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Intorno alla trigonometria della parabola II parte Trigonometry of parabola II part Guido Carolla1 Sunto. Il presente lavoro segue la prima parte, “Le funzioni paraboliche”, già pubblicata dall’Editrice Rotas-Barletta nel settembre 2001, con gli Atti del Congresso Nazionale di Matematica “Il ruolo della Matematica nella società contemporanea”, tenutosi a Barletta dal 17 al 19 ottobre 2000 ed ora, nella sezione “Approfondimenti”, di www.matematicamente.it. In questa seconda parte, riporteremo, per brevità, solo l’essenziale intorno alla trigonometria della parabola, seppure in relazione all’angolo u di un settore della parabola trigonometrica 2x+y2=1 (relazione fondamentale della trigonometria della parabola), per cui, rifacendoci a Giovanni Egidi, daremo alcune relazioni con le funzioni trigonometriche. Infine, saranno date le formule differenziali ed integrali sulle funzioni paraboliche dirette ed inverse. Tenendo presente la periodicità delle suddette funzioni, si concluderà, ipotizzando una possibile loro utilizzazione, anche attraverso la trigonometria della parabola, nelle considerazioni teoriche in cui intervengano valori periodici. Nell’Appendice vi è una sintesi dell’argomento con le funzioni paraboliche dipendenti dalle circolari ed indipendenti da queste. Seguono alcuni chiarimenti e passaggi in particolare su come si perviene ai risultati finali delle derivate e degli integrali delle stesse funzioni paraboliche e due listati di programma in Qbasic, che permettono di trovare le funzioni paraboliche di ogni argomento, sia esso l’angolo u in gradi sessagesimali, in radianti, o in relazione all’area t, e infine alcuni esempi in output. Abstract. The following paper completes what already said in the first published work "The parabolic functions" (edited by Rotas-Barletta September 2001), as part of the Acts of the National Conference of Mathematics about "Maths role in the today society", held in Barletta 17th-19th October 2000, work which is also available online in the section "Approfondimenti: idee interessanti", on www.matematicamente.it. In this second part, it will be only developed, due to the available space, the core concept of trigonometry of the parabola, although seen in relation to the u angle of a section of the trigonometric parabola 2x+y2=1 (the fundamental equation of the trigonometry of parabola). Referring to Giovanni Egidi's works, some relationships to the trigonometric functions will be also introduced together with some differentials and integrals formulas applied onto the direct and indirect parabolic functions. Bearing in mind the periodicity of the functions introduced, it will be offered to readers the opportunity to consider their potential uses, also relating to the trigonometry of the parabola, in developing theoretical considerations about scenarios where periodic values apply. In the Appendix, some cases when parabolic functions and circular functions are dependent and independent will be offered. Topics include also step by step calculation of derivatives and integrals of parabolic functions and a QBasic code (and related examples of outputs) which solves any parabolic function having the u angle in radians or in sexagesimal degrees as the argument, or as a dependent value of the t area. -------------------------------------------------------------------------------- [1] Secondary School Maths Teacher and retired Headmaster living in Lecce (Italy). E-mail: [email protected]
1 Docente di Matematica e Preside a r.(non troppo) LECCE. E-mail: [email protected]
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1.Premessa Dell’argomento l’autore si occupò in primis in occasione del Convegno Nazionale Mathesis “Le problematiche dell’insegnamento della Matematica nella nuova scuola secondaria superiore” tenutosi a Paestum (CE) dal 18 al 22 aprile 1983 c/o l’ETAP Hotel Club via Spineta Nuova di Battipaglia, presentando una relazione, che fu allegata agli Atti che non furono pubblicati per mancanza di fondi2. Ora, a distanza di alcuni anni, dopo aver ottenuto la pubblicazione della prima parte nel 2001, viene alla luce, ampliata riveduta e corretta, la seconda parte, le cui copie delle figure a colori sono state eseguite dal Prof. Marcello Pedone3, al quale va un sentito ringraziamento. 2.Osservazione Nel corso del presente lavoro si riporteranno solo una sintesi essenziale della trigonometria della parabola, con un breve riepilogo dei risultati già ottenuti nella prima parte. Alcune formule sono state trovate per mezzo di relazioni tra le funzioni circolari e quelle paraboliche. Le funzioni paraboliche relative all’angolo u si possono intendere riferite indifferentemente anche all’area t che è il doppio di quella di un settore parabolico: infatti, proprio l’argomento t ha permesso che dette funzioni possano essere indipendenti da quelle circolari. 3. Indicazioni grafiche delle funzioni paraboliche e di quelle trigonometriche Le figure in neretto 1 e 2 vengono riproposte per riallacciare la teoria a “Le funzioni paraboliche” I parte.
D I R ET T RI C E
f i g .1
p = 1
P1
t
V(1/2,0)x
O
FUOCO
M
A
y
T D
P (x,y)
Nu
2 Alcune copie vennero consegnate agli I.T.I. di Lecce e di Como, all’I.T.C. di Maglie sez. staccata di Martano (LE), agli ex Presidenti della Mathesis Nazionale Prof. Bruno Rizzi, Prof. Silvio Maracchia, al Centro Europeo di Programmazione di Frascati ed al famoso matematico e Docente nella Scuola Normale di Pisa Prof. Ennio De Giorgi, in occasione di un lungo incontro che l’autore ebbe nella casa del matematico, a Lecce il 5 settembre 1984, nel quale incontro lo studioso fu prodigo di suggerimenti, redigendo undici pagine per lo più di osservazioni e grafici sulle relazioni tra le funzioni circolari, le iperboliche, le paraboliche e per verificare o integrare le argomentazioni trattate nel lavoro (l’autore conserva come reliquie gli appunti dello scienziato). 3 Ordinario di Matematica negli istituti superiori e coautore di www.matematicamente.it
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Nella fig.1 è riportata la parabola trigonometrica 2x+y2=1.
D I R E T T R I C E
fi g2
p = 1
P1
t
Vx
O
F U O CO
M
A
y
T DP (x,y)
N
u
Nella fig.2 sono riportati la parabola e il cerchio trigonometrici. 4. Estensione ad un angolo che può superare 90° e definizioni delle funzioni paraboliche La figura n. 3 viene riproposta anche per evidenziarne alcune particolarità
fig. 3
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Tenendo presente la fig. 3 e per un p qualunque, si ripropongono le definizioni:
=p
OP = )(uρ (raggio vettore)
=p
PN sinp u=y p
ON cosp u=x xyu
pVT
2 tanp ==
p
AD =cotp uyxx
+⋅
=2
pOT =secp u=
xx
21−
pOD =cscp u=
yxx
+−1
Ora, si daranno alcuni chiarimenti sul significato delle definizioni delle funzioni paraboliche e del raggio vettore di cui sopra, partendo dalle funzioni paraboliche generalizzate.
Facendo riferimento alla parabola ( )22
2p
pyx +−= , avente per asse di simmetria l’asse x, il fuoco
coincidente con l’origine degli assi, la direttrice di equazione x=p e il vertice V(p/2,0), si indicano con ( )uρ , sinp u, cosp u, tanp u, cotp u, secp u, cscp u il raggio vettore e le sei funzioni paraboliche riferiti al parametro p=1, mentre gli stessi simboli soprassegnati, al pari dei relativi valori espressi in funzione di yx , indicano rispettivamente il raggio vettore e le funzioni chiamate generalizzate in relazione ad un parametro 1>p . Quindi, impostando il sistema tra l’equazione di cui sopra e quella della retta passante per l’origine degli assi ( )xuy tan= , sulla quale giace il segmento OP che è il raggio vettore, si ha:
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+−=
xuy
pp
yx
tan22
2
; cioè ( ) ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=
xuyxppy
tan2
2
; ( )xpp 2− ( ) ( )22tan xu= ; ( )u
upx 2
2
2,1 tantan11 +±−
= ,
che sostituito nella seconda equazione dà ( )u
upytan
tan11 2
2,1+±−
= . Per quanto detto sopra si ha
( )u
upuytan
tan11 sinp2
2,1+±−
== ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
quadrante III e II nel è secon quadrante IV e I nel è se con
uu
.
e ( )u
upux 2
2
2,1 tantan11 cosp +±−
== ,
Ora, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPN si ha
( ) ( )22yxOP += , nella quale sostituendo il valore di ( )2y possiamo scrivere
( ) ( ) ( )uxpxpxppxOP ρ=−=−=−+=222
2 . Quindi a seguire, facendo alcune considerazioni, si possono definire il raggio vettore e le sei funzioni paraboliche:
( ) ( )uuxp
uppu
pxp
pOP ρρ
=−=−=−
==−
= cosp11 cosp ;
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uyp
upy
pPN sinp sinp
==== ; uxp
upx
pON cosp cosp
==== ;
per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha ONPNOVVT :: = , cioè
uuuuupu cosp2
sinp tanp ; cosp: sinp2
: tanp == , quindi
uxy
pu
upu
xpy
pVT tanp
2 tanp
cosp2 sinp
2===== ;
Impostando e risolvendo il sistema delle equazioni delle rette sulle quali giacciono i segmenti
OD e AD , cioè ⎩⎨⎧
⋅=+−=
x tanp2 uypxy , si hanno le coordinate del punto D ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++ yxyp
yxxp , , che con le
coordinate di A(0, p) permettono di avere =AD22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+ yxypp
yxxp , che con semplici
passaggi dà uu
upuyxxpAD
cosp sinp cosp 2 cotp 2
+==
+= , quindi
uyxx
pu
pAD cotp2 cotp
=+
== ;
per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha
ONOVOPOT :: = , cioè ( ) ( )u
uppuupupu cosp2
cosp secp ; cosp:2
cosp: secp −==− , quindi
uxx
xxp
pu
pOT secp
21
2 secp
=−
=−
== ;
infine, utilizzando le coordinate di D di cui sopra e quelle dell’origine O(0, 0) si può ottenere la
distanza ,22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
yxyp
yxxpOD da cui con semplici passaggi si ha
uuppu
yxxppOD
cospsinp) cosp( cscp)(
+−
==+−
= , quindi
uyxx
pu
pOD cscp1 cscp
=+−
== .
Il raggio vettore, le funzioni paraboliche generalizzate ( 1>p ), l’area t(u,p) ed i rapporti delle suddette funzioni con p che costituiscono le definizioni, possono essere calcolati, digitando in input u in radianti e p, con un listato di programma in QBasic che sarà riportato in fondo all’Appendice di questo lavoro. Quanto sopra esposto permette di definire le funzioni paraboliche canoniche come segue: il raggio vettore e le funzioni paraboliche relative ad un qualunque argomento in radianti, in gradi sessagesimali o secondo il doppio dell’area del corrispondente settore parabolico costituiscono i
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rapporti dei relativi segmenti con il parametro p che è l’ascissa dei punti costituenti la retta direttrice
della parabola trigonometrica di equazione ( )22
2p
pyx +−= .
5. Relazioni tra l’angolo u di un settore parabolico e t che è il doppio dell’area dello stesso settore
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
tcosp tsinp
tan tcosp
tsinptanp 1--
2u 1
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
usin3ucos11
usin2ucos1
3usinp1
2u sinpt 2
22 .
6. Definizione delle funzioni paraboliche relative all’area t
3 1t33 1 +−+++= t 29t293t t sinp ;
([ -121 tcosp = ) ]23 1t33 1 +−+++ t 29t293t ;
t2cosp tsinp ttanp = ;
tcosp tsinp tcosp2 tcotp
+= ;
tcosp tsinp
tcosp-1 tcscp ; t2cosp tcosp-1 tsecp
+== .
7. Alcune relazioni tra il raggio vettore, le funzioni paraboliche con le funzioni circolari
uu
cos11)(
+=ρ ;
sinp usin
ucos1ucos1
usinu −=
+= ; cosp
ucos1ucosu
+= ; tanp
2utanu = ;
cotp ucosusin
ucos2ucot1ucot2u
+⋅
=+⋅
= ; secp 2
usecu = ;
cscp u1ucsc1
ucscucosusin
1ucot1
ucsc2 −±
=+
=+
con ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+IV o II quadrante nel è se-III o I quadrante nel è se
uu
.
8. Alcune relazioni tra le funzioni circolari e le paraboliche
=usin sinp u/(1-cosp u) ; cos u=cosp u/(1-cosp u) ; tan u=2tanp u=sinp u/cosp u=sinp (2u) ; cot u=cotp u/( 2 -cotp u)=cosp u/sinp u ;
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sec u=2 secp u=(1-cosp u)/cosp u ; csc u =2 secp u cscp u/(2 secp u-cscp u)=(1-cosp u)/sinp u . 9. Alcune relazioni tra le funzioni paraboliche sinp 2u2 + cosp u = 1 ; sinp +u2 cosp 2 u = ( )u2ρ ; 1 - cosp u = ( )uρ ; ( ) +21 2 tanp2 u=secp2 u ; sinp u= ( )uρ tanp u/secp u ; cosp u= ( )uρ /(2secp u)=1/(1+2secp u) tanp u=sinp u/(2cosp u) ; cotp u= 2 /(1+2tanp u)= 2 cosp u/(sinp u+cosp u);
secp u= ( )uρ /(1-sinp2 u)= uptan41 2+ /2 ; cscp u=2cosp u secp u/(sinp u+cosp u)= ( )uρ /(sinp u+cosp u). 10. Funzioni paraboliche di argomenti negativi sinp ( ) −=− u sinp u ; cosp ( ) =− u cosp u ; tanp ( ) −=− u tanp u ; cotp ( ) −=− u 2 cotp u/( 22 − cotp u) ; secp ( ) =− u secp u ; cscp ( ) −=− u secp u cscp u/(secp u-cscp u). 11. Segni e variazioni delle funzioni paraboliche Quadrante Funzioni
I II III IV
u sinp 1 a 0 da
+
∞++
a 1 da
1-a-da
∞−
0a1- da
−
u cosp
0 a 1/2 da +
∞
−-a0da
0a-da
∞−
1/2 a 0 da
+
u tanp
∞++
a 0 da
0ada
∞−−
∞+
+ a 0 da
0a- da
∞−
u cotp
0 a 2 da
+
2 a
a 0 da
∞∓∓
0 a 2 da
+
2 a
a 0 da
∞∓∓
u secp
∞++
a 1/2 da
1/2-a-da
∞−
∞
−-a1/2-da
1/2 a da
∞++
u cscp
1 a
2/2 a 1 da
+
1- a
a 1 da
∞±±
1- a
2/2- a 1- da
−
1 a a 1- da
∞∓
∓
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12.VALORI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI 1^ Tabella
Angolo u in gradi
sessagesimali
Angolo u in radianti
Area t
sinp
cosp
tanp
0 0 0 0 21
0
30 π
61 )3916(
31
− 32 − 332 − 361
45 π
41 )524(
31
− 12 − 12 − 21
60 π
31
3
275 3
31
31 3
21
90 π
21
32
1 0 ±∞
120 π
32 3 3 -1
321
−
135 π
43 )524(
31
+ 12 + )12( +− 21
−
150 π
65 )3916(
31
+ 32 + )332( +− 361
−
180 π ±∞ ±∞ −∞ 0
210 π
67 )3916(
31
+− )32( +− )332( +− 3
61
225 π
45 )524(
31
+− )12( +− )12( +− 21
240 π
34 3− 3− -1
321
270 π
23
32
− -1 0 ±∞
300 π
35 3
275
− 331
− 31 3
21
−
315 π
47 )524(
31
−− )12( −− 12 − 21
−
330 π
611 )3916(
31
−− )32( −− 332 − 3
61
−
360 π2 0 0
21
0
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2^ Tabella
Angolo u in gradi
sessagesimali
Angolo u in radianti
Area t
cotp
secp
cscp
0 0 0 2 21
1
30 π
61 )3916(
31
− )623(21
−
331 13 −
45 π
41 )524(
31
− 221 2
21 2
21
60 π
31 3
275 )26(
21
− 1 13 −
90 π
21
32
0 ±∞ 1
120 π
32 3 )26(
21
+− -1 13 +
135 π
43 )524(
31
+ ∞∓ 221
− ±∞
150 π
65 )3916(
31
+ )623(21
+ 331
− )13( +−
180 π ±∞ 2 21
− -1
210 π
67 )3916(
31
+− )623(21
−
331
− )13( −−
225 π
45 )524(
31
+− 221 2
21
− 221
−
240 π
34 3− )26(
21
− -1 )13( −−
270 π
23
32
− 0 ∞∓ -1
300 π
35 3
275
− )26(21
+− 1 )13( +−
315 π
47
)524(
31
−− ∞∓ 221 ∞∓
330 π
611 )3916(
31
−− )623(21
+ 331 13 +
360 π2 0 2 21
1
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13. Grafici delle funzioni paraboliche Ogni grafico è preceduto dalla relativa funzione usata ed x è in radianti; i medesimi grafici si hanno se si adoperano le funzioni del §6: Seno parabolico
xxx
cos1sin sinp+
=
Coseno parabolico
coscosp x1 cos
xx
=+
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Tangente parabolica
tantanp x2
x=
Cotangente parabolica
2 cos xcotp x=sin x + cos x
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Secante parabolica
sec xsecp x=2
Cosecante parabolica
1cscp xsin cosx x
=+
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14.Formule di addizione e sottrazione
sinp ( ) ( ) ( ) s sinpu sinps cospu cospus sinpu cosps cospu sinp
∓+±
=±s
suρρ
;
cosp ( ) ( ) ( ) s sinpu sinps cospu cospus sinpu sinps cospu cosp
∓∓
+=±
ssu
ρρ ;
tanp ( )s u tanp tanp41
s tanpu tanp∓
±=± su ;
cotp ( )u tanps 4tanps) tanpu tanp2(1
s) u tanp tanp(1 2∓
∓±+
=± su ;
secp ( ) ( ) ( )s) sinpu sinp s cospu (cosp2 ∓
susu ρρ=± ;
cscp ( ) ( ) ( )s) sinp s (cospu cosps) sinps cosp(u sinp ±+
=±∓
susu ρρ .
15. Riduzione al I quadrante 1^ tabella sinp cosp tanp -u u sinp− ucosp u tanp− 90° u± ( ) u sinpu
u cosp∓ρ
( ) u sinpu sinp
∓∓
uρ
u tanp41∓
180° u± u 2cosp-1
u sinp∓ u 2cosp-1
u cosp− u tanp±
°270 u±
u sinp(u)u cosp
±−ρ
u sinp(u)
u sinp±
±ρ
u tanp4
1∓
u360kk
±°⋅∈ N
u sinp±
u cosp
u tanp±
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2^ tabella cotp secp cscp -u
u cotp22
u cotp2−
− secp u
u cscp -u secpu cscpu secp
−
90° u±
u 2tanp-1u tanp22∓
u cscp -u 2secpu cscpu secp∓
u cscp2
11-u secp
u cscpu secp±
∓
180° u±
u cotp22u cotp2
−±
upsec−
u cscp2
11-u secp
u cscpu secp∓∓
°270 u±
u 2tanp-1u tanp22∓ u cscp -u 2secp
u cscpu p sec±
u secp -u cscp2
11u cscpu secp
±∓
u360kk
±°⋅∈ N
u cotp22u cotp2
−±
secp u
u cscp2
11-u secp
u cscpu secp∓±
16. Relazioni tra le funzioni paraboliche 1^ tabella sinp u=a
1-a2=b cosp u=a b2a-1 =
tanp u=a
ba41 2 =+ sinp u a b±
a
b21±−
cosp u
2b
a 24
1a
b±−
tanp u
ba
ab2
± a
cotp u
bab+22
baa
±2
a212
+
secp u
ba
21 2+
aa
21−
2b
±
cscp u
baa+
+21 2
baa
±−1
ab21+
±
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2^ tabella cotp u=a baa =−+ 22 )2(
secp u=a ba =−14 2
cscp u=a ba =−12 2
sinp u
2−±
aba
12 +±
ab
1+±
aba
cosp u
2
2
)2( aaba
−±
− 12
1+a
2
2
)1(1+
±−+a
abaa
tanp u
aa
22 −
± 2b
± )1(2 2
2
aba
−±
cotp u a
b±12
2)1(2 b±
secp u
ab2
±′ a
)1(2)1(
2aba
−±
cscp u
22b
± b
a±12
a
17. Formule di duplicazione sinp 2u=sinp u/cosp u ; cosp 2u=(cosp2u-sinp2u)/(2cosp2u) ; tanp 2u=2tanp u/(1-4tanp2u) ; cotp 2u= 2 (1-4tanp2u)/(1+4tanp u -4tanp2u) ; secp 2u= ( )u2ρ /(2(cosp2u-sinp2u));
cscp 2u= ( )u2ρ /(2sinp u cosp u+cosp2u-sinp2u). 18. Alcune formule di triplicazione e quadruplicazione
)( cosp3cosp4)(sinp4)(u 3sinp3u sinp 233
32
uuuuuuρρ
ρ−+−
= ; )( cosp3cosp4)(
)( cosp34cosp3u cosp233
23
uuuuuuuρρ
ρ−+
−= ;
uuuu
2
3
tanp121tanp4 tanp33 tanp
−−
= ; )( cosp4cosp4)(
cossinp4)(u cospu 2sinp4u sinp 2244
32
uuuupuuu
ρρρ
−+−
= .
19. Formule di bisezione sinp u/2=sinp u /(1 )u(2ρ± ) ; cosp u/2= 1 /(1 )u(2ρ± ) ; tanp u/2=(sinp u) /2 ; cotp u/2= ±1/(2 sinp u) secp u/2= 2/)u(2ρ± ; cscp u/2= /)u(2ρ± (1+sinp u) .
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20. Formule che danno il seno parabolico, il coseno parabolico, la tangente parabolica di un angolo in funzione razionale del doppio della tangente parabolica dell’angolo metà La sostituzione u=2tanp-1(z/2) trasformerà una qualsiasi funzione razionale di sinp u, cosp u e tanp u in una funzione razionale di z, perché: sinp u=z, cosp u= ( ) 2z1 2− , tanp u= ( )z1z 2− e d u= ( )z1/dz2 2+⋅ . La prima, la seconda e la terza di queste relazioni si ottengono dalla fig. 4,
fig. 4 nella quale AB=1+z2 , BC=2z , AC=1-z2 La quarta relazione si ottiene derivando la u=2 tanp-1 (z/2) . La sostituzione di cui sopra, che, tra l’altro, permetterà eventuali integrazioni, è equivalente a z = 2 tanp (u/2) , che sarà usata per tornare alla variabile originaria. ( v.in Appendice i chiarimenti). 21. Quadrati delle funzioni paraboliche sinp2 u=1-2 cosp u; cosp2u=(1-2cosp u)/(1-2cosp 2u) ; tanp2u=(1-2cosp 2u)/4 ;
cotp2 u=1/(1-cosp 2u + 2tanp u); secp2 u=(1-cosp 2u)/2 ; cscp2 u=(1-cosp 2u)/(1-cosp 2u+2tanpu) 22. Funzioni paraboliche inverse Se x=sinp u, allora u= sinp-1x è, come sappiamo, il seno parabolico inverso di x. Analogamente risultano definite le altre funzioni paraboliche inverse. Come nel caso delle funzioni circolari inverse e iperboliche inverse, anche le funzioni paraboliche inverse sono plurivoche e se ci limitiamo al valore principale per cui esse possono essere considerate univoche. Riportiamo i valori delle funzioni paraboliche inverse espresse in termini delle funzioni circolari inverse, in aggiunta a quanto già detto nei paragrafi 2 e 3 della prima parte “Le funzioni paraboliche”: sinp-1x=sin-1( 2x /(1+x2 )) ; cosp-1x=cos-1(x/(1-x)) ; tanp-1x=tan-12x ; cotp-1x=cot –1(x/( x−2 )) =tan-1(( x−2 )/x) ; secp-1x=sec-12x=cos-1(1/2x) ; cscp-1x=tan-1((1-x2)/ )12( 22 −± xx ) = sin-1 )2/)121(( 2 xx −± .
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23. Valori principali delle funzioni paraboliche inverse __________________________________ _____________________________________ Valori principali per 0≥x Valori principali per 0<x __________________________________ _____________________________________ ≤0 sinp-1x≤ π /2 -π /2 sinp-1 x<0
2/cos0 1 π≤≤ − xp ππ << − xp 1cos2/
2/tan0 1 π<≤ − xp 0tan2/ 1 <<− − xpπ
2/cot4/ 1 ππ ≤<− − xp 4/cot2/ 1 ππ −<≤− − xp
2/sec0 1 π<≤ − xp ππ ≤< − xp 1sec2/
4/csc4/ 1 ππ ≤<− − xp 4/csc4/3 1 ππ −<≤− − xp
__________________________________________________ ______________________________________________________
24. Relazioni tra le funzioni paraboliche inverse
Si suppone di usare sempre i valori principali.
( )xx 21sinpcosp 11 −= −− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+= −−
xx
212cotptanp 11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= −−
21cospsinp
211 xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= −−
xxx
21secpcosp 11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
= −−
xx
211cospsecp 11 xx 11 sinp)(sinp −− −=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
= −−2
11
1tanpsinp
xxx ( ) x11 tanpxtanp −− −=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= −−
xxx
221tanpcosp 11 ( ) xx 11 secpsecp −− −=− π
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= −−
xxx
22tanpcotp 11 ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=− −− xx 11 cscp
21cscp π
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25. Grafici delle funzioni paraboliche inverse
Arcoseno parabolico
-1 12
2sinp x sin1
xx
−=+
Arcocosenoparabolico
-1 1cosp x cos1
xx
−=−
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Arcotangente parabolica -1 1tanp x tan 2x−=
Arcocotangente parabolica
xx
xxx −
=−
= −− 2tan2
cotcotp 111-
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Arcosecante parabolica -1 1 1 1secp x sec 2 cos
2x
x− −= =
Arcocosecante parabolica
2-1 1 1 2 1cscp x sin
2xx
−⎛ ⎞+ −
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
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26. Periodicità delle funzioni paraboliche
Nel seguito k è un intero qualunque
( ) sinpk2sinp =+ πx x
( ) cospk2cosp =+ πx x
( ) tanpktanp =+ πx x
( ) cotpkcotp =+ πx x
( ) secpk2secp =+ πx x
( ) xcpcsk2cpcs =+ πx .
27. Relazioni tra lati ed angoli acuti di un triangolo rettangolo mediante le funzioni
paraboliche
Il triangolo rettangolo di cui alla figura ha i lati di lunghezza a,b,c,l’angolo retto si
oppone al lato c e l’angolo u si oppone al lato a. Le funzioni paraboliche dell’angolo u sono
definite come segue:
fig. 5
uba
cauu cosp)( sinp == ρ
uab
cbuu sinp)( cosp == ρ
bau2
tanp =
babu
+=
2 cotp
bcu
2 secp =
bacu+
= cscp
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Si possono ottenere relazioni analoghe per l’altro angolo acuto.
28. Relazioni tra lati ed angoli di un triangolo qualunque mediante le funzioni
paraboliche
I seguenti risultati valgono per ogni triangolo A B C di lati a, b, c e angoli ∧∧∧
C ,B ,A .
fig. 6
Teorema dei seni parabolici:
Ccc
BBb
AA
sinp)(
sinp)(
sinp)(a ρρρ
== .
Teorema del coseno parabolico:
)( cospa2bac 222
CCb
ρ−+= .
Teorema delle tangenti paraboliche:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−+
)(21tanp
)(21 tanp
BA
BA
baba ,
con relazioni analoghe relative agli altri lati ed angoli.
Inoltre abbiamo:
)())(( sinp
asscsbsA
−−−
= ,
dove )(21 cbas ++= è il semiperimetro del triangolo.
Si possono avere relazioni analoghe per gli altri angoli in B,C.
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29. Generalizzazione delle funzioni paraboliche
Mediante il parametro p si possono generalizzare le funzioni paraboliche, servendosi della
parabola
y2= p (p – 2x) ,
che ha l’asse di simmetria coincidente con l’asse delle ascisse x ed ha il vertice
).0,2
( pV = Per cui si hanno i valori dell’angolo u e di t (v. figg. dall’1 alla 3) che
esprime il doppio dell’area del settore parabolico delimitato dall’asse x, dall’arco di
parabola e dalla semiretta uscente dall’origine degli assi e delle funzioni paraboliche
in p, che per distinguerle dalle precedenti di valore definito p=1, si soprasegnano:
±=u tcosp t sinptan
tcosp2 t sinptanp 1-1- ±= , con ⎢
⎣
⎡⎥⎦
⎤+quadrante IV o II nel è se -quadrante III o I nel è se
tt ;
t = ) tcosp2 t sinp(
2 t sinp 2
+p , con quadrante IV e III nel 0quadrante II nel e I nel 0
⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤<>
tt ;
3 423 42 9393 t sinp ptpptptppt +−+++= ; ) t sinp(21 tcosp
2
pp −= ;
tcosp2 t sinp ttanp p= ;
t cosp t sinp t cosp 2 tcotp
+= p ;
t cosp2 t cosp tsecp −
=pp ;
t cosp t sinp t cosp tcscp
+−
=pp .
30. Derivate e integrali sulle funzioni paraboliche per un qualunque p
Per quanto detto nel paragrafo precedente, si ha :
)2(
)(
xppy
xpu
−=
−=ρ
xpx
uxu
xpxpp
uyu
−==
−−
==
)(cos
)2()(
sin
ρ
ρ
Essendo
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2)( cos
sincos
xpxdp
xpxdud
uduud
−⋅
=−
=
⋅−=
si ha
2)( sin
xpxdpudu
−⋅−
=⋅ ,
nella quale, sostituito il valore di sin u, si trova facilmente
)2()(
xppxpxdpud−−
⋅−= .
Premesso ciò, si possono ottenere le derivate delle funzioni paraboliche generalizzate:
)( pcos
sinp uupud
ud ρ=−= ;
upu
udud sinp )(
cosp ρ
−= ;
u
uud
ud
cosp2
)(
tanp 2
2ρ
= ;
2
22
) cosp sinp( 2)(
cotp
uupu
udud
+−=
ρ ;
u
upuud
ud
cosp
tanp)(
secp ⋅⋅=ρ ;
2) cosp sinp(
) cosp sinp()(
cscp
uu
uupuud
ud
+
−=ρ .
Gli integrali delle funzioni paraboliche generalizzate, cioè per un qualunque p danno i seguenti valori, ai quali si sottintenda “+c”:
uduu sinp)( =∫ ρ
)(ln cosplnd sinp upuppuu ρ=−⋅=∫ ; ∫ −⋅= uupuu sinpd cosp ;
∫ −−= ) cospln cosp(ln2
d tanp uuppuu ;
∫ −+
+= ) cosp
cosp sinpln(22
d cotpup
uuupuu ;
∫ +=+= ) tanp secp(2ln2
)42
( tanp2ln2
secp uup
pup
pduu π ;
[ ]∫ ++−−−+= )12( sinpln)12( sinpln2
2 cscp pupupduu .
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31. Le derivate e gl’integrali delle funzioni paraboliche
Se nelle derivate e negli integrali di cui sopra si sostituiscono a p il valore 1 e, quindi, alle funzioni
paraboliche in p che si sono sopra segnate, le funzioni senza alcuna sopra segnatura (p=1), si hanno
più semplicemente le derivate e gl’integrali delle funzioni relative alla parabola trigonometrica
122 =+ xy e di essi si riportano i valori più salienti:
)( cosp1
sinp uuud
ud ρ=−= ;
uud
ud sinp (u)
cosp ρ−= ;
uu
udud
cosp2)(
tanp
2
2ρ= ;
)cosp (sinp2 )(
cotp
2
2
uuu
udud
+−=
ρ ;
uuu
udud
cosp tanp)(
secp ρ
= ;
2) cosp sinp() cosp- sinp)((
cscp
uuuuu
udud
+=ρ .
Nei seguenti valori si sottintenda “+c”: ∫ = uduu sinp)(ρ ; )(ln cosp1ln sinp uuduu ρ=−=∫ ; ∫ −= uuduu sinp cosp ;
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
uuduu
cosp cosp1ln
21 tanp ;
[ ]∫ −+
+=u
uuuduu cosp1
cosp sinpln221 cotp ;
∫ +=+= ) tanp secp(2ln21)
42( tanp2ln
21 secp uuuduu π ;
12 sinp-12 sinpln
22 cscp
++−+
=∫ uuduu .
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32. Formule differenziali e integrali che legano le funzioni trigonometriche al seno e coseno parabolico
xxdxx
xxdx
xxduuud
21)1(
21)1(1 cossin
2 −−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
−== ;
2)1(21)1()1(21 sincos
xdx
xxdx
xxduuud
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
−−
−=−= ;
xxdxx
xxdx
xx
uduud
21 )1(
21)1()1(
costan
22
2
2 −−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−
== ;
232
2
2
)21(
)1(21)1(1
)1(sin
cotx
dxxxx
dxxx
uduud
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
−−
−=−= ;
22
2
2 21)1()1()1(21
cossinsec
xdx
xxdx
xxxxdu
uuud −
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
−−−
== ;
23
2
2
)21(
21)1()21)(1(
)1(sincoscsc
x
dxxxx
dxxx
xxduuuud
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
−−−
−=−= .
Dalle formule di cui sopra, ricordando che ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ≤<∞−
21x , x = cosp u, ux sinp21 =− e
)()1( ux ρ=− , si hanno le seguenti formule d’integrazione, ai quali valori si sottintenda “+c”:
uxxdxxu
xdxu
xxdxx tan
21 )1( ; cos
)1( ; sin
21)1(
222=
−−−
=−
=−−
−∫∫ ∫ ;
∫∫ ==−
− ; sec- ; cot)21(
)1(23
uxdxu
xdxx u
xdxx csc
)21(
3=
−∫ .
33. Derivate e integrali sulle funzioni paraboliche inverse
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ≤<
+=
2sinp
2-
12sinp 1-
2
-1 ππ xxdx
xd ;
[ ] ; c0 21)1(
1cosp 1-1
π≤<−−
−= − x
xxdxxd osp
; 2
tanp2
- 412np 1-
2
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ≤<
+=
− ππ xxdx
xdta
; 2
cotp4
- )2(
22cotp 1-22
-1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ≤<
+−−
=ππ x
xxx
dxxd
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; secp
2 se
2secp0 se
14
1secp1-
1-
2
1-
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
≤<−
≤<+
−
±=
ππ
π
xxdxxd
.
4cscp
43- se
4cscp
4- se
)12)(12(2
121cscp1-
1-
222
21-
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−≤<−
≤<+
−±−
−−±=
ππ
ππ
x
x
xxxx
xdx
xd
Ai seguenti valori si sottintenda “+c”:
∫ ∫ ∫ =+
==+
; tanp41
2 ; cosp2x-1x)-(1
dx- ; sinp1
2 1-2
1-1-2 x
xdxxx
xdx
∫ =+−
− xdxxx
x 1-22
cotp)2(
22 ; xdxxx
1-
2secp
141
=−
±∫ ;
∫ =−±−
−−± xdxxxxx
x 1-
222
2
cscp)12)(12(2
)121( .
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APPENDICE
Allo scopo di una più immediata utilizzazione le due tavole seguenti riportano in gran parte alcuni
valori approssimati rispetto a quelle riportate al §12: ALCUNI VALORI APPROSSIMATI ED ALTRI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI 1^ Tabella
Angolo u in gradi
sessagesimali
Angolo u in radianti
Area t
sinp
cosp
tanp
0 0 0 0 .5 0 30
π61 =.5235987
.1371809106 .2679491924 .4641016151 .2886751346
45 π
41 =.7853981
.2189514165 .414213562 .414213562 .5
60 π
31
=1.047198 .3207501495 .5773502692 .333333333 .8660254038
90 π
21 =1.5707963
.6666666666 1 0 ±∞
120 π
32 =2.0943951
1.732050808 1.732050808 -1 -8660254038
135 π
43
3.55228475 2,414213562 -2,414213562 -.5
150 π
65
10.52948576 3.732050808 -6.464101615 -.2886751346
180 π ±∞ ±∞ −∞ 0
210 π
67
-10.52948576 -3.732050808 -6.464101615 .2886751346
225 π
45
-3.55228475. -2,414213562 -2,414213562 .5
240 π
34
-1.732050808 -1.732050808 -1 .8660254038
270 π
23
-.6666666666 -1 0 ±∞
300 π
35
-.3207501495 -.5773502692 .33333333333 -.8660254038
315 π
47
-.2189514165 -.414213562 .414213562 -.5
330 π
611
-.1371809106 -.2679491924 .4641016151 -.2886751346
360 π2 0 0 .5 0
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ALCUNI VALORI APPROSSIMATI ED ALTRI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI 2^ Tabella
Angolo u in gradi
sessagesimali
Angolo u in radianti
Area t
cotp
secp
cscp
0 0 0 1.414213562 .5 1 30
π61
.1371809106 .8965754722 .5773502632 .7320508076
45 π
41
.2189514165 .7071067812 .7071067812 .7071067812
60 π
31
.3207501495 .5176380902 1 .7320508076
90 π
21
.6666666666 0 ±∞ 1
120 π
32
1.732050808 -1.931851653 -1 2.7320508076
135 π
43
3.55228475 ∞∓ -.7071067812 ±∞
150 π
65
10.52948576 3.346065215 -.5773502632. -2.7320508076
180 π ±∞ 1.414213562 -.5 -1 210
π67
-10.52948576 .8965754722 -.5773502632 -.7320508076
225 π
45
-3.55228475 .7071067812 -.7071067812 -.7071067812
240 π
34
-1.732050808 .5176380902 -1 -.7320508076
270 π
23
-.6666666666 0 ∞∓ -1
300 π
35
-.3207501495 -1.931851653 1 -2.7320508076
315 π
47
-.2189514165 ∞∓ .7071067812 ∞∓
330 π
611
-.1371809106 3.346065215 .5773502632 2.7320508076
360 π2 0 1.414213562 .5 1
N. B. Le funzioni paraboliche relative all’angolo u possono intendersi riferite indifferentemente anche all’area t che è il doppio di quella del settore parabolico relativo ad u: infatti, proprio l’argomento t ha permesso che dette funzioni possano essere considerate indipendenti da quelle circolari. Pertanto, si riportano in riepilogo tanto le funzioni paraboliche dipendenti dalle circolari che quelle indipendenti da quest’ultime:
uu
cos11)(
+=ρ ;
sinp usin
ucos1ucos1
usinu −=
+= ; cosp
ucos1ucosu
+= ; tanp
2utanu = ;
cotp ucosusin
ucos2ucot1ucot2u
+⋅
=+⋅
= ; secp 2
usecu = ;
cscp u=1ucsc1
ucscucosusin
1ucot1
ucsc2 −±
=+
=+
,con ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+IV o II quadrante nel è se-III o I quadrante nel è se
uu
.
www.matematicamente.it 30
);sinp1(21 tcosp1)( 2tt +=−=ρ
3 1t33 1 +−+++= t 29t293t t sinp ;
([ -121 tcosp = ) ]23 1t33 1 +−+++ t 29t293t = )sinp1(
21 2t− ;
t2cosp tsinp ttanp = ;
tcosp tsinp tcosp2 tcotp
+= ;
tcosp tsinp
tcosp-1 tcscp ; t2cosp tcosp-1 tsecp
+== .
A chiarimento del §20 si riporta quanto segue, applicando il teorema dei triangoli rettangoli al
triangolo della fig. 4 e si trovano i due cateti:
2z=(1+z2)sin u=(1+z2)sinp u/(1-cosp u);
(1-z2)=(1+z2)cos u=(1+z2)cosp u/(1-cosp u).
Dalla seconda si ha cosp u/(1-cosp u)=(1-z2)/(1+z2); (1+z2)cosp u=(1-z2)(1-cosp u);
cosp u + z2cosp u=1-cosp u –z2 +z2cosp u; 2cosp u=1-z2; cosp u=(1-z2)/2.
Dalla prima, sostituendo il valore trovato di cosp u, si ha:
sinp u/(1-cosp u)=2z/(1+z2); sinp u=2z/(1+z2) (1-(1-z2)/2); sinp u=2z/(1+z2)-z(1-z2)/(1+z2);
sinp u=(2z-z+z3)/(1+z2); sinp u=(z+z3)/(1+z2); sinp u=z.
Per cui si ha: tanp u=sinp u/(2cosp u); tanp u=z/(2(1-z2)/2); tanp u=z/(1-z2).
Essendo u=2tanp-1 (z/2) e derivando la stessa si ha du/dz=d(2tanp-1(z/2))/dz=d(2tan-1z)/dz=
2/(1+z2), per cui si ha: d u= 2dz/(1+z2).
Ora si riportano in dettaglio alcuni passaggi (possono seguirsi altre vie), che mostrano come l’autore sia pervenuto ai notevoli valori delle derivate e degli integrali delle funzioni paraboliche, riportati al §31; di proposito egli ha voluto variare la ricerca delle soluzioni per evidenziarne alcune diverse possibilità:
)( cosp1
sinp uuud
ud ρ=−= , perché
allora 21
-21 e 21)1(
, 2x-1 sinp essendox
dxxdxx
dxduu−
=−−−
−==
)(121
21)1(21 21)1(21
sinp uxdxx
dxxxdx
xdxxdu
xdud
ud ρ=−=−
−−=
−−−−=
−= .
www.matematicamente.it 31
uud
ud sinp (u)
cosp ρ−= , che per quanto detto sopra si è ottenuto come segue
uuxxdx
xxdxud
ud sinp)(21)1(21)1(
cosp ρ−=−−−=−−
−= .
uu
udud
cosp2)(
tanp
2
2ρ= , che si è ottenuto come segue
udud
tanp = =
+⋅+==
udu) u)/(2cos cos(1 u) cosu/(1(sin
u du) u/2cosp sinp(
u du tanp ddd
.cosp2
)(2cosp
u) cosp1(u)) cosp1(u (cosp2
1cos2
1cos2
cossincos4
sin2cos22
2
2
2
222
22
2
22
uu
uuuuu
uuu ρ
=−
=−
==+
=+
2
2
) cosp sinp( 2 )(
cotp
uuu
udud
+−
=ρ , che si è ottenuto come segue
=−+−−
=−+
−−=
+=
22
2
22
2
)22121()1(2
)211(22)1(2
duu) cospu (sinpu cosp2(
duu cotp
xxxx
xxxxdd
( )22
22
2
cosp sinp2)(
u) tanp21(cosp)(2
uuu
uu
+−
=+
− ρρ .
uuu
udud
cosp tanp)(
secp ρ
= , che si è ottenuto come segue
[ ]=
+==
u 4cospu) cosp-(1u sinp (u)2 u 2cospu sinp)(
duu) u)/2cosp cosp-(1
duu secp
2
ρρ udd
.u cosp
u tanp)(u 2cospu sinp)(
4cospu) cosp- 1u (cospu sinp)(2
22
uuu
u ρρρ==
+
2) cosp sinp() cosp- sinp)((
cscp
uuuuu
udud
+=ρ , che si è ottenuto come segue
( ).
) cosp sinp() cosp- sinp)((
) cosp (sinp) cosp-)(1 cosp-u sinp(
cossincossin
cossin1
cscp
222 uuuuu
uuuu
uuuu
uuudd
udud
+=
+=
+−
=+
=ρ
Ai seguenti valori intermedi e/o finali si sottintenda “+c”:
∫ −= uduu cosp1ln sinp , che si è ottenuto con le sostituzioni fatte sopra per le derivate, come
segue
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∫ =duu sinp( )
. xcosp1ln1ln1211
21−=−=
−−=
−−−
− ∫∫ xx
dxxx
dxx
∫ −= uuduu sinp cosp , che si è ottenuto come segue
∫ ∫ −=−= u. sinpuu sinp u cosp dudu
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ,
cosp cosp1ln
21 tanp
uuduu che si è ottenuto come segue
[ ]∫ ∫ =−−−=−=−== u cosp1ln ln21
(u)u cospln
21 cosln
21 tan
21 tanp ucosp
ρuduuduu
( ) . cosp
cosp1ln21u cosplnu cosp1ln
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−−
uu
[ ]∫ −+
+=u
uuuduu cosp1
cosp sinpln221 cotp , che si è ottenuto come segue
∫ ∫ ∫ ∫ +=
+=
+= ;
tan12
cossincos2
u cospu sinpu cosp2u cotp du
ududu
uuududu
essendo tale integrale della forma ∫ duuf )(tan con f segno di funzione razionale, ponendo
tan u=z , si ha ∫ ∫ ∫ ∫ =+−
−+
=++
=+
dzz
zz
dzzz
dzu
du22 11
22
122
)1)(1(2
tan12
( ) [ ]. cosp1
cosp sinpln221cossinln
22tan
211ln
411ln
212 12
uuuuuuuzzz
−+
+=++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−+ −
∫ +=+= ) tanp secp(2ln21)
42( tanp2ln
21 secp uuuduu π , che si è ottenuto come segue
( )∫∫ =+=+== anche ou tanpu secp2ln21tansecln
21 sec
21 secp uuduuduu )
42( tanp2ln
21 π
+u .
12 sinp-12 sinpln
22 cscp
++−+
=∫ uuduu , che si è ottenuto come segue:
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∫ =duu cscp ,212121)1(21
1∫∫ −+−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
+−−
xxxdx
xxdx
xxx ponendo yx =−± 21
si avranno ydydxydydxyyx =−=−−
==− ;22 e 2
1 x; 212
2 , che sostituiti nell’ultima
espressione integrale dà
∫ ∫∫ ∫ −−−=
−+=
−+
=−
+12
212
2
21
21 2222
2 yydy
yydy
yy
dy
yyy
ydy , uguagliando a zero il
denominatore della funzione integrante e risolvendo l’equazione si ha 212,1 ∓=y , per cui si può
scrivere ( ) ( )( ) quindi e 21212112 22 −−+−=−−=−− yyyyy
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
+−−=
−−+
+−=
−− 211
211
42
2121121
2 yyyB
yA
yy , in quanto essendo
da menterispettiva segue come e ottenere possono si , )21()21(1 BAyByA +−+−−=
hanno si e di ottenuti valorii osostituend quali, nelle , )21(1 e )21(1 2121 yyyByA +−=−−=
42
221 cioè ),22()2121(1 −=
−=−=−−−= AAA ed anche
42
221 cioè , )22()2121(1 ===+−+= BBB ; riprendendo l’integrale in d y si ha
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
+−=
−−− ∫ ∫∫ ∫ 21212
221
121
14
2212
2 2 ydy
ydydy
yyyydy
[ ]=++−−−+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++−+
+−∫ ∫ 12ln12yln22
212122 y
ydy
ydy
1212ln
22
++−−+
yy , nella quale risostituendo il valore di y assegnato e cioè x21− si ha
12211221ln
22
++−−−+−
xx , ricordando che ha si definitivain ,u sinp21 =− x
12 sinp-12 sinpln
22 cscp
++−+
=∫ uuduu .
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LISTATO DI PROGRAMMA. Si riporta un listato in Qbasic che permette di calcolare le funzioni paraboliche di ogni argomento, sia esso espresso in radianti che in gradi sessagesimali o nell’area doppia del settore parabolico sotteso dal relativo angolo: CLS : PRINT "VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)" PRINT "ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U)." REM QUEST'ULTIMO IN RADIANTI, PER CUI E'U(T)=ATN(SINP(T)/COSP(T)) E REM T(U)=SINP(U)/2*(1+SINP(U)^2/3);IL RAGGIO VETTORE R(U)=1/(1+COS(U)) ED IL REM PARAMETRO P=1(distanza direttrice fuoco,nel quale e'l'origine degli assi) REM (come il raggio=1 nel cerchio trigon.co). L'EQUAZ. PARABOLA E' Y^2+2*X=1. REM L'INFINITESIMO +1D-37 E'POSTO COME UN ARTIFICIO CHE PERMETTE LE DIVISIONI REM PER ZERO:NELL'OUTPUT GLI INFINITESIMI VANNO LETTI ZERO. MENTRE I NUMERI REM DEL TIPO 1E+37 VANNO LETTI INFINITO.SE VUOI INTRODURRE T=2/3 DIGITA REM .6666666667(punto,nove volte 6,un 7) E MODIFICA LE ISTRUZIONI 140,150, REM 350,PER T=-2/3 ANCHE LA 320, SOMMANDO AI DENOMINATORI 1D-37. REM PER T=INFINITO DIGITA 1E+37. REM v.CAROLLA G.,2001 "FUNZIONI PARABOLICHE",in Atti Congresso Naz.le MATHESIS REM di Barletta,17,18,19 OTTOBRE 2000. P = 1 PRINT "Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi" PRINT "sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di" INPUT "(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3"; Z IF Z = 1 THEN 400 ELSE 100 100 IF Z = 3 THEN 380 INPUT "T="; T IF T = 0 OR T = .6666666667# OR T = 1E+37 THEN 120 ELSE 130 120 A0 = SQR(9 * T ^ 2 + P ^ 4) A = 3 * P * T + P * A0 C = 3 * P * T - P * A0 A1 = SGN(A) * (SGN(A) * A) ^ (1 / 3) C1 = SGN(C) * (SGN(C) * C) ^ (1 / 3) SINP = A1 + C1 + 1D-37 PRINT COSP = (1 - SINP ^ 2) / 2 + 1D-37 GOTO 140 130 A0 = SQR(9 * T ^ 2 + P ^ 4) A = 3 * P * T + P * A0 C = 3 * P * T - P * A0 A1 = SGN(A) * (SGN(A) * A) ^ (1 / 3) C1 = SGN(C) * (SGN(C) * C) ^ (1 / 3) SINP = A1 + C1 PRINT COSP = (1 - SINP ^ 2) / 2 140 TANP = SINP / (2 * COSP) COTP = (SQR(2) * COSP) / (SINP + COSP) SECP = (1 - COSP) / (2 * COSP) 150 CSCP = (1 - COSP) / (SINP + COSP) e = -2 / 3 * P ^ 2 F = 2 / 3 * P ^ 2 IF T >= 0 THEN 350 IF T < 0 THEN 320 IF T > e THEN 350 IF T < F THEN 350 320 i = SINP / COSP U = ATN(i) - (SGN(i) + 1) * ATN(1) * 2 GOTO 370 350 L = SINP / COSP U = ATN(L) - (SGN(L) - 1) * ATN(1) * 2 370 PRINT "U="; U GOTO 390 380 INPUT "U="; U COSPU = COS(U) / (1 + COS(U))
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SINPU = SIN(U) / (1 + COS(U)) T = SINPU / 2 * (1 + SINPU ^ 2 / 3) REM PRINT SINPU; COSPU; T SINP = SINPU: COSP = COSPU TANP = SINP / (2 * COSP) COTP = (SQR(2) * COSP) / (SINP + COSP) SECP = (1 - COSP) / (2 * COSP) CSCP = (1 - COSP) / (SINP + COSP) 390 PRINT PRINT "GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U)" PRINT "(U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro)" PRINT PRINT "SINP "; T; "="; "SINP "; U; "="; SINP; "="; (1 - COS(U)) / SIN(U); "="; SIN(U) / (1 + COS(U)) PRINT PRINT "COSP "; T; "="; "COSP "; U; "="; COSP; "="; COS(U) / (1 + COS(U)) PRINT PRINT "TANP "; T; "="; "TANP "; U; "="; TANP; "="; TAN(U) / 2 PRINT PRINT "COTP "; T; "="; "COTP "; U; "="; COTP; "="; SQR(2) * COS(U) / (SIN(U) + COS(U)) PRINT PRINT "SECP "; T; "="; "SECP "; U; "="; SECP; "="; 1 / (2 * COS(U)) PRINT PRINT "CSCP "; T; "="; "CSCP "; U; "="; CSCP; "="; 1 / (SIN(U) + COS(U)) END 400 REM LE FUNZIONI PARABOLICHE DI (s) IN GRADI SESSAG.E IN (U) IN RADIANTI INPUT "s"; s IF s <= 180 THEN 410 U = ATN(1) * 4 * s / 180 - ATN(1) * 8: GOTO 420 410 U = ATN(1) * 4 * s / 180 420 PRINT PRINT "U="; U PRINT PRINT "GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U) RAD." PRINT "(U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro)" PRINT PRINT "SINP "; s; "="; "SINP "; U; "="; (1 - COS(U)) / SIN(U); "="; SIN(U) / (1 + COS(U)) PRINT PRINT "COSP "; s; "="; "COSP "; U; "="; COS(U) / (1 + COS(U)) PRINT PRINT "TANP "; s; "="; "TANP "; U; "="; TAN(U) / 2; "" PRINT PRINT "COTP "; s; "="; "COTP "; U; "="; SQR(2) * COS(U) / (SIN(U) + COS(U)) PRINT PRINT "SECP "; s; "="; "SECP "; U; "="; 1 / (2 * COS(U)) PRINT PRINT "CSCP "; s; "="; "CSCP "; U; "="; 1 / (SIN(U) + COS(U)) END ESEMPI IN OUTPUT. I sei esempi che seguono sono relativi alle tre opzioni del programma di cui sopra e si riferiscono rispettivamente ad argomenti dei quadranti I, II, III, IV, I, II: VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
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sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 1 s? 45 U= .7853982 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U) RAD. (U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro) SINP 45 =SINP .7853982 = .4142136 = .4142136 COSP 45 =COSP .7853982 = .4142136 TANP 45 =TANP .7853982 = .5 COTP 45 =COTP .7853982 = .7071068 SECP 45 =SECP .7853982 = .7071068 CSCP 45 =CSCP .7853982 = .7071068 VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 2 T=? 3.55228475 U= 2.356194 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U) (U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro) SINP 3.552285 =SINP 2.356194 = 2.414213 = 2.414214 = 2.414214 COSP 3.552285 =COSP 2.356194 =-2.414213 =-2.414214 TANP 3.552285 =TANP 2.356194 =-.5000001 =-.5 COTP 3.552285 =COTP 2.356194 =-1.432025E+07 = 1.185935E+08 SECP 3.552285 =SECP 2.356194 =-.7071068 =-.7071068 CSCP 3.552285 =CSCP 2.356194 = 1.432025E+07 =-1.185935E+08 Si noti che 2.356194=3/4π VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
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sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 3 U=? 4.1887902 T=-1.73205 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U) (U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro) SINP -1.73205 =SINP 4.18879 =-1.732051 =-1.732051 =-1.732051 COSP -1.73205 =COSP 4.18879 =-.9999996 =-.9999996 TANP -1.73205 =TANP 4.18879 = .8660256 = .8660256 COTP -1.73205 =COTP 4.18879 = .517638 = .517638 SECP -1.73205 =SECP 4.18879 =-1 =-1 CSCP -1.73205 =CSCP 4.18879 =-.7320508 =-.7320508 VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 1 s=? 300 U=-1.047198 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U) RAD. (U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro) SINP 300 =SINP -1.047198 =-.5773503 =-.5773503 COSP 300 =COSP -1.047198 = .3333333 TANP 300 =TANP -1.047198 =-.8660254 COTP 300 =COTP -1.047198 =-1.931851 SECP 300 =SECP -1.047198 = 1 CSCP 300 =CSCP -1.047198 =-2.73205 VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi
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sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 2 T=? .3207501495 U= 1.047198 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U) (U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro) SINP .3207501 =SINP 1.047198 = .5773503 = .5773503 = .5773503 COSP .3207501 =COSP 1.047198 = .3333333 = .3333333 TANP .3207501 =TANP 1.047198 = .8660255 = .8660254 COTP .3207501 =COTP 1.047198 = .517638 = .5176381 SECP .3207501 =SECP 1.047198 = 1 = 1 CSCP .3207501 =CSCP 1.047198 = .7320508 = .7320508 VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 3 U=? 2.6179939 T= 10.52948 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U) (U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro) SINP 10.52948 =SINP 2.617994 = 3.73205 = 3.73205 = 3.73205 COSP 10.52948 =COSP 2.617994 =-6.4641 =-6.4641 TANP 10.52948 =TANP 2.617994 =-.2886752 =-.2886752 COTP 10.52948 =COTP 2.617994 = 3.346066 = 3.346066 SECP 10.52948 =SECP 2.617994 =-.5773503 =-.5773503 CSCP 10.52948 =CSCP 2.617994 =-2.732051 =-2.732051 II LISTATO DI PROGRAMMA. Si riporta un altro listato di programma in Qbasic, con l’input e qualche esempio in output: CLS PRINT “G. CAROLLA MARZO 2006”; "SULLE FUNZIONI PARABOLICHE
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GENERALIZZATE,DEFINIZIONI DI QUELLE CANONICHE E COMPARAZIONE DEI VALORI CALCOLATI" REM IL PRESENTE LISTATO DI PROGRAMMA con REM le istruzioni che seguono permettono di ottenere t(u,P),cioè il doppio REM dell'area del settore parabolico che sottende u, da u in radianti e P>=1. REM Inoltre,verificano le varie definizioni del raggio vettore e delle f. p., REM calcolano i valori anche delle f. p. generalizzate (per un P qualunque). REM INFINE, SI POSSONO COMPARARE I VALORI CALCOLATI DELL'AREA t(u,1), REM DEL RAGGIO VETTORE E DELLE DEFINIZIONI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE CON REM QUELLI ESATTI RIPORTATI IN FONDO ALL'OUTPUT. PRINT "IL PROGRAMMA VA IN OVERFLOW E PRESENTA PROBLEMI (ES. PER u=3/4(PIGRECA)" PRINT "(PERCIO' DIGITA 2.356194),IN QUANTO (CON 2.3561945) VI E' SINPu+COSPu=0 AL DENOMINATORE)," PRINT "E SOLO QUANDO CAPITA DI DIVIDERE PER ZERO,PERTANTO SI CONSIGLIA PER L'INPUT" PRINT "DI DARE LO ZERO IN .00001 O IN NOTAZIONE ESPONENZIALE DI INFINITESIMO." PRINT "IN OUTPUT I VALORI NULLI, INFINITO E INFINITESIMO SONO IN NOTAZIONE" PRINT "ESPONENZIALE, O L'INFINITO E' CON SETTE CIFRE. " PRINT "************************************************************************" PRINT “*A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI: PRINT "*SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA*" PRINT "*ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO.*" PRINT "************************************************************************" PRINT INPUT "u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2"; V IF V = 1 THEN 10 ELSE 55 10 INPUT " u="; u INPUT "DIGITA IL VALORE DI P"; P IF u >= 0 AND u < 1.5707963# THEN 20 IF u > 4.712389 AND u <= 6.2831853# THEN 30 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) GOTO 40 20 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) GOTO 50 30 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) PRINT "TAN(u)="; TAN(u); "R1="; R1 40 t = -(SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3)): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 50 t = SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 55 INPUT " u="; u INPUT "DIGITA IL VALORE DI P"; P IF u >= 1.5707963# AND u < 3.1415926# THEN 65 IF u >= 3.1415926# OR u <= 4.712389 THEN 75 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) GOTO 85 65 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) GOTO 95 75 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) PRINT "TAN(u)="; TAN(u); "R1="; R1 85 t = -(SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3)): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 95 t = SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 REM sotto + se u II e III quadrante 98 COSP1 = -P * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)
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COSP2 = -P * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2) SINP1 = COSP1 * TAN(u) SINP2 = COSP2 * TAN(u) PRINT "SINP(u,P)="; SINP1; SINP2; "COSP(u,P)="; COSP1; COSP2 PRINT "SINP/P="; SINP1 / P; SINP2 / P; "COSP/P="; COSP1 / P; COSP2 / P PRINT "SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE'"; P RO1 = P - COSP1: RO2 = P - COSP2: PRINT "RO(u,P)="; "RO("; u; ","; P; ")="; RO1; RO2 PRINT "RO(u,P)/P="; RO1 / P; RO2 / P; " o anche 1-COSP/P="; 1 - COSP1 / P; 1 - COSP2 / P PRINT TANP1 = P * SINP1 / (2 * COSP1): PRINT "TANP(u,P)="; TANP1; "TANP/P="; TANP1 / P PRINT COTP1 = P * COSP1 * SQR(2) / (SINP1 + COSP1): PRINT "COTP(u,P)="; COTP1; "COTP/P="; COTP1 / P PRINT SECP3 = P * (P - COSP1) / (2 * COSP1): PRINT "SECP(u,P)="; SECP3; "SECP/P="; SECP3 / P SECP4 = P * (P - COSP2) / (2 * COSP2): PRINT "SECP(u,P)="; SECP4; "SECP/P="; SECP4 / P PRINT CSCP3 = P * (P - COSP1) / (SINP1 + COSP1): PRINT "CSCP(u,P)="; CSCP3; "CSCP/P="; CSCP3 / P CSCP4 = P * (P - COSP2) / (SINP2 + COSP2): PRINT "CSCP(u,P)="; CSCP4; "CSCP/P="; CSCP4 / P PRINT PRINT "PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI DI CUI SOPRA," PRINT "DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO," PRINT "SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL" PRINT "RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1:" R2 = 1 + (2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) PRINT t2 = (SQR(R2) / 2 * (1 + R2 / 3)) PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t2; "con + II, - III quadrante" R3 = 1 + (2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) t3 = SQR(R3) / 2 * (1 + R3 / 3): PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t3; "con + I,- IV quadrante" RO0 = 1 / (1 + COS(u)): PRINT "RO(u,1)="; "RO("; u; ")="; RO0 SINP0 = SIN(u) / (1 + COS(u)): PRINT "SINP(u,1)="; "SINP("; u; ")="; SINP0 COSP0 = COS(u) / (1 + COS(u)): PRINT "COSP(u,1)="; "COSP("; u; ")="; COSP0 TANP0 = TAN(u) / 2: PRINT "TANP(u,1)="; "TANP("; u; ")="; TANP0 COTP0 = SQR(2) * COS(u) / (SIN(u) + COS(u)): PRINT "COTP(u,1)="; "COTP("; u; ")="; COTP0 SECP0 = 1 / (2 * COS(u)): PRINT "SECP(u,1)="; "SECP("; u; ")="; SECP0 CSCP0 = 1 / (SIN(u) + COS(u)): PRINT "CSCP(u,1)="; "CSCP("; u; ")="; CSCP0 END ESEMPI IN OUTPUT. In output si riportano quattro esempi relativi ad argomenti del I, del III quadrante e due dell’angolo piatto: 1^ esempio 5235987.
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30 ==°= πu e p=3
***************************************************************************** * A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI: * *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA* *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. *
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***************************************************************************** u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 1 u=? .5235987 DIGITA IL VALORE DI P? 3 t(u,P)=t( .5235987 , 3 )= .4884942 SINP(u,P)= .8038474 -11.19615 COSP(u,P)= 1.392305 -19.39231 SINP/P= .2679491 -3.732052 COSP/P= .4641016 -6.464104 SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 3 RO(u,P)=RO( .5235987 , 3 )= 1.607695 22.39231 RO(u,P)/P= .5358984 7.464104 o anche 1-COSP/P= .5358984 7.464104 TANP(u,P)= .8660252 TANP/P= .2886751 COTP(u,P)= 2.689727 COTP/P= .8965755 SECP(u,P)= 1.732051 SECP/P= .5773502 SECP(u,P)=-1.732051 SECP/P=-.5773502 CSCP(u,P)= 2.196152 CSCP/P= .7320508 CSCP(u,P)=-2.196152 CSCP/P=-.7320508 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( .5235987 ,1)=+- 10.52949 con + II, - III quadrante t(u,1)=t( .5235987 ,1)=+- .1371809 con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( .5235987 )= .5358984 SINP(u,1)=SINP( .5235987 )= .2679491 COSP(u,1)=COSP( .5235987 )= .4641016 TANP(u,1)=TANP( .5235987 )= .2886751 COTP(u,1)=COTP( .5235987 )= .8965756 SECP(u,1)=SECP( .5235987 )= .5773503 CSCP(u,1)=CSCP( .5235987 )= .7320508 II esempio u= 9269908.3
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225 ==° π p=5
***************************************************************************** * A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI: * *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * ***************************************************************************** u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 2 u=? 3.9269908 DIGITA IL VALORE DI P? 5 TAN(u)= .9999999 R1= 145.7107
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t(u,P)=t( 3.926991 , 5 )=-299.1829 SINP(u,P)= 2.071068 -12.07107 COSP(u,P)= 2.071068 -12.07107 SINP/P= .4142135 -2.414214 COSP/P= .4142136 -2.414214 SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 5 RO(u,P)=RO( 3.926991 , 5 )= 2.928932 17.07107 RO(u,P)/P= .5857865 3.414214 o anche 1-COSP/P= .5857865 3.414214 TANP(u,P)= 2.5 TANP/P= .4999999 COTP(u,P)= 3.535534 COTP/P= .7071068 SECP(u,P)= 3.535534 SECP/P= .7071068 SECP(u,P)=-3.535534 SECP/P=-.7071067 CSCP(u,P)= 3.535534 CSCP/P= .7071068 CSCP(u,P)=-3.535534 CSCP/P=-.7071068 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( 3.926991 ,1)=+- 3.552286 con + II, - III quadrante t(u,1)=t( 3.926991 ,1)=+- .2189514 con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( 3.926991 )= 3.414214 SINP(u,1)=SINP( 3.926991 )=-2.414214 COSP(u,1)=COSP( 3.926991 )=-2.414214 TANP(u,1)=TANP( 3.926991 )= .4999999 COTP(u,1)=COTP( 3.926991 )= .7071068 SECP(u,1)=SECP( 3.926991 )=-.7071067 CSCP(u,1)=CSCP( 3.926991 )=-.7071068 3^ esempio 141592653.3180 =°=u p=2 ***************************************************************************** *A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI: * *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * ***************************************************************************** u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 2 u=? 3.141592653 DIGITA IL VALORE DI P? 2 TAN(u)= 8.742278E-08 R1= 2.093489E+15 t(u,P)=t( 3.141593 , 2 )=-1.596448E+22 SINP(u,P)= 8.742295E-08 -4.575466E+07 COSP(u,P)= 1.000002 -5.233723E+14 SINP/P= 4.371148E-08 -2.287733E+07 COSP/P= .500001 -2.616862E+14 SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 2 RO(u,P)=RO( 3.141593 , 2 )= .999998 5.233723E+14
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RO(u,P)/P= .499999 2.616862E+14 o anche 1-COSP/P= .499999 2.616862E+14 TANP(u,P)= 8.742278E-08 TANP/P= 4.371139E-08 COTP(u,P)= 2.828427 COTP/P= 1.414213 SECP(u,P)= .9999959 SECP/P= .499998 SECP(u,P)=-1 SECP/P=-.5 CSCP(u,P)= 1.999992 CSCP/P= .9999959 CSCP(u,P)=-2 CSCP/P=-.9999999 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 1.99556E+21 con + II, - III quadrante In questo caso il programma è andato in overflow, dovuto al radicando negativo della prima delle due istruzioni che si riportano a seguire R3 = 1 + (2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) t3 = SQR(R3) / 2 * (1 + R3 / 3): PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t3; Mancano perciò i risultati con i quali si sarebbero effettuati le verifiche. Allo scopo, temporaneamente, solo per il presente esempio, si è resa la R3=R2 e quindi l’output che segue è completo: ***************************************************************************** *A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NIMERI: * *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * ***************************************************************************** u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 1 u=? 3.1415926 DIGITA IL VALORE DI P? 2 t(u,P)=t( 3.141593 , 2 )=-1.386981E-03 SINP(u,P)=-1.509955E-07 2.64908E+07 COSP(u,P)= .9999981 -1.754407E+14 SINP/P=-7.549775E-08 1.32454E+07 COSP/P= .499999 -8.772033E+13 SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 2 RO(u,P)=RO( 3.141593 , 2 )= 1.000002 1.754407E+14 RO(u,P)/P= .500001 8.772033E+13 o anche 1-COSP/P= .500001 8.772033E+13 TANP(u,P)=-1.509958E-07 TANP/P=-7.549789E-08 COTP(u,P)= 2.828428 COTP/P= 1.414214
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SECP(u,P)= 1.000004 SECP/P= .5000019 SECP(u,P)=-1 SECP/P=-.5 CSCP(u,P)= 2.000008 CSCP/P= 1.000004 CSCP(u,P)=-2 CSCP/P=-1 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 3.87297E+20 con + II, - III quadrante t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 6.934893E-04 con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( 3.141593 )= 8.772008E+13 SINP(u,1)=SINP( 3.141593 )= 1.324536E+07 COSP(u,1)=COSP( 3.141593 )=-8.772008E+13 TANP(u,1)=TANP( 3.141593 )=-7.54979E-08 COTP(u,1)=COTP( 3.141593 )= 1.414214 SECP(u,1)=SECP( 3.141593 )=-.5 CSCP(u,1)=CSCP( 3.141593 )=-1 Naturalmente gli infiniti e lo zero sono dati in notazione esponenziale e quest’ultimo sotto forma di un infinitesimo. BIBLIOGRAFIA
A. AGOSTINI, “Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche. Trigonometria piana e sferica”, in Enciclopedia delle Matematiche elementari e complementari, vol. II p. I, Milano 1937 (rist. an. 1957), pp. 540 sgg.; J. BOOTH, A Memoir on the trigonometry of the parabola, London 1856; M. CUGIANI, in Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, vol. V, ed. it. Milano 21964, s. v. “Funzione”; G. EGIDI, “Saggio intorno alle funzioni paraboliche.”, Atti Acc. Nuovi Lincei 47, 1894, pp. 16-33; M. R. SPIEGEL, “Funzioni trigonometriche” e “Funzioni iperboliche”, in Manuale di Matematica, ed. it. , Milano 1994. Carolla G., “Intorno alla trigonometria della parabola”, lavoro presentato nel Convegno Nazionale di Matematica della Mathesis, Paestum (SA), 1983, pp.47. Carolla G., “Le funzioni paraboliche” in Atti del Congresso Nazionale Mathesis “Il ruolo della Matematica nella società contemporanea”, 17/19 ottobre 2000, Editrice Rotas, Barletta (BA), 2001, pp. 97-112, pubblicato anche sul sito www.matematicamente.it nella sezione Approfondimenti: idee interessanti.
Lecce, marzo 2006