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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Renan Weber Kirst
ELEMENTOS SUPERFICIAIS LAMINARES EM CONCRETO
ARMADO: ESTUDO COMPARATIVO ENTRE
MTODOS DE CLCULO
Porto Alegre
junho 2010
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RENAN WEBER KIRST
ELEMENTOS SUPERFICIAIS LAMINARES EM CONCRETO
ARMADO: ESTUDO COMPARATIVO ENTRE
MTODOS DE CLCULO
Trabalho de Diplomao apresentado ao Departamento de
Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal
do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obteno do
ttulo de Engenheiro Civil
Orientador: Joo Ricardo Masuero
Porto Alegre
junho 2010
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RENAN WEBER KIRST
ELEMENTOS SUPERFICIAIS LAMINARES EM CONCRETO
ARMADO: ESTUDO COMPARATIVO ENTRE MTODOS DE
CLCULO
Este Trabalho de Diplomao foi julgado adequado como pr-requisito para a obteno do
ttulo de ENGENHEIRO CIVIL e aprovado em sua forma final pelo Professor Orientador e
pela Coordenadora da disciplina Trabalho de Diplomao Engenharia Civil II (ENG01040) da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Porto Alegre, junho de 2010
Prof. Joo Ricardo Masuero
Dr. pela UFRGS
Orientador
Profa. Carin Maria Schmitt
Coordenadora
BANCA EXAMINADORA
Luiz Eduardo Pillar da Silva(Simon Eng.)
Eng. pela PUCRS Prof. Incio Benvegnu Morsch (UFRGS)
Dr. pela UFRGS
Prof. Roberto Domingo Rios (UFRGS)
Dr. pela UFRGS Prof. Joo Ricardo Masuero (UFRGS)
Dr. pela UFRGS
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Dedico este trabalho aos meus pais, Roger e Ldia, que me
ensinaram as lies mais essenciais da vida.
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AGRADECIMENTOS
Agradeo ao Prof. Joo Ricardo Masuero, orientador deste trabalho, pelas diversas horas de
ateno a mim prestadas durante o desenvolvimento deste trabalho.
Agradeo Profa. Carin Maria Schmitt, pela dedicao e esforo no desenvolvimento deste
trabalho.
Agradeo minha namorada, Clarissa Alves de Sampaio, pelo apoio incondicional, carinho e
compreenso, sobretudo nos momentos mais difceis.
Agradeo ao colega e amigo, Alisson Ramos Madeira, pelo companheirismo durante todo o
curso de graduao.
Agradeo aos Eng. Luiz Eduardo Pillar da Silva e Henrique Moller, pela ateno e ajuda na
compreenso de diversos assuntos ligados engenharia de estruturas.
Agradeo aos meus irmos, Rogrio Weber Kirst e Ronald Weber Kirst, pela confiana e
incentivo.
Agradeo aos meus pais, Ldia Maria Weber Kirst e Roger Leite Kirst, pelos valores a mim
ensinados durante toda a minha vida.
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Tudo deve ser feito o mais simples possvel, mas no de
forma simplista.
Albert Einstein
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RESUMO
KIRST, R. W. Elementos Superficiais Laminares em Concreto Armado: estudo
comparativo entre mtodos de clculo. 2010. 79 f. Trabalho de Diplomao (Graduao em
Engenharia Civil) Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.
Dada a necessidade de garantir a segurana, e a grande influncia do dimensionamento de
qualquer estrutura sobre o peso da construo, a verificao das solicitaes em elementos
estruturais atravs de diferentes mtodos de clculo pode ter impacto direto sobre o custo final
de um empreendimento. Este trabalho discorre sobre a variao dos resultados obtidos no
clculo de elementos estruturais laminares planos em concreto armado valendo-se das
solicitaes e das deformaes obtidas atravs do mtodo dos elementos finitos
comparativamente aos obtidos atravs dos mtodos de dimensionamento baseados na teoria
das grelhas e na teoria simplificada de Marcus. Para a concepo do modelo numrico dos
elementos estruturais e a sua dissociao em elementos finitos de geometria adequada foram
utilizados como ferramentas de apoio os softwares SAP 2000 e STRAP 12.5. Foi abordada
essencialmente uma anlise elstico-linear esttica dos elementos estudados. Vale ressaltar
que a maioria dos softwares de dimensionamento de estruturas de concreto armado utiliza
anlises plsticas na obteno das solicitaes. Os elementos em questo so solicitados
predominantemente por cargas normais ao seu plano mdio e tm duas dimenses
predominantes em relao terceira. Observou-se dificuldade de adequao da rigidez de
flexo e da rigidez de toro para o modelo de analogia s grelhas, de forma que os resultados
obtidos por este mtodo tornam-se diferentes conforme a calibrao efetuada para cada
modelo. Verifica-se que os valores de momentos obtidos com a aplicao da Teoria
Simplificada de Marcus so, em sua maioria, inferiores aos obtidos com o Mtodo dos
Elementos Finitos. O Mtodo de Analogia s Grelhas, por sua vez, apresentou momentos
fletores mximos coerentes quando comparados ao Mtodo dos Elementos Finitos para a
calibrao proposta.
Palavras-chave: lajes; Mtodo dos Elementos Finitos; Analogia s Grelhas; Teoria de Marcus.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1: delineamento do trabalho .................................................................................. 18
Figura 2: valores de para lajes retangulares armadas em duas direes ....................... 27
Figura 3: malha 50 x 50 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m]...................................... 38
Figura 4: malha 25 x 25 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] ..................................... 39
Figura 5: malha 10 x 10 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] ..................................... 40
Figura 6: malha 10 x 10 cm no software SAP2000. Momentos na direo x [kgf.m/m].. 41
Figura 7: laje 1 - dimenses 5,00 x 5,00 x 0,10 m ........................................................... 46
Figura 8: grelha representativa da laje 1 .......................................................................... 47
Figura 9: diagrama de momento fletor nas barras centrais da grelha em ambas as
direes [kgf.m] ................................................................................................. 47
Figura 10: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 1 [kgf.m/m] ............... 49
Figura 11: laje 2 - dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m ......................................................... 50
Figura 12: grelha representativa da laje 2 ........................................................................ 51
Figura 13: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo x [kgf.m] 52
Figura 14: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo y [kgf.m] 52
Figura 15: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 2 [kgf.m/m] ............... 53
Figura 16: mapa de contorno dos momentos na direo y da laje 2 [kgf.m/m] ............... 54
Figura 17: laje 3 - dimenses 5,00 x 5,00 x 0,10 m ......................................................... 55
Figura 18: grelha representativa da laje 3 ........................................................................ 56
Figura 19: diagrama de momento fletor na barra central da grelha em ambas as
direes [kgf.m] ................................................................................................. 57
Figura 20: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 3 [kgf.m/m] ............... 58
Figura 21: mapa de contorno dos momentos na direo y da laje 3 [kgf.m/m] ............... 59
Figura 22: laje 4 - dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m ......................................................... 60
Figura 23: grelha representativa da laje 4 ........................................................................ 61
Figura 24: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo x [kgf.m] 62
Figura 25: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo y [kgf.m] 62
Figura 26: de contorno dos momentos na direo x da laje 4 [kgf.m/m] ......................... 63
Figura 27: de contorno dos momentos na direo y da laje 4 [kgf.m/m] ......................... 64
Figura 28: laje 5 - dimenses 10,00 x 10,00 x 0,20 m ..................................................... 66
Figura 29: diagrama de momento fletor na barra central da grelha em ambas as
direes [kgf.m] ................................................................................................. 67
Figura 30: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 5 [kgf.m/m] ............... 69
Figura 31: laje 6 - dimenses 2,00 x 2,00 x 0,08 m ......................................................... 70
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Figura 32: diagrama de momento fletor na barra central da grelha em ambas as
direes [kgf.m] ................................................................................................. 71
Figura 33: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 6 [kgf.m/m] ............... 72
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1: momentos fletores e carga de colapso para uma laje com lx=5m e ly=3,6m ... 34
Quadro 2: momentos equilibrantes totais de uma laje com lx=5m e ly=3,6m................... 35
Quadro 3: comparativo de malhas de elementos finitos .................................................. 42
Quadro 4: momento fletor Mx de acordo com a relao J/Ixx e com o espaamento da
grelha .................................................................................................................. 43
Quadro 5: deformao de acordo com a relao J/Ixx e com o espaamento da grelha ... 44
Quadro 6: momentos na laje 1 pela Teoria de Marcus ..................................................... 46
Quadro 7: momentos na laje 1 por Analogia s Grelhas .................................................. 48
Quadro 8: momentos na laje 1 por Elementos Finitos ..................................................... 49
Quadro 9: momentos na laje 2 pela Teoria de Marcus ..................................................... 51
Quadro 10: momentos na laje 2 por Analogia s Grelhas ................................................ 53
Quadro 11: momentos na laje 2 por Elementos Finitos ................................................... 54
Quadro 12: momentos na laje 3 pela Teoria de Marcus ................................................... 56
Quadro 13: momentos na laje 3 por Analogia s Grelhas ................................................ 57
Quadro 14: momentos na laje 3 por Elementos Finitos ................................................... 59
Quadro 15: momentos na laje 4 pela Teoria de Marcus ................................................... 61
Quadro 16: momentos na laje 4 por Analogia s Grelhas ................................................ 63
Quadro 17: momentos na laje 4 por Elementos Finitos ................................................... 65
Quadro 18: momentos na laje 5 pela Teoria de Marcus ................................................... 67
Quadro 19: momentos na laje 5 por Analogia s Grelhas ................................................ 68
Quadro 20: momentos na laje 5 por Elementos Finitos ................................................... 68
Quadro 21: momentos na laje 6 pela Teoria de Marcus ................................................... 70
Quadro 22: momentos na laje 6 por Analogia s Grelhas ................................................ 71
Quadro 23: momentos na laje 6 por Elementos Finitos ................................................... 73
Quadro 24: momentos fletores pelos trs mtodos [kgf.m/m] ......................................... 74
Quadro 25: erro nos momentos considerando-se os resultados do MEF como corretos . 75
Quadro 26: deformaes por grelhas e MEF [cm] ........................................................... 76
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SUMRIO
1 INTRODUO ........................................................................................................... 12
2 MTODO DE PESQUISA ......................................................................................... 15
2.1 QUESTO DE PESQUISA ....................................................................................... 15
2.2 OBJETIVOS DO TRABALHO ................................................................................. 15
2.2.1 Objetivo Principal ................................................................................................. 15
2.2.2 Objetivos Secundrios ........................................................................................... 16
2.3 PRESSUPOSTO ......................................................................................................... 16
2.4 PREMISSA ................................................................................................................ 16
2.5 DELIMITAES ...................................................................................................... 16
2.6 LIMITAES ........................................................................................................... 17
2.7 DELINEAMENTO .................................................................................................... 17
2.7.1 Pesquisa Bibliogrfica ........................................................................................... 18
2.7.2 Definies de Elementos Estruturais para Estudo ............................................. 18
2.7.3 Calibrao dos Modelos Numricos .................................................................... 19
2.7.4 Clculo pela Teoria Simplificada de Marcus ...................................................... 19
2.7.5 Clculo pelo Mtodo de Analogia s Grelhas ..................................................... 19
2.7.6 Clculo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ....................................................... 19
2.7.7 Comparao dos Resultados ................................................................................ 20
2.7.8 Concluses .............................................................................................................. 20
3 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL ..................................................................... 21
3.1 ANLISE LINEAR ................................................................................................... 22
3.2 ANLISE LINEAR COM REDISTRIBUIO ....................................................... 22
3.3 ANLISE PLSTICA ............................................................................................... 23
3.4 ANLISE NO-LINEAR ......................................................................................... 23
3.5 ANLISE ATRAVS DE MODELOS FSICOS ..................................................... 24
4 MTODOS DE DIMENSIONAMENTO ................................................................. 25
4.1 TEORIA SIMPLIFICADA DE MARCUS ................................................................ 25
4.2 MTODO DE ANALOGIA S GRELHAS ............................................................. 28
4.2.1 Consideraes Tericas ......................................................................................... 28
4.2.2 Aplicao Computacional ..................................................................................... 29
4.3 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................................. 30
4.3.1 Consideraes Tericas ......................................................................................... 30
4.3.2 Aplicao Computacional ..................................................................................... 33
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4.4 EXEMPLO COMPARATIVO ................................................................................... 34
5 AJUSTE DOS MODELOS COMPUTACIONAIS .................................................. 36
5.1 REFINAMENTO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS ................................. 37
5.2 GEOMETRIA E RIGIDEZ DAS GRELHAS ........................................................... 42
6 OBTENO DAS SOLICITAES ........................................................................ 45
6.1 LAJE QUADRADA SIMPLESMENTE APOIADA ................................................ 45
6.1.1 Laje 1: soluo pela Teoria Simplificada de Marcus ......................................... 46
6.1.2 Laje 1: soluo por Analogia s Grelhas ............................................................. 47
6.1.3 Laje 1: soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ........................................... 48
6.2 LAJE RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA ............................................ 50
6.2.1 Laje 2: soluo pela Teoria Simplificada de Marcus ......................................... 50
6.2.2 Laje 2: soluo por Analogia s Grelhas ............................................................. 51
6.2.3 Laje 2: soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ........................................... 53
6.3 LAJE QUADRADA COM DOIS BORDOS ENGASTADOS ................................. 55
6.3.1 Laje 3: soluo pela Teoria Simplificada de Marcus ......................................... 55
6.3.2 Laje 3: soluo por Analogia s Grelhas ............................................................. 56
6.3.3 Laje 3: soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ........................................... 57
6.4 LAJE RETANGULAR COM DOIS BORDOS ENGASTADOS ............................. 60
6.4.1 Laje 4: soluo pela Teoria Simplificada de Marcus ......................................... 60
6.4.2 Laje 4: soluo por Analogia s Grelhas ............................................................. 61
6.4.3 Laje 4: soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ........................................... 63
7 LAJES ESPECIAIS .................................................................................................... 66
7.1 LAJE QUADRADA DE GRANDES DIMENSES ................................................ 66
7.1.1 Laje 5: soluo pela Teoria Simplificada de Marcus ......................................... 67
7.1.2 Laje 5: soluo por Analogia s Grelhas ............................................................. 67
7.1.3 Laje 5: soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ........................................... 68
7.2 LAJE QUADRADA DE PEQUENAS DIMENSES ............................................... 69
7.2.1 Laje 6: soluo pela Teoria Simplificada de Marcus ......................................... 70
7.2.2 Laje 6: soluo por Analogia s Grelhas ............................................................. 71
7.2.3 Laje 6: soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos ........................................... 72
8 COMPARAO DOS RESULTADOS .................................................................... 74
9 CONCLUSES ........................................................................................................... 77
REFERNCIAS ............................................................................................................... 79
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Renan Weber Kirst. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009
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1 INTRODUO
Com uma gama cada vez maior de diferentes mtodos de clculo para as mais variadas
situaes estruturais, muitos problemas estruturais acabam por ter suas solues obtidas
atravs de mtodos simplificados. Graas ao avano da tecnologia e ao consequente
crescimento da oferta de ferramentas computacionais cada vez mais poderosas, tornou-se
possvel efetuar o dimensionamento de estruturas atravs de diferentes mtodos de clculo.
No Brasil, os mtodos tradicionais e amplamente difundidos de dimensionamento de lajes e
de outros elementos superficiais em concreto armado, tais como paredes de reservatrios e
escadas, so os mtodos de associao ao modelo simplificado de grelhas e os baseados na
teoria simplificada de Marcus. Na soluo por associao ao modelo simplificado de grelhas
possvel considerar os apoios (vigas) em conjunto com o modelo de grelha das lajes e analisar
o conjunto inteiro como uma grelha, tornando a laje e seus apoios uma estrutura nica que
funciona como um todo. O mtodo baseado na teoria simplificada de Marcus, entretanto,
considera os apoios rgidos, de forma que a estrutura em questo individualizada da
estrutura global.
Para analisar uma laje por analogia a uma grelha, deve-se discretiz-la em uma sequncia de
faixas de largura previamente determinada a serem substitudas por elementos estruturais de
barra locados nos seus eixos. Este modelo muito conveniente para aplicao em
configuraes de lajes contnuas, nas quais se obtm configuraes de deformao e de
esforos prximos da situao real em regime elstico. O mtodo com base na teoria
simplificada de Marcus, por sua vez, constitui-se em uma adaptao da teoria das grelhas para
o dimensionamento de lajes retangulares. Baseia-se no princpio de que a carga aplicada pode
ser equilibrada apenas por flexo.
Entretanto, especialmente para elementos superficiais laminares no-retangulares, ou para
aqueles com condies de apoio e de solicitaes que fogem prtica comum dos projetistas,
os mtodos convencionais de dimensionamento prevem aproximaes e simplificaes para
garantir a segurana do elemento em questo. Estas simplificaes podem ter como
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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conseqncia o superdimensionamento da estrutura, gerando maiores gastos de material, ou o
seu subdimensionamento, colocando em risco a utilizao do elemento estruturalmente.
Foram estudados elementos superficiais laminares em concreto armado valendo-se das
solicitaes obtidas atravs do mtodo de analogia s grelhas com o auxlio do software
STRAP 12.5, da teoria simplificada de Marcus e das solicitaes obtidas atravs do mtodo
dos elementos finitos, sendo estas ltimas obtidas com o auxlio dos softwares
computacionais SAP 2000 e STRAP 12.5, respectivamente. Utilizando elementos de
geometria plana, ambos os programas elaboram a malha de elementos finitos e calculam os
esforos e deslocamentos para cada elemento disponibilizando seus resultados de forma
grfica e por tabelas.
A escolha das configuraes de lajes a serem estudadas obedeceu ao critrio de viabilidade de
aplicao dos trs mtodos propostos por este trabalho, restringindo as possibilidades de
geometria a lajes retangulares submetidas a cargas uniformemente distribudas. Desta forma,
efetuou-se a calibrao dos modelos subsequentes atravs de uma laje quadrada simplesmente
apoiada em seus quatro bordos, a qual foi submetida a uma carga distribuda de 700 kgf/m.
