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5.10.- Tren de Engranes Planetarios
La sección previa fue concerniente con trenes de engranes ordinarios, esto es, trenes
en la cual cada engrane rota con respecto al centro que está fijo a la tierra.
Trenes de engranes ordinarios tienen un grado de libertad.
En contraste a un tren ordinario, un tren de engranes planetario (epicíclico)
puede suministrar 2 grados de libertad. Esto se hace liberando uno de los centros
de engranes en la figura 7.18a.
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De la figura 7.18b, el engrane 3 es llamado engrane planeta, porque su centro no
está fijo a la tierra. En vez de esto, el engrane orbita semejante a la tierra
alrededor del sol. El engrane 2 es llamado engrane sol, porque su centro está fijo a
la tierra y es orbitado por el planeta.
Engranes planetas, tales como 3 giran sobre un eje que está fijo a un brazo giratorio,
también llamado carrier o araña.
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5.11.- Velocidad Angular de Engranes Planetarios
1.- Cuerpo 2 respecto a la tierra 21 .
1 2
21
Los trenes de engranes
planetarios tienen los siguientes
giros:
2.- Cuerpo 4 respecto a la tierra 41 .
3.- Cuerpo 3 respecto a la tierra 31 .
4.- Cuerpo 3 respecto al brazo 34 .
4 41
3
31
34
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1.- Cuerpo 2 respecto a la tierra 21 .
1 2
21
También los trenes de engranes
planetarios tienen las siguientes
velocidades angulares:
2.- Cuerpo 4 respecto a la tierra 41 .
3.- Cuerpo 3 respecto a la tierra 31 .
4.- Cuerpo 3 respecto al brazo 34 .
4 41
3
31
34 34
41
31
21
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21
Como los trenes de engranes
planetarios tienen 2 grados de
libertad, podemos dar 21 y 41 ,
y calcular 31 y 34 .
41
31
34
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31 : Rotación del Planeta con Respecto a la Tierra
41
B VB
r4
r2
r3
= 41 ( r2 + r3 )
nota: El cuerpo 2 se fija a
la tierra para simplificar
los cálculos, así, 21 = 0 .
= 41 r4
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Igualando:
31 r3 = 41 ( r2 + r3 )
r
rr 41
3
3231
(1)
VB = 41 ( r2 + r3 )
31
B VB = 31 r3
r3
También:
A
CIR
centro instantáneo de rotación
Se tiene entonces:
41
3
231 1
r
r
VB = 31 r3
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34 : Rotación del Planeta con Respecto al Brazo
La longitud del arco
A-A’ es igual a:
L1 = 41 r2
41 r2
A
A’
L1
L1
A
r3 34
El punto A viaja la
misma distancia en
el engrane 3:
L1 = 34 r3
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41 r2
A
A’
L1
L1
A
r3 34
derivando respecto al
tiempo:
34 r3 = 41 r2
Tenemos:
L1 = 41 r2
L1 = 34 r3
Igualando :
34 r3 = 41 r2
41
3
234
r
r
(2)
Despejando 34 :
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El paso diametral es el número de dientes del engrane por
diámetro de paso ( radio de los círculo de paso):
D
NP
Para que dos engranes se acoplen, deben tener el mismo paso
diametral , así:
3
3
2
2
r2
N
r2
NP
3
2
3
2
r
r
N
N
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Se escribe ecuaciones (1) y (2) en función del número de
dientes:
41
3
231 1
r
r
41
3
234
r
r
(3)
(4)
Relaciones entre las dos Velocidades Angulares
De (4) tenemos:
3
2
41
34
N
N
Sustituyendo en (3):
41
41
34
31 1
41
3
2 1N
N
41
3
2
N
N
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344131
41
41
34
31 1
La ecuación (5) declara que la velocidad del engrane 3 es
igual a la velocidad del brazo 4, mas la velocidad de 3
respecto a 4.
(5)
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5.12.- El Método de la Fórmula
El tren de engranes planetario es la configuración más
simple posible: un engrane sol, un engrane planeta y un
brazo.
Desafortunadamente, trenes útiles son raramente simples. En
general, un tren de engranes planetarios empleará más de
tres engranes y el análisis será más complicado.
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Se derivará una fórmula de razón de engranes para trenes
simples y se extenderá para trenes de engranes más reales.
344131 (5)
De manera similar se puede escribir:
244121
De la ecuación (5) se tiene:
Despejando 34 y 24 :
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413134
412124
La razón entre 34 y 24 se calcula como:
4121
4131
24
34
Ec. (6) es la razón entre 3 y 2 medidos desde cuerpo 4 que
se considera en ese momento como fijo ( tierra ). Esto es una
inversión cinemática y se puede ver que la razón de 34 a 24
es la misma como la razón de trenes de engranes ordinarios
de 3 a 2 . Usando :
(6)
Despejando 34 y 24 :
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impulsados engranes de dientes de número de Producto
impulsores engranes de dientes de número de Producto
F
L
La ecuación (6) se escribe como:
3
2
24
34
N
N
El signo menos indica que los engranes rotan en sentido
opuesto.Este signo se determina viendo como giran los cuerpos.
(7)
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Igualando (6) y (7) para la razón de velocidad se tiene:
3
2
4121
4131
24
34
N
N
Una expresión más general es:
impulsadosengraneslosddientesdenúmerodeloductoPr
impulsoresengraneslosddientesdenúmerodeloductoPr
AF
AL
FA
LA
e
e
L = last F = firts A = arm
LA .- velocidad angular del último engrane relativo al brazo
FA .- velocidad angular del primer engrane relativo al brazo
L .- velocidad angular absoluta del último engrane
F .- velocidad angular absoluta del primer engrane
A .- velocidad angular absoluta del brazo
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Ejemplo1. Determine la razón del tren para el tren epicíclico
mostrado, siendo el brazo la entrada con una velocidad de 1 rpm y
el sol la salida. El engrane corona se mantiene estacionario. Sol. 3
Ejemplos de Trenes de Engranes Planetarios
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Ejemplo 2. La figura muestra un engranaje planetario del tipo
compuesto, considerando los siguientes datos, encontrar la
variable representada por el signo de interrogación. N2 = 30, N3
= 25, N4 = 45, N5 = 50, N6 = 200, ω2 = ?, ω6 = 20, ωbrazo = -
50. ω en rpm y N es número de dientes. Sol. 790 rpm
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Ejemplo 4. La figura muestra un engranaje planetario utilizado
en una caja diferencial trasera de auto. El vehiculo tiene ruedas
con radio de rodamiento de 15 in y corre hacia adelante en línea
recta a 50 mph. El motor gira a 2 000 rpm. La caja de
transmisión esta en marcha directa (1:1) con el eje de
transmisisón principal. A) cual es la velocidad en rpm delas
ruedas traseras y la relación de velocidad entre el engrane anular
y el piñón. Sol. 560.2 rpm y 3.57 a 1.