Geometri dalam Ruang, Vektor 129
Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta
fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor
dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu sudut antara dua vektor, persamaan bidang yang dibentuk dari vektor, hasil kali silang
beserta penafsiran secara geometri
Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :
1. Memahami dan mampu menyelesaikan segala permasalahan yang berkaitan dengan koordinat kartesian dalam ruang dimensi tiga,
antara lain Titik, Jarak dua Titik, Persamaan Bola, Posisi dua
buah Bola, Persamaan Bidang secara Geometri dan Aljabar
2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang
berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang
3. Memahami dan mampu menafsirkan sebuah Hasil Kali Silang dua
vektor beserta penerapannya dalam sebuah bidang
TUJUAN PEMBELAJARAN
OUTCOME PEMBELAJARAN
Geometri dalam Ruang, Vektor 130
4.1. Sistem Koordinat Dimensi Tiga
Pada pembahasan yang telah kita lakukan, kita telah memahami dan
belajar pada bidang datar yang dikenal sebagai bidang Euclides atau
ruang dimensi dua hal ini telah diterapkan pada fungsi variable tunggal yaitu fungsi yang dapat digambarkan pada bidang datar.
Bagaimana jika fungsi yang akan kita pelajari adalah fungsi yang
mempunyai variable ganda atau yang sering kita sebut dengan
kalkulus peubah ganda, yaitu yang diterapkan pada suatu fungsi yang mempunyai dua peubah atau lebih.
Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbu-
sumbu X , Y dan Z dengan titik Nol berada pada suatu titik O
yang sama.disebut titik asal. Sistem koordinat dimensi tiga dapat
digambarkan seperti Gambar 4.1
Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang yz ,
bidang xz dan bidang xy yang membagi ruang menjadi delapan
oktan, Jika titik P dalam ruang, maka koordinat kartesiusnya
dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu ),,( zyxP
Dalam sistem koordinat dimensi tiga terbagi atas tiga bidang, yaitu :
1. bidang yz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-x
2. bidang xz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-y
3. bidang xy yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-z
ketiga bidang tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 4.2 berikut
Gambar 4.1. Sistem Koordinat Dimensi 3
O
Z
X Y
Geometri dalam Ruang, Vektor 131
Diketahui dua Titik yaitu titik )2,1,2(P dan titik )4,3,2( Q dimana
letak kedua titik tersebut
. Titik )2,1,2(P , maka artinya titik P terletak pada 2 satuan dari
XSumbu , 1 satuan dari YSumbu dan 2 satuan dari
ZSumbu artinya titik P terletak pada Oktan pertama
. Titik )4,3,2( Q , maka artinya titik Q terletak pada -2 satuan
dari XSumbu , -3 satuan dari YSumbu dan 4 satuan dari
ZSumbu artinya titik Q terletak pada Oktan ketiga
Gambar 4.2. Tiga Bidang dalam Koordinat Dimensi Tiga
O
Y
Z
X
(a) Bidang yz
O
Y
Z
X
(b) Bidang xy
(c) Bidang xz
O
Y
Z
X
Contoh 4.1 :
Penyelesaian 4.1 :
Geometri dalam Ruang, Vektor 132
Jika titik ),,( zyxP sebenarnya merupakan jarak dari tiga bidang
tersebut, titik ),,( zyxP berarti berjarak x dari bidang yz, berjarak y
dari xz dan berjarak z dari bidang xy sehingga jika digambar dalam
sistem koordinat dimensi tiga seperti Gambar 4.3.
Diketahui titik )5,3,4( P gambarkan dalam sistem koordinat dimesi
tiga
Gambar titik )5,3,4( P seperti bangun sebuah balok
O
Y
Z
X
-5
-4
3
(-4,3,-5)
O
Z
X Y
(x,y,z)
y
x
z
Gambar 4.3. Jarak ke tiga bidang
Contoh 4.2 :
Penyelesaian 4.2 :
Geometri dalam Ruang, Vektor 133
4.1.1. Jarak Dua Titik
Misalnya ada dua titik yaitu 1111 ,, zyxP dan dalam
ruang dimensi tiga dimana 21 xx , 21 yy dan 21 zz , 1P dan 2P
merupakan titik sudut yang berlawanan didalam suatu balok seperti
pada Gambar 4.4.
Jika kita letakan sebuah titik Q dan titik R ternyata masing-masing
titik mempunyai koordinat 122 ,, zyxQ dan titik R mempunyai
koordinat 1,12 , zyxR , karena segiriga 12QPP siku-siku di Q dan
segitiga 1QRP siku-siku di R , maka akan diperoleh panjang garis
21PP dan panjang garis 1QP menurut rumus Pytagoras yaitu
. 2
1
2
2
2
21 QPQPPP
Dan
. 2
1
22
1 RPQRQP sehingga panjang garis
2
1
22
2
2
21 RPQRQPPP
2
12
2
12
2
12
2
21 xxyyzzPP atau
212
2
12
2
12
2
21 zzyyxxPP
2
12
2
12
2
1221 zzyyxxPP
2222 ,, zyxP
Gambar 4.4. Jarak Dua Titik
Z
X
Y
2222 ,, zyxP
1111 ,, zyxP
QR
Geometri dalam Ruang, Vektor 134
Secara umum jika diketahui dua titik 1111 ,, zyxP dan
maka panjang atau jarak antara titik 1P dan 2P dirumuskan sebagai
berikut :
Diketahui titik 2,4,3 P dan 5,2,4 Q tentukan jarak titik P ke
titik Q atau PQ
Diketahui 2,4,3 P dan 5,2,4 Q , maka jarak kedua titik itu
adalah :
2
12
2
12
2
12 zzyyxxPQ
222)2(54234 PQ
222767 PQ
423642 PQ
120PQ
95,10PQ
Diketahui titik 3,5,4 P dan 7,1,2 Q tentukan jarak titik P
ke titik Q atau PQ
2222 ,, zyxP
Contoh 4.3 :
Penyelesaian 4.3 :
Contoh 4.4 :
212
2
12
2
1221 zzyyxxPP
Geometri dalam Ruang, Vektor 135
Diketahui titik 3,5,4 P dan titik 7,1,2 Q , maka jarak kedua
titik itu adalah :
2
12
2
12
2
12 zzyyxxPQ
222)3(75142 PQ
222446 PQ
141436 PQ
64PQ
8PQ
4.1.2. Bola dan Persamaanya
Pada pembahasan materi sebelumnya, yaitu telah diketahui bahwa
jarak dua buah titik misalnya titik 1111 ,, zyxP dan titik
2222 ,, zyxP adalah 2
12
2
12
2
1221 zzyyxxPP ,
karena sebuah bola merupakan himpunan titik zyxP ,, yang
berjarak sama atau konstan yaitu R atau jari-jari dari suatu titik
tetap cbaQ ,, sebagai titik pusat bola, maka jarak setiap titik
zyxP ,, ke titik pusat cbaQ ,, menurut rumus jarak dua titik
adalah 222czbyaxPQ , karena jarak titik P ke
titik Q atau PQ sama dengan jari-jari sebuah bola , maka RPQ
dan karena 222czbyaxPQ , maka
2222czbyaxPQ karena RPQ , maka didapat
22RPQ , sehingga diperoleh 2222 czbyaxR
maka persamaan bola dapat dirumuskan sebagai berikut :
Penyelesaian 4.4 :
2222Rczbyax
Geometri dalam Ruang, Vektor 136
Jika kita gambarkan sebuah bola dengan titik pusat cba ,, dengan
jari-jari R seperti pada Gambar 4.5.
Jika persamaan 2222Rczbyax kita uraikan, maka
akan menjadi persamaan :
2222Rczbyax
2222222 222 Rcczzbbyyaaxx
2222222 222 Rcbaczbyaxzyx
0222 2222222 Rcbaczbyaxzyx
Jika aA 2 , bB 2 , cC 2 dan 2222 RcbaD , maka
persamaan akan menjadi :
0222 DCzByAxzyx
Sehingga persamaan bola dengan titik pusat di cba ,, dengan jari-
jari R adalah :
Dengan Catatan :
aA 2
bB 2
cC 2 2222 RcbaD
Z
X
Y
cba ,,
R zyx ,,
Gambar 4.5. Bola dengan titik pusat (a,b,c)
0222 DCzByAxzyx
Geometri dalam Ruang, Vektor 137
Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik 2,4,2 dengan jari-
jari 4.
Diketahui titik pusat bola 2,4,2 jari-jarinya 4R , maka
persamaanya :
2222Rczbyax
22224242 zyx
Sehingga persamaan bolanya adalah :
16242222 zyx
Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik 0,0,0 dengan jari-
jari 3.
Diketahui titik pusat bola 0,0,0 jari-jarinya 3R , maka
persamaanya :
2222Rczbyax
22223000 zyx
Sehingga persamaan bolanya adalah : 9222 zyx
Diketahui bola 06812810222 zyxzyx , tentukan pusat
dan kari-jarinya
Contoh 4.5 :
Penyelesaian 4.5 :
Contoh 4.6 :
Penyelesaian 4.6 :
Contoh 4.7 :
Geometri dalam Ruang, Vektor 138
Diketahui persamaan bola 06812810222 zyxzyx ,
maka diperoleh data 10A , 8B , 12C dan 68D , karena
. aA 2 102 a 5a
. bB 2 82 b 4b
. cC 2 122 c 6c
.2222 RcbaD
2222 64568 R
683616252 R
92 R
3R
Sehingga diperoleh kesimpulan bola tersebut mempunyai titik pusat
di titik 6,4,5 dengan jari-jari 3R
Grafiknya seperti Gambar 4.6
4.1.3. Titik Tengah
Hal lain yang berkaitan dengan jarak antara dua titik adalah titik
tengah, misalkan diketahui dua titik 1111 ,, zyxP dan 2222 ,, zyxP
yang masing-masing merupakan titik ujung dari sebuah garis, jika
titik tengah dari garis tersebut dituliskan sebagai 321 ,, mmmM
dimana 1m , 2m dan 3m diperoleh dari rumus :
2
211
xxm
, 2
212
yym
, 2
213
zzm
.
Penyelesaian 4.7 :
Z
X
Y
6,4,5
3
4
5
Gambar 4.6. Bola dengan pusat (5,4,6) dan R=3
Geometri dalam Ruang, Vektor 139
Jika kita gambar, maka seperti Gambar 4.7
Tentukan titik tengah antara titik 2,4,21 P dan titi 8,4,62 P
Diketahui titik 2,4,21 P dan titik 8,4,62 P maka koordinattitik
tengahnya adalah 321 ,, mmmM dimana :
. 2
211
xxm
4
2
8
2
621
m
. 2
212
yym
0
2
0
2
442
m
. 2
213
zzm
5
2
10
2
823
m
Sehingga titik tengah mempunyai koordinat 5,0,4 M , jika
kitagambarkan seperti pada Gambar 4.8
Gambar 4.7. Titik tengah pada suatu Garis
2222 ,, zyxP
1111 ,, zyxP
321 ,, mmmM
1z
Z
X
Y 1m
2m
3m2z
2x 2y1y
1x
Contoh 4.8 :
Penyelesaian 4.8 :
Geometri dalam Ruang, Vektor 140
Tentukan persamaan bola yang pusatnya merupakan titik tengah
dari suatu garis yang dibentuk dari dua titik 3,2,11 P dan titik
7,2,52 P
Persoalan yang kita hadapi adalah pusat bola belum diketahui, jari-jari belum diketahui, maka langkah pertama adalah menentukan
pusat bola dan jari-jari.
. Koordinat Titik tengah antara titik 3,2,11 P dan titik 7,2,52 P
adalah 321 ,, mmmM dimana :
2
211
xxm
2
2
4
2
511
m
2
212
yym
0
2
0
2
222
m
2
213
zzm
5
2
10
2
733
m
Jadi titik tengahnya 5,0,2M dan titik tengah ini merupakan
titik pusat bola
Gambar 4.8. Titik tengah pada suatu Garis
Z
X
Y
2,4,2
2
4
8,4,6
-4
6
5,0,4 M
-5
Contoh 4.9 :
Penyelesaian 4.9 :
Geometri dalam Ruang, Vektor 141
. Jari-jari bola adalah jarak titik tengah 5,0,2M ke titik
3,2,11 P yaitu MP1 atau jarak titik 5,0,2M ke titik
7,2,52 P yaitu MP2
2
13
2
12
2
111 zmymxmMP
222
1 352012 MP
222
1 223 MP
4491 MP
171 MP
Sehingga persamaan bola yang dimaksud adalah :
222217502 zyx
1752222 zyx
Atau dalam bentuk :
012104222 zxzyx
4.1.4. Persamaan Bidang Datar
Grafik dalam ruang dimensi tiga pada prinsipnya sama dengan grafik pada bidang dimensi dua, jika pada dimensi dua berupa garis, maka
pada dimensi tiga akan berupa bidang, demikian juga jika pada
dimensi dua berupa bidang, maka jika digambar pada dimensi tiga
akan berupa ruang.
Persamaan linier pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah bidang, secara umum persamaan linier dalam ruang dimensi tiga dirumuskan
sebagai berikut :
dengan syarat 0222 CBA
jika suatu bidang S memotong ke tiga sumbu koordinat yaitu
sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, maka untuk menggambar grafiknya
kita tentukan titik potong pada ketiga sumbu tersebut, yaitu titik
potong sumbu-x yaitu 0,0,xP , titik potong sumbu-y yaitu 0,,0 yQ
DCzByAx
Geometri dalam Ruang, Vektor 142
dan titik potong sumbu-z yaitu zR ,0,0 , untuk menentukan nilai
yx, dan z sebagai berikut :
. Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0y dan 0z
. Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai 0x dan 0z
. Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai 0x dan 0y
Sehingga akan diperoleh ketiga titik potong yaitu 0,0,xP , 0,,0 yQ
dan zR ,0,0
Gambarkan grafik dari persamaan 12243 zyx
Untuk menentukan ke tiga titik potong terhadap sumbu-sumbu
koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai yx, dan z , yaitu :
. Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0y dan 0z
dan kita substitusikan ke persamaan 12243 zyx , maka
diperoleh
12)0(2)0(43 x
12003 x
123 x
4x sehingga titik potong sumbu-x adalah 0,0,4P
. Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai 0x dan 0z
dan kita substitusikan ke persamaan 12243 zyx , maka
diperoleh
12)0(24)0(3 y
12040 y
124 y
3y sehingga titik potong sumbu-y adalah 0,3,0Q
. Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai 0x dan 0y
dan kitasubstitusikan ke persamaan 12243 zyx , maka
diperoleh
122)0(4)0(3 z
12200 z
Contoh 4.10 :
Penyelesaian 4.10 :
Geometri dalam Ruang, Vektor 143
122 z
6z sehingga titik potong sumbu-z adalah 6,0,0R
Sehingga kita peroleh titik-titik potong terhadap ke tiga sumbu yaitu
0,0,4P , 0,3,0Q dan 6,0,0R jika kita letakkan ketiga titik
tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada
Gambar 4.9
Gambarkan grafik dari persamaan 1264 yx
Karena persamaannya 1264 yx
dimana tidak mengandung
variable z , maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu- z , artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- z ,
Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu
koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai x dan y , yaitu :
. Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0y dan kita
substitusikan ke persamaan 1264 yx , maka diperoleh
12)0(64 x
1204 x
124 x
3x sehingga titik potong sumbu-x adalah 0,0,3P
12 2 4 3 z y x
0,0,4P
0,3,0Q
6,0,0RZ
X
Y
Gambar 4.9. Bidang dari sebuah persamaan
Contoh 4.11 :
Penyelesaian 4.11 :
Geometri dalam Ruang, Vektor 144
. Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai 0x dan kita
substitusikan ke persamaan 1264 yx , maka diperoleh
1264 yx
126)0(4 y
126 y
2y sehingga titik potong sumbu-y adalah 0,2,0Q
Karena dalam persamaan 1264 yx tidak ada variabel z , maka
berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-z, sehingga tidak
ada titik potong sumbu-z, kita hanya memperoleh titik potong
terhadap sumbu-x yaitu 0,0,3P , dan titik potong sumbu-y yaitu
0,2,0Q jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat
dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.10
Gambarkan grafik dari persamaan 842 zx
Karena persamaannya 842 zx dimana tidak mengandung
variable y , maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan
sumbu- y , artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- y ,
0,0,3P
0,2,0Q
1264 yx
Z
X
Y
Gambar 4.10. Bidang Sejajar Sumbu-z
Contoh 4.12 :
Penyelesaian 4.12 :
Geometri dalam Ruang, Vektor 145
Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu
koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai x dan z , yaitu :
. Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai 0z dan kita
substitusikan ke persamaan 842 zx , maka diperoleh
8)0(42 x
802 x
82 x
4x sehingga titik potong sumbu-x adalah 0,0,4P
. Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai 0x dan kita
substitusikan ke persamaan 842 zx , maka diperoleh
842 zx
84)0(2 z
84 z
2z sehingga titik potong sumbu-z adalah 2,0,0R
Karena dalam persamaan 842 zx tidak ada variabel y , maka
berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-y, sehingga tidak
ada titik potong sumbu-y, kita hanya memperoleh titik potong
terhadap sumbu-x yaitu 0,0,4P , dan titik potong sumbu-z yaitu
2,0,0R jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat
dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.11
2,0,0Q
Z
X
Y 0,0,4P
842 zx
Gambar 4.11. Bidang Sejajar Sumbu Y
Geometri dalam Ruang, Vektor 146
4.1.5. Soal-Soal Latihan
1. Tentukan jarak titik 3,1,6 P ke titik 5,2,2 Q
2. Diketahui titik-titik 2,5,4 , 3,7,1 dan 5,4,2 merupakan titik
sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah
segitiga sama sisi
3. Diketahui titik-titik 5,0,1 , 8,6,3 dan 7,4,7 merupakan titik-
titik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut
adalah segitiga siku-siku dengan bantuan teorema Phytagoras
4. Sebuah kotak persegipanjang sisi-sisinya sejajar bidang-bidang
koordinat dan sebagai titik ujung diagonal utamanya adalah 4,3,2
dan 0,2,5 , Gambarkan kotak itu dan cari koordinat ke delapan
titik sudutnya
5. Tuliskan persamaan bola yang titik pusatnya dan jari-jarinya sebagai berikut :
a. 4,1,3 , 5 b. 4,0,1 , 6
c. 3,2,6 , 2 d. 0,0,3 , 3
6. Cari persamaan bola yang pusatnya 5,4,2 dan menyinggung
bidang xy
7. Tentukan pusat bola dan jari-jarinya dari persamaan bola di
bawah ini
a. 0181412222 zyxzyx
b. 0341062222 zyxzyx
c. 0121684444 222 zyxzyx
d. 0772248222 zyxzyx
8. Buatkan sketsa grafik dari persamaan yang diketahui
a. 12362 zyx
b. 24243 zyx
c. 63 zyx
d. 623 zyx
9. Tentukan persamaan bola yang mempunyai ruas garis yang
menghubungkan titi 6,3,2 dan 5,1,4 sebagai garis tengah