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CLCULO II
PARA CONCLUIR O ESTUDO
Gostaramos de finalizar esta disciplina retomando a importnciados objetos matemticos que foram estudados no decorrer destetexto. Voc deve ter observado que muitas reas de conhecimentoforam contempladas envolvendo aplicaes geomtricas, fsicas edo contexto das Cincias Sociais Aplicadas.
Lembre-se de que voc construiu conhecimentos que sero apli-cados em situaes prticas nesta rea. Nem sempre a matemticaaparece de forma direta, mas ela que poder embasar a tomadade deciso de muitos gestores, independente da rea da atuao,
pois estamos diante de situaes problemas que exige a articula-o do pensamento lgico com situaes reais.
As exigncias do mercado profissional, atualmente, evidenciam anecessidade de um estudo continuado que no deve se encerrarcom o trmino desta disciplina. Sendo assim, importante quevoc tenha este material como uma fonte de consulta constante eque retome suas reflexes sempre que se deparar com a resoluo
de problemas.Para finalizar, esperamos que voc lembre sempre dos nossos per-sonagens SiSSi, Phil, Rec e a nossa representante feminina, aTeca, que esto acompanhando voc no estudo do Clculo Dife-rencial e Integral e foram criados para inspirar situaes tericasformais, histricas, recreativas e tecnolgicas nas quais a matem-tica se faz presente.
Uma boa caminhada para voc!
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
REFERNCIAS
ANTON, Howard. Clculo: um novo horizonte. Porto Alegre:Bookman, 2000.
FLEMMING, Diva Marlia; GONALVES, Mirian Buss. Cl-culo A. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
LEITHOLD, Louis. Matemtica aplicada economia e admi-nistrao. So Paulo: Harbra, 1988.
TAN, S. T. Matemtica aplicada Administrao e Economia.So Paulo: Pioneira, 2003.
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Elisa Flemming Luz doutora em Engenharia de Produopela Universidade Federal de Santa Catarina (), mestre emEngenharia Eltrica e graduada em Engenharia Eltrica, ambospela . Atuou como professora da Unisul de 1996 at agosto
de 2006 ministrando aulas em disciplinas na rea da Matemticapara os cursos de Engenharia e Matemtica. Ministra disciplinasem cursos de especializao presencial e a distncia. Desenvolveudiversas pesquisas no Ncleo de Estudos em Educao Matem-tica ( ) na rea de Educao Matemtica. Atual-mente professora do de Santa Catarina.
Christian Wagner mestre em Fsica-Matemtica pela
Universidade Federal de Santa Catarina () e bacharel emMatemtica e Computao Cientfica pela . Foi professorsubstituto na entre 2001 e 2003. Professor horista da Unisuldesde 2001; atualmente atua no Ncleo de Estudos em EducaoMatemtica (-) nas atividades de ensino e extensovoltadas para as dificuldades de aprendizagem da matemtica. Nocontexto da ps-graduao atua na especializao em educao
matemtica como autor e como professor. Recentemente, temparticipado dos programas de pesquisa institucional como pes-quisador e como orientador de iniciao cientfica.
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RESPOSTAS E COMENTRIOS DOS EXERCCIOS
Agora a Sua Vez e
Atividades de auto-avaliao
UNIDADE 1
Integrao
SEO 1 Primitivas e integrais indenidas
Agora a Sua Vez! (pgina 28)
(a) (5x3+2x 1)dx = + = + +
= + +
4 2
3
4 2
x x5 x dx 2 x dx dx 5 2 x C
4 25
x x x C4
(b)7(x 2 x )dx+ = + = + + = + +
32
312 2
87 8
32
x x 1 4x dx 2 x dx 2 C x x C
8 8 3
(c)x( x e )dx+ = + = + = + +
312 2x x x
2x dx e dx x dx e dx x e C
3
(d)x2
3e dxx
+ = + = + + x x2
dx 3 e dx 2 ln| x | 3e Cx
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
SEO 2 Mtodo de Substituio
Agora a Sua Vez! (pgina 34)
(a)
(5x3 2x + 3)8(15x2 2)dx
Fazendo u = 5x3 2x + 3 du = (15x2 2) dx
Assim, (5x3 2x + 3)8(15x2 2)dx = +
= + = +9 3 9
8 u (5x 2x 3)u du C C9 9
(b) (7x + 20)7dx
Fazendo u = 7x + 20 du = 7 dx ou =du
dx7
ento
(7x + 20)7dx = = = + = + +
87 7 8du 1 1 u 1u u du C (7x 20) C
7 7 7 8 56
(c) (x2+ 2x 3)4(x + 1)dx
Fazendo u = x2+ 2x 3 du = (2x + 2) dx ou =+
dudx
2(x 1) ento
(x2+ 2x 3)4(x + 1)dx = + = = ++= + +
5
4 4
2 5
du 1 1 uu (x 1) u du C
2(x 1) 2 2 5
1(x 2x 3) C
10
(d) 2 23 (x 1) x dx+Fazendo u = x2+ 1 du = 2x dx ou =
dudx
2x ento
2 23 (x 1) x dx+ = = = + = +
= + +
5
352
3 3
53
3 2
53
2
du 1 1 u 3u x u du C u C
2x 2 2 10
3(x 1) C
10
(e) 7e5x + 2dx
Fazendo u = 5x + 2 du = 5 dx ou =du
dx5
ento
7e5x + 2dx += = = + = + u u u 5x 2du 7 7 7
7 e e du e C e C5 5 5 5
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(f) x ln (x2+ 1) dx
Fazendo u = x2+ 1 du = 2x dx ou =du
dx2x
ento
x ln (x2+ 1) dx = = = +
= + + + +
2 2 2
du 1 1x ln u ln u du (u ln u u) C
2x 2 21 1(x 1) ln (x 1) (x 1) C
2 2
(g) 22x 1
dxx x 1
++
Fazendo u = x2+ x 1 du = (2x + 1) dx. Assim,
2
2x 1dx
x x 1
++ = = + = + +
2du ln|u| C ln| x x 1| Cu
(h)2
ln x dxx
+
= + = +
= + +
2 dx
dx ln x dx 2 ln x dxx x
2 ln| x | x ln x x C
(i)54 xx e dx
Fazendo u = x5 du = 5x4dx ou =4
dudx
5x ento
54 x
x e dx
= = = + = + 54 u u u x
4
du 1 1 1
x e e du e C e C5x 5 5 5
(j) 2 3x 2x 4 dx+Fazendo u = (2x3+ 4) du = 6x2dx ou = 2
dudx
6x ento
2 3x 2x 4 dx+ = = = + = +
= + +
3
231
2 2
32
2
2 32
3
du 1 1 1 u 2x u u du u du C u C
6x 6 6 6 18
1(2x 4) C
9
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
SEO 3 Mtodo de Integrao por Partes
Agora a Sua Vez! (pgina 42)
(a)
x e4xdx
Fazendo u = x du = dx
dv = e4x = = + 4x 4 x1v e dx e C4
Assim usando u dv = uv v du , vem
= = + = + 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x1 1 1 1 1 1 1x e dx x e e dx xe e C xe e C4 4 4 4 4 4 16
(b) x ln 2x dx
Fazendo u = ln 2x = =2 1du dx dx2x x
dv = x dx = = +2xv x dx C
2
como u dv = uv v du , vem
= =
= + = +
2 2 2
2 2 22
x x 1 x 1x ln 2x dx (ln 2x) dx ln 2x x dx2 2 x 2 2
x 1 x x 1ln 2x C ln 2x x C2 2 2 2 4
(c) x ln x dx
Fazendo u = ln x = 1du dxx
dv = x dx = = = + = + 3
2 312 2
32
x 2v x dx x dx C x C3
Sabendo que u dv = uv v du , temos = =
= = +
= +
3 3 3 32 2 2 2
323 31
2 2 2
3 32 2
1
32
2 2 1 2 2x ln x dx (ln x) x x dx x ln x x x dx3 3 x 3 3
2 2 2 2 xx ln x x dx x ln x C3 3 3 3
2 4x ln x x c3 9
(d) x2exdx
Fazendo u = x2 du = 2x dx
dv = exdx v = exdx = ex+ C
Sabendo que u dv = uv v du , vemx2exdx = x2ex ex2x dx = x2ex 2xexdx.
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
Observe que temos que aplicar novamente o mtodo na integral que apare-
ce na ltima linha.
