Download - traitement du signal
UV Traitement du signal
Cours 8
Systèmes linéaires discretsDéfinition et caractérisations (temporelle et fréquentielle)
ASI 3
2TdS
Contenu du cours Introduction
Définition d'un système discret
Classification des systèmes discrets
Caractérisation temporelle des systèmes linéaires discrets Notion de convolution linéaire de signaux discrets
Réponse impulsionnelle d'un système (stabilité, réponse à une entrée quelconque)
Système linéaire discret décrit par une équation aux différences
Réponse fréquentielle des systèmes linéaires discrets Caractérisation des SLID par la fonction de transfert
Transformée en z Définition
Propriétés
SLID et Transformée en z
Pôles et zéros
Stabilité d'un SLID
3TdS
Introduction
Définition d'un système discret
Classification des systèmes Système statique ou sans mémoire
Système dynamique ou avec mémoire
Signal d’entrée x(n)
Système discret T
Signal de sortie ou réponse y(n)
Un système discret est une entité qui réalise la conversion d'une suite discrète {x(n)} en entrée en une autre suite discrète {y(n)} en sortie.
Notation : [ ])()( nxny T=
bnaxny += )()( 2
Exemple
L'échantillon y(n) est fonction des échantillons de l'entrée aux instants antérieurs ou égaux à n et/ou des échantillons de sortie antérieurs à l'instant n
)1()()2()1()( 12
021 −++−+−= nxbnxbnyanyanyExemple
L'échantillon de sortie y(n) à l'instant n ne dépend que de l'échantillon de l'entrée x(n) au même instant
4TdS
Introduction Classification des systèmes
Linéarité
Causalité
Invariance temporelle
Stabilité BIBO (Bounded Input, Bounded Output)
)()()( 2211 nxanxanx += [ ] [ ])()()( 2211 nxanxany TT +=Si alors
La réponse y(n) du système à l'instant n=k0 ne dépend que des entrées x(n) aux instants n≤k0
Si alors [ ])()( nxny T= [ ])()( 00 nnxnny −=− T ?∈∀ 0,nn
)1()()( −−= nxnxny
Exemples
est un système invariant
)()( nnxny = est un système variant
Un système discret est dit stable si en réponse à une entrée bornée, sa sortie est bornée
[ ] yyxx MnxnyMMnxM <=∃⇒<∃ )()(/)(/ T ?∈∀n
5TdS
Convolution linéaire de signaux discrets
Définition
Exemple
On appelle produit de convolution linéaire de deux signaux discrets x(n) et h(n), l'expression
∑∞+
−∞=−=∗
kknhkxnhnx )()()()(
Cas de signaux causaux 0)( ,0)( == nhnx( pour n < 0)
Calculer le produit de convolution linéaire des signaux suivants
10avec)()(
<<Γ=ananh n
∑=
−=∗n
kknhkxnhnx
0)()()()( Ne pas confondre la convolution linéaire et la
convolution circulaire des signaux discrets
h (n)1
n
1
n
x(n)
N-1
6TdS
Convolution linéaire de signaux discrets Exemple (suite et fin)
Posons . Les 2 signaux étant causaux, on a
On distingue 3 cas
0<n
0)( =nz
10 −<≤ Nn
On trouve
11)(
11)(
)1(1
)1(
−−=→
−−=
+−
+−
aanz
aaanz
nnn
)()()( nhnxnz ∗=
∑=
−=n
kknhkxnz
0)()()(
h (-k)
1 1
k
x(k)
N-1
x(k) et h(n−k) n'ont pas d'échantillons non nuls en commun
.)(0
∑=
−=n
k
knanz
1−≥ Nn
h (n-k)
1
k
x(k)
N-1
h (n-k)1
k
x(k)
N-1
.)(1
0∑
−
=
−=N
k
knanz On trouve
111)( −
−
−−=
aaanz
Nn
7TdS
Convolution linéaire de signaux discrets
Propriétés
Commutativité
Associativité
Distributivité par rapport à l'addition
Elément neutre du produit de convolution : impulsion de Dirac
Durée d'un signal issu du produit de convolution linéaire
)()()()( nhnxnhnx ∗=∗
( ) ( ) )()()()()()()()()( nznhnxnznhnxnznhnx ∗∗=∗∗=∗∗
)()()( nxnnx =∗δ
( ) )()()()()()()( nznhnxnhnznxnh ∗+∗=+∗
Si x(n) est de durée N1 et h(n) de durée N2, alors x(n)*h(n) est de durée N1+N2−1
8TdS
Etude de système linéaire invariant discret (SLID)
Caractérisation d'un SLID : réponse impulsionnelle
Avantages de la réponse impulsionnelle
caractérisation complète du système
permet de calculer la sortie du système discret pour des signaux d’entréequelconques en utilisant la convolution linéaire de signaux discrets
La réponse impulsionnelle d'un système discret est sa réponse à une entrée sous forme d'impulsion de Dirac
Système discret T
n
δ(n)
n
h(n)
[ ])()( nnh δT=
9TdS
Réponse d'un SLID à une entrée quelconque Application de la convolution linéaire
Système Tx(n) ?)( =ny
La réponse d'un système discret linéaire invariant à une entrée quelconque x(n) est la convolution linéaire de x(n) avec la réponse impulsionnelle h(n) du système.
Décomposition du signal discret x(n)
[ ])()( nxny T= ⇒Réponse du système
Propriété de linéarité du système discret
Propriété d'invariance temporelle du système [ ] )()( knhkn −=−δT Réponse impulsionnelle décalée
On en déduit ⇒ )()()( nhnxny ∗=
∑∈
−=k
knkxnx )()()( δ
−= ∑
∈kknkxny )()()( δT
[ ]∑∈
−=k
knkxny )()()( δT L'opérateur T [.] agit sur les termes dépendant de la variable temporelle n
∑∈
−=k
knhkxny )()()(
10TdS
Réponse impulsionnelle d'un SLID
Stabilité et réponse impulsionnelle
Causalité et réponse impulsionnelle
Exemple
Stabilité = garantir que la sortie d'un système est bornée si son entrée est bornée
Un système linéaire discret invariant est stable ssi sa réponse impulsionnelle est absolument sommable
+∞<∑∈n
nh )(
Un système linéaire discret invariant est causal ssi sa réponse impulsionnelle h(n) est causale 00)( <∀= nnh
Etudier la causalité et la stabilité du système linéaire caractérisé par la réponse impulsionnelle
)()( nanh nΓ=
Remarque : si le système est causal, on a
∑−∞=
−=∗=n
kknhkxnhnxny )()()()()(
11TdS
Autre caractérisation d'un SLID
Equation aux différences linéaire à coefficients constants
Exemple
Système régi par une équation aux différences d'ordre N
∑∑==
−=−M
rr
N
kk rnxbknya
00)()( ∑∑
==−+−−=
M
r
rN
k
k rnxabknya
any0 01 0
)()()(
Calcul de la sortie du système sans connaissance de la réponse impulsionnelle h(n)
Calcul de la sortie y(n) à partir des N sorties décalées y(n−k), des M entrées décalées x(n−r) et de l'entrée courante x(n). Mais ceci nécessite la connaissance des conditions initiales du système
Avantages
Quelque soit la longueur de la réponse impulsionnelle h(n) (finie ou infinie), le nombre d'opérations nécessaires au calcul de y(n) est fini (comparativement au calcul par convolution linéaire)
)()1()( ncxnayny =−−
12TdS
Autre caractérisation d'un SLID
Equation aux différences linéaire à coefficients constants
N=0
y(n) dépend de l'entrée courante x(n) et des M entrées précédentes x(n−r)
Système à réponse non récursive
La réponse impulsionnelle est finie
