Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 1)
CHEBYSHEV
Approximation
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 2)
Remarque
• La courbe d’affaiblissement des filtres de Butterworth varie de façon monotone
• Ceci implique un écart entre spécifications et courbe de gain dans la bande passante sera toujours minimal à la fréquence de coupure et maximal à l’origine
• Cet écart est petit au droit de s et plus grand partout ailleurs en bande atténuée
• Filtre trop bon d’où ordre exagérément élevé
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 3)
Approximation plus efficace Chebyshev Type I
• Diminution du degré: répartition de l’erreur de façon plus uniforme dans la bande passante
• Choix:
• Où le polynôme C oscillerait entre -1 et 1 de sorte que |K(j)|2 oscillerait entre 0 et 2
• Avec n fixé
)()( nCjK
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 4)
Graphe
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 5)
Approximation
• Les polynômes existent• Elle possède des zéros de réflexion en bande passante• Mais pas de zéros de transmission
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 6)
Polynômes
• On appelle polynôme de Chebyshev d’ordre n le polynôme défini par:
1))]((arccoscosh[
1))](arccos(cos[)(
xpourxhn
xpourxnxCn
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 7)
Équation récurrente
1)(
)(
)()(2)(
0
1
11
xC
xxC
avec
xCxCxC nnn
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 8)
Points caractéristiques
1)1( nC
impairnsi
pairnsiCn 0
1)0(
11)(,1 etentrefoisnoscillexCxPour n
croissantsmonotonessontxCxPour n )(,1
10)( 2 etentreextremanprésentexCn
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 9)
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 10)
Ordre
)(arccos
)(arccos
))(arccos(cosh
)(
2
2
222
22
S
S
S
h
hn
hn
jK
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 11)
Fonction de transfert
• n Partie entière
)(1
1)(
)1ln()(arccos
1)(arccos
110
110arccos
22
2
2
10
10
n
S
A
A
CjH
zzzh
h
h
n
M
m
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 12)
Pôles
0)(1 22 j
pCn
H(p)H(-p) a 2n Pôles , sans zéros
Les 2n pôles sont racines de:
Ils appartiennent à une ellipse
)1
(arcsin1
2....1
)cosh()2
12cos()sinh()
2
12sin(
hn
nk
n
kj
n
kpk
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 13)
Comportement Asymptotique
)1(0206,6log20log20
))(1
1log(10)(log20
22
nn
CjH
n
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 14)
Conclusion
• À degré égal, un filtre de Chebyshev présente toujours une atténuation plus grande en bande atténuée qu’un filtre de Butterworth
• Un filtre de Chebyshev a un degré inférieur au Butterworth de mêmes spécifications
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 15)
Chebyshev de type II
• Répartition uniforme en bande atténuée de l’erreur
• On force le passage de la courbe de gain par: 1 rad/sec, -AS dB
)1
()(
nC
jK
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 16)
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 17)
conclusions
• Pour mêmes spécifications, les degrés sont identiques pour Chebyshev de type I et II
• Courbes en amplitude équivalentes
• Leur réponses en phase sont très différentes:– Facteurs de qualité plus élevés pour type I donc des
délais de groupes moins constants en fréquence
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 18)
propriétés
• permet de régler l’amplitude de l’ondulation en bande passante ou atténuée
• Pour Type I: ondulation en bande passante
• Pour Type II: ondulation dans la bande atténuée
1)(1
10
2
2
Hc
pairn
impairnH1
1
1)0( 2
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 19)
Polynômes
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 20)
Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 21)