Fazendo u = x du = dx
dv = ex
dx v = ex
dx = ex
+ c. Ento,
x2exdx = x2ex 2[xex exdx]= x2ex 2xex+ 2ex+ C
UNIDADE 1
Atividades de auto-avaliao (pgina 45)
1. F(x) =5
4
x4+ x3 4x + 7
F'(x) =5
44x3+ 3x2 4 = 5x3+ 3x2 4 = f(x)
2.a)4 2
4
x 3x xdx
x
+ +
+ +
+ + = + +
= + + = + +
= + + = + + + + +
= + + + = + + = +
4 2
4 4 4 2 3
2 3 2 3
2 1 3 12 3
1 2 21
2
x 3x x 3 1dx 1 dxx x x x x
3 dx dx dxdx dx dx 3x x x x
x xdx 3 x dx x dx x 3 C2 1 3 1
x x x 3 1x 3 C x 3x C x C1 2 2 x 2x
2.b) 3x
dxx
+= = = = + = + +
= + = + = +
1
21
2
32
32
5 311 5 2 233 2 23x x xdx x x dx x dx x dx C C5 3x 1
2 22 2 2x C C C3 3x 3x x
2.c)2
2
x 1dx
x
+
+
+ = + = + = +
= + + = + + = + +
2
22 2 2 2
2 1 1
x 1 1 dxdx 1 dx dx dx x dxx x x x
x x 1x C x C x C2 1 1 x
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
2.d)2
2
xdx
x 1+
Fazendo a diviso de polinmios, possvel reescrever = + +
2
2 2
x 11x 1 x 1
.
Assim, = = + + + 2
2 2 2x 1 dxdx 1 dx dxx 1 x 1 x 1
Usando a regra (17) para resolver+ 2
dxx 1
.
= + = ++ 2
dx 1 xdx x arc tg C x arc tg x C1 1x 1
2.e) cotg sen d
Usando a relao trigonomtrica =
coscotg
sen
,
a integral pode ser reescrita como:
= = = +
coscot g sen d sen d cos d sen Csen
2f) 2sen t
dtcos t
Usando as relaes trigonomtricas = sen tt g tcos t
e = 1sec tcos t
, tem-se:
= = = + sen t sen t 1dt dt tg t sec t dt sec t Ccos t cos t cos t cos t
3.a) 26x 2x 3 dx+
Usando substituio, temos: u = 2x2+ 3 du = 4x dx = dudx4x
= = = + = + = +
= + + = + + +
3
2 3 312 2 2
3 2
32
2 2 2
du 6 3 3 u 3 26x u u du u du C u C u C4x 4 2 2 2 3
(2x 3) C (2x 3) (2x 3) C
3.b) x x3e cos(3e ) dx
Usando substituio, temos: u = 3ex du = 3exdx = xdudx3e
= = + = + x xxdu3e cos u cos u du sen u C sen (3e ) C3e
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
3.c) cos x sen x dx
Usando substituio, temos: u = cos x du = sen x dx =
dudxsen x
+
= = + = + = + +
= + = +
32
32
1 312 2
du u u 2u sen x u du C C u Csen x 1 3 312 2
2 2(cos x) C cos x cos x C3 3
3.d)3ln x
dxx
Usando substituio, temos: u = ln x3 = =3 xdudu dx dxx 3
= = + = + 2 3 2u xdu 1 1 u 1u du C (ln x ) C
x 3 3 3 2 6
3.e) 22dt
t ln (2t)
Usando substituio, temos: u = ln (2t) = 1du dtt
dt = t du
= = = = + = + = +
1
22 2 2
2t du 2du du u 2 22 2 u du 2 C C C1 u ln (2t)t u u u
3.f) 22dx
x 3x 1 +
Inicialmente vamos completar os quadrados de x23x + 1:
2 22 2
2 22
3 9 3 9x x 3x x 3x x
2 4 2 4
2dx 2dx 2dx
x 3x 1 3 9 3 5
x 1 x2 4 2 4
= + =
= = + +
Fazendo substituio: = 3u x2
du = dx temos
2
2du5(u)4
Usando a regra (26) += + 2 2
du 1 u aln C2a u aa u
da tabela de integrais,
fazemos = = =2 5 5 5a a4 4 2
.
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Multiplicando a integral por 1e aplicando a regra da tabela com = 5a2
+ = = = = +
+
+ + = + = + +
2 2 2 2
5u2du 2du 2du du 2 22 ln C5 5 5 5
5 5u u u u 2 u4 4 4 4 2 2
3 5 5 3x x2 22 2 2ln C ln C5 3 5 5 5 3x x
2 2 2
3.g) 22dr
3r 9r 9+ +
Antes de completar os quadrados, fazemos o coeficiente do termo 3r2ficar
igual a 1, dividindo numerador e denominador por 3:
=+ + + + 2 22dr
2 dr33(3r 9r 9) r 3r 3
3
Agora, completamos os quadrados de r2+ 3r + 3:
+ = + +
=
+ + + +
22
2 2
3 9r r 3r
2 42 dr 2 dr
3 33 9 3 3r 3 r
2 4 2 4
Fazendo a substituio temos:
= + =
=
++ +
+ + = + = + = +
2
2
3u r du dr
2
2 dr 2 du
33 33 3 ur 42 4
32 r
2 2 2u 4 4 2r 32arc tg C arc tg C arc tg C
3 3 3 3 3 3 3 3 3
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
3.h)65 3x2x e dx
Usando substituio, temos: u = 3x6 du = 18x5dx =5
dudx18x
= = + = + 65 u u u 3x
5
du 2 1 1
2x e e du e C e C18 9 918x
3.i) 2cos x dx
(4 sen x)
Usando substituio, temos:
u = 4 sen x du = cos x dx =
dudxcos x
= = = = + = +
= +
1
22 2 2
cos x dx cos x du du u 1u du C C
cos x 1 u(4-sen x) u u1 C4 sen x
3.j)x 2
dxx 1
++
Usando substituio, temos: 2u x 2 u x 2 2u du dx= + = + =
+u 2u du
x 1. Mas, u2= x + 2 x = u2 2.
= +
2
2 2u 2u2u du du
u 2 1 u 1
Fazendo a diviso de polinmios, temos:
= + = + = +
+ + += = + = + + +
2
2 2 2 2
2
2u 2 2 dudu 2 du 2du du 2 du 2u 1 u 1 u 1 u 1
du 1 u 1 x 2 12 du 2 2u 2 ln C 2 x 2 ln C2 1 u 11 u x 2 1
4.a) ln (2 3x)dx
Usando integrao por partes, temos:
= =
= = = +
= = +
3u ln (2 3x) du dx2 3x
dv dx v dx x c
3 xln (2 3x)dx ln (2 3x) x x dx xln (2 3x) 3 dx2 3x 2 3x
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Para resolver a integralx dx
2 3x, basta usar substituio:
[ ]
[ ]
= = = =
= = = = = = +
= +
u 2 duu 2 3x du 3dx x dx3 3
u 2
x x du du 1 1 u 23dx du2 3x u 3 u 3 3 3 u1 u 2 1 du 1du du du 2 u 2ln|u| C9 u u 9 u 9
1 2 3x 2ln|2 3x | C9
ou
Voltando integral inicial:
( )
= +
= + +
= + +
= + +
= + +
xln (2 3x) dx xln (2 3x) 3 dx
2 3x
1xln (2 3x) 3 2 3x 2ln| 2 3x | C9
1xln (2 3x) (2 3x 2ln| 2 3x |) C3
2ln|2 3x |2 3xxln (2 3x) C3 3 3
2ln| 2 3x |2xln (2 3x) x C3 3
4.b) ln x dx
Usando integrao por partes,
= = = =
= = = +
= = = +
11 1 dx2 xu ln x du dx du dx du
2xx 2 x x
dv dx v dx x C
dx 1 1ln x dx ln x x x xln x dx xln x x C2x 2 2
. Assim,
4.c) xe2xdx
= =
= = = +2x 2x 2xu x du dx
1dv e dx v e dx e C2
= = = +
= + = +
2x 2x
2x 2x 2x 2x 2x
2x 2x2x
1 1 xe 1 xe 1 1xe dx x e e dx e dx e C2 2 2 2 2 2 2
xe 1 e 1e C x C
2 4 2 2
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
4.d)35 xx e dx
u = x3 du = 3x2dx
= = 3 32 x 2 xdv x e dx v x e dx
Para resolver a integral de v, realiza-se a substituio u = x3 du = 3x2dx:
= = = = + = + 3 32 x 2 u u u x
2
du 1 1 1v x e dx x e e du e C e C.3 3 33x
Agora, aplicando a integrao por partes em35 xx e dx :
= = 3 3 3 3 3
35 x 3 x x 2 x 2 x1 1 xx e dx x e e 3x dx e x e dx
3 3 3
A integral
32 xx e dx j foi resolvida para determinar o valor de v. Assim, para
finalizar:
= + = +3
3 3 33 x