On parle de système à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)
N≥1
y(n) dépend de l'entrée courante x(n) , des M entrées précédentes x(n−r) mais aussi des N sorties précédentes y(n−k)
Système à réponse récursive
Système à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)
∑∑==
−=−M
rr
N
kk rnxbknya
00)()(
∑=
−=M
rr rnxbny
0)()(
∑=
−=M
rr rnbnh
0)()( δ
∑∑==
−+−−=M
rr
N
kk rnxbknyany
01)()()(
avec a0=1
13TdS
SLID et Transformée de Fourier à Temps Discret
Réponse fréquentielle des SLID
Système T
)(ny)(nx
)()()( nxnhny ∗=
)( fH : TFTD de la réponse impulsionnelle ou fonction de transfert du système discret
En utilisant le théorème de Plancherel, on a
)().()( fXfHfY =
)( fH
Module )( fH
Argument ( ))(arg)( fHf =φ
: spectre d'amplitude
: spectre de phase
14TdS
Transformée en z (TZ)
Définition
Condition d'existence de la TZ
Exemple
La TZ est la généralisation de la TFTD. Soit un signal discret x(n). Sa TZ est définie par
Calculer la TZ de
avec
La transformée existe si la série converge. L'ensemble des valeurs de la variable complexe z pour lesquelles la série converge est appelée Région De Convergence (RDC)
∑∞+
−∞=
−=n
nznxzX ).()( ?∈z
+∞<∈= ∑∞+
−∞=
−
n
nznxzRDC ).(/
)()( nnx Γ=
∑∞+
−∞=
−=n
nznxzX ).()( ∑∞+
=
−=0
)(n
nzzX ∑−
=
−+∞→
=1
0lim)(
N
n
nN
zzX
111lim)( −
−
+∞→ −−=
zzzX
N
N La limite est finie si i.e. 11 <−z 1>z 111)( −−
=z
zX pour 1>z
15TdS
Transformée en z
Région de convergence
Remarques
Signal défini à droite
Signal défini à gauche
00 0)(/ nnnxn <∀=∃(signal causal pour n0=0)
De façon générale, on montre que la RDC est un anneau de convergence défini par
∞+≤≤≤≤ 210 rzr
avecn
nnxr /1
1 )(lim+∞→
= etn
nnxr /1
2 )(lim −
+∞→−=
Re(z)
Im(z)
RDC
r1
r2
RDC = région extérieure au cercle de rayon r1
+∞=2r
00 0)(/ nnnxn >∀=∃
(signal anticausal pour n0=0)
01 =rRDC = disque de rayon r2
Re(z)
Im(z)
RDC
r2
Re(z)
Im(z)
r1
RDC
16TdS
Transformée en z : propriétés
Linéarité
)()()()( zbYzaXnbynax +→+ ?∈∀→− −00 )()( 0 nzXznnx n
Soit x(n), un signal discret. Soit X(z) sa TZ avec la RDC : 21 rzr ≤≤
La RDC est au moins l'intersection de la RDC de X(z) et de la RDC de Y(z)
Décalage temporel
Changement d'échelle en z
→ azXnxan )(
RDC : 21 razra ≤≤
Dérivation en z
dzzdXznxn )()( −→
La RDC est identique à l'exception de restrictions éventuelles en z=0 et z=∞
La RDC est identique à l'exception de restrictions éventuelles en z=0 et z=∞
Théorème de la valeur finale
Produit de convolution
)().()()( zYzXnynx →∗
La RDC est au moins l'intersection de la RDC de X(z) et de la RDC de Y(z)
)()1(lim)(lim1
zXznxzn
−=→+∞→
Retournement du temps)()( 1−→− zXnx
12
11rzr ≤≤RDC :
17TdS
Transformée en z : propriétés
Transformée en z inverse
Intégrale de Cauchy
Décomposition en éléments simples
Développement en série de puissance
TZ et Transformée de Fourier à Temps Discret (TFTD)
∫ −=C
dzzzXjnx n 1)(21)( π
∑=i
i zXzX )()( ∑=i
i nxnx )()( Les Xi (z) sont des fonctions à TZ-1 connues
∑∞+
−∞=
−=n
nn zczX )( ncnx n ∀=)( Si X (z) peut être décomposé en série
alors x(n) est le coefficient associé à z-n
Hypothèse : on suppose que le cercle unité (|z|=1) ∈ RDC de X (z).
On restreint le calcul de X(z) au cercle unité en posant fjez π2=
)().()( 2 fXenxzXn
fnj == ∑∞+
−∞=
− π La transformée de Fourier à temps discret (TFTD) d'un signal est sa transformée en z évaluée sur le cercle unité
fjezzXfX π2)()( ==
(|z|=1) ∈ RDC
18TdS
Transformée en z
Exemples Calculer la TZ et la région de convergence associée des signaux suivants :
+∈Γ= ?ananx n ),()(
banbnanx n
n<
−≤−≥= avec
1,0,)(
)()()( nNnnx −Γ−Γ=
19TdS
∑
∑
=
−
=
−
== M
r
rr
N
k
kk
zb
za
zXzYzH
0
0)()()(
Transformée en z et systèmes linéaires discrets
Caractérisation par la réponse impulsionnelle
Caractérisation du SLID par une équation aux récurrences
Equation aux récurrences :
La fonction de transfert H(z) a la forme d'une fraction rationnelle : )()()( zD
zNzH =
N(z) et D(z) : polynômes en z-1 de degrés respectifs M et N
Système T
)(ny)(nx
h(n) : réponse impulsionnelle du système
)()()( nxnhny ∗=
)().()( zHzXzY =
∑∑==
−=−M
rr
N
kk rnxbknya
00)()(
En utilisant la propriété de décalage temporel de la TZ, on a : )()(00
zXzbzYzaM
r
rr
N
k
kk
=
∑∑=
−
=
−
01
1
01
1)(azazabzbzbzH N
N
MM
++++++= −−
−−ou
20TdS
Pôles et zéros – stabilité d'un système discret causal
Fonction de transfert H(z) et stabilité d'un système discret causal
Causalité
Stabilité
Conclusion
Un système discret linéaire et causal est stable ssi tous les pôles de H(z) sont à l'intérieur du cercle unité
Le système est causal ssi la RDC de H(z)est l'extérieur d'un disque ⇒ λi ∈ au disque
{ }rzzRDC >∈= ,?
Un système linéaire discret est stable ssi sa FT H(z) converge sur le cercle unité
{ } RDCzz ∈=∈ 1,?+∞<∑∈n
nh )( ⇔
)()()( zD
zNzH = Les pôles sont les racines λi ∈ du polynôme D(z)
Pôles d'un système discret
H(z) diverge (H(z) = ∞) pour z=λi ⇒ λi ∉ RDC de H(z)
Remarque : Les zéros sont les racines du polynôme N(z)
Zéros d'un système discret
{ }rzzi ≤∈∈ ,?λ
21TdS
Réponse d'un système LTI par la TL
Exemple
Soit le système caractérisé par : . Déterminer)()(6)()(2
2txtydt
tdydt
tyd =++
la réponse impulsionnelle du système
la réponse indicielle (réponse à l'échelon). Dans ce cas, préciser la valeur de la sortie y∞
22TdS
Réponse d'un système LTI par la TL
Exemple (suite et fin)
23TdS
Conclusion
Caractérisation d’un système linéaire continu par :
relation entre x(t) et y(t) [équation différentielle]
réponse impulsionnelle h(t)
réponse fréquentielle H( f )
transmittance complexe H(s)
Fonction de transfert H(s)
Réponse impulsionnelle
h(t)
Equation différentielle
ububyayay 0101 +=++
24TdS
)()()()()()( 0)1(
1)(
0)1(
1)( txbtxbtxbtyatyatya m
mn
n +++=+++
aveci
ii
dttydy )()( =
)()()()( tutVdttdiLtRi c =++
On en déduit :)()( tutx =Entrée du système :
Lois de l'électricité
∫= tc diCtV 0 )(1)( ττ ⇒ )()( tVCti c=
)()()()( tutVtVRCtVLC ccc =++
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
L
)()( tVty c=Sortie du système :
(dérivée d'ordre i)
25TdS
Convolution
Propriétés (suite et fin)
Distributivité par rapport à l'addition
⇒
26TdS
Etude d'un système linéaire invariant discret (SLID) Caractérisation d'un SLID : réponse impulsionnelle
La plus courante : équation différentielle linéaire à coefficients constants
Généralement m ≤ n Caractérisation complète du système par la connaissance des coefficients
Sortie y(t) calculable par la connaissance de x(t)
Exemple
27TdS
Systèmes et transformée de Fourier
Réponse fréquentielle des systèmes LTI
Système)(ty)(tx
Si le signal d'entrée est quelconque, on peut l'exprimer sous la forme d'une somme infinie d'exponentielles complexes : c'est la TF inverse
[ ])()( txty S= ⇒
)( fY
∫+∞
∞−= dfefXtx ftj π2)()(
[ ]∫∞+
∞−= dfefXty ftj π2)()( S (linéarité du système)
En vertu du résultat précédent [ ] ftjftj efXfHefX ππ 22 ).().()( =S
∫∞+
∞−= dfefXfHty ftj π2).().()( (définition de la TF inverse de Y)⇒
)().()( fHfXfY =)()()( txthty ∗= ⇒ H ( f ) : fonction de transfert
(TF de la sortie y)
28TdS
Systèmes et transformée de Fourier
Représentation fréquentielle des systèmes LTI
Relations entrée-sortie en fréquentiel
Système)(ty)(tx
)().()( fHfXfY =
H ( f ) : représentation fréquentielle du système
Simplicité de la relation entrée/sortie en fréquentiel La représentation fréquentielle illustre l'aptitude du système à faire passer une
composante fréquentielle présente dans le signal d'entrée
)( fH
Module )( fH
Argument ( ))(arg)( fHf =φ
)().()( fHfXfY = ⇒
)(.)()( fHfXfY =
( ) ( ))(arg)()(arg fXffY += φ
Densité spectrale d'énergie )().()( fSfSfS hhxxyy =
Module
Argument
29TdS
Théorème de Plancherel
La transformée de Fourier d'un produit de convolution est un produit simple et réciproquement
Systèmes et transformée de Fourier
)().()()( fYfXtytx ↔∗
)()()().( fYfXtytx ∗↔
30TdS
Exemples
Tachymètre
Entrée : Vitesse d'un véhicule v(t)
Sortie : Position angulaire de l'aiguille θ (t)
Propriétés : linéaire, causal, invariant
Exemple de système
non linéaire : hauteur d’une vague en fonction du vent non causal : retour vers le futur non invariant : parcmètre, modulation d'amplitude
Dans la suite, on étudiera les systèmes monovariables continus linéaires à temps invariant (systèmes LTI)
31TdS
TL de quelques signaux usuels
Impulsion de Dirac δ(t)
Echelon unité Γ(t)
( ) 1)( =tδL
Rampe ou échelon de vitesse
Signal sinusoïdal
≥
<=Γ
01
00)(
t
tt
)(tΓ
1
)(tδ
( ) st 1)( =ΓL
)()( tttv Γ=v(t)
( ) 21)(s
tv =L
( ) 0sin)( ≥+= tttx ϕω
( ) 22cossin)(
ωϕωϕ
++=
sstxL
t
t
t
t
32TdS
Classification des systèmes Linéarité
Si alors
Causalité
Invariance temporelle
Stabilité BIBO (Bounded Input, Bounded Output)
)()()( 2211 nxanxanx += [ ] [ ])()()( 2211 nxanxany TT +=
Si alors [ ])()( nxny T= [ ])()( 00 nnxnny −=− T
Un système discret est dit stable si en réponse à une entrée bornée, sa sortie est bornée
[ ] yyxx MnxnyMMnxM <=∃⇒<∃ )()(/)(/ T
La réponse du système y(n) à l'instant n=k0 ne dépend que des entrées x(n) aux instants n≤k0 et des sorties passées y(n) telles que n<k0
33TdS
Divers
Soit x(n) un signal discret de support [a, b]Soit h(n) un signal discret de support [c, d]x(n)*h(n) est un signal discret de support [a+c, b+d]
Systèmes Linéaires Discrets
Aspects fréquentiels des SLID