Download - Türev 05
![Page 1: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ
TÜREV
![Page 2: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/2.jpg)
Varsa, lim f(x)-f(xo) limitinin değerine f fonksiyonunun xo noktasındaki
x- x x – xo
türevi denir. Bu türev f ’ (xo) veya df (xo) biçiminde gösterilir.dx
TANIM
f ‘(x0) = lim f (x0 + h) – f (x0) ,
f ‘(x) = lim f(x) – f(x0) eşitliğinde, x – x0xx0
x – x0 = x, f (x) – f (x0) = f yazılırsa ,
f ‘(x0) = lim f biçimine dönüşür.x x0
h0 h
x – x0 = h yazılırsa tanım;
UYARI
![Page 3: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/3.jpg)
ÖRNEK :
f (x) = Vx olduğuna göre , f ‘ (1) = ?3
3
ÇÖZÜM :
f ‘ (1) = lim f (x) – f (1) = lim V x - 1 olur. x 1 x – 1 x 1 x – 1
V x = h alınırsa ,3
f ‘ (1) = lim h - 1 = lim h – 1 = 1 olur.h 1 h - 1 h 1 (h-1) (h + h + 1) 3
![Page 4: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/4.jpg)
ÖRNEK :
f ( x) = lnx ise , f ‘ (x0) = ?
ÇÖZÜM :
f ‘ (x0) = lim ln (x0 + h ) – lnx0 = lim 1 . ln ( x0 + h ) = lim 1 . (1 + h ) = lim ( 1 + h ) olur.1/h
h 0 h h 0 h x0 h 0 h x0 h 0 x0
f ‘ (x0) = lim ln [(1+1 )u ] 1 = lim 1 ln ( 1 + 1 )u = 1 . lne = 1 olur. u x
08 u u x0 u x0 x0 8
e
![Page 5: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/5.jpg)
ÖRNEK :
f (x) = x2 – 4 fonksiyonu , x0 = 2 de türevlimidir?
ÇÖZÜM : Soldan türev: lim x2 – 4 - 0 = lim - x2 + 4 = - 4
Sağdan türev: lim x2 – 4 - 0 = 4 tür.
x 2- x – 2 x 2- x – 2
x 2+ x - 2
O halde f ‘(2) yoktur.O halde f ‘(2) yoktur.
SAĞDAN TÜREV – SOLDAN TÜREV
lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine x0 noktasındaki soldan türev , lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine de
x0 noktasındaki sağdan türev denir.
f fonksiyonunun x0 noktasında türevli olması için sağdan türevin soldan türeve eşit olması gerekir.
h0- h h0+ h
![Page 6: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/6.jpg)
BİR FONKSİYONUN TÜREV FONKSİYONU
Bir f fonksiyonu x0 ( a , b ) için türevliyse, x ( a , b )için bir f ‘ ( x0 ) değeri elde edilecektir. Burada f ‘ (x0) , x0 ın bir fonksiyonudur.
A
C
A
C
ÖRNEK :
f ( x ) = 3x2 – 4x ise, f ‘ (x) = ?
UYARI :UYARI : Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur. Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur.
ÇÖZÜM:
F ‘(x0) = lim 3x2 – 4x –3x0 – 4x0 = lim 3 (x – x0) (x + x0) – 4 (x – x0)x x0 x – x0 x x0 x – x0
= lim ( x – x0 ) ( 3x +3x0 – 4) = 6x0 – 4 olur.x x0 x – x0
f ‘ ( x0 ) = 6x0 – 4 olduğundan , f ‘ (x) = 6x – 4 bulunur.
![Page 7: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/7.jpg)
BAZI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ VE TÜREV ALMA METOTLARI
1. Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. f (x) = V 2 ise, f ‘ (x) = 0 dır.
2. Birim fonksiyonun türevi 1 dir. I (x) = x ise, I ‘ (x) = 1 dir.
3. f (x) = a.x ise, f ‘(x) = a dır. ( a R)
4. f (x) = a.x n ise, f ‘(x) = a.n..x n-1 ( n R)
5. y = a.f (x) ise, y ‘ = a.f ‘ (x) ( a R)
6. y = f (x) + g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) + g ‘ (x)
7. y = f (x) . g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) + g ‘ (x) . f (x)
8. y = f ( x ) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) – g ‘ (x) . f (x)
C
C
C
g (x) (g (x) )2
![Page 8: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/8.jpg)
ÖRNEKLER
1. f (x) = 3 x5 ise, f ‘(x) = 3 . 5 . x5-1 = 15 x4 tür.
