Download - trabalho de Estatistica
Engenharia de Produção
3° Período
Estatística Aplicada II
UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA
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UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA
TRABALHO DE ESTATÍSTICA APLICADA II
Curso de Graduação em Engenharia de Produção
DLAYTON AUGUSTO ARAÚJO DE SABÓIA - 600187611
HENRIQUE SOARES NUNES - 600258396
RENAN MOURA DA COSTA - 600287388
THIAGO DE PAIVA CARDOZO - 600297742
DISTRIBUIÇÃO TEÓRICAS DE
PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS
ALEATÓRIAS DISCRETAS
Orientador: Boris
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SUMÁRIO
1 - Distribuição de Bernoulli...........................................................................................4
2- Distribuição Hipergeométrica....................................................................................4
3 - Distribuição Binomial................................................................................................6
4 - Função da probabilidade...........................................................................................6
5 - Distribuição de Poison...............................................................................................8
EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESOLUÇÃO E COMENTADOS:................9
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DISTRIBUIÇÃO TEÓRICAS DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
1 - Distribuição de Bernoulli
A Distribuição de Bernoulli é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1},
com probabilidades P(0) = 1 - p e P(1) = p. O nome da distribuição se refere ao
cientista suíço Jakob Bernoulli.
Sempre que uma experiência aleatória só tem dois resultados possíveis pode ser
descrita por uma variável aleatória de Bernoulli. Por convenção utilizam-se os
valores 0 e 1 (0 → insucesso, 1 → sucesso) e designa-se por p a probabilidade da
variável assumir o valor 1.
Exemplos de aplicação:
O sexo de um indivíduo;
Pretende-se estudar a incidência de uma certa doença numa certa
população. X pode indicar se a doença está presente (X=1) ou ausente (X=0)
num indivíduo da população (selecionado ao acaso).
O fator Rh do sangue das pessoa (ou é positivo ou é negativo).
2- Distribuição Hipergeométrica
Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição hipergeométrica é uma
distribuição de probabilidade discreta que descreve a probabilidade de se
retirar x elementos do tipo A numa sequência de n extrações de uma população
finita de tamanho N, com K elementos do tipo A e N-K elementos do tipo B, sem
reposição.
Seja N um conjunto tal que existem K elementos do tipo A e N-K elementos do tipo
B. Um conjunto de n elementos é selecionado, aleatoriamente e sem reposição, do
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conjunto de N elementos. A variável aleatória X denota o número de elementos
tipo A. Então, X tem distribuição hipergeométrica e
onde x= 0,1,2,...,min(K,n) e onde refere-se ao coeficiente binomial, o número
de combinações possíveis ao selecionar b elementos de um total a.
Quando o tamanho da população é muito maior do que a amostra (isto é, N é
muito maior que n) a distribuição hipergeométrica é razoavelmente bem
aproximada pela distribuição binomial com parâmetros n (número de tentativas)
e p = K / N (probabilidade de sucesso numa tentativa única).
Um jogo de loteria consiste em selecionar seis dezenas do conjunto de cem dezenas
de 00 a 99, com uma bola para cada dezena e sem reposição. Num volante (cartão
aposta) o jogador pode escolher de 6 a 12 dezenas. Qual é a probabilidade de
acertar-se a quina (5 dezenas) marcando-se 10 dezenas no volante?
Temos:
N: total de dezenas, N = 100
n: total de dezenas sorteadas, n = 6
K: total de dezenas escolhidas, K = 10
X: total de sucessos, queremos X = 5
A probabilidade de se acertar a quina é de aproximadamente 0,0019%.
O interessante é que o mesmo problema pode ser resolvido de outra forma.
Podemos pensar que a escolha aleatória é feita pelo jogador, e que as dezenas
"premiadas" já estão definidas a priori (sem o jogador saber, é claro). Isto é,
existem 2 tipos de dezenas, as "premiadas" e as "não premiadas", e o jogador
escolhe aleatoriamente (ou não, desde que o seu critério de escolha seja
independente das dezenas "premiadas") as 10 dezenas do seu jogo. Assim
N: total de dezenas, N = 100
n: total de dezenas sorteadas/escolhidas pelo jogador), n = 10
K: total de dezenas premiadas, K = 6
6
X: total de sucessos, queremos X = 5
O resultado é o mesmo!
3 - Distribuição Binomial
Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de
probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as
tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso
ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p,
permanece constante.
