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TRIGONOMETRIA
NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
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Orientadora :
• Profa. Dra. Dalva Maria de Oliveira Villarreal
Componentes:
• Ana Clarice Caldato• Eloísa Leiko Saito Yamasaki• Luciane Rossine Leão• Márcia Regina Rodrigues da Costa Medeiros• Vanessa Aparecida Palomo
Estagiários:
• Fabiola Fernanda Fatareli;• Marcos Vinícius dos Santos.
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ObjetivoAos professores:
• propostas e material de apoio para serem utilizados em sala de aula, no exterior da sala e no laboratório de informática.
Aos estudantes:
• autoformação e apoio do conteúdo de trigonometria • exploração de figuras manipuláveis através do software “Cabri Géomètre”• verificação das fórmulas e regras de definição apresentadas através de exercícios propostos• aplicação do conteúdo estudado no cotidiano através da visualização de maquete.
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Estruturas da Apresentação
Um pouco da história
Relações da Trigonometria com conhecimentos de outras áreas
A trigonometria no triângulo retângulo (teoria, definições e formulações)
Fazendo Descobertas
Software “Cabri-Géomètre” e a “Trigonometria no Triângulo Retângulo”
Atividade Extra-Classe
Aplicações das relações trigonométricas
Resolução de alguns problemas com o auxilio de uma maquete
Conclusão
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Um pouco da história
• Embora a origem da Trigonometria é incerta, sabe-se que é anterior a era Cristã.
• Os egípcios e os babilônios usavam as relações existentes entre os lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas ligados a resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra.
• A palavra Trigonometria vem do grego TRI - três, GONO - ângulos e METRIEN - medida, significando Medidas de Triângulos.
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• Para a evolução da trigonometria até os dias de hoje, foram muitas as contribuições, como a de Euler, que introduziu o conceito de seno, cosseno e de tangente.
• O “pai da trigonometria”, Hiparco de Nicéia, construiu a primeira tabela trigonométrica.
• Foi o fascínio pelos movimentos dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria.
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Relações da Trigonometria com conhecimentos de outras áreas
Atualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos. Encontramos, por exemplo, aplicações na mecânica, eletricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em muitos outros campos da atividade humana.
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A trigonometria no triângulo retângulo
Triângulo retângulo é qualquer triângulo que possua um ângulo reto.
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Construindo triângulos retângulos semelhantesDado um ângulo agudo qualquer, é possível desenhar
um triângulo retângulo ou infinidade deles
Pode-se observar que há uma relação entre ângulos agudos e lados de um triângulo retângulo
AQ
AP
AC
AB
AQ
PQ
AC
BC .
AP
PQ
AB
BC ou ou
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Relacionando lados e ângulos
Em função do ângulo, diferenciamos a nomenclatura dos catetos.
Em relação ao ângulo x, temos:
hipotenusa
opostocateto
AQ
PQ
AC
BC
hipotenusa
adjacentecateto
AQ
AP
AC
AB
adjacentecateto
opostocateto
AP
PQ
AB
BC
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Relações Trigonométricas
A primeira é chamada seno do ângulo x
A segunda é chamada cosseno do ângulo x
A última denomina-se tangente do ângulo x
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Fazendo Descobertas
• Descobrindo seno, cosseno e tangente
Com esta atividade os alunos serão levados a encontrar todas as razões existentes entre os triângulos por eles construídos.
Obtendo:
âcosâtg
âsen
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Software “Cabri-Géomètre” e a “Trigonometria no Triângulo Retângulo”.
Utilizando os recursos do software “Cabri Géomètre”, encontramos
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Com o auxilio da calculadora, calculamos o seno, cosseno e tangente do ângulo do triângulo que construímos. Obtendo:
Movimentando o ponto P, no “Cabri Géometre”, a fim de encontrar outros ângulos desejados, obtemos:
Exemplo 1:
Para ângulo de 20º
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Exemplo 2: Para ângulo de 35º
Exemplo 3:
Assim determinamos uma tabela com os valores de senos, cossenos e tangentes de todos os ângulos que desejamos.
Para ângulo de 10º
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Atividade Extra-Classe
Atividade Proposta: Medindo a largura de um rio·Forme grupo com mais de dois alunos.· O rio pode ser a rua ou o pátio de sua escola se preferir.· Mas atenção: para medir a largura do rio não vale atravessá-lo.
Atividade desenvolvida - Medindo a largura de uma rua
Desenvolvimento da atividade
• Dois alunos foram posicionados num mesmo lado da rua, alinhados, considerando um deles o vértice A (ângulo reto em A) e o outro o vértice B.
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• Com o teodolito o aluno do vértice B mediu o ângulo de abertura entre ele e um outro aluno que foi posicionado no lado oposto da rua (vértice C), perpendicular em relação ao vértice A; formando assim, um triângulo retângulo.
Obtendo as seguintes medidas, segundo o ângulo de observação:
Primeiro experimento
BA
C
90º48,5º
10,24 m
x
mx
x
xtg o
57,11
24,10130,1
24,105,48
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Segundo experimento
BA
C
x
60º90º
7,44 m
mx
x
xtg
88,13
44,7732,1
44,7º60
Terceiro experimento
09,14
24,10376,1
24,10º54
x
x
xtg
A B
C
10,24 m
90º
x
54º
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Conclusões da atividade desenvolvida
• Os alunos observaram que, a razão trigonométrica “tangente” solucionava o que eles estavam procurando “a largura da rua”, a partir dos dados que a situação problema fornecia.
• E diante dos resultados apresentados, o terceiro experimento atingiu uma melhor aproximação da largura da rua quando comparado com a largura real da rua .
• Através dessa experiência observou-se uma grande expectativa e desempenho dos alunos diante dos resultados encontrados e do resultado real.
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Aplicações das relações trigonométricas
Uma cegonha tem o ninho num poste de alta tensão com 20 metros de altura (onde foi colocada uma placa especial para a cegonha não correr nenhum risco). Vê um alimento no chão e voa em direção a ele numa inclinação de 35º como mostra a figura.Qual a extensão do vôo da ave?
Solução:
.
..º35cos
hip
adjcat
x
2082,0
2082,0 x mx 4,24
Portanto a extensão do vôo da ave é de aproximadamente 24 metros.
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Resolução de alguns problemas com o auxilio de uma maquete
Quando o avião levanta vôo, faz um ângulo de 20º com a linha do solo. Em 5 segundos percorre 400m. Que altura atinge ao fim deste tempo?
Problema: Decolagem do Avião
Solução:
400º20sen
X
400342,0
X 8,136X
Portanto a altura que o avião atingiu em 5 segundos é de aproximadamente 136 metros
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Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em m?
Problema: Comprimento da escada
Solução:
x
4º60cos
x
4
2
1 mx 8
Portanto o comprimento da escada é de 8 metros
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Problema: Barco à deriva
Do topo de um farol de 80m de altura, avistou-se um barco à deriva segundo um ângulo de depressão de 30º. Deseja-se saber:a) Qual é o ângulo de elevação que o tripulante deste barco avista o topo do farol neste mesmo instante?b) Qual é a distância x da base do farol ao barco, neste momento em que foi avistada?
Solução: Um ângulo desse triângulo é 60º, pois, 60º + 30º (ângulo de depressão) = 90º. Como o outro ângulo desse triângulo corresponde ao ângulo formado pelo farol e a base desse farol, temos então um ângulo de 90º.a) Portanto o ângulo de elevação é:
90º + 60º + 30º = 180º
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tg30º=adjacentecateto
opostocatetox
80
3
3
b) Utilizando a relação trigonométrica, temos:
3x = 240 x =3
240
x = 3
240.
3
3
x = 3
3240x = 803m.
Portanto a distância do barco ao farol é de aproximadamente 80 m ou 138 m.3
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Conclusão
• Ao desenvolver este trabalho foi grande a experiência adquirida na área da pesquisa.
• Levando em conta a falta de tempo e oportunidade para realizarmos trabalhos tão significativos e importantes como este, conseguimos observar diferentes formas de abordar o assunto que será trabalhado.
• Esperamos que após o desenvolvimento dessas atividades, a utilização das fórmulas trigonométricas no triângulo retângulo fique clara, de forma a evitar a mecanização das mesmas.