5 x x x 3x 1 ex e dx e e C (x 1) C3 3 3
4.e) x cos 3x dx
= =
= = = +
u x du dx
sen 3xdv cos 3x dx v cos 3x dx C
3
= =
= + = + +
sen 3x sen 3x x sen 3x 1x cos 3x dx x dx sen 3x dx
3 3 3 3x sen 3x 1 1 x sen 3x cos 3x( cos 3x) C C
3 3 3 3 9
4.f) 3t
t sen dt2
= =
= = = +
3 2u t du 3t dt
t t tdv sen dt v sen dt 2cos C2 2 2
=
= +
3 3 2
3 2
t t tt sen dt t 2cos 2cos 3t dt2 2 2
t t2t cos 6 t cos dt2 2
= =
= = = +
2u t du 2t dt
t t tdv cos dt v cos dt 2sen C2 2 2
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
exsen x dx + exsen x dx = excos x + exsen x
2exsen x dx = excos x + exsen x
2exsen x dx = + +
x xe cos x e sen x C2
4.i) 3 22x 4 x dx
= =
= = = +3
2
2
2 2 2
u 2x du 4x dx
1dv x 4 x dx v x 4 x dx (4 x ) C3
=
= + = + +
= +
3 32 2
32 3
2
32 5
2
3 52 2
3 2 2 2 2
2 22
2 22
2 2 2
1 12x 4 x dx 2x (4 x ) (4 x ) 4x dx3 3
2x (4 x ) 4
x(4 x ) dx3 32x (4 x ) 4 1 (4 x ) C
3 3 5
2x (4 x ) 4(4 x ) C3 15
4.j) x cos2x dx
= =
= = = + = + + 2 2
u x du dx
1 1 1 1dv cos x dx v cos x dx cos 2x dx x sen 2x C2 2 2 4
= + +
= + + +
= + + +
2
2 2
2
x 1 1 1x cos x dx x sen 2x x sen 2x dx2 4 2 4
x x 1 x 1 1sen 2x cos 2x C2 4 2 2 4 2
x x 1sen 2x cos 2x C4 4 8
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
UNIDADE 2Integral Definida
SEO 1 Analisando reas
Agora a Sua Vez (pgina 58)
Usando o mtodo da exausto, calcule a rea da figura delimitada pela fun-
o y = x + 1, pelo eixo dos xe pelas retas x = 1e x = 5. Faa o grfico e ob-
serve que a rea pode ser calculada por geometria elementar. Confronte os
resultados obtidos.
Para calcular a rea delimitada, inicialmente, faa uma partio do intervalo
[1,5]em 4 subintervalos (veja a figura abaixo).
Forme os retngulos R1, R
2, R
3, R
4com base nessas parties e alturas f(1,5),
f(2,5), f(3,5), f(4,5)respectivamente.
Veja que: A1= rea de R
1= 1f(1,5) = 2,5.
A2= rea de R
2= 1f(2,5) = 3,5.
A3= rea de R
3= 1f(3,5) = 4,5.
A4= rea de R
4= 1f(4,5) = 5,5.
A rea a ser calculada ser aproximadamente igual a:
A = A1+ A
2+ A
3+ A
4
= 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5
= 16 unidades de rea.
Observando a figura ao lado, po-
demos calcular a rea geometrica-
mente, observando que temos umtringulo e um retngulo.
O tringulo tem base 4e altura 4, portanto 8unidades de rea. O retngulo
tem base 4e altura 2, portanto 8unidades de rea. Assim, tm-se geometri-
camente 16unidades de rea
-
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275
CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
SEO 2 Integral Denida
Agora a Sua Vez (pgina 67)
(a)
11 4 2
3 4 2
0 0x x 1(2x 2x 3)dx 2 2 3x 1 1 3 1 04 2 2
1 1 2 6 51 3
2 2 2
+ = + = +
+= + = =
(b)+
2
21
2xdx
x 1 Fazendo u = x2+ 1 du = 2x dx. Assim,
222
2 2 11
2x dx 2x dxdu 5ln|u| C ln| x 1| ln|5| ln| 2 | ln | |
x 1 u x 1 2= = + = + = =
+ + , Ento:
(c)14
10
( (x 5) 4)dx
. Assim,3
231
2 2
32
3 3 3 32 2 2 2
32
1414
10 10
(x 5) 2(x 5) dx 4 dx 4x C (x 5) 4x C
3
2( (x 5) 4)dx (x 5) 4x
3
2 2 2 2(14 5) 4 14 (10 5) 4 10 9 56 5 40
3 3 3 310 10
18 56 5 40 2 53 3
= + = +
=
= =
= + =
(d)0
x sen x dx
Resolvendo a integral indefinida por partes tem-se:
u = x du = dx
dv = sen x dx v = sen x dx = cos x + C
x sen x dx = x(cos x) (cos x) dx = xcos x + sen x +C . Assim,
00
x sen x dx x cos x sen x ( cos sen ) 0
= + = + =
-
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276
UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
SEO 3 Estudo de reas
Agora a Sua Vez (pgina 71)
Calcular a rea da regio delimitada por:
(a) y = x2+ 1; o eixo dos x; x = 1e x = 1.
Neste caso basta fazer:
+ = + = + + = + + + = + =
11 3 3 32
11
x 1 ( 1) 1 1 2 8(x 1)dx x 1 ( 1) 1 1 23 3 3 3 3 3 3
Agora a Sua Vez (pgina 75)
(b) y = x3+ 1 e y = 4x + 1.
A regio pode ser observada na figura 2.
Veja que os pontos de interseco so
(2,7)e (2,9).
Lembre-se de que estes pontos podem ser
encontrados algebricamente igualando asexpresses algbricas nas funes.
x3+ 1 = 4x + 1 ou
x3 4x = 0 x(x2 4) = 0
Assim, x = 0e x3 4x = 0ou x = 2. Figura 2
Como a regio tem, simetria pode-se calcular somente uma parte, otimizan-
do o trabalho algbrico. Tem-se:2 3
0A 2 [(4x 1) (x 1)]dx= + +
Veja que o dois antes da integral significa que j estamos duplicando os valo-
res, portanto, Aj a rea total. Ento,
2 22 4 4
2 3 2
00 0
42
x x xA 2 (4x x )dx 2 4 2 2x
2 4 4
2 162 2 2 2 0 2 8 2 4 8
4 4
= = =
= = = =
Caso voc tenha feito0 2
3 32 0A [(x 1) (4x 1)]dx [(4x 1) (x 1)]dx= + + + + + ,
chegaria ao mesmo resultado.
-
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277
CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
Agora a Sua Vez (pgina 77)
(c) y = x2 1 ; y = 3x + 17 e y = 12
x 12
no intervalo [1,5].
A figura 3 apresenta a regio. Ob-
serve que esto caracterizadas duas
regies para estabelecer as inte-
grais. No se pode esquecer que
os pontos de interseco entre as
curvas so calculados fazendo-se a
igualdade entre as funes: Figura 3
y = x 2 1e y = 3x + 17, que implica em x2 1= 3x + 17ou
x2 3x 18 = 0. Usando a frmula da equao do segundo grau en-
contramos os pontos em que x = 3ou x = 6. Vamos usar x = 3.
y = x 2 1e y = 12
x 12
, que implica em x2 1= 12
x 12
ou
2x2 x 1 = 0. Usando a frmula da equao do segundo grau encon-
tramos 12
e 1. Vamos usar 12
.
y = 3x + 17 e y = 12 x 12 , que resulta x = 7.
Podemos escrever que:
unidades de rea.
1 232
7 3
1 1 1 1A (3x 17) x dx (x 1) x dx
2 2 2 2
475 143520 29,89
48 48
= + +
= + =
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
UNIDADE 2
Atividades de auto-avaliao (pgina 79)
1. Calcule as seguintes integrais definidas:
(a)
22 3 2 3 2 3 22
1 1
x x 2 2 1 1(5x 2x)dx 5 2 5 2 5 2
3 2 3 2 3 2
40 5 28 2 264 1 .
