelektualne i manipulacyjne funkcje czowieka.
Cechami charakterystycznymi robotw s: 1. uniwersalno polegajca na atwym przystosowaniu go do realizacji
rnych funkcji, 2. moliwo wykonywania pewnych czynnoci automatycznych np.
powtarzanie nauczonych ruchw, podejmowanie decyzji o rodzaju pracy w zalenoci od informacji pochodzcych z otoczenia robota.
-
2
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 7
Podstawowe definicje (2)
Manipulatorem nazywane jest urzdzenie techniczne naladujce manipulacyjne i wysignikowe ruchy ludzkiej rki.
Manipulatorami s np. teleoperatory powtarzajce ruchy rk operatora lub urzdzenia dwigowo-transportowe z bezporednim sterowaniem przez czowieka.
Robotem przemysowym lub robotem manipulacyjnym nazywane jest urzdzenie techniczne przeznaczone do zastpowania czowieka przy wykonywaniu okrelonych czynnoci manipulacyjnych i przystosowane do realizacji rnych, atwo zmienianych programw ruchu manipulacyjno-transportowego.
Roboty przemysowe s obecnie stosowane w procesach produkcyjnych mao- i rednioseryjnych, przy operacjach technologicznych uciliwych lub niebezpiecznych dla czowieka, np.: paletyzacja, monta, spawanie, malowanie, obrbka.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 8
Podstawowe definicje (3)
Robot mobilny to kompozycja rnorodnych fizycznych i informatycznych skadnikw tworzca 4 podstawowe podsystemy: Ruchu (locomotion)
Detekcji (sensing)
Wnioskowania (reasoning)
Komunikacji (communication). Dodatkowo robot mobilny jest wyposaony w ukady wykonawcze odpowiednie do zada jakie ma wykonywa.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 9
Podstawowe definicje (4)
Roboty serwisowe
wykonuj autonomicznie lub czciowo autonomicznie usugi na rzecz czowieka lub jego otoczenia, poza dziaaniami produkcyjnymi (IFR).
s form przejciow w ewolucji od robotw przemysowych do robotw osobistych spodziewanych w cigu najbliszych 15-20 lat.
Roboty serwisowe s mobilne, zrczne, wspoddziauj z czowiekiem (otoczeniem) lub wykonuj autonomiczne dziaania na jego rzecz. Operuj w takich obszarach jak: rozrywka, edukacja, dziaania militarne, usugi biurowe, kontrola i monitoring, rolnictwo, opieka i rehabilitacja, medycyna, dziaania poarnicze i poszukiwawcze, eksploracja (roboty podwodne, kosmiczne, mini- i nanoroboty)
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 10
Pocztki robotyki
1938 pierwszy programowalny mechanizm do malowania DeVilbiss Company
1947 opracowanie pierwszego teleoperatora z serwonapdem elektrycznym
1954 zaprojektowanie pierwszego programowalnego robota przez George'a Devola
1956 zakupienie praw do robota Devola i zaoenie firmy Unimation Company przez Josepha Engelbergera, studenta fizyki na Uniwersytecie Columbia
1961 zainstalowanie pierwszego robota Unimate (do obsugi cinieniowej maszyny odlewniczej) w fabryce General Motors
1971 opracowanie Stanford Arm 1978 opracowanie przez Unimation robota PUMA 1979 opracowanie w Japonii robota SCARA
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 11
Roboty mobilne historia
1970 SHAKEY 1979 Stanford cart 1983 3D One-Leg Hopper 1989 Genghis 1993 DANTE 1997 Nomad 1997 Pathfinder (Sojourner) 2000 Sony AIBO 2000 Honda ASIMO 2003 Mars Exploration Rover 2004 Robosapien
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 12
SHAKEY 1968-1972
Stanford Research Institute
Kamera, skaner laserowy, czujniki zderzakowe
czno bezprzewodowa
Percepcja, tworzenie modelu otoczenia
Mg porusza si jedynie w wysoce ustrukturalizowanych pomieszczeniach
Z wi prdkoci 2m/h
Nazwa pochodzi od szarpanych ruchw
-
3
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 13
Stanford cart 1979
Stanford Research Institute
Kamery do tworzenia map 3D otoczenia
Planowanie cieki, omijanie przeszkd
4-6m/h w 10-15 minutowych zrywach
Komputer pokadowy i wielkie komputery stacjonarne
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 14
