Contenido
Trigonometrıa: Funciones Trigonometricasde Angulos Estandarizados
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo 2
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Tabla de Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Objetivos:
Discutiremos:
angulos normalizados o en posicion estandar
funciones trigonometricas de angulos estandarizados
angulo de referencia
identidades trigonometricas fundamentales
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Objetivos:
Discutiremos:
angulos normalizados o en posicion estandar
funciones trigonometricas de angulos estandarizados
angulo de referencia
identidades trigonometricas fundamentales
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Objetivos:
Discutiremos:
angulos normalizados o en posicion estandar
funciones trigonometricas de angulos estandarizados
angulo de referencia
identidades trigonometricas fundamentales
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Objetivos:
Discutiremos:
angulos normalizados o en posicion estandar
funciones trigonometricas de angulos estandarizados
angulo de referencia
identidades trigonometricas fundamentales
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Angulos Estandarizados
Definicion de Angulo en Posicion Estandar
Definicion: Un angulo esta en posicion estandar o normalsi su vertice coincide con el origen del plano cartesiano y sulado inicial coincide con la parte positiva del eje−X.
Nota: El lado final del angulo puede caer en cualquiercuadrante o en cualquier eje de coordenadas.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Angulos Estandarizados
Figura: Angulos positivos en posicion estandar o normal
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Angulos Estandarizados
Figura: Angulos negativos en posicion estandar o normal
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Figura: r =√x2 + y2
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas
Funciones Trigonometricas de Angulos Estandarizados
Definicion: Sea θ un angulo en posicion estandar y sea P (x, y)un punto en el lado terminal de θ (distinto de O(0, 0)). Sear =
√x2 + y2 la distancia del punto P (x, y) al origen del
sistema cartesiano. Entonces, si esta definida
sen(θ) = yr csc(θ) = r
y
cos(θ) = xr sec(θ) = r
x
tan(θ) = yx cot(θ) = x
y
Nota: Los valores de las funciones trigonometricas de unangulo θ no dependen del punto particular que se escoja paracalcularlas; dependen unicamente de la medida del angulo θ.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas
Funciones Trigonometricas de Angulos Estandarizados
Definicion: Sea θ un angulo en posicion estandar y sea P (x, y)un punto en el lado terminal de θ (distinto de O(0, 0)). Sear =
√x2 + y2 la distancia del punto P (x, y) al origen del
sistema cartesiano. Entonces, si esta definida
sen(θ) = yr csc(θ) = r
y
cos(θ) = xr sec(θ) = r
x
tan(θ) = yx cot(θ) = x
y
Nota: Los valores de las funciones trigonometricas de unangulo θ no dependen del punto particular que se escoja paracalcularlas; dependen unicamente de la medida del angulo θ.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Figura: Relacion entre las razones trigonometricas y las funcionestrigonometricas de angulos estandarizados
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Figura: Signos de los valores de las funciones trigonometricas
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Figura: θ = −270◦ en forma estandar
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Figura: θ = 3π en forma estandar
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Figura: θ = 315◦ en forma estandar
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejercicios: Determine el valor de las seis funcionestrigonometricas de θ si:
1 la medida de θ es 32π radianes.
2 el lado final de θ cae sobre la lınea y = −x.
3 tan(θ) = 512 y el lado final de θ cae en el cuadrante III.
4 cos(θ) = −45
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Definicion: Un angulo estandar es cuadrantal si su lado finalcae encima de uno de los ejes de coordenadas.
Angulo de Referencia
Definicion: Sea θ un angulo en posicion estandar nocuadrantal. Entonces el angulo de referencia de θ es elangulo agudo formado por el lado final de θ y el eje−X.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Definicion: Un angulo estandar es cuadrantal si su lado finalcae encima de uno de los ejes de coordenadas.
Angulo de Referencia
Definicion: Sea θ un angulo en posicion estandar nocuadrantal. Entonces el angulo de referencia de θ es elangulo agudo formado por el lado final de θ y el eje−X.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Figura: Angulo de Referencia
Nota: El valor de una funcion trigonometrica de un anguloestandarizado θ es el mismo, excepto posiblemente por el signo,que del valor de esa misma funcion trigonometrica de su angulode referencia.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Figura: θ′
= 45◦ es el angulo de referencia de θ = 315◦
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejemplo: Sea θ = 928◦.
Determine un angulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminalcon θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de lasfunciones trigonometricas.)
Determine el angulo de referencia de θ.
Figura: Angulo de Referencia
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejemplo: Sea θ = 928◦.
Determine un angulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminalcon θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de lasfunciones trigonometricas.)Determine el angulo de referencia de θ.
Figura: Angulo de Referencia
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejemplo: Sea θ = 928◦.
Determine un angulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminalcon θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de lasfunciones trigonometricas.)Determine el angulo de referencia de θ.
Figura: Angulo de Referencia
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejercicio: Para cada caso, determine el angulo de referenciadel angulo θ, si θ es igual a:
1 −30◦
2 230◦
3 34π
4 −79π
5 640◦
6 2518π
7 −510◦
8 −56π
9 70◦
10 1918π
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejercicio: Exprese cada caso en terminos de su angulo dereferencia. Ejemplo: cos(150◦) = − cos(30◦)
1 sen(100◦)
2 tan(−23π)
3 tan(200◦)
4 sen(23π)
5 csc(74π)
6 sen(−300◦)
7 cot(−113 π)
8 sec(264◦)
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejercicio: Sin usar la calculadora, determine el valor exacto desen(θ), cos(θ) y tan(θ) haciendo uso del angulo de referencia deθ, si θ es igual a:(Ejemplo: cos(150◦) = − cos(30◦) = −1
2)
1 750◦
2 103 π
3 −405◦
4 −254 π
5 −840◦
6 43π
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Sea θ un angulo estandarizado cualquiera con medida en gradoso en radianes. Si ambos lados de la ecuacion estan definidos,entonces:
Identidades recıprocassen(θ) = 1
csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1
cot(θ)
csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1
cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)
Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)
cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Sea θ un angulo estandarizado cualquiera con medida en gradoso en radianes. Si ambos lados de la ecuacion estan definidos,entonces:
Identidades recıprocassen(θ) = 1
csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1
cot(θ)
csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1
cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)
Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)
cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Sea θ un angulo estandarizado cualquiera con medida en gradoso en radianes. Si ambos lados de la ecuacion estan definidos,entonces:
Identidades recıprocassen(θ) = 1
csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1
cot(θ)
csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1
cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)
Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)
cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)
Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)
Identidades Par/Imparsen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ) tan(−θ) = − tan(θ)csc(θ) = − csc(θ) sec(−θ) = sec(θ) cot(−θ) = − cot(θ)
Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes sonfunciones impares.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)
Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)
Identidades Par/Imparsen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ) tan(−θ) = − tan(θ)csc(θ) = − csc(θ) sec(−θ) = sec(θ) cot(−θ) = − cot(θ)
Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes sonfunciones impares.
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas
Figura: Reflexion del angulo θ con respecto al eje−X
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejercicio: Sea θ un angulo tal que cot(θ) = − 815 y sen(θ) < 0.
Use identidades trigonometricas fundamentales para determinar:
1 sen(θ)
2 cos(θ)
3 tan(θ).
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
Contenido
ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales
Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados
Ejercicio: Use identidades trigonometricas fundamentales paratransformar el lado izquierdo de la ecuacion en el lado derecho.
1 sen2(θ) − cos2(θ) = 2 sen2(θ) − 1
2sen(θ)cos(θ) + cos(θ)
sen(θ) = csc(θ) sec(θ)
3 cot(−θ) × cos(−θ) + sen(−θ) = − csc(θ)
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados