NTTL Trang 1/9
TRƯ�NG THPT CHUYÊN �� NGH� �� THI THPT QU�C�G�A�N�M�2019
LÊ�QU���ÔN MÔN�TO�N�– TH���G�AN�LÀM�BÀ����90�PH�T
C�u� 1� Cho s� th�c d�ơng a, b, c khác 1. �� th� các hàm s�
a b cy log x, y log x, y log x= = = ���c cho trong h�nh v� b�n.
T�m kh�ng ��nh �úng.
A. b c a< <
B� a b c< <
C. a c b< <
D. b a c< <
C�u�2� Bi�t F x là m�t nguy�n hàm c�a hàm s� 2xf x e= và 3
F 02
= . Tính 1
F2
� �� �� �
A. 1 1
F e 22 2
� �= +� �
� � B�
1 1F e 1
2 2
� �= +� �
� � C.
1 1 1F e
2 2 2
� �= +� �
� � D.
1F 2e 1
2
� �= +� �
� �
C�u�3� Trong kh�ng gian v�i h� t�a �� Oxyz, cho 2 �i�m A 3;2; 1 , B 5;4;3− . M là �i�m thu�c tia ��i
c�a tia BA sao cho AM
2BM
= . T�m t�a �� c�a �i�m M.
A. 7;6;7 B� 13 10 5
; ;3 3 3
� �� �� �
C. 5 2 11
; ;3 3 3
� �− −� �� �
D. 13;11;5
C�u�4� T�m t�t c� các ti�m c�n ngang c�a �� th� hàm s� 2x 3
yx
+=
A. y 1= B� y 1= − C. x 1= − và x 1= D. y 1= − và y 1=
C�u�5� T�m chu k� c�a hàm s� 2 2
y sin x .cos x5 5
� � � �= � � � �
� � � �
A. T = π B� T 2= π C. 5
T2
π= D.
2T
3
π=
C�u�6� Cho hàm s� 3 2y x 3x 4= − − + . M�nh �� nào d��i ��y �úng.
A. Hàm s� ngh�ch bi�n tr�n kho�ng 2;0− B� Hàm s� ��ng bi�n tr�n kho�ng 0;+�
C. Hàm s� ��ng bi�n tr�n kho�ng ; 2−� − D. Hàm s� ��ng bi�n tr�n kho�ng 2;0−
C�u�7� T�m t�p h�p t�t c� các giá tr� c�a tham s� th�c m �� hàm s� 3 21y x mx 4x m
3= + + − ��ng bi�n tr�n
kho�ng ;−� +�
A. ; 2−� − B� 2;+� C. 2;2− D. ;2−�
NTTL Trang 2/9
C�u�8� Cho hàm s� 3 2y f x x ax bx c= = + + + ��t c�c ti�u b�ng – 3 t�i �i�m x 1= và �� th� hàm s� c�t
tr�c tung t�i �i�m có tung �� là 2. Tính ��o hàm c�p m�t c�a hàm s� t�i x 3= −
A. f ' 3 0− = B� f ' 3 2− = C. f ' 3 1− = D. f ' 3 2− = −
C�u�9� Tính m��un c�a s� ph�c z th�a m�n 5 2i z 3 4i− + = − +
A. 5 31
z31
= B� 5 29
z29
= C. 5 28
z28
= D. 5 27
z27
=
C�u�10� T�m giá tr� nh� nh�t c�a hàm s� 4
y xx
= + tr�n kho�ng 0;+�
A. 0;min y 2+�
= B� 0;min y 4+�
= C. 0;min y 0+�
= D. 0;min y 3+�
=
C�u�11� Gi�i ph�ơng tr�nh sin x cos x
1 sin 2xcos x sin x
+= +
−
A. x k
4
x k
π�= + π�
�= π�
B� x k2
4
x k2
π�= − + π�
�= π�
C. x k
4
x k2
π�= − + π�
�= π�
D. x k
4
x k
π�= − + π�
�= π�
C�u�12� ���ng cong trong h�nh b�n là �� th� c�a m�t hàm s� ���c li�t k� �
b�n ph�ơng án A,B,C,D d��i ��y. H�i hàm s� �ó là hàm s� nào�
A. 3 2y x 3x 3x 1= − − −
B� 31y x 3x 1
3= + −
C. 3 2y x 3x 3x 1= + − −
D. 3y x 3x 1= − −
C�u�13� �� th� c�a hàm s� 3 2y x 2x 2= − + và �� th� hàm s� 2y x 2= + có t�t c� bao nhi�u �i�m chung.
A. 4 B� 1 C. 0 D. 2
C�u�14� T�m giá tr� tham s� m �� ���ng th�ng d : mx y m 0− + = c�t ���ng cong 3 2C : y x 3x 4= − + t�i
ba �i�m ph�n bi�t l�n l��t là A, B và C 1;0− sao cho tam giác AOB có di�n tích b�ng 5 5 . (��i O là
g�c t�a ��).
A. m 5= B� m 3= C. m 4= D. m 6=
C�u� 15� Cho các s� th�c d�ơng a, b khác 1. Bi�t r�ng ���ng th�ng y 2= c�t �� th� c�a các hàm s�
x xy a , y b= = và tr�c tung l�n l��t t�i A, B và C sao cho C n�m gi�a A và B và AC 2BC= . Kh�ng ��nh
nào d��i ��y �úng.
A. a
b2
= B� b 2a= C. 2b a−= D. 2b a=
NTTL Trang 3/9
C�u�16� Khi ánh sáng qua m�t m�i tr��ng (ch�ng h�n nh� kh�ng khí, n��c, s�ơng m�,...) c��ng �� s� gi�m
d�n theo qu�ng ���ng truy�n x, theo c�ng th�c x0� x � e−µ= trong �ó 0I là c��ng �� c�a ánh sáng khi b�t
��u truy�n vào m�i tr��ng và µ là h� s� h�p thu c�a m�i tr��ng �ó. Bi�t r�ng n��c bi�n có h� s� h�p thu
1, 4µ = và ng��i ta tính ���c r�ng khi �i t� �� s�u 2m xu�ng ��n �� s�u 20m th� c��ng �� ánh sáng gi�m
10l.10 l�n. S� nguy�n nào sau ��y g�n v�i l nh�t�
A. 8 B� 9 C. 10 D. 90
C�u�17� Cho hai s� th�c a, b d�ơng khác 1. M�nh �� nào d��i ��y �úng�
A. 2 3a aa a
1 1 1 8
log b log b log b log b+ + = B�
2 3a aa a
1 1 1 4
log b log b log b log b+ + =
C. 2 3a aa a
1 1 1 6
log b log b log b log b+ + = D.
2 3a aa a
1 1 1 7
log b log b log b log b+ + =
C�u�18� M�t ng��i g�i ng�n hàng 50 tri�u ��ng v�i l�i su�t 4% m�t tháng, sau m�i tháng ti�n l�i ���c nh�p
vào v�n. H�i sau m�t n�m ng��i �ó rút ti�n th� t�ng s� ti�n nh�n ���c là bao nhi�u�
A. 12
50. 1,004 (tri�u ��ng) B� 12
50. 1 12.0,04+ (tri�u ��ng)
C. 12
50. 1 0,04+ (tri�u ��ng) D. 50.1,004 (tri�u ��ng)
C�u�19� Gi�i b�t ph�ơng tr�nh x
x4 2
18 2log 18 2 log 1 *
8
−− � − .
A. 21 log 7 x 4+ � � B� 31 log 7 x 4+ � � C. 21 log 5 x 4+ � � D. 2log 7 x 4� �
C�u�20� G�i 1 2x , x là hai nghi�m c�a ph�ơng tr�nh 3log x x 2 1+ = . Tính 2 21 2x x+ .
A. 2 21 2x x 4+ = B� 2 2
1 2x x 6+ = C. 2 21 2x x 8+ = D. 2 2
1 2x x 10+ =
C�u�21� T�m t�p h�p t�t c� các giá tr� c�a tham s� th�c m �� ph�ơng tr�nh x x4 3.2 2 m 0− + − = có nghi�m
thu�c kho�ng 0;2 .
A. 0;+� B� 1
;84
� �− ��� �
C. 1
;64
� �− ��� �
D. 1
;24
� �− ��� �
C�u� 22� Cho �� th� hàm s� y f x= có �� th� tr�n �o�n
1;4− nh� h�nh v� d��i. Tính tích ph�n 4
1
� f x dx−
= �
A. 5
I2
= B� 11
I2
=
C. � 5= D. I 3=
C�u�23� Cho h�nh l�p ph�ơng ABCD.A�B�C�D� c�nh a. Tính di�n tích S c�a m�t c�u ngo�i ti�p h�nh l�p
ph�ơng ABCD.A�B�C�D�.
NTTL Trang 4/9
A. 2S a= π B� 2S 3 a= π C. 2a 3
S2
π= D.
24 aS
3
π=
C�u�24� B�n trong h�nh vu�ng c�nh a, d�ng h�nh sao b�n cánh ��u nh� h�nh v� b�n (các kích th��c c�n
thi�t cho nh� � trong h�nh).
Tính th� tích c�a kh�i tròn xoay sinh ra khi quay h�nh sao �ó quanh tr�c Oy.
A. 35a
48
π B� 35
a16
π
C. 3a6
π D. 3a
8
π
C�u�25� Cho kh�i nón có ���ng sinh b�ng 5 và di�n tích �áy b�ng 9π . Tính th� tích � c�a kh�i nón.
A. � 12= π B� � 24= π C. � 36= π D. � 45= π
C�u�26� Xét s� ph�c z th�a m�n z i z 1
z 2i z
� − = −��
− =�� . M�nh �� nào sau ��y là �úng�
A. z 5> B� z 5= C. z 2= D. z 2<
C�u�27� Cho hàm s� f x có ��o hàm f ' x li�n t�c tr�n a;b và f b 5= và b
a
f ' x dx 3 5=� . Tính
f a .
A. f a 5 5 3= − B� f a 3 5= C. f a 5 3 5= − D. f a 3 5 3= −
C�u�28� Kí hi�u 0z là nghi�m ph�c có ph�n �o �m c�a ph�ơng tr�nh 2z z 1 0+ + = . T�m tr�n m�t ph�ng t�a
�� �i�m nào d��i ��y là �i�m bi�u di�n s� ph�c 0
iw
z= �
A. 3 1
M ;2 2
� �−� �� �� �
B� 3 1
M ;2 2
� �− −� �� �� �
C. 3 1
M ;2 2
� �� �� �� �
D. 1 3
M ;2 2
� �− −� �� �
� �
C�u�29� Trong kh�ng gian v�i h� tr�c t�a �� Oxyz, cho m�t ph�ng x y z
P : 1 a 0a 2a 3a+ + = > c�t ba tr�c
Ox, Oy, Oz l�n l��t t�i 3 �i�m A, B, C. Tính th� tích � c�a kh�i t� di�n OABC.
NTTL Trang 5/9
A. 3� a= B� 3� 3a= C. 3� 2a= D. 3� 4a=
C�u� 30� ��i m 1;0 0;1� − � , m�t ph�ng 2P : 3mx 5 1 m y 4mz 20 0+ − + + = lu�n c�t m�t ph�ng
Oxz theo giao tuy�n là ���ng th�ng m∆ . H�i khi m thay ��i th� các giao tuy�n m∆ có k�t qu� nào sau
��y�
A. C�t nhau B� Song song C. Ch�o nhau D. Tr�ng nhau
C�u�31� Trong kh�ng gian v�i h� tr�c Oxyz, cho �i�m I 0; 3;0− . �i�t ph�ơng tr�nh c�a m�t c�u t�m � và
ti�p xúc v�i m�t ph�ng Oxz .
A. 22 2x y 3 z 3+ + + = B�
22 2x y 3 z 3+ − + =
C. 22 2x y 3 z 3+ − + = D.
22 2x y 3 z 9+ + + =
C�u� 32� Trong kh�ng gian v�i h� tr�c t�a �� Oxyz, cho hai ���ng th�ng x y z 1
d :1 2 1
+= =− −
và
x 1 y 2 zd '
2 4 2
− −= = =
−. �i�t ph�ơng tr�nh m�t ph�ng (Q) ch�a hai ���ng th�ng d và d�.
A. Kh�ng t�n t�i Q B� Q : y 2z 2 0− − =
C. Q : x y 2 0− − = D. Q : 2y 4z 1 0− + + =
C�u�33� Cho h�nh chóp S.ABCD, có �áy ABCD là h�nh thoi t�m O và th� tích b�ng 8. Tính th� tích � c�a
h�nh chóp SOCD.
A. � 3= B� � 4= C. � 5= D. � 2=
C�u� 34� Trong kh�ng gian v�i h� t�a �� Oxyz, cho m�t ph�ng : 2x 2y z 3 0α − − + = và �i�m
M 1; 2;13− . Tính kho�ng cách t� �i�m M ��n m�t ph�ng α .
A. 4
d M,3
α = B� 2
d M,3
α = C. 5
d M,3
α = D. d M, 4α =
C�u�35� Cho h�nh chóp S.ABC có �áy là tam giác vu�ng c�n � A, c�nh BC 2 3a= . Tam giác SBC c�n t�i
S và n�m trong m�t ph�ng vu�ng góc v�i m�t ph�ng �áy. Bi�t th� tích kh�i chóp là 3a , tính góc gi�a SA và
m�t ph�ng (SBC).
A. 6
π B�
3
π C.
4
π D.
3arctan
2
C�u�36� Cho h�nh h�p ch� nh�t ABCD.A�B�C�D� có các kích th��c là AB 2, AD 3, AA� 4= = = . G�i (N)
là h�nh nón có ��nh là t�m c�a m�t ABB�A� và ���ng tròn �áy là ���ng tròn ngo�i ti�p h�nh ch� nh�t
CDD�C�. Tính th� tích � c�a h�nh nón (N).
A. 13
3π B� 5π C. 8π D.
25
6π
NTTL Trang 6/9
C�u�37� Cho l�ng tr� ��u ABC.A�B�C� có c�nh �áy b�ng 2a, di�n tích xung quanh b�ng 26 3a Th� tích
c�a kh�i l�ng tr� là:
A. 31� a
3= B� 33
� a4
= C. 3� a= D. 3� 3a=
C�u�38� Trong kh�ng gian v�i h� t�a �� Oxyz, cho m�t c�u 2 2 2
S : x 1 y 1 z 2 4− + − + + = và �i�m
A 1;1; 1− . Ba m�t ph�ng thay ��i �i qua A và ��i m�t vu�ng góc v�i nhau, c�t m�t c�u (S) theo ba giao
tuy�n là các ���ng tròn 1 2 3C , C , C . Tính t�ng di�n tích c�a ba ���ng tròn 1 2 3C , C , C .
A. 4π B� 12π C. 11π D. 3π
C�u�39� Cho s� ph�c w và hai s� th�c a, b. Bi�t 1z w 2i= + và 2z 2w 3= − là hai nghi�m ph�c c�a ph�ơng
tr�nh 2z az b 0+ + = . Tính 1 2T z z= +
A. T 2 13= B� 2 97
T3
= C. 2 85
T3
= D. T 4 13=
C�u�40� Trong khai tri�n n
x 2x2 2−+ , t�ng h� s� c�a s� h�ng th� hai và s� h�ng th� ba là 36, s� h�ng th� 3
l�n g�p 7 l�n s� h�ng th� hai. T�m x�
A. 1
x3
= B� 1
x2
= C. 1
x2
= − D. 1
x3
= −
C�u�41� Cho s� ph�c z th�a m�n z 2 z 2 6+ + − = . T�m giá tr� nh� nh�t c�a bi�u th�c 2
P z 3 z= + − :
A. -3 B� 2 C. -1 D. -4
C�u�42� Trong m�t ph�ng t�a ��, cho h�nh ch� nh�t (H) có m�t c�nh n�m tr�n tr�c hoành, và có hai ��nh
tr�n m�t ���ng ch�o là A 1;0− và C a; a , v�i a 0> . Bi�t r�ng �� th� hàm s� y x= chia h�nh (H)
thành hai ph�n có di�n tích b�ng nhau. T�m a.
A. a 9= B� a 4= C. 1
a2
= D. a 3=
C�u�43� G�i � a là th� tích kh�i tròn xoay t�o b�i ph�p quay quanh tr�c Ox h�nh ph�ng gi�i h�n b�i các
���ng 1
y , y 0, x 1x
= = = và x a a 1= > . T�m alim � a�+�
.
A. alim � a�+�
= π B� 2
alim � a�+�
= π C. alim � a 3�+�
= π D.alim � a 2�+�
= π
NTTL Trang 7/9
C�u�44� Cho x, y là các s� th�c th�a m�n 4 4log x y log x y 1+ + − � . Bi�t giá tr� nh� nh�t c�a bi�u th�c
P 2x y= − là a b 1 a, b< �� . Giá tr� 2 2a b+ là:
A. 2 2a b 18+ = B� 2 2a b 8+ = C. 2 2a b 13+ = D. 2 2a b 20+ =
C�u�45� Có bao nhi�u s� t� nhi�n có 6 s� sao cho trong m�i s� t� nhi�n �ó ch� s� ��ng sau l�n hơn ch� s�
��ng tr��c nó.
A. 60480 B� 84 C. 151200 D. 210
C�u� 46� Cho hàm s� n n 31 1 1
f n ... , n N *1.2.3 2.3.4 n. n 1 . n 2 4 n 1 n 2
+= + + + = �
+ + + +. K�t qu� gi�i
h�n
22n 1 1 f n alim b Z
5n 1 b
+ −= �
+. Giá tr� c�a 2 2a b+ là:
A. 101 B� 443 C. 363 D. 402
C�u�47� Cho hàm s� 3 2 2f x x m m 1 x m m= − + + + + có �� th� c�t tr�c hoành t�i ba �i�m có hoành ��
1 2 3x , x , x . Bi�t m là s� nguy�n d�ơng, giá tr� nh� nh�t c�a bi�u th�c 2 2 21 2 3P x x x= + + g�n giá tr� nào sau ��y
nh�t:
A. 2 B� 13
2 C. 6 D. 12
C�u�48� Cho �� th� hàm s� 4 29y x 3x 1
8= − − có ba �i�m c�c tr� A, B,
C nh� h�nh v�. Bi�t M, N l�n l��t thu�c AB, AC sao cho �o�n th�ng
MN chia tam giác ABC thành hai ph�n b�ng nhau. Giá tr� nh� nh�t c�a
MN là:
A. 2 6
3 B�
2 2
3 C.
2 5
3 D.
2 7
3
C�u�49� Cho hàm s� b�c 3 3 2y ax bx cx d= + + + có �� th� nh� h�nh v�. Giá tr�
nh� nh�t c�a bi�u th�c 2 2P a c b 1= + + + là :
A. 1 B� 1
5 C.
5
8 D.
1
3
C�u�50� Gieo hai h�t súc s�c màu xanh và tr�ng. G�i x là s� nút hi�n ra tr�n h�t
xanh và y là s� nút hi�n ra tr�n h�t tr�ng. G�i A là bi�n c� x y< và B là bi�n c� 5 x y 8< + < . Khi �ó
P A B� có giá tr� là:
A. 11
8 B� C. D.
NTTL Trang 8/9
�á��án
1-A 2-B 3-A 4-D 5-C 6-D 7-C 8-A 9-B 10-B
11-D 12-D 13-D 14-A 15-C 16-B 17-C 18-C 19-A 20-D
21-C 22-A 23-B 24-A 25-A 26-C 27-A 28-B 29-A 30-B
31-D 32-B 33-D 34-A 35-B 36-B 37-D 38-C 39-B 40-D
41-A 42-D 43-A 44-C 45-B 46D- 47-C 48-A 49-C 50-D
L�I GI�I CHI TI�T
C�u�1� �á��án A
X�t ���ng th�ng 1y = c�t 3 �� th� l�n l��t t� trái sang ph�i t�i các �i�m ,1B b , c,1C , a,1A .
��y ta có b c a< < .
C�u�2� �á��án�B
Ta có 2x 2x1e dx e C
2= +� mà
3F 0
2= n�n 01
e C C 12
+ � =
Do �ó 2x1F x e C
2= + . ��y
1 1F e 1
2 2
� �= +� �
� � .
C�u�3� �á��án�A.
M là �i�m thu�c tia ��i c�a tia BA sao cho AM
2BM
= n�n B là trung �i�m c�a AM.
M
M
MM
MM
3 x5
2 x 72 y
4 y 6 M 7;6;72
z 71 z
32
+�=�
=��+� �
� = � = �� �� � =�− +�
=��
C�u�4� �á��án�D.
Ta có: 2 2
x x
x 3 x 3lim 1; lim 1
x x�+� �−�
+ += = −
��y hàm s� có hai ti�m c�n ngang là y 1= − và y 1=
C�u�5� �á��án�C.
Ta bi�n ��i 2 2 1 4
y sin x .cos x sin x5 5 2 5
� � � � � �= =� � � � � �
� � � � � � .
Do �ó f là hàm s� tu�n hoàn v�i chu k� 2 5
T4 2
5
π π= =� �� �� �
C�u�6� �á��án�D.
NTTL Trang 9/9
2 x 2y ' 3x 6x, y ' 0
x 0
= −�= − − = � � =�
L�p b�ng bi�n thi�n, hàm s� ��ng bi�n tr�n kho�ng 2;0 .−
C�u�7� �á��án�C.
Ta có: 2y ' x 2mx 4.= + + (Dethithpt.com)
Hàm s� ��ng bi�n tr�n kho�ng ;−� +� khi và ch� khi y ' 0, x ; .� ∀ � −� +�
2' m 4 0 2 m 2�∆ = − � � − � �
C�u�8� �á��án�A.
Ta có: 2y ' f ' x 3x 2ax b.= = + +
Theo gi� thi�t
f ' 1 0 2a b 3 0a 3
f 1 3 a b c 4 0b 9
c 2f 0 2
=� + + =�=� ��
� = − � + + + = �� � �= −�� � == ��
Th� l�i 2y ' f ' x 3x 6x 9= = + − và y '' f '' 6x 6 f '' 1 12 0= + � = > n�n hàm s� ��t c�c ti�u t�i x 1= .
Suy ra 2
f ' 3 3. 3 2a. 3 b 0= − + − + =
C�u�9� �á��án�B�
Ta có 3 4i 23 14 5 29
5 2i z 3 4i z i z5 2i 29 29 29
− +− + = − + � = = − � =
− +
C�u�10� �á��án�B�
Cách 1: Ta có 2
2 2
4 x 4y ' 1 ; y ' 0 x 2
x x
−= − = = � = �
L�p b�ng bi�n thi�n c�a hàm s� tr�n kho�ng 0; .+�
Nh�n th�y hàm s� ch� ��t c�c ti�u t�i �i�m x 2= và CTy 4= n�n 0;min y 4
+�=
Cách 2: �p d�ng B�T Cauchy cho 2 s� 4 x
x 2 x. 4 min y 4 x 2x 4
+ � = � = � =
C�u�11� �á��án�D.
Ph�ơng tr�nh t�ơng ��ơng:
2sin x cos x1 sin 2x sin x cos x cos x sin x cos x sin x
cos x sin x
+= + � + = − +
−
sin x cos x 0 x ksin x cos x 1 cos 2x 0 4
cos 2x 1x k
π�+ = = − + π� �� + − = � �� �=� = π�
C�u�12� �á��án�D.
NTTL Trang 10/9
Ta có: 3 2 x 1y x 3x 1 y ' 3x 3 y ' 0
x 1
=�= − − � = − � = � � = −�
C�u�13� �á��án�D.
Ta có: 3 2 2 3 2 x 0x 2x 2 x 2 x 3x 0
x 3
=�− + = + � − = � � =�
n�n có hai �i�m chung.
C�u�14� �á��án�A.
Ta có: 2
md O;d
m 1=
+
Do 3 2 22
x 1x 3x 4 mx m x 1 x 4x 4 m 0
x 2 m m 0
= −�− + = + � + − + − = � �
− = >��
N�n 3A 2 m;3m m m , B 2 m;3m m m AB 4m 4m+ + − − � = +
Theo gi� thi�t 3AOB 2
1 mS 5 5 4m 4m . 5 5 m m 5 5 m 5
2 m 1= � + = � = � =
+
C�u�15� �á��án�C.
Ta có a bA log 2;2 , B log 2;2 , C 0;2
Ta có: a bCA log 2;0 , CB log 2;0= =���r ���r
�� C n�m gi�a A và B và AC 2BC= n�n CA 2CB= −���r ���r
1
2
122
a b ab
log 2 2log 2 log 2 2log 2 a b b a−
−� = − � = � = � =
C�u�16� �á��án�B�
Ta có:
- � �� s�u 2m: 2,80� 2 � e−=
- � �� s�u 20m: 280� 2 � e−=
Theo gi� thi�t 10 2,8 10 28 10 25,2� 2 l.10 .� 20 e l.10 .e l 10 .e 8,79.− − −= � = � = �
C�u�17� �á��án�C.
Ta có: 2 3a a aa a
a a
1 1 1 1 1 1 6
1 1log b log b log b log b log blog b log b2 3
+ + = + + =
C�u�18� �á��án�C.
Theo c�ng th�c l�i k�p ta ���c 12
12T 50 1 0,04= + (tri�u ��ng)
Chú � bài này kh�ng th�c t� v� kh�ng có ng�n hàng nào có l�i cao nh� v�y.
C�u�19� �á��án�A.
�i�u ki�n 18 2x 0− > , ta có:
NTTL Trang 11/9
xx x x
2 2 2 2
1 18 2 1* log 18 2 log 1 log 18 2 log 18 2 3 1
2 8 2
−� �� − � − � − − − � −� �
2x x 2 x
2 2 2log 18 2 3log 18 2 2 t 3t 2 0 t log 18 2� �� − − − � − � − + � = −� �
x x2 2 2 21 t 2 1 log 18 2 2 log 2 log 18 2 log 4� � � � � − � � � − �
x x x2 18 2 4 16 2 14 14 2 16� � − � � − � − � − � � �
Suy ra 21 log 7 x 4+ � � (th�a m�n �i�u ki�n c�a ph�ơng tr�nh).
C�u�20� �á��án�D.
�i�u ki�n x 2
x 0
< −�� >�
. Khi �ó 1
3
2
x 3log x x 2 1
x 1
= −�+ = � � =�
. ��y 2 21 2x x 10+ = .
C�u�21� �á��án�C.
��t xt 2 , x 0;2 t 1;4= � � � và 2t 3t 2 m.− + =
B�ng bi�n thi�n c�a hàm 2f t t 3t 2, t 1;4= − + �
t 1 3
2
4
f ' t - 0 +
f t 0
1
4−
6
D�a vào b�ng bi�n thi�n, ph�ơng tr�nh có nghi�m thu�c kho�ng 0;2 khi 1
m 64
− � <
C�u�22� �á��án�
G�i A 1;0 , B 0;2 , C 1;2 , D 2;0 , E 3; 1 , F 4; 1 , H 1;0 , K 3;0 , L 4;0 .− − −
Ta có: 4 2 4
1 1 2
� f (x)dx f (x)dx f (x)dx− −
= = +� � �
ABO OBCH HCD DKE EFLK
1 1 1 5S S S S S .2.1 2.1 .2.1 .1.1 1.1
2 2 2 2= + + − − = + + − − =
C�u�23� �á��án�
G�i O, O' l�n l��t là t�m các h�nh vu�ng ABCD và A'B'C'D'. � là trung �i�m �o�n OO'. Khi �ó bán kính r
c�a m�t c�u ngo�i ti�p h�nh l�p ph�ơng ABCD.A'B'C'D' là:
NTTL Trang 12/9
2 2
2 2 a 2 a a 3r IA OA OI
2 2 2
� � � �= = + = + =� � � �� � � �� �
��y di�n tích S c�a m�t c�u là S=
2
2 2a 34 r 4 3 a
2
� �π = π = π� �� �
� �
C�u�24� �á��án�
Khi quay h�nh sao �ó quanh tr�c Oy sinh ra hai kh�i có th� tích b�ng nhau.
G�i � là th� tích kh�i h�nh sao tròn xoay c�n tính, �nón l�n l��t là th� t�ch kh�i nón có chi�u cao AH, �c là
th� tích kh�i nón c�t có bán kính �áy l�n là R1 và bán kính �áy nh� là R2
Ta th�y:
2 2 2
C non 1 2 1 2 1
1 1� 2(� � 2. . .OH R R R R . .R .AH
3 3
� �= − = π + + − π� �� �
2 2 2 3 3 31 a a a a a 1 a a 7 a 2 a 5 a2. . . . . 2. . . . .
2 2 4 6 2 4 3 2 4 48 48 48
� � π π π= π + + − π = − =� �
� �
C�u�25� �á��án�A.
G�i di�n tích �áy là S, ta có 2S r 9 r 3= π = π� =
G�i h là chi�u cao kh�i nón 2 2 2 2h l r 5 3 4= − = − =
��y th� tích 1 1
� Bh .9 .4 123 3
= = π = π
C�u�26� �á��án�C.
��t z x yi, x, y .= + ��
Ta có h� ph�ơng tr�nh
Do �ó z 1 i= + n�n z 2=
C�u�27� �á��án�A.
NTTL Trang 13/9
Ta có b b
aa
f ' x dx f x f b f a 3 5= = = =�
Suy ra f a f b 3 5 5 3 5 5 5 3= − = − = −
C�u�28� �á��án�B�
Ta có 21,2 0
1 3 1 3z z 1 0 z i z i
2 2 2 2+ + = � = − � � = − −
��y i 3 1 3 1
w i M ;2 2 2 21 3
i2 2
� �= = − − � − −� �� �
� �− −
C�u�29� �á��án�A.
Ta có A a;0;0 , B 0;2a;0 , C 0;0;3a OA a, OB 2a, OC 3a.� = = =
��y 3OBC
1 1 1� S .OA . .OB.OC.OA a
3 3 2= = =
C�u�30� �á��án�B�
mP có vector pháp tuy�n 2n 3m;5 1 m ;4m= −r
Oxz có vector pháp tuy�n j 0;1;0=r
mP c�t Oxz khi và ch� khi 2
m 0
1 m 0
���= ��
hay m 1;0 0;1� − �
Suy ra vecto ch� ph�ơng c�a giao tuy�n m∆ là
u 4m;0; 3m= −r
c�ng ph�ơng v�i vecto u ' 4;0; 3 , m 1;0 0;1= − ∀ � − ���r
�� vecto u '��r
kh�ng ph� thu�c vào m n�n các giao tuy�n m∆ là song song v�i nhau.
C�u�31� �á��án�D.
M�t ph�ng Oxz : y 0= n�n d �, Oxz 3.=
��y ph�ơng tr�nh c�a m�t c�u là 22 2x y 3 z 9+ + + =
C�u�32� �á��án�B�
Ta có: Hai vector ch� ph�ơng c�a hai ���ng th�ng là c�ng ph�ơng n�n hai ���ng th�ng lu�n ��ng ph�ng.
(Dethithpt.com)
M 0;0; 1 d, M ' 1;2;0 d ' MM ' 1;2;1− � � � =�����r
�ector ch� ph�ơng c�a ���ng th�ng d là u 1; 2; 1= − −r
�ector pháp tuy�n c�a m�t ph�ng Q : n MM ';u 0;2; 4� �= = −� �
r �����r r
Ph�ơng tr�nh m�t ph�ng Q : y 2z 2 0.− − =
NTTL Trang 14/9
C�u�33� �á��án�D.
Ta có hai h�nh chóp có c�ng chi�u cao mà ABCD OCDS 4S .=
Do �ó S.OCD S.ABCD
1� � 2
4= =
C�u�34� �á��án�A.
Ta có: 2.1 2 2 13 3 4
d M,34 4 1
− − − +α = =
+ +
C�u�35� �á��án�B�
G�i H là trung �i�m BC, ta ch�ng minh ���c SH là ���ng cao c�a h�nh chóp và
AH SBC .⊥
Do �ó, h�nh chi�u vu�ng góc c�a SA l�n SBC là SH hay
SA, SBC SA;SH= .
Tam giác ABC vu�ng c�n t�i A n�n BC
AB a 62
= và 2
2ABC
ABS 3a
2=
���ng cao SBAC
ABC
3�SH a
S= =
Do �ó, AH a 3
tan ASH 3SH a
= = =
��y SA; SBC SA;SH3
π= =
C�u�36� �á��án�B�
Ta có: 2 2 2 2 2 2D'C DD' DC AA ' AB 4 2 2 5= + = + = + =
NTTL Trang 15/9
���ng tròn �áy là ���ng tròn ngo�i ti�p h�nh ch� nh�t CDD�C� n�n có ���ng kính là D�C. Suy ra bán kính
�áy D 'C
r 52
= =
Chi�u cao c�a h�nh nón là SO (v�i O là t�m c�a h�nh ch� nh�t CDD�C�)
h SO AD 3� = = = .
��y 21� r h 5
3= π = π
C�u�37� �á��án�D.
Do ABC.A�B�C� là l�ng tr� ��u n�n ABB�A� ACC�A� BCC�B�S S S= =
2xq ABB'A 'S 3S 3AB.AA ' 6a.AA ' 6 3a AA ' a 3� = = = = � = .
Do �ó
2
3ABC
2a 3� AA '.S a 3. 3a
4= = =
C�u�38� �á��án�C.
M�t c�u 2 2 2
S : x 1 y 1 z 2 4− + − + + = có t�m và bán kính R 2=
X�t ba m�t ph�ng thay ��i �i qua A và ��i m�t vu�ng góc v�i nhau, c�t m�t c�u (S) theo ba giao tuy�n là
các ���ng tròn 1 2 3C , C , C l�n l��t là 1 2 3P : x 1, P : y 1, P : z 1.= = = − G�i 1 2 3r , r , r l�n l��t là bán
kính c�a các ���ng tròn giao tuy�n c�a m�t c�u (S) v�i ba m�t ph�ng 1 2 3P , P , P .
�� 1 2P , P , �i qua t�m � 1;1; 2− n�n 1 2 3r r R 2, �A P= = = ⊥ n�n
2 2 2 23 3r R d �, P R �A 4 1 3= − = − = − =
T�ng di�n tích c�a ba h�nh tròn 1 2 3C , C , C là 2 2 21 2 3 1 2 3S S S .r .r .r 11+ + = π + π + π = π
C�u�39� �á��án�B�
��t w x yi= + v�i x, y R�
Ta có 1 2z z x yi 2i 2x 2yi 3 3x 3 3y 2 i a+ = + + + + − = − + + = −
NTTL Trang 16/9
23y 2 0 y
3� + = � = −
Khi �ó 2
w x i3
= −
M�c khác 21 2
2 4 4 4z .z x i 2i 2x 3 i 2x 3x x 3 i b x 3
3 3 3 3
� �� �= − + − − = − + + − = � =� �� �� �� �
Suy ra 2
w 3 i3
= −
Khi �ó 1 1 2 2
4 97 4 97z w 2i 3 i z ; z 2w 3 3 i z
3 3 3 3= + = + � = = − = − � =
��y 2 97
T3
=
C�u�40� �á��án�D.
Theo gi� thi�t ta có
1 2n n
n 2 2 n 1 12 x 2x 1 x 2xn n
C C 36 1
C 2 . 2 7C 2 . 2 2− −− −
� + =��
=��
Ph�ơng tr�nh (1) cho 2n n 1n 36 n n 72 0
2
−+ = � + − = . Gi�i ra n 8=
Thay n 8= vào 2x 5x 1 12 : 2 2 x
3+= � = −
C�u�41� �á��án�A.
Ta có: z 2 z 2 6 3z+ + − = � �
Do �ó 2 2
P z 3 z z 3 3 z 3 3= + − = + + − − � − d�u b�ng x�y ra khi z 3= −
Câu 42� �á��án�D.
G�i ABCD là h�nh ch� nh�t v�i AB n�m tr�n tr�c Ox, A 1;0− và C a; a . Nh�n th�y �� th� hàm s�
y x= c�t tr�c hoành t�i �i�m có hoành �� b�ng 0 và �i qua C a; a . Do �ó nó chia h�nh ch� nh�t
ABCD ra làm 2 ph�n có di�n tích l�n l��t là 1 2S , S . G�i 1S là di�n tích h�nh ph�ng gi�i h�n b�i các ���ng
y x= và tr�c Ox, x 0, x a= = và 2S là di�n tích ph�n còn l�i. Ta tính l�n l��t 1 2S , S .
NTTL Trang 17/9
Tính di�n tích a
1
0
S xdx= �
��t 2t x t x 2tdt dx= � = � = ; khi x 0 t 0; x a t a.= � = = � =
Do �ó a 3 a
21
00
2t 2a aS 2t dt
3 3
� �= = =� �
� ��
H�nh ch� nh�t ABCD có AB a 1; AD a= + = n�n
2 ABCD 1
2a a 1S S S a a 1 a a a
3 3= − = + − = +
Do �ó �� th� hàm s� y x= chia h�nh (H) thành hai ph�n có di�n tích b�ng nhau n�n
1 2
2a a 1S S a a a a a 3 a a 3 do a 0
3 3= � = + � = � = >
C�u�43� �á��án�A.
Ta có 2a a
11
1 1 1� a dx 1
x x a
� � � � � �= π = π − = π −� � � � � �
� � � � � �� .
��y a a
1lim � a lim 1
a�+� �+�
� �= π − = π� �
� �
C�u�44� �á��án�C.
T� gi� thi�t ta có
4
x y 0 x y 0
x y 0 x y 0
x y x y 4log x y x y 1
� �+ > + >� �
− > � − >� �� � + − �+ − �� � �� ��
�p d�ng b�t ��ng th�c Cauchy cho hai s� d�ơng x y+ và 3 x y− ta ���c:
2P x y 3 x y 2 3 x y x y 2 3.4 4 3 P 2 3= + + − � − + � = � =
D�u “=� x�y ra 2
x y 3 x yx y 3 x yx y 3 x y
24x yx y x y 4 x y
3 3
+ = −�+ = −�+ = −�� � �
� � �� � �− =+ − = − =� � ��
� �
(do x y> )
6 4x y x
3 3
2 2x y y
3 3
� �+ = =� �� �
� �� �� �− = =� �� �
��y minP 2 3= , do �ó 2 2a b 13+ =
C�u�45� �á��án�B�
S� �ang x�t có d�ng a 0
abcdef , a,b,c,d,e, f 1;2;3;...;9a b c d e f
��� ��
< < < < <�
NTTL Trang 18/9
M�i b� g�m 6 ch� s� khác nhau l�y trong t�p ch� cho ta m�t s� th�a m�n �i�u ki�n tr�n. Do
�ó s� các s� t�m ���c là 69C 84=
C�u�46� �á��án�D.
Ta có: n n 31 1 1
...1.2.3 2.3.4 n. n 1 . n 2 4 n 1 n 2
++ + + =
+ + + +
Do �ó
2 22n 1 1 f n n n 3 2n 1 1alim b lim
5n 1 b 4 n 1 n 2 5n 1
+ − + + −= �
+ + + +�
3
2
3
3 1 1n 1 2
n n n 2lim
1 2 1 204n 1 1 5
n n n
� �� �+ + −� �� �
� �� �= =� �� �� �+ + +� �� �� �
� �� �� �
Suy ra 2 2a b 402+ =
Câu�47� �á��án�C.
Ta có 3 2 2
x 1
f x x m m 1 x m m 0 x m
x m 1
=��= − + + + + = � =�� = − −�
Do �ó 2 2 2 21 2 3P x x x 2 m m 1 .= + + = + +
2 2f ' x 3x m m 1= − + + n�n hàm s� lu�n có hai �i�m c�c tr�.
���ng th�ng �i qua hai �i�m c�c tr� có ph�ơng tr�nh là 2 22y m m 1 x m m
3= − + + + +
Ta có: 3 22 2 2
C� CT
3m
4 3 20 m m 1 m m 0 m m 0
127 4m
.
2
y y
�< −�
< � − + + + + < � + − > � �� >��
Do m nguy�n d�ơng n�n 1
m2< suy ra min P 6=
C�u�48� �á��án�A.
Ta có: 3
x 0y 1
9 2 3y ' x 6x 0 x y 3
2 3y 3
2 3x
3
�� =
= −� �� �= − = � = � = −� �� � = −��
= −��
Do �ó 4
AB BC CA a3
= = = =
NTTL Trang 19/9
��t AM x, AN y= = t� gi� thi�t 2
AMN
ABC
S AM AN 1 a. xy
S AB AC 2 2= = � =
Ta có 2
2 2 2 aMN x y xy
2= + − � do �ó min
a 2 2 6MN
2 3= =
C�u�49� �á��án�C.
Hàm s� ��ng bi�n tr�n t�p xác ��nh khi và ch� khi 2
2 b' b 3ac 0 ac
3∆ = − � � �
Lúc này 22b 5
P 2ac b 1 b 13 8
� + + � + + �
C�u�50� �á��án�D.
Kh�ng gian m�u co 36 ph�n t�.
S� ph�n t� c�a bi�n c� A là 36 6
152
−=
Bi�n c� B 1;6 ; 6,1 ; 1;5 ; 5,1 , 2;4 ; 4,2 ; 2,5 ; 5,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 4,3=
Bi�n c� giao A và B g�m các ph�n t� 1;6 ; 1;5 ; 2;4 ; 2,5 ; 3, 4
��y 15 11 5 7
P A B36 12
+ −= � = = .