3D One-Leg Hopper 1983
MIT LegLab
Pierwszy robot swobodnie skaczcy
1.1m, 17.3kg
Napd hydrauliczno-pneumatyczny
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 15
Genghis 1989
MIT Mobile Robotics Group
Wzorowany na owadach 1kg, 35cm dugoci Czki, inklinometry, czujniki zblieniowe
podczerwieni
4 omiobitowe CPU na pokadzie Sterowanie metod wielowarstwowych
automatw o skoczonych stanach
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 16
DANTE 1993
Carnegie Mellon University
8-nony robot schodzi po stoku krateru Mt Erebus zdalnie sterowany z USA
Wersja II poprawiona i wzbogacona w specjalistyczne czujniki potrafia autonomicznie porusza si w trudnym terenie
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 17
Nomad 1997
CMU
Robot 4 koowy z manipulatorem
Stereowizja, skaner laserowy, radar, GPS, inne czujniki,
zdalnie sterowany
4 komputery pokadowe
725kg, szecian 2.4m
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 18
Pathfinder 1997
NASA JPL
Ldownik i Mars Rover
6-koowy, 10 kg
Zasilanie - baterie soneczne, 83 dni pracy
Prdko maksymalna 0.4m/min, przejecha ok. 100m, wykona 230 manewrw
Czujniki laserowe, stereowizja, odometria, yroskopy, inne czujniki naukowe
Niewielki komputer ok. 0.1 MIPS, 0.5 MB RAM
-
4
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 19
Sony AIBO 2000
Sony Corp.
Potrafi chodzi, kopa, rozpoznaje i ledzi obiekty, omija przeszkody, rozpoznaje, dwiki i wydaje odgosy, rozpoznaje adowark gdy koczy mu si energia
Kamera, wykrywanie krawdzi, czujniki taktylne, czujniki przyspieszenia, wibracji, odlegoci, mikrofon, cze bezprzewodowe
20 DOF, 576MHz 64-bit CPU 64 MB RAM
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 20
AIBO 2003 wersja 7
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 21
Honda ASIMO 2003
120cm wysokoci, 52kg wagi, 1.6km/h
26DOF, yroskopy i akcelerometry, czujniki taktylne
Koszt leasingu 160 000 $/miesic
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 22
ASIMO Asimo Run
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 23
Robosapien 2004
Robot biomorficzny
-
5
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 25
F. przynaleno do generacji robotw: I generacji roboty odtwarzajce,
II generacji roboty wyposaone w system sensoryczny,
III generacji roboty wyposaone w system wizyjny,
IV generacji roboty o sterowaniu adaptacyjnym,
V generacji roboty inteligentne;
G. poziom inteligencji: urzdzenia sterowane rcznie,
roboty o staej sekwencji ruchw,
roboty o zmiennej sekwencji ruchw,
roboty odtwarzajce,
roboty sterowane numerycznie,
roboty inteligentne;
H. poziom jzyka programowania: systemy uczone przez prowadzenie,
systemy programowane na poziomie robota,
systemy programowane na poziomie zadania;
System wizyjny
Podzia robotw
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 26
Podstawowe podzespoy robota
Ukad zasilania Sterownik Ukad sensoryczny Energia
Operator
Manipulator
Zwykle robot przemysowy jest elementem elastycznego systemu produkcyjnego i wsppracuje z urzdzeniami technologicznymi takimi jak podajniki, stoy obrotowe, przenoniki tamowe.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 27
Manipulator
Manipulator jest utworzony przez szereg ogniw poczonych zczami, ktre wsplnie tworz acuch kinematyczny. Poszczeglne zcza s napdzane odpowiednimi zespoami napdowymi, tj. silnikami wraz z przekadniami lub siownikami, ktre zapewniaj ruchy efektora manipulatora w rnych kierunkach. Mona powiedzie, e manipulator wykonuje prac robota przemysowego. Czsto wic pojcia robota i manipulatora s utosamiane, cho nie jest to poprawne.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 28
Ukad zasilania
Ten element skadowy robota przetwarza energi pierwotn dostarczan do robota (najczciej jest to energia elektryczna) na odpowiedni rodzaj energii stosownie do rodzaju zespow napdowych manipulatora.
Zwykle jest to zestaw wzmacniaczy mocy w przypadku robotw z napdami elektrycznymi, bd zewntrzny kompresor (pompa) z zespoem filtrw i zaworw w przypadku zespow napdowych pneumatycznych lub hydraulicznych.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 29
System sensoryczny
System sensoryczny dostarcza sterownikowi robota informacji o stanie manipulatora i jego otoczenia. Sensory stosowane we wspczesnych robotach dziel si na dwie zasadnicze grupy:
sensory wewntrzne, ktre zwizane s z acuchem kinematycznym manipulatora i su do pomiaru wzajemnych przemieszcze i prdkoci poszczeglnych zczy;
sensory zewntrzne, ktre su do pomiarw wzajemnych pooe efektora robota i elementw otoczenia. Przykadami tych sensorw s czujniki zblieniowe, dotykowe czy systemy wizyjne.
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 30
Sterownik
1. przechowuje w pamici sekwencje danych dotyczcych podanych ruchw manipulatora;
2. zbiera i przetwarza informacje z systemu
sensorycznego robota;
3. inicjuje i koordynuje ruchy poszczeglnych zespow napdowych manipulatora;
4. komunikuje si z innymi podzespoami zrobotyzowanego stanowiska.
-
6
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 31
Klasyfikacja ruchw manipulatorw
ruchy globalne - ruchy podstawy manipulatora wzgldem podoa
ruchy regionalne - ruchy podstawowych czonw kinematycznych manipulatora w celu umoliwienia osignicia zadanego punktu w przestrzeni roboczej
ruchy lokalne - ruchy kici w celu uzyskania odpowiedniej orientacji efektora manipulatora
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 32
Struktury kinematyczne manipulatorw ruchy regionalne
manipulator kartezjaski
manipulator cylindryczny
manipulator sferyczny
manipulator typu SCARA
manipulator stawowy
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 33
Manipulator kartezjaski
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 34
Manipulator cylindryczny
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 35
Manipulator sferyczny
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 36
Manipulator typu SCARA
(Selective Compliance Assembly Robotic Arm )
-
7
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 37
Manipulator stawowy
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 38
Ruchy obrotowe kici manipulatora
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 39
Liczba robotw przemysowych w stosunku do liczby ludnoci (2007)
Liczba
mieszkacw
[miliony]
Liczba robotw
przemysowych
[tysice]*
Liczba
mieszkacw/
liczba
robotw
wiat ogem
6 641a
999b
Japonia
Niemcy
USA
127
82
296
400
140
100
320
590
2 960
*) dane szacunkowe IFR; a) roczny przyrost 1,1%; b) roczny przyrost 4,5%
6 650
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 40
Roboty przemysowe stan obecny Cakowita sprzeda w 2005r. 126 700 robotw wzrost o 30% w
stosunku do 2004r.
Rok 2008 to stagnacja na nieco niszym poziomie 113 300 sztuk
Gwne wzrosty w Azji, spadki w Ameryce, stagnacja w Europie
Umocnienie inwestycji pochodzcych z przemysu samochodowego
Due inwestycje sektorw produkcji gumy, plastiku, przemys metalowy i elektroniczny (komunikacja i komputery)
W Europie spadek liczby nowych instalacji w przemyle samochodowym za wzrost (30%) w produkcji ywnoci
Rok 2009 to istotny spadek o 47% do poziomu 60 000 sztuk
Gwnie roboty przegubowe (74 000), kartezjaskie/portalowe (25 000), cylindryczne (15 000), SCARA (10 000)
Ponad 1 000 000 jednostek pracujcych na wiecie
Liczba jednostek pracujcych od roku 1960 = 1 970 000
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 41
Stan obecny
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 42
Stan obecny
-
8
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 43
Ud
zia
r
nyc
h k
raj
w
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 44
Stan obecny Wzrost kosztw pracy 100 179
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 45
Gsto instalacji robotw Japonia 352
Korea 173
Niemcy 171
Wochy 130
Szwecja 117
Finlandia 99
USA 90
EEU
-
9
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 49
Roboty specjalne W tej grupie mona wyrni: roboty medyczne w tym: - rehabilitacyjne
- do maoinwazyjnych operacji medycznych - inteligentne protezy koczyn roboty wojskowe w tym: - do operacji na polu walki
- zwiadowcze
- do rozminowywania
roboty inspekcyjne i policyjne roboty poarnicze i ratownicze roboty usugowe roboty rozrywkowe.
Ocenia si, e liczba tych robotw uytkowanych przez profesjonalistw wynosi obecnie kilkadziesit tysicy, a kilkanacie milionw jednostek uywaj osoby prywatne (roboty usugowe i rozrywkowe).
Aibo, Sony
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 50
Automatic Guided Vehicles
Roboty mobilne do transportu
blokw silnikw wewntrz fabryki
ledz ciek wyznaczon za pomoca kabla
elektrycznego
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 51
HelpMate
Robot mobilny uywany w szpitalach do zada transportowych
Wykorzystuje kamer skierowan na sufit do nawigacji lampy stanowia punkty
odniesienia
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 52
BR700 Cleaning robot
Robot sprztajcy firmy Krcher
Wykorzystuje sonary i
yroskopy do nawigacji
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 53
Tiburon robot podwodny
Zanuenie do 4000m
Koszt budowy 6M$
Teleoperator
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 54
Pioneer
Inspekcja elektrowni w
Czernobylu
-
10
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 55
Platformy badawcze
Pioneer 1
Robot B21
Khepera II
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 56
Pulstech
Przemysowy robot kroczcy do zbierania i
wynoszenia
drzew
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 57
Inspekcja kanalizacji
Robot do inspekcji rur kanalizacyjnych
6 czujnikw zblieniowych podczerwieni, 3 czujniki momentu, czujnik przechylenia, 2 czujniki pooenia w kadym segmencie oraz kamera
MAKROplus
Snake2
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 58
Roboty przegubowe
OmniTread ACM
i inne we
Genbu SlimSlime robot
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 59
Roboty przegubowe
Soryu (S. Hirose) Moira (K. Osuka)
Kohga (F. Matsuno) Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 60
GuideCane
-
11
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 61
Roboty dla gospodarstwa domowego
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 62
Robot osobisty
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 63
Robot przewodnik-informator
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 64
Zwiadowczy
Scout
PackBot
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 65
Roboty serwisowe Human Robot
Interaction HRI (George A. Bekey)
Roboty serwisowe z zaoenia maj bezporedni kontakt z ludmi nie mog ich zrani
Komunikacja za pomoc jzyka naturalnego, gestw, ukadu ciaa
Wsppraca z ludmi i innymi robotami, nauka poprzez naladowanie
Roboty powinny wykrywa i odpowiednio reagowa na emocje wyraone przez jzyk ciaa, gesty, min, ton gosu, dobr sw
Roboty powinny wyraa emocje, wypracowa odczucia estetyczne i etyczne zachowanie aby sta si partnerami ludzi
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 66
Roboty mobilne koa, gsienice czy nogi?
Zalety Wady
Koa Mae opory ruchu. Prosty sposb przenoszenia napdu.
Dostosowane do stosunkowo
gadkiego i sztywnego podoa.
Gsienice
Moliwo stosowania w bardzo trudnym terenie.
Due zuycie energii.
Nogi Moliwo stosowania w kadym terenie.
Mae zuycie energii.
Kopotliwy sposb napdu i sterowania.
OmniTread Univ. of Michigan LandWalker,Sakakibara Japonia NASA Fido Mars Rover
-
12
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 67
Roboty humanoidalne Pierwszy humanoidalny robot (WABOT-1) zosta zbudowany w latach 1970-73 r przez zesp prof. Ichiro Kato w Uniwersytecie Waseda w Tokio. Wikszo z robotw humanoidalnych bya wykonana w celach wycznie badawczych.
Po roku 2000 pojawiy si pierwsze humanoidalne roboty usugowe (przewodnicy, kelnerzy).
Firma Motoman Inc. wyprodukowaa dwurcznego robota SDA 10.
WABOT-1 Motoman SDA 10 Rabbit Honda Asimo Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 68
Robotyka a rodowisko
Sprawno energetyczna robotw przemysowych jest stosunkowo niska, nie przekracza 10%. W robotach specjalnych i usugowych jest jeszcze mniejsza.
Utylizacja robotw jest bardzo powanym problemem. Roboty starzej si w cigu 5 lat, ywotno ich nie przekracza 15 lat.
Roboty w zasadzie nie zanieczyszczaj rodowiska. Jedynym wyjtkiem s roboty o napdach hydraulicznych. Napdy pneumatyczne s haaliwe.
Roboty staj si coraz bardziej estetyczne - zaczynaj dba o urod.
Stubli RX-160
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 69
Notacja skalarw, wektorw, macierzy i zbiorw
Oznaczenie Przykady
Skalary Mae litery a, x, m, t
Wektory Mae litery
pogrubione lub
podkrelone
v, x, f, lub
v, x, f
Macierze Due litery
pogrubione lub
podkrelone
A, X, R lub
A, X, R
Zbiory Due litery X, Y, Z
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 70
Przykady wektorw i macierzy
wektory
x
x
x
xn
1
2
z
y
x
r
r
r
r
macierze
A
a a a
a a a
a a a
m
m
n n nm
11 12 1
21 22 2
1 2
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
rrr
rrr
rrr
R
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 71
Indeksowanie w robotyce
Grny indeks T jest rezerwowany do oznaczenia transpozycji macierzy lub wektora.
Indywidualne indeksy grne poprzedzajce dany symbol s uywane do zrnicowania zbiorw.
Xi Yi Zi Ai x A
i y Ai z
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 72
Wektory w trjwymiarowej przestrzeni
rzeczywistej
X
Z
u
u
ux
y
z
u
Y
Tzyxz
y
x
uuu
u
u
u
u
Tzyxz
y
x
vvv
v
v
v
v
Iloczyn skalarny: zzyyxx vuvuvu vu
Iloczyn wektorowy: w u v
u v u v
u v u v
u v u v
y z z y
z x x z
x y y x
-
13
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 73
Waciwoci wektorw trjwymiarowej
przestrzeni rzeczywistej
uvvuvuTT cosvuvu
sin vuvu
Iloczyn skalarny:
zzyyxx vuvuvu vu
Iloczyn wektorowy:
xyyx
zxxz
yzzy
vuvu
vuvu
vuvu
vuw
vuuv
Techniki Programowania w Robotyce, Jezierski & Granosik 74
Waciwoci wektorw w n-wymia-
rowej przestrzeni rzeczywistej
1.
2.
3.
4.
0aa 0aaa 0
abba )()()( cbcacba aa
Norma Euklidesowa wektora:
n
1i
2
iaaaa
n
1i
iibaba Iloczyn skalarny: