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Resumo de
Trigonometria
HIPCAT
CAT
Parte I – No triângulo retângulo
PITÁGORAS(relação entre os ladosrelação entre os lados)
HIP² = CAT² + CAT² HIP² = CAT² + CAT²
Parte I – No triângulo retângulo
HIP² = CAT² + CAT²
Exemplo: O perímetro de um triângulo retângulo de catetos iguais a 5cm e 12cm é igual a:
12cm
5cm
HIP HIP² = 5² + 12²HIP² = 25 + 144
HIP² = 169HIP = 13
5 + 12 +13 = 30cmPerímetro =
HIPC.O
C.A
Parte I – No triângulo retângulo
β
α
α + β = 90ºα + β = 90ºÂngulos:
Agudos
Sen(α) = C.O
HIP
Sen(α) = C.O
HIP
Cos(α) = C.A
HIP
Cos(α) = C.A
HIP
Tan(α) = C.O
C.A
Tan(α) = C.O
C.A
Relações trigonométricas:
SO
H
CA
H
TO
A
Parte I – No triângulo retângulo
HIP² = CAT² + CAT²
Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do Cos(α) é igual a:
X
10cm8cm 10² = 8² + x²
100 = 64 + x²36 = x²x = 6
Cos(α) =
α
HIPC.O
C.A=
HIP
C.A =10
6
5
3
0º 30º 45º 60º 90º
SEN 0 1
COS 1 0
TAN 0 1
Parte I – No triângulo retânguloArcos Notáveis
Parte I – No triângulo retânguloExemplo: Um escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. A altura do prédio é:
h
Sen(30º) =
30º
HIP
C.O
C.A
HIP
C.O
12
h
2
1 =
0º 30º 45º 60º 90º
SEN 0 2
1
2
2
2
3 1
COS 1 2
3
2
2
2
1 0
TAN 0 3
3 1 3 ∃
12m60º
⇒ ⇒ 2h=12 ⇒ h=6m
Parte I – No triângulo retângulo
Logo:
Exemplo: No triângulo retângulo abaixo o valor do ângulo α é igual a:
2cm
4cm
α = 60ºcos(α) =
α
HIPC.O
C.A=
HIP
C.A =4
2
2
1
0º 30º 45º 60º 90º
SEN 0 2
1
2
2
2
3 1
COS 1 2
3
2
2
2
1 0
TAN 0 3
3 1 3 ∃
1. Introdução
A
BArco AB
O
Ângulo central
Equivalência: π rd = 180oEquivalência: π rd = 180o
ARCOS e ÂNGULOSARCOS e ÂNGULOS
• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.
• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2π.
• Forma geral:
• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.
• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2π.
• Forma geral:
2. Arcos côngruos
A
B
x = α + 2kπx = α + 2kπ
3. Circunferência trigonométrica
O xA’ A
y
B
B’
1
1
P
+
-
4. Seno e Cosseno
O xA’ A
y
B
B’
P
M
N
α
sen α
cos α
Seno:
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 -1 ≤ sen(x) ≤ 1
• sinal do seno:
Seno:
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 -1 ≤ sen(x) ≤ 1
• sinal do seno:
O xA’ A
y
B
B’
1
-1
4. Seno e Cosseno
Cosseno:
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 -1 ≤ cos(x) ≤ 1
• sinal do cosseno:
Cosseno:
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 -1 ≤ cos(x) ≤ 1
• sinal do cosseno:O x
A’ A
y
B
B’
-1 1
4. Seno e Cosseno
5. Tangente
O xA’ A
y
B
B’
P
t
t // yt // yM
tg α
α
O xA’ A
y
B
B’
5. TangenteSinal
O xA’ A
y
B
B’
1ºQ
P F
F
6. Redução ao 1º quadrante
6. Redução ao 1º quadrante
a) 2o quadrante
• cos (π - x) = - cos x
• tg (π - x) = - tg x
a = (π - x)a = (π - x)
O x
y
π /2
π 0xa
3π /2
2π• sen (π - x) = sen x
b) 3o quadrante
• sen (π + x) = - sen x
a = (π + x)a = (π + x)
O x
y
π /2
π 0xa
3π /2
2π
6. Redução ao 1º quadrante
• cos (π + x) = - cos x
• tg (π + x) = tg x
c) 4o quadrante
• sen (2π - x) = - sen x
a = (2π - x)a = (2π - x)
O x
y
π /2
π 0xa
3π /2
2π
6. Redução ao 1º quadrante
• cos (2π - x) = cos x
• tg (2π - x) = - tg x
7. Relações fundamentais
I. sen2 x + cos2x = 1
II. tg x = xcosxsen
a) Função seno :
f : IR IR
f(x) = sen x
f : IR IR
f(x) = sen x
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.
∀ x ∈ IR -1 ≤ sen x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] ∀ x ∈ IR -1 ≤ sen x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
8. Funções trigonométricas
a) gráfico :
8. Funções trigonométricas
- -y
x0 π 3π2
2ππ2
π2
-
-
-
a) Função seno :
Periodicidade : sen x = sen ( x + 2π)Periodicidade : sen x = sen ( x + 2π)
Paridade : sen x = - sen (- x)Paridade : sen x = - sen (- x)
• A função y = sen x é ímpar.
• A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2π radianos.
• Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f = c
2π
8. Funções trigonométricas
b) Função cosseno :
f : IR IR
f(x) = cos x
f : IR IR
f(x) = cos x
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.
∀ x ∈ IR -1 ≤ cos x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] ∀ x ∈ IR -1 ≤ cos x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
8. Funções trigonométricas
b) gráfico :
8. Funções trigonométricas
- -y
x0 π 3π2
2ππ2
π2
-
-
-
b) Função cosseno :
Periodicidade : cos x = cos ( x + 2π)Periodicidade : cos x = cos ( x + 2π)
Paridade : cos x = cos (- x)Paridade : cos x = cos (- x)
• A função y = cos x é par.
• A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2π radianos.
• Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c
2π
8. Funções trigonométricas