2. f (x) = 4 ise, f (x) = 4 . x -3 olduğundan, f ‘ (x) = - 3 . 4 .x –3 – 1 = - 12 . x – 4 = - 12 bulunur. x3 x4
3. f (x) = 1 = 1 = x –1/3 olduğundan, f ‘(x) = - 1 . x - 1/3 – 1 = - 1 . x –4/3 = -1 = -1 olur.
3 V x x 1/3 3 3 3 .3 Vx4 3x 3Vx
4. f (x) = 5 x2 + 1 = 5 x2 + x –1 olduğundan, f ‘(x) = 10x – x -2 = 10 x - 1 dir.x x2
5. f (x) = Vx . (x3 – 2x) f ‘(x) = (Vx )’. (x3 – 2x) + (x3 – 2x)’ . Vx = 1 . (x3 – 2x) + (3x2 – 2) .Vx bulunur. 2 Vx
6. y = x - 1 ise, y ‘ = (x – 1)’ . (x2 – 2x) – (x2 – 2x)’ . (x – 1) = 1 . (x2 – 2x) – (2x – 2) . (x – 1) olur.x2 – 2x (x2 – 2x)2 (x2 – 2x)2
7. f (x) = sin x ise, f ‘(x) = cos x
8. f (x) = cos x ise, f ‘(x) = - sin x
9. f (x) = tan x ise, f ‘(x) = 1 + tan2 x = 1 = sec2 x cos2 x
10. f (x) = cot x ise, f ‘(x) = - (1 + cot2 x) = 1 = - cosec2 x sin2 x
![Page 9: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/9.jpg)
ÖRNEK:
sin x + 1 ise,cos x – 1 y =
(sinx + 1)’ .(cosx – 1) – (cosx –1)’ . (sinx + 1) = + cosx (cosx – 1) + sinx (sinx + 1) (cosx – 1)2 (cosx – 1)2
y ‘=
cos2x + sin2x + sinx + cosx 1 + sinx – cosx olur.(cosx – 1)2 (cosx – 1)2
= =
![Page 10: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/10.jpg)
TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
f, (a , b) de türevli ve bire – bir , f –1 fonksiyonu da f (a , b) de türevli ise, f (x0) = y0 iken,
11. (f –1)’ (y0) = 1 olur. f ‘(x0)
4x + 1 ise, (f –1)’ (1) = ? f (x) =
ÖRNEK :
2x – 3
ÇÖZÜM :
y0 = 1 olduğundan 4x0 + 1 = 1 x0 = - 2 bulunur. 2x0 – 3
4 (2x – 3) – 2 (4x + 1) - 14 - 14 = - 2_ (2x – 3)2 (2x – 3)2 49 7 f ‘(x) = = f ’(-2) =
(f –1 )’ (1) = 1 1 -7 bulunur.f ‘(-2) -2 2
7
= =
![Page 11: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/11.jpg)
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI
f (x) = sin x fonksiyonu R de bire-bir değildir. Ancak uygun bir tanım kümesi seçilerek seçilen aralıkta bire-bir olması sağlanabilir. İşte f (x) = sin x fonksiyonunun bire-bir olduğu bir aralıkta;
f –1 (x) = sin –1 x ters fonksiyonu vardır ve y = arcsin x biçiminde gösterilir. Aynı biçimde y = arccos x, y = arctan x ve y = arccot x fonksiyonları elde edilebilir.
Burada; arcsin 1 , arc tan 1 ... v.s. yazılabilir.
Ayrıca, arc sin (sin x) = sin – 1 (sin x) = x
arc cot (cot x) = cot –1 (cot x) = x ...v.s. olur.
2 6 4
![Page 12: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/12.jpg)
ÖRNEKtan (arc sin x) = ?