Para esta, utilizou-se a soluo da teoria geral de placas para encontrar o momento fletor e a
deformao mxima, resultados estes comparados aos obtidos pelo mtodo dos elementos
finitos, pelo modelo simplificado de grelhas e pela teoria simplificada de Marcus.
Foi considerado o comportamento elstico-linear do concreto armado, sendo realizada apenas
uma anlise esttica dos esforos solicitantes nos elementos estudados. Vale salientar que os
principais softwares de dimensionamento de lajes disponveis no mercado consideram os
efeitos da perda de rigidez do concreto devido fissurao, de forma que anlise da estrutura
feita para o comportamento elasto-plstico do concreto armado.
O trabalho apresentado 9 captulos. A este captulo de introduo segue o captulo 2, no qual
se apresenta o mtodo de pesquisa do estudo, incluindo a questo de pesquisa, objetivos,
pressuposto, limitao, delimitao, premissa e delineamento que orientaram a sua realizao.
O captulo 3 apresenta o embasamento terico sobre os diferentes tipos de anlise estrutural
previstos pela NBR 6118/2007.
O captulo 4, por sua vez, explana sobre os trs mtodos utilizados no trabalho para a
obteno dos momentos e das deformaes, falando sobre as suas principais consideraes
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Renan Weber Kirst. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009
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tericas e, no caso do Mtodo de Analogia s Grelhas e do Mtodo dos Elementos Finitos,
sobre as suas respectivas aplicaes computacionais neste estudo.
O captulo 5 prope a calibrao dos modelos numricos a serem utilizados nos softwares,
estudando parmetros como a rigidez a ser utilizada nas barras das grelhas e o grau de
refinamento necessrio para que o modelo de elementos finitos possa ser considerado
satisfatrio. Neste captulo utilizou-se a soluo da Teoria Geral de Placas para a deformao
e para o momento mximo na laje de calibrao como valores de referncia para os outros
mtodos.
O captulo 6 mostra a aplicao dos trs diferentes mtodos para os 4 primeiros casos
estudados neste trabalho, valendo-se da calibrao dos modelos numricos efetuada no
captulo anterior.
O captulo 7 estuda a aplicao dos trs mtodos para duas outras configuraes de lajes,
consideradas especiais.
O captulo 8 compara os resultados obtidos por cada um dos trs mtodos, assumindo que as
calibraes feitas no Captulo 5 so vlidas para os casos estudados.
Por ltimo, o captulo 9 apresenta as concluses e os comentrios a respeito da utilizao de
cada mtodo estudado para a obteno das solicitaes e das deformaes em elementos
superficiais laminares em concreto armado submetidos a cargas de flexo.
Este trabalho tem em seu contexto a sequncia dos estudos realizados por BRCH (2009) e
por ROSA (2008), ambos visando a calibrao dos elementos de barra utilizados na Analogia
de Grelha para a obteno de resultados satisfatrios quando comparados aos obtidos atravs
do Mtodo dos Elementos Finitos.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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2 MTODO DE PESQUISA
Este captulo detalha o escopo do projeto, apresentando as principais diretrizes para o
desenvolvimento do estudo.
2.1 QUESTO DE PESQUISA
A questo de pesquisa referente a este trabalho surge como base para toda a pesquisa
subsequente e pode ser definida como: mtodos aproximados (Teoria Simplificada de Marcus
e Mtodo de Analogia s Grelhas) fornecem solicitaes em elementos superficiais laminares
em concreto armado prximas s fornecidas pelo Mtodo dos Elementos Finitos e pela
soluo da Teoria Geral de Placas?
2.2 OBJETIVOS DO TRABALHO
Os objetivos deste trabalho esto classificados em principal e secundrio com o intuito de
direcionar a pesquisa, e so apresentados a seguir.
2.1.1 Objetivo Principal
O objetivo principal deste trabalho a comparao dos resultados obtidos atravs de mtodos
aproximados (Teoria Simplificada de Marcus e Mtodo de Analogia s Grelhas) com os
resultados obtidos atravs do Mtodo dos Elementos Finitos e da soluo da Teoria Geral de
Placas.
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Renan Weber Kirst. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009
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2.2.2 Objetivos Secundrios
Este trabalho tem como objetivos secundrios a obteno das solicitaes nos elementos em
questo atravs dos seguintes mtodos:
a) Teoria Simplificada de Marcus;
b) Analogia s Grelhas;
c) Elementos Finitos.
2.3 PRESSUPOSTO
Pressupe-se que uma anlise elstico-linear para obteno das solicitaes em elementos
superficiais laminares em concreto armado suficiente para se efetuar a comparao dos
resultados obtidos neste trabalho, no sendo considerada a anlise elasto-plstica, comumente
utilizada pelos softwares de dimensionamento existentes no mercado.
2.4 PREMISSA
Como premissa para este estudo coloca-se que mtodos aproximados para a soluo esttica
em elementos superficiais laminares em concreto armado possam ser utilizados para o
dimensionamento dos elementos em questo.
2.5 DELIMITAES
Devido ao grande nmero de variveis que surgiriam com a ampliao do estudo para outros
elementos estruturais, este trabalho tem por delimitao o estudo de elementos superficiais
laminares em concreto armado convencional executado in loco, desconsiderando-se assim
elementos amplamente utilizados como pr-moldados ou tcnicas como protenses, por
exemplo.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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2.6 LIMITAES
Este trabalho tem como limitao a utilizao de apenas 2 softwares para o seu
desenvolvimento, sendo apenas um deles aplicado no dimensionamento dos elementos
estruturais quando utilizado o mtodo de analogia s grelhas (STRAP 12.5) e ambos quando
aplicado o mtodo dos elementos finitos (STRAP 12.5 e SAP 2000).
O trabalho tambm limitou-se anlise de somente 6 diferentes geometrias de lajes planas
isotrpicas, com espessura constante. Foram estudadas as seguintes configuraes:
a) quadrada, com dimenses 5x5 m, apoiada nos quatros lados;
b) retangular, com dimenses 4x6 m, apoiada nos quatro lados;
c) quadrada, com dimenses 5x5 m, com dois lados engastados;
d) retangular, com dimenses 4x6 m, com dois lados engastados;
e) quadrada, com dimenses 10x10 m, apoiada nos quatro lados;
f) quadrada, com dimenses 2x2 m, apoiada nos quatro lados.
2.7 DELINEAMENTO
As etapas definidas no trabalho de pesquisa esto ilustradas na figura 1 e sero detalhadas a
seguir. So elas:
a) pesquisa bibliogrfica;
b) definio de elementos estruturais para estudo;
c) calibrao dos modelos numricos;
d) clculo pelos mtodos,
- Teoria Simplificada de Marcus;
- Analogia s Grelhas;
- Elementos Finitos;
d) comparao dos resultados;
e) concluses.
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Renan Weber Kirst. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009
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Figura 1: delineamento do trabalho
2.7.1 Pesquisa Bibliogrfica
Apesar de ter dado incio ao trabalho, a pesquisa bibliogrfica teve sequncia ao longo de
todo o estudo com o objetivo de fundamentar os mtodos utilizados e de apoiar a verificao
da coerncia dos resultados obtidos por cada um deles. Utilizaram-se como materiais de
consulta livros, artigos, trabalhos acadmicos e normas tcnicas.
2.7.2 Definio de Elementos Estruturais para Estudo
Com o intuito de direcionar o trabalho, alguns parmetros tiveram de ser definidos, tais como:
a) elementos estruturais a serem estudados;
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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b) configuraes geomtricas e condies de apoio usuais;
c) parmetros e variveis que sero comparados aps obtidos os resultados por
cada um dos diferentes mtodos.
2.7.3 Calibrao dos Modelos Numricos
Esta etapa consiste na calibrao dos modelos utilizados para a obteno das solicitaes
quando aplicado o Mtodo de Analogia s Grelhas e o Mtodo dos Elementos Finitos. A
calibrao deu-se pela comparao dos resultados obtidos por cada mtodo com os resultados
obtidos pela resoluo da Teoria Geral de Placas para uma laje especfica.
2.7.4 Clculo pela Teoria Simplificada de Marcus
Esta etapa do trabalho foi baseada na obteno das solicitaes de momentos fletores
mximos atravs de tabelas encontradas na bibliografia estudada e j reconhecidas como
vlidas para a utilizao deste mtodo de clculo. Tais tabelas so baseadas na resoluo da
equao geral de placas submetidas flexo.
2.7.5 Clculo pelo Mtodo de Analogia s Grelhas
Nesta etapa do trabalho foram elaborados os clculos dos elementos estruturais pelo mtodo
de analogia s grelhas com o auxlio do software de apoio STRAP em sua verso 12.5. Os
resultados obtidos atravs deste mtodo foram os momentos fletores mximos e suas
respectivas posies e as deformaes das lajes em questo.