3 3 3 3 3
= =
= = =
(b)3
23 3 31
2 2 2 2
3
2
5 55 5
32 00 0 0
3
x 2 2x dx x dx x (5 0 )
3 3
2 2 2 105 5 5 5 5.3 3 3 3
= = = =
= = = =
(c)
11 3 3 3 3 32
1 1
(x 2) (1 2) ( 1 2) 3 1 1 26(x 2) dx 9 .
3 3 3 3 3 3 3
+ + ++ = = = = =
(d)
3 33 3 12
222 2 2
2dx (x 1) 22 (x 1) dx 2
(x 1) 1 (x 1)
2 2 2 2 1.(3 1) (2 1) 4 3 6
+ = + = =
+ +
= = + = + +
(e)1
1t t 1 0
00
e dt e e e e 1= = =
+ = + = +
= + = +
3 4
3211
32
3 3 4 43 32 2
3 33 3 33
3 42 30 0 0 0 0
3
3 3 4 42 2 3 3
x x( 2x x )dx 2 x dx x dx 2
3 0 3 0 92 2 2 6 34
(f)
= = = = + = +
22 2 1 2 21 2
00 0 0
dx (4 x)(4 x) dx 2 4 x 2 2 2 4 2 2 4
1 24 x(g)
(h)2
2
00
sen x dx cos x cos cos 0 12
= = + =
-
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279
CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
2. Calcule a rea da regio limitada pela parbola y = 4x x2e pelo eixo dos x.
A figura 4 mostra a regio solicitada.
Figura 4
4 44 2 32 2 3
00 0
2 3 2 3
x x 1rea (4x x )dx 4 2x x
2 3 31 1
2 4 4 2 0 03 3
64 96 64 3232 .
3 3 3
= =
=
= = =
3. Calcule a rea da regio delimitada por:
y = 1x
; y = 8x + 2 ; x = 0 e x = 1.
A figura 5 mostra a regio que foi dividida em duas partes: rea = A1+ A
2
Calculando-se:
1 41 4 2 1 421 0
0 0
2
11
142
1 4 1 4
xA (8x 2)dx 8 2x 4 x 2x2
1 1 1 2 34 2 4 .
4 4 16 4 4
1A dx ln| x | ln |1| ln | |
x
0 (ln |1| ln | 4 |) ln 4
= + = + = +
= + = + =
= = =
= =
Finalizando-se: A =34 + ln | 4 |
Figura 5
-
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280
UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
4. Calcule a rea delimitada pelas seguintes curvas:
a) y = x2 5x + 1 e y = x2 5x + 3
A figura 6 mostra a regio. Observe que os limites de integrao j esto vis-
veis. Mas, podem ser calculados algebricamente:
x2 5x + 1 = x2 5x + 3 2x2 2 = 0 x2= 1 x = 1
Temos:
unidades de rea.
11 1 32 2 2
1 1 1
3 3
xrea [( x 5x 3) (x 5x 1)]dx ( 2x 2)dx 2 2x
3
1 ( 1) 82 2 1 2 2 ( 1)
3 3 3
= + + = + = +
= + + =
Figura 6
-
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281
CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
b) y = (x + 4)(x 2) e y = 5x + 10
A figura 7 mostra a regio estabelecida. Observe que os limites de integrao no
esto completamente visualizados, assim importante fazer algebricamente.
Tem-se:
2
2
2
(x 4)(x 2) 5x 10
x 2x 8 5x 10 0
x 3x 18 0
( 3) ( 3) 4 1 ( 18)x
2
3 8x
1 3 9
2 2
+ = +
+ =
=
=
= =
Neste caso tem-se as
duas razes x1= 6e x
2= 3.
Assim, a rea calculada por: Figura 7
unidades de rea.
66 6 3 22 2
3 3 3
3 2 3 2
x xrea [(5x 10) (x 2x 8)]dx ( x 3x 18)]dx 3 18x
3 2
6 6 ( 3) ( 3)3 18 6 3 18 ( 3)
3 2 3 2243
2
= + + = + + = + +
= + + + +
=
5. Calcule a integral
0
cos x dx . Interprete geometricamente o resultado
obtido.
0
0
cos x dx sen x
sen sen 0 0
=
= =
Observando a figura 8 possvel jus-
tificar o valor obtido zero, pois tem-se
uma simetria nas regies e os valores
das integrais so de sinal contrrio.Figura 8
-
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282
UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
6. Observe a figura dada. Identifique as trs funes que esto representadas
graficamente:
y = (x 2)(x 4)x - funo polinomial do terceiro grau;
y = | 2x 8 | - funo modular;
y = 15 - funo constante.
Calcule a rea das regies A1, A
2e A
3.
Para identificar as funes observe que a funo polinomial corta o eixo dos
xnos pontos 2, 4e zeroque so as suas razes. A funo modular est repre-
sentada pelos segmentos que se encontram em um ponto anguloso, (4,0).
A funo assume o valor y = | 2x 8 | = 2x 8 direita do quatro e o valor
y = | 2x 8 | = 2x + 8a esquerda do quatro. A funo constante est repre-
sentada pela reta paralela ao eixo dos xque passa pelo valor y = 15.
Assim, temos:
4 53 2
1
0 4
43 2
2
0
53 2
3
4
35 211A [15 ( 2x 8)]dx [15 (x 6x 8x)]dx 44
4 4
A [( 2x 8) (x 6x 8x)]dx 16
21A [(x 6x 8x) (2x 8)]dx
4
= + + + = + =
= + + =
= + =
Figura 9
-
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283
CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
UNIDADE 3Tcnicas de Integrao
SEO 1 Integrao no contexto das funes trigonomtricas
Agora a Sua Vez (pgina 87)
Prove que cossec x dx = ln | cossec x cot x | + C .
2
cossec x(cossec x cot x)cossec x dx dx
cossec x cot x
cossec x cossec x cot xdx
cossec x cot x
=
=
Fazendo u = cossec x cot x, temos que du = cossec xcot x + cossec2x dx,
ou seja, du exatamente o numerador. Deste modo temos que:
du
cossec x dx ln|u| C ln| cossec x cot x | Cu
= = + = +
Agora a Sua Vez (pgina 93)
Calcule as seguintes integrais:
(a) cos4(2x)dx
Primeiramente fazemos u = 2xe ento du = 2dx, ou seja, du2
= dx. Assim,
aplicando a frmula de recorrncia temos:
(Aplicando recorrncia)
=
=
4 4
3 2
3 2
3
3
1cos (2x)dx cos u du2
1 1 3cos u sen u cos u du2 4 4
1 3cos u sen u cos u du8 81 3 1 1cos u sen u cos u sen u du8 8 2 2
1 3 3cos u sen u cos u sen u u C8 16 16
=
= +
= +
+ +
+ + +
Mas, como u = 2x, temos:
4 31 3 3
cos (2x)dx cos (2x) sen (2x) cos (2x) sen (2x) (2x) C8 16 16= + + +
-
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284
UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
(b) 3tg (ln x)
dxx
Fazendo a substituio u = ln x. Ento du =1x
dx. Portanto aplicando a fr-
mula de recorrncia temos:
3 3 2 2tg (ln x) 1 1dx tg u du tg u tg u du tg u ln| sec u| Cx 2 2
= = = +
Como u = ln x, temos:
3 2tg (ln x) 1dx tg (ln x) ln| sec (ln x)| Cx 2
= +
Agora a Sua Vez (pgina 101)
Calcule as integrais:
(a) sen5xcos4x dx
Como a potncia de seno impar, separamos um fator de sen x, portanto
temos:
sen5xcos4x dx =
sen4xsen xcos4x dx =
(sen2x)2sen xcos4x dx
Usando sen2x = 1 cos2x, temos:
sen5xcos4x dx = (1 cos2x)2cos4xsen x dx
Fazendo u = cos x. Ento du = sen x dx. Portanto,
sen5xcos4x dx = (1 u2)2u4(du) = (1 2u2+ u4)u4du
Ento,
5 95 4 7 5 7 9u 2 u 1 2 1sen x cos x dx u C cos x cos x cos x C
5 7 9 5 7 9 = + + = + +
-
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285
CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(b) tg2xsec4x dx
Como a potncia de secante par, separamos um fator de sec2xe ento temos:
tg2xsec4x dx =
tg2xsec2xsec2x dx
Usando sec2x = 1 + tg2x, tem-se:
tg2xsec4x dx = tg2x(1 + tg2x)sec2x dx
Fazendo u = tg x. Ento du = sec2x dx, logo:
= + = + = + +
+ +
3 5
2 4 2 2 2 4
3 5
u utg x sec x dx u (1 u )du (u u )du C3 5
1 1tg x tg x C
3 5
e portanto,
=
(c) cossec2xcotg2x dx
Usando 1 + cot2x = cossec2x, ou seja, cot2x = cossec2x 1
cossec2xcotg2x dx= cossec2x(cossec2x 1) dx= (cossec4x cossec2x) dx= cossec4x dx cossec2x dx
Aplicando a frmula de recorrncia, obtemos:
cossec2xcotg2x dx= 13 cossec2xcotg x +
23 cossec
2x dx cossec2x dx
= 13
cossec2xcotg x 13 cossec
2x dx
= 13
cossec2xcotg x 13
(cotg x) +C
(d) cos (10x)cos (x) dx
Vamos usar a identidade cos acos b = 12
[cos (a b) + cos (a + b)] . Ento,
cos (10x)cos (x) dx= 12 [cos (10x x) + cos (10x + x)] dx
= 12 [cos (9x) + cos (11x)] dx
Fazendo u = 9xe v = 11x. Ento du = 9dxe dv = 11dx, ou seja,du dx9
= edv dx11
= , logo:
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
1 du 1 dvcos (10x) cos (x) dx cos u cos v2 9 2 111 1cos u du cos v dv
18 221 1
senu sen v C18 221 1sen(9x) sen(11x) C
18 22
= +
= +
= + +
= + +
SEO 2 Integrao por substituio Trigonomtrica
Agora a Sua Vez (pgina 106)
Calcule a integral 2
29 x dxx
O integrando tem um termo do tipo 2 2a u . Neste caso a2= 9, portanto
a = 3. Assim fazendo x = 3sen com 2
2
tem-se dx = 3cos d.
Portanto, 29 x = 3cos . Ento,
2 2 2
2 2 2 2
2
3cos 3cos9 x cos (1 sen )dx d d dx 9sen sen sen
1d dsen
= = =
=
Como1cossec
sen =
, segue que:
22
2
9 x dx cossec d d cot Cx = = +
Necessitamos voltar para a varivel
x, perceba que devemos encontrar
cot e o prprio . Temos pela subs-
tituio inicial que x = 3sen , ou seja,
sen =x
3. No tringulo ao lado,
conseguimos:
29 xcotx = e xarcsen
3 =
. Logo,
2 2
2
9 x 9 x xdx cot C arc sen Cx 3x
= + = +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
Agora a Sua Vez (pgina 109)
Calcule a integral2
2
xdx
x 4+
O termo 2x 4+ do tipo 2 2u a+ , com a2= 4e, portanto a = 2. Fazendo a
substituio x = 2tg . Ento dx = 2sec2 d.
Portanto, 2x 4+ = 2sec . Logo,
= = =
+
= = +
= + +
2 222 2
2
3
4 tg 2 secx dx d 4 tg sec d 4 (sec 1) sec d2 secx 4
1 14 sec d 4 sec d 4 sec tg sec d 4 sec d2 2
2 sec tg 2 ln| sec tg | C
Usando o tringulo retngulo da
figura ao lado, obtemos o valor da
tangente e da secante:xtg2
= e2x 4sec2
+ = . Assim,
= + ++
+ += + +
+ += + +
2
2
2 2
2 2
x dx 2 sec tg 2 ln| sec tg | Cx 4
x 4 x x x 42 2 ln C2 2 2 2
x x 4 x x 42 ln C2 2 2
Agora a Sua Vez (pgina 111)
Calcule3
2
xdx
x 9 .
O termo 2x 9 do tipo 2 2u a , com a2= 9e portanto a = 3.
Fazendo a substituio x = 3sec . Ento dx = 3tg sec de 2x 9 = 3tg .
Logo, 334
2
27sec 3tg secx dx d 27 sec d3tgx 9
= =
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Usando recorrncia temos:3
2 2
2
x 1 2dx 27 sec tg sec d 9sec tg 18 tg C3 3x 9
2 = + = + +
Usamos o tringulo retngulo dafigura ao lado, para obter o valor da
tangente e da secante, assim temos:
2x 9tg3
= e xsec3
= .
Logo,23 2 2 2 2
2
2
x x x 9 x 9 x x 9dx 9 18 C 6 x 9 C3 3 3 3x 9
= + + = + +
SEO 3 Integrao de funes racionais por fraes parciais
Agora a Sua Vez (pgina 121)
Calcule as seguintes integrais:
(a)+
+ 22x 3 dx
x 9x 20
No h necessidade de dividir os polinmios. Temos Q(x) = x2 9x + 20que
tem razes x = 4e x = 5, logo Q(x) = x2 9x + 20 = (x 4)(x 5) . Assim temos:
2
2x 3 A B A(x 5) B(x 4)x 4 x 5 (x 4)(x 5)x 9x 20
+ + = + = +
Ou seja,
2x + 3 = A(x 5) + B(x 4)
Esta equao vlida para qualquer x, portanto temos:
Para x = 4obtemos, 11 = A(1), ento A = 11.
Para x = 5, obtemos 13 = B1, ento B = 13.
Logo,
2
2x 3 A B dx dxdx dx dx 11 13x 4 x 5 x 4 x 5x 9x 2011ln| x 4 | 13ln| x 5| C
+ = + = + +
= + +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(b) + +
+4 2
3 2
x 2x 4x 1dxx x x 1
Observe que necessitamos fazer a diviso da funo racional dada, pois o
grau do polinmio do numerador maior que o grau do polinmio do deno-
minador. Temos,
4 2
3 2 3 2
x 2x 4x 1 4xx 1x x x 1 x x x 1
+ + = + + + +
Portanto temos
4 2
3 2 3 2
x 2x 4x 1 4xdx (x 1)dx dxx x x 1 x x x 1
+ + = + + + +
A primeira integral do lado direito resolvida diretamente e a segunda inte-gral resolvemos por fraes parciais.
Necessitamos decompor o polinmio Q(x) = x3 x2 x + 1. Um das razes
x = 1, utilizando o mtodo do Briott-Rufini, obtemos a outra parte da decom-
posio que x2+ 2x + 1. Assim, Q(x) = x3 x2 x + 1 = (x + 1)(x2+ 2x + 1),
ou seja, a raiz x = 1se repete duas vezes, logo estamos no segundo caso na
decomposio de fraes parciais, isto ,
= + ++ + 3 2 2
4x A B Cx 1 x 1x x x 1 (x 1)
Encontremos os valores de A, B e C.
+ + + += + + =+ + +
2
3 2 2 2
4x A B C A(x 1) B(x 1)(x 1) C(x 1)x 1 x 1x x x 1 (x 1) (x 1)(x 1)
Ou seja,
4x = A(x 1)2+ B(x + 1)(x 1) + C(x + 1) que vlida para qualquer valor de x.
Ento,
Para x = 1obtemos 4 = A(2)2e ento A = 1
Para x = 1obtemos 4 = C2e ento C = 2.
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Para obter o valor de B, vamos necessitar montar um sistema para A, Be C.
Temos,
4x = A(x2 2x + 1) + B(x2 1) + C(x + 1)
4x = (A + B)x2
+ (2A + C)x + A B + C, ou seja,+ =
+ =
+ =
A B 0
2A C 4
A B C 0
Usando a primeira equao A + B = 0e
como A = 1, obtemos B = 1.
Portanto ficamos com:
+ + = + + + +
= + + + ++
4 2
3 2 3 2
2
x 2x 4x 1 4xdx (x 1)dx dxx x x 1 x x x 1
1 dx 2(x 1)dx dx dxx 1 x 1 (x 1)
usando substituio nas trs ltimas integrais obtemos:
4 2 2
3 2
x 2x 4x 1 x 2dx x ln| x 1| ln| x 1| C2 x 1x x x 1
+ + = + + + + +
Agora a Sua Vez (pgina 124)
Calcule ++
2
3
2x x 4 dxx 4x
.
O polinmio Q(x) = x3+ 4xpode ser decomposto diretamente colocando x
em evidncia, ou seja, Q(x) = x(x2+ 4)e note que x2+ 4 irredutvel pois b2
4ac = 02 414 = 16 < 0, logo a decomposio em fraes parciais dado
por
2 2
3 2 2
2x x 4 A Bx C A(x 4) (Bx C)x
xx 4x x 4 x(x 4)
+ + + + += + =+ + +
Assim temos: 2x2 x + 4 = A(x2+ 4) + (Bx + C)x, vlida para qualquer x, logo
para x = 0obtemos 4 = A4e ento A = 1.
Para encontrar os outros valores necessitamos montar um sistema para A, Be C.
2x2 x + 4 = (A + B)x2+ Cx + 4A, ou seja,
A B 2
C 1
4A 4
+ =
= =
Diretamente temos C = 1e como
A = 1e A + B = 2, obtemos B = 1.
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
Assim temos,
2
3 2 2 2
2x x 4 1 x 1 1 x 1dx dx dx dx dx dxx xx 4x x 4 x 4 x 4
+ = + = + + + + +
A primeira e a terceira integral utilizamos diretamente a tabela, j a segundaintegral usamos a substituio u = x2+ 4. Ento,
22
3
2x x 4 1 1 xdx ln| x | ln| x 4 | arc tg C2 2 2x 4x
+ = + + + +
Agora a Sua Vez (pgina 127)
Calcule +3
2 2x dx(x 2).
O polinmio Q(x) = x2+ 2 irredutvel pois b2 4ac = 02 412 = 8 < 0e
repete-se duas vezes, logo escrevemos
2 2
2 2 2 2 2 2 2
x Ax B Cx D (Ax B)(x 2) Cx D(x 2) x 2 (x 2) (x 2)
+ + + + + += + =+ + + +
Ento, x3= (Ax + B)(x2+ 2) + Cx + D = Ax3+Bx2+ (2A + C)x + 2B + D, onde
por igualdade de polinmios temos: A = 1, B = 0, 2A + C = 0e 2B + D = 0.
Da equao 2A + C = 0e do fato de A = 1, temos que C = 2e da equao
2B + D = 0e do fato de B = 0, temos D = 0, assim obtemos:
2
2 2 2 2 2
x x 2xdx dx dx(x 2) x 2 (x 2)
= ++ + +
fazendo em ambas integrais do lado direito a substituio u = x2+ 2, temos:
22
2 2 2 2
x 1 du du 1 1 1 1dx ln|u| C ln| x 2 | C2 u 2 u 2(x 2) u x 2= = + + = + + ++ +
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
UNIDADE 3
Atividades de auto-avaliao (pgina 129)
1. Calcule as integrais indefinidas envolvendo funes trigonomtricas.
(a) 4 3 2
3
3
1 3sen x dx sen x cos x sen x dx4 41 3 1 1sen x cos x sen x cos x dx4 4 2 2
1 3 3sen x cos x sen x cos x x C4 8 8
= +
= + +
= + +
(b) tg5(3x) dx
Primeiramente, fazemos u = 3x. Ento du = 3dx, ou seja,dudx3
= . Logo, temos:
5 5 4 3
4 2
4 2
4 2
1 1 1tg (3x)dx tg u du tg u tg u du3 3 4
1 1 1tg u tg u tgu du12 3 2
1 1 1tg u tg u ln| sec u| C12 6 31 1 1tg (3x) tg (3x) ln| sec (3x)| C
12 6 3
= =
=
= + +
= + +
(c) 2xsec3(x2+2) dx
Fazemos a substituio u = x2+2. Ento du = 2x dx, logo:
3 2 3
2 2 2 2
1 12x sec (x 2)dx sec u du sec u tgu sec u du2 2
1 1sec u tgu ln| sec u tgu| C2 21 1sec (x 2) tg(x 2) ln| sec (x 2) tg(x 2)| C2 2
+ = = +
= + + +
= + + + + + + +
(d) cos6(3x) dx
Primeiramente fazemos a substituio u = 3x. Ento du = 3dx, ou seja,dudx3
= .
= = +
= + +
= + + +
6 6 5 4
5 3 2
5 3
1 1 1 5cos (3x)dx cos u du cos u senu cos u du3 3 6 6
1 5 1 3cos u senu cos u senu cos u du18 18 4 4
1 5 5 1 1cos u senu cos u senu cos u senu du18 72 24 2 2
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
= + +5 31 5 5cos (3x) sen (3x) cos (3x) sen (3x)18 72 48
+ +
= + + + +5 3
5cos (3x) sen(3x) (3x) C48
1 5 5 5xcos (3x) sen(3x) cos (3x) sen(3x) cos (3x) sen(3x) C18 72 48 16
(e)tg x
dxx
Fazendo1
2u x x= = . Ento1
21 1du x dx dx2 2 x
= = , ou seja, 12du dxx
= .
tg xdx tgu 2du 2 tgu du 2ln|sec u| C 2ln|sec x | C
x= = = + = +
(f) sen (2x + 3) dx
Fazendo u = 2x + 3. Ento du = 2 dx, isto ,
du
dx 2= . Logo,du 1 1 1sen(2x 3)dx senu senu du cos u C cos (2x 3) C2 2 2 2
+ = = = + = + +
(g) xcossec (x2 5) dx
Fazendo u = x2 5. Ento du = 2x dx, ou seja, duxdx2
= . Portanto,
. Ento,
2 2
2
2 2
dux cossec (x 5)dx cossec (x 5) x dx cossec u2
1cossecudu2
1x cossec (x 5)dx ln|cossec u cotgu| C21ln|cossec (x 5) cotg(x 5)| C2
= =
=
= +
= +
(h) sen cos (cos ) d
Fazendo u = cos . Ento du = sen d, ou seja, sen d = du. Portanto,
sen cos (cos ) d = cos (cos )sen d = cos u (du)= sen u + C = sen (cos ) + C
(i) 23 sen2xcos3x dx
Como a potncia de cosseno impar, separamos um fator de cos x, portanto
temos:
23 sen2xcos3x dx = 2
3 sen2xcos2xcos x dx
-
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Usando cos2x = 1 sen2x, temos
23 sen2xcos3x dx = 2
3 sen2x(1 sen2x)cos x dx
Fazendo u = sen x. Ento du = cos x dx. Portanto,
3 52 3 2 2 2 4
3 5
2 2 2 2 u usen x cos x dx u (1 u )du (u u )du C3 3 3 3 3 5
2 2sen x sen x C9 15
= = = +
= +
(j) sen15(3x)cos (3x) dx
Fazendo u = sen (3x). Ento du = 3cos (3x) dx, ou seja,ducos(3x)dx3
= .
Ento,
1615 15 15 16du 1 1 u 1sen (3x) cos (3x) dx u u du C sen (3x) C
3 3 3 16 48 = = = + = +
(k) cotg3(2y + 1)cossec4(2y + 1) dy
Primeiramente para facilitar a notao, fazemos a substituio u = 2y + 1.
Ento du = 2dy, ou seja, dudy2
= .
cotg3(2y + 1)cossec4(2y + 1) dy =12 cotg
3ucossec4u du
Como a potncia da cotangente impar, separamos um fator de
cossec ucotg u, assim:
cotg3ucossec4u du = cotg2ucossec3ucotg ucossec u du
Usando cot2u = cossec2u 1, temos:
cotg3ucossec4u du = (cossec2u 1)cossec3ucotg ucossec u du
Fazendo z = cossec u. Ento dz = cossec ucotg u du,
ou seja, cossec ucotg u du = dz: Logo,
cotg3(2y + 1)cossec4(2y + 1) dy =
=12 (cossec
2u 1)cossec3ucotg ucossec u du
=12 (z
2 1)z3(dz) = 12 (z
5 z3)dz
= 112
z6+ 18
z4+ C = 112
cossec6u + 18
cossec4u + C
= 112
cossec6(2y + 1) +18
cossec4(2y + 1) + C
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(l) sen (3x)cos (5x) dx
Usando a identidade sen acos b =12
[sen (a b) + sen (a + b)], para a = 3xe
b = 5x, temos:
sen (3x)cos (5x) dx = 12 [sen (3x 5x) + sen (3x + 5x)]dx=
12 [sen (2x) + sen (8x)]dx
Lembre-se da trigonometria que sen (x) = sen x, logo sen (2x) = sen 2x.
sen (3x)cos (5x) dx =12 [sen (2x) + sen (8x)]dx
= 12 sen (2x) dx +
12 sen (8x) dx.
Fazendo u = 2xe v = 8x.
Ento du = 2dxe dv = 8dx, ou seja, dx = du2
e dx = dv8
.
sen (3x)cos (5x) dx = 12 sen u
du2
+12 sen v
dv8
= 1
4sen u du +1
16 sen v dv, finalmente,
= 1
4(cos u) +
1
16(cos v) + C
=1
4cos (2x)
1
16cos (8x) + C
(m)2
2
sen x dxcos x
Temos que sen2x = 1 cos2x. Assim,
2 2 22
2 2 2 2
2
sen x 1 cos x 1 cos xdx dx dx (sec x 1)dxcos x cos x cos x cos x
sec x dx dx tg x x C
= = =
= = +
(n)
e2x
cossec
2
(e
2x
) dxFazendo u = e2x. Ento du = 2e2x, ou seja, e2x dx = du
2. Assim,
e2xcossec2(e2x) dx = cossec2(e2x)e2xdx = cossec2u du2=
12 cossec
2udu =12
(cotg u) + C =12
(cotg e2x) + C
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
(o) Mostre as frmulas de recorrncia par cosnx.
Primeiramente escrevemos a integral de cosnx, de outra maneira.
cosnx dx = cosn1xcos x dx
Fazendo:
u = cosn1x du = (n 1)cosn2x(sen x) dx = (n 1)cosn2xsen x dx
dv = cos x dx v = cos x dx = sen xAplicando a frmula de integrao por partes tem-se:
cosnx dx = cosn1xsen x sen x(n 1)cosn2xsen x dx= cosn1xsen x +(n 1) cosn2xsen2x dx
Usando sen2x = 1 cos2x= cosn1xsen x +(n 1) cosn2x(1 cos2x) dx= cosn1xsen x +(n 1) (cosn2x cosn2xcos2x) dx= cosn1xsen x +(n 1) (cosn2x cosnx) dx
Assim,
cosnx dx = cosn1xsen x +(n 1) cosn2x dx (n 1)cosnx dx
Agora somando (n 1)cosnx dxem ambos os lados da equao, obtemos:
(n 1)cosnx dx+ cosnx dx = cosn1xsen x + (n 1) cosn2x dx
ncosnx dx= cosn1xsen x + (n 1) cosn2x dxOu seja,
n n 1 n 21 n 1cos x dx cos x sen x cos x dxn n
+= +
2. Calcule as integrais:
(a)
2 2dx
x 4 x
O integrando tem um termo do tipo 2 2a u . Neste caso a2= 4, portanto
a = 2. Assim fazendo x = 2sen com 2
2
tem-se dx = 2cos d.
Portanto, 24 x = 2cos . Ento,
= = =
22 22 2
2cosdx 1 1 1d d cossec d4 44 sen 2cos senx 4 x
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
Assim,
2 2
dx 1 1dx ( cotg ) C cotg C.4 4x 4 x
= + = +
Necessitamos voltar para a varivel x, perceba que devemos encontrar cotg .
Temos pela substituio inicial que
x = 2sen , ou seja, sen =x
2.
No tringulo ao lado conseguimos:24 xcot
x = .
Logo,
2 2
2 2dx 1 4 x 4 xdx C C4 x 4xx 4 x = + = +
(b) 22 5 x dx
O integrando tem um termo do tipo 2 2a u . Neste caso a2= 5,
portanto a = 5 . Assim fazendo x = 5 sen com 2
2
tem-se
dx = 5 cos d. Portanto, 25 x = 5 cos . Ento,
2 22 5 x dx 2 5 cos 5 cos d 10 cos d = = Aplicando a frmula de recorrncia, temos:
2 1 12 5 x dx 10 cos sen d 5cos sen 5 C2 2
= + = + +
Necessitamos voltar para a varivel x, e devemos ento encontrar cos , sen
e o prprio .
Temos pela substituio inicial quex = 5 sen , ou seja,
xsen5
= e,
portanto,xarcsen5
=
.
No tringulo ao lado conseguimos:25 xcos
5
= .
Logo,
22 25 x x x x2 5 x dx 5 5arc sen C x 5 x 5arc sen C
5 5 5 5 = + + = + +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(d)2 2
dx
x x 25+
O termo 2x 25+ do tipo 2 2u a+ , com a2= 25e, portanto a = 5. Fazen-
do a substituio x = 5tg . Ento dx = 5sec2 d.
Portanto, 2x 25+ = 5sec2. Logo,
2
2
2 1cos
2 2 sen2 2cos
2
secdx 5sec 1 1d d d25 2525tg 5sec tgx x 25
cos1 d25 sen
= = = +
=
fazendo u = sen . Ento du = cos d. Assim,
22 2dx 1 du 1 1 1C C cossec C25 25u 25sen 25ux x 25 = = + = + = ++
Usando o tringulo retngulo da
figura ao lado obtemos o valor da
cossecante:
2x 25cossecx+ =
Logo,2
2 2
dx 1 1 x 25cossec C C25 25 xx x 25
+= + = ++
(e)4 2
dxx 2x 1+ +
Perceba que x4+ 2x2+ 1 = (x2+ 1)2. Ento,
4 2 2 2
dx dx
.x 2x 1 (x 1)=+ + + fazendo a substituio x = tg . Ento dx = sec2 d. Portanto, x2+ 1 = sec2.
Logo,
22
4 2 2 2 2
dx sec 1d d cos dx 2x 1 (sec ) sec
1 1cos sen C2 2
= = = + +
= + +
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Necessitamos voltar para a varivel x, e devemos ento encontrar cos , sen
e o prprio .
Temos pela substituio inicial que
x = tg , logo = arctg (x). Pelo tri-
ngulo retngulo da figura ao lado
obtemos:
2
1cosx 1
=+
e2
xsenx 1
=+
Logo,
4 2 22 2
dx 1 1 x 1 1 x 1arc tg x C arc tg x C2 2 2 2x 2x 1 x 1x 1 x 1
= + + == + ++ + ++ +
(f)2
dx
x 36
O termo 2x 36 do tipo 2 2u a , com a2= 36e, portanto a = 6. Fazen-
do a substituio x = 6sec . Ento dx = 6tg sec de 2x 36 = 6tg .
Logo,
= = = + | +
2
6 tg secdx d sec d ln|sec tg C6 tgx 36
Usamos o tringulo retngulo da
figura ao lado para obter o valor da
tangente e da secante, assim temos:
e2x 36 xtg sec .6 6 = =
Logo,
2 2
2 2
dx x x 36 x x 36ln C ln C6 6 6x a
+ = + + = +
Usando a propriedade ln ab
= ln a ln b, temos.
2
2 2
dx ln|x x 36 | ln 6 Cx a
= + +
como ln 6 uma constante, ento ln 6 + C uma outra constante, digamos C1.
Ento, 2 12 2dx ln|x x 36 | Cx a= + +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(g) 122
dx(9x 1)
Primeiramente vamos arrumar o termo do denominador para ficar de acordo
com um dos casos estudados.
Note que 2 219x 1 9 x9
=
. Ento temos:
= = = =
32 32 2 3 2 3 2 31 19 9 2
dx dx dx 1 dx 1 dx27 27(9x 1) (9x 1) [9(x )] (x ) 1
x9
Fazendo a substituio x =13
sec . Ento dx =13
sec tg d.
Portanto, deste modo
2 1
x 9 =
1
3 tg Assim,
= = =
= = =
=
= +
3 32
3
1 13 cos
3 32 sen127 cos
2 2
3 3 3
3
sec tgdx 1 1 sec 1d d d
27 3 3tg tg(9x 1)
1 cos 1 (1 sen ) 1 1 1 1d d d d
3 3 3 3 sensen sen sen
1 1cossec d cossec d
3 3
1 1 1 1cossec cot cossec d cos
3 2 2 3
= |+
sec d
1 1cossec cot ln| cossec cot C6 6
Usamos o tringulo retngulo da
figura ao lado para obter o valor da
cotangente e da cossecante, assim
temos:
e2 2
3xcot cossec .
9x 1 9x 1
1 = =
Logo,
1 1= | +
= | +
3 22 2 2 2 2
2 2
dx 1 3x 1 3xln| C6 6(9x 1) 9x 1 9x 1 9x 1 9x 11 x 1 3x 1ln| C2 69x 1 9x 1
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
(h)2
x 1 dxx 1
+
O termo 2x 1 do tipo 2 2u a , com a2= 1e, portanto a = 1. Fazendo a
substituio x = sec . Ento dx = tg sec de 2x 1 = tg . Logo,
+ )+ = = +
= + = + + | +
2
2
(sec 1)(tg secx 1 dx d (sec 1) sec dtgx 1
sec d sec d tg ln|sec tg C
Usamos o tringulo retngulo da
figura ao lado para obter o valor da
tangente e da secante, assim temos:
e2tg x 1 sec x = =
Portanto,
2 2
2
x 1 dx x 1 ln| x x 1 Cx 1
+ = + + | +
(i)x
2x
e dxe 4+
O termo x 2(e ) 4+ do tipo 2 2u a+ , com a2= 4e, portanto a = 2. Fazen-do a substituio ex= 2tg . Ento derivando os dois lados da substituio
anterior, obtemos ex dx = 2sec2 d. Portanto, x 2(e ) 4+ = 2sec . Logo,
x 2
2x
e 2 secdx d sec d ln|sec tg | C2 sece 4
= = = + ++
Usando o tringulo retngulo da
figura ao lado obtemos o valor da
secante e da tangente:
ex 2xe e 4tg sec
2 2+ = =
Assim,
x 2x x2x x
2x
e e 4 edx ln C ln| e 4 e | C2 2e 4
+= + + = + + ++
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(j) 24 x dx+
O termo 2x 4+ do tipo 2 2u a+ , com a2= 4e, portanto a = 2. Fazendo
a substituio x = 2tg . Ento dx = 2sec2 d. Portanto, 2x 4+ = 2sec .
Logo,
2 2 3x 4 dx 2 sec sec d 4 sec d
1 14 sec tg sec d2 2
2 sec tg 2 ln|sec tg | C
+ = =
= +
= + + +
Com a substituio inicial x = 2tg ,
ou seja, tg =x
2
e usando o tringu-
lo retngulo da figura ao lado obte-
mos o valor da secante:
2x 4sec2
+ =
Assim,
2 22
2 2
x 4 x x 4 xx 4 dx 2 2 ln| | C2 2 2 2
1 x x 4 2 ln| x 4 x| C2
+ ++ = + + +
= + + + + +
3. Mostre que 2 22 2
du ln|u u a | Cu a
= + + ++
.
Fazemos a seguinte substituio u = atg . Ento du = asec2 d.
Assim 2 2u a+ = asec .
2
2 2du a sec d sec d ln|sec tg | Ca secu a= = = + ++
Na substituio u = atg , ou seja,utga
= , tem-se que u o cateto
oposto e a o cateto adjacente. J
a hipotenusa 2 2u a+ obtida por
meio do teorema de Pitgoras, ob-
serve a figura ao lado.
-
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304
UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Assim2 2a useca+ = . Portanto,
2 2
2 2
du a u uln| | Ca au a
+= + ++
Aplicando a regra de logaritmos, discutidas nos exerccios anteriores, obtemos:
2 22 2
2 2
2 21
du a u uln| | C ln| a u u| ln a Ca au a
ln| a u u| C
+= + + = + + ++
= + + +
4. Calcule as seguintes integrais por decomposio em fraes parciais.
(a)2
2
x dxx x+
Note que podemos fazer uma simplificao:
2 2
2
x x xdx dx dx.x(x 1) x 1x x
= =+ ++
Fazendo a diviso de polinmios, pois o grau do numerador igual ao do
numerador, obtemos:
. Ento,
22
x 11x 1 x 1
x dxdx dx .x 1x x
= + +
= ++
A segunda integral resolve-se por uma substituio. Assim,
2
2
x dxdx dx x ln|x 1| C.x 1x x
= = +++
Esta integral no necessitou resolver usando fraes parciais diretamente,
pois com uma diviso j a simplificamos ao mximo. Mas se na integral origi-
nal, no tivssemos feito a simplificao de x, poderamos dividir tambm e
depois aplicar fraes parciais que chegaramos no mesmo resultado.
(b)2
2x 1 dx2x 3x 2
++
No h necessidade de dividir os polinmios. Mas note que o coeficiente do
termo de maior grau do denominador 2, portanto vamos dividir o numera-
do e o denominador por 2, logo:
12
2 2 32
x2x 1 dx dx2x 3x 2 x x 1
++ =+ +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
Temos Q(x) = x2+32
x 1que tem razes x = 12
e x = 2,
logo Q(x) = x2+32
x 1 = (x 12)(x + 2). Assim temos:1 1
2 2
2 1 13 2 22
x A(x 2) B(x )A B
x x 2 (x )(x 2)x x 1
+ + + = + =
+ ++
Ou seja, x + 12
= A(x + 2) + B(x 12)Esta equao vlida para qualquer x, portanto temos:
Para x = 12
obtemos,12
+ 12
= 1A 22
+
, ento A =25
.
Para x = 2obtemos, 2 + 12
= 1B 22
, ento B =35
.
Logo,
2 12
2x 1 A Bdx dx dxx x 22x 3x 2
+ = + ++
Aplicando a substituio,
122 1
2
2x 1 2 dx 3 dx 2 3dx ln| x | ln|x 2| C5 x 5 x 2 5 52x 3x 2
+ = + = + + + ++
(c)4 3 2
x 2 dx
x 7x 18x 20x 8
+ +
Necessitamos decompor o polinmio Q(x) = x4 7x3+ 18x2 20x + 8. Uma
das razes x = 1, utilizando o mtodo de Briott-Rufini, obtemos a outra parte
da decomposio que x3 6x2+ 12x 8. Aplicando novamente Briott-Rufi-
ni na 2 parte da decomposio, sabendo que uma das razes x = 2, obter-
mos como outra decomposio x2 4x + 8. Resolvendo por Bhskara, temos
que as duas razes so x = 2e x = 2.
Assim, Q(x) = x4
7x3
+ 18x2
20x + 8 = (x 1)(x 2)(x 2)(x 2) , ou seja, araiz x = 2se repete 3vezes, logo estamos no segundo caso na decomposio
das fraes parciais, isto ,
4 3 2 2 3
x 2 A B C Dx 1 x 2x 7x 18x 20x 8 (x 2) (x 2)
= + + + + +
Encontraremos os valores de A, Be C.
3 2
4 3 2 3
x 2 A(x 2) B(x 1)(x 2) C(x 1)(x 2) D(x 1)
x 7x 18x 20x 8 (x 1)(x 2)
+ + + =
+ +
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Usando diretamente a tabela para as duas primeiras integrais e substituio
na terceira, temos:
2
3 2
x 2 2dx 2 ln| x| ln|x 1| Cxx x
= +
(f)3
dx3x 6x+
Primeiramente deixemos o coeficiente do termo de maior grau do denomi-
nador igual a um, colocando 2em evidncia.
3 3
dx 1 dx22x 6x x 3x
=+ +
Agora Q(x) = x3
+ 3x = x(x2
+ 3)e note que x2
+ 3 irredutvel, poisb2 4ac = 02 413 = 12 < 0 , logo a decomposio em fraes parciais
dado por,
+ + + += + =+ + +
2
3 2 2
1 A Bx C A(x 3) (Bx C)xxx 3x x 3 x(x 3)
Temos ento, 1 = A(x2+3) + (Bx + C)xque vlido para todo x.
Assim,
para x = 0obtemos 1 = A3, ento A = 13
.
Para encontrar os outros valores necessitamos montar um sistema para A, Be C.
1 = (A + B)x2+Cx +3A, ou seja,
A B 0
C 0
3A 1
+ =
= =
Diretamente temos C = 0e com a primeira equao
A + B = 0e pelo fato de A =13
, temos B = 13
.
Assim temos,
= = + + + +
= = + +
1 23 3
3 3 2
2 2
xdx 1 dx 1 dx dx2 2 x2x 6x x 3x x 3
x dx x dx1 1 dx 2 1 dx 12 3 x 3 6 x 3x 3 x 3
Usando a substituio u = x2+ 3, temos:
= + ++
23
dx 1 1ln| x| ln|x 3| C6 62x 6x
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(g) 2 2x 1 dx
(x 2x 3)
+ +
Perceba que o termo x2+ 2x + 3 irredutvel, pois
b2 4ac = 4 413 = 8 < 0, e ainda se repete duas vezes, ento temos o
quarto caso de decomposio em fraes parciais.
2
2 2 2 2 2 2 2
x 1 Ax B Cx D (Ax B)(x 2x 3) Cx D(x 2x 3) x 2x 3 (x 2x 3) (x 2x 3)
+ + + + + + += + =+ + + + + + + +
Ento,
x 1 = (Ax + B)(x2+ 2x + 3) + Cx + D
x 1 = Ax3+ (2A + B)x2+ (3A + 2B + C)x + 3B + D
Montando um sistema para A, B, Ce D, obtemos:
A 0
2A B 0
3A 2B C 1
3B D 1
= + =
+ + = + =
Da primeira e segunda equaes tiramos que A = 0e B = 0, com isso temos
C = 1e D = 1, ou seja, conclumos que a integral j est na sua forma redu-
zida, no tem como quebr-la em fraes parciais mais simples. Assim, deve-
mos resolv-la como a encontramos.
Primeiramente, vamos completar os quadrados.
Perceba que x2+ x + 2 = (x + 1)2+ 2. Logo,
2 2 2 2
x 1 x 1dx dx(x 2x 3) [(x 1) 2