ÖRNEKtan (2 . arc sin x) = ?
ÇÖZÜM
arc sin x = y olsun. sin y = x olacaktır. Yandaki şekilden;
}
tan (arc sin x) = tan y x bulunur.
y
V 1 – x2 V 1 – x2
x 1
y
ÇÖZÜM
V 1 – x2
x 1
y
arc sin x = y olsun. sin y = x olur.
}y
tan (2.arc sin x) = tan (2y) = 2 tan y =
2x__ V 1 – x2
__x2__1 - 1 – x2
. 1 – x2 bulunur. 2x__V 1 – x2
=1 – 2x2
![Page 13: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/13.jpg)
TÜREVİ
12. f (x) = arc sin x ise, f ‘(x) 1 . =
V 1 – x2
13. f (x) = arc cos x ise, f ‘(x) -1 . =
V 1 – x2
14. f (x) = arc tan x ise, f ‘(x) 1 . =
1 + x2
15. f (x) = arc cot x ise, f ‘(x) -1 olur. =
1 + x2
BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ VE TÜREVDE ZİNCİR KURALI
f, x0 da, g de f (x0) da türevli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (gof) ‘(x0) = g ‘(f (x0)). f ‘(x0) olur.
Örneğin; y = 3 (x2 – 3x)5 fonksiyonu f (x) = x2 – 3x ve g (x) = 3x5 olmak üzere y = (gof) (x) fonksiyonudur.
g ‘(x) = 15x4, g ‘(f(x)) = 15(x2 – 3x)4 , f ‘(x) = 2x – 3 olduğundan,
y ‘ = g ‘(f(x)).f ‘(x) = 15(x2 – 3x)4 .(2x – 3) bulunur.
Daha çok fonksiyonun bileşkesi için; y = f (g (h (t (x) ) ) )
y ‘ = f ‘ (g (h (t (x) ) ) ) . g ‘(h (t (x) ) ) . h ‘(t (x) ) . t ‘(x) bulunur.
![Page 14: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/14.jpg)
ÖRNEK
y = sin3 (x2 + x) ise, y ‘= 3 sin2 (x2 + x) . cos (x2 + x) .(2x + 1) olur.
ÖRNEK
y sin2 V cos (2x) ise, y ‘ = 2 sin V cos 2x . Cos V cos 2x . _____1____ . (- sin 2x) .2 olur.2 V cos 2x
UYARI
y = g (f (h (t (x) ) ) ) için:
u = t (x) y = g (f (h (u) ) )
v = h (u) y = g (f (v) )
z = f (v) y = g (z)
k = g (z) y = k yazılırsa, dy/dx = dy/dk . dk/dz . dz/dv . dv/du . du/dx eşitliği yardımıyla da türev alınabilir.
![Page 15: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/15.jpg)
ÖRNEK
f (x) = sin3 (cos x) ise, f ‘(x) = ?
ÇÖZÜM u = cos x f (u) = sin3u, v = sin u f (v) = v3 df/dx= df/dv . dv/du . du/dx
= 3v2 . cos u . (- sin x) = (- 3 sin2u . cos (cos x) . sin x = - 3 sin2 (cos x) . cos (cos x) . sin x olur.
Buna göre türev kuraları;1. y = (f (x) )n ise, y ‘ = n . (f(x) )n – 1 . f ‘(x)
2 . V f (x)
2. y = V f (x) ise, y ‘ = _____f ‘(x)____
3. y = nV(f(x))m ise, y ‘ = _____ f ‘ (x) _____ n . n V f (x)n – m
4. y = cos f (x) = ise, y ‘ = - f ‘(x) . sin f (x)
5. y = sin(f (x) ) =ise, y ‘ = f ‘(x) . cos f (x)
7. y = tan(f (x) ) = ise, y ‘ = f ‘(x) . ( 1 + tan2 (f (x) )
6. y = arc sin (f (x) ) = ise, y ‘ = ____f ‘(x)___ V 1 – f 2 (x)
8. y = arc tan x ise, y ‘ = ____f ‘(x)____1 + f 2 (x)
ÖRNEK
f (x) = arc tan V x ise, f ‘(x) = ? ÇÖZÜM
f ‘(x) olur.
___1___2 V x______________=1 + x
![Page 16: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/16.jpg)
KAPALI FONKSİYONLAR VE TÜREVİ
F (x,y) = 0 biçimindeki bağıntılara kapalı fonksiyon denir. Burada, y = f (x) tir.
y3x2 + 2x2y + 3x – 5y2 +2 = 0 yx – x + y = 0 gibi.
ÖRNEKy .x2 + 5y2 x – x2 + 3y + 2 = 0 ise, y ‘ = ?
ÇÖZÜMy = f (x) olduğundan fonksiyon,
f (x) . x2 + 5 . (f (x) )2 . x – x2 + 3 f (x) + 2 = 0 biçiminde yazılabilir.
f ‘(x) . x2 + 2x .f (x) + 5 . 2f (x). f ‘(x) . x + 5 . (f (x) )2 – 2x + 2f ‘(x) = 0
f ‘(x) (x2 + 10x f (x) + 3) = -2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x
f ‘(x) olur. =- 2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x___________________________
x2 + 10x f (x) + 3 y ‘ bulunur. =
- 2xy – 5y2 + 2x _______________ x2 + 10xy + 3
UYARI
y sabit düşünülerek alınan türev f ‘(x) , x sabit düşünülerek alınan türev f ‘(y) ise;
y ‘ =- f ‘(x)
f ‘(y)_________ olur.
![Page 17: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/17.jpg)
LOGARİTMİK FONKSİYONLARDA TÜREV
1. y = lnx ise, y ‘ = 1/x 2. y = lnf (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x)
3. y = log a x ise, y ‘ = 1/x . log a e 4. y = log a f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x) . log a e
ÖRNEK
f (x) = ln (cos2x) ise f ‘(/8) = ?
ÇÖZÜM
f ‘(x) =- 2 sin 2x
cos 2x = - 2 tan 2x _____________
== - 2 tan __ - 2 bulunur.4
f ‘( )__8
![Page 18: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/18.jpg)
ÜSTEL FONKSİYONLARDA TÜREV 1. y = e x ise, y ‘ = e x
2. y = e f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) . e f (x)
3. y = a x ise, y ‘ = a x . lna
4. y = a f (x) ise, y ‘=f ‘(x) . a f (x) . lna
ÖRNEK y = (2x2 + 1)sin x ise, y ‘ = ?
ÇÖZÜM
Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa
lny = ln (2x2 + 1)sin x lny = sin x . Ln (2x2 + 1)
cos x . ln (2x2 + 1) + . sin x ___ __________ y ‘ y
4x2x2 + 1
y ‘ = (2x2 + 1)sin x . [cos x . ln (2x2 + 1) + 4x . sin x ____________
2x + 1bulunur.
![Page 19: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/19.jpg)
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ( ARDIŞIK TÜREV )
Bir y = f (x) fonksiyonun türevinin türevine 2 nci türev, onun da türevine 3 ncü türev denir.
y = f (x) in 3 ncü türevi y’’’ = f ‘’’(x) veya biçiminde gösterilir. d 3 f dx3
_______
ÖRNEK
dx df_____
d2f
dx2 _____ d4f
dx4 ____ d3f
dx3 ____ == = d5f
dx5
____ == 8x3 +15x2 , 24x2 +15x , 48x +15 , 48 , 0 bulunur.
f (x) = 2x4 + 5x3 + 7 ise ,
![Page 20: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/20.jpg)
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
f (x) – f (x0)____________ x – x0
oranı, AB kirişinin Ox ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantı yani AB nin eğimidir. x x0 olması durumunda AB kirişi eğriye A noktasında çizilen teğete yaklaşır.
O halde, f ‘(x0) = lim değeri y = f (x) eğrisine, x = x0 da f (x) – f (x0)____________
x – x0 x x0
çizilen teğetin eğimini vermektedir.
y
f (x)
f (x0)
x x0
x
A B
C x – x0
.
y = f (x)
f (x) – f (x0)
![Page 21: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/21.jpg)
ÖRNEK
f (x) eğrisine x0 = 1 de çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin
alanı nedir ?
V x2x – 1 =
ÇÖZÜM
x0 = 1 y V 12 – 1 == 1, A (1,1) f ‘(x)
1_____2 Vx
. (2x – 1) – 2 . V x___________________________
(2x – 1)2=
m = f ‘(1) =
12
________________
. 1 – 2
1 = 12
___ - 2 = 32
- ___
değerleri y – y0 = m (x – x0) da yerine yazılırsa;
y – 1 = 32
- ___ (x – 1) y = 32
- ___ x + 5 2
___ olur.
53
___52
___
x = 0 y = , y = 0 x = ve A = ___ ___ _________ ___3 2255
.2512= olur.
![Page 22: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/22.jpg)
ÖRNEK
y = x2 + 2x eğrisinin y = 4x + 1 doğrusuna paralel teğetinin A değme noktasının koordinatları nedir ?
ÇÖZÜM
y = 4x + 1 doğrusunun eğimi m = 4 olduğundan, teğetin eğimi de 4 olmalıdır.
f ‘(x0) = 4 2x0 + 2 = 4 x0 = 1
x0 = 1 y0 = 12 + 2 .1 = 3 ve A(1,3) olur.
![Page 23: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/23.jpg)
ÖRNEK
Bir cisim 20m/sn ilk hızla dikey olarak fırlatılıyor. Bu cisim kaç metre yüksekliğe ulaşır?
ÇÖZÜM
Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında hızı sıfırdır.
x(t) at2 + V0 . t den, x(t) = -5t2 + 20t olur. 12
____=-
x’(t) = - 10t + 20 = 0 t = 2. saniye ve x(2) = -5.4 + 20.2 = 20 m yüksekliğe ulaşır.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
5 m/sn I.
10m
2 m/sn
II.
Yandaki şekilde birbirini dik kesen iki yolda, iki aracın başlangıç durumları verilmiştir. Aynı anda ok yönünde 2m/sn ve 5m/sn hızlarla hareket eden bu iki aracın 1. Saniyede birbirlerinden uzaklaşma hızı ne olur ?
I . hareketli x(t) = 10 + 5t , II . hareketli x(t) = 2t kuralı ile yol alır. Aralarındaki uzaklık ;
l(t) = V 4t2 + (10 + 5t)2 l(t) = V 29t2 + 100t + 100 l(t) =58t + 100
2 V 29t2 + 100t + 100________________
ve l’(1) = 158______2 . V229
= V229______ 79 m/sn bulunur.
![Page 24: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/24.jpg)
TÜREVİN HAREKET PROBLEMLERİNE UYGULANMASI
Zaman yol fonksiyonu verilen bir hareketlinin, t1 saniyede aldığı yol x (t1) olsun.
x (t) – x (t1)____________ t – t1
oranı t1, t zaman aralığındaki
ortalama hızı, t t1 için limitte t1 anındaki ani hızı verir.
Vort = x (t) – x (t1)____________
t – t1
, V (t1) =t t1
lim x t
_____ = x’ (t1) olur.
Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği bulunur. bulunur.
![Page 25: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/25.jpg)
TÜREVİN UYGULAMALARI
TANIM: Bir fonksiyonun [a,b] aralığında aldığı en büyük ve en küçük değerlere maximum ve minimum veya extramum değerler denir.
TANIM: Bir f(x) fonksiyonu > 0 için, (x1 - , x1 + ) aralığında extramum değer alıyorsa, bu değerlere yerel maximum ve minimum denir.
A
C CC
Yandaki şekilde f:[a,b] R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a
y
x b 0 x3
x2x1
1. [a,b] aralığında, x = a için fonksiyonun minimum değeri, x = x3 için maximum değeri elde edilir.
2. x = x1 ve x = x3 için yerel maximum, x = x2 için yerel minimum var.
![Page 26: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/26.jpg)
TEOREM: f:[a,b] R, fonksiyonu [a,b] de sürekli, (a,b) de türevli olsun. Bu fonksiyon x1 C (a,b) de extramum değer alıyorsa, f ‘(x1) = 0 dır.
TANIM: x1 < x2 f(x1) < f(x2) ise, artan
x1 < x2 f(x1) > f(x2) oluyorsa, f(x) azalan fonksiyon dur.
TEOREM: Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkta türev pozitif, azalan olduğu aralıkta türev negatiftir.
f:[a,b] R
1. x1 ve x3 te yerel minimum, x2 de yerel maximum var. f ‘(x1) = f ‘(x2) = f ‘ (x3) = 0 dır.
x1
y
xabx2 x3x4 x5x6
y=f(x)
2. f, (a,x1), (x2,x3) aralıklarında azalan. Bu nedenle f ‘(x4)<0, f ‘(0)<0 dır.
3. f, (x1,x2), (x3,b) aralıklarında artan. Bu nedenle f ‘(x6) >0, f ‘(x5)>0 olur.
![Page 27: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/27.jpg)
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
İkinci türevin pozitif olduğu aralıklarda eğri içbükey, negatif olduğu aralıklarda eğri dışbükey dir. F “(x0) = 0 için, x0 da ikinci türev işaret değiştiriyorsa, x = x0 da dönüm noktası vardır denir.
Öğrendiklerimizi aşağıdaki grafikte özetleyelim.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8x
y
D.N D.ND.N
y=f(x)
1. f(x1) = 0, f ‘(x1)> 0, f “(x1)< 02. f “(x4) = f “(0) = 0, f ‘(x3) = f ‘(x5) = f ‘(x6),= f ‘(x8) = 03. f(x2) > 0, f ‘(x2)> 0, f “(x2) < 0
![Page 28: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/28.jpg)
SONUÇLAR
I. f ‘(x1) = 0, f “(x1) > 0 ise, x1 de yerel minimum vardır.
II. f ‘(x2) = 0, f “(x1) < 0 ise, x2 de yerel maximum vardır.ÖRNEK
f(x) = x3 – 6x2 – 1 fonksiyonunun artan – azalan olduğu aralıklar, extramum noktalar ve dönüm noktasını bulunuz.
ÇÖZÜM
+ +
++
--
--
max. D.N min
Artan dış bükey
Azalan dış bükey
Artan iç bükey
Azalan iç bükey
y’=3x2-12x
y’’=6x-12
x 0 2 4
![Page 29: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/29.jpg)
ÇÖZÜMLÜ TESTLER
f(x) =[x+1]+x2-x-6 +sgn x ise f ‘( ) = ?
ÇÖZÜM
1___2
x civarında; [x+1] = 1, x2-x-6 = -x2+x-6 ve sgn(x) = 1 olduğundan,=
f ‘(x) = 0-2x+1+0 = -2x+1 ve f ‘( ) = -2 . +1 = 0 bulunur.1___2
1___2
SORU - 1
1___2
1___2
A) 0 B) – 1 C) 1 D) – E)1___2
YANIT : A
![Page 30: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/30.jpg)
SORU - 2
f(x) =x2 , g(x) = 6x – 1 ve h(x) = sinx olduğuna göre (fogoh)’( ) = ?6
_____
A) 12 V 3 B) 6 V 3 C) 3 V 3 D) 2 V 3 E) 3
ÇÖZÜM
(fogoh)’(x) = f ‘(g(h(x))) . g’(h(x)) . h’(x) olduğundan,
f ‘(x) = 2x f ‘(g(h(x))) = 2 . (6sinx – 1) g ‘(x) = 6 g‘(h(x)) = 6, h’(x) = cosx olduğundan,
(fogoh) ‘(x) = 2 . (6sinx – 1) . 6 . Cosx ve (fogoh) ‘ ( ) 2 . (6sin - 1) . 6 . cos
2 . (6. -1) . 6 . = 12V 3 olur.
6
___ 6
___ 6
___
12
___ _____V 32
YANIT : A
![Page 31: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/31.jpg)
SORU - 3
A) B) C) D) E)
ÇÖZÜM
YANIT : E
x = arctan - arctan olduğuna göre, sin x = ?12
_____ 13
_____
17
_____ 1V 7
_____ V 7 2
_____ 5V 2
_____ 15 V 2
_____
x = arctan - arctan her iki tarafın tanjantı alınırsa;12
_____ 13
_____
tanx = tan(arctan ) – tan(arctan ) 1
2 __ 1
3 __
1 + tan(arctan ) . tan(arctan ) 12
__ 13
_______________________________ tanx
12
_____ 13
_____ - = 1
3_____1
2_____1+ .
_______________=
16
_____
16
_____1+
_________
=16
_____ 67
____ 17
_____. = olur. sinx = bulunur.15 V 2
_____
![Page 32: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/32.jpg)
SORU - 4
lim sinx
A) B) C) - 1 D) + E) -
ÇÖZÜM
YANIT : D
x2+ x2 – 4x + 4_____________ = ?
12
___ 14
___ - -
lim sinx x2+ x2 – 4x + 4
_____________ =
lim . cos x x2+ 2x - 4
_____________ = +
![Page 33: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/33.jpg)
SORU - 5
x
y
A
B
0-42
y= f(x)
y= 9x
-16
y = 9x – 16 doğrusunu apsisi – 4 olan A noktasından kesen ve aynı doğruya B noktasında teğet olan üçüncü derece fonksiyonu hangisidir ?
A) f (x) = x3 – 3x B) f (x) = x3 – 3x – 2 C) f (x) = x3 – x + 1
D) f (x) = x3 – 3x – 1 E) f (x) = x3 – 3x – 3 ÇÖZÜM
f (x) = x3 + ax2 + bx olur. x = 2 f (x) = 2 ve 4a + 2b = - 6 2a + b = - 3 ( I )
Ayrıca, ortak çözüm x = - 4 için sağlanmalıdır. Buna göre; x3 + ax2 + bx = 9x - 16 ifadesinde; x = - 4 ise, - 64 + 16 – 4b = - 36 – 16 4a – b = 3 ( II )
2a + b = - 3
YANIT A
4a – b = 3 a = 0, b = - 3 ve f (x) = x3 – 3x olur.
![Page 34: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/34.jpg)
SORU - 6
f : [0 , 6] R olmak üzere üçüncü dereceden y = f (x) polinom fonksiyonunun grafiği yandaki şekilde verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi YANLIŞTIR ?
A) f (3) < 0 B) f ‘(3) < 0 C) f “(3) < 0
D) f ‘(1) > 0 E) f “(1) > 0
ÇÖZÜM
f , x = 1 civarında dış bükey olduğundan f ”(1) < 0 olmalıdır. Oysa, E çeldiricisinde bunun tersi yazılıdır.
YANIT E
02 4 5 6
y
x
D.N
![Page 35: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/35.jpg)
SORU - 7
f (x) =
A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2
ÇÖZÜM
f ‘(x) =
YANIT E
x2 + ax + 2x2 + 2x
eğrisinin – 1 apsisli noktasında extramumu vardır. a = ?
(2x+a)(x2+2x) – (2x+2) (x2+ax+2)(x2+2x)2
x = - 1 f ‘(x) = 0 olduğundan, (- 2 + a) (1 - 2) – (-2 + 2) (1 - a + 2) = 0 - 2 + a = 0
a = 2 olur.
![Page 36: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/36.jpg)
SORU - 8
f (x) =
A) B) C) 2 D) 0 E) 1
ÇÖZÜM
YANIT D
x2 - 1ise f ’ (1) = ?
y = x olsun. l ny = (x2 –1) . l nx = 2x l nx + .(x2 – 1). l nx
f ’(x) = . [ 2x.l nx+ x2-1 ] f ’(1)=10.[2.1.0.0]=0 bulunur.
12
y1
y1x
x x
x2 – 1
x2 – 1
x
![Page 37: Türev 05](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052507/558e0de91a28ab58318b472c/html5/thumbnails/37.jpg)
SORU - 9
A) B) C) D) E) e
e f (x) + e – f (x) = 2x ve f (1) = 2 olduğuna göre f ‘(1) = ?
2 e2 – e-2
2e e2 – e-2
e4 – e2 e2
e2 – 1
ÇÖZÜM
(ef (x) + e-f (x))’ = (2x)’ f ‘(x) . ef (x) - f ‘(x) . e-f (x) = 2 f ‘(x) = 2
ef (x) – e-f (x) olur.
f ‘(1) =2
e2 – e-2
YANIT D