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UNIDAD 1:
TRANSFERENCIA DE CALOR
Dependencia del tiempo: Estado transiente
Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Química y Biotecnología
IQ46B - Operaciones de Transferencia I
Profesor: Tomás Vargas Valero
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Introducción
• En general la temperatura de los cuerpos varía en función del tiempo y la posición
tzyxT ,,,
Hasta ahora considerada
despreciable
(ESTADO ESTACIONARIO)
Si consideramos variaciones de temperatura respecto al tiempo podemos tener dos casos:
Una pequeña esfera de cobre sacada del interior
de un horno (SIN VARIACIÓN ESPACIAL DE T)
Un trozo de carne siendo asada en el horno
(CON VARIACIÓN ESPACIAL DE T)
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Sistema sin variación espacial
¡Generalizamos el sistema!
Sólido de forma arbitraria
En t = 0 el sólido de coloca en un medio a T
Ti < T
T = T(t)
En un diferencial dt el balance de energía será:
Energía transferida
al cuerpo en dt
= Aumento de energía
del cuerpo en dt
dTcmdtTTAh ps
, donde m = ∙V, y además dT = d(T - T)
dt
cV
Ah
TT
TTd
p
s
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Sistema sin variación espacial
Entonces tendremos que:
tb
TT
TtT
i
exp
p
s
cV
Ahb
Constante de tiempo [1/s]
TtTAhtQ s
ip TtTcmtQ
ip TTcmQ max
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¿Cuándo podemos aplicar este modelo?
Sistema sin variación espacial
PASO 1. Largo característico
s
cA
VL
PASO 2. Número de Biot
k
LhBi c
o también,
T
T
Lk
hBi
c
/
(convección en la superficie del cuerpo)
(conducción dentro del cuerpo) Bi = 0, aproximación perfecta
Bi < 0,1, aproximación aceptable
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Ejemplo N° 1. Prediciendo su tiempo de muerte…
Sistema sin variación espacial
Una persona fue encontrada muerta a las 5 p.m. en una habitación a 20 °C. La temperatura del
cuerpo es 25 °C y el coeficiente de transferencia de calor por convección del aire se estima en
h = 8 W/m2-°C. Modelando el cuerpo como un cilindro de 30 cm de diámetro y 1,7 m de largo,
estime el tiempo de muerte de la persona.
CkgJc
mkg
CmWk
p
178.4
996
617,0
3
Consideraciones:
- La persona estaba saludable al momento de morir por lo cual su temperatura corporal era
de 37 °C
- Si se considera que el ser humano está compuesto por un 72% de agua (% masa), entonces
a la temperatura promedio [(37 + 25)°C/2] las propiedades termodinámicas son:
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Ejemplo N° 1. Prediciendo su tiempo de muerte…
Sistema sin variación espacial
Una persona fue encontrada muerta a las 5 p.m. en una habitación a 20 °C. La temperatura del
cuerpo es 25 °C y el coeficiente de transferencia de calor por convección del aire se estima en
h = 8 W/m2-°C. Modelando el cuerpo como un cilindro de 30 cm de diámetro y 1,7 m de largo,
estime el tiempo de muerte de la persona.
mrLr
Lr
A
VL
s
c 0689,022 2
00
2
0
1,089,0
k
LhBi c
151079,2
s
cV
Ahb
p
s
tbTT
TtT
i
exp ht 2,12
¡MODELO NO APLICABLE!
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Sistema con variación espacial
En t = 0 temperatura de los cuerpos igual a Ti
Pared plana Cilindro Esfera
-Se comienzan a enfriar en t = 0 (T < Ti)
-Simetría respecto a ejes vertical o centro del cuerpo
¿Qué importancia puede tener esto?
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Sistema con variación espacial
Ecuaciones en derivadas parciales: resolvamos el balance para una barra de metal
0 L
T(x,t) T(x+dx,t)
Fourier
xxx dx
dT
dx
dTAkQ
A
Energía interna
dt
dTcmQ p
xAm
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Sistema con variación espacial
Ecuaciones en derivadas parciales: resolvamos el balance para una barra de metal
0 L
t
Tc
x
Tk p
2
2
Extenderlo a dos o tres dimensiones es aplicar la misma metodología…
Veamos la solución de este problema para una placa plana que está
a 0 °C y se calienta en t = 0 a 100 °C (bordes a temperatura continua)
Soluciones del tipo
0
,,m
m txTtxT
Tm obtenidos con variables separables
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Sistema con variación espacial
Ya se han desarrollado soluciones analíticas de los sistemas especificados…
Se definen parámetros adimensionales (pared plana, por ejemplo)
TT
TtxTtx
i
,,Temperatura adimensional
Distancia adimensional desde
el centro L
xX
Coeficiente adimensional de
transferencia de calork
LhBi
Tiempo adimensional
2L
t
Para cilindros y esferas:
Lo mismo reemplazando L
por r0
Aproximaciones para > 0,2
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Sistema con variación espacial
L
xA
TT
TtxTtx
i
pared12
11 cosexp,
,
Pared plana
Cilindro
Esfera
0
10
2
11 exp,
,r
rJA
TT
TtrTtx
i
cilindro
0
1
0
1
2
11 exp,
,
r
r
r
rsen
ATT
TtrTtx
i
esfera
A1 y 1 dependen del número de Biot
J0 función de Bessel
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Sistema con variación espacial
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Sistema con variación espacial
1
1,0
max
1
sen
Q
Qpared
pared
Pared plana
Cilindro
Esfera
También podemos tener relaciones de calor:
1
11,0
max
21
J
Q
Qcilindro
cilindro
3
1
111,0
max
cos31
sen
Q
Qesfera
esfera
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Ejemplo N° 2. Cociendo huevitos…
Sistema sin variación espacial
Un huevo se puede considerar como una esfera de 5 cm de diámetro. Inicialmente el huevo está
a una temperatura uniforme de 5 °C y se deja caer en agua hirviendo a 95 °C. Tomando el
coeficiente de transferencia de calor por convección como h = 1.200 W/m2-°C, determine cuánto
tiempo transcurrirá para que el centro del huevo llegue a 70 °C
CkgJc
mkg
CmWk
p
178.4
993
627,0
3
Consideraciones:
-Si se considera que el huevo está compuesto por un 74% de agua (% masa), entonces
a la temperatura promedio [(5+70)°C/2] las propiedades termodinámicas son:
pc
k
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Ejemplo N° 2. Cociendo huevitos…
Sistema sin variación espacial
Un huevo se puede considerar como una esfera de 5 cm de diámetro. Inicialmente el huevo está
a una temperatura uniforme de 5 °C y se deja caer en agua hirviendo a 95 °C. Tomando el
coeficiente de transferencia de calor por convección como h = 1.200 W/m2-°C, determine cuánto
tiempo transcurrirá para que el centro del huevo llegue a 70 °C
8,470
k
rhBi
9958,1;0753,3 11 A
209,0exp
,, 2
11
ATT
TtrTtx
i
esfera
Mayor que 0,2 (nos salvamos…)
2
0r
t min4,14t
Pero Biot exacto es:
9,153
0
k
rhBi
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