2.7.6 Clculo pelo Mtodo dos Elementos Finitos
Nesta etapa do trabalho foram realizados os clculos necessrios para a obteno das
solicitaes nos elementos estudados atravs do mtodo dos elementos finitos com o auxlio
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Renan Weber Kirst. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009
20
de dois softwares, sendo eles o STRAP 12.5 e o SAP 2000. Alm dos momentos fletores,
foram obtidas atravs deste mtodo as deformaes mximas sofridas pelos elementos.
2.7.7 Comparao dos Resultados
Nesta etapa foram comparados os resultados obtidos para as solicitaes atravs de cada um
dos mtodos estudados. Foram comparados principalmente os valores dos momentos fletores
mximos, bem como as suas posies na laje em questo. A comparao dos resultados
tornou possvel a desconsiderao de algum resultado especfico que no apresentou o
comportamento esperado para as condies estudadas, ou valores demasiadamente diferentes
daqueles obtidos pelos outros mtodos.
Ainda, foram elaborados quadros comparativos para a melhor visualizao das implicaes
qualitativas oriundas da utilizao dos diferentes mtodos de clculo. Estes quadros so
compostos pelos momentos fletores e pelas deformaes obtidas para cada mtodo de clculo.
2.7.8 Concluses
Esta etapa tem a funo de concluso a respeito da utilizao dos diferentes mtodos de
obteno de solicitaes, valendo-se principalmente da comparao de resultados. A
concluso permitiu descobrir qual a ordem de grandeza da diferena entre os resultados
obtidos por cada mtodo, e a influncia destas diferenas no dimensionamento das lajes
estudadas.
-
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
21
3 TIPOS DE ANLISE ESTRUTURAL
A correta anlise de uma estrutura o passo inicial e imprescindvel para a realizao de um
bom projeto estrutural. O projeto de estruturas em concreto armado tem critrios de anlise
estabelecidos pela NBR 6118/2007, que tambm apresenta os mtodos de anlise pelos quais
o comportamento das estruturas pode ser avaliado.
Para o clculo dos esforos nas lajes existem dois grandes grupos de mtodos. Os mtodos
clssicos, fundados na teoria da elasticidade, supem que o material homogneo e istropo e
se comporta linearmente. Os mtodos em ruptura, fundados na teoria da plasticidade, supem,
ao contrrio, que o material se comporta como um corpo rgido-plstico perfeito (MONTOYA
et al., 2000, p. 539).
Montoya et al. (2000, p. 540) indicam ainda que mediante os mtodos clssicos obtm-se,
com grande aproximao, os esforos na situao de servio, a partir dos quais se pode
escolher a distribuio das armaduras, nas diferentes zonas da laje, que representa de forma
adequada o comportamento em servio da mesma. Os mtodos de ruptura no proporcionam,
entretanto, qual a distribuio adequada das armaduras, uma vez que este um dado de
entrada.
Para situaes de projeto, a anlise estrutural pode ser efetuada por um dos mtodos
apresentados a seguir, que se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais
constituintes da estrutura, no perdendo de vista em cada caso as limitaes correspondentes
(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 75), ou seja, anlise:
a) linear;
b) linear com redistribuio;
c) plstica;
d) no-linear;
e) atravs de modelos fsicos.
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Renan Weber Kirst. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009
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Cada um dos mtodos apresentados ser brevemente discutido a seguir com o intuito de
estabelecer os conhecimentos bsicos necessrios para o seu correto emprego, de forma a
garantir a segurana dos modelos que sero posteriormente dimensionados pelos diferentes
mtodos de clculo.
3.1 ANLISE LINEAR
Para este tipo de anlise, admite-se o comportamento elstico-linear dos materiais. Na anlise
global, as caractersticas geomtricas podem ser determinadas pela seo bruta de concreto
dos elementos estruturais. Em anlises locais para clculo dos deslocamentos, na
eventualidade da fissurao, esta deve ser considerada. Os resultados de uma anlise linear
so usualmente empregados para a verificao de estados limites de servio, sendo possvel
estender os resultados para verificaes de estado limite ltimo, mesmo com tenses elevadas,
desde que se garanta a ductilidade dos elementos estruturais (ASSOCIAO BRASILEIRA
DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 75).
3.2 ANLISE LINEAR COM REDISTRIBUIO
Na anlise linear com redistribuio, os efeitos das aes, determinados em uma anlise
linear, so redistribudos na estrutura, para as combinaes de carregamento do estado limite
ltimo. Nesse caso, as condies de equilbrio e de ductilidade devem continuar satisfeitas
aps a redistribuio das aes, como segue (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS
TCNICAS, 2007, p. 76):
Todos os esforos internos devem ser recalculados de modo a garantir o equilbrio
de cada um dos elementos estruturais e da estrutura como um todo. Os efeitos de
redistribuio devem ser considerados em todos os aspectos do projeto estrutural,
inclusive as condies de ancoragem e corte de armaduras e os esforos a ancorar.
As verificaes de combinaes de carregamento de estado limite de servio ou de fadiga
podem ser baseadas na anlise linear sem redistribuio. De uma maneira geral desejvel
que no haja redistribuio de esforos em servio (ASSOCIAO BRASILEIRA DE
NORMAS TCNICAS, 2007, p. 76).
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
23
3.3 ANLISE PLSTICA
A anlise estrutural denominada plstica quando as no linearidades puderem ser
consideradas, admitindo-se materiais de comportamento rgido-plstico perfeito ou elasto-
plstico. A anlise plstica de estruturas reticuladas no pode ser adotada quando
(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 76):
a) se consideram os efeitos de segunda ordem global;
b) no houver suficiente ductilidade para que as configuraes adotadas sejam
atingidas.
Deve-se tambm evitar o clculo plstico para os casos de carregamento cclico com
possibilidade de fadiga (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p.
76).
A plastificao no concreto armado se d pelo escoamento da armadura, diminuindo o valor
da posio da linha neutra e aumentando o brao de alavanca obtido em regime elstico. No
entanto, o momento resistente permanece praticamente constante at a ruptura, pois o
aumento do brao de alavanca apenas compensa a diminuio da zona de concreto
comprimido. Desta forma, a anlise plstica recomendada apenas para o estado limite
ltimo, com o concreto j fissurado e o escoamento da armadura, enquanto a verificao de
estado limite de servio deve ser efetuada com uma anlise linear ou no-linear.
3.4 ANLISE NO-LINEAR
Para tal considera-se o comportamento no-linear dos materiais, de forma que
(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 76):
Toda a geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser
conhecidas para que a anlise no-linear possa ser efetuada, pois a resposta da
estrutura depende de como ela foi armada.
Condies de equilbrio, de compatibilidade e de dutilidade devem ser
necessariamente satisfeitas. Anlises no-lineares podem ser adotadas tanto para
verificaes de estados limites ltimos como para verificaes de estados limites de
servio.
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3.5 ANLISE ATRAVS DE MODELOS FSICOS
Este modelo apropriado e aconselhado especialmente quando os modelos de clculo so
insuficientes ou esto fora do escopo da norma NBR 6118/2007. Para realizar-se a anlise
atravs de modelos fsicos, [...] o comportamento estrutural determinado a partir de ensaios
realizados com modelos fsicos de concreto, considerando os critrios de semelhana
mecnica (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 76). Ainda,
com o intuito de garantir a validade do estudo, obrigatoriamente devem ser obtidos resultados
para todos os estados limites ltimos e de servio a serem empregados na anlise da estrutura,
e todas as aes, condies e possveis influncias que possam ocorrer durante a vida da
estrutura deve ser convenientemente reproduzidas nos ensaios (ASSOCIAO
BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 77).
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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4 MTODOS DE DIMENSIONAMENTO
4.1 TEORIA SIMPLIFICADA DE MARCUS
As tabelas de dimensionamento de Marcus so amplamente utilizadas na ausncia de recursos
computacionais e na anlise prvia da estrutura em estudos de viabilidade de implantao,
bem como na obteno da espessura da laje que servir como base para iteraes no
dimensionamento realizado por outros mtodos. Dada uma laje que trabalha em duas
direes, o mtodo consiste em considerar na mesma duas faixas largas, uma em cada direo.
A carga que atua sobre as lajes deve repartir-se entre as duas faixas ou vigas de forma que as
flechas que estas possuem em seu ponto de cruzamento sejam iguais (MONTOYA et al.,
2000, p. 545).
Para as lajes macias, o processo das grelhas apresenta resultados conservadores quando
comparados com o clculo exato, ou seja, como placa propriamente dita, por no levar em
considerao a ao favorvel da unio entre as faixas e a existncia de momentos torores. O
processo de Marcus resultou do confronto entre esses resultados e a posterior correo dos
valores obtidos atravs do processo da grelhas, de modo a aproxim-los mais dos valores reais
das placas.
Marcus observou que o processo das grelhas fornecia valores relativamente altos para os
momentos fletores positivos, propondo ento coeficientes de correo para os mesmos. Os
momentos negativos apresentaram valores semelhantes, no sendo, portanto, alterados. Os
coeficientes de correo de Marcus so apresentados abaixo (CAMACHO, 2004):
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201
x
x
xM
K (frmula 1)
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23
201
y
y
yM
K (frmula 2)
Onde:
Mx, My = coeficientes dos momentos positivos para as faixas isoladas [kgf.m/m];
Kx, Ky = obtidos pela teoria das grelhas.
