UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICE-RECTORADO ACADEMICO
DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
AREA DE MATEMATICAS
TRANSFORMADA FRACCIONARIA DE FOURIER
Y SU APLICACION EN WATERMARKING DIGITALTrabajo presentado como requisito parcial para optar al ingreso al Escalofon Universitario.
Lic. Silvino Jesus Rodrıguez PulidoAsesorado por el Prof. Hector Martınez
Puerto Ordaz, Diciembre de 2007.
Resumen
En este trabajo se estudian aspectos teoricos de la transformada fraccionaria de Fourier
(FrFT), por sus siglas en ingles, ası como su aplicacion en las marcas de aguas digitales
(watermarking). En el primer capıtulo se presentan la integral Gaussiana, los polinomios de
Hermite y las funciones Hermite Gaussianas, las cuales son entidades matematicas que estan
relacionadas con la FrFT, ademas se muestran la definicion y las principales propiedades de
la transformada clasica de Fourier. En el siguiente capıtulo se define la FrFT, se presenta
y demuestran las principales propiedades del nucleo de esta transformada, se calcula la
transformada de algunas funciones basicas, ademas se establecen y demuestran propiedades
y reglas operacionales de la FrFT. Finalmente se hace una introduccion al tema de las marcas
de agua digitales, se realiza en MatLab la implementacion de un algoritmo propuesto en un
artıculo el cual usa la FrFT y se muestran los primeros resultados experimentales obtenidos
de las pruebas realizadas con este algoritmo.
i
Dedicatoria y Agradecimientos
Dedicatoria:
A mi esposa e hijos.
A la memoria de mi padre y de mi abuela.
Agradecimientos:
A Dios por bendecirme para llegar hasta donde he llegado.
A mi amada esposa Lismar por su constante apoyo y su confianza.
A mis hijos Salvador Jesus y Carmen Victoria por su comprension, paciencia y motivacion.
A mi tutor, Prof. Hector Martınez, por compartir conmigo sus conocimientos y su tiempo.
Al Prof. Orlando Baisdem, mi companero de la lınea de investigacion, por su consecuente
respaldo y ayuda.
Al Area de Matematicas y en especial al Prof. Domingo Quijada por su continuo apoyo y
preocupacion.
ii
Indice general
Introduccion 1
1. Preliminares 3
1.1. La Integral Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Funciones Hermite Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Propiedades de los Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Funciones Hermite Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Propiedades de las Funciones Hermite Gaussianas . . . . . . . . . . . 11
1.3. Funcion Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Algunas Propiedades de la Funcion Delta de Dirac . . . . . . . . . . . 14
1.4. Transformada Clasica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1. Propiedades de la Transformada Clasica de Fourier . . . . . . . . . . 16
2. Transformada Fraccionaria de Fourier (FrFT) 18
2.1. Propiedades del Kernel de la Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
iii
2.2. Transformada Fraccionaria de Fourier de algunas funciones bascas . . . . . . 33
2.3. Propiedades de la Transformada Fraccionaria de Fourier . . . . . . . . . . . 46
2.4. Autofunciones de la Transformada Fraccionaria de Fourier . . . . . . . . . . 50
2.5. Reglas Operacionales de la Transformada Fraccionaria de Fourier . . . . . . 54
3. Aplicacion de la Transformada Fraccionaria de Fourier en Watermarking 70
3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3. Inicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5. Caracteristicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6. Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Conclusiones 81
Anexos 82
Referencias 92
iv
Indice de cuadros
2.1. Transformada Fraccionaria de Fourier de algunas funciones basicas . . . . . . 34
v
Indice de figuras
1.1. Graficas de los primeros 6 polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Interpretacion geometrica para la transformada clasica de Fourier . . . . . . 16
2.1. Graficas del Kernel de la FrFT con α = aπ2
(parte real) . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = δ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = eiπ(χx2+2λx) con χ = λ = 12
. . . . 37
2.5. Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = e−π(χx2+2λx) con χ = λ = 12
. . . 38
3.1. Esquema del proceso de watermarking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2. Esquema para ocultar una foto dentro de otra como una watermarking. . . . 74
3.3. Ejemplo de una marca de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4. Coeficientes de la FrFT para una marca de agua . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5. Coeficientes de la FrFT para una marca de agua con diferentes angulos . . . 80
vi
Introduccion
Los primeros trabajos sobre la Transformada Fraccionaria de Fourier fueron realizados
por N. Wiener en 1929 [21], H. Weyl en 1930, E. U. Condon en 1937 [5] y H. Kober en 1939
[11], entre otros, pero fue el trabajo de Victor Namias en 1980 [15] que dio inicio a un gran
auge en el estudio de este tema. Luego le siguieron trabajos como el de A.C. McBride y F.H.
Kerr en 1987 [14], el de L.B. Almeida en 1994 [1]. En 2001 fue publicado el unico libro que
existe en el tema hasta ahora. Sus autores son Ozaktas, Zalevsky y Kutay [16].
En la comunidad cientıfica internacional algunos investigadores dedican esfuerzo a tra-
bajar en aspectos teoricos de la FrFT, y que han servido de base a otros que trabajan en
diferentes campos de aplicaciones tales como: mecanica cuantica, sistemas opticos, analisis
y procesamiento de senales, y mas recientemente, watermarking.
Esta transformada es un operador lineal que generaliza a la transformada clasica de
Fourier.
Como se sabe, toda transformada integral realmente es un operador lineal que asocia una
funcion f dada, con ciertas caracterısticas, a un nucleo a traves de una integral. En el caso
de la FrFT el nucleo esta definido por cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α)).
Se analizaron y demostraron las propiedades de este nucleo las cuales se omiten en la
mayorıa de los artıculos relacionados con el tema. Ademas se realizaron algunos calculos que
1
no aparecen en ninguna de las publicaciones revisadas. Por otra parte, se realizo el estudio
de las propiedades y las reglas operacionales de la FrFT.
Finalmente, en el tema de aplicaciones se hizo un esbozo sobre la aplicacion de la FrFT a
la watermarking, el cual es un problema abierto que se estudiara en futuras investigaciones.
2
Capıtulo 1
Preliminares
En este capıtulo se exhibiran diferentes formas de la integral Gaussiana ası como la
definicion y las principales propiedades de las funciones Hermite Gaussianas y de la funcion
delta de Dirac, las cuales jugaran un papel importante en varias demostraciones de este
trabajo. Tambien se incluye la definicion y las propiedades de la transformada clasica de
Fourier.
1.1. La Integral Gaussiana
La integral Gaussiana, tambien conocida como la integral de probabilidad (distribucion
Normal), es la integral sobre la recta real de la funcion de Gauss
I =
∫ ∞
−∞e−x2
dx. (1.1)
Ahora se realizara el calculo de la integral dada en (1.1).
Sea
I 2 =
(∫ ∞
−∞e−x2
dx
)2
=
∫ ∞
−∞e−x2
dx
∫ ∞
−∞e−y2
dy (1.2)
3
donde la variable auxiliar x se cambio por y en la segunda integral.
La ecuacion (1.2) se puede escribir como:
I 2 =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞e−x2−y2
dxdy (1.3)
Haciendo el siguiente cambio de variables
x = r cos θ, y = r sen θ, x2 + y2 = r2, dx dy = r dr dθ.
Se puede escribir la ecuacion (1.3) como
=
∫ 2π
0
∫ ∞
0
e−r2
r dr dθ
=
∫ 2π
0
(Limk→∞
[−1
2e−r2
]k
0
)dθ
=
∫ 2π
0
1
2dθ
I 2 = π
entonces ∫ ∞
−∞e−x2
dx =√
π.
Haciendo un procedimiento analogo se tiene que:
∫ ∞
−∞e−cx2
dx =
√π
c, con c ∈ R, c > 0. (1.4)
Se observa que con un simple cambio de variables, por ejemplo k = x±b, se puede comprobar
que cualquier traslacion en la funcion de Gauss no afecta al resultado anterior, es decir
∫ ∞
−∞e−c(x±b)2dx =
√π
c, con b, c ∈ R, c > 0.
4
De lo anterior se puede demostrar que:
∫ ∞
−∞e−ct2−btdt =
√π
ce
b2
4c , con b, c ∈ R, c > 0. (1.5)
Demostracion:
se sabe que:
−ct2 + bt = −c
((t− b
2c
)2
− b2
4c2
)
entonces
∫ ∞
−∞e−ct2+btdt =
∫ ∞
−∞e−c
((t− b
2c)2− b2
4c2
)dt
=
∫ ∞
−∞e−c(t− b
2c)2+ b2
4c dt
=
∫ ∞
−∞e−c(t− b
2c)2
eb2
4c dt
= eb2
4c
∫ ∞
−∞e−c(t− b
2c)2
dt
(i)= e
b2
4c
√π
c.
(i): usando la ecuacion (1.4).
En el Capıtulo 2 se usaran casos mas generales de la integral Gaussinana descrita en
(1.5), como lo son:
∫ ∞
−∞e−ct2±btdt =
√π
ce
b2
4c , con c, b ∈ C y Re(c) > 0. (1.6)
o ∫ ∞
−∞e±iπ(ct2±2bt)dt =
ñi
ce∓iπb2
c , con c, b ∈ R y c > 0. (1.7)
5
La diferencia entre ambas formulas es que en (1.7) los coeficientes son numeros imaginarios
puros, mientras que en (1.6) son numeros complejos en general.
Se usaran (1.6) o (1.7) dependiendo de los coeficientes involucrados en las integrales a re-
solver.
1.2. Funciones Hermite Gaussianas
En esta seccion se presentaran la definicion y las principales propiedades de las funciones
Hermite Gaussianas, tambien se probara mas adelante que estas funciones son las eingefun-
ciones (funciones propias) de la trasformada fraccionaria de Fourier.
1.2.1. Polinomios de Hermite
Los Polinomios de Hermite estan definidos de la siguiente manera
Hn(x) = (−1)nex2 dn
dxne−x2
, con n ≥ 0. (1.8)
y son conocidos como las soluciones de la ecuacion diferencial de Hermite
y′′ − 2xy′ + 2ny = 0.
Aquı se entiende qued0
dx0f(x) = f(x).
6
Los primeros Polinomios de Hermite son:
H0(x) = 1 (1.9)
H1(x) = 2x (1.10)
H2(x) = 4x2 − 2
H3(x) = 8x3 − 12x
H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12
H5(x) = 32x5 − 160x3 + 120x
Para la grafica de estos polinomios ver Figura 1.1 en la pagina 11.
1.2.2. Propiedades de los Polinomios de Hermite
1. Derivada de los polinomios de Hermite:
d
dxHn(x) = 2nHn−1(x) (1.11)
2. Formula de Recurrencia 1:
Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x) (1.12)
3. Formula de Recurrencia 2:
Hn(x) =
(2x− d
dx
)Hn−1(x)
4. Simetrıa:
Si n es par (impar), entonces Hn(x) es una funcion par (impar)
7
A continuacion se demostraran estas propiedades
se inicia con la Propiedad N◦ 1
Demostracion:
d
dxHn(x) =
d
dx
((−1)nex2 dn
dxne−x2
)
=d
dx
((−1)nex2
) dn
dxne−x2
+ (−1)nex2 d
dx
(dn
dxne−x2
)
= (−1)n2xex2 dn
dxne−x2
+ (−1)nex2 dn
dxn
(−2xe−x2
)(1.13)
pero se tiene que
dn
dxn
(−2xe−x2
)=
n
0
d0
dx0(−2x)
dn
dxne−x2
+
n
1
d
dx(−2x)
dn−1
dxn−1e−x2
+
+
n
2
d2
dx2(−2x)
dn−2
dxn−2e−x2
+ . . . +
n
n
dn
dxn(−2x)
d0
dx0e−x2
= −2xdn
dxne−x2 − 2n
dn−1
dxn−1e−x2
(1.14)
entonces se puede expresar (1.13) como
= (−1)n2xex2 dn
dxne−x2
+ (−1)nex2
(−2xdn
dxne−x2 − 2n
dn−1
dxn−1e−x2
)
= −(−1)n2nex2 dn−1
dxn−1e−x2
= 2n(−1)n−1ex2 dn−1
dxn−1e−x2
= 2nHn−1(x).
Ası se concluye a qued
dxHn(x) = 2nHn−1(x).
8
Nota 1.1 En esta demostracion se uso la Regla de Leibniz para la derivada n-esima de un
producto de dos funciones, la cual establece que:
dn
dxn(f g) =
n∑
k=0
n
k
dk
dxkf
dn−k
dxn−kg.
y se uso el hecho que dk
dxk (−2x) = 0 para todo k ≥ 2.
Se continua con la Propiedad N◦ 2
Demostracion:
Hn+1(x) = (−1)n+1ex2 dn+1
dxn+1e−x2
= (−1)n+1ex2 dn
dxn
d
dxe−x2
= (−1)n+1ex2 dn
dxn− 2xe−x2
Usando (1.14) se puede escribir que
Hn+1(x) = (−1)n+1ex2
(−2xdn
dxne−x2 − 2n
dn−1
dxn−1e−x2
)
= −(−1)n+12xex2 dn
dxne−x2 − (−1)n+12nex2 dn−1
dxn−1e−x2
= 2x(−1)nex2 dn
dxne−x2 − 2n(−1)n−1ex2 dn−1
dxn−1e−x2
= 2xHn(x)− 2nHn−1(x).
Se sigue con la Propiedad N◦ 3
Demostracion:
Hn(x) = 2xHn−1(x)− 2(n− 1)Hn−2(x)
= 2xHn−1(x)− d
dxHn−1(x)
=
(2x− d
dx
)Hn−1(x).
9
Nota 1.2 Aquı primero se uso la Propiedad 2 y luego la Propiedad 1 para Hn(x).
Finalmente se demuestra la Propiedad N◦ 4
Demostracion:
Partiendo de la definicion de los polinomios de Hermite dada en (1.8) y usando la regla de
la cadena se llega a que
Hn(−x) = (−1)n(−1)nex2 dn
dxne−x2
= ex2 dn
dxne−x2
Por otro lado, si n es par se tiene que
Hn(x) = ex2 dn
dxne−x2
con lo que se muestra que Hn(x) = Hn(−x) y ası se concluye que Hn(x) es una funcion par.
Ahora si n es impar se tiene que
Hn(x) = −ex2 dn
dxne−x2
= −Hn(−x)
con lo cual se muestra que Hn(x) es una funcion impar.
1.2.3. Funciones Hermite Gaussianas
Las Funciones Hermite Gaussianas se definen como sigue:
ψn(x) = e−x2
2 Hn(x) (1.15)
donde Hn(x) representa el polinimio de Hermite de grado n.
10
Figura 1.1: Graficas de los primeros 6 polinomios de Hermite
1.2.4. Propiedades de las Funciones Hermite Gaussianas
1. Derivada de las Funciones Hermite Gaussianas:
d
dxψn(x) = −xψn(x) + 2nψn−1(x) (1.16)
2. Formula de Recurrencia 1:
ψn+1(x) = 2xψn(x)− 2nψn−1(x) (1.17)
11
3. Formula de Recurrencia 2:
ψn(x) =
(2x− d
dx
)ψn−1(x)
4. Simetrıa:
Si n es par (impar), entonces ψn(x) es una funcion par (impar)
A continuacion se demostraran estas propiedades
Se comienza con la Propiedad N◦ 1
Demostracion:
d
dxψn(x) =
d
dx
(e−
x2
2 Hn(x))
=d
dx
(e−
x2
2
)Hn(x) + e−
x2
2d
dx(Hn(x))
= −xe−x2
2 Hn(x) + 2n e−x2
2 Hn−1(x)
= −xψn(x) + 2nψn−1(x).
Nota 1.3 En esta demostracion se uso la derivada de los polinomios de Hermite (1.11).
Se continua con la Propiedad N◦ 2
Demostracion:
ψn+1(x) = e−x2
2 Hn+1(x)
= e−x2
2 (2xHn(x)− 2nHn−1(x))
= 2xe−x2
2 Hn(x)− 2ne−x2
2 Hn−1(x)
= 2xψn(x)− 2nψn−1(x).
Nota 1.4 En esta demostracion se uso la Formula de Recurrencia 1 de los polinomios de
Hermite (1.12).
12
Seguidamente se demuestra la Propiedad N◦ 3
Demostracion:
ψn(x) = 2xψn−1(x)− 2(n− 1)ψn−2(x)
= 2xψn−1(x)− d
dxψn−1(x)
=
(2x− d
dx
)ψn−1(x).
Nota 1.5 Aquı primero se uso la Propiedad 2 y luego la Propiedad 1 para ψn(x)
Finalmente se demuestra la Propiedad N◦ 4
Demostracion:
Esta demostracion es directa ya que ψn(x) = e−x2
2 Hn(x), entonces la paridad de ψn(x)
depende de la paridad de Hn(x) asi que ψn(x) es una funcion par si n es par, y ψn(x) es una
funcion impar si n es impar.
1.3. Funcion Delta de Dirac
En esta seccion se exhibira la definicion y algunas de las principales propiedades bien
conocidas de la funcion Delta de Dirac, las cuales seran utilizadas en demostraciones poste-
riores.
1.3.1. Definicion
La funcion Delta de Dirac δ(x) es una funcion la cual es cero en todas partes excepto en
x = 0 tal que su integral sobre cualquier intervalo que contenga a x = 0 es igual a la unidad,
es decir
δ(x) =
0 si x 6= 0
∞ si x = 0tal que
∫ b
a
δ(x) dx =
1 si 0 ∈ (a, b)
0 si 0 /∈ (a, b)
13
Una funcion definida de esta manera no es una funcion en el estricto rigor del analisis
matematico, las cuales deben tener un valor concreto en cada punto de un cierto dominio.
Dirac la llamo una funcion impropia o funcion generalizada.
Una definicion alternativa de la funcion Delta de Dirac, que se usara mas adelante, es la
siguiente:
δ(x) =
∫ ∞
−∞e±i2πxu du (1.18)
1.3.2. Algunas Propiedades de la Funcion Delta de Dirac
1. δ(Mx) =δ(x)
|M | , con M 6= 0 constante. (1.19)
2. f(x)δ(x− ξ) = f(ξ)δ(x− ξ).
3.
∫ ∞
−∞δ(x− ξ)f(x) dx = f(ξ). (1.20)
4.
∫ ∞
−∞δ(x− ξ)δ(x− ξ′) dx = δ(ξ − ξ′). (1.21)
5.
∫ ∞
−∞e±i2π(x−ξ)u du = δ(x− ξ).
Para mas detalles sobre la funcion delta se puede consultar [18, 23, 13, 20].
1.4. Transformada Clasica de Fourier
En esta seccion se presentaran la definicion y algunas propiedades fundamentales de la
transformada clasica de Fourier, las cuales seran la base para la definicion y propiedades de
14
la transformada fraccionaria de Fourier.
Definicion 1.1 (Espacio de Frechet) El espacio de Frechet L es un espacio vectorial
formado por todas las funciones suaves f (infinitamente diferenciables) tales que:
supx∈R
|xmf (n)(x)| < ∞, ∀m,n ≥ 0
Definicion 1.2 (Transformada de Fourier) Sea f(x) una funcion en el espacio de
Frechet L. La Transformada de Fourier (FT) sobre la funcion f(x) se define como sigue:
F (ξ) =
∫ ∞
−∞e−i2πξxf(x)dx (1.22)
y la transformada inversa esta definida por:
f(x) =
∫ ∞
−∞ei2πξxF (ξ)dξ
Vista como un operador, la tranformada de Fourier es un operador lineal F que envia a
f(x) ∈ L a su transformada de Fourier F (ξ).
Si se considera un plano tiempo-frecuencia donde el eje de las abscisas representa el
tiempo (x) y el eje de las ordenadas representa la frecuencia (ξ), entonces la transformada
de Fourier puede interpretarse como un operador que envıa la representacion de una funcion
del eje tiempo (x) a su representacion en el eje frecuencia (ξ) a traves de una rotacion en un
angulo de π2. Bajo esta interpretacion, la trasformada de Fourier es un operador cıclico de
orden 4 ya que se cumple que (ver Figura 1.2):
(F2f)
= f(−x),(F3f
)= F (−ξ) y
(F4f)
= f(x).
15
Figura 1.2: Interpretacion geometrica para la transformada clasica de Fourier
1.4.1. Propiedades de la Transformada Clasica de Fourier
Ahora se demuestra algunas de las propiedades de la transformada de Fourier que luego
seran generalizadas al caso de la transformada fraccionaria de Fourier
Proposicion 1.1 Sean f(x), g(x) ∈ L y sean F (ξ) y G(ξ) sus respectivas transformadas de
Fourier entonces se tienen las siguientes propiedades:
16
1. Linealidad: Sean γ, β constantes reales o complejas
F (γf(x) + βg(x)) = γF (ξ) + βG(ξ)
2. Escalamiento: Sea γ 6= 0, una constante real
F (f(γx)) =1
|γ| F
(ξ
γ
)
3. Desplazamiento: Sea γ una constante real
F (f(x− γ)) = e−i2πγξF (ξ)
4. Convolucion:
F (f(x) ∗ g(x)) = F (ξ).G(ξ)
5. Producto:
F (f(x).g(x)) = F (ξ) ∗G(ξ)
6. Identidad de Parseval: Sea g(x) el complejo conjugado de g(x)
∫ ∞
−∞f(x)g(x) dx =
∫ ∞
−∞F (ξ)G(ξ) dξ
7. Conservacion de la Energıa (caso especial de la Identidad de Parseval, g = f):
∫ ∞
−∞| f(x)| 2 dx =
∫ ∞
−∞| F (ξ)| 2 dξ
8. Derivada:
F (f ′(x)) = i2πξF (ξ)
La demostracion de esta Proposicion se encuentra en [19, 16].
17
Capıtulo 2
Transformada Fraccionaria de Fourier(FrFT)
Definicion 2.1 (Transformada fraccionaria de Fourier) Sea f(x) una funcion aco-
tada del espacio L2. La Transformada Fraccionaria de Fourier (FrFT) sobre la funcion f(x)
se define como sigue:
fa{f(x)} = fa(ξ) =
∫ ∞
−∞Ka(ξ, x)f(x)dx, (2.1)
donde Ka(ξ, x) es conocido como el Kernel de la FrFT y esta definido por
Ka(ξ, x) =
cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α)) con a 6∈ 2Z
δ(ξ − x) con a ∈ 4Z
δ(ξ + x) con a ∈ 2 + 4Z
(2.2)
con
cα =√
1− i cot(α) , α = aπ
2y a ∈ R
18
La Transformada inversa de fa{f(x)} esta definida por f−a{fa{f(x)}}.
En fa{f(x)}, de la definicion 2.1, se entiende a la FrFT como el operador que actua sobre
la funcion f(x) y fa(ξ) se entiende como la funcion que resulta al aplicar la FrFT a la funcion
f(x).
2.1. Propiedades del Kernel de la Transformada
En esta seccion se mostraran las principales propiedades del Kernel de la FrFT.
1. Simetrıa Diagonal
Ka(ξ, x) = Ka(x, ξ) (2.3)
2. Conjugado Complejo
K−a(ξ, x) = Ka(x, ξ) (2.4)
3. Simetrıa Puntual
Ka(−ξ, x) = Ka(ξ,−x) (2.5)
4. Aditividad ∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt = Ka+b(ξ, x) (2.6)
5. Ortogonalidad ∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Ka(t, x)dt = δ(ξ − x) (2.7)
19
A continuacion, en la Figura 2.1, se presenta la grafica (parte real) del Kernel de la FrFT
para distintos angulos.
Figura 2.1: Graficas del Kernel de la FrFT con α = aπ2
(parte real)
20
Para la demostracion de cada propiedad se tomaran en cuenta los diferentes casos que se
generen a partir de la definicion del Kernel.
Se comienza con la Propiedad N◦ 1
Demostracion:
• Caso: a 6∈ 2Z
En este caso, de la definicion (2.2) se tiene que el Kernel esta dado por
Ka(ξ, x) = cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))
por lo que la propiedad es directa al aplicar la conmutatividad del producto y de la
suma.
• Caso: a ∈ 4Z
En este caso, usando (2.2), se tiene que
Ka(ξ, x) = δ(ξ − x)
Usando (1.18) se escribe que
Ka(ξ, x) =
∫ ∞
−∞e±i2π(ξ−x)u du
=
∫ ∞
−∞e∓i2π(x−ξ)u du
= δ(x− ξ)
= Ka(x, ξ).
• Caso: a ∈ 2 + 4Z
De (2.2), se tiene que
Ka(ξ, x) = δ(ξ + x)
21
Usando (1.18) se escribe que
Ka(ξ, x) =
∫ ∞
−∞e±2πi(ξ+x)u du
(i)=
∫ ∞
−∞e±2πi(x+ξ)u du
= δ(x + ξ)
= Ka(x, ξ).
(i) : usando la conmutatividad de la suma
Ahora se demuestra la Propiedad N◦ 2
Demostracion:
• Caso: a 6∈ 2Z
Por la definicion (2.2) se tiene que el Kernel viene dado por
Ka(ξ, x) = cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))
ası
Ka(x, ξ) =√
1− i cot(α) e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))
=√
1 + i cot(α) eiπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))
Ahora, usando que tanto la funcion cot(α) y csc(α) son funciones impares se puede
escribir:
Ka(x, ξ) =√
1− i cot(−α) e−iπ(2xξ csc(−α)−(x2+ξ2) cot(−α))
= K−a(x, ξ)
(i)= K−a(ξ, x).
(i) : usando la Simetrıa Diagonal (2.3)
22
• Caso: a ∈ 4Z
Aquı se tiene que
Ka(ξ, x) = δ(ξ − x)
Primero se observa que si a ∈ 4Z entonces −a ∈ 4Z, ası que
Ka(ξ, x) = K−a(ξ, x) = δ(ξ − x)
por lo tanto se tiene que demostrar que
Ka(ξ, x) = Ka(x, ξ)
Entonces, usando (1.18) se escribe que
Ka(x, ξ) =
∫ ∞
−∞e±i2π(x−ξ)u du
=
∫ ∞
−∞e±i2π(x−ξ)u du
=
∫ ∞
−∞e∓i2π(x−ξ)u du
= δ(x− ξ)
= Ka(x, ξ)
(i)= Ka(ξ, x).
(i) : usando la Simetrıa Diagonal (2.3)
• Caso: a ∈ 2 + 4Z
En este caso se tiene que
Ka(ξ, x) = δ(ξ + x)
igual que antes, si a ∈ 2 + 4Z entonces −a ∈ 2 + 4Z, ası que
Ka(ξ, x) = K−a(ξ, x) = δ(ξ + x)
23
entonces se tiene que mostrar que
Ka(ξ, x) = Ka(x, ξ)
Usando (1.18) se escribe que
Ka(x, ξ) =
∫ ∞
−∞e±i2π(x+ξ)u du
=
∫ ∞
−∞e±i2π(x+ξ)u du
=
∫ ∞
−∞e∓i2π(x+ξ)u du
= δ(x + ξ)
= Ka(x, ξ)
(i)= Ka(ξ, x).
