![Page 1: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/1.jpg)
Transformacje Fouriera*
podstawowe własności
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015*podejście mało formalne
![Page 2: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/2.jpg)
Transformacja Fouriera - wstęp
Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości
W podobny sposób funkcje zdefiniowanie w domenie położenia możemy przedstawiać w domenie częstości przestrzennych (wektora falowego)
Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czylina wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału
![Page 3: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/3.jpg)
Obie domeny są równoważne, ale ….
Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości
Dodajemy „biały” szum
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
W tym przypadku domena częstotliwości jest dużo „wygodniejsza”
![Page 4: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/4.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
k0
k
r(r)
A(q)
Przykłady bezpośredniej realizacji transformacji Fouriera
Rozpraszanie Elementy optyczne
Obraz rozproszenie jest transformatą Fouriera obiektu
Obraz w tylnej płaszczyźnie ogniskowej jest TF obrazu w przedniejpłaszczyźnie ogniskowej
![Page 5: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/5.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Iloczyn skalarny (rzut)
![Page 6: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/6.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Pewne całki z funkcjami sinus i kosinus
Zatem, składowe fourierowskie są niezależne [funkcje sin/cos są ortogonalne]Te własności czynią transformacje Fouriera użytecznymi/możliwymi
Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czylina wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału
![Page 7: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/7.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prosta zagadka 1
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2
która z poniższych całek jest większa?
![Page 8: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/8.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009
Prosta zagadka 1
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1<I2
I1 I2
która z poniższych całek jest większa?
![Page 9: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/9.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009
Prosta zagadka 2
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2g(x)=cos(x) g(x)=cos(5x)
f(x) - gauss
![Page 10: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/10.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prosta zagadka 2
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2
I1>I2
g(x)=cos(x) g(x)=cos(5x)
f(x) - gauss
![Page 11: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/11.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prosta zagadka 3
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2
g(x)=cos(5x) g(x)=sin(5x)
f(x) - gauss
![Page 12: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/12.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009
Prosta zagadka 3
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2
I1>I2 I2=0
g(x)=cos(5x) g(x)=sin(5x)
f(x) - gauss
![Page 13: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/13.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Definicja transformacji Fouriera
Rozkład funkcji na funkcje harmoniczne: sinus i cosinus
2p/k
x
F(k) – jest także funkcją[w przestrzeni odwrotnej]W ogólności jest funkcją zespoloną!
![Page 14: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/14.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Terminologia
Transformacja Fouriera – operacja na funkcji
Transformata Fouriera – funkcja uzyskana po zastosowaniu transformacji
![Page 15: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/15.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Konwencja
Generalnie:
nasza
Mathematica
Wolfram MathWorld
Inne
Uwaga 1: Mathematica umożliwia liczenie w dowlolnej konwencjihttp://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
Uwaga 2: Pewne transformaty i tożsamości zależą od konwencji.Tutaj warto użyć Wiki [generalnie zawsze z rozwagą!]: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
![Page 16: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/16.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Odwrotna transformacja Fouriera
Transformacja Fouriera:
Mając do dyspozycji F(k) dla wszystkich wartości k możemy odzyskać (czyli zrekonstruować )oryginalną funkcję f(x) !
Odwrotna transformacja:
Jest to jedna z najważniejszych cech transformacji Fouriera!!!!
![Page 17: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/17.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prezentacja
Transformata Fouriera jest funkcją zespoloną!
część rzeczywista część urojona amplituda faza
![Page 18: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/18.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
f(x) rzeczywiste to F(k)=F*(-k)
f(x) urojone to F(k)=-F*(-k)
f(x) rzeczywiste i f(x) = f(-x) to F(k) rzeczywiste i F(k)=F(-k)
f(x) rzeczywiste i f(x) =- f(-x) to F(k) urojona i F(k)=-F(-k)
Symetria i „rzeczywistość”
![Page 19: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/19.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Delta Diraca
„Robocza” definicja
Symboliczny „wykres”Wysokość jest miarą stałej mnożącej deltę.
Własności
![Page 20: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/20.jpg)
Delta Diraca – definicja przez granicę
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
![Page 21: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/21.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcjiAby zilustrować pewne podstawowe własności transformaty Fouriera poznajmy najpierw transformaty „podstawowych” funkcji
kolory -Re, Im
k=k0
k=01
-1
1
0
Stała wartość (np. tło) występuje dla k=0
k=0
k=0
![Page 22: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/22.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
k=k0k=-k0
k=k0
k=-k0
kolory -Re, Im
k=0
k=0
![Page 23: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/23.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
Gauss
DxDk
Transformata Fouriera gaussa jest gaussem. Mała lokalizacja w przestrzeni rzeczywistej oznacza dużą lokalizację w przestrzeni odwrotej.
[por. Heisenberg]
kolory -Re, Im
k=0
![Page 24: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/24.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
x=1/2x=-1/2
0
1
Bardzo ważna funkcja. Granice w całce Fouriera są nieskończone. Funkcja prostokątna często służy do opisu sygnałów zlokalizowanych w przestrzeni lub
w czasie [jako czynnik mnożący]
Funkcja prostokątna
kolory -Re, Im
k=0
![Page 25: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/25.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
kolory -Re, Im
![Page 26: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/26.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
kolory -Re, Im
x=0 k=0
-1/2
1/2
0
![Page 27: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/27.jpg)
Grzebień Diraca
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
![Page 28: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/28.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Funkcje periodyczne i szeregi Fouriera
Funkcja periodyczna z okresem :
Zdefiniujmy:
Taką funkcję można zapisać jako szereg:
Obliczmy jej transformatę:
Otrzymujemy:
![Page 29: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/29.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Licznenie – np. Mathematica
![Page 30: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/30.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Ogólne własności - liniowość
k=0
![Page 31: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/31.jpg)
Ogólne własności – skalowanie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
×
![Page 32: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/32.jpg)
Ogólne własności - przesunięcie
x=x0
kolory –Re, Im, |…|
x=x0
Cała informacja o przesunięciu zawarta jest w fazie. Nie wpływa ono na amplitudę!Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
![Page 33: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/33.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Ogólne własności – twierdzenie o mocy
Uwaga: spełnione nie dla wszystkich konwencji!
![Page 34: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/34.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Splot
Ważna operacja: sygnał + poszerzenie aparaturowe, rozmycie obrazów
![Page 35: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/35.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Ważny splot
![Page 36: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/36.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Twierdzenie o splocie
Transformata Fouriera splotu funkcji jest proporcjonalna do iloczynu transformat Fouriera tych funkcji !!!
Pozwala to na łatwe obliczanie splotu
Analogicznie
Transformata Fouriera iloczynu funkcji jest splotem transformacji Fouriera tych funkcji !!!
![Page 37: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/37.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Przykład 1
0
1
![Page 38: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/38.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Przykład 2
Typowy przykład: impuls o podstawowej częstość w (energii E) i skończonej długości Dt ma rozmycie energetyvze DwDE 1/Dt
![Page 39: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/39.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Twierdzenie o korelacji i autokorelacji(szczegółowa dyskusja póżniej)
Definicja korelacji
Autokorelacja
Twierdzenie
Łatwy sposób na liczenie
![Page 40: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/40.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Dyskretna transformacja Fouriera – dane eksperymentalne
W eksperymencie dyskretnie próbkujemy ciągły sygnał:
x
L
f(x)
Całka Fouriera jest wtedy aproksymowana sumą
![Page 41: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/41.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
![Page 42: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/42.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
![Page 43: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/43.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
![Page 44: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/44.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
![Page 45: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/45.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
![Page 46: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/46.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
![Page 47: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/47.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Twierdzenie Shannona o próbkowaniu
Jeżeli próbkowana funkcja jest ograniczona pasmowo tzn. jejtransformata Fouriera jest zero powyżej pewnej częstości kc
to funkcje i jej transformatę można bezstratnie odzyskać stosując próbkowanie Nyquista D=p/kc
kc
D=p/kc
-kc
![Page 48: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/48.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Szybka transformacja Fouriera
Dyskretna postać transformacji [uwaga inna konwencja!]
N2 operacji
N punktów
N1 x N2 punktów
N12 x N2
2 operacji
1D
2D
FFT (N całkowita liczba danych)
1D N2 Nlog2(N)2D N4 2 N2 log2(N)
Przykład N=1000 [macierz 1024x1024]
N4=1012
2 N2 log2(N)=2x107
Pozwala na niesamowite przyspieszenie obliczeń
W FFT macierz wyjściowama taki sam wymiar jak macierz wejściowa:konsekwencja twierdzenia Shannona
![Page 49: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/49.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacja Fouriera w n-wymiarach
![Page 50: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/50.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacja Fouriera w 2D
![Page 51: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/51.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prosty przykład w 2D
(0,0)
(-k0,0) (k0,0)
(0,0)
(-k0, -k0)
(k0, k0)
kx
ky
kx
ky
x
x
y
y
![Page 52: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/52.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Przykład – filtracja przestrzenna
![Page 53: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/53.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Wizualizacja zespolonych funkcji 2D
Dowolna zespolona funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych [np. zespolony obraz]
Zwykle do wizualizacji używamy dwóch obrazów
Sposób 1: Część rzeczywista i urojona Sposób 2: Moduł i faza
![Page 54: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/54.jpg)
Sposób 2
0
1
0
2p
Problemy ze skokami fazy : funkcja arctan lub arctan2 zwraca kąt [–p/2,p/2] lub [-p/p]Nie widać amplitudy
Sposób 1
-1
1
-1
1
kx
ky
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
![Page 55: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/55.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Kolor nienasycony[prawie biały]szerokie widmo
HSV (hue, saturation,value) – barwa, nasycenie, jasnośćOdzwierciedla fizyczną percepcję kolorów
Alternatywny sposób opisu kolorów
Nasycenie
Długość fali [nm]
Kolor nasycony [czysty czerwony]wąskie widmo
Barwa
Długość fali [nm]
Widmo światła widzialnego
Model HSV
RGB [red,blue,green] – mieszanie kolorów podstawowych
![Page 56: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/56.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prezentacja HS(V=1)
Re f
Im f
f
| f |
| f | odpowiada saturacji [zero to biały]f odpowiada barwie
0 - rzeczywiste, dodatnie
180 - rzeczywiste, ujemne [dopełnienie RGB czerwonego]
90 - urojone, dodatnie
270 - urojone, ujemne
![Page 57: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/57.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Przykłady
rzeczywisty gauss rzeczywisty kosinus urojony sinus
![Page 58: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/58.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
W tym obszarze brak koloru białegoFunkcja nie ma zer!
![Page 59: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/59.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
|F |
Im F
Re F
kx
ky
Superpozycja prostopadłych fal Prążki: tylko odległość.
f
F Zera (biały):sinus lub cosinus.Symetria względem tej prostej !
Brak zer w tym kierunku!Czysto zespolone wartości!Mała symetria.
Trochę bardziej skomplikowana funkcja
![Page 60: Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf · 2015-05-13 · Transformacje Fouriera* podstawowe własności Optyka rentgenowska -](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022050122/5f52510614bd015cf710f61e/html5/thumbnails/60.jpg)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Kevin Cowtan's Picture Book of Fourier Transformshttp://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/fourier.html