( x+a )n=∑k=0
n
(nk )xk an−k
4 - Função da probabilidade
Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em
sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e prescrevemos X ~
B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de
probabilidade:
para e onde é uma combinação.
Exemplo:
Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o
número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2
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vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição
binomial de probabilidade:
Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:
Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:
Assim, a resposta é:
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5 - Distribuição de Poison
Função de probabilidade da distribuição de Poison para vários valores de λ.
Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma
distribuição de probabilidade discreta. Ela expressa, por exemplo, a probabilidade
de um certo número de eventos ocorrerem num dado período tempo, caso estes
ocorram com uma taxa média conhecida e caso cada evento seja independente do
tempo decorrido desde o último evento. A distribuição foi descoberta por Siméon-
Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da
probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements
en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em
julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas
variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências
discretas (por vezes chamadas de "chegadas") que tinham lugar durante um
intervalo de tempo de determinado comprimento. A probabilidade de que existam
exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2,) é
onde
e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
k! é o factorial de k,
λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem
num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma
média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que
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ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a
distribuição de Poisson com λ = 10/4 = 2.5.
Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson
pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.
A sua média e a sua variância são iguais a λ.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESOLUÇÃO E COMENTADOS:
4.9.1 Seja X:B(10 , 25 ).Calcular:
Para todas as questões da letra A até G, será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A soma de ”p” e “q” tem que dar 1
X: B (10 , 2/5)
n = 10 , p = 0,40 , q = 0,60
A) P (X = 3)
10 3 . (0,40)3 . (0,60)7 = 0,214990 = 0,21499
B) P (X < 2) = P ( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2)
100 . (0,40)0 . (0,60)10 = 0,006046
10 1 . (0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310 = 0,16729
102 . (0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932
C) P (X > 4) = 1 – P(x < 4) = 1 – (P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3))
10
10
0 . (0,40)0 . (0,60)10 = 0,006046
10 1 . (0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310
1 – 0,382278 = 0,61772102 . (0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932
10 3 . (0,40)3 . (0,60)7 = 0,214990
D) P (X – 2 < 1) = P(x < 1 + 2) = P(X < 3)
100 . (0,40)0 . (0,60)10 = 0,006046
101 .(0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310 = 0,16729
102 .(0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932
E) P(│X - 2 <1) = P( 3 > x >1) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) X – 2 < 1 X – 2 > -1X <3 X >1
10 1 (0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310
102 (0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932 = 0,37623
103 (0,40)3 . (0,60)7 = 0,214990
F) P(3 < X< 5) = P(x = 4) + P(x = 5)
104 . (0,40)4 . (0,60)6 = 0,250822
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= 0,4514810 5 . (0,40)5 . (0,60)5 = 0,200658
G) P(│X - 3│ > 1) = P( 4 < x < 2) = P(x = 3)X – 3 > 1 X – 3 < -1X > 4 X < 2
10 3 . (0,40)3 . (0,60)7 = 0,2150
4.9.3- Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote.Qual a probabilidade de o lote ser aceito?
Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de “p” será o percentual da quantidade de defeituosos com o total da remessa. O valor de “q” será o percentual restante até chegar ao valor de 1 ou 100%. O n é quantidade selecionada que são 20 aparelhos, e desses 20, será aceito o lote se no máximo estiver 1 aparelho defeituoso, ou seja, temos que calcular o P(0) + o P(1), na distribuição binomial.
X: B (20 , 80/800)
n = 20 p = 0,10 p = q = 0,90
P(x = 0) + P(x = 1)
20 0 . (0,10)0 . (0,90)20 = 0,121576
= 0,3917520 1 . (0,10)1 . (0,90)29 = 0,270170
4.9.4- Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como
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resultado obtido observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente divididas, qual é a probabilidade de ter obtido tal resultado?
Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de”p” será o percentual da quantidade de opiniões pró e contras igualmente divididas, ou seja, ½ para “p” e “q”.A soma de ambos será 1 ou 100%. O valor de n será o 40, em que será aplicada na distribuição binomial.
X:B(60;0,5)
n = 60p = 0,50 q = 0,50p(x = 40)
6040 . (0,50)40 . (0,50)20 = 0,003635 = 0,00364
4.9.5 – Um Órgão Governamental credencia a firma A para fazer vistorias em carros recuperados ou construídos particularmente e dar a aprovação ou para que determinado carro possa ser lacrado no DETRAN. Resolve testar se a firma A está trabalhando de acordo com suas especificações. De um lote de 250 carros vistoriados e aprovados por A, escolhe 50 e faz novas vistorias. Se encontrar no mínimo 2 que não mereçam aprovação, descredencia A. Sabendo-se que no lote de 250 carros há 8 carros que foram aprovados irregularmente, qual a probabilidade do descredenciamento?
Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). O valor de “p” será o percentual da quantidade de carros irregulares com o total de carros vistoriados. O valor de “q” será o percentual restante até chegar ao valor de 1 ou 100%. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 50 selecionados, e aplicando 1 – ( p(0)+P(1) ),o número mínimo para o descredenciamento em que será aplicada na distribuição binomial.
n = 50 selecionados
X:B(50;8/250)
p = 0,03 q = 0,97
P (x > 2) = 1 – (P(x<2) = 1 – (P(x=0) + P(x=1))
50 0 . (0,03)0 . (0,97)10 = 0,218065
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50 1 . (0,03)0 . (0,97)10 = 0,337214 1 – 0,555279 = 0,444721
4.9.6-O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com λ=3 ,0. Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de quatro partículas por segundo, qual a probabilidade de isso acontecer em qualquer dado segundo?
Aplicamos a Distribuição de Poison por ser uma distribuição de probabilidade discreta e expressa em um certo número de eventos ocorrerem num dado período tempo, caso estes ocorram com uma taxa média conhecida e caso cada evento seja independente do tempo decorrido desde o último evento. O Lambida é uma constante, em que é dada a média de 3 partículas por segundo. E acima de 4 particulas por segundo, se torna inoperante que significa a função da probabilidade. Quando sinalizado o termo MAIS DE QUATRO, teremos que deduzir 100% menos as distribuições de Poison do P(0) até P(4).
λ=3,0.
P(x > 4) = 1 – P(x < 4) = 1 - (P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4))
P(X=0) = e−3 .30
0 ! = 0,049787
P(X=1) = e−3 .31
1 ! = 0,149361
P(X=2) = e−3 .32
2 ! = 0,224041 1 – 0,815261= 0,184737
P(X=3) = e−3 .33
3 ! = 0,224041
P(X=4) = e−3 .34
4 ! = 0,168031
4.9.7- Uma máquina produz determinado artigo; no fim de cada dia de trabalho ela é inspecionada com a finalidade de se verificar a necessidade, ou não, de ser submetida a ajuste ou reparo.Para tal fim, um inspetor toma uma amostra de 10 itens produzidos pela máquina decidindo por ajuste ao assinalar de um a cinco itens defeituosos, e por reparo, no caso de mas de cinco itens defeituosos . Se a
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máquina está produzindo, em média , 1% de itens defeituosos, determinar a probabilidade , após uma inspeção:
Ajuste – menos que 5 c/ defeito P(x<5)
Reparo – mais que 5 c/ defeito P(x>5)
Media = 1% c/ defeito p = 0,01 q = 0,99
n = 10 itens selecionados
A) De não ser necessário ajuste ou reparo;
P(x=0) =
10 0 . (0,01)0 . (0,99)10 = 0,904382
B) De ser necessário apenas ajuste;
P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5)
10 1 . (0,01)1 . (0,99)9 = 0,091351
10 2 . (0,01)2 . (0,99)8 = 0,004152
10 3 . (0,01)3 . (0,99)7 = 0,000111 = 0,09562
10 4 . (0,01)4 . (0,99)6 = 0,000001
102 . (0,01)5 . (0,99)5 = 0,904382
C) De ser necessário reparo.
P(x=5)
10 5 . (0,01)5 . (0,99)5 = 0,00000002 = 0
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4.9.9- Em um pronto-socorro o número de atendimentos de emergência segue uma distribuição de Poisson com média de 60 atendimentos por hora.Calcular:
A) A probabilidade do pronto-socorro não efetuar nem um atendimento num intervalo de cinco minutos.
Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar quantos atendimentos em 60 minutos, ou seja, 1 atendimento pra cada minuto. Modificaremos a probabilidade para zero atendimento em 5 minutos, ou seja, λ=5 ,0 e 0 é a função da probabilidade
P(X=0) e−5 .50
0 !=0 ,0067379=0 ,006738
B) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10 minutos.
Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar quantos atendimentos em 60 minutos, ou seja, 1 atendimento pra cada minuto. Modificaremos a probabilidade para maior e igual a 2 atendimentos em 10 minutos, ou seja, λ=10,0 e 1- (p(0) + p(1) é a função da probabilidade.
P(X ≥2¿ = 1 – P(X < 2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1))
P(X=0) = e−10¿. 100
0 !¿ = 0,00004539
P(X=1) = e−10¿. 101
1 !¿ = 0,0004539
1 – 0,0004992 = 0,999501
4.9.10- Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há, em média, um estouro de pneu em cada 300 Km, e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson.Qual a probabilidade de que:
A) Num teste de 900 Km haja no máximo um pneu estourado?
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Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 300/900. Aplicaremos no máximo 1 pneu estourado dentro da média prevista, onde, λ=3,0 e p(0) + p(1) é a função da probabilidade.
300900
1x→x=3
P(X ≤1¿ = P(X=0) + P(X=1)
P(X=0) = e−3 .30
0 ! = 0,049787 ;
P(X=1) = e−3¿.31
1 !¿ = 0,149361 = 0,199148
B) Um carro ande 450 Km na pista sem estourar nenhum pneu?
Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 300/450. Aplicaremos 0 pneu estourado dentro da média prevista, onde, λ=1,5 e p(0) é a função da probabilidade.
300450
1x→ x=1,5
P(X=0) = e−1,5 .1,50
0 ! = 0,223130
4.9.11 -Uma fábrica produz isoladores de alta tensão que são classificados como bons e ruins de acordo com um teste padrão. Da produção de um retiram-se 10 isoladores, que no laboratório apresentam-se como sendo 8 bons e 2 ruins.Pede-se calcular a probabilidade deste resultado, admitindo que a máquina produza em média:
A) 95% de bons e 5% de ruins
Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). O valor de “p” será o percentual de isoladores bons. O valor de “q” será o percentual restante até chegar ao valor de 1 ou 100% de isoladores ruins. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 10 isoladores. O 0,958 é a porcentagem de isoladores bons e 0,052 é a porcentagem de isoladores ruins.
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8 . (0, 95)8 . (0, 05)2 = 0,074634 = 0,07463
B)90% de bons e 10% de ruins
Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). O valor de “p” será o percentual de isoladores bons. O valor de “q” será o percentual restante até chegar ao valor de 1 ou 100% de isoladores ruins. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 10 isoladores. O 0,908 é a porcentagem de isoladores bons e 0,102 é a porcentagem de isoladores ruins.
10 8 . (0, 90)8 . (0, 10)2 = 0,193710 = 0,19371
4.9.12-Oito dados são lançados simultaneamente.Seja X o número de vezes que ocorre a face 3, calcule:
p = 1/6.
X:B (8 ; 16
)
A) P(1<X ≤4 )=P(X=2)+P(X=3)+P (X=4)
8 2 . (0, 16)2 . (0, 84)6 = 0,251810 8 3 . (0, 16)3 . (0, 0,84)5 = 0,095927 ¿0 ,370576 83 . (0, 16)4 . (0, 84)4 = 0,022839
B) P(X ≥3¿=1−P (X=0)+P (X=1)+P(X=2)
8 0 . (0, 16)0 . (0, 84)8 = 0,247875 8 1 . (0, 16)1 . (0, 0,84)7 = 0,37771 1 – 0,877456 = 0,1226058 2 . (0, 16)2 . (0, 84)6 = 0,251810
18
C)E(X) = n*p
8 . 16
= 86
= 43
D)VAR(X)
43
. 56
= 2018
= 109
4.9.13- Calcular em 9 lances de uma moeda não viciada a probabilidade que se tenha:
Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A moeda por ser honesta, aplicaremos 50% de chance para os dois lados da moeda, ou seja, p= ½ . O valor de “q”também será o mesmo percentual de p, somados serão 100%. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 9 lançamentos, e aplicando ( p(0)+P(1) + P(2) ),o número menor que 3 caras.
p = 1/2
X:B (9 ;12
)
A) Menos de 3 caras
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
90 . (0, 5)0 . (0, 5)9 = 0,001953
9 = 0,089841 . (0, 5)1 . (0, 5)8 = 0,017578
92 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312
B) Pelo menos 4 caras
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Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A moeda por ser honesta, aplicaremos 50% de chance para os dois lados da moeda, ou seja, p= ½ . O valor de “q”também será o mesmo percentual de p, somados serão 100%. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 9 lançamentos, e aplicando 1- ( p(0)+P(1) + P(2)+ P(3) ).
P(X ≥4¿=1−P (X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P (X=3)
90 . (0, 5)0 . (0, 5)9 = 0,001953
91 . (0, 5)1 . (0, 5)8 = 0,017578
92 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312 1– 0,253905 = 0,7461
93 . (0, 5)3 . (0, 5)6 = 0,164062
C) Exatamente 2 caras
Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A moeda por ser honesta, aplicaremos 50% de chance para os dois lados da moeda, ou seja, p= ½ . O valor de “q”também será o mesmo percentual de p, somados serão 100%. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 9 lançamentos, e aplicando P(2).P(X=2)
92 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312 = 0,070312
4.9.14- Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que atenda:
A) Nenhum cliente em 4 minutos
Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 150/60. Aplicaremos 0 atendimentos em 4 minutos, onde, λ=10,0 e p(0) é a função da probabilidade.
150x60min4min
→ x=10
20
P(X=0) = e−10¿. 100
0 !¿ = 0,000045
B) No máximo dois clientes em 2 minutos
Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 150/60. Aplicaremos 0 atendimentos em 4 minutos, onde, λ=10,0 e a soma de p(0) até p(2) é a função da probabilidade.
150x60min2min
→ x=5
P(X ≤2¿ = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=0) = e−5¿.50
0 !¿ = 0,006737
P(X=1) = e−5¿.51
1 !¿ = 0,033689 = 0,124652
P(X=2) = e−5¿.52
2 !¿ = 0,084224
4.9.16 -Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m. Supondo-se a distribuição de Poisson para os defeitos, qual a probabilidade de que na produção de 1000 m:
Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 250/1000. Aplicaremos 0 defeitos, onde, λ=4,0 e p(0) é a função da probabilidade.
1x250m1000m
→x=4
A) Não haja defeito
P(X=0) = e−4¿. 40
0!¿ = 0,018316
21
B) Aconteçam pelo menos 3 defeitos num período de 80 dias de trabalho a produção diária é de 625 m. Em quantos dias haverá uma produção sem defeito?
P(X ≥3¿ →1 – p(X<3) 1 - P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=1) = e−4¿. 41
1!¿ = 0,073263
P(X=2) = e−4¿. 42
2!¿ = 0,146525 1 – 0,238104 = 0,761896 =6,6 dias
4.9.17- O CRH de uma firma entrevista 150 candidatos a emprego por hora. Qual a probabilidade de entrevistar:
A) No máximo 3 candidatos em 2 minutos?
150x60min2min
→ x=5
P(X ≤3¿ → P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,265024
P(X=0) = e−5¿.50
0 !¿ = 0,006737
P(X=1) = e−5¿.51
1 !¿ = 0,033689
P(X=2) = e−5¿.52
2 !¿ = 0,084224
P(X=3) = e−5¿.53
3 !¿ = 0,140374
B) Exatamente 8 candidatos em 4 minutos?
150x60min4min
→ x=10
P(X=8) = e−10¿. 108
8 !¿ = 0,112599
22
4.9.18 -Seja X:B (300; 0,01). Usando aproximação pela Poisson, calcular:
X:B (300;0,01) x=300 .0 ,01=3
A) P(X=4 )
e−3¿.34
4 !¿ = 0,168031
B) P(X ≥2 ) = 1 – p(X<2) = 1 – p(X=0) + p(x=1)
P(X=0) = e−3¿.30
0 !¿ = 0,049787 = 0,800852
P(X=1) = e−3¿.31
1 !¿ = 0,149361
C) P(1<X ≤4 )=¿P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=2) = e−3¿.32
2 !¿ = 0,224042
P(X=3) = e−3¿.33
3 !¿ = 0,224042 = 0,616115
P(X=4) = e−3¿.34
4 !¿ ¿0 ,168031
4.9.19 -Um inspetor de qualidade recusa peças defeituosas numa proporção de 10% das peças examinadas. Calcular a probabilidade de que sejam recusadas:
A) Pelo menos 3 peças de um lote com 20 peças examinadas?
P(X ≥3) = 1 – p(X<3) = 1 – [ P (X=0) + P(X=1) + P(X=2) ]
P(X=0) = e−2¿.20
0 !¿ = 0,135335
23
P(X=1) = e−2¿.21
1 !¿ = 0,270670 1 – 0,676684= 0,323316
P(X=2) = e−2¿.22
2 !¿ = 0,270670
B) No máximo 2 peças de um lote de 25 peças examinadas?
P(X ≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=0) = e−2¿ ,5
. 2,50
0!¿ = 0,082084
P(X=1) = e−2 ,5
¿.2 ,51
1 !¿ = 0,205212 = 0,543811
P(X=2) = e−2 ,5
¿.2 ,52
2 !¿ = 0,256515
4.9.20- Sendo X:B (200;0,025) e usando aproximação de Poisson calcular:
X:B (200;0,025) x¿200 .0,025=5
A) P(X>4 ) = 1 – p(X<4) =
P(X=0) = e−5¿.50
0 !¿ = 0,006738
P(X=1) = e−5¿.51
1 !¿ = 0,033690
P(X=2) = e−5¿.52
2 !¿ = 0,084224 1 – 0,440493 = 0,559507
P(X=3) = e−5¿.53
3 !¿ = 0,140374
P(X=4) = e−5¿.54
4 !¿ = 0,175467
24
B) P(X=5 )
P(X=5) = e−5¿.55
5 !¿ = 0,1754673 = 0,1754673
C) P(X ≤2 ) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)
P(X=0) = e−5¿.50
0 !¿ = 0,006738
P(X=1) = e−5¿.51
1 !¿ = 0,033690 = 0,124652
P(X=2) = e−5¿.52
2 !¿ = 0,084224
D) P(¿X−2∨¿1 ) = P( 1 < x < 3) = P(x = 2)
X – 2 < 1 X – 2 > -1X < 3 X > 1
P(X=2) = e−5¿.52
2 !¿ = 0,084224
4.9.21- A probabilidade de um atirador acertar no alvo num único tiro é 14
. O
atirador atira 20 vezes no alvo. Qual a probabilidade de acertar:
São 20 tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório
X:B (20,¼) x¿20.14
= 5
A) Exatamente 5 vezes
P(X=5)
20 5 . (0,25)5 . (0,75)15 = 0,202331
25
B) Pelo menos 3 vezes
P(X 3) = 1 – p (X<3) = 1 – (P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)
20 0 . (0,25)0 . (0,75)20 = 0,003171 ;
20 1 . (0,25)1 . (0,75)19 = 0,021141 1 – 0,091259 = 0,908741
20 2 . (0,25)2 . (0,75)18 = 0,066947
C) Nenhuma vez
P(x=0)
20 0 . (0,25)0 . (0,75)20 = 0,003171
D) No máximo 4 vezes
P(X ≤4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
20 0 . (0,25)0 . (0,75)20 = 0,003171 ;
20 1 . (0,25)1 . (0,75)19 = 0,021141 = 0,414839
20 2 . (0,25)2 . (0,75)18 = 0,066947
20 3 . (0,25)3 . (0,75)17 = 0,133895
204 . (0,25)4 . (0,75)16 = 0,189685
26
4.9.22 -De acordo com a Divisão de Estatística Vital do Departamento de Saúde dos EUA, a média anual de afogamentos acidentais neste País é de 3 por 100.000 indivíduos . Determinar a probabilidade de que em uma cidade com 300.000 habitantes se verifiquem:
A) Nenhum afogamento
3x100.000300.000
→x=9
P(X=0) = e−9¿.90
0 !¿ = 0,000123
B) No máximo 2 afogamentos
P¿ 2) → P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=0) = e−9¿.90
0 !¿ = 0,000123
P(X=1) = e−9¿.91
1 !¿ = 0,001110 = 0,006231
P(X=2) = e−9 .92
2 ! = 0,004998
C) Mais de 4 e menos de 8 afogamentos
P(4< X < 8) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
P(X=5) = e−9 .95
5 ! = 0,060726
P(X=6) = e−9 .96
6 ! = 0,091090 = 0,268932
P(X=7) = e−9 .97
7 ! = 0,117116
4.9.23- Em teste com um motor, há falhas em 2 componentes, a cada 5 horas.Qual a probabilidade de que:
27
A) Em 10 horas de teste nenhum componente falhe
2x5horas10horas
→ x=4
P(X=0) = e−4¿
∗40
0!¿ = 0,018316
B) Em 7 ½ horas de teste ocorram no máximo falhas em 3 componentes
P ¿ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
2x57,5→x=3
P(X=0) = e−3¿.30
0 !¿ = 0,049787
P(X=1) = e−3¿.31
1 !¿ = 0,149361
P(X=2) = e−3¿.32
2 !¿ = 0,224041 = 0,647232
P(X=3) = e−3¿.33
3 !¿ = 0,224041
4.9.24- Num lote de 40 peças,20% são defeituosas. Retiram-se 10 peças do lote.Qual a probabilidade de se encontrar :
A) 3 defeituosas
P(X=3)
(83) .(327 )
(4010)=0,222363
28
B) No máximo 2 defeituosas
P ¿ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=0) = (80) .(3210)
(4010) ¿0 ,0761
P(X=1) = (81) .(329 )
(4010) ¿0 ,2647 = 0,688265
P(X=2) = (82) .(328 )
(4010)=0 ,3474
4.9.25- Uma urna contém 8 bolas brancas e 12 bolas pretas.Retiram-se 10 bolas com reposição.Qual a probabilidade de que:
P= 8/20 = 0,40 q = 0,60
A) No máximo 2 sejam brancas
P ¿ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
10 0 . (0,40) 0 . (0,60)10 = 0,006047
10 1 . (0,40) 1 . (0,60)9 = 0,040310 = 0,16729 10 2 . (0,40) 2 . (0,60)8 = 0,120932
B) 3 sejam brancas
P(X=3)
10
29
3 . (0,40) 3 . (0,60)7 = 0,214991
4.9.26- A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa, num dia, é de 0,1.
A) Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela maquina num dia, ocorram 3 defeituosas?
P(x=3)
20 3 . (0,10)3 . (0,90)17 = 0,1901198 =0,190120
B) Qual a probabilidade de que a 18ª peça produzida no dia seja a 4ª defeituosa?
P(x=18) =
17 3 . (0,10) 4 . (0,90)14 = 0,01555621 =0,0155562
C) Qual a probabilidade de que a 10ª peça produzida num dia seja a 1ª defeituosa?
P(x=10) =
(0,90) 9 . 0,10 = 0,0387420 =0,0387420
D) Separa-se um lote de 50 peças das 400 produzidas num dia. Qual a probabilidade de que 5 sejam defeituosas, sabendo-se que das 400, 20 são defeituosas?
P = 20/400 = 0,05, q = 0,95. 50 5 . (0,05) 5 . (0,95)45 = 0,065840 = 0,062105
E) Se a probabilidade da máquina produzir uma peça defeituosa, num dia, fosse de 0,01, qual a probabilidade de se ter no máximo 4 defeituosas em um dia de 500 peças produzidas?
30
média = 0,01
P(x<4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) = 0,44115P(X=0) = e-5. . 50 = 0,006737
0! P(X=1) = e-5. . 51 = 0,033689 1!
P(X=2) = e-5. . 52 = 0,084224 2! = 0,440493
P(X=3) = e-5. . 53 = 0,140373 3!
P(X=4) = e-5. . 54 = 0,175467 4!
4.9.27- Sabe-se que o número de viajantes por veículos tipo VAN em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros n= 10 e p= 0,3(utilize apenas 2 casas decimais).
n = 10 p = 0,3 q = 0,7
A) Calcular o número médio de ocupantes por veículo .
n . p = 10 . 0.3 = 3
B) Qual a probabilidade de que um determinado dia o quinto veículo passar por essa rodovia seja o segundo a transportar mais do que 3 pessoas? = 0,072459
P(x>3) = 1 – P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 1 – 0,423128 = 0,576872
P(X=0) = e-3. . 30 = 0,049787 0! P(X=1) = e-3. . 31 = 0,149361 1!
P(X=2) = e-3. . 32 = 0,224041 2!
P = 0,57 q =0,43
P(x = 5) =
31
4 = 0,440493 1 . (0,57) 2 . (0,43)3 = 0,103327
C) A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira:se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, R$ 4,00; e se tiver mais do que 3 ocupantes,R$ 2,00. Calcular a arrecadação meia diária, sabendo-se que em média passam 300 veículos por dia neste pedágio.
4,00 – 1 veiculo X - 300 veiculos = x = 1.200,00
É o dobro2,00 – 1 veiculo X - 300 veiculos = x = 600,00
Se P(x>3) = 0,57 .1.200 = 684,00
Se P(x = 2 ou 3 ) = 0,22 . 600 = 132,00 = R$816
(1.200 + 600) – 816 = 984,00 = R$1.026,00