(i) : usando la Simetrıa Diagonal (2.3)
Se continua con la Propiedad N◦ 3
Demostracion:
• Caso: a 6∈ 2Z
Se sabe que, para este caso,
Ka(ξ, x) = cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))
entonces
Ka(−ξ, x) = cα e−iπ(2(−ξ)x csc(α)−((−ξ)2+x2) cot(α))
= cα e−iπ(2ξ(−x) csc(α)−(ξ2+(−x)2) cot(α))
= Ka(ξ,−x).
24
• Caso: a ∈ 4Z
En este caso, se tiene que,
Ka(ξ, x) = δ(ξ − x)
ası que, usando (1.18), se escribe que
Ka(−ξ, x) =
∫ ∞
−∞e±i2π(−ξ−x)u du
=
∫ ∞
−∞e∓i2π(ξ+x)u du
=
∫ ∞
−∞e∓i2π(ξ−(−x))u du
= δ(ξ − (−x))
= Ka(ξ,−x).
• Caso: a ∈ 2 + 4Z
Aquı se tiene que
Ka(ξ, x) = δ(ξ + x)
por lo tanto, usando (1.18), se escribe
Ka(−ξ, x) =
∫ ∞
−∞e±i2π(−ξ+x)u du
=
∫ ∞
−∞e∓i2π(ξ+(−x))u du
= δ(ξ + (−x))
= Ka(ξ,−x).
Seguidamente se demuestra la Propiedad N◦ 4
Demostracion:
25
• Caso: a 6∈ 2Z, b 6∈ 2Z∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =
=
∫ ∞
−∞cα e−iπ(2ξt csc(α)−(ξ2+t2) cot(α)) cβ e−iπ(2tx csc(β)−(t2+x2) cot(β))dt
= cα cβeiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))
∫ ∞
−∞e−it2π(ξ csc(α)+x csc(β))+it2π(cot(α)+cot(β))dt (2.8)
En (2.8) se tiene presente una Integral Gaussiana, donde los coeficientes son numeros
imaginarios puros por lo tanto se usara (1.7), ası que se debe escribir (2.8) segun esta
formula, con lo que se llega a que∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =
= cα cβ eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))
∫ ∞
−∞eiπ((cot(α)+cot(β)t2)−2(ξ csc(α)+x csc(β))tdt (2.9)
Tomando como c = (cot(α) + cot(β)) y como b = (ξ csc(α) + x csc(β)) se tiene que∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =
= cα cβ eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))
√i
cot(α) + cot(β)e−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2
cot(α)+cot(β)
= cα cβ
√i
cot(α) + cot(β)eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))+
−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2
cot(α)+cot(β) (2.10)
La Integral Gaussiana (1.7) requiere que el coeficiente c ser mayor que cero, por lo
tanto, se debe exigir que cot(α) + cot(β) > 0.
26
Ahora se tiene que cα cβ
√i
cot(α)+cot(β)
=√
1− i cot(α)√
1− i cot(β)
√i
cot(α) + cot(β)
=
√(1− i cot(α))(1− i cot(β))i
cot(α) + cot(β)
=
√i(1− i cot(α)− i cot(β) + i2 cot(α) cot(β))
cot(α) + cot(β)
=
√i
((1− cot(α) cot(β))
cot(α) + cot(β)+
(−i(cot(α) + cot(β)))
cot(α) + cot(β)
)
=
√i
((1− cot(α) cot(β))
cot(α) + cot(β)− i
)
y como
1− cot(α) cot(β)
cot(α) + cot(β)=
1− cos(α)sen(α)
cos(β)sen(β)
cos(α)sen(α)
+ cos(β)sen(β)
=
sen(α) sen(β)−cos(α) cos(β)sen(α) sen(β)
cos(α) sen(β)+sen(α) cos(β)sen(α) sen(β)
=
=−(− sen(α) sen(β) + cos(α) cos(β))
cos(α) sen(β) + sen(α) cos(β)=− cos(α + β)
sen(α + β)
1− cot(α) cot(β)
cot(α) + cot(β)= − cot(α + β) (2.11)
ası se llega a que
cα cβ
√i
cot(α) + cot(β)=
√i(− cot(α + β)− i) =
√1− i cot(α + β) = cα+β (2.12)
27
Por otro lado se tiene que
eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))+−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2
cot(α)+cot(β) =
= eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))(cot(α)+cot(β))−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2
cot(α)+cot(β)
= e−iπ(−ξ2 cot2(α)−ξ2 cot(α) cot(β)−x2 cot(β) cot(α)−x2 cot2 β+ξ2 csc2(α)+x2 csc2 β+2ξx csc(α) csc(β))
cot(α)+cot(β)
= e−iπ(ξ2(csc2(α)−cot2(α))+x2(csc2 β−cot2 β)−(ξ2+x2) cot(α) cot(β)+2ξx csc(α) csc(β))
cot(α)+cot(β)
(i)= e
−iπ(ξ2+x2−(ξ2+x2) cot(α) cot(β)+2ξx csc(α) csc(β))cot(α)+cot(β)
= e−iπ((ξ2+x2)(1−cot(α) cot(β))
cot(α)+cot(β)+
2ξx csc(α) csc(β)cot(α)+cot(β)
) (2.13)
para (i) se uso la identidad trigonometrica 1 = csc2(α)− cot2(α).
y como
csc(α) csc(β)
cot(α) + cot(β)=
1sen(α)
1sen(β)
cos(α)sen(α)
+ cos(β)sen(β)
=
1sen(α) sen(β)
cos(α) sen(β)+sen(α) cos(β)sen(α) sen(β)
=
=1
cos(α) sen(β) + sen(α) cos(β)=
1
sen(α + β)
= csc(α + β) (2.14)
usando (2.11) y (2.14) en (2.13) se llega a que
eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))+−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2
cot(α)+cot(β) = e−iπ(−(ξ2+x2) cot(α+β)+2ξx csc(α+β))
= e−iπ(2ξx csc(α+β)−(ξ2+x2) cot(α+β)) (2.15)
finalmente, partiendo de (2.10) y usando (2.12),(2.15) se escribe
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt = cα+β e−iπ(2ξx csc(α+β)−(ξ2+x2) cot(α+β))
= Ka+b(ξ, x)
28
• Caso: a ∈ 4Z, b ∈ 4Z
Primero se observa que si a ∈ 4Z y b ∈ 4Z entonces a + b ∈ 4Z, por lo tanto, usando
(2.2) se tiene que
Ka(ξ, t) = δ(ξ − t), Kb(t, x) = δ(t− x) y Ka+b(ξ, x) = δ(ξ − x)
ası que, en este caso, se debe demostrar lo siguiente
∫ ∞
−∞δ(ξ − t)δ(t− x)dt = δ(ξ − x)
entonces
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =
∫ ∞
−∞δ(ξ − t)δ(t− x)dt
(i)=
∫ ∞
−∞δ(t− ξ)δ(t− x)dt
(ii)= δ(ξ − x).
(i) : usando la Simetrıa Diagonal (2.3)
(ii) : propiedad de la funcion Delta (1.21)
• Caso: a ∈ 2 + 4Z, b ∈ 2 + 4Z
Aquı se tiene que si a ∈ 2 + 4Z y b ∈ 2 + 4Z entonces a + b ∈ 4Z, por lo tanto, usando
(2.2) se escribe que
Ka(ξ, t) = δ(ξ + t), Kb(t, x) = δ(t + x) y Ka+b(ξ, x) = δ(ξ − x)
entonces se debe mostrar que
∫ ∞
−∞δ(ξ + t)δ(t + x)dt = δ(ξ − x)
29
Ası
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =
∫ ∞
−∞δ(ξ + t)δ(t + x)dt
(i)=
∫ ∞
−∞δ(t + ξ)δ(t + x)dt
=
∫ ∞
−∞δ(t− (−ξ))δ(t− (−x))dt
(ii)= δ(−ξ − (−x))
= δ((−1)(ξ − x))
(iii)= δ(ξ − x).
(i) : usando la Simetrıa Diagonal (2.3)
(ii) : propiedad de la funcion Delta (1.21)
(iii) : propiedad de la funcion Delta (1.19)
• Caso: a /∈ 2Z, b ∈ 4Z
Para este caso se tiene que
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =
∫ ∞
−∞cα e−iπ(2ξt csc(α)−(ξ2+t2) cot(α))δ(t− x)dt
(i)= cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))
(i) : propiedad de la funcion Delta (1.20)
Ahora, como b ∈ 4Z y β = bπ2
entonces β = 2nπ para algun n ∈ Z.
Por otro lado
sen(α + β) = sen(α + 2nπ) = sen(α) y cos(α + β) = cos(α + 2nπ) = cos(α)
entonces se puede escribir que
csc(α) = csc(α + β), cot(α) = cot(α + β)
30
y de (2.2),
cα =√
1− i cot(α) =√
1− i cot(α + β) = cα+β
Por lo tanto
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt = cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))
= cα+β e−iπ(2ξx csc(α+β)−(ξ2+x2) cot(α+β))
= Ka+b(ξ, x).
• Caso: a /∈ 2Z, b ∈ 2 + 4Z
Bajo estas condiciones se tiene que
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =
∫ ∞
−∞cα e−iπ(2ξt csc(α)−(ξ2+t2) cot(α))δ(t + x)dt
=
∫ ∞
−∞cα e−iπ(2ξt csc(α)−(ξ2+t2) cot(α))δ(t− (−x))dt
(i)= cα e−iπ(2ξ(−x) csc(α)−(ξ2+(−x)2) cot(α))
= cα e−iπ(−2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))
(i) : propiedad de la funcion Delta(1.20)
Ahora, como b ∈ 2 + 4Z y β = bπ2
entonces β = 2nπ + π para algun n ∈ Z. Ademas se
sabe que,
sen(α + β) = sen(α + 2nπ + π) = sen(α + π) = − sen(α)
y
cos(α + β) = cos(α + 2nπ + π) = cos(α + π) = − cos(α)
por lo tanto
csc(α + β) = − csc(α) y cot(α + β) = cot(α)
31
Por ultimo, de (2.2) se tiene que,
cα =√
1− i cot(α) =√
1− i cot(α + β) = cα+β
ası se llega a que
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt = cα e−iπ(−2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))
= cα+β e−iπ(2ξx csc(α+β)−(ξ2+x2) cot(α+β))
= Ka+b(ξ, x).
• Caso: a ∈ 4Z, b ∈ 2 + 4Z
Para este caso se ve que si a ∈ 4Z y b ∈ 2 + 4Z entonces a + b ∈ 2 + 4Z, por lo tanto,
usando (2.2) se tiene que
Ka(ξ, t) = δ(ξ − t), Kb(t, x) = δ(t + x) y Ka+b(ξ, x) = δ(ξ + x)
ası que se debe demostrar que
∫ ∞
−∞δ(ξ − t)δ(t + x)dt = δ(ξ + x)
entonces
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =
∫ ∞
−∞δ(ξ − t)δ(t + x)dt
(i)=
∫ ∞
−∞δ(t− ξ)δ(t− (−x))dt
(ii)= δ(ξ − (−x))
= δ(ξ + x).
(i) : usando la Simetrıa Diagonal (2.3)
(ii) : propiedad de la funcion Delta (1.21)
32
Finalmente se demuestra la propiedad N◦ 5
Demostracion:
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)Ka(t, x)dt
(i)=
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)K−a(x, t)dt
(ii)=
∫ ∞
−∞Ka(ξ, t)K−a(t, x)dt
(iii)= Ka+(−a)(ξ, x)
(iv)= δ(ξ − x).
(i) : por la propiedad del Conjugado Complejo (2.4).
(ii) : usando la propiedad de la Simetrıa Diagonal (2.3).
(iii): usando la propiedad de la Aditividad (2.6).
(iv) : por la definicion del Kernel (2.2).
2.2. Transformada Fraccionaria de Fourier de algunas
funciones bascas
En esta seccion se realizan los calculos de la transformada fraccionaria de Fourier para
algunas funciones basicas. Se presentan estos resultados en la Tabla 2.1, la cual se encuentra
en la siguiente pagina, ademas se presenta la grafica de la FrFT (parte real e imaginaria)
con diferentes angulos para las siguientes funciones: la funcion f(x) = 1 en la Figura 2.2
(pag:35), la funcion f(x) = δ(x) en la Figura 2.3 (pag:36), la funcion f(x) = eiπ(χx2+2λx) con
χ = λ = 12
en la Figura 2.4 (pag:37), y la funcion f(x) = e−π(χx2+2λx) con χ = λ = 12
en la
Figura 2.5 (pag:38).
A continuacion se presentara el calculo de las transformada de las funciones mostradas
en la tabla 2.1, estos calculos se haran solo para los casos mas generales de las funciones,
exhibiendo luego los casos particulares.
33
N f(x) fa(ξ)
1 1√
1 + i tan(α) e−iπξ2 tan(α)
2 δ(x)√
1− i cot(α) eiπξ2 cot(α)
3 δ(x− γ)√
1− i cot(α) e−iπ(2γξ csc(α)−(γ2+ξ2) cot(α))
4 ei2πλx√
1 + i tan(α) e−iπ(ξ2 tan(α)−2λξ sec(α)+λ2 tan(α))
5 eiπχx2√
1+i tan(α)1+χ tan(α)
eiπξ2 χ−tan(α)1+χ tan(α)
6 e−πx2e−πξ2
7 eiπ(χx2+2λx)√
1+i tan(α)1+χ tan(α)
eiπξ2(χ−tan(α))+2λξ sec(α)−λ2 tan(α)
1+χ tan(α)
8 e−2πλx√
1 + i tan(α) eπ(i(λ2−ξ2) tan(α)−2ξλ sec(α))
9 e−π(x2+2λx) e−πξ2+πλ2 tan(α)+i2πξλ sec(α)
tan(α)−i
10 e−πχx2√
1−i cot(α)χ−i cot(α)
eπξ2(iχ−tan(α))
χ tan(α)−i
11 e−π(χx2+2λx)√
1−i cot(α)χ−i cot(α)
eπξ2(iχ cot(α)−1)+πλ2+i2πξλ csc(α)
χ−i cot(α)
Tabla 2.1: Transformada Fraccionaria de Fourier de algunas funciones basicas
34
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0 (parte real)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0 (parte imaginaria)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.25 (parte real)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.25 (parte imaginaria)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.5 (parte real)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.5 (parte imaginaria)
Figura 2.2: Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = 1
35
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.25 (parte real)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.25 (parte imaginaria)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.5 (parte real)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.5 (parte imaginaria)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.75 (parte real)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.75 (parte imaginaria)
Figura 2.3: Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = δ(x)
36
−4 −2 0 2 4−1
−0.5
0
0.5
1a=0.25 (parte real)
−4 −2 0 2 4−1
−0.5
0
0.5
1a=0.25 (parte imaginaria)
−4 −2 0 2 4−1
−0.5
0
0.5
1a=0.5 (parte real)
−4 −2 0 2 4−1
−0.5
0
0.5
1a=0.5 (parte imaginaria)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.75 (parte real)
−4 −2 0 2 4−2
−1
0
1
2a=0.75 (parte imaginaria)
Figura 2.4: Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = eiπ(χx2+2λx) con χ = λ = 12
37
−4 −2 0 2 4−5
0
5a=0.25 (parte real)
−4 −2 0 2 4−2
0
2
4
6a=0.25 (parte imaginaria)
−4 −2 0 2 4−5
0
5
10a=0.5 (parte real)
−4 −2 0 2 4−3
−2
−1
0
1a=0.5 (parte imaginaria)
−4 −2 0 2 4−5
0
5a=0.75 (parte real)
−4 −2 0 2 4−10
−5
0
5a=0.75 (parte imaginaria)
Figura 2.5: Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = e−π(χx2+2λx) con χ = λ = 12
38
Se comenzara por la funcion N◦ 1, es decir, se calcula la FrFT de f(x) = 1
fa(ξ) =
∫ ∞
−∞cα e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))dx
= cα eiπξ2 cot(α)
∫ ∞
−∞e−iπ2xξ csc(α)+iπx2 cot(α)dx (2.16)
Aquı se tiene presente una Integral Gaussiana, donde los coeficientes son numeros imagina-
rios puros, por lo tanto, se usara (1.7), para ello se escribe (2.16) de la siguiente manera
fa(ξ) = cα eiπξ2 cot(α)
∫ ∞
−∞eiπ(x2 cot(α)−2xξ csc(α))dx (2.17)
Tomando c = cot(α) y b = ξ csc(α) se tiene que
fa(ξ) = cα eiπξ2 cot(α)
√i
cot(α)e−iπ(ξ csc(α))2
cot(α)
= cα
√i
cot(α)eiπξ2 cot(α)+
−iπ(ξ csc(α))2
cot(α) (2.18)
Para aplicar la Integral Gaussiana (1.7) se debe cumplir que c > 0, ası que se tiene la
restriccion cot(α) > 0
Ahora se tiene que
cα
√i
cot(α)=
√1− i cot(α)
√i
cot(α)=
√(1− i cot(α))i
cot(α)
=
√(1− i cot(α))i
cot(α)=
√i + cot(α)
cot(α)
=
√i
cot(α)+ 1 =
√1 + i tan(α) (2.19)
39
Ademas se tiene que
eiπ(ξ2 cot(α))+−iπ(ξ csc(α))2
cot(α) = eiπξ2 cot2(α)−iπξ2 csc2(α)
cot(α)
= eiπξ2(cot2(α)−csc2(α))
cot(α)
(i)= e
iπξ2(−1)cot(α)
= e−iπξ2 tan(α) (2.20)
para (i) se uso la identidad trigonometrica 1 = csc2(α)− cot2(α).
Por lo tanto se puede reescribir (2.18) como√
1 + i tan(α) e−iπξ2 tan(α). Ası se muestra que
la FrFT de f(x) = 1 es
fa(ξ) =√
1 + i tan(α) e−iπξ2 tan(α).
Se continua con la funcion N◦ 3 de la Tabla 2.1
fa(ξ) =
∫ ∞
−∞cα e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))δ(x− γ)dx
(i)= cα e−iπ(2γξ csc(α)−(γ2+ξ2) cot(α))
=√
1− i cot(α) e−iπ(2γξ csc(α)−(γ2+ξ2) cot(α))
(i) : propiedad de la funcion Delta (1.20)
Por lo tanto, la FrFT de f(x) = δ(x− γ) es
fa(ξ) =√
1− i cot(α) e−iπ(2γξ csc(α)−(γ2+ξ2) cot(α)).
Y para obtener la funcion N◦ 2 se hace γ = 0 de la formula anterior con lo que se obtiene
que la FrFT de f(x) = δ(x) es
fa(ξ) =√
1− i cot(α) eiπξ2 cot(α).
40
Ahora se realizara el calculo para la funcion N◦ 7 de la Tabla 2.1
fa(ξ) =
∫ ∞
−∞cα e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))eiπ(χx2+2λx)dx
= cα eiπξ2 cot(α)
∫ ∞
−∞e−iπ2xξ csc(α)+iπx2 cot(α)+iπχx2+iπ2λxdx
= cα eiπξ2 cot(α)
∫ ∞
−∞eiπ(x2(cot(α)+χ)+2x(λ−ξ csc(α)))dx
Nuevamente se tiene presente la formula general de la Integral Gaussiana con coeficientes
imaginarios puros descrita en (1.7), ası que tomando c = (cot(α) + χ) y b = (λ− ξ csc(α)),
se llega a que
fa(ξ) = cα eiπξ2 cot(α)
√i
cot(α) + χe−iπ(λ−ξ csc(α))2
cot(α)+χ
=√
1− i cot(α)
√i
cot(α) + χeiπξ2 cot(α)+
−iπ(λ2+ξ2 csc2(α)−2λξ csc(α))cot(α)+χ
=
√(1− i cot(α))i
cot(α) + χe
iπξ2 cot2(α)+iπχξ2 cot(α)−iπλ2−iπξ2 csc2(α)+2iπλξ csc(α)cot(α)+χ
=
√i + cot(α)
cot(α) + χe
iπξ2(cot2(α)−csc2(α)+χ cot(α))−iπλ2+i2πξλ csc(α)cot(α)+χ
(i)=
√√√√ i + 1tan(α)
1tan(α)
+ χe
iπξ2(−1+χ
tan(α))−iπλ2+i2πξλ csc(α)
1tan(α)
+χ
=
√√√√i tan(α)+1
tan(α)
1+χ tan(α)tan(α)
e
iπξ2(− tan(α)+χ)−iπλ2 tan(α)+i2πξλ csc(α) tan(α)tan(α)
1+χ tan(α)tan(α)
41
(ii)=
√i tan(α) + 1
1 + χ tan(α)e
iπξ2(χ−tan(α))−iπλ2 tan(α)+i2πξλ sec(α)1+χ tan(α)
=
√1 + i tan(α)
1 + χ tan(α)eiπ
ξ2(χ−tan(α))+2λξ sec(α)−λ2 tan(α)1+χ tan(α)
(i): por la identidad trigonometrica 1 + cot2(α) = csc2(α).
(ii): usando que csc(α) tan(α) = sec(α).
Ası se tiene que la FrFT de f(x) = eiπ(χx2+2λx) es
fa(ξ) =
√1 + i tan(α)
1 + χ tan(α)eiπ
ξ2(χ−tan(α))+2λξ sec(α)−λ2 tan(α)1+χ tan(α) .
Se debe cumplir que cot(α) + χ > 0 para poder usar la Integral Gaussiana (1.7).
Se pueden calcular las siguientes FrFT como casos particulares del resultado obtenido
Caso 1: χ = 0
La FrFT de f(x) = e2πiλx es
fa(ξ) =√
1 + i tan(α) e−iπ(ξ2 tan(α)−2λξ sec(α)+λ2 tan(α))
Ası obtenemos la funcion N◦ 4 de la Tabla 2.1.
Caso 2: λ = 0
La FrFT de f(x) = eiπχx2es
fa(ξ) =
√1 + i tan(α)
1 + χ tan(α)eπiξ2 χ−tan(α)
1+χ tan(α)
De esta manera, se genera la FrFT para la funcion N◦ 5.
Caso 3: λ = 0, χ = i
La FrFT de f(x) = e−πx2es
fa(ξ) = e−πξ2
En este caso, se calcula la FrFT para la funcion N◦ 6.
42
Se continua efectuando el calculo para la funcion N◦ 11 de la Tabla 2.1
fa(ξ) =
∫ ∞
−∞cα e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)) e−π(χx2+2λx)dx
= cα eiπξ2 cot(α)
∫ ∞
−∞e−iπ2xξ csc(α)+iπx2 cot(α)−πχx2−π2λxdx
= cα eiπξ2 cot(α)
∫ ∞
−∞ex2π(i cot(α)−χ)−x2π(iξ csc(α)+λ)dx
= cα eiπξ2 cot(α)
∫ ∞
−∞e−x2π(χ−i cot(α))−x2π(iξ csc(α)+λ)dx
Aquı se tiene presente una formula general de la Integral Gaussiana donde los coeficientes no
son numeros imaginarios puros, por lo que se debe usar la formula (1.6), entonces al tomar
c = π(χ− i cot(α)) y b = 2π(iξ csc(α) + λ) se llega a que
fa(ξ) = cα eiπξ2 cot(α)
√π
π(χ− i cot(α))e
(2π(iξ csc(α)+λ))2
4π(χ−i cot(α))
=√
1− i cot(α) eiπξ2 cot(α)
√1
χ− i cot(α)e
π(i2ξ2 csc2(α)+λ2+i2ξλ csc(α))χ−i cot(α)
=
√1− i cot(α)
χ− i cot(α)eiπξ2 cot(α)+
−πξ2 csc2 α+πλ2+i2πξλ csc(α)χ−i cot(α)
=
√1− i cot(α)
χ− i cot(α)e
iπξ2χ cot(α)+πξ2 cot2(α)−πξ2 csc2 α+πλ2+i2πξλ csc(α)χ−i cot(α)
=
√1− i cot(α)
χ− i cot(α)e
πξ2(iχ cot(α)+cot2(α)−csc2 α)+πλ2+i2πξλ csc(α)χ−i cot(α)
(i)=
√1− i cot(α)
χ− i cot(α)e
πξ2(iχ cot(α)−1)+πλ2+i2πξλ csc(α)χ−i cot(α)
(i): por la identidad trigonometrica 1 + cot2(α) = csc2(α).
43
Ası se muestra que la FrFT de f(x) = e−π(χx2+2λx) es
fa(ξ) =
√1− i cot(α)
χ− i cot(α)e
πξ2(iχ cot(α)−1)+πλ2+2iπξλ csc(α)χ−i cot(α) . (2.21)
La Integral Gaussiana (1.6) tiene como condicion que Re(c) > 0 y en este caso Re(c) = πχ
ası que se debe exigir que χ > 0.
Se pueden calcular algunas FrFT como casos particulares del resultado anterior
Caso 1: χ = 0
La FrFT de f(x) = e−2πλx es
fa(ξ) =√
1 + i tan eπ((λ2−ξ2)i tan(α)−2ξλ sec(α))
Ası se produce la FrFT de la funcion N◦ 8 de la Tabla 2.1
Caso 2: χ = 1
La FrFT de f(x) = e−π(x2+2λx) es
fa(ξ) = e−πξ2+πλ2 tan(α)+2iπξλ sec(α)
tan(α)−i
En este caso se origina la FrFT de la funcion N◦ 9.
Caso 3: λ = 0
La FrFT de f(x) = e−πχx2es
fa(ξ) =
√1− i cot(α)
χ− i cot(α)e
πξ2(iχ−tan(α))χ tan(α)−i
Aquı se muestra la FrFT para la funcion N◦ 10 de la Tabla 2.1
Caso 4: χ = 1, λ = 0
La FrFT de f(x) = e−πx2es
fa(ξ) = e−πξ2
De esta manera se genera, por otra vıa, la FrFT de la formula N◦ 6.
44
Segun Ozaktas, Zalevsky y Kutay [16], la FrFT de la funcion 9 de la Tabla 2.1 es
fa(ξ) =
√1− i cot(α)
χ− i cot(α)e
iπ cot(α)ξ2(χ2−1)+2ξχλ sec(α)+λ2
χ2+cot2(α) e−π csc2(α)
ξ2χ+2ξλ cos(α)−χλ2 sen2(α)
χ2+cot2(α) (2.22)
Ası que se debe mostrar la equivalencia entre (2.21) y (2.22). Comparandolas se ve que el
termino√
1−i cot(α)χ−i cot(α)
esta presente en ambas por lo tanto solo se debe mostrar que
eπξ2(iχ cot(α)−1)+πλ2+i2πξλ csc(α)
χ−i cot(α)︸ ︷︷ ︸(A)
= eiπ cot(α)
ξ2(χ2−1)+2ξχλ sec(α)+λ2
χ2+cot2(α) e−π csc2(α)
ξ2χ+2ξλ cos(α)−χλ2 sen2(α)
χ2+cot2(α)︸ ︷︷ ︸(B)
Trabajando con (B) se tiene que
(B) = eiπ cot(α)(ξ2(χ2−1)+2ξχλ sec(α)+λ2)−π csc2(α)(ξ2χ+2ξλ cos(α)−χλ2 sen2(α))
χ2+cot2(α)
= eπξ2
(C)︷ ︸︸ ︷(i cot(α)(χ2 − 1)− χ csc2(α))+2πξλ
(D)︷ ︸︸ ︷(iχ cot(α) sec(α)− csc2(α) cos(α))
χ2+cot2(α) ×
×eπλ2
(E)︷ ︸︸ ︷(i cot(α) + χ csc2(α) sen2(α))
χ2+cot2(α) (2.23)
En (C) se tiene que
i cot(α)(χ2 − 1)− χ csc2(α) = i cot(α)(χ2 − 1)− χ(cot2(α) + 1)
= iχ2 cot(α)− i cot(α)− χ cot2(α)− χ
= iχ2 cot(α)− i cot(α) + i2χ cot2(α)− χ
= (iχ cot(α)− 1)(χ + i cot(α)).
En (D) se tiene que
iχ cot(α) sec(α)− csc2(α) cos(α) = iχcos(α)
sen(α)
1
cos(α)− 1
sen2(α)cos(α)
= iχ csc(α)− cot(α) csc(α)
= i csc(α)(χ− cot(α)
i)
= i csc(α)(χ + i cot(α)).
45
En (E) se tiene que i cot(α) + χ csc2(α) sen2(α) = i cot(α) + χ.
Incorporando estas equivalencias en (2.23) se puede escribir que
(B) = eπξ2(iχ cot(α)−1)(χ+i cot(α))+i2πξλ csc(α)(χ+i cot(α))+πλ2(χ+i cot(α))
χ2−i2 cot2(α)
= e(πξ2(iχ cot(α)−1)+i2πξλ csc(α)+πλ2)(χ+i cot(α))
χ2−(i cot(α))2
= e(πξ2(iχ cot(α)−1)+i2πξλ csc(α)+πλ2)(χ+i cot(α))
(χ−i cot(α))(χ+i cot(α))
= eπξ2(iχ cot(α)−1)+i2πξλ csc(α)+πλ2
χ−i cot(α)
= (A).
Ası se llega a que (2.21) y (2.22) son equivalentes.
2.3. Propiedades de la Transformada Fraccionaria de
Fourier
Sea fa(ξ) la Transformada Fraccionaria de Fourier de la funcion f(x) entonces se tienen
las siguientes propiedades
1. Conservacion de la simetrıa
a) Si f(x) es una funcion par entonces fa(ξ) es una funcion par.
b) Si f(x) es una funcion impar entonces fa(ξ) es una funcion impar.
2. Linealidad
fa
{∑
k
αkfk(x)
}=
∑
k
αkfa {fk(x)} (2.24)
3. Elemento Unitario: Sea f(x) una funcion real, entonces
(fa(ξ)
)−1
= fa(ξ)
46
4. Propiedad de Indice Aditividad
fa1
{fa2 {f(x)}
}= fa1+a2 {f(x)} (2.25)
5. Propiedad Conmutativa
fa1
{fa2 {f(x)}
}= fa2
{fa1 {f(x)}
}
Seguidamente se presenta la demostracion de estas propiedades:
Se comienza con la Propiedad N◦ 1
• Si f(x) es una funcion par entonces fa(ξ) es una funcion par
Demostracion:
Se debe mostrar que fa(ξ) = fa(−ξ), sabiendo que f(x) es par
fa(−ξ) =
∫ ∞
−∞Ka(−ξ, x)f(x) dx
(i)=
∫ ∞
−∞Ka(ξ,−x)f(x) dx
(ii)=
∫ ∞
−∞Ka(ξ,−x)f(−x) dx
Ahora tomando el cambio de variables y = −x se tiene que dy = −dx y como x va de
−∞ a ∞ entonces y va de ∞ a −∞. Ası se obtiene que
∫ ∞
−∞Ka(ξ,−x)f(−x) dx = −
∫ −∞
∞Ka(ξ, y)f(y) dy
(iii)=
∫ ∞
−∞Ka(ξ, y)f(y) dy
= fa(ξ).
(i): Usando la propiedad de Simetrıa Puntual del Kernel (2.5).
(ii): Usando que f(x) es una funcion par.
(iii): Por el cambio del orden en los lımites de integracion.
47
• Si f(x) es una funcion impar entonces fa(ξ) es una funcion impar.
Demostracion:
Se tiene que ver que fa(ξ) = −fa(−ξ), usando que f(−x) = −f(x)
−fa(−ξ) = −∫ ∞
−∞Ka(−ξ, x)f(x) dx
(i)=
∫ ∞
−∞Ka(ξ,−x)(−f(x)) dx
(ii)=
∫ ∞
−∞Ka(ξ,−x)f(−x) dx
Ahora por el cambio de variables y = −x se tiene que dy = −dx y como x va de −∞a ∞ entonces y va de ∞ a −∞. Ası se obtiene que
∫ ∞
−∞Ka(ξ,−x)f(−x) dx = −
∫ −∞
∞Ka(ξ, y)f(y) dy
(iii)=
∫ ∞
−∞Ka(ξ, y)f(y) dy
= fa(ξ).
(i): Usando la propiedad de Simetrıa Puntual del Kernel (2.5).
(ii): Usando que f(x) es una funcion impar.
(iii): Por el cambio del orden en los lımites de integracion.
Se continua mostrando la Propiedad N◦ 3
Demostracion:
(fa(ξ)
)−1
= f−a(ξ)
=
∫ ∞
−∞K−a(ξ, x)f(x)dx
=
∫ ∞
−∞Ka(x, ξ)f(x)dx
48
=
∫ ∞
−∞Ka(x, ξ)f(x)dx
=
∫ ∞
−∞Ka(x, ξ)f(x)dx
= fa(ξ).
Nota 2.1 En esta demostracion se uso la definicion de la inversa de la transformada frac-
cionaria de Fourier, la propiedad del Conjugado Complejo del Kernel (2.4) y se uso que
f(x) = f(x) en el caso que f(x) sea una funcion real.
Seguidamente se trabaja con la Propiedad N◦ 4
Demostracion:
fa1
{fa2(t)
}=
∫ ∞
−∞Ka1(ξ, t)fa2(t) dt
=
∫ ∞
−∞Ka1(ξ, t)
[∫ ∞
−∞Ka2(t, x)f(x) dx
]dt
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞Ka1(ξ, t)Ka2(t, x)f(x) dx dt
(i)=
∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞Ka1(ξ, t)Ka2(t, x) dt
]f(x) dx
(ii)=
∫ ∞
−∞Ka1+a2(ξ, x)f(x) dx
= fa1+a2 .
(i): aplicando el Teorema de Fubbini.
(ii): por la propiedad de aditividad del Kernel (2.6)
Ahora se continua con la propiedad N◦ 5
Demostracion:
Directo, usando la Propiedad de Indice Aditividad (2.25) y la propiedad de conmutativa de
la suma en R.
49
2.4. Autofunciones de la Transformada Fraccionaria de
Fourier
En esta seccion se mostrara que las funciones Hermite Gaussianas son las Autofunciones
de la FrFT.
Definicion 2.2 Sea A un operador lineal, se dice que f es una autofuncion o funcion propia
de A si se cumple que Af = λf donde λ se conoce como el correspondiente autovalor de f .
Entonces en nuestro caso se vera que
fa {ψn(x)} = eiαnψn(ξ) (2.26)
donde eian son los correspondientes autovalores.
Demostracion:
Siguiendo el Proceso Inductivo, primero se mostrara que la relacion es cierta para n = 0 y
para n = 1, luego se supondra que es cierta para n = k y finalmente se mostrara que se
cumple para n = k + 1.
Para n = 0 se tiene que probar que
fa {ψ0(x)} = eiα(0)ψ0(ξ),
Se sabe que
ψ0(x) = e−x2
2 H0(x)
y como H0(x) = 1 (1.9), entonces se llega a que
ψ0(x) = e−x2
2
50
ası que se debe mostrar que
fa
{e−
x2
2
}= e−
ξ2
2
Para n = 1 se tiene que probar que
fa {ψ1(x)} = eiαψ1(ξ),
Se sabe que
ψ1(x) = e−x2
2 H1(x)
y usando que H1(x) = 2x (1.10) se llega a que
ψ1(x) = 2xe−x2
2
ası que se debe mostrar que
fa
{2xe−
x2
2
}= eiα2ξe−
ξ2
2
En este caso se usara la regla de la multiplicacion, la cual establece que:
fa {xf(x)} =
(ξcos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
51
Entonces se tiene que
fa
{2xe−
x2
2
}(i)= 2fa
{xe−
x2
2
}
(ii)= 2
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa
{e−
x2
2
}
(iii)= 2
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)e−
ξ2
2
= 2
(ξ cos(α)e−
ξ2
2 − i sen(α)d
dξe−
ξ2
2
)
= 2
(ξ cos(α)e−
x2
2 + i sen(α)ξe−ξ2
2
)
= 2ξe−x2
2 (cos(α) + i sen(α))
(iv)= eiα2ξe−
ξ2
2
(i): por la linealidad de la FrFT (2.24).
(ii): por la regla operacional de la Multiplicacion.
(iii): por el caso n = 0.
(iv): por la formula de Euler.
Ahora se supondra que la proposicion es cierta hasta n = k, por lo tanto, se tiene que
fa {ψk(x)} = eiαkψk(ξ) (2.27)
y se tiene que mostrar que la proposicion es cierta para n = k + 1, es decir, se tiene que ver
que
fa {ψk+1(x)} = eiα(k+1)ψk+1(ξ)
52
Entonces
fa {ψk+1(x)} (i)= fa {2xψk(x)− 2kψk−1(x)}(ii)= 2fa {xψk(x)} − 2kfa {ψk−1(x)}(iii)= 2
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {ψk(x)} − 2kfa {ψk−1(x)}
(iv)= 2
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)eiαkψk(ξ)− 2keiα(k−1)ψk−1(ξ)
= 2eiαk
(ξ cos(α)ψk(ξ)− i sen(α)
d
dξψk(ξ)
)− 2keiα(k−1)ψk−1(ξ)
(v)= 2eiαk(ξ cos(α)ψk(ξ)− i sen(α)(−ξψk(ξ) + 2kψk−1(ξ)))− 2keiα(k−1)ψk−1(ξ)
= 2eiαk(ξ cos(α)ψk(ξ) + iξ sen(α)ψk(ξ)− i2k sen(α)ψk−1(ξ))− 2keiαke−iαψk−1(ξ)
= 2ξeiαkψk(ξ)(cos(α) + i sen(α))− 2keiαkψk−1(ξ)(2i sen(α) + e−iα)
(vi)= 2ξeiαkψk(ξ)e
iα − 2neiαkψk−1(ξ)(2i sen(α) + cos(α)− i sen(α))
= 2ξeiαkψk(ξ)eiα − 2keiαkψk−1(ξ)(cos(α) + i sen(α))
= 2ξeiαkψk(ξ)eiα − 2keiαkψk−1(ξ)e
iα)
= 2ξeiα(k+1)ψk(ξ)− 2keiα(k+1)ψk−1(ξ))
= eiα(k+1)(2ξψk(ξ)− 2kψk−1(ξ))
(i)= eiα(k+1)ψk+1(ξ).
(i): usando la formula de recurrencia para los polinomios de Hermite (1.17)
(ii): por la linealidad de la FrFT (2.24).
(iii): por la regla operacional de la Multiplicacion.
(iv): por la hipotesis inductiva (2.27)
(v): usando la formula de la derivada para los polinomios de Hermite (1.16)
(vi): por la formula de Euler.
53
2.5. Reglas Operacionales de la Transformada Frac-
cionaria de Fourier
1. Regla de la Multiplicacion
fa {xmf(x)} =
(ξcos(α)− i sen(α)
d
dξ
)m
fa {f(x)} (2.28)
2. Regla de la Diferenciacion
fa
{d m
dxmf(x)
}=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)m
fa {f(x)}
3. Regla del Producto Mixto
fa
{x d
dxf(x)
}=
= −(sen2(α)+iξ2 sen(α) cos(α))fa {f(x)}+ξ cos(2α)d
dξfa {f(x)}− i
2sen(2α)
d 2
dξ2fa {f(x)}
4. Regla de la Multiplicacion Chirp
Si g(x) = f(x)ei2πxv entonces
ga(ξ) = e−iπ(v2 sen(α)−2ξv sen(α)) cot(α)fa(ξ − v sen(α))
5. Regla del Factor Escalante
Si g(x) = f(cx) entonces
ga(ξ) =
(1− i cot(α)
c
)e−iπξ2 cot(α)
(1− cos2(α)
cos2(β)
)
fb
(ξ csc(α)
c csc(β)
)
con β = bπ2.
6. Regla de la Traslacion
Si g(x) = f(x + b) con b constante entonces
ga(ξ) = eiπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))fa(ξ + b cos(α))
54
7. Regla de la Exponencial
Si g(x) = e−i2π bxf(x) con b constante entonces
ga(ξ) = e−i2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))fa(ξ + b sen(α))
Ahora se demostraran cada una de estas reglas operacionales.
Regla operacional N◦ 1
Primero se demostrara la regla para las funciones Hermite Gaussianas y para m = 1, por lo
tanto, la regla establece lo siguiente:
fa {xψn(x)} =
(ξcos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {ψn(x)}
Demostracion:
Partiendo de la formula de recurrencia de las funciones Hermite Gaussiana (1.17), se puede
escribir que
xψn(x) = 2−1ψn+1(x) + nψn−1(x)
Entonces se tiene que
fa {xψn(x)} = fa
{2−1ψn+1(x) + nψn−1(x)
}
(i)= 2−1fa {ψn+1(x)}+ nfa {ψn−1(x)}(ii)= 2−1eiα(n+1)ψn+1(ξ) + neiα(n−1)ψn−1(ξ)
(iii)= 2−1eiα(n+1)(2ξψn(ξ)− 2nψn−1(ξ)) + neiα(n−1)ψn−1(ξ)
= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− neiα(n+1)ψn−1(ξ) + neiα(n−1)ψn−1(ξ)
= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− nψn−1(ξ)(eiα(n+1) − eiα(n−1))
= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− nψn−1(ξ)eiαn(eiα − e−iα)
(iv)= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− nψn−1(ξ)e
iαn(cos(α) + i sen(α)− (cos(α)− i sen(α)))
= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− i2n sen(α) ψn−1(ξ)eiαn (2.29)
55
(i): por la propiedad de la Linealidad de la FrFT (2.24)
(ii): usando (2.26)
(iii): por la formla de recurrencia de las funciones Hermite Gaussiana (1.17)
(iv): por la formula de Euler.
Por otro lado, se tiene que
d
dξ
(fa {ψn(x)}
)(i)=
d
dξ
(eiαnψn(ξ)
)
(ii)= eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ))
(i): usando (2.26)
(ii): usando (1.16)
Multiplicando la ecuacion anterior por i sen(α) se tiene que
i sen(α)d
dξ
(fa {ψn(x)}
)= i sen(α) eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ)) (2.30)
Ahora sumando (2.29) y (2.30), se obtiene que:
fa {xψn(x)}+ i sen(α)d
dξ
(fa {ψn(x)}
)=
= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− i2n sen(α) ψn−1(ξ)eiαn + i sen(α) eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ))
= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− iξ sen(α) eiαnψn(ξ)
Entonces
fa {xψn(x)} = ξeiα(n+1)ψn(ξ)− iξ sen(α) eiαnψn(ξ)− i sen(α)d
dξ
(fa {ψn(x)}
)
= ξeiαnψn(ξ)(eiα − i sen(α))− i sen(α)d
dξ
(fa {ψn(x)}
)
= ξeiαnψn(ξ)(cos(α) + i sen(α)− i sen(α))− i sen(α)d
dξ
(fa {ψn(x)}
)
(i)= ξ cos(α)fa {ψn(x)} − i sen(α)
d
dξ
(fa {ψn(x)}
)
=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {ψn(x)} . (2.31)
56
(i): usando (2.26)
Ahora, sea f(x) una funcion de L2, se debe mostrar que
fa {xf(x)} =
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
Demostracion:
Como las funciones Hermite Gaussianas ψn(x) forman una base ortogonal para L2 entonces
se puede expresar a f(x) como sigue:
f(x) =∞∑
n=0
anψn(x)
Entonces
fa {xf(x)} = fa
{x
∞∑n=0
anψn(x)
}
(i)=
∞∑n=0
anfa {xψn(x)}
(ii)=
∞∑n=0
an
((ξ cos(α)− isen(α)
d
dξ
)fa {ψn(x)}
)
(i)=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa
{ ∞∑n=0
anψn(x)
}
=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {f(x)} .
(i): por la Linealidad de la FrFT (2.24)
(ii): usando la regla de multiplicacion para las funciones Hermite Gaussianas (2.31)
Finalmente se demostrara la formula general de la Regla de la Multiplicacion, es decir:
fa {xmf(x)} =
(ξcos(α)− i sen(α)
d
dξ
)m
fa {f(x)}
Demostracion:
Siguiendo el proceso inductivo, primero se demostrara que la regla es cierta para m = 2,
57
luego se supondra que es cierta para m = k, y finalmente se demostrara que se cumple para
m = k + 1.
Para m = 2 se debe probar que
fa
{x2f(x)
}=
(ξcos(α)− i sen(α)
d
dξ
)2
fa {f(x)} (2.32)
Entonces se tiene que
fa
{x2f(x)
}= fa {x(xf(x))}=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {xf(x)}
=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)2
fa {f(x)}
Se supone que la proposicion es cierta para m = k, con lo que se tiene
fa
{xkf(x)
}=
(ξcos(α)− i sen(α)
d
dξ
)k
fa {f(x)}
Por ultimo, se debe mostrar que la proposicion se cumple para m = k + 1, es decir, se tiene
que mostrar que
fa
{xk+1f(x)
}=
(ξcos(α)− i sen(α)
d
dξ
)k+1
fa {f(x)}
fa
{xk+1f(x)
}= fa
{xk(xf(x))
}
(i)=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)k
fa {xf(x)}
=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)k (ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)k+1
fa {f(x)} .
58
(i): usando la hipotesis inductiva
Por otra parte, se puede mostrar que la ecuacion (2.32) se puede expresar como:
sen 2α
2(−i + ξ2 cot(α))fa {f(x)} − iξ sen(2α)
d
dξfa {f(x)} − sen2(α)
d 2
dξ2fa {f(x)}
como lo expresa Victor Namias en [15].
Ahora se realizara la demostracion de esta ultima afirmacion.
Demostracion:
fa
{x2f(x)
}= fa {x(xf(x))}=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {xf(x)}
=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
=
(ξ2 cos2(α)− iξ cos(α) sen(α)
d
dξ− i sen(α)
d
dξξ cos(α) + i2 sen2(α)
d 2
dξ2
)fa {f(x)}
= ξ2 cos2(α)fa {f(x)} − iξ cos(α) sen(α)d
dξfa {f(x)} − i sen(α) cos(α)
d
dξxfa {f(x)}
− sen2(α)d 2
dξ2fa {f(x)}
Comod
dξξfa {f(x)} = fa {f(x)}+ ξ
d
dξfa {f(x)}
59
entonces
fa
{x2f(x)
}= ξ2 cos2(α)fa {f(x)} − iξ cos(α) sen(α)
d
dξfa {f(x)} − i sen(α) cos(α)fa {f(x)}
−iξ sen(α) cos(α)d
dξfa {f(x)} − sen2(α)
d 2
dξ2fa {f(x)}
= (ξ2 cos2(α)− i sen(α) cos(α))fa {f(x)} − i2ξ cos(α) sen(α)d
dξfa {f(x)}
− sen2(α)d 2
dξ2fa {f(x)}
= sen(α) cos(α)
(ξ2 cos(α)
sen(α)− i
)fa {f(x)} − iξ sen(2α)
d
dξfa {f(x)}
− sen2(α)d 2
dξ2fa {f(x)}
=sen 2α
2(−i + ξ2 cot(α))fa {f(x)} − iξ sen(2α)
d
dξfa {f(x)} − sen2(α)
d 2
dξ2fa {f(x)} .
Regla operacional N◦ 2
Primero se mostrara la regla para las funciones Hermite Gaussianas y para m = 1, ası, la
regla establece lo siguiente:
fa
{d
dxψn(x)
}=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa {ψn(x)}
Demostracion:
De la ecuacion (1.16) se sabe que
ψ′n(x) = −xψn(x) + 2nψn−1(x)
60
Entonces se tiene que
fa
{d
dxψn(x)
}= fa {−xψn(x) + 2nψn−1(x)}(i)= −fa {xψn(x)}+ 2nfa {ψn−1(x)}(ii)= −
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa {ψn(x)}+ 2nfa {ψn−1(x)}
(iii)= −
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)eiαnψn(ξ) + 2neiα(n−1)ψn−1(ξ)
= −ξ cos(α)eiαnψn(ξ) + i sen(α)eiαn d
dξ(ψn(ξ)) + 2neiα(n−1)ψn−1(ξ)
(iv)= −ξ cos(α)eiαnψn(ξ) + i sen(α)eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ) +
+2neiα(n−1)ψn−1(ξ)
= −ξ cos(α)eiαnψn(ξ)− iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + i2n sen(α)eiαnψn−1(ξ)) +
+2neiαne−iαψn−1(ξ) (2.33)
(i): por la propiedad de la Linealidad de la FrFT (2.24)
(ii): usando la regla de la multipicacion (2.28)
(iii): usando (2.26)
(iv): por la formla de la derivada de las funciones Hermite Gaussianas (1.16)
Por otro lado, se tiene que
d
dξ
(fa {ψn(x)}
)(i)=
d
dξ
(eiαnψn(ξ)
)
(ii)= eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ))
(i): usando (2.26)
(ii): por la formla de la derivada de las funciones Hermite Gaussianas (1.16)
Ahora, multiplicando la ecuacion anterior por cos(α) se tiene que
cos(α)d
dξ
(fa {ψn(x)}
)= cos(α) eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ)) (2.34)
61
Restando (2.33) y (2.34), se obtiene que
fa
{d
dxψn(x)
}− cos(α)
d
dξ
(fa {ψn(x)}
)=
= −ξ cos(α)eiαnψn(ξ)− iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + i2n sen(α)eiαnψn−1(ξ) +
+2neiαne−iαψn−1(ξ)− cos(α) eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ))
= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + i2n sen(α)eiαnψn−1(ξ) + 2neiαne−iαψn−1(ξ)−−2n cos(α) eiαnψn−1(ξ)
= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + (i sen(α) + e−iα − cos(α)) 2neiαnψn−1(ξ)
(i)= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + (i sen(α) + cos(α)− i sen(α)− cos(α)) 2neiαnψn−1(ξ)
= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ)
Entonces
fa
{d
dxψn(x)
}= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + cos(α)
d
dξ
(fa {ψn(x)}
)
(ii)= −iξ sen(α)fa {ψn(x)}+ cos(α)
d
dξ
(fa {ψn(x)}
)
=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa {ψn(x)} . (2.35)
(i): por la formula de Euler.
(ii): usando (2.26)
Ahora, sea f(x) una funcion de L2, se debe mostrar que
fa
{d
dxf(x)
}=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
Demostracion:
Como las funciones Hermite Gaussianas ψn(x) forman una base ortogonal para L2, entonces
se sabe que se puede expresar a f(x) como sigue:
f(x) =∞∑
n=0
anψn(x)
62
Entonces
fa
{d
dxf(x)
}= fa
{d
dx
∞∑n=0
anψn(x)
}
(i)=
∞∑n=0
anfa
{d
dxψn(x)
}
(ii)=
∞∑n=0
an
((−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa {ψn(x)}
)
(i)=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa
{ ∞∑n=0
anψn(x)
}
=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa {f(x)} .
(i): por la Linealidad de la FrFT (2.24)
(ii): usando la regla de diferenciacion para las funciones Hermite Gaussianas (2.35)
Finalmente se demostrara la forma general de la Regla de la Diferenciacion:
fa
{d m
dxmf(x)
}=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)m
fa {f(x)}
Demostracion:
Siguiendo el proceso inductivo, primero se demostrara que la regla es cierta para m = 2,
luego se supondra que la proposicion es cierta hasta m = k, para finalmente mostrar que la
proposicion se cumple para m = k + 1.
Para m = 2 se debe probar que
fa
{d 2
dx2f(x)
}=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)2
fa {f(x)}
63
entonces
fa
{d 2
dx2f(x)
}= fa
{d
dx
(d
dxf(x)
)}
=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa
{d
dxf(x)
}
=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)2
fa {f(x)}
Se supone que la proposicion es cierta hasta m = k, esto es
fa
{d k
dxkf(x)
}=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)k
fa {f(x)}
Por ultimo se debe mostrar que la proposicion se cumple para m = k + 1, es decir, se tiene
que mostrar que
fa
{d k+1
dxk+1f(x)
}=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)k+1
fa {f(x)}
fa
{d k+1
dxk+1f(x)
}= fa
{d k
dxk
(d
dξf(x)
)}
(i)=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)k
fa
{d
dxf(x)
}
=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)k (−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
=
(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)k+1
fa {f(x)} .
(i): usando la hipotesis inductiva
Regla operacional N◦ 3
64
Demostracion:
fa
{x
d
dxf(x)
}=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)fa
{d
dxf(x)
}
=
(ξ cos(α)− i sen(α)
d
dξ
)(−iξ sen(α) + cos(α)
d
dξ
)fa {f(x)}
=
(−iξ2 cos(α) sen(α) + ξ cos2(α)
d
dξ+ i2 sen2(α)
d
dξξ − i sen(α) cos(α)
d 2
dξ2
)fa {f(x)}
= −iξ2 cos(α) sen(α)fa {f(x)}+ ξ cos2(α)d
dξfa {f(x)} − sen2(α)
d
dξξfa {f(x)}
−i sen(α) cos(α)d 2
dξ2fa {f(x)}
Por otra parte se sabe que
d
dξξfa {f(x)} = fa {f(x)}+ ξ
d
dξfa {f(x)}
Entonces
fa
{x
d
dxf(x)
}= −iξ2 cos(α) sen(α)fa {f(x)}+ ξ cos2(α)
d
dξfa {f(x)} − sen2(α)fa {f(x)}
−ξ sen2(α)d
dξfa {f(x)} − i sen(α) cos(α)
d 2
dξ2fa {f(x)}
= (−iξ2 cos(α) sen(α)− sen2(α))fa {f(x)}+ (ξ cos2(α)− ξ sen2(α))d
dξfa {f(x)}
− i
2sen(2α)
d 2
dξ2fa {f(x)}
= −(sen2(α) + iξ2 sen(α) cos(α))fa {f(x)}+ ξ cos(2α)d
dξfa {f(x)}
− i
2sen(2α)
d 2
dξ2fa {f(x)} .
Regla operacional N◦ 4
Demostracion:
65
Se parte escribiendo el significado de fa(ξ − v sen(α))
fa(ξ − v sen(α)) = cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2x(ξ−v sen(α)) csc(α)−(x2+(ξ−v sen(α))2) cot(α))f(x) dx
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−2xv sen(α) csc(α)−(x2+ξ2−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α))f(x) dx
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)−2xv−(−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α))f(x) dx
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)) e2iπxv eiπ(−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α)f(x) dx
= eiπ(−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α) cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)) ei2πxv f(x) dx
(i)= eiπ(−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α) ga(ξ)
Luego
e−iπ(v2 sen(α)−2ξv sen(α)) cot(α)fa(ξ − v sen(α)) = ga(ξ).
Ası se llega finalmente a lo que se querıa mostar.
(i): usando que g(x) = f(x)e2iπxv
Regla operacional N◦ 6
Demostracion:
ga(ξ) = cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))f(x + b) dx
aplicando el cambio de variables y = x + b se tiene que x = y − b y dy = dx. Ası se obtiene
que
ga(ξ) = cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2(y−b)ξ csc(α)−((y−b)2+ξ2) cot(α))f(y) dy
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2yξ csc(α)− 2bξ csc(α)− y2 cot(α)+ 2yb cot(α)− b2 cot(α)− ξ2 cot(α))f(y) dy
66
Ahora se multiplica a cada lado de la ecuacion anterior por el termino e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α)).
Ası se obtiene que:
e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))ga(ξ) =
= e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2yξ csc(α)− 2bξ csc(α)− y2 cot(α)+ 2yb cot(α)− b2 cot(α)− ξ2 cot(α))f(y) dy
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2yξ csc(α)− 2bξ csc(α)− y2 cot(α)+ 2yb cot(α)− b2 cot(α)− ξ2 cot(α)+ 2b ξ sen(α)+b2 sen(α) cos(α))f(y) dy
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2yξ csc(α)+ 2yb cot(α)− y2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ csc(α)+ 2b ξ sen(α)− b2 cot(α)+ b2 sen(α) cos(α))f(y) dy
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2y(ξ csc(α)+ b cot(α))− y2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ(csc(α)− sen(α))− b2(cot(α)− sen(α) cos(α)))f(y) dy
(2.36)
Ahora se usaran las siguientes identidades trigonometricas:
cot(α) =cos(α)
sen(α)= cos(α)
1
sen(α)= cos(α) csc(α). (2.37)
csc(α)− sen(α) =1
sen(α)− sen(α) =
1− sen2(α)
sen(α)=
cos2(α)
sen(α)= cot(α) cos(α). (2.38)
cot(α)− sen(α) cos(α) =cos(α)
sen(α)− sen(α) cos(α) =
cos(α) − sen2(α) cos(α)
sen(α)
=cos(α)(1 − sen2(α))
sen(α)=
cos(α) cos2(α)
sen(α)= cos2(α) cot(α).
(2.39)
67
Entonces utilizando (2.37), (2.38), (2.39) en (2.36) se llega a que
e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))ga(ξ) =
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2y(ξ csc(α)+ b cos(α) csc(α))− y2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ cot(α) cos(α)− b2 cos2(α) cot(α))f(y) dy
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2y(ξ + b cos(α)) csc(α)− y2 cot(α)− (ξ2 +2ξb cos(α)+ b2 cos2(α)) cot(α))f(y) dy
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2y(ξ + b cos(α)) csc(α)− y2 cot(α)− (ξ+ b cos(α))2 cot(α))f(y) dy
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2y(ξ + b cos(α)) csc(α)− (y2 +(ξ+ b cos(α))2) cot(α))f(y) dy
= fa(ξ + b cos(α))
Ası se obtiene que
e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))ga(ξ) = fa(ξ + b cos(α))
y se demostro lo que se querıa
ga(ξ) = eiπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))fa(ξ + b cos(α)).
Regla operacional N◦ 7
Demostracion:
ga(ξ) = cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)) e−i2π bxf(x) dx
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)+2bx)f(x) dx
Ahora se multiplica a cada lado de la ecuacion anterior por el termino ei2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))
y se obtiene que:
68
ei2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))ga(ξ) =
= ei2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)+2bx)f(x) dx
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2xξ csc(α)−x2 cot(α)− ξ2 cot(α) + 2bx− 2bξ cos(α)− b2 cos(α) sen(α))f(x) dx
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2x(ξ csc(α)+ b)−x2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ cos(α)− b2 cos(α) sen(α))f(x) dx (2.40)
Ahora se escribiran las siguientes identidades trigonometricas:
1 = sen(α)1
sen(α)= sen(α) csc(α). (2.41)
cos(α) = sen(α)cos(α)
sen(α)= sen(α) cot(α). (2.42)
sen(α) cos(α) = sen2 αcos(α)
sen(α)= sen2 α cot(α). (2.43)
y aplicando (2.41), (2.42), (2.43) en (2.40) se llega a que
ei2π cos(α) (ξ+ 12b sen(α))ga(ξ) =
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2x(ξ csc(α)+ b sen α csc α)−x2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ sen(α) cot(α)− b2 sen2 α cot(α))f(x) dx
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2x(ξ + b sen(α)) csc(α)− (x2 + ξ2 + 2bξ sen(α)+ b2 sen2 α) cot(α))f(x) dx
= cα
∫ ∞
−∞e−iπ(2x(ξ + b sen(α)) csc(α)− (x2 +(ξ + b sen(α))2) cot(α))f(x) dx
= fa(ξ + b sen(α))
Por lo tanto
ei2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))ga(ξ) = fa(ξ + b sen(α))
es decir
ga(ξ) = e−i2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))fa(ξ + b sen(α)).
69
Capıtulo 3
Aplicacion de la TransformadaFraccionaria de Fourier en
Watermarking
En este capıtulo se abordara uno de los campos donde la transformada fraccionaria
de Fourier tiene aplicacion, se trata de watermarking. Primero se explicara lo que son las
marcas de agua digitales o watermarking. Para esto, se dara una pequena introduccion,
definicion, inicios, aplicaciones, caracterısticas, y clasificacion de las watermarking. Luego se
estudiara una tecnica de watermarking usando transformada fraccionaria de Fourier, con el
fin de crear un programa donde se implemente esta tecnica.
3.1. Introduccion
Desde la antiguedad, cualquiera que tuviera o produjera un documento u obra de arte de
algun valor estaba interesado en marcarlo con un sello o codigo con el objetivo de establecer
su propiedad y su autenticidad en caso de copia o robo. Con la evolucion tecnologica, el
70
rapido crecimiento del Internet junto con la posibilidad de digitalizacion de cualquier tipo
de informacion, ademas de poder realizar modificaciones o copias con una calidad identica a
la del original, se hace necesaria la creacion de mecanismos de proteccion de los derechos de
la propiedad intelectual.
3.2. Definicion
Watermarking digital (o marcas de agua) es un codigo de informacion que es incluido
en un archivo multimedia de manera que sea preferiblemente no perceptible para el humano
pero sı facilmente detectable por un computador. El tipo de informacion incrustada en el
archivo dependera de la aplicacion que se le dara a la marca de agua.
Todas las tecnicas de Watermarking estan formadas por dos procesos: El proceso de insercion
o codificacion y el proceso de extraccion o identificacion. El proceso de insercion realiza la
inclusion de la marca de agua X en el archivo original A para producir el archivo marcado
A∗. Por lo general, es asociada a este proceso una clave con el objeto de aumentar la seguri-
dad. Ver Figura 3.1.
El proceso de identificacion, dependiendo del proceso de codificacion y del uso de la Water-
marking, extrae la marca X o calcula un parametro que dira si la marca esta presente en el
archivo estudiado.
3.3. Inicios
Se puede atribuir la creacion del Watermarking digital a Emil Hembrooke de Muzac
Corporation, quien en 1954 presento una patente titulada “Identification of sound and like
signals”[10], en la cual se describe un metodo para incluir dentro de un dispositivo que con-
71
Figura 3.1: Esquema del proceso de watermarking.
tenıa musica, un codigo imperceptible con el objeto de probar la autorıa de la pieza.
Sin embargo, no fue hasta 1990 cuando el interes por Watermarking digital tuvo un gran
auge convirtiendose en un topico importante de investigacion. Este auge fue motivado por
grupos como Copy Protection Technical Working Group (CPTWG), Strategic Digital Music
Initiative (SDMI) y Recording Industry Association of America (RIAA) entre otros, quienes
estaban preocupados por el incremento en la violacion de los derechos de autor.
72
3.4. Aplicaciones
Entre las principales aplicaciones de la Watermarking se encuentran las siguientes:
Verificacion de propiedad
La marca de agua se usa como una firma que demuestra quien es el propietario de la
informacion. En este caso la marca podrıa ser visible o invisible.
Identificacion de originales, deteccion de alteraciones
La marca de agua actua de forma que se pueda asegurar la autenticidad de la infor-
macion, por ejemplo en pruebas judiciales, reclamos a seguros, fotografıa periodıstica.
Deteccion de copia y distribucion no autorizada
La marca de agua se usa como una firma distintiva de cada copia, lo que permite saber
quien es el propietario original de una copia pirata.
Etiquetado de contenido
La marca de agua incluye datos adicionales del archivo donde esta guardada, por
ejemplo en un archivo MP3 puede estar guardado el tıtulo de la cancion, el autor y
hasta una foto de la portada del disco a la que pertenece la pieza.
Ocultar informacion
Este tipo de marcas se usan para transmitir mensajes ocultos. Para un ejemplo, ver
Figura 3.2
3.5. Caracteristicas
Existen varias caracterısticas importantes que deben estar presentes en una Watermark-
ing para garantizar su efectividad. Para este trabajo se destacan las siguientes:
73
Figura 3.2: Esquema para ocultar una foto dentro de otra como una watermarking.
Grado de Robustez
Se refiere a que debe ser difıcil distorsionar la marca hasta el punto de hacerla inde-
tectable o eliminarla totalmente.
Costo computacional
Es importante que el tiempo empleado en el proceso de insercion de la marca, y espe-
cialmente en el proceso de deteccion, sea el menor posible.
Ambiguedad
La probabilidad de fallar detectando la marca, es decir un falso negativo, y de detectarla
cuando realmente no existe, es decir, un falso positivo, deben ser muy bajas.
Invisible a nivel estadıstico
Si todos los productos marcados con una clave presentan una misma caracterıstica
comun, resultara sencillo detectar la proteccion si se dispone de un numero considerable
de productos marcados. Para evitarlo, puede usarse una marca de agua que dependa
del contenido de la informacion. De esta forma, si se dispone por ejemplo de N imagenes
74
diferentes, no podra extraerse la marca como aquella parte comun a todas ellas, ya que
cada marca depende del contenido de su propia imagen.
3.6. Clasificacion
Estas tecnicas de Watermarking Digital pueden ser aplicadas a diferentes tipos de archivos:
textos, sonidos, imagenes y videos.
Segun el proceso de Insercion, las Watermarking pueden ser clasificadas en dos categorıas:
Tecnicas en el Dominio del Espacio
Son las mas sencillas, la marca modifica directamente el valor de crominancia de los
pıxeles.
Tecnicas en el Dominio de la Frecuencia:
Emplean una transformacion lineal e invertible para convertir los valores de la imagen
(pıxeles) del dominio tiempo al dominio frecuencia. La marca modifica directamente
el valor de los coeficientes espectrales de la imagen. La mayor parte de las tecnicas
desarrolladas en este dominio estan inspiradas en metodos de codificacion y compresion.
Aquı se puede destacar la siguiente subclasificacion:
• Transformada Discreta del Coseno
• Transformada Discreta de Wavelet
• Transformada Discreta de Fourier
• Transformada Discreta Fracionaria de Fourier
Para mayor informacion sobre las aplicaciones y la clasificacion de las watermarking se puede
consultar [8, 4, 2, 3, 9, 6, 22, 12]
75
3.7. Algoritmo
El metodo descrito por Djurovic, Stankovic, y Pitas [8] esta enmarcado en watermarking
para imagenes, en particular para imagenes en blanco y negro y utiliza el dominio fraccionario
de Fourier. Al estar trabajando sobre imagenes es necesario utilizar la FrFT bidimensional por
lo que se emplearan dos angulos (α y β) para hacer los calculos. Este metodo esta basado en
una tecnica de correlacion donde se marca la imagen con un patron de ruido pseudoaleatorio.
Un patron pseudoaleatorio es aquel que, partiendo de un valor inicial llamado semilla, va
generando una sucesion de numeros. Siempre que se parta de la misma semilla, se obtendra la
misma secuencia de numeros. Para crear la imagen marcada I*, el ruido pseudoaleatorio
M es multiplicado por una constante k y luego sumado a la imagen a marcar I, es decir,
I*=I+kM. Para detectar la imagen marcada se utiliza la correlacion entre ella y el ruido
pseudoaleatorio. Durante el proceso de deteccion, el valor de la correlacion va a ser alto para
el ruido pseudoaleatorio generado con la semilla correcta y bajo para el caso contrario.
A continuacion se deescriben los dos procesos involucrados en esta tecnica de watermark-
ing, a saber, el proceso de insercion o codificacion y el proceso de extraccion o identificacion.
Proceso de Insercion:
1. Leer la imagen a marcar “ Im ”
2. Crear la marca “ M ”
3. Calcular “ ImT ”que es la transformada fraccionaria de Fourier de “ Im ”
4. Insertar la marca “ M ” dentro de “ ImT ” para producir “ ImT* ”
76
5. Calcula la transformada fraccionaria de Fourier inversa de “ ImT* ” para generar
“ Im* ”
6. Mostrar la imagen marcada “ Im* ”
Proceso de Extraccion:
1. Leer la imagen a estudiar “ Im** ”
2. Leer la marca “ M ” que debe ser reconocida en la supuesta imagen marcada
“ Im** ”
3. Calcular el ındice de correlacion “ d ” entre la marca “ M ” y la imagen a estudiar
“ Im** ”
4. Dar la respuesta del analisis, que sera “ SI ” en caso que el valor de “ d ” sea alto
y “ NO ” en caso contrario
Este algoritmo fue programado en MatLab y el codigo se encuentra en la seccion de anexos.
3.8. Resultados
En esta seccion se presentan los resultados obtenidos con la implementacion de este algo-
ritmo. Es importante senalar que estos son resultados preliminares. La finalidad del estudio
en este campo de aplicacion es proponer un nuevo algoritmo que mejore el desempeno de los
que existen actualmente, pero esto quedara para futuras investigaciones.
A continuacion se tomara una foto y se le insertara una marca usando los angulos α = 0.3π2
y β = 0.6π2. Por razones evidentes se empleara una marca que resultara visible en la foto.
En la Figura 3.3 (a) esta la foto original y en la Figura 3.3 (b) se muestra la foto marcada.
77
Por otro lado, en la Figura 3.4 (a) se presenta la grafica de los coeficientes de la transformada
fraccionaria de Fourier para la foto original y en la Figura 3.4 (b) se muestra la grafica de
los coeficientes de la transformada de Fourier de la imagen marcada. Al comparar ambas
graficas resulta evidente reconocer que parte corresponde a la marca (pico), ademas, como se
puede ver en la Figura 3.4 (a), los valores observados tienen un maximo de aproximadamente
220 mientras que en la Figura 3.4 (b) se ve que el pico tienen un valor aproximado de 1500,
con lo que se esta en presencia de un valor significativamente distinto al resto.
Ahora, en la Figura 3.5 se presentan diferentes graficas para los coeficientes de la transfor-
mada fraccionaria de Fourier de la foto marcada, pero usando angulos distintos a los usados
para la insercion de la marca, como resulta evidente, solo cuando son usados los angulos
correctos se puede identificar la marca sin posibilidad de error, en los otros casos no hay una
diferencia tan significativa entre algun pico y el resto de los valores.
(a) (b)
Figura 3.3: (a) Foto original. (b) Foto marcada
78
Figura 3.4: (a) FrFt de la Foto original. (b) FrFt de la Foto marcada
79
Figura 3.5: FrFT de la imagen marcada con diferentes angulos.
80
Conclusiones
En este trabajo, se estudiaron aspectos teoricos de la transformada fraccionaria de Fouri-
er, ası como tambien, se inicio el estudio en uno de los campos de su aplicacion. Debido
a que la gran mayorıa de los resultados exhibidos en los artıculos que abordan a la FrFT
estan enunciados sin demostracion y para el resto de ellos solo se ofrece un boceto de su
demostracion, el centro de este trabajo fue la formalizacion de las demostraciones de estos
resultados teoricos. Ası, se demostraron todas las propiedades del Kernel de la FrFT tomando
en cuenta la totalidad de los casos que se generan de su definicion. Estas propiedades fueron
la base para la demostracion de las propiedades de la FrFT. Tambien fueron demostradas
las reglas operacionales de la FrFT, y de igual manera, se calculo en detalle la FrFT para un
grupo de funciones basicas.
El estudio de la aplicacion de la FrFT se centro en el tema de marcas de agua digitales (wa-
termarking). Se realizo una investigacion exploratoria para conocer este tema, entendiendo la
evolucion que ha tenido hasta el momento y los problemas abiertos que existen actualmente.
Luego de este primer acercamiento, el trabajo se enfoco en el de I. Djurovic, S. Stankovic, y I.
Pitas [8], obteniendo como resultado la implementacion en MatLab del algoritmo propuesto
por ellos y realizando varias problemas test para efectuar pruebas iniciales.
81
Anexos
1. Codigo en Matlab para las graficas de los primeros 6 polinomios de Hermite
x=-10:0.01:10;
H0=1;
H1=2*x;
H2=4*x.^2-2;
H3=8*x.^3-12.*x;
H4=16*x.^4-48*x.^2+12;
H5=32*x.^5-160*x.^3+120*x;
figure;
subplot(3,2,1);plot(x,H0);title(’H0(x)’);
subplot(3,2,2);plot(x,H1);title(’H1(x)’);
subplot(3,2,3);plot(x,H2);title(’H2(x)’);AXIS([-4 4 -10 60]);
subplot(3,2,4);plot(x,H3);title(’H3(x)’);AXIS([-2 2 -60 60]);
subplot(3,2,5);plot(x,H4);title(’H4(x)’);AXIS([-2.3 2.3 -40 80]);
subplot(3,2,6);plot(x,H5);title(’H5(x)’);AXIS([-2.3 2.3 -150 150])
82
2. Codigo en Matlab para generar las graficas del Kernel de la FrFT con α = aπ2
[u,v]=meshgrid(-1:0.01:1);
a=[0.05 0.1 0.5 0.9 1.3 1.7 1.9 1.95];
figure;
for t=1:8
alfa=a(t)*pi/2;
k=sqrt(1-i*cot(alfa))*exp(-i*pi*(2*csc(alfa)*
u.*v-(u.^2 + v.^2)*cot(alfa)));
subplot(4,2,t);mesh(real(k));
AXIS([0 220 0 300]);
VIEW(-10,60)
ylabel([’a = ’,num2str(a(t))])
end
figure;
for t=1:8
alfa=a(t)*pi/2;
k=sqrt(1-i*cot(alfa))*exp(-i*pi*(2*csc(alfa)*
u.*v-(u.^2 + v.^2)*cot(alfa)));
subplot(4,2,t);mesh(imag(k));
AXIS([0 220 0 300]);
VIEW(-10,60)
ylabel([’a = ’,num2str(a(t))])
end
83
3. Codigo en Matlab para generar las graficas de la FrFT para f(u) = 1
u=-4:0.01:4; filas=3;
for t=1:3
alfa=0.25*t*pi/2;
z=sqrt(1+i*tan(alfa)).*exp(-i*pi*u.^2*tan(alfa));
subplot(filas,2,2*t-1);plot(u,real(z));
title([’a=’,num2str(0.25*(t-1)),’ (parte real)’]);
subplot(filas,2,2*t);plot(u,imag(z));
title([’a=’,num2str(0.25*(t-1)),’ (parte imaginaria)’]);
end
4. Codigo en Matlab para generar las graficas de la FrFT para f(u) = δ(u)
figure; u=-4:0.01:4; c=0.9; b=0.1;
for t=1:3
alfa=0.25*t*pi/2;
z = sqrt(1-i*cot(alfa)).*exp(i*pi*u.^2.*cot(alfa));
subplot(filas,2,2*t-1);plot(u,real(z));
title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte real)’]);
subplot(filas,2,2*t);plot(u,imag(z));
title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte imaginaria)’]);
end
84
5. Codigo en Matlab para generar las graficas de la FrFT para f(x) = eiπ(χx2+2λx) con
χ = λ = 12
figure; u=-4:0.01:4; c=0.5; b=0.5;
for t=1:3
alfa=0.25*t*pi/2;
z=sqrt((1+i*tan(alfa))./(1+c.*tan(alfa))).*exp(i*pi*(u.^2.*(c-tan(alfa))
+2*u*b.*sec(alfa)-b.^2.*tan(alfa))./(1+c.*tan(alfa)));
subplot(filas,2,2*t-1);plot(u,real(z));
title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte real)’]);
subplot(filas,2,2*t);plot(u,imag(z));
title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte imaginaria)’]);end
6. Codigo en Matlab para generar las graficas de la FrFT para f(x) = e−π(χx2+2λx) con
χ = λ = 12
figure; u=-4:0.01:4; c=0.5; b=0.5;
for t=1:3
alfa=0.25*t*pi/2;
z=sqrt((1-i*cot(alfa))./(c-i.*cot(alfa))).*exp(pi*u.^2*(i*c*cot(alfa)-1)
+pi*b.^2+2*i*pi*u*b.*csc(alfa)./(c-i.*cot(alfa)));
subplot(filas,2,2*t-1);plot(u,real(z));
title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte real)’]);
subplot(filas,2,2*t);plot(u,imag(z));
title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte imaginaria)’]);end
85
7. Codigo en Matlab del algoritmo descrito en el artıculo de Djurovic, Stankovic, y Pitas
function WM4(ang1,ang2);
x=imread(’lena.tiff’);
ximg=double(x)/255;
M=8000;L=M;
%marca= WGN(1, M, 0.04,’complex’);
marca = sqrt(0.04)*randn(1,M)+i*sqrt(0.04)*randn(1,M);
% Dimensiones
dimximg=size(ximg);
% Transformada
tx_a=fracF2D(ximg,ang1,ang2);
tx_b=uDFRFT2D(ximg,ang1,ang2);
% Pasar a vector columna
vtx_a=tx_a(:);
vtx_b=tx_b(:);
% Ordenar el vector de manera ascendente
[svtx_a,inx_a]=sort(vtx_a);
[svtx_b,inx_b]=sort(vtx_b);
% Colocar el vector en orden descendente
svtx_a=flipud(svtx_a);
86
svtx_b=flipud(svtx_b);
copia_svtx_a=svtx_a;
copia_svtx_b=svtx_b;
% Incluir la marca en el vector
svtx_a(L+1:L+M)=svtx_a(L+1:L+M)+real(marca).’.*abs(real(svtx_a(L+1:L+M)))
+i*imag(marca).’.*abs(imag(svtx_a(L+1:L+M)));
svtx_b(L+1:L+M)=svtx_b(L+1:L+M)+real(marca).’.*abs(real(svtx_b(L+1:L+M)))
+i*imag(marca).’.*abs(imag(svtx_b(L+1:L+M)));
%calculo de los valores de "d" y "ed" usando fracF2D
disp(’Calculo d y ed para la imagen original usando fracF2D’);
d=sum(conj(marca).*svtx_a(L+1:L+M)’)
ed=sum(abs(real(svtx_a(L+1:L+M))))+sum(abs(imag(svtx_a(L+1:L+M))))
disp(’Calculo d y ed para la imagen original usando uDFRFT2D’);
d=sum(conj(marca).*svtx_b(L+1:L+M)’)
ed=sum(abs(real(svtx_b(L+1:L+M))))+sum(abs(imag(svtx_b(L+1:L+M))))
% Volver al orden inicial del vector
vtx2_a(inx_a)=flipud(svtx_a);
vtx2_b(inx_b)=flipud(svtx_b);
% Volver a la matriz
ximg2_a=reshape(vtx2_a,dimximg(1),dimximg(2));
87
ximg2_b=reshape(vtx2_b,dimximg(1),dimximg(2));
% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados, sin marca
figure;subplot(2,2,1);plot(real(copia_svtx_a));
title(’Coeficientes de la Transformada ordenada, sin marca
(vector) usando fracF2D’);
% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados y marcados
subplot(2,2,2);plot(real(svtx_a));
title(’Coeficientes de la Transformada ordenada y marcada
(vector) usando fracF2D’);
% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados, sin marca
subplot(2,2,3);plot(real(copia_svtx_b));
title(’Coeficientes de la Transformada ordenada, sin marca
(vector) usando uDFRFT2D’);
% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados y marcados
subplot(2,2,4);plot(real(svtx_b));
title(’Coeficientes de la Transformada ordenada y marcada
(vector) usando uDFRFT2D’);
% Inversa de la Transformada
%iximg=ifft2(ximg2);
iximg_a=fracF2D(ximg2_a,-ang1,-ang2);
iximg_b=uDFRFT2D(ximg2_b,-ang1,-ang2);
% Imprimir imagen marcada
88
figure;subplot(2,2,1);imshow(ximg);title(’Imagen Original’);
subplot(2,2,3);imshow(iximg_a);title(’Imagen Marcada usando fracF2D’);
subplot(2,2,4);imshow(iximg_b);title(’Imagen Marcada usando uDFRFT2D’);
% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados, sin marca
figure;subplot(2,2,1);mesh(abs(tx_a));
title(’Coeficientes de la Transformada sin marca
(matriz) usando fracF2D’);
% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados y marcados
subplot(2,2,2);mesh(abs(ximg2_a));
title(’Coeficientes de la Transformada marcada
(matriz) usando fracF2D’);
% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados, sin marca
subplot(2,2,3);mesh(abs(tx_b));
title(’Coeficientes de la Transformada sin marca
(matriz) usando uDFRFT2D’);
% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados y marcados
subplot(2,2,4);mesh(abs(ximg2_b));
title(’Coeficientes de la Transformada marcada
(matriz) usando uDFRFT2D’);
% Grafica de la imagen original (matriz)
figure;subplot(2,2,1);mesh(abs(ximg));
title(’Imagen Original (matriz)’);
% Grafica de la imagen marcada (matriz)
89
subplot(2,2,3);mesh(abs(iximg_a));
title(’Imagen Marcada (matriz) usando fracF2D’);
% Grafica de la imagen marcada (matriz)
subplot(2,2,4);mesh(abs(iximg_b));
title(’Imagen Marcada (matriz) usando uDFRFT2D’);
disp(’Calculo d y ed para la imagen original usando fracF2D’);
Calcular_d(L,M,ximg,marca,ang1,ang2,1);
disp(’Calculo d y ed para la imagen marcada usando fracF2D’);
Calcular_d(L,M,iximg_a,marca,ang1,ang2,1);
disp(’Calculo d y ed para la imagen original usando uDFRFT2D’);
Calcular_d(L,M,ximg,marca,ang1,ang2,2);
disp(’Calculo d y ed para la imagen marcada usando uDFRFT2D’);
Calcular_d(L,M,iximg_b,marca,ang1,ang2,2);
function Calcular_d(L,M,img,marca,ang1,ang2,tipo)
% para hacer los calculos sobre los valores de la imagen transformadas
if tipo==1
t=fracF2D(img,ang1,ang2);
else
t=uDFRFT2D(img,ang1,ang2);
end
vt=t(:);
svt=sort(vt);
svt=flipud(svt)’;
90
d=sum(conj(marca).*svt(L+1:L+M))
ed=sum(abs(real(svt(L+1:L+M))))+sum(abs(imag(svt(L+1:L+M))))
return
91
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