Elemento infinitesimo di volume in coordinate sferiche
dV = dr ⋅ r sin(θ)dϕ ⋅ r dθ
Come si misurano gli angoli?Angoli piani: Radianti
Angoli solidi: Steradianti
Elemento infinitesimo di superficie
Angolo solido infinitesimo
dV = r2 sin(θ) dθ dϕ dr
dS = r2 sin(θ) dθ dϕ
dΩ = sin(θ) dθ dϕ
Cosa è un vettore?Non una qualunque terna di numeri può essere una grandezza vettoriale
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
Somma
A =B +C
s =B ⋅C
A =B ×C
Alcuni casi notevoli
A ×A = 0
A ⋅A ×B( ) = 0
A ⋅B ×C( ) = A ×
B( ) ⋅ C
A ×
B ×C( ) = B A ⋅ C( ) − C A ⋅ B( )
Risultato è un vettore
Risultato è un vettore
Risultato è uno scalare
Integrale
A = ρ r( )V∫ dv
Due integrali particolari:
Flusso:
Circolazione:
Φ =E ⋅ n
S∫ ds
La superficie S può essere chiusa oppure aperta
Normale alla superficieCampo vettoriale
A =E ⋅dl
Γ∫
Linea chiusa
Campo vettoriale
Elemento di linea
Elemento di superficie
f (r0 + Δr
) f (r0 ) +
∇ ⋅ f r( )( )r = r0 ⋅ Δr
Come sono connessi i valori di una funzione in due punti vicini tra loro?
Gradiente
f (r0 + Δr
) f (r0 ) + df (r )dx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ r = r0
Δx +df (r )dy
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ r = r0
Δy +df (r )dz
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ r = r0
Δz
Ha la struttura di un prodotto scalare
∇ =
ddx, ddy, ddz
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Nabla
Il risultato è una grandezza vettoriale
Opera su di una funzione scalare
L’operatore differenziale nabla può essere applicato anche ad una grandezza vettoriale
Si definiscono in questo modo due operazioni
Divergenza
Rotore
∇ ⋅A =
ddx, ddy, ddz
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅A =
ddxAx +
ddyAy +
ddzAz
Il risultato è una grandezza scalare
Il risultato è una grandezza vettoriale
∇ ×A =
ddx, ddy, ddz
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟×A =
ddxAy −
ddyAx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟i + .....
A ⋅ s = s ⋅
A
∇ ⋅ s ≠ s ⋅
∇invece
Spesso nabla si comporta come una normale grandezza vettoriale
Spesso, ma non sempre
∇ ⋅A ≠A ⋅∇
∇ ×A ≠A ×∇
ugualmente:
Derivate seconde dei campi
Se il campo è un campo scalare:
Se il campo è un campo vettoriale:
∇ ⋅∇Τ( )
∇ ×
∇Τ( )
Divergenza di un gradiente
Rotore di un gradiente
∇ ×
∇ ×A( )
∇ ⋅∇ ×A( )
∇∇ ⋅A( )
Rotore di un rotore
Divergenza di un rotore
Gradiente di una divergenza
∇ ⋅∇ ×A( ) = 0
∇ ×
∇Τ( ) = 0
Valgono le:
Si può mostrare che valgono pure le inverse
Se allora
∇ ×A = 0
A =∇T
∇ ⋅A = 0
A =∇ ×B
∇Φ ×
∇Ψ ≠ 0Notare tuttavia, ad esempio, che:
Divergenza di un gradiente
Rotore di un rotore
∇ ⋅∇Τ( )
∇ ×
∇ ×A( )
∇ ⋅∇Τ( ) = d 2
dx2T +
d 2
dy2T +
d 2
dz2T = ∇2T Associa ad uno scalare una
seconda grandezza scalare
Può essere applicata anche ad una grandezza vettoriale
∇2 A = ∇2Ax ,∇
2Ay ,∇2Az( )
∇ ×
∇ ×A( ) = ∇ ⋅
∇ ⋅A( ) − ∇2 A
Tre teoremi
1) Dato un campo scalare ‘s’, la differenza tra i valori assunti
dal campo in due punti qualsiasi può essere espressa
come:
s(β) − s(α ) =∇s( )
Γ
α→β
∫ ⋅dl
2) Teorema di Gauss
3) Teorema di Stokes
A ⋅ n ds
S∫ =
∇ ⋅A dv
V∫
A ⋅dl
Γ∫ =
∇ ×A( ) ⋅ n ds
S∫
Convenzione della regola della mano destra