Segundo Silva e Horowitz (2008, p. 201) este mtodo baseia-se no princpio de que a carga
pode ser equilibrada apenas por flexo. Uma vez observado que o processo das grelhas
fornecia valores relativamente altos para os momentos fletores positivos, Marcus props uma
correo destes momentos atravs da adoo de coeficientes especficos de modo a aproxim-
los dos valores reais advindos da teoria das placas.
Silva e Horowitz (2008, p. 199) indicam que para a verificao de estados limites de servio,
deve-se considerar os momentos fletores determinados pelo regime elstico. No caso das lajes
armadas em duas direes, estes valores podem ser calculados com a correo dada pelo fator
na equao do momento fletor conforme dado na figura 2.
Tabelas como esta so encontradas para diversas configuraes de geometria e de apoio de
lajes, mas tem sua aplicao restrita ao emprego de lajes retangulares, inviabilizando sua
aplicao em lajes de geometrias variadas. Baseadas na teoria elstica das placas, so
sistematizaes da soluo geral das placas para casos particulares de apoio e de
carregamento (SILVA; HOROWITZ, 2008, p. 204).
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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Figura 2: valores de para lajes retangulares armadas em duas direes
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Para a obteno dos momentos fletores mximos em cada uma das duas direes principais da
laje, utiliza-se o coeficiente de correo conforme a frmula 3.
100
.. xlpm (frmula 3)
Onde:
m = momento na direo desejada [kgf.m/m];
= coeficiente de correo;
p = carga superficial atuante na laje [kgf/m];
lx = menor vo da laje [m].
4.2 MTODO DE ANALOGIA S GRELHAS
O Mtodo de Analogia s Grelhas a abordagem utilizada pela maioria dos programas de
clculo estrutural para o clculo e detalhamento de estruturas em concreto armado de edifcios
residenciais. Alm de ser de fcil aplicao, tal tcnica fundamentada em conceitos fsicos
de aplicao bastante simplificada e atrativa, o que sustenta o fato de ser um mtodo
amplamente difundido entre calculistas.
4.2.1 Consideraes Tericas
Baseado na substituio de um pavimento por uma grelha equivalente, onde os elementos da
mesma (barras da grelha equivalente) passam a representar os elementos estruturais do
pavimento (lajes e vigas), este processo permite reproduzir o comportamento estrutural de
pavimentos com praticamente qualquer geometria, seja ele composto de lajes de concreto
armado macias, com ou sem vigas, ou ento de lajes nervuradas (SILVA, 2003, p. 2).
Silva (2003, p. 2) indica que:
-
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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Para analisar um pavimento atravs do processo de analogia de grelha deve-se
dividir as lajes que o compem em um nmero adequado de faixas, as quais tero
larguras dependentes da geometria e das dimenses do pavimento. Considerando
que, assim como as vigas, estas faixas possam ser substitudas por elementos
estruturais de barras exatamente nos seus eixos, obtm-se ento uma grelha
equivalente que passa a representar o pavimento.
Quanto aos carregamentos, considera-se que as cargas distribudas atuantes no pavimento se
dividem entre as barras da grelha equivalente de acordo com a rea de influncia de cada uma.
As cargas podem ser consideradas uniformemente distribudas ao longo das barras da grelha
ou ento concentradas diretamente nos seus ns (SILVA, 2003, p. 3).
O equilbrio de um elemento de placa exige que os momentos torores sejam idnticos nas
duas direes ortogonais, do mesmo modo que as distores angulares. Para o caso da grelha
no existe nenhum princpio fsico ou matemtico que garanta que os momentos e as
distores sejam iguais nas direes ortogonais, em um determinado ponto. Alm disso, para
uma grelha o momento em uma barra depende apenas de sua curvatura, enquanto em uma
placa o momento em qualquer direo depende da curvatura na mesma direo e na direo
ortogonal (STRAMANDINOLI, 2003).
Este mtodo bastante interessante do ponto de vista prtico, uma vez que possui fcil
automatizao. Dispondo os momentos solicitantes em faixas equivalentes a vigas, o
dimensionamento flexo simples de cada faixa passa a ser idntico ao de uma viga com base
igual rea de influncia da faixa e altura igual espessura da laje, desconsiderando-se os
esforos cortantes. Atualmente, os principais softwares de dimensionamento de estruturas de
concreto armado no Brasil utilizam este mtodo para a obteno dos momentos fletores e das
deformaes em lajes.
4.2.2 Aplicao Computacional
Para a dissociao das lajes em uma grelha equivalente foi utilizado o software STRAP 12.5,
no qual foram testadas diferentes configuraes de grelha e diferentes parmetros de rigidez.
As cargas foram aplicadas como carga global por unidade de rea na estrutura, de forma que o
programa efetua a distribuio das cargas equivalentes para cada barra de grelha por rea de
influncia.
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4.3 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
De acordo com Soriano (2009, p. 8), na maioria dos modelos contnuos, a resoluo analtica
costuma oferecer grandes dificuldades, ou at mesmo ser impossvel. A alternativa no
obteno da soluo analtica atravs da integrao das equaes diferenciais com condies
de contorno ou iniciais utilizar um mtodo aproximado que substitua os infinitos graus de
liberdade do modelo contnuo por um nmero finito de parmetros a serem determinados, ou
graus de liberdade de um modelo aproximado. E, assim, tem-se a troca das equaes
diferenciais daquele modelo por um sistema de equaes algbricas deste modelo.
O mtodo dos elementos finitos uma ferramenta para anlise numrica de estruturas em
geral. Em geral, na aplicao do mtodo dos elementos finitos a elementos de placa, substitui-
se a placa por uma srie de elementos de forma quadrangular ou triangular, podendo variar as
dimenses e caractersticas de um elemento a outro (MONTOYA et al., 2000, p. 544).
4.3.1 Consideraes Tericas
De acordo com Montoya et al. (2000, p. 539), uma placa uma estrutura limitada por dois
planos paralelos de separao h, sendo a espessura h pequena comparada s outras dimenses.
Supe-se, ainda, que as cargas atuem sobre o plano mdio da placa e so normais ao mesmo.
Estruturas de placas so analisadas admitindo-se as seguintes hipteses pela NBR 6118
(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 84):
a) manuteno da seo plana aps a deformao, em faixas suficientemente
estreitas;
b) representao dos elementos por seu plano mdio.
Cada laje pode, ainda, estar submetida a diferentes tipos de carga, como carga pontual,
uniforme ou triangular (paredes de reservatrios). Tudo isto cria uma grande variedade de
problemas de lajes (MONTOYA et al., 2000, p. 539).
Para verificao do estado limite de deformao excessiva podem ser utilizados valores de
rigidez do estdio I, considerando o mdulo de elasticidade secante do concreto, desde que os
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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momentos fletores sejam menores que o de fissurao (ASSOCIAO BRASILEIRA DE
NORMAS TCNICAS, 2007, p. 84).
Supe-se que os deslocamentos w dentro de cada elemento sejam dados por uma funo
simples (um polinmio, por exemplo), cujos coeficientes numricos permaneam fixos uma
vez conhecidos os valores da funo e de suas derivadas nos vrtices dos mesmos. Desta
forma, ainda que sejam diferentes as funes w e suas derivadas quando analisadas de um
elemento a outro, garante-se a compatibilidade de deformaes entre elementos subsequentes
ao igualar-se seus valores nos vrtices (MONTOYA et al., 2000, p. 545).
Montoya et al. (2000, p. 545) afirmam que as condies de equilbrio dos distintos elementos
(ou o que equivalente, a condio de mnima energia potencial total, funo das incgnitas
escolhidas) proporcionam um sistema de equaes lineares, que uma vez resolvido, permite o
clculo imediato de deslocamentos e de esforos na placa.
As teorias que fundamentam o problema de placas so (AWRUCH; MORSCH, 2009, p. 108):
a) teoria de Kirchhoff, aplicvel especialmente s lajes finas;
b) teoria de Reissner-Mindlin, aplicvel s lajes espessas, nas quais a relao
vo/espessura da laje menor do que 10.
No que diz respeito a este estudo, somente sero estudadas placas que atendem os requisitos
de fina ou mdia. Alm disso, as lajes podem diferenciar-se por suas diferentes caractersticas,
tais como (MONTOYA et al., 2000, p. 539):
a) forma: contorno poligonal ou circular, macias ou com furos;
b) disposio de apoios: somente apoiadas em seus contornos, balano, contnuas
em uma ou duas direes;
c) coao dos apoios: simples, engastamento, sustentao elstica.
Para que seja vlida a equao geral das placas, sero levados em considerao os chamados
postulados de Kirchhoff-Love juntamente com outras hipteses de carter elstico e
geomtrico. So elas (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991):
a) o material elstico, homogneo e istropo;
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b) a placa inicialmente plana;
c) a espessura pequena comparada com as outras duas dimenses;
d) o ngulo, em radianos, em um ponto qualquer da placa, formado entre a
tangente superfcie mdia deformada da placa e o plano mdio da placa antes
da aplicao da carga, pequeno quando comparado com a unidade;
e) o estado de deformao tal que as linhas retas, normais superfcie mdia da
placa, permaneam retas, inextensveis e normais superfcie mdia
deformada;
f) as tenses normais superfcie mdia so de uma ordem de grandeza
desprezvel;
g) os deslocamentos so calculados apenas para a superfcie mdia da placa.
A teoria de Kirchhof no permite considerar o efeito da deformabilidade por esforo
transversal, ao passo que a teoria de Reissner-Milin j permite a considerao deste efeito. A
sua utilizao , desta forma, aconselhvel sempre que a espessura da laje ultrapassa os
limites que a permitem classificar como laje fina. Esta condio sucede sempre que a
influncia do esforo de corte se torna no desprezvel e as hipteses sobre as quais se baseia
a teoria de Kirschoff deixam de ser vlidas (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991).
Quando se desenvolve uma formulao de elementos finitos para a anlise de lajes finas, o
campo de deslocamentos transversais que importa aproximar. Uma vez obtida uma soluo
aproximada para a funo de deslocamentos w, a aproximao para todas as outras grandezas
envolvidas na caracterizao do comportamento da laje pode ser obtida a partir da aplicao
sucessiva das condies de compatibilidade, elasticidade e equilbrio (ZIENKIEWICZ;
TAYLOR, 1991).
Quando se baseia a formulao de elementos finitos de laje na teoria de Kirchhoff, torna-se
necessrio garantir a continuidade dos deslocamentos transversais, w, e de suas derivadas,
entre elementos adjacentes. Esta uma diferena muito importante em relao ao problema de
placas, onde apenas se tem que garantir a continuidade dos deslocamentos interpolados
(ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991).
Para justificar de uma forma muito simplista esta imposio, recorda-se que existe uma
grande analogia entre as equaes de lajes de Kirchhoff e as equaes das vigas. Ainda,
quando se impe a continuidade dos deslocamentos entre elementos de viga adjacentes,
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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necessrio garantir no s a continuidade dos deslocamentos transversais, mas tambm a
continuidade de sua derivada, o que corresponde a assegurar a continuidade das rotaes
(ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991).
A necessidade de garantir a continuidade dos deslocamentos e das suas derivadas dificulta
significativamente a tarefa de obteno das funes para efetuar a aproximao dos campos
cinemticos. Torna-se bastante complexa e trabalhosa a obteno de elementos que permitam
verificar por completo as equaes de compatibilidade. A utilizao de funes polinomiais
simples e a utilizao dos deslocamentos nodais como incgnitas do problema (situao tpica
dos elementos finitos de placa) conduz, regra geral, obteno de elementos em que pelo
menos uma das condies de compatibilidade/continuidade violada (ZIENKIEWICZ;
TAYLOR, 1991).
Este dilema coloca-se com frequncia a quem pretende desenvolver elementos de lajes finas.
Se por um lado as construes mais simples no permitem verificar todas as condies de
compatibilidade, os elementos que permitem satisfazer todos aqueles requisitos so mais
complexos, o seu desenvolvimento muito mais trabalhoso e por vezes a sua aplicao bem
mais restrita (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1991).
Apesar de possibilitar a anlise de estruturas de praticamente qualquer geometria, este mtodo
ainda tem a sua utilizao restrita devido dificuldade de interpretao e de utilizao dos
resultados por ele obtidos. Ainda, requer ferramentas computacionais compatveis com a
utilizao do mtodo e experincia para a total confiana na entrada de dados dos modelos
numricos.
4.3.2 Aplicao Computacional
Por tratar-se de um mtodo numrico, valeu-se de dois softwares como ferramenta de apoio,
sendo eles o STRAP 12.5 e o SAP 2000. Ambos os programas permitem a discretizao da
estrutura em elementos de barra, placa ou slidos. Para a execuo deste estudo foram
utilizados elementos de placa nos quais podem ser aplicados cargas de presso uniforme,
presso varivel, temperatura e peso prprio. Ainda, podem ser definidas cargas de rea a
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serem decompostas nos ns ou nos elementos de barras ou planos adjacentes selecionados,
simulando assim o comportamento combinado de uma laje e de suas vigas de apoio.
4.4 EXEMPLO COMPARATIVO
Silva e Horowitz (2008, p. 206) propuseram a anlise de uma laje com lx=5 m e ly=3,6 m
submetida a uma carga uniformemente distribuda de 6,0 kN/m para os trs processos de
clculo estudados neste trabalho, a Teoria Simplificada de Marcus, o Mtodo de Analogia s
Grelhas e o Mtodo dos Elementos Finitos, e compararam os resultados obtidos por cada um
deles.
O quadro 1 apresenta os momentos fletores positivos e negativos para o dimensionamento das
armaes da laje analisada para cada um dos diferentes processos, bem como as respectivas
cargas de colapso, enquanto o quadro 2 apresenta os momentos equilibrantes totais para as
duas direes do painel citado acima (SILVA; HOROWITZ, 2008, p. 206).
Quadro 1: momentos fletores e cargas de colapso para uma laje com lx=5 m e
ly=3,6 m (SILVA; HOROWITZ, 2008)
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Quadro 2: momentos equilibrantes totais de uma laje com lx=5m e ly=3,6m
(SILVA; HOROWITZ, 2008)
Conforme Silva e Horowitz (2008, p. 206), observa-se do quadro 2 que a relao mais
desfavorvel entre o momento resistente e o momento equilibrante corresponde ao mtodo da
Teoria Simplificada de Marcus, com subdimensionamento de 16%. Os autores afirmam que,
do ponto de vista da segurana, o processo de dimensionamento da laje com a utilizao da
Teoria Simplificada de Marcus no apresenta necessariamente colapso, uma vez que este
subdimensionamento coberto pelos valores dos coeficientes de segurana e pelo
superdimensionamento das armaduras dispostas no menor vo. Entretanto, no justificvel
do ponto de vista econmico o superdimensionamento de um dos vos de lajes para garantir a
sua estabilidade.
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5 AJUSTE DOS MODELOS COMPUTACIONAIS
Devido necessidade de utilizao de softwares para a realizao deste trabalho, foi
necessrio calibrar os modelos computacionais, ajustando parmetros que influenciam
diretamente nos resultados obtidos por cada mtodo.
Para os modelos relativos obteno dos esforos pelo mtodo de analogia s grelhas, viu-se
necessrio adequar a rigidez flexo, a rigidez toro e a rea de influncia das barras que
formam a grelha.
Para a utilizao do mtodo dos elementos finitos, estudou-se o grau de refinamento da malha
de elementos necessrio para que os resultados obtidos fossem considerados convergentes e,
portanto, satisfatrios.
Os resultados obtidos pelas grelhas propostas, bem como pelas malhas de elementos finitos,
foram comparados com a soluo analtica geral de placas para deflexo e momentos, que
esto apresentadas nas equaes 1 a 4 (THIMOSHENKO; WOINOWSKY, 1959).
b
yn
a
xm
bmannmD
baqw
m n
sensen
116
1 12
22226
440 (equao 1)
b
yn
a
xm
bmannm
nambbaqM
m n
x
sensen
16
1 12
2222
2222
4
220 (equao 2)
b
yn
a
xm
bmannm
mbnabaqM
m n
y
sensen
16
1 12
2222
2222
4
220 (equao 3)
-
__________________________________________________________________________________________
Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
37
b
yn
a
xm
bman
baqM
m n
xy
coscos
1161
1 12
22222
330 (equao 4)
Onde:
w = deflexo na placa [m];
a e b = dimenses da placa [m];
x e y = coordenadas do sistema [m];
D = rigidez flexo de uma placa [m4];
q0 = taxa de carga aplicada na placa [N/m];
Mx = momento fletor na direo x [N.m/m];
My = momento fletor na direo y [N.m/m];
Mxy = momento toror [N.m/m].
Os modelos de calibrao foram comparados a uma laje de dimenses 4,00 x 4,00 x 0,10
metros, sobre a qual foi aplicada uma carga q0 de 700 kgf/m. Dada a resoluo das equaes
acima, esta laje apresenta para um coeficiente de Poison igual a 0,3 e um mdulo de
elasticidade igual a 28x109 Pa, um momento Mmax = 540,22 kgf.m/m e uma deflexo wmax = -
2,84.10- m (ROSA, 2008, p.44).
5.1 REFINAMENTO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS
Foram testadas e comparadas 3 malhas com diferentes graus de refinamento, sendo elas com
elementos quadrangulares dos seguintes tamanhos:
a) 50 x 50 cm;
b) 25 x 25 cm;
c) 10 x 10 cm.
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As propriedades dos elementos utilizados nas malhas de calibrao so idnticas s utilizadas
na resoluo das expresses da Teoria Geral de Placas, ou seja, coeficiente de Poisson 0,3 e
mdulo de elasticidade correspondente a 28x109 Pa.
Figura 3: malha 50 x 50 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] (STRAP, 2009)1
Apesar de fornecer um valor de momento mximo coerente com aquele obtido pela resoluo
das equaes gerais de uma placa submetida flexo, a primeira malha (50 x 50 cm)
apresentou uma distribuio de momentos descontnua e com incoerncias na regio dos seus
cantos conforme ilustra a figura 3.
1 O software STRAP 12.5 trabalha com a conveno de sinais relativos s tenses de compresso e de trao
inversas ao usual. Portanto, tanto os mapas de contorno de momentos quanto os diagramas de momentos de
barras apresentam momentos negativos para tenses de trao na fibra mais inferior do elemento,
inversamente ao usual no Brasil.
-
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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A malha composta por elementos de 25 x 25 cm, por sua vez, apresentou resultados bastante
satisfatrios no que diz respeito distribuio dos momentos fletores ao longo da laje. Ainda,
possvel observar a convergncia dos momentos ao longo dos apoios para o valor zero,
conforme esperado para uma laje simplesmente apoiada em seus quatro bordos. A figura 4
mostra a distribuio de momentos na direo x para a malha de elementos de 25 x 25 cm.
Figura 4: malha 25 x 25 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] (STRAP, 2009)
A utilizao de uma malha de elementos com dimenses de 10 x 10 cm permite uma
visualizao ainda mais uniforme da distribuio dos momentos na placa, conforme mostra a
figura 5. Entretanto, vale ressaltar que quanto melhor for o refinamento da malha de
elementos finitos, maior ser o tempo de clculo do modelo numrico, o que pode inviabilizar
a utilizao do mtodo na ausncia de um processador compatvel.
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Figura 5: malha 10 x 10 cm. Momentos na direo x [kgf.m/m] (STRAP, 2009)
A malha de 10 x 10 cm foi tambm discretizada no software SAP 2000, obtendo-se resultados
muito prximos aos obtidos pelo software STRAP, conforme ilustra a figura 6. Desta forma,
os modelos gerados no STRAP foram considerados suficientes para a comparao de
resultados subsequente.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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Figura 6: malha 10 x 10 cm no software SAP2000. Momentos na direo x
[kgf.m/m]
O quadro 3 mostra a convergncia dos momentos no vo e no apoio conforme o refinamento
da malha de elementos finitos, bem como as deformaes mximas encontradas com a
utilizao de cada malha. Por tratar-se da anlise de uma laje simplesmente apoiada em seus
quatro bordos, espera-se que os momentos no apoio sejam iguais a zero.
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Quadro 3: comparativo de malhas de elementos finitos
Conforme citado anteriormente, o material do modelo de calibrao utilizado nos clculo
anteriores possui um coeficiente de Poisson igual a 0,3 e um mdulo de elasticidade igual a
28x109 Pa, e foi utilizado de modo a salientar a convergncia dos resultados obtidos atravs
do mtodo dos Elementos Finitos para a soluo exata do problema, obtida atravs da soluo
da Teoria Geral de Placas.
Desta forma, deste ponto em diante, os modelos em elementos finitos utilizados no trabalho
sero efetuados com malhas de elementos quadrangulares de 10 cm de lado, e os resultados
obtidos sero considerados convergentes. Ainda, o mdulo de elasticidade do concreto
utilizado nos modelos subsequentes de 23,8x109 Pa, com coeficiente de Poisson igual a 0,2,
uma vez que estes valores so mais coerentes para estruturas em concreto armado.
Para o exemplo de laje quadrangular acima com essas propriedades de material, obtm-se um
valor de momento Mmax = 495 kgf.m/m e uma deflexo wmax = -3,52.10- m
5.2 GEOMETRIA E RIGIDEZ DAS GRELHAS
Para a determinao da geometria de grelha a ser utilizada, primeiro viu-se necessrio
estabelecer critrios de atribuio de rigidez flexo Ixx e de rigidez toro J para as barras
da grelha. O momento de inrcia flexo calculado com as dimenses da seo transversal
da faixa de influncia de cada barra da grelha, conforme a frmula 2:
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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12
3bhI xx (frmula 2)
Onde:
Ixx = momento de inrcia flexo [m4];
b e h = dimenses da seo transversal da faixa de influncia da barra [m].
Para definir a rigidez toro das barras da grelha, testaram-se diferentes relaes J/Ixx com o
intuito de definir a proporo a ser adotada para os modelos subsequentes. As relaes
propostas no quadro 3 foram utilizadas em grelhas com espaamento de 10 x 10 cm, de 25 x
25 cm e de 50 x 50 cm, respectivamente.
Quadro 4: momento fletor Mx de acordo com a relao J/Ixx e com o espaamento da grelha
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Quadro 5: deformao de acordo com a relao J/Ixx e com o espaamento da grelha
Observa-se que no foi possvel encontrar uma situao de convergncia do resultado para a
soluo atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. Os resultados que mais se aproximaram da
soluo atravs da resoluo da equao de placas foram aqueles obtidos com a relao J/Ixx
igual a 2,3 para uma grelha de espaamento 25 cm e com a relao J/Ixx igual a 3,5 para uma
grelha de espaamento 50 cm.
Para o estudo das lajes propostas sero utilizadas grelhas de 25 cm com relao J/Ixx igual a
2,3, uma vez que esta apresentou a menor variao de resultados quando aplicada a diferentes
espaamentos.
importante ressaltar que esta relao adequou-se resoluo desta geometria de laje apenas,
de forma que a qualidade dos resultados obtidos com a aplicao desta mesma relao J/Ixx
para diferentes lajes ser estudada a seguir.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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6 OBTENO DAS SOLICITAES
Para o estudo comparativo foram escolhidas quatro configuraes de lajes, diferenciadas entre
si pelas suas dimenses ou pelas suas condies de apoio. Cada uma das lajes foi calculada de
acordo com as calibraes feitas no captulo anterior, de forma que as grelhas utilizadas tm
espaamento de 25 x 25 cm e suas barras com rigidez toro obedecendo proporo J/Ixx
igual a 2,3. As malhas de elementos finitos aplicadas possuem elementos quadrangulares de
10 x 10 cm, e os resultados apresentados so aqueles obtidos com o auxlio do software
STRAP para ambos os mtodos.
Todas as lajes foram carregadas com uma carga total de 500 kgf/m, sendo considerados 250
kgf/m a carga correspondente ao peso prprio de uma laje de 10 cm de espessura, e 250
kgf/m a sobrecarga de utilizao. Como o foco do trabalho a variao do momento
resultante por cada mtodo, e no o dimensionamento dos elementos em questo, foram
analisados apenas os momentos mximos obtidos por cada mtodo de clculo.
6.1 LAJE QUADRADA SIMPLESMENTE APOIADA
O primeiro caso a ser analisado neste trabalho o de uma laje quadrada simplesmente apoiada
ao longo do seu contorno, com dimenses 5,00 x 5,00 x 0,10 m, ilustrada na figura 7.
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Figura 7: laje 1 - dimenses 5,00 x 5,00 x 0,10 m
6.1.1 Laje 1: Soluo pela Teoria Simplificada de Marcus
Para se obter a soluo desta laje pela Teoria Simplificada de Marcus, faz-se a relao entre
os vos ly e lx da laje, sendo ambos iguais a 5 m neste caso, resultando em uma relao ly/lx=
1. Para uma laje simplesmente apoiada com esta relao entre vos, a figura 2 fornece o valor
de = 4,23 para os momentos em ambas as direes.
Utilizando a frmula 1 com lx = 5 m e p = 500 kgf/m, tem-se os momentos mximos no
centro dos vos com valores conforme o quadro 6.
Quadro 6: momentos na laje 1 pela Teoria de Marcus
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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6.1.2 Laje 1: Soluo por Analogia s Grelhas
A figura 8 mostra a representao da laje 1 como uma grelha de barras equivalente, espaadas
a cada 25 cm conforme proposto anteriormente.
Figura 8: grelha representativa da laje 1
Como a laje quadrada, suas condies de apoio so as mesmas nos quatro lados e a carga
uniformemente distribuda por rea de influncia de cada barra, os diagramas de momentos
fletores nas barras centrais das direes x e y so idnticos e esto representados na figura 9.
Figura 9: diagrama de momento fletor nas barras centrais da grelha em ambas as
direes [kgf.m]
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O momento fletor mximo observado na barra de 134 kgf.m para uma rea de influncia de
25 cm. Desta forma, para se obter o momento fletor mximo por faixa, tem-se 134/0.25, o que
resulta em 536 kgf.m/m para ambas as direes (x e y). Ainda, a flecha observada no centro
do vo para a grelha com a relao J/Ixx igual a 2,3 de -0,769 cm. Estes valores esto
apresentados no quadro 7.
Quadro 7: momentos na laje 1 por Analogia s Grelhas
6.1.3 Laje 1: Soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos
Conforme proposto no captulo 5, foram utilizadas malhas de 10x10 cm para o clculo das
lajes atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. O mapa de contorno descrito na figura 10
mostra a distribuio dos momentos na direo x da laje 1. Analogamente soluo pelos
mtodos anteriores, a distribuio dos momentos em ambas as direes idntica, devido
geometria da laje e s suas condies de apoio.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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Figura 10: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 1 [kgf.m/m]
(STRAP, 2009)
O momento mximo encontrado em ambas as direes igual a 552 kgf.m no centro do vo
da laje, ponto este em que a deformao encontrada de -0,614 cm. Estes valores esto
apresentados no quadro 8 a seguir.
Quadro 8: momentos na laje 1 por Elementos Finitos
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6.2 LAJE RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA
A segunda laje a ser analisada, tambm simplesmente apoiada em seu contorno, tem
dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m, e est ilustrada na figura 11.
Figura 11: laje 2 - dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m
6.2.1 Laje 2: Soluo pela Teoria Simplificada de Marcus
Para uma laje retangular com esta configurao tem-se a relao ly/lx = 1,5. Para tal relao
entre os vos de uma laje simplesmente apoiada em seus quatro bordos, a figura 2 fornece
valores de x e de y iguais a 7,72 e 3,89 respectivamente. Com p = 500 kgf/m e lx = 4 m, a
frmula 1 permite obter os valores dos momentos mximos na laje conforme o quadro 9.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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Quadro 9: momentos na laje 2 pela Teoria de Marcus
6.2.2 Laje 2: Soluo por Analogia s Grelhas
Para o clculo da laje 2 por Analogia s Grelhas, utilizou-se a grelha representada na figura
12, com elementos de barra espaados a cada 25 cm. Desta forma, a laje foi dividida em 16
faixas na direo y e em 24 faixas na direo x.
Figura 12: grelha representativa da laje 2
As figuras 13 e 14 mostram os diagramas de momentos fletores nas barras mais solicitadas
nas direes x e y, respectivamente. Observa-se que as calibraes de rigidez flexo e
toro propostas provocam descontinuidades no grfico dos momentos na direo y. Ainda,
observa-se que o momento mximo na direo y no acontece no meio do vo conforme
esperado, concluindo-se que a calibrao de rigidez adequada para uma laje quadrada no ,
necessariamente, adequada para lajes retangulares.
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Entretanto, do ponto de vista esttico, o mtodo apresenta resultados coerentes para
dimensionamento, visto que os momentos mximos obtidos para cada direo so:
a) Mx = 167 kgf.m ou, por rea de influncia da barra, Mx = 668 kgf.m/m;
b) My = 77,3 kgf.m ou, por rea de influncia da barra, My = 309,2 kgf.m/m;
Figura 13: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo x
[kgf.m]
Figura 14: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo y
[kgf.m]
O quadro 10 sintetiza os momentos mximos encontrados em cada direo, bem como a
deformao mxima encontrada pelo mtodo.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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Quadro 10: momentos na laje 2 por Analogia s Grelhas
6.2.3 Laje 2: Soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos
Assim como no exemplo anterior, adotou-se uma malha de elementos de 10 x 10 cm, nos
quais se aplicou uma carga distribuda de 500 kgf.m/m. O mapa de contorno ilustrado na
figura 15 mostra a distribuio dos momentos na direo x da laje 2. O valor mximo
encontra-se no centro do vo da laje, igual a 626 kgf.m/m.
Figura 15: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 2 [kgf.m/m]
(STRAP, 2009)
A figura 16, por sua vez, mostra a distribuio dos momentos na direo y da laje 2. O valor
mximo encontra-se no centro do vo da laje, igual a 340 kgf.m/m.
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Figura 16: mapa de contorno dos momentos na direo y da laje 2 [kgf.m/m]
(STRAP, 2009)
O quadro 11 a seguir mostra os valores de momentos mximos obtidos para cada direo,
bem como a deformao encontrada com a utilizao do mtodo.
Quadro 11: momentos na laje 2 por Elementos Finitos
Apesar do vo x ter comprimento menor do que o vo y, coerente que os momentos sejam
maiores na direo do menor vo para lajes retangulares, uma vez que a laje tende a distribuir
suas solicitaes para os apoios mais prximos. Em lajes em que a relao ly/lx for maior ou
igual a 2, a bibliografia aconselha que a laje seja armada em apenas uma direo, uma vez que
as cargas sero distribudas para os apoios paralelos ao vo maior.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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6.3 LAJE QUADRADA COM DOIS BORDOS ENGASTADOS
O terceiro caso a ser analisado trata de uma laje quadrada com dimenses de 5,00 x 5,00 x
0,10 m, na qual dois bordos perpendiculares entre si so considerados engastados, conforme
figura 17.
Figura 17: laje 3 - dimenses 5,00 x 5,00 x 0,10 m
6.3.1 Laje 3: Soluo pela Teoria Simplificada de Marcus
Para uma laje quadrada com esta configurao de apoios e com relao ly/lx igual a 1, obtm-
se os valores do coeficiente conforme a figura 2. Os momentos positivos e negativos
mximos so representados no quadro 12.
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Quadro 12: momentos na laje 3 pela Teoria de Marcus
6.3.2 Laje 3: Soluo por Analogia s Grelhas
A figura 18 mostra a grelha utilizada no clculo da laje pelo mtodo de Analogia s Grelhas.
Assim como na laje 1, os diagramas de momentos em ambas as direes so idnticos.
Analisando a figura 19 possvel observar que a calibrao proposta no captulo 5 parece
adequada para esta configurao, devido uniformidade do grfico de momentos e a seus
valores coerentes. Os momentos negativos nos engastes valem, nas duas direes, -227 kgf.m
ou, por rea de influncia, -908 kgf.m/m. Os momentos positivos, por sua vez, valem 90
kgf.m, ou 360 kgf.m/m.
Figura 18: grelha representativa da laje 3
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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Figura 19: diagrama de momento fletor na barra central da grelha em ambas as
direes [kgf.m]
Era esperado que a calibrao proposta fosse adequada para esta configurao de laje visto
que se trata de uma laje quadrada de dimenses pouco maiores do que aquelas utilizadas no
modelo de calibrao, o que no acontece com as lajes retangulares estudadas. O quadro 13
sintetiza os resultados obtidos pelo mtodo.
Quadro 13: momentos na laje 3 por Analogia s Grelhas
6.3.3 Laje 3: Soluo pelo Mtodo dos Elementos Finitos
O mapa de contorno descrito na figura 20 mostra a distribuio dos momentos na direo x da
laje 3. O momento negativo mnimo encontrado na borda com engaste de -867 kgf.m/m, ao
passo que o momento positivo mximo de 380 kgf.m/m.
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Figura 20: mapa de contorno dos momentos na direo x da laje 3 [kgf.m/m]
(STRAP, 2009)
Conforme esperado para uma laje quadrada com configurao de apoios simtrica em relao
a sua diagonal, o mapa de contorno da figura 21 apresenta a mesma distribuio de momentos
na direo y que o mapa apresentado para a direo x.
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Figura 21: mapa de contorno dos momentos na direo y da laje 3 [kgf.m/m]
(STRAP, 2009)
O quadro 14 apresenta os resultados obtidos atravs da utilizao do Mtodo dos Elementos
Finitos para esta configurao de laje, solicitada por uma carga de 500 kgf.m/m.
Quadro 14: momentos na laje 3 por Elementos Finitos
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6.4 LAJE RETANGULAR COM DOIS BORDOS ENGASTADOS
A prxima laje estudada tem dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m e condio de engastamento
igual da terceira laje, com dois bordos perpendiculares entre si engastados. A laje est
ilustrada na figura 22.
Figura 22: laje 4 - dimenses 4,00 x 6,00 x 0,10 m
6.4.1 Laje 4: Soluo pela Teoria Simplificada de Marcus
Para uma laje retangular com esta configurao tem-se a relao ly/lx = 1,5. Para esta relao
entre os vos de uma laje engastada em dois bordos perpendiculares, a figura 2 fornece
valores de x e de y para os momentos positivos e negativos. Com p = 500 kgf/m e lx = 4 m,
a frmula 1 permite obter os valores dos momentos mximos na laje conforme apresenta o
quadro 15.
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Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo comparativo entre mtodos de clculo
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Quadro 15: momentos na laje 4 pela Teoria de Marcus
6.4.2 Laje 4: Soluo por Analogia s Grelhas
A grelha de barras utilizada no software STRAP est ilustrada na figura 23 a seguir, enquanto
os diagramas de momentos fletores nas direes x e y seguem nas figuras 24 e 25,
respectivamente.
Figura 23: grelha representativa da laje 4
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Figura 24: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo x
[kgf.m]
Figura 25: diagrama de momento fletor na barra central da grelha na direo y
[kgf.m]
Observa-se que, mais uma vez, a calibrao proposta no parece adequada a uma
configurao de laje retangular, resultando em descontinuidades no grfico do momento na
direo do maior vo. Estas descontinuidades ocorrem devido ao erro introduzido com a
aplicao de coeficientes multiplicadores para a rigidez torcional de cada barra. Com sua
rigidez alterada, existe uma redistribuio de cargas para as barras da grelha que no reproduz
o comportamento real da estrutura.
O quadro 16 resume os valores mximos e mnimos de momentos encontrados em cada
direo, fornecendo o valor do momento fletor por barra, bem como o momento resultante da
rea de influncia de 0,25 m de cada barra da grelha.
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Quadro 16: