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Transformaciones de funciones
Obteniendo funciones nuevas a partir de funciones conocidas
Analicemos la función f(x) = x3 - x Intentaremos introducir cambios en esta función para obtener otras nuevas.
Podemos distinguir:
a) Cambios que afectan a la variable
Ejemplos:
b) Cambios que afectan a la función
Ejemplos:
)1()1()1(
)2()2()2(3
3
xxxf
xxxf
11)(
2)(23
3
xxxf
xxxf
Los valores de la variable se representan en el eje horizontal. Por lo tanto , los cambios que afecten a la variable modificarán el aspecto horizontal de la gráfica de la función.
Similarmente, los valores de la función se representan en el eje vertical. Por ende, los cambios que afecten a la función modificarán el aspecto vertical de la gráfica.
Existen básicamente tres tipos de transformación que analizaremos:
a) Desplazamientos en dirección horizontal y vertical.b) Dilataciones y compresiones en dirección horizontal y vertical.c) Reflexiones alrededor del eje x y del eje y.
Desplazamientos (1)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que agregar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia arriba.
xxxf 3)(
11)( 3 xxxf
Desplazamientos (1)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que agregar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia arriba.
xxxf 3)(
11)( 3 xxxf
Si c > 0, f(x) + c desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia arriba
Desplazamientos (2)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que restar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia abajo.
xxxf 3)(
11)( 3 xxxf
Desplazamientos (2)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que restar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia abajo.
xxxf 3)(
11)( 3 xxxf
Si c > 0, f(x) - c desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia abajo
Desplazamientos (3)
5,1 ó 5,0 ó 5,0 si mismo lo es que lo o
15,0 ó 05,0 ó 15,0 si
0)5,0()5,0()5,0( 3
xxx
xxx
xxxf
Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Para ello observamos que
Y por lo tanto
Observamos que los ceros de la función f(x – 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la derecha con respecto a los de f(x).
xxxf 3)(
)5,0()5,0()5,0( 3 xxxf
1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf
Desplazamientos (3)
5,1 ó 5,0 ó 5,0 si mismo lo es que lo o
15,0 ó 05,0 ó 15,0 si
0)5,0()5,0()5,0( 3
xxx
xxx
xxxf
Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Para ello observamos que
Y por lo tanto
Observamos que los ceros de la función f(x – 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la derecha con respecto a los de f(x).
xxxf 3)(
)5,0()5,0()5,0( 3 xxxf
Si c > 0, f(x – c) desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia la derecha
1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf
Desplazamientos (4)
5,0 ó 5,0 ó 5,1 si mismo lo es que lo o
15,0 ó 05,0 ó 15,0 si
0)5,0()5,0()5,0( 3
xxx
xxx
xxxf
1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf
Similarmente, dada nuestra función
Tratamos de obtener la gráfica de
Recordemos que
Y por lo tanto
Observamos que los ceros de la función f(x + 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la izquierda con respecto a los de f(x).
xxxf 3)(
)5,0()5,0()5,0( 3 xxxf
Desplazamientos (4)
5,0 ó 5,0 ó 5,1 si mismo lo es que lo o
15,0 ó 05,0 ó 15,0 si
0)5,0()5,0()5,0( 3
xxx
xxx
xxxf
1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf
Similarmente, dada nuestra función
Tratamos de obtener la gráfica de
Recordemos que
Y por lo tanto
Observamos que los ceros de la función f(x + 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la izquierda con respecto a los de f(x).
xxxf 3)(
)5,0()5,0()5,0( 3 xxxf
Si c > 0, f(x + c) desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia la izquierda
Dilataciones y compresiones (1)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que multiplicar por dos, por lo que la gráfica se estirará en un factor de 2 en la dirección vertical.
xxxf 3)(
xxxf 32)(2
Dilataciones y compresiones (1)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que multiplicar por dos, por lo que la gráfica se estirará en un factor de 2 en la dirección vertical.
xxxf 3)(
xxxf 32)(2
Si c > 1, cf(x ) estira la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección vertical.
Dilataciones y compresiones (2)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que dividir por dos, por lo que la gráfica se comprimirá en un factor de 2 en la dirección vertical.
xxxf 3)(
2/2/)( 3 xxxf
Dilataciones y compresiones (2)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que dividir por dos, por lo que la gráfica se comprimirá en un factor de 2 en la dirección vertical.
xxxf 3)(
2/2/)( 3 xxxf
Si c > 1, f(x)/c comprime la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección vertical.
Dilataciones y compresiones (3)
5,0 ó 0 ó 5,0 si mismo lo es que lo o
12 ó 02 ó 12 si
0)2()2()2( 3
xxx
xxx
xxxf
Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Para ello observamos que
Y por lo tanto
Observamos que los ceros de la función f(2x) aparecen a la mitad de la distancia al origen con respecto a los de f(x).
xxxf 3)(
)2()2()2( 3 xxxf
1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf
Dilataciones y compresiones (4)
5,0 ó 0 ó 5,0 si mismo lo es que lo o
12 ó 02 ó 12 si
0)2()2()2( 3
xxx
xxx
xxxf
Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Para ello observamos que
Y por lo tanto
Observamos que los ceros de la función f(2x ) aparecen a la mitad de la distancia al origen con respecto a los de f(x).
xxxf 3)(
)2()2()2( 3 xxxf
1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf
Si c > 1, f(cx) comprime la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección horizontal.
Dilataciones y compresiones (4)
Si c > 1, f(x/c) dilata la gráfica de f(x) en un factor de c unidades en la dirección horizontal.
Si similarmente analizáramos la función f(x/2) = (x/2)3 – (x/2), llegaríamos a que:
ReflexionesPara analizar las reflexiones usaremos otra función, f(x) = 2x - x2
Reflexiones (1)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que cambiar el signo: lo que era negativo se volverá positivo, y viceversa.
Ello indica que la gráfica de –f(x) será la misma de f(x) pero reflejada alrededor del eje x.
22)( xxxf
22)( xxxf
Reflexiones (1)Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que cambiar el signo: lo que era negativo se volverá positivo, y viceversa.
Ello indica que la gráfica de –f(x) será la misma de f(x) pero reflejada alrededor del eje x.
22)( xxxf
22)( xxxf
La expresión –f(x) refleja la gráfica de f(x) alrededor del eje x.
Reflexiones (2)
2 ó 0 si mismo lo es que lo o
2 ó 0 si
0)()(2)( 2
xx
xx
xxxf
Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Para ello observamos que
Y por lo tanto
Observamos que los ceros de la función f(-x ) aparecen a la misma distancia al origen con respecto a los de f(x), pero en el semieje opuesto; esto es, reflejados respecto al eje y.
22)( xxxf
2)()(2)( xxxf
2 ó 0 si 02)( 2 xxxxxf
Reflexiones (2)
2 ó 0 si mismo lo es que lo o
2 ó 0 si
0)()(2)( 2
xx
xx
xxxf
Dada nuestra función original
Tratamos de obtener la gráfica de
Para ello observamos que
Y por lo tanto
Observamos que los ceros de la función f(-x ) aparecen a la misma distancia al origen con respecto a los de f(x), pero en el semieje opuesto; esto es, reflejados respecto al eje y.
22)( xxxf
2)()(2)( xxxf
2 ó 0 si 02)( 2 xxxxxf
La expresión f(– x) refleja la gráfica de f(x) sobre el eje y.