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Unidade 2 Resoluo Numrica de Sistemas Lineares
2.1 Definies
Um sistema linear, com m equaes e n variveis, escrito usualmente na forma:
{
11 121 1
1 1
++
+
12 222 2
2 2
++
+
++
+
1 2
====
12
onde
a i j : coeficientes 1 i m, 1 j n
x j : variveis j = 1, ..., n
b i : constantes i = 1, ..., m
-
64
A resoluo de um sistema linear consiste na determinao dos valores de xj, (j = 1, ... , n), caso
eles existam, que satisfaam as m equaes SIMULTANEAMENTE.
Usando notao matricial, o sistema linear pode ser assim representado:
A x = b
onde
= [
11 12 121 22 2 1 2
] a matriz dos coeficientes,
= [
12
] o vetor das variveis e = [
12
] o vetor das constantes
Chamaremos de x* o vetor soluo e de , uma soluo aproximada do sistema linear A x = b.
Nesta unidade apresentaremos mtodos numricos para a resoluo de sistemas lineares n x n.
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65
Classificao Quanto ao Nmero de Solues
Um sistema linear pode ser classificado quanto ao nmero de solues em:
Compatvel
Determinado Uma nica soluo
Indeterminado Infinitas solues
Incompatvel No apresenta soluo
Um sistema dito homogneo quando o vetor das constantes nulo (bi = 0 , i = 1, 2, ..., n).
Todo sistema homogneo compatvel, pois admite sempre a soluo xi = 0 , i = 1, 2, ..., n, ou
seja, o vetor x = 0 sempre soluo.
Esta soluo chamada de trivial.
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66
Exemplo 1
O sistema:
1
0
21
21
xx
xx
incompatvel.
Exemplo 2
O sistema homogneo:
0
0
21
211
xx
xxS determinado,
enquanto que
022
0
21
212
xx
xxS indeterminado.
-
67
- Sistemas Triangulares
Seja um sistema Sn , com equao matricial A x = b ,onde a matriz A = (a i j) tal que:
Se a i j = 0 para j i; i, j = 1 , 2 , ... , n , tem-se um sistema triangular superior.
{
11 10
0
++
+
12 222 20
++
+
++
+
1 2
====
12
(Todos os elementos abaixo da diagonal principal so iguais a zero)
Se a i j = 0 para j i; i, j = 1 , 2 , ... , n, tem-se um sistema triangular inferior:
{
11 121 1
1 1
++
+
022 2
2 2
++
+
++
+
00
====
12
(Todos os elementos acima da diagonal principal so iguais a zero)
Os sistemas triangulares determinados, isto , quando a i j 0, i = j = 1, 2, ..., n, so facilmente resolvidos por substituio retroativa ou progressiva (sucessiva).
-
68
Exemplo 3
Calcular a soluo para o sistema triangular inferior usando as substituies sucessivas:
[
2 031
1
564
008
3
0009
] [
1234
] = [
41486
]
Soluo
2 1 = 4 , 1 =4
2 1 = 2
3 1 + 5 2 = 1 , 2 =1 + [3 (2)]
5 2 = 1
1 6 2 + 8 3 = 48 , 3 =48 + [(2) + 6 (1)]
8 3 = 5
1 + 4 2 3 3 + 9 4 = 6 , 4 =6 + [(2) 4 (1) + 3 (5)]
9 3 = 3
Consequentemente, a soluo desse sistema triangular inferior = [2 1 5 3]
{observar que a operao de clculo da varivel de uma linha obedece a um procedimento recorrente:
termo independente menos uma soma de parcelas dos termos restante da linha (entre colchetes)}
-
69
Exemplo 4
Calcular a soluo para o sistema triangular superior usando as substituies retroativas:
[
5 2000
300
6740
1452
] [
1234
] = [
12288
]
Soluo
2 4 = 8 , 4 =8
2 4 = 4
4 3 + 5 4 = 28 , 3 =28 + [5 (4)]
4 3 = 2
3 2 + 7 3 4 4 = 2 , 2 =2 + [7 (2) + 4 (4)]
3 2 = 0
5 1 2 2 + 6 3 + 4 = 1 , 1 =1 + [2 (0) 6 (2) (4)]
5 1 = 3
Consequentemente, a soluo desse sistema triangular superior = [3 0 2 4]
{observar que a operao de clculo da varivel de uma linha obedece a um procedimento recorrente:
termo independente menos uma soma de parcelas dos termos restante da linha (entre colchetes)}
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70
A resoluo do sistema do Exemplo 4 pode ser feita utilizando a recorrncia (retroativa) do
algoritmo abaixo:
Algoritmo {Substituicoes Retroativas}
{Objetivo: Resolver o sistema triangular superior A x = b}
{por meio de substituies retroativas}
{Parmetros de entrada: n, A, b}
{Ordem, matriz triangular superior, vetor independente}
{Parmetros de sada: x}
{soluo da etapa clculos necessrios do sistema triangular superior}
x(n) b(n) / A(n , n)
para I n 1 at 1 passo 1 faa
Soma 0
para J I + 1 at n faa
Soma Soma + A(I , J) * x(J) fim para
x(I) (b(I) Soma) / A(I , I) fim para
Fim algoritmo
-
71
A resoluo do sistema do Exemplo 3 pode ser feita utilizando a recorrncia (progressiva) do algoritmo
abaixo:
Algoritmo {Substituicoes Sucessivas}
{Objetivo: Resolver o sistema triangular inferior A x = b}
{pelas substituies sucessivas}
{Parmetros de entrada: n, A, b}
{Ordem, matriz triangular inferior e vetor independente}
{Parmetros de sada: x}
{soluo da etapa clculos necessrios do sistema triangular inferior}
x(1) b(1) / A(1,1)
para I 2 at n faa
Soma 0
para J 1 at I 1 faa
Soma Soma + A(I , J) * x(J) fim para
x(I) (b(I) Soma)/A(I , I) fim para
Fim algoritmo
-
72
- Complexidade computacional
A Tabela 2.1 mostra a complexidade computacional do algoritmo "substituies sucessivas".
O clculo do nmero de operaes est baseado na expresso =1 = (+1)
2 aplicada aos
nmeros de operaes de adio, multiplicao e diviso do algoritmo e calculados em funo da ordem
n do sistema linear.
Tabela 2.1 Complexidade do algoritmo de substituies sucessivas para um sistema de ordem n.
Operaes Complexidade
adies 1
2 2 +
1
2 1
multiplicaes 1
2 2
1
2
divises
-
73
De modo similar, a complexidade computacional do algoritmo de "substituies retroativas" est
mostrado na Tabela 2.2 e so idnticos queles mostrados na Tabela 2.1.
Tabela 2.2 Complexidade do algoritmo de substituies retroativas para um sistema de ordem n.
Operaes Complexidade
adies 1
2 2 +
1
2 1
multiplicaes 1
2 2
1
2
divises
-
74
Exemplo 5
Resolver o sistema triangular inferior do Exemplo 3 usando o algoritmo de substituies sucessivas.
% Os valores de entrada
N = 4
L =
2 0 03 5 01
164
83
0009
c =
41486
% produzem o resultado
X = [2 1 5 3]
-
75
Exemplo 6
Resolver o sistema triangular superior do Exemplo 4 usando o algoritmo de substituies retroativas.
% Os valores de entrada
N = 4
U =
5 2 60 3 700
00
40
1452
d =
12288
% produzem o resultado
X = [3 0 2 4]
-
76
Sistemas Equivalentes
Dois sistemas de equaes lineares so ditos equivalentes quando possuem o mesmo vetor soluo.
Por exemplo,
{2 1 + 3 21 2
= 8= 1
e {2 1 2 21 + 4 2
= 2= 9
= = [12] ~
onde o smbolo ~ significa equivalncia.
Transformaes Elementares
Denominam-se transformaes elementares s seguintes operaes sobre as equaes de um
sistema linear:
a) Trocar a ordem de duas equaes do sistema.
b) Multiplicar uma equao do sistema por uma constante no nula.
c) Adicionar duas equaes do sistema.
Dois sistemas S1 e S2 sero equivalentes se S2 puder ser obtido de S1 por meio de transformaes
elementares. Neste caso, eles possuiro as mesmas solues.
-
77
Procedimento:
a) Quando for necessrio permutar, por exemplo,
a 2a equao pela 3a de um sistema de equaes
lineares, devemos representar essa ao assim:
16224
24482
10642
24482
16224
10642
23
zyx
zyx
zyx
L
zyx
zyx
zyx
b) Quando for necessrio multiplicar a 1a
equao, por exemplo, por , devemos
representar essa ao assim:
16224
24482
532
)2
1(
16224
24482
10642 1
zyx
zyx
zyx
L
zyx
zyx
zyx
c) Quando for necessrio substituir a 2a equao,
por exemplo, pela soma dela com a 1a equao,
previamente multiplicada por 2, devemos
representar essa ao assim:
16224
14240
532
2
16224
24482
532
122
zyx
zyx
zyx
LLL
zyx
zyx
zyx
-
78
O sinal de igualdade da expresso de L2 acima no tem o significado convencional.
Est indicando a substituio a ser feita.
Pode-se verificar que os sistemas mostrados em a), b) e c) so equivalentes, pois apresentam o
mesmo conjunto soluo: x = 2, y = 3 e z = 1.
Os mtodos numricos para resoluo de um sistema linear podem ser divididos em dois grupos:
mtodos diretos e mtodos iterativos.
Mtodos diretos so aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a soluo exata
do sistema linear, caso ela exista, aps um nmero finito de operaes.
Mtodos iterativos geram uma sequncia de vetores {x(k)}, a partir de uma aproximao inicial
x(0). A soluo exata somente ser obtida com um nmero infinito de operaes.
Para certas condies, esta sequncia convergir para a soluo do sistema (x*), caso ela exista.
-
79
2.2 - Mtodos Diretos
2.2.1 Mtodo de Eliminao de Gauss
O mtodo de eliminao de Gauss consiste em transformar um sistema de equaes lineares em
um sistema triangular superior equivalente por intermdio das transformaes elementares. O nome do
mtodo foi uma homenagem a Gauss. O processo aparece no livro chins Nove Captulos sobre a arte matemtica,
escrito por volta de 250 a. C.
Com (n - 1) passos, um sistema linear A x = b transformado em um sistema triangular
equivalente U x = d o qual se resolve facilmente por substituio.
[ 11 12 1321 22 23311
322
333
1 2
3]
[ 123]
=
[ 123]
~
[ 11 12 130 22 2300
00
330
1 2
3]
[ 123]
=
[ 123]
A transformao tambm pode ser representada por = ~ = .
Assim, a soluo do sistema triangular superior = obtida pelas substituies retroativas. A exatido da soluo pode ser verificada pelo clculo do vetor resduo = , de modo que se = 0 ,
ento a soluo exata.
-
80
Exemplo 1
Resolver o sistema abaixo pelo mtodo de eliminao de Gauss e verificar a exatido da soluo.
[1 3 2
2 8 14 6 5
] [
123] = [
111529]
Soluo
- Para obtermos a matriz equivalente triangular superior, os elementos da primeira coluna abaixo da
diagonal devem ser eliminados, baseando-se no elemento da diagonal da primeira linha 11 = 1 .
Por essa razo, 11 chamado de elemento piv e a linha que o contm a linha pivotal.
- Para eliminar 21 = 2 , a primeira linha deve ser multiplicada por um fator (21) e somada
segunda linha.
Este fator tal que 21 11 + 21 = 0 21 = 21 11 = (2) 1 = 2 .
- A nova linha 2 ser 2 = (21) 1 + 2 .
Esta operao elementar deve ser efetuada nos dois lados da igualdade.
- Analogamente, para eliminar 31 = 4 , a primeira linha deve ser multiplicada por um fator (31) e
somada terceira linha, com 31 11 + 31 = 0 31 = 31 11 = 4 1 = 4 .
-
81
- A nova linha 3 ser 3 = (31) 1 + 3 .
- Aps estas duas operaes elementares, o sistema equivalente intermedirio ter os dois elementos
abaixo da diagonal iguais a zero.
[1 3 20 2 30 6 3
] [
123] = [
117
15]
- Para eliminar o elemento da segunda coluna abaixo da diagonal, deve-se usar 22 = 2 como elemento
piv e a segunda linha como pivotal.
- A segunda linha multiplicada pelo fator (32) e somada terceira linha, com:
32 22 + 32
= 0 32 = 32 22
= 6 2 = 3 .
- A nova linha 3 ser 3 = (32) 2
+ 3 , resultando no sistema triangular superior equivalente:
[1 3 20 2 30 0 12
] [
123] = [
117
36]
-
82
Esta forma de explicitar as transformaes elementares e obter um sistema equivalente triangular
superior pode ser sumarizada no seguinte dispositivo prtico:
L Multiplicador A b Operaes
123
21 = (2) 1 = 2 31 = (4) 1 = 4
1 3 2
2 8 14 6 5
11
1529
45
32 = (6) 2 = 3
0 2 30 6 3
7
15
2 1 + 24 1 + 3
6 0 0 12 36 3 4 + 5
A partir desta tabela, o sistema triangular superior equivalente composto por:
1 (primeira linha pivotal), 4 (segunda linha pivotal) e 6 (ltima linha pivotal).
- Uma vez obtido um sistema equivalente triangular superior, este pode ser resolvido pelas substituies
retroativas.
- A soluo ser: = [2 1 3]
-
83
- O vetor resduo = deve ser utilizado para verificar a exatido da soluo obtida.
= [11
1529] [
1 3 22 8 14 6 5
] [2
13] = [
000]
- Como o vetor resduo nulo, a soluo exata.
- Deve ser usado o sistema original = para calcular o resduo r e no o triangular equivalente
= .
- Desta forma, poder ser detectado um possvel erro cometido ao se obter o sistema triangular
equivalente.
-
84
Outra forma de explicitar as transformaes elementares e obter um sistema equivalente triangular
superior pode ser vista no Exemplo 2 a seguir.
Exemplo 2
3) Resolver o sistema linear
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
pelo mtodo de eliminao de Gauss.
1a etapa (eliminar todos os valores abaixo do piv a11(o) = 2)
Escreve-se a matriz aumentada do sistema acima:
bAB |1132
3344
5132
-
85
Fazendo Bo = B e chamando de L1(o), L2
(o) e L3(o) as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de Bo, escolhe-
se a11(o) como piv e calculam-se os multiplicadores:
12
2
22
4
)(11
)(31)(
31
)(11
)(21)(
21
o
oo
o
oo
a
am
a
am
Fazem-se, agora, as seguintes transformaes elementares sobre as linhas de Bo:
)1(3
)(3
)(1
)(31
)1(2
)(2
)(1
)(21
)1(1
)(1
LLLm
LLLm
LL
ooo
ooo
o
-
86
L1(1), L2
(1) e L3(1) so linhas da matriz transformada, B1.
Efetuando-se as transformaes acima indicadas tem-se:
6260
7120
5132
1B
2a etapa (eliminar todos os valores abaixo do piv a22(1) = -2)
Escolhe-se a22(1) = -2 como piv e calcula-se o multiplicador
32
6
)1(22
)1(32)1(
32
a
am
So feitas agora as seguintes transformaes elementares sobre as linhas de B1:
-
87
)2(3
)1(3
)1(2
)1(32
)2(2
)1(2
)2(1
)1(1
LLLm
LL
LL
L1(2), L2
(2) e L3(2) so linhas da matriz transformada, B2, que j est na forma triangular superior:
15500
7120
5132
2B
Que, por sua vez, a matriz aumentada do sistema triangular superior
155
72
532
3
32
321
x
xx
xxx
que equivalente ao sistema dado.
Resolvendo por substituies retroativas tem-se:
3
2
1
x que soluo para o sistema dado.
-
88
Exemplo 3
Resolver o sistema a baixo pelo mtodo de eliminao de Gauss e verificar a exatido da soluo.
[
1 6 2 43 19 4 151 4 8 125 33 9 3
] [
1234
] = [
8251872
]
Usando o dispositivo prtico, tem-se:
L Multiplicador A b Operaes
1234
21 = (3) 1 = 331 = (1) 1 = 1
41 = (5) 1 = 5
1 6 2 43 19 4 151 4 8 125 33 9 3
8251872
567
32 = (2) 1 = 2
42 = (3) 1 = 3
0 1 2 30 2 6 160 3 1 17
11032
3 1 + 2 1 + 35 1 + 4
89
43 = (5) 2 = 2,5
0 0 2 100 0 5 26
1229
2 5 + 6
3 5 + 7
10 0 0 0 1 1 2,5 8 + 9
-
89
- A partir desta tabela, o sistema triangular superior equivalente ser composto pelas linhas pivotais 1
(primeira), 5 (segunda), 8 (terceira) e 10 (ltima).
[
1 6 2 40 1 2 30 0 2 100 0 0 1
] [
1234
] = [
81121
]
- Resolvendo por substituies retroativas obtemos = [138 20 11 1]
- O resduo ser de:
= [
8251872
] [
1 6 2 43 19 4 151 4 8 125 33 9 3
] [
13820111
] = [
0000
]
indicando que a soluo exata.
-
90
Exemplo 4
Resolver pelo mtodo de Gauss retendo, durante os clculos, duas casas decimais.
3,1065,212,130,810,21
8,804,115,230,843,52
7,491,455,118,85,24
4,160,113,90,37,8
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Soluo
O sistema triangular obtido aps as transformaes :
81,166397,1662
70,38716,39566,7
95,9512,7673,1426,17
4,160,113,90,37,8
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
que, resolvido por substituies retroativas, fornece Tx 00,197,098,197,0_
-
91
- Determinando o resduo
=
isto ,
594,0
594,0
214,0
042,0
00,1
97,0
98,1
97,0
5,212,130,810,21
4,115,230,843,52
1,455,118,85,24
0,113,90,37,8
3,106
8,80
7,49
4,16
r
r
-
92
Refinamento de Solues
Ao se trabalhar com clculo aproximado, como no Exemplo 4, cometem-se erros de
arredondamento que podem se propagar, chegando mesmo a comprometer os resultados. Pode-se
minimizar a propagao de tais erros de arredondamento com o uso de tcnicas como a descrita abaixo:
Seja (0) a soluo aproximada para o sistema A x = b.
Ento, a soluo melhorada (1) obtida como se segue:
(1) = (0) + (0)
onde (0) uma parcela de correo.
Logo, se (1) = , ento:
((0) + (0)) =
(0) = (0)
(0) = (0)
-
93
Assim, para obter a parcela de correo (0) basta que se resolva o sistema linear acima, onde A
a matriz de coeficientes das incgnitas do sistema A x = b e (0) o resduo produzido pela soluo
aproximada (0).
A nova aproximao ser, ento,
(1) = (0) + (0)
Caso se queira uma melhor aproximao, resolve-se, agora, o sistema (1) = (1) , onde (1) a
parcela de correo para (1) e (1) o resduo produzido por (1).
O processo repetido at que se obtenha a preciso desejada.
-
94
Exemplo 5
Conforme foi visto no Exemplo 4, a soluo aproximada do sistema :
Tx 00,197,098,197,0_
com resduo
Tr 594,0594,0214,0042,0
Fazendo
(1) = (0) + (0) e
= (0)
O clculo da parcela feito pelo sistema
(0) = (0)
que fornece como resultado
To 000,00294,00195,00295,0)(
-
95
(1) ser, ento, (1) = (0) + (0)
(1) = [
1,0002,000
0,9991,000
] cujo resduo = [
0,0090,0110,0240,013
]
Fazendo (2) = (1) + (1) e
= (1)
tem-se outra parcela de correo fornecida pelo sistema
(1) = (1)
T0000,00007,00002,00002,0)1(
O valor melhorado de x ser:
Tx 000,1000,1000,2000,1)2(
com novo resduo Tr 0000)2(
Este valor indica que se chegou ao resultado do sistema com resduo nulo.
-
96
Estratgias de Pivoteamento
No mtodo de eliminao de Gauss necessrio o clculo dos multiplicadores em cada etapa do
processo.
O mtodo possui a restrio de o piv ser diferente de zero.
Para se contornar este problema deve-se adotar uma estratgia de pivoteamento, ou seja, adotar um
processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.
Estratgia de Pivoteamento Parcial
Esta estratgia consiste em:
a) no incio da etapa k da fase de eliminao, escolher para piv o elemento de maior mdulo entre os
coeficientes: )1( k
kia , i = k, k+1, ..., n;
b) trocar as linhas k e i se for necessrio.
A pivotao parcial garante que o piv seja no nulo, exceto quando a matriz for singular.
Outra vantagem que todos os multiplicadores satisfazem 1 1.
Multiplicadores grandes podem ampliar os erros de arredondamento.
-
97
Exemplo 6
Seja uma etapa de aplicao do mtodo de Gauss:
n = 4 e k = 2
150420
77530
63010
51123
)1()1( bA
Incio da etapa 2:
a) escolher piv: 33)1(
32)1(
24,3,2
pivaamxi
i
-
98
b) trocar linhas 2 e 3
Assim,
150420
63010
77530
51123
)1()1( bA
e os multiplicadores desta etapa sero:
m32 = -1/3 e m42 = -2/3
-
99
Estratgia de Pivoteamento Completo
Esta estratgia consiste em:
a) no incio da etapa k da fase de eliminao, escolher para piv o elemento de maior mdulo entre
todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminao:
max |)1( k
jia | = |)1( k
sra | piv = )1( k
sra ; i, j k
b) trocar as colunas k e s e depois as linhas k e r se for necessrio.
Observamos que, no Exemplo 6, se fosse adotada esta estratgia, o piv da etapa 2 seria 7)1(
34a , o
que acarretaria a troca das colunas 2 e 4, em seguida, das linhas 2 e 3, de onde:
152400
61030
73570
52113
)1()1( bA
OBS: lembrar que, sempre que ocorrer uma troca de colunas na matriz aumentada, os elementos
do vetor soluo sofrero troca simultnea e correspondente.
-
100
2.2.2 Mtodo de Eliminao Gauss-Jordan
O Mtodo de Gauss-Jordan consiste em modificar as eliminaes do Mtodo de Gauss para anular,
em cada eliminao k, elementos abaixo e acima da diagonal principal.
As eliminaes so feitas atravs de transformaes elementares sobre as equaes do sistema
linear dado at que se obtenha um sistema diagonal equivalente.
Este sistema diagonal pode ser solucionado diretamente.
-
101
Exemplo 7
Processo de eliminao de Gauss-Jordan aplicado a um sistema:
133
122
3
2
1
)1(
)2(
1
0
4
111
112
211
LLL
LLL
x
x
x
233
211
3
2
1
)3/2(
)3/1(
5
8
4
320
530
211
LLL
LLL
x
x
x
322
311
3
2
1
)15(
)1(
3/1
8
3/4
3/100
530
3/101
LLL
LLL
x
x
x
3/1
3
1
3/100
030
001
3
2
1
x
x
x
cuja soluo Tx 111*
-
102
2.2.3 Mtodo de Decomposio LU
Uma matriz quadrada pode ser escrita como o produto de duas matrizes, por exemplo:
10
34
12
01
58
34.
Assim, neste mtodo, a matriz A ser fatorada tal que A = L U, onde L uma matriz triangular
inferior (Lower) unitria ( = 1 , ) e U uma matriz triangular superior (Upper).
Deste modo, para resolver o sistema A x = b, usa-se a matriz A na forma decomposta:
= =
Fazendo = , ento =
A soluo y, do sistema triangular inferior L y = b, obtida por substituies sucessivas com li i = 1
por que L uma matriz unitria.
O vetor y utilizado como termo independente no sistema triangular superior U x = y, cuja soluo
x calculada por substituies retroativas.
-
103
Esquema prtico para a decomposio LU
Uma matriz A pode ser fatorada usando-se o mtodo de eliminao de Gauss.
A matriz triangular superior U a mesma do mtodo de Gauss e a matriz triangular inferior
unitria L, alm de = 1 , = 0 , < , possui = , > , sendo os multiplicadores
usados no processo de eliminao de Gauss.
Considerando um sistema 3X3 teremos:
= [1 0 0
21 1 031 32 1
] e = [
11 12 130 22 230 0 33
]
[
11 12 1321 22 2331 32 33
] = [1 0 0
21 1 031 32 1
] [
11 12 130 22 230 0 33
]
Pode ser verificada a igualdade = em um exemplo numrico.
-
104
Exemplo 1
Resolver o sistema do Exemplo 1 (seo 2.2.1.1) usando a decomposio LU.
[1 3 2
2 8 14 6 5
] [
123] = [
111529]
Soluo
Usando o dispositivo prtico similar ao da eliminao de Gauss, tem-se:
L Multiplicador A Operaes
123
21 = (2) 1 = 2 31 = (4) 1 = 4
1 3 2
2 8 14 6 5
45
32 = (6) 2 = 3
0 2 30 6 3
2 1 + 2
4 1 + 3
6 0 0 12 3 4 + 5
-
105
A partir do dispositivo, obtm-se as duas matrizes
= [1 0 0
2 1 04 3 1
] e = [1 3 20 2 30 0 12
]
Pode ser verificada a igualdade = .
[1 3 2
2 8 14 6 5
] = [1 0 0
2 1 04 3 1
] [1 3 20 2 30 0 12
]
A soluo do sistema = calculada pelas substituies sucessivas:
[1 0 0
2 1 04 3 1
] [
123] = [
111529]
O vetor soluo desse sistema = [11 7 36]
-
106
A soluo do sistema = , obtida pelas substituies retroativas.
[1 3 20 2 30 0 12
] [
123] = [
117
36]
O vetor soluo desse sistema = [2 1 3] , que, obviamente, o mesmo obtido pelo mtodo de
eliminao de Gauss.
A nica diferena entre os dispositivos prticos da eliminao de Gauss e da decomposio LU a
ausncia da coluna relativa ao vetor b de termos independentes na LU.
Na realidade, efetuar as substituies sucessivas para resolver = na decomposio LU o
mesmo que fazer as operaes elementares em b na eliminao de Gauss.
Desta forma, a soluo de = funciona como uma memria de clculo para ser efetuada sobre
o vetor b.
Isto facilita resolver vrios sistemas lineares com a mesma matriz dos coeficientes, pois a fatorao
da matriz A feita uma nica vez.
-
107
Pivotao parcial
De modo similar ao mtodo de eliminao de Gauss, a estratgia de pivoteamento parcial deve ser
utilizada na decomposio L U para evitar um piv nulo e que os multiplicadores mi j tenham valores
muito grandes.
Quando o pivoteamento parcial for utilizado, a decomposio ser da forma = ;
onde P uma matriz de permutaes, que ser constituda das linhas de uma matriz identidade I,
colocadas na mesma ordem das linhas pivotais que geram a matriz triangular superior U.
A matriz triangular inferior unitria L formada pelos multiplicadores mi j utilizados na
eliminao. A ordem em que os multiplicadores so atribudos a cada linha de L dada pelos ndices
das linhas pivotais.
Para resolver o sistema A x = b, tem-se:
= = =
Fazendo: = , ento = . A soluo y*, do sistema triangular inferior L y = P b, calculada por substituies sucessivas.
Por sua vez, o vetor y* utilizado como termo independente no sistema triangular superior U x = y,
para obter a soluo x* por substituies retroativas.
-
108
Exemplo 2
Resolver o sistema do Exemplo 1 usando a decomposio LU com pivotao parcial.
[1 3 2
2 8 14 6 5
] [
123] = [
111529]
Soluo
Utilizando o dispositivo prtico, tem-se:
L Multiplicador A Operaes p
123
11 = (1) 4 = 0,2521 = (2) 4 = 0,5
1 3 22 8 14 6 5
123
45
12 = (1,5) 5 = 0,3
0 1,5 0,750 5 1,5
0,25 3 + 10,5 3 + 2
12
6 0 0 1,2 0,3 5 + 4 1
-
109
Neste dispositivo, o multiplicador utilizado para eliminar o elemento da posio (i , j), e a coluna
p indica quais so as linhas pivotais determinadas durante a pivotao parcial.
A linha pivotal escolhida para eliminar uma coluna sublinhada e as remanescentes so listadas a
seguir para que se faa a escolha da prxima linha pivotal.
Este processo se repete at restar apenas uma nica linha.
Considerando que L uma matriz triangular inferior unitria, ento ela possui todos os elementos da
diagonal principal iguais a 1 e todos os elementos acima da diagonal iguais a 0.
Cada linha de L constituda pelos multiplicadores relativos a cada uma das linhas pivotais.
Mas deve ser notado que no existe multiplicador associado s linhas coloridas (piv) por que uma
linha pivotal no mais transformada.
Os ndices das linhas pivotais esto no vetor = [3 2 1] , cujos elementos informam como montar
as linhas da matriz L a partir dos multiplicadores .
A linha 1 de L no utiliza multiplicador por que 11 = 1 = 0 > .
-
110
A linha 2 de L construda com o multiplicador 1 , sendo = (2) = 2 , ou seja, 21 = 21 = 0,5.
A linha 3 de L usa os multiplicadores 1 e 2 , com = (3) = 1, consequentemente,
31 = 11 = 0,25 e 32 = 12 = 0,3.
= [1 0 0
21 1 011 12 1
] = [1 0 0
0,5 1 00,25 0,3 1
]
Por sua vez, a matriz U formada simplesmente pelas linhas pivotais.
A matriz P possui as linhas de uma matriz identidade na ordem das linhas pivotais de p , ou P pode ser
vista como uma matriz similar identidade com as linhas colocadas de modo que os elementos iguais a
1 estejam nas colunas relativas aos ndices das linhas pivotais.
= [4 6 50 5 1,50 0 1,2
] = [0 0 10 1 01 0 0
]
-
111
O vetor obtido do produto P b formado pelos elementos de b dispostos na ordem das linhas pivotais
contidas em p .
A soluo do sistema = conseguida pelas substituies sucessivas fornecendo o vetor:
[1 0 0
0,5 1 00,25 0,3 1
] [
123] = [
291511]
= [29 0,5 3,6]
A soluo do sistema = obtida pelas substituies retroativas resultando no vetor:
[4 6 50 5 1,50 0 1,2
] [
123] = [
290,53,6]
= [2 1 3]
O vetor resduo :
= = [11
1529] [
1 3 22 8 14 6 5
] [2
13] = [
000] indicando que a soluo x exata.
-
112
Clculo do Determinante
Considerando que: )det()det( ULAPULAP , ento, )det(
)det()det()det(
P
ULA . Como,
1)det(1
n
iiilL e det() =
=1 ( ) e ainda
tP 1)det( , onde t o
nmero de trocas de linhas necessrias para transformar a matriz de permutaes P em uma matriz
identidade, temos:
n
iii
t uA1
1)det(
-
113
Exemplo 3
Calcular o determinante da matriz do Exemplo 2.
= [1 3 2
2 8 14 6 5
]
Soluo
Para o clculo do determinante de A pela equao, devemos encontrar o valor de t (o nmero de trocas
de linhas necessrias para transformar a matriz P em uma matriz identidade). Para isso, basta contar
quantas permutaes precisam ser feitas para colocar os ndices das linhas pivotais em ordem crescente.
t Linhas pivotais Comentrio
01
3 2 11 2 3
3 1
Deste modo, = 1 e o determinante, dado pela equao anterior ser:
det() = (1)
3
=1
= (1)1 4 5 1,2 det() = 24
-
114
Exemplo 4
Resolver o sistema abaixo pela decomposio L U, usando pivotao parcial, e verificar a exatido e a
unicidade da soluo.
[
4 1 0 11 2 1 00 4 4 15 0 5 1
] [
1234
] = [
1234
]
Soluo
Construindo o dispositivo prtico, tem-se:
L Multiplicador A Operaes p
1234
11 = (4) 5 = 0,821 = (1) 5 = 0,2
31 = (0) 5 = 0
4 1 0 11 2 1 00 4 4 15 0 5 1
1234
567
12 = (1) 4 = 0,25
22 = (2) 4 = 0,5 0 1 4 0,20 2 0 0,20 4 4 1
0,8 4 + 10,2 4 + 2
0 4 + 3
123
89
23 = (2) 5 = 0,4
0 0 5 0,050 0 2 0,7
0,25 7 + 50,5 7 + 6
12
10 0 0 0 0,68 0,4 8 + 9 2
-
115
O vetor p formado pelos ndices das linhas pivotais, ou seja, = [4 3 1 2].
A linha 1 de L j est pronta, pois 11 = 1 e 1 = 0 > 1 .
A linha 2 de L usa o multiplicador 1 , sendo = (2) = 3 , portanto, 21 = 31 = 0 .
A linha 3 de L construda com os multiplicadores 1 e 2 , com = (3) = 1 , assim,
31 = 11 = 0,8 e 32 = 12 = 0,25 .
A linha 4 de L utiliza os multiplicadores 1 , 2 e 3 , sendo = (4) = 2 , ou seja,
41 = 21 = 0,2 , 42 = 22 = 0,5 e 43 = 23 = 0,4 .
Logo,
= [
1 0 0 031 1 0 011 12 1 021 22 23 1
] = [
1 0 0 00 1 0 0
0,8 0,25 1 00,2 0,5 0,4 1
]
-
116
A matriz U obtida pelas linhas pivotais, e a matriz P possui elementos iguais a 1 nas colunas com
ndices das linhas pivotais contidos em p.
= [
5 0 5 10 4 4 10 0 5 0,050 0 0 0,68
] e = [
0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0
]
O produto da matriz P pelo vetor b equivalente ao vetor obtido pelos elementos de b dispostos na
ordem das linhas pivotais dada em p.
A soluo do sistema = dada pelas substituies sucessivas:
[
1 0 0 00 1 0 0
0,8 0,25 1 00,2 0,5 0,4 1
] [
1234
] = [
431
2
] = [
43
2,953,12
]
A soluo do sistema = obtida pelas substituies retroativas:
[
5 0 5 10 4 4 10 0 5 0,050 0 0 0,68
] [
1234
] = [
43
2,953,12
] = [
0,66170,94120,5441
4,5882
]
-
117
A quase exatido da soluo verificada pelo vetor resduo = que, para este caso,
= [0,0002 0,0000 0,0002 0,0002] .
A unicidade da soluo confirmada por intermdio do clculo do determinante.
Para isto, necessrio encontrar t , contando quantas permutaes precisam ser feitas para colocar os
ndices das linhas pivotais em ordem crescente.
t Linhas pivotais Comentrio
0123
4 3 1 21 3 4 21 2 4 31 2 3 4
4 1 3 2 4 3
Assim, = 3 e o determinante, dado pela equao geral ser:
det() = (1)
3
=1
det() = (1)3 5 4 5 0,68 0
-
118
Nmero de solues de um Sistema
O determinante da matriz dos coeficientes A, de um sistema linear = , define o nmero de
solues de um sistema. H trs situaes possveis:
a) nica soluo
1 + 2 = 31 2 = 1
[1 11 1
] [12] = [
31] det() 0 = [1 2]
O fato do det() 0 resulta que o sistema admite uma nica soluo.
Geometricamente, a soluo de um sistema linear de ordem n um ponto no comum aos n
hiperplanos descritos por cada uma das n equaes, ou seja, o ponto que satisfaz, simultaneamente, a
todas as equaes. Por exemplo, a soluo de
[1 3 2
2 8 120 5 3
] [
123] = [
221265
]
o vetor = [5 1 10].
O vetor soluo x a interseo dos trs planos descritos por cada uma das trs equaes E1 , E2 e
E3 acima, conforme mostrado na Figura 2.1.
Neste caso, com det() = 251 0 , os trs planos se interceptam em um nico ponto no 3.
-
119
b) Infinitas solues
1 + 2 = 22 1 + 2 2 = 4
[1 12 2
] [12] = [
24] det() = 0 = [ (2 )]
Como det() = 0 , o sistema admite infinitas solues, uma para cada valor de .
A Figura 2.2(a) exibe a representao geomtrica dos planos descritos por
[1 3 2
2 8 11 5 1
] [
123] = [
221210].
Neste sistema, com det() = 0, os trs planos se interceptam em uma linha reta descrita por
= [(70 6,5 ) (16 1,5 ) ]. Assim, para cada valor de obtm-se uma soluo do sistema.
-
120
c) Sem soluo
1 + 2 = 11 + 2 = 1
[1 11 1
] [12] = [
11] det() = 0
Se det() = 0 , o sistema pode tambm no ter soluo. A Figura 2.2(b) mostra que os planos descritos por
[1 3 2
2 8 11 5 1
] [
123] = [
201080]
(com det() = 0) no tm nenhum ponto em comum, ou seja, o sistema acima no admite soluo.
Deste modo, conclui-se que, se det() 0, o sistema possui uma nica soluo, e, se det() = 0, ou o
sistema tem infinitas solues ou nenhuma.
-
121
Exemplo 5
Resolver os sistemas = e = usando decomposio L U com pivotao parcial, sendo:
= [1 3 2
2 8 11 5 1
] , = [22
1210] e = [
201080] .
Soluo
Utilizando o dispositivo prtico, tem-se:
L Multiplicador A Operaes p
123
11 = 1 (2) = 0,5
31 = (1) (2) = 0,5
1 3 2
2 8 11 5 1
123
45
32 = (1) 1 = 1
0 1 1,50 1 1,5
0,5 2 + 1
0,5 2 + 3
13
6 0 0 0 4 + 5 3
Assim, os trs fatores so:
= [1 0 0
0,5 1 00,5 1 1
] , = [2 8 10 1 1,50 0 0
] e = [0 1 01 0 00 0 1
] .
-
122
- Sistema = :
A soluo do sistema = obtida pelas substituies sucessivas:
[1 0 0
0,5 1 00,5 1 1
] [
123] = [
122210] = [
12160]
A soluo do sistema = obtida pelas substituies retroativas:
[2 8 10 1 1,50 0 0
] [
123] = [
12160]
A terceira linha do sistema acima tem como equao equivalente 0 3 = 0. Logo, esta equao
verdadeira para qualquer valor de 3.
Da 2 linha obtemos: 2 + 1,5 3 = 16 2 = 16 1,5 3
Da 1 linha obtemos: 21 + 82 3 = 12 1 =128(161,53)+3
2 1 = 70 6,5 3
Consequentemente, o vetor soluo do sistema = [(70 6,5 3) (16 1,5 3) 3] , ou seja, o
sistema = apresenta infinitas solues, uma para cada valor de 3 .
-
123
- Sistema = :
A soluo do sistema = obtida pelas substituies sucessivas:
[1 0 0
0,5 1 00,5 1 1
] [
123] = [
102080] = [
101570]
A soluo do sistema = obtida pelas substituies retroativas:
[2 8 10 1 1,50 0 0
] [
123] = [
101570]
A terceira linha do sistema acima tem como equao equivalente (0 3 = 70).
Logo, esta equao no possui soluo, pois no existe um valor de 3 tal que (0 3 = 70).
Assim, o sistema = no tem soluo.
-
124
Algoritmo para a decomposio L U de uma matriz A , via mtodo de eliminao de Gauss com
pivotao parcial.
Algoritmo Decomposio_LU
{Objetivo: Fazer a decomposio LU de uma matriz A}
{Parmetros de entrada: n, A}
{Ordem, matriz a ser decomposta}
{Parmetros de sada: A, Det, Pivot}
{matriz decomposta A = U + L I, determinante, pivs} {Declarar variveis}
{ ... }
{Iniciar variveis}
{ ... }
{Entrada de Dados}
{ ... }
{ Clculos Necessrios }
para I 1 at N faa
Pivot(I) I fim para
Det 1
para J 1 at (N 1) faa {Escolha do elemento pivot}
P J
Amax abs(A(J , J))
-
125
para K J + 1 at N faa se abs(A(K , J)) > Amax ento
Amax abs(A(K , J))
P K fim se
fim para
se P J ento {Troca de linhas}
para K at N faa
T A(J , K)
A(J , K) A(P , K)
A(P , K) T fim para
M Pivot(J)
Pivot(J) Pivot(P)
Pivot(P) M
Det Det fim se
Det Det*A(J , J)
se abs(A(J , J)) 0 ento {eliminao de Gauss}
R 1 / A(J , J)
para I J + 1 at N faa
Mult A(I , J) * R
A(I , J) Mult
-
126
para K J+1 at N faa
A(I , K) A(I , K) Mult * A(J , K) fim para
fim para
fim se
fim para
Det Det * A(N , N) {Separao das matrizes L e U a partir da matriz A modificada}
para I 1 at n faa
para J 1 at n faa se I = J ento
L(I , J) 1 fim se
se I > J ento
L(I , J) A(I , J) seno
U(I , J) A(I , J) fim se
fim para
fim para
{ Sada de dados }
{ ... }
Fim algoritmo
-
127
Algoritmo modificado das substituies sucessivas, para soluo de = , a partir das matrizes
L e U obtidas com pivotao parcial.
Algoritmo {Substituicoes Sucessivas Pivotal}
{Objetivo: Resolver o sistema triangular inferior = } { pelas substituies sucessivas, com a matriz L}
{ obtida de decomposio LU com pivotao parcial}
{Parmetros de entrada: n, L, b, Pivot}
{Ordem, matriz triangular inferior unitria, }
{vetor independente e posio dos pivs}
{Parmetros de sada: y}
{Declarar variveis}
{ ... }
{Iniciar variveis}
{ ... }
{Entrada de Dados}
{ ... }
{ Clculos Necessrios }
{soluo da etapa clculos necessrios do sistema triangular inferior}
K Pivot(1)
Y(1) B(K)
-
128
para I 2 at N faa
Soma 0
para J 1 at (I 1) faa
Soma Soma + L(I , J) * Y(J) fim para
K Pivot(I)
Y(I) B(K) Soma fim para
{ Sada de dados }
{ ... }
Fim algoritmo
-
129
Algoritmo das substituies retroativas para soluo de = .
Algoritmo {Substituicoes Retroativas}
{Objetivo: Resolver o sistema triangular superior U x = y}
{por meio de substituies retroativas}
{Parmetros de entrada: n, U, y}
{Ordem, matriz triangular superior, vetor independente}
{Parmetros de sada: x}
{soluo da etapa clculos necessrios do sistema triangular superior}
{Declarar variveis}
{ ... }
{Iniciar variveis}
{ ... }
{Entrada de Dados}
{ ... }
{ Clculos Necessrios }
X(N) B(N) / U(N , N)
para I (N 1) at 1 passo 1 faa
Soma 0
para J (I + 1) at N faa
Soma Soma + A(I , J) * X(J) fim para
X(I) (B(I) Soma) / U(I , I) fim para
{Sada de dados} { ... }
Fim algoritmo
-
130
Exemplo 6
Implementar os algoritmos para decomposio L U do Exemplo 4. Resolver o sistema e comparar os
resultados intermedirios com os valores obtidos na soluo algbrica.
Soluo
% Os valores de entrada
N = 4
= [
4 1 0 11 2 1 00 4 4 15 0 5 1
]
% produzem os resultados pela decomposio LU
= [
5.0000 0 5.0000 1.00000 4.0000 4.0000 1.0000
0.8000 0.2500 5.0000 0.05000.2000 0.5000 0.4000 0.6800
]
Det = 68.0000
= 4 3 1 2
-
131
% Vetor de termos independentes:
=
1234
% As substituies sucessivas pivotal produzem:
=
4.00003.00002.95003.1200
% As substituies retroativas resultam em:
=
0.66180.94120.5441
4.5882
-
132
- Complexidade computacional
A Tabela 2.3 mostra a complexidade computacional do algoritmo decomposio LU. Deve-se
mencionar que foram consideradas as operaes de trocas de sinal e multiplicaes necessrias para o
clculo do determinante.
Tabela 2.3 Complexidade do algoritmo da decomposio LU de uma matriz de ordem n.
(Desconsiderando operaes para o clculo do determinante)
Operaes Complexidade
adies 1
3 3
1
22 +
1
6
multiplicaes 1
3 3
1
3
divises 1
OBs.: A complexidade computacional do algoritmo de substituies sucessivas pivotal difere do
anterior somente quanto ao nmero de divises que nulo para o caso pivotal.
-
133
2.3 Sistemas lineares complexos
Os sistemas de equaes lineares que envolvam nmeros complexos podem ser solucionados pelos
algoritmos apresentados nesta unidade.
Os sistemas so resolvidos tanto pelos algoritmos implementados em uma linguagem de
programao que suporta aritmtica complexa quanto pelos algoritmos implementados com aritmtica
real.
No entanto, para esse ltimo caso, o sistema complexo deve ser previamente transformado em um
sistema real.
Para resolver um sistema complexo usando aritmtica real, faz-se necessria uma transformao.
Seja um sistema complexo = , se
= + = + = +
e i2 = -1.
substituindo na equao matricial de sistemas lineares teremos:
-
134
=
( + ) ( + ) = ( + )
( ) + ( + ) = +
Como duas entidades complexas so iguais, se forem iguais as suas partes real e imaginria, ento:
{ = + =
As equaes anteriores formam um sistema linear de coeficientes reais, cujas incgnitas so os
vetores e , que pode ser resolvido por qualquer um dos mtodos apresentados anteriormente.
Esse sistema pode ser colocado na seguinte forma matricial:
[
] [] = [
]
-
135
Exemplo 7
Resolver o sistema abaixo, utilizando os algoritmo "Decomposio_LU" e o algoritmo
"Substituies_Sucessivas_Pivotal" e ainda o "Substituies_Retroativas" implementados em uma
linguagem com aritmtica complexa.
{
(1 + 2 ) 1 + (3 ) 2 + (5) 3 = 10 16 (2 + 3 ) 1 + (1 + ) 2 + (1 ) 3 = 5 + 12
4 1 + (2 ) 2 + (3 2 ) 3 = 9 + 3
temos como soluo:
% Os valores de entrada
N = 3
= [
(1 + 2 ) (3 ) (5)(2 + 3 ) (1 + ) (1 )
4 (2 ) (3 2 )]
-
136
% produzem os resultados pela decomposio LU
= [4.0000 0 + 2.0000 3.0000 2.0000
0.2500 + 0.5000 1.0000 3.5000 3.2500 1.0000 0.5000 + 0.7500 0.1887 + 0.6604 3.2736 4.2075
]
Det = -72.0000 + 29.0000 i
= 3 1 2
% Vetor de termos independentes:
= 10.0000 16.0000 5.0000 + 12.0000 13.0000 + 2.0000
% As substituies sucessivas pivotal produzem:
= 13.0000 + 2.0000 7.7500 23.0000
26.6509 + 0.4717
-
137
% As substituies retroativas resultam em:
= 3.0000 + 4.0000 2.0000 + 0.0000 3.0000 4.0000
O vetor soluo
= [3 + 4 2
3 4 ]
-
138
Exemplo 8
Resolver o sistema do Exemplo 7, utilizando os mesmos algoritmos anteriores, implementados em uma
linguagem que no tem aritmtica complexa.
Soluo
Por meio da equao [
] [] = [
], o sistema complexo ser resolvido pelo sistema real:
[ 1 0 5 2 3 02 1 1 3 1 14 0 3 0 2 22 3 0 1 0 53 1 1 2 1 10 2 2 4 0 3]
[ 123456]
=
[ 10513
16122]
% Os valores de entrada
N = 6
-
139
=
[ 1 0 5 2 3 02 1 1 3 1 14 0 3 0 2 22 3 0 1 0 53 1 1 2 1 10 2 2 4 0 3]
% produzem os resultados pela decomposio LU
=
[ 4.0000 0 3.0000 0 2.0000 2.00000.5000 3.0000 1.5000 1.0000 1.0000 4.00000.2500 0 4.2500 2.0000 3.5000 0.50000 0.6667 0.7059 3.2549 3.1373 5.3137
0.7500 0.3333 0.8824 0.1747 5.3735 0.53610.5000 0.3333 0.2353 0.9639 0.7780 6.7545]
Det = 6.0250e+03
= 3 4 1 6 5 2
-
140
% Vetor de termos independentes:
=
10513
16122
% As substituies sucessivas pivotal produzem:
=
13.000022.50006.7500
8.23532.1446
27.0179
-
141
% As substituies retroativas resultam em:
=
3.00002.00003.00004.00000.0000
4.0000
O vetor soluo
= [3 + 4 2
3 4 ]
-
142
2.4 Mtodos Iterativos
Um mtodo iterativo para resoluo do sistema de equaes lineares = consiste em um
processo que gera, a partir de um vetor inicial 0 , uma sequncia de vetores
{1 , 2 , 3 , , , } que deve convergir para a soluo do sistema.
Existem vrias classes de mtodos iterativos, todavia somente os estacionrios sero estudados
neste texto.
Seja uma matriz M chamada matriz de iterao e c um vetor constante.
Um mtodo iterativo escrito na forma:
+1 = +
dito estacionrio quando a matriz M for fixa, ou seja, quando ela no for alterada durante o processo.
Sero abordados, nesta seo, dois mtodos iterativos estacionrios: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.
-
143
- Condio de Convergncia
O fato de a sequncia de vetores {1 , 2 , 3 , , , } convergir para a soluo do
sistema = garantido pela condio do teorema 2.1.
Teorema 2.1 O mtodo iterativo +1 = + converge com qualquer valor inicial 0 se, e
somente se, () < 1 , sendo () o raio espectral (maior autovalor em mdulo) da matriz de
iterao M.
Porm, a determinao do raio espectral da matriz de iterao () pode requerer maior esforo
computacional que a prpria soluo do sistema = . Por isso, para alguns mtodos iterativos
estacionrios usualmente se utiliza outros critrios para prever a convergncia.
Sero vistos trs mtodos de convergncia neste texto: critrio das linhas; das colunas e de
Sassenfeld.
-
144
- Critrio de Parada
A cada passo do mtodo iterativo +1 = + a soluo obtida com uma exatido
crescente:
lim
=
O processo deve ser interrompido quando algum critrio de parada for satisfeito, como, por
exemplo,
() =max1|
()
(1)|
max1|()|
< ou
onde a tolerncia e o nmero mximo de iteraes e d a Norma Relativa ;
sendo ()
o i-simo componente do vetor obtido na k-sima iterao.
Assim, dada uma preciso , o vetor ser escolhido como , soluo aproximada da soluo
exata. Entretanto, quando se utiliza aritmtica de ponto flutuante, a exatido no pode ser to grande
quanto se queira, pois est limitada pelo nmero de bytes da mquina utilizada.
-
145
2.4.1 Mtodo de Gauss-Jacobi.
A forma como o mtodo de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear A x = b em +1 = +
est baseado na decomposio da matriz A de modo que:
= + +
onde D uma matriz diagonal e E e F so matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente,
com diagonais nulas.
Logo, o sistema original pode ser escrito na forma:
( + + ) = = ( + ) +
Esta igualdade pode ser convertida em um processo iterativo formando a recorrncia:
+1 = (1( + )) + 1 +1 = +
tal que a matriz = (1( + )) a matriz de iterao do mtodo de Jacobi.
-
146
Uma forma anloga de deduzir o mtodo de Jacobi consiste em escrever o sistema de equaes
lineares na forma:
{
11 1 + 12 2 + 13 3 + + 1 = 121 1 + 22 2 + 13 3 + + 2 = 231 1 + 32 2 + 33 3 + + 3 = 3
1 1 + 2 2 + 3 3 + + =
e explicitar na i-sima equao.
Escrevendo na forma de iterao, tm-se as chamadas equaes de iteraes do mtodo de Jacobi:
1+1 =
1
11 (12 2
13 3 1
+ 1) ,
2+1 =
1
22 (21 1
23 3 2
+ 2) ,
3+1 =
1
33 (31 1
32 2 3
+ 3) ,
+1 =
1
(1 1
2 2 ,1 1
+ ) ,}
-
147
ou na forma matricial
[ 1+1
2+1
3+1
+1]
+
=
[ 0
1211
1311
111
2122
0 2322
222
3133
3233
0 333
1
2
,1
0]
[ 1
2
3
]
+
[ 111222333]
Uma das vantagens dos mtodos iterativos que a convergncia independe do valor inicial 0 .
Assim, pode ser usado como 0 ou uma estimativa conhecida, ou um valor qualquer, caso esta no
esteja disponvel.
Usualmente, faz-se 0 = 0 o que implica em se ter como valor inicial real 0 =
.
-
148
- O algoritmo, a seguir, calcula a soluo de um sistema linear = pelo mtodo iterativo de Gauss-
Jacobi, com critrio de parada dado pela norma relativa () =max1|
()
(1)|
max1|()|
< ou .
- Os parmetros de entrada so:
a ordem n ,
a matriz A ,
o vetor b ,
a tolerncia (como outro critrio de parada) Toler e
o nmero mximo de iteraes IterMax.
- Os parmetros de sada so:
o vetor soluo x ,
o nmero de iteraes gastas Iter e
a condio de erro CondErro para verificar se houve convergncia:
(CondErro = 0 significa que houve convergncia e
CondErro = 1, que no houve).
- Os valores intermedirios do vetor soluo tambm so listados durante a execuo do algoritmo.
-
149
Algoritmo Gauss-Jacobi
{Objetivo: Resolver o sistema A x = b pelo mtodo iterativo de Jacobi}
{Parmetros de entrada: n, A, b, Toler, IterMax}
{Ordem, matriz, vetor independente,}
{tolerncia e nmero mximo de iteraes}
{Parmetros de sada: x, Iter, CondErro}
{vetor soluo, nmero de iteraes e condio de erro}
{Declarar variveis}
{ ... }
{Iniciar variveis}
{ ... }
{Entrada de Dados}
{ ... }
{ Clculos Necessrios }
{ Construo das matrizes para as interaes }
para I 1 at N faa
R 1/A(I , I)
para J 1 at N faa se I J ento A(I , J) A(I , J) * R fim se
fim para
-
150
B(I) B(I) * R
X(I) B(I) fim para
{ ... }
{Incio do processo iterativo de Jacobi }
NormaRel 100 109 Iter 0 enquanto ((NormaRel > Toler) e (Iter < IterMax)) faa
Iter Iter + 1
para I 1 at N faa
Soma 0
para J 1 at N faa se I J ento Soma Soma + A(I , J) * X(J) fim se
fim para
V(I) B(I) - Soma fim para
NormaNum 0
NormaDen 0
para I 1 at N faa
T ABS(V(I)-X(I))
-
151
se T > NormaNum ento
NormaNum T fim se
se ABS(V(I)) > NormaDen ento
NormaDen ABS(V(I)) fim se
X(I) V(I) fim para
NormaRel NormaNum/NormaDen { Sada de dados intermediria }
Escreva Iter , X , NormaRel
fim enquanto
se NormaRel Toler ento CondErro 0 seno
CondErro 1 fim se
{ Sada de dados complementar }
{ ... }
Fim algoritmo
-
152
Exemplo 1
Resolva o sistema linear:
{10 1 + 2 2 + 3 = 71 + 5 2 + 3 = 8
2 1 + 3 2 + 10 3 = 6
pelo mtodo de Gauss-Jacobi com (0) = [0,7 1,6 0,6] = 0,05 .
Soluo
- A montagem do processo iterativo resulta em:
{
1
(+1) =1
10 (2 2
1 3 + 7) = 0 1
() 0,2 2
() 0,1 3
()+ 0,7
2(+1) =
1
5 (1 1
1 3 8) = 0,2 1
()+ 0 2
() 0,2 3
() 1,6
3(+1) =
1
10 (2 1
3 2 + 6) = 0,2 1
() 0,3 2
()+ 0 3
()+ 0,6
-
153
- Matricialmente teremos +1 = + , onde:
= [0 0,2 0,1
0,2 0 0,20,2 0,3 0
] e = [0,7
1,60,6]
Assim, para (k = 0) teremos:
{
1(1) = 0 1
(0) 0,2 2
(0) 0,1 3
(0)+ 0,7
2(1) = 0,2 1
(0)+ 0 2
(0) 0,2 3
(0) 1,6
3(1) = 0,2 1
(0) 0,3 2
(0)+ 0 3
(0)+ 0,6
{
1(1) = 0 (0,7) 0,2 (1,6) 0,1 (0,6) + 0,7 = 0,96
2(1) = 0,2 (0,7) + 0 (1,6) 0,2 (0,6) 1,6 = 1,86
3(1) = 0,2 (0,7) 0,3 (1,6) + 0 (0,6) + 0,6 = 0,94
ou (1) = (0) + = [0,96
1,860,94
]
-
154
- Calculando () =max1|
()
(1)|
max1|()|
< teremos:
(1) = |
1(1) 1
(0)
2(1) 2
(0)
3(1) 3
(0)
|
= 0,26
= 0,26
= 0,34
max1
|()
(1)|
max1
|()|
(1) =0,34
1,86= 0,1828 >
Prosseguindo as iteraes, teremos para k = 1:
(2) = (1) + = [0,978
1,9800,966
] (2) =0,12
1,98= 0,0606 >
e para k = 2
(3) = (2) + = [0,9994
1,98880,9984
] (3) =0,0324
1,9888= 0,0163 <
ento, a soluo do sistema linear acima, com erro menor que 0,05, obtida pelo mtodo de Gauss-
Jacobi,
= (3) = [0,9994
1,98880,9984
] .
-
155
Exemplo 2
Implementar o algoritmo de Gauss-Jacobi e resolver o sistema de equaes com < 105 e
= 50 usando os critrios da Norma Relativa () =
max1|()
(1)|
max1|()|
< e .
[10 3 22 8 11 1 5
] [
123] = [
57204]
Os resultados gerados pelo algoritmo Gauss-Jacobi so:
% Os valores de entrada
n = 3
A =
10 3 22 8 11 1 5
e
-
156
b =
57204
Toler = 1.0000 e-05
IterMax = 50
% produzem os resultados
Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Jacobi
Iter x1 x2 x3 NormaRelativa
0 5.70000 2.50000 -0.80000
1 4.79000 0.97500 -2.44000 3.42380e-01
2 4.91950 0.99750 -1.95300 9.89938e-02
3 5.01015 1.02600 -1.98340 1.80933e-02
4 4.99552 0.99954 -2.00723 5.29725e-03
5 4.99869 1.00022 -1.99901 1.64413e-03
-
157
6 5.00013 1.00045 -1.99978 2.88007e-04
7 4.99991 0.99999 -2.00012 9.12629e-05
8 4.99998 1.00001 -1.99998 2.72243e-05
9 5.00000 1.00001 -2.00000 4.59167e-06
Solucao = 5.00000 1.00001 2.00000
Iter = 9
CondErro = 0
Na implementao do algoritmo foram acrescentadas algumas informaes para facilitar o
entendimento dos resultados. Pelos valores acima,
= (9) = [5,00000 1,00001 2,00000] .
O valor CondErro = 0 indica que a soluo convergiu dentro das condies especificadas pelos
parmetros Toler e IterMax.
-
158
Exemplo 3
Resolver o sistema pelo mtodo de Gauss-Jacobi com < 103 e = 50 usando os critrios de
Norma Relativa e .
[
5 2 0 11 8 3 20 1 6 11 1 2 9
] [
1234
] = [
61050
]
Soluo
Os resultados gerados pelo algoritmo Gauss-Jacobi so:
% Os valores de entrada
n = 4
A =
5 2 0 11 8 3 20 1 6 11 1 2 9
-
159
e
b =
61050
Toler = 1.0000 e-03
IterMax = 50
% produzem os resultados
Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Jacobi
Iter x1 x2 x3 x4 NormaRelativa
0 1.20000 1.25000 -0.83333 0.00000
1 0.70000 0.78750 -1.04167 0.19074 4.80000e-01
2 0.92315 0.72419 -0.99637 0.24120 2.23960e-01
3 0.95856 0.70067 -0.99423 0.19931 4.21369e-02
-
160
4 0.95960 0.70751 -0.98333 0.19229 1.10879e-02
5 0.95545 0.71323 -0.98330 0.19051 5.81305e-03
6 0.95281 0.71420 -0.98396 0.19160 2.68474e-03
7 0.95264 0.71402 -0.98430 0.19215 5.56291e-04
Solucao = 0.95264 0.71402 0.98430 0.19215
Iter = 7
CondErro = 0
Desse modo, = (7) = [0.95264 0.71402 0.98430 0.19215] .
-
161
- Critrio das Linhas para Convergncia dos Mtodos Iterativos
Este teorema estabelece uma condio suficiente para a convergncia do mtodo iterativo de
Gauss-Jacobi:
Seja o sistema linear A x = b e seja
=||
=1
/ ||.
Se
= max1
< 1 ,
ento o mtodo de Gauss-Jacobi gera uma sequncia {()} convergente para a soluo do sistema
dado, independentemente da escolha da aproximao inicial, (0).
-
162
Exemplo 4
Analisando a matriz A do sistema linear do exemplo 1 dessa seo, = [10 2 11 5 12 3 10
] , temos
1 = 2+1
10= 0,3 < 1 ; 2 =
1+1
5= 0,4 < 1 ; 3 =
2+3
10= 0,5 < 1 e ento
= max13
= 0,5 < 1 ,
de onde, pelo critrio das linhas, temos garantia de convergncia para o mtodo de Gauss-Jacobi.
Exemplo 5
Para o sistema linear {1 + 2 = 31 3 2 = 3
, o mtodo de Gauss-Jacobi gera uma sequncia
convergente para a soluo exata = [32
32 ]
.
No entanto, o critrio das linhas no satisfeito, visto que 1 = 1
1= 1 .
Isso mostra que a condio do critrio das linhas apenas suficiente.
-
163
Exemplo 6
A matriz A do sistema linear {
1 + 3 2 + 3 = 25 1 + 2 2 + 2 3 = 3
6 2 + 8 3 = 6 no satisfaz o critrio das linhas,
pois 1 = 3+1
1= 4 > 1 .
Contudo, se permutarmos a primeira equao com a segunda, teremos o sistema linear
{
5 1 + 2 2 + 2 3 = 31 + 3 2 + 3 = 2
6 2 + 8 3 = 6 que equivalente ao sistema original e a matriz [
5 2 21 3 10 6 8
] ,
deste novo sistema, satisfaz o critrio das linhas.
Assim, conveniente aplicarmos o mtodo de Gauss-Jacobi a esta nova disposio do sistema,
pois desta forma a convergncia estar assegurada.
Concluindo, sempre que o critrio das linhas no for satisfeito, devemos tentar uma permutao de
linhas e/ou colunas de forma a obtermos uma disposio para a qual a matriz dos coeficientes satisfaa
o critrio das linhas. No entanto, nem sempre possvel obter tal disposio, como facilmente
verificamos com o sistema linear do Exemplo 5 dessa seo.
-
164
- Critrio das Colunas para Convergncia dos Mtodos Iterativos
Este teorema estabelece uma condio suficiente para a convergncia do mtodo iterativo de
Gauss-Jacobi:
Seja o sistema linear A x = b e seja
=||
=1
/ ||.
Se
= max1
< 1 ,
ento o mtodo de Gauss-Jacobi gera uma sequncia {()} convergente para a soluo do sistema
dado, independentemente da escolha da aproximao inicial, (0).
Na prtica, so utilizados os critrios de suficincia de convergncia expressos pelos mtodos de
linhas e/ou colunas. Basta que o sistema satisfaa apenas um desses critrios para ter-se convergncia
garantida, independentemente da escolha do vetor inicial.
-
165
2.4.2. Mtodo de Gauss-Seidel.
Seja o sistema linear A x = b , com a matriz A sendo decomposta tal que = + + , sendo D
uma matriz diagonal e E e F so matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com
diagonais nulas.
Logo, o sistema original pode ser escrito na forma:
( + + ) = ( + ) = () +
Esta igualdade pode ser convertida em um processo iterativo formando a recorrncia:
+1 = (( + )1()) + ( + )1 +1 = +
Comparando-se a expresso acima com a equao padro dos processos iterativos conclumos que a
matriz = (( + )1()) a matriz de iterao do mtodo de Gauss-Seidel.
-
166
Uma forma anloga de deduzir o mtodo de Gauss-Seidel consiste em escrever o sistema de
equaes lineares da forma ( + + ) = ( + ) = () + , na forma de
recorrncia:
( + ) +1 = () + () +1 = +1 +
Escrevendo o segundo lado da igualdade da expresso na forma matricial
+1 =
[ 0 0 0 021 0 0 0
1,1 1,2 0 0
,1 ,2 ,1 0]
[ 1+1
2+1
3+1
+1]
+1
[ 0 12 13 10 0 23 2 0 0 0 1,10 0 0 0 ]
[ 1
2
3
]
+
[ 123]
-
167
Escrevendo na forma de iterao, tm-se as chamadas equaes de iteraes do mtodo de Gauss-
Seidel:
1+1 =
1
11 (12 2
13 3 1
+ 1) ,
2+1 =
1
22 (21 1
+1 23 3 2
+ 2) ,
3+1 =
1
33 (31 1
+1 32 2+1 3
+ 3) ,
+1 =
1
(1 1
+1 2 2+1 ,1 1
+1 + ) ,}
As equaes de iteraes do mtodo de Gauss-Jacobi mostram que +1 calculado usando
somente valores da iterao anterior.
A equao acima mostra que no mtodo de Gauss-Seidel o vetor +1 obtido a partir dos
elementos mais recentes +1, e os valores
.
O vetor inicial 0, para o mtodo de Gauss-Seidel pode ser o mesmo usado pelo Gauss-Jacobi,
dado por 0 =
.
-
168
- O algoritmo, a seguir, calcula a soluo de um sistema linear = pelo mtodo iterativo de Gauss-
Seidel, com critrio de parada dado pela norma relativa () =max1|
()
(1)|
max1|()|
< ou .
- Os parmetros de entrada so:
a ordem n ,
a matriz A ,
o vetor b ,
a tolerncia (como outro critrio de parada) Toler e
o nmero mximo de iteraes IterMax.
- Os parmetros de sada so:
o vetor soluo x ,
o nmero de iteraes gastas Iter e
a condio de erro CondErro para verificar se houve convergncia
(CondErro = 0 significa que houve convergncia e
CondErro = 1, que no houve).
- Os valores intermedirios do vetor soluo tambm so listados durante a execuo do algoritmo.
-
169
Algoritmo Gauss-Seidel
{Objetivo: Resolver o sistema A x = b pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel}
{Parmetros de entrada: n, A, b, Toler, IterMax}
{Ordem, matriz, vetor independente,}
{tolerncia e nmero mximo de iteraes}
{Parmetros de sada: x, Iter, CondErro}
{vetor soluo, nmero de iteraes e condio de erro}
{Declarar variveis}
{ ... }
{Iniciar variveis}
{ ... }
{Entrada de Dados}
{ ... }
{ Clculos Necessrios }
{ Construo das matrizes para as interaes }
para I 1 at N faa
R 1/A(I , I)
para J 1 at N faa se I J ento A(I , J) A(I , J) * R fim se
fim para
-
170
B(I) B(I) * R
X(I) B(I) fim para
{Incio do processo iterativo de Gauss-Seidel }
NormaRel 100 109 Iter 0 enquanto ((NormaRel > Toler) e (Iter < IterMax)) faa
Iter Iter + 1
para I 1 at N faa
Soma 0
para J 1 at N faa se I J ento Soma Soma + A(I , J) * X(J) fim se
fim para
V(I) X(I)
X(I) B(I) Soma fim para
NormaNum 0
NormaDen 0
para I 1 at N faa
T ABS(X(I)-V(I))
-
171
se T > NormaNum ento
NormaNum T fim se
se ABS(X(I)) > NormaDen ento
NormaDen ABS(X(I)) fim se
fim para
NormaRel NormaNum/NormaDen { Sada de dados intermediria }
Escreva Iter , X , NormaRel
fim enquanto
se NormaRel Toler ento CondErro 0 seno
CondErro 1 fim se
{ Sada de dados complementar }
{ ... }
Fim algoritmo
-
172
Exemplo 1
Resolva o sistema linear:
{5 1 + 2 + 3 = 53 1 + 4 2 + 3 = 63 1 + 3 2 + 6 3 = 0
pelo mtodo de Gauss-Seidel com (0) = [0 0 0] = 5 102 .
Soluo
- A montagem do processo iterativo resulta em:
{
1(+1) = 1 0,2 2
() 0,2 3
()= 0 1
() 0,2 2
() 0,2 3
()+ 1
2(+1) = 1,5 0,75 1
(+1) 0,25 3()
= 0,75 1(+1)
+ 0 2()
0,25 3()
+ 1,5
3(+1) = 0 0,5 1
(+1) 0,5 2(+1)
= 0,5 1(+1)
0,5 2(+1)
+ 0 3()
+ 0
-
173
- Matricialmente teremos +1 = + , onde:
= [0 0,2 0,2
0,75 0 0,250,5 0,5 0
] e = [1
1,50]
Assim, para (k = 0) teremos:
{
1(1) = 0 1
(0) 0,2 2
(0) 0,2 3
(0)+ 1
2(1) = 0,75 1
(1)+ 0 2
(0) 0,25 3
(0)+ 1,5
3(1) = 0,5 1
(1) 0,5 2
(1)+ 0 3
(0)+ 0
{
1(1) = 0 (0) 0,2 (0) 0,2 (0) + 1 = 1
2(1) = 0,75 (1) + 0 (0) 0,25 (0) + 1,5 = 0,75
3(1) = 0,5 (1) 0,5 (0,75) + 0 (0) + 0 = 0,875
ou (1) = (0) + = [1
0,750,875
]
-
174
- Calculando () =max1|
()
(1)|
max1|()|
< teremos:
(1) = |
1(1) 1
(0)
2(1) 2
(0)
3(1) 3
(0)
|
= 1
= 0,75
= 0,875
max1
|()
(1)|
max1
|()|
(1) =1
1= 1 >
Prosseguindo as iteraes, teremos para k = 1:
(2) = (1) + = [0,978
1,9800,966
] (2) =0,12
1,98= 0,0606 >
e para k = 2
(3) = (2) + = [1,00750,9912
0,9993] (3) = 0,0409 <
ento, a soluo do sistema linear acima, com erro menor que 0,05, obtida pelo mtodo de Gauss-
Seidel,
= (3) = [1,00750,9912
0,9993] .
-
175
Exemplo 2
Implementar o algoritmo de Gauss-Seidel e resolver o sistema de equaes com < 105 e
= 50 usando os critrios da Norma Relativa e .
[10 3 22 8 11 1 5
] [
123] = [
57204]
Os resultados gerados pelo algoritmo Gauss-Seidel so:
% Os valores de entrada
n = 3
A =
10 3 22 8 11 1 5
e
-
176
b =
57204
Toler = 1.0000 e-05
IterMax = 50
% produzem os resultados
Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Seidel
Iter x1 x2 x3 NormaRelativa
0 5.70000 2.50000 -0.80000
1 4.79000 1.20250 -1.99850 2.70877e-01
2 4.93955 1.01530 -1.99097 3.78982e-02
3 4.99722 1.00182 -1.99981 1.15396e-02
4 4.99949 1.00015 -1.99993 4.55035e-04
5 4.99997 1.00002 -2.00000 9.55994e-05
6 5.00000 1.00000 -2.00000 5.32440e-06
-
177
Solucao = 5.00000 1.00000 2.00000
Iter = 6
CondErro = 0
Na implementao do algoritmo foram acrescentadas algumas informaes para facilitar o
entendimento dos resultados. Pelos valores acima,
= (6) = [5,00000 1,00000 2,00000] .
O valor CondErro = 0 indica que a soluo convergiu dentro das condies especificadas pelos
parmetros Toler e IterMax.
-
178
Exemplo 3
Resolver o sistema pelo mtodo de Gauss-Seidel com < 103 e = 50 usando os critrios de
Norma Relativa e .
[
5 2 0 11 8 3 20 1 6 11 1 2 9
] [
1234
] = [
61050
]
Soluo
Os resultados gerados pelo algoritmo Gauss-Seidel so:
% Os valores de entrada
n = 4
A =
5 2 0 11 8 3 20 1 6 11 1 2 9
e
-
179
b =
61050
Toler = 1.0000 e-03
IterMax = 50
% produzem os resultados
Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Seidel
Iter x1 x2 x3 x4 NormaRelativa
0 1.20000 1.25000 -0.83333 0.00000
1 0.70000 0.85000 -0.97500 0.23333 5.12821e-01
2 0.90667 0.71271 -0.99101 0.19867 2.08542e-01
3 0.95465 0.70937 -0.98467 0.19156 4.87314e-02
4 0.95456 0.71354 -0.98418 0.19193 4.22999e-03
5 0.95297 0.71383 -0.98429 0.19216 1.61801e-03
6 0.95290 0.71374 -0.98432 0.19216 9.20739e-05
-
180
Solucao = 0.95290 0.71374 0.98432 0.19216
Iter = 6
CondErro = 0
Desse modo, = (6) = [0.95290 0.71374 0.98432 0.19216] .
-
181
- Critrio de Sassenfeld para Convergncia dos Mtodos Iterativos
Este teorema estabelece uma condio suficiente para a convergncia do mtodo iterativo de
Gauss-Seidel:
Sejam,
1 =|1|
|11|
=2
e para = 2 , 3 , ,
=[ ||
1=1 + ||
=+1 ]
||
assim,
1 =|12| + |13| + + |1|
|11|
=|1| 1 + |2| 2 ++ |,1| 1 + |,+1| + + ||
||
-
182
e seja ainda
= max1
{}
Se < 1, ento o mtodo de Gauss-Seidel gera uma sequncia convergente para qualquer (0).
Alm disso, quanto menor for , mais rpida ser a convergncia.
-
183
Exemplo 4
Seja o sistema linear,
{
1 + 0,5 2 0,1 3 + 0,1 4 = 0,20,2 1 + 2 0,2 3 0,1 4 = 2,6
0,1 1 0,2 2 + 3 + 0,2 4 = 1,00,1 1 + 0,3 2 + 0,2 3 + 4 = 2,5
- para este sistema linear com esta disposio de linhas e colunas, temos:
1 =(0,5 + 0,1 + 0,1)
1 = 0,7
2 =[(0,2)(0,7) + 0,2 + 0,1]
1 = 0,44
3 =[(0,1)(0,7) + (0,2)(0,44) + 0,2]
1 = 0,358
4 =[(0,1)(0,7) + (0,3)(0,44) + (0,2)(0,358)]
1 = 0,2736
- como
= max1
{} = 0,7 < 1
ento temos a garantia de que o mtodo de Gauss-Seidel vai gerar uma sequncia convergente para esse
caso.
-
184
Exemplo 5
Seja o sistema linear
{
2 1 + 2 + 3 3 = 9
2 + 3 = 1
1 + 3 3 = 3
- com essa disposio de linhas e colunas, temos:
1 =(1 + 3)
2 = 2 > 1
- trocando a 1 equao pela 3, temos:
{
1 + + 3 3 = 3
2 + 3 = 1
2 1 + 2 3 3 = 9
- de onde
1 =(3)
1 = 3 > 1
-
185
- A partir desta disposio, trocando a 1 coluna pela 3, teremos:
{
3 3 + + 1 = 3
3 2 + = 1
3 3 + 2 2 1 = 9
- Desta forma,
1 =(1)
3 = 1/3
2 =[(1)(1/3) + 0]
1 = 1/3
3 =[(3)(1/3) + (1)(1/3)]
2 = 2/3
- Portanto,
= max1
{} = 2/3 < 1
ento temos a garantia de que o mtodo de Gauss-Seidel vai gerar uma sequncia convergente para essa
disposio da matriz do sistema.
-
186
Exemplo 6
Seja o sistema:
{1 + 2 = 31 3 2 = 3
- para esse sistema, o mtodo de Gauss-Seidel gera uma sequncia convergente para a soluo.
- Porm,
1 =(1)
1 = 1
2 =[(1)(1)]
3 = 1/3
e, portanto, o critrio de Sassenfeld no satisfeito.
- Logo, o critrio de Sassenfel apenas suficiente.
-
187
Exemplo 7
Seja o sistema linear:
{3 1 + 3 = 3
1 2 = 13 1 + 2 + 2 3 = 9
- temos
1 = 1 =(1)
3 = 1/3
2 = (1)
1 = 1
- ento, o critrio de linhas no satisfeito.
- no entanto,
2 =[(1)(1/3)]
1 = 1/3
3 =[(3)(1/3) + (1)(1/3)]
2 = 2/3
- portanto, = max1{} = 2/3 < 1 e o critrio de Sassenfeld satisfeito.
-
188
OBS.:
- Na prtica, so utilizados os critrios de suficincia de convergncia expressos pelos mtodos de
linhas e/ou colunas tanto para o Mtodo de Gauss-Jacobi quanto para o Mtodo de Gauss-Seidel.
- Em funo das caractersticas da matriz de um sistema de equaes lineares pode ocorrer de um
mtodo iterativo convergir e outro no.
- Em geral, basta que um sistema satisfaa apenas um dos trs critrios para ter-se convergncia
garantida, independentemente da escolha do vetor inicial.
-
189
Exemplo 8
Calcular as tenses dos ns do circuito eltrico resistivo da Figura abaixo.
Soluo
- Pela lei de Kirchhoff, a soma das correntes que passam em cada n do circuito nula.
- Pela lei de Ohm, a corrente eltrica que flui do n j para o n k de um circuito =
, sendo
e as tenses nos ns j e k, respectivamente, e a resistncia no ramo jk.
- A corrente I expressa em ampres e a resistncia R, em ohms.
- As duas leis combinadas permitem o clculo da tenso em cada n do circuito.
-
190
- No n 1, pela lei de Kirchhoff, 1 + 21 + 31 + 41 = 0 .
- Usando a lei de Ohm,
01
1+21
1+31
2+41
2= 0 6 1 + 2 2 + 3 + 4 = 0 .
- Determinando as equaes dos ns 2, 3 e 4, constri-se um sistema de equaes lineares.
- O vetor soluo fornece a tenso em cada n do circuito eltrico
[
6 2 1 13 4 1 03 2 13 61 0 2 3
] [
1234
] = [
00
2540
]
- Resolvendo o sistema linear A V = b, formado pelas equaes dos ns 1, 2, 3 e 4, usando
decomposio L U com pivotao parcial obtm-se as tenses em cada n do circuito.
-
191
% Os valores de entrada
N = 4
= [
6 2 1 13 4 1 03 2 13 61 0 2 3
]
% produzem os resultados pela decomposio LU
= [
6.0000 2.0000 1.0000 1.00000.5000 3.0000 1.5000 0.50000.5000 1.0000 11.0000 7.0000
0.1667000 0.1111 0.2121 1.2929
]
Det = 256.0000
= 1 2 3 4
% Vetor de termos independentes:
=
00
2540
-
192
% As substituies sucessivas pivotal produzem:
=
00
254.000053.8788
% As substituies retroativas resultam em:
=
25.796931.750049.609441.6719
As tenses em cada n do circuito eltrico dado so
1 = 25,80 , 2 = 31,75 , 3 = 49,61 4 = 41,67 .
-
193
Exemplo 9
Equilibrar a equao qumica
4 +2 4 + 2 2 4 + 4 + 3 + 2
Soluo
- O balanceamento de uma equao qumica baseado na lei de conservao da massa de Lavoisier:
Em um sistema qumico isolado, a massa permanece constante, quaisquer que sejam as transformaes
que nele se processem.
- A lei de Lavoisier tambm pode ser expressa na forma:
Em uma reao qumica, a soma das massas dos reagentes igual soma das massas dos produtos
resultantes.
- Conclui-se, ento, que os elementos tm que estar nos dois membros da equao em igual quantidade.
-
194
- Um mtodo algbrico de balanceamento consiste em atribuir coeficientes literais s substncias que
aparecem na equao, os quais constituem as incgnitas.
- Aplicando a lei de Lavoisier e comparando os elementos membro a membro, constri-se um sistema
de equaes algbricas lineares onde as incgnitas so os coeficientes estequiomtricos da reao
qumica.
- Se houver mais incgnitas do que equaes, ento se atribui um valor arbitrrio a uma delas.
- Portanto, teremos para a equao dada:
1 4 + 2 2 4 + 3 2 4 2 4 + 5 4 + 6 3 + 7 2
- Considerando cada elemento da equao:
: 1 = 2 4
: 1 = 5
: 4 1 + 4 2 + 2 3 = 4 4 + 4 5 + 3 6 + 7
: 2 2 = 2 7
: 2 = 4 + 5
-
195
: 3 = 6
: 3 = 6
- Como as duas ltimas expresses so iguais, elimina-se uma delas.
- Deste modo, tem-se um sistema linear com 6 equaes e 7 incgnitas.
- Atribuindo um valor arbitrrio a uma delas, por exemplo, 7 = 1, obtm-se o seguinte sistema linear
de ordem 6:
[ 1 0 0 2 0 01 0 0 0 1 04 4 2 4 4 30 2 0 0 0 00 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1]
[ 123456]
=
[ 001200]
-
196
- Resolvendo o sistema linear A x = b usando decomposio L U com pivotao parcial obteremos os
coeficientes estequiomtricos .
% Os valores de entrada
N = 6
=
[ 1 0 0 2 0 01 0 0 0 1 04 4 2 4 4 30 2 0 0 0 00 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1]
% produzem os resultados pela decomposio LU
=
[ 4.0000 4.0000 2.0000 4.0000 4.0000 3.0000
0 2.0000 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 1.0000
0.2500 0.5000 0.5000 1.0000 0 0.25000 0.5000 0 1.0000 1.0000 0.2500
0.2500 0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 0.7500]
Det = 6
= 3 4 6 2 5 1
-
197
% Vetor de termos independentes:
=
001200
% As substituies sucessivas pivotal produzem:
=
1.00002.0000
00.7500
0.25001.2500
% As substituies retroativas resultam em:
=
0.66671.00001.66670.33330.66671.6667
-
198
- Os coeficientes estequiomtricos so obtidos pela soluo do sistema acrescido de 7 = 1. Logo,
= [0.6667 1.0000 1.6667 0.3333 0.6667 1.6667 1]
- Analisando os resultados:
Usualmente, os coeficientes estequiomtricos so expressos como nmeros inteiros.
Pela regra de Cramer, para obter x, com valores inteiros, basta multiplic-lo pelo determinante de A.
No caso, det(A) = 6, logo,
= [4 6 10 2 4 10 6]
Para mais uma simplificao, divide-se o valor obtido por 2, resultando em:
= [2 3 5 1 2 5 3]
- Portanto, a equao qumica balanceada torna-se:
2 4 + 3 2 4 + 5 2 1 2 4 + 2 4 + 5 3 + 3 2
-
199
REFERNCIAS
Contedo deste captulo foi compilado de:
CAMPOS FILHO, F. F., Algoritmos Numricos, 2 ed Editora LTC, Rio de Janeiro RJ, 2007.
SPERANDIO D., MENDES, J.T., SILVA, L.H.M., Clculo Numrico: Caractersticas Matemticas
e Computacionais dos Mtodos Numricos, Prentice Hall, So Paulo, 2003.
RUGGIERO, M.A.G. E LOPES, V.L.R., Clculo Numrico - Aspectos Tericos e Computacionais,
Makron 3.
BARROSO, L.C., ET AL., Clculo Numrico (com aplicaes), 2a ed., So Paulo, Editora Harbra,
1987.