Download - Türev 01
Ana menüAna menü
Ana menüAna menü
Ana menüAna menü
Tanım: f : A R , y = f(x) fonksiyonu ve a A da sürekli
Olmak üzere ,
ax
afxfax
)()(lim
Limiti bir reel sayı ise; bu değere , f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir.
f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi f’(a) veya )(adx
df
sembolleri ile gösterilir.
Ana menüAna menü
Bir fonksiyonun türevini daha kısa yoldan bulmamızı sağlayacak bazı teoremler:
Raxnaxfaxxf nn ,..)()( 1
0)(')(,)( xfRaaxf
)(')(')('')()()( xwxvxuyxwxvxuy
devam etmek için tıklayınız devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
)('.)(..')(. 1 xuxuanyxuay nn
'.'.)(')().()( vuvuxfxvxuxf
2
'.'.'
)(
)(
v
uvvuy
xv
xuy
devam etmek için tıklayınız devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
2)'(
x
c
f
c
n nn
fn
ff
1.
')'(
Örneğin;
3 23
.3
')'(
f
ff
devam etmek için tıklayınız devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
'.'
' ff
fyfy
')( yxfy
')sgn( yhy
0, f Z ise
yoktur, f Z
isehyoktur
iseh
0 ,
0 ,0
f(x), f(x)>0 ise
yoktur, f(x)=0 ise
-f’(x), f(x)= -1 ise
Ana menüAna menü
A y
x
t
f(x)
t doğrusunun eğimi:
tantm
tmxf )('
devam etmek için tıklayınız devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
f fonksiyonunun A noktasındaki teğet doğrusunun denklemi;
A y
x).( 11 xxmyy t
Ana menüAna menü
Bir hareketli cismin t zamana bağlı yol denklemi S=f(t) olsun.
)(')(
)()( tf
td
sdtv
)(")(
)()( tf
td
vdta
Ana menüAna menü
Tanım = x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
)('
)(')(
yf
xfxf
Bu durumda;
f’(x)= x’e göre türev (y sabit)
f’(y)= y’ye göre türev (x sabit)
Ana menüAna menü
Tanım : y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri
olmak üzere t parametresine bağlı olarak
Rt
x = h(t)
y =g(t)Biçiminde tanımlanırsa, bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.
olur. )('
)('
durumda;bu
th
tg
dtdxdtdy
dx
dy
Ana menüAna menü
axxa ln.
1)'(log
au
uua ln.
')'(log
u
uu
')'(ln
xx
1)'(ln
Ana menüAna menü
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
xx
x 22
2 seccos
1tan1 (tanx)'
(secx)’ = secx.tanx
(cosecx) = -cosecx.cotx
x2cosecx2sin
1)cot(1 (cotx)' 2x
örnekleri görmek için tıklayınız örnekleri görmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
ff
1f
xyf )(1 )(xfy Birebir olmalıdır!Birebir olmalıdır!
BAf : ABf 1
dir. ))(('
1
)('
1)()'(
11
yffxfyf
ise, 0(x)f' var ve(x)f'için Ax
örnekleri görmek için tıklayınız örnekleri görmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
21
1)'(arcsin
xx
21
1)'(arctan
xx
1x , 1.
1)'sec(
2
xxxarc
21
1)'(arccos
xx
21
1)'(arccos
xx
1x , 1
1)'cot(
2
xxxarc
örnekleri görmek için tıklayınız örnekleri görmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
aa x ln.a )'( xxe)(ex
aaua uu ln.'.)( uu eue '.)'(
Ana menüAna menü
ise;fonksiyon bir türevlikümesindeA
fonksiyonu f(x)y , RA:f üzereolmak RA
e'dx
dy(x)f'y'
dx
df
f fonksiyonun 1. mertebeden türevi denir. f fonksiyonun 1. mertebeden türevi denir.
edx
fd
dx
ydxf ')(y
2
2
2
2''''
f fonksiyonun 2. mertebeden türevi denir.f fonksiyonun 2. mertebeden türevi denir.
üzere;olmak 1n ven şekilde, aynı N
denir. türevidereceden n.nun fonksiyonu f e')(ynn
nn
dx
xdxf
Ana menüAna menü
6'2 3 yxy
?(1)f' ise 6754)( 23 xxxxf
0.7.2.5.3.4 1213 xxx 1071012 =
?dx
dy ise )13(2 2 xy
)6.()13.(6'dx
dy 22 xxy
Konuya devam etmek için tıklayınız
Örneklere devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
?')1.()13(2 322 yxxy
32 )1(3).13(2.2' xxy xxx 2).1(3.)13(2 22
u v
Konuya devam etmek için tıklayınız
Örneklere devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
?(1)f' ise -1(1)g' 2g(1) , 3
)()(
3
x
xgxf
)3(x
)(.2)3(x).(xg'f(x)
22
3 xgx
16
))1((2)1(' gg
2
1
16
44
Konuya devam etmek için tıklayınız
Örneklere devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
3 32)( xxf
3 2)32(.3
)'32()('
x
xxf
İse f’(12) nedir?
2)32(.3
2)('
xxf=
9.3
2
27
2)12('
3 2f
27
2
Konuya devam etmek için tıklayınız
Örneklere devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
türevin geometrik yorumu
1
)(x
xxf
fonksiyonunun x=1 noktasındaki teğetinin
ve normalinin eğimi kaçtır?
2
)1.(1.1
x
xx 2
1
x
xx 1
12
x
nmxxy 2 eğrisinin apsisi x=1 noktasındaki teğetinin denkleminin y=x+1 olması için n-m=?
Ana menüAna menü
Ana menüAna menü
?(x)f' ise 4.)( 2 xxxf
042 x x=2, x=-2 (k.n.)
)4sgn(.2.4.1)(' 22 xxxxxf
)49sgn(.9.249.1)3(' f
23185)3(' f
Konuya devam etmek için tıklayınız
Örneklere devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
32)( 2 xxxf ise ?)2
1(f' ?,(2)f' ?,)1(' f
g(x)
33)( 2 xxxg 22)(' xxg
g(x)için 1x y=1-2+3=2 0(1)f' , min f
yokfx )2('2
)(0)2
1('
2
1 gfx
Konuya devam etmek için tıklayınız
Örneklere devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
)2sgn()( 2 xxxf
22)(' xxg
0622.2)2(' g
0)2(' f
ise f’(2)=?
)2sgn()( 2 xxxf
g(x)
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
Hareket denklemi: 132 3 ttd olan bir hareketlininin
3sn. Sonraki aldığı yolu , hız ve ivmesini hesaplayınız.
.58127.33.23 mst
snmt
dt
dsv 839.9292 2
2543.1818sn
mtdt
dva
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
22 32 yxyx ise f’(1)=?
221 3 yyx
0)1( 2 yy
0y
022),( 32 yxyxyxf
23
4
'
')1('
yx
yx
yf
xff
tm
401
04
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
4
322
2
ty
ttx
dx
dy ise ‘in t =-1 için değeri nedir?
16
22
t
t
dtdxdtdy
dt
dy
7
2
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menüKonuya devam etmek
için tıklayınız
?)1ln( 52 xxdx
d
)1(
'..5'2
4
xx
uu
u
u
dx
d52
42
)1(
)12.()1.(5
xx
xxx
)1(
)12.(52
xx
x=
Ana menüAna menü
?)(f' ise cos3sin)( 2 xxxf
)sin.(cos.23cos.3 xxx 3)(' f
?)))3(cos((sin3 xdx
d
3).3sin).(3cos(cos).(cossin.3 2 xxx
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
123)( 2 xxxf ?))(()'( ise 1 xff
29
1
)('
12
xxf
Rf 7,1: 42)( 2 xxxf ?)4)((f ise -1
)2('
1
)('
1))(( 1
fxfyf ?4 xy 424 2 xx
24 xx -4 olamaz
42
1
42
1
x 6
1
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
? ise 41arccos dx
dyxy
)41(1
)41(
x
x
dx
dy
)4
412
4
(xx
2164
2
xx
u
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
12
4)( xxf fonksiyonun türevini bulunuz.
4ln.4).1()('122
xxxf 4ln.4.212
xx
xexf sin)( fonksiyonunun türevini bulunuz.
xexxf sin' )'.(sin)( xex sin.cos
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
xxfy
1)( fonksiyonunun n. türevi ne olur?
21
22
!1.)1(
1.1
1)('
xxxxf
32
33
!2.)1(
1.2
2)(''
xxxxf
43
44
!3.)1(
1.3
3)('''
xxxxf
)1()( !
)( n
n
x
nxf
Olur.
Konuya devam etmek için tıklayınız
Örneklere devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
?y ise . (40) xexy
xxx exexey ).1(..1'
xxx exexey )2().(.2''
xexy ).40()40(
Konuya devam etmek için tıklayınız
Ana menüAna menü
)(.)()()( ''' xgxgfxfog '1.. uunyuy nn
)(ufy )(tgu )(xht Olsaydı;, ,
dx
dt
dt
du
du
dy
dx
dy.. (zincir kuralı)
Ana menüAna menü
37)( xxxf 55)( 2 xxxg ise (fog)(-1)=?
)1('.)1(' ggf
352)1(' g52)(' xxg
1037)1(' f
26 37)(' xxxf 10 3.
= 30
Konuya devam etmek için tıklayınız