![Page 1: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/1.jpg)
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAFUNÇÕES FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICASTRIGONOMÉTRICAS
![Page 2: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/2.jpg)
med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo:
Seno de um arco
De modo geral, para m e n reais pertencentes ao intervalo [–1, 1]:
O seno do ângulo é a ordenada de P no eixo .O eixo , das ordenadas, é também chamado eixo dos senos.
Para todo arco AP do ciclo trigonométrico, com P(m, n), med(AP) = rad, ℝ e 0 2, temos sen = n.
![Page 3: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/3.jpg)
Para determinar o seno dos arcos dos demais quadrantes, devemos considerar a simetria do ponto P, com P QI, e de seus simétricos em relação ao eixo das abscissas, à origem O e ao eixo das ordenadas.
Simetria no estudo do seno
![Page 4: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/4.jpg)
Nas figuras a seguir, observe o seno de alguns arcos do 1º quadrante e o seno de seus simétricos em relação aos eixos ou à origem O.
Exemplo
∎
∎
Simetria no estudo do seno
![Page 5: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/5.jpg)
∎
∎
Exemplo
Simetria no estudo do seno
![Page 6: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/6.jpg)
∎
∎
Simetria no estudo do senoExemplo
![Page 7: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/7.jpg)
Observação
Os valores do seno dos arcos 0, , , , , , e 2 são chamados de valores notáveis.
Simetria no estudo do senoExemplo
![Page 8: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/8.jpg)
Para , em radiano, no 1o quadrante:
Redução ao 1o quadrante
![Page 9: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/9.jpg)
Vamos determinar o seno de e o seno de seus simétricos em relação aos eixos e à origem O.
Exemplo
Redução ao 1o quadrante
![Page 10: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/10.jpg)
No ciclo trigonométrico, para todo ℝ, com 0 2, temos:
Variação do senoObservação
–1 sen 1
ExemploDeterminar os valores reais de k para que se tenha sen x – 6 = 3k.
Resolução:sen x = 3k – 6 → como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então – 1 ≤ 3k – 6 ≤ 1 → → – 1 + 6 ≤ 3k ≤ 1 + 6 → 5 ≤ 3k ≤ 7 → 5/3 ≤ m ≤ 7/3
![Page 11: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/11.jpg)
1. Colocar em ordem crescente os valores de:
Resolução
Exemplo
O arco de localiza-se no 1o quadrante:Logo:Sabemos que: e
(valores extremos para o seno)
Como ;, então:
![Page 12: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/12.jpg)
Cosseno de um arco
Aplicando a definição de cosseno de um ângulo agudo:
![Page 13: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/13.jpg)
De modo geral, para m e n reais pertencentes ao intervalo [–1, 1]:
O cosseno do ângulo é a abscissa de P no eixo .O eixo , das abscissas, é também chamado eixodos cossenos.
Cosseno de um arco
Para todo arco AP do ciclo trigonométrico, com P(m, n), med(AP) = , ℝ e 0 2, temos cos = m.
![Page 14: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/14.jpg)
Para determinar o cosseno dos arcos dos demais quadrantes, devemos considerar a simetria do ponto P, com P QI, e de seus simétricos em relação ao eixo das abscissas, à origem O e ao eixo das ordenadas.
Simetria no estudo do cosseno
![Page 15: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/15.jpg)
Observe, nas figuras a seguir, o cosseno de alguns arcos do 1o quadrante e o cosseno de seus simétricos em relação aos eixos ou à origem O.
Exemplo
Simetria no estudo do cosseno
cos = cos =
cos = sen = –
![Page 16: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/16.jpg)
∎
∎
Exemplo
Simetria no estudo do cosseno
∎
∎
![Page 17: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/17.jpg)
Observação
Os valores do cosseno dos arcos 0, e 2 são chamados de valores
notáveis.
Exemplo
Simetria no estudo do cosseno
![Page 18: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/18.jpg)
Para a, em radiano, no 1o quadrante: cos (2 – ) = cos cos ( – ) = –cos cos ( + ) = –cos
Redução ao 1o quadrante
![Page 19: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/19.jpg)
Vamos calcular o cosseno de e o cosseno de seus simétricos em relação aos eixos e à origem O.
Exemplo11 6
Redução ao 1o quadrante
![Page 20: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/20.jpg)
–1 ≤ cos ≤ 1
ObservaçãoNo ciclo trigonométrico, para todo ∈ ℝ, 0 ≤ ≤ 2, temos:
Variação do cosseno
ExemploDeterminar os valores reais de m para que se tenha cos x – 2m = 4.
Resolução:cos x = 4 + 2m → como – 1 ≤ cos x ≤ 1, então – 1 ≤ 4 + 2m ≤ 1 → → – 1 – 4 ≤ 2m ≤ 1 – 4 → – 5 ≤ 2m ≤ – 3 → – 5/2 ≤ m ≤ – 3/2
![Page 21: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/21.jpg)
Função seno
Considerando a projeção ortogonal de P no eixo vertical, a ordenada do ponto P é o seno do arco de medida x.
A função seno é a função f: ℝ → ℝ que associa cada número real x a um único sen x, ou seja, f(x) = sen x.
Logo:
![Page 22: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/22.jpg)
O gráfico da função seno
Vamos construir o gráfico da função f(x) = sen x com base em uma tabela de valores para x tal que x ∈ [0, 2].
x 0 2
sen x 0 1 0 –1 0
![Page 23: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/23.jpg)
O gráfico da função seno
A curva obtida no intervalo [0, 2] repete-se para x > 2 e x < 0.
![Page 24: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/24.jpg)
Características da função seno
É periódica, de período 2 (cada ciclo se completa em um intervalo de 2).
É limitada, ou seja, seus valores estão no intervalo [–1, 1]; seu conjunto imagem é Im = [–1, 1].
É crescente nos intervalos etc. e decrescente nos
intervalos etc.
![Page 25: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/25.jpg)
Características da função senoÉ positiva para x nos intervalos ]0, [, ]2, 3[ etc. e
negativa para x nos intervalos ]–, 0[, ], 2[, ]3, 4[ etc.
Tem amplitude (metade da diferença entre as ordenadas máxima e mínima dos pontos do gráfico) igual a 1.
![Page 26: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/26.jpg)
Função cosseno
Considerando a projeção ortogonal de P no eixo horizontal, a abscissa do ponto P é o cosseno do arco de medida x.
A função cosseno é a função f: ℝ → ℝ que associa cada número real x a um único cos x, ou seja, f(x) = cos x.
Logo:
![Page 27: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/27.jpg)
x 0 2
cos x 1 0 –1 0 1
O gráfico da função cossenoVamos construir o gráfico da função f(x) = cos x com base em uma tabela de valores para x tal que x ∈ [0, 2].
![Page 28: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/28.jpg)
O gráfico da função cosseno
A curva obtida no intervalo [0, 2] repete-se para x > 2 e x < 0.
![Page 29: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/29.jpg)
Características da função cossenoÉ periódica, de período 2 (cada ciclo se completa em um intervalo de
2).
É limitada, ou seja, seus valores estão no intervalo [–1, 1], o que significa que seu conjunto imagem é Im = [–1, 1].
É crescente nos intervalos [–, 0], [, 2] etc. e decrescente nos intervalos [0, ], [2, 3] etc.
É positiva nos intervalos etc. e
negativa nos intervalos etc.
![Page 30: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/30.jpg)
Características da função cossenoTem amplitude igual a 1.
O gráfico da função cosseno forma uma “onda’’ semelhante à do gráfico da função seno, com deslocamento de rad para a esquerda.
![Page 31: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/31.jpg)
Função tangenteVamos considerar o ponto T da intersecção entre a reta OP e a reta tangente à circunferência pelo ponto A(1, 0).A ordenada do ponto T é a tangente do arco de medida x.Logo:
A função tangente é a função f: , que associa cada número real x (com exceção dos valores côngruos a e ) a um único valor tg x, ou seja, f(x) = tg x.
![Page 32: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/32.jpg)
Características da função tangenteA função tangente é periódica, de período .
A função tangente não é limitada, ou seja, seu conjunto imagem é Im =]–∞, +∞[ ou ℝ.
A função tangente é crescente nos intervalos onde k ∈ ℤ.
A função tangente assume valores positivos para x nos intervalos etc. e valores negativos para x nos intervalos etc.
![Page 33: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/33.jpg)
ResoluçãoDe acordo com a restrição do domínio para a função tangente, temos:
Logo:
1. Determinar o domínio da função .
EXEMPLO
![Page 34: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/34.jpg)
DOMÍNIO – IMAGEM - PERÍODO
Nas funções do tipo f(x) = a + b.sen cx e g(x) = a + b.cos cx temos que:
![Page 35: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/35.jpg)
EXEMPLO
1. Determinar domínio, imagem e período de f(x) = 2 ∙ cos .
Resolução:a = 0, b = 2 e c = 1
![Page 36: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/36.jpg)
2. Obter domínio, imagem e período de f(x) = –4 + 4 ∙ sen 3x. Resolução:a = – 4, b = 4 e c = 3
![Page 37: TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. med(CÔP) = med (AÔP) = med (AP) = Aplicando a definição de seno de um ângulo agudo: Seno de um arco De modo geral,](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062522/570638431a28abb8238f1807/html5/thumbnails/37.jpg)
3. Ciência. Em uma cidade litorânea, a altura h da maré (em metro), em função do tempo, é dada pela expressão h(t) = 2 + 0,5 ∙ cosna qual t é o tempo, medido em hora, a partir da meia-noite (t = 0 representa meia-noite). Determinar a altura máxima e a alturamínima da maré e de quanto em quanto tempo a maré faz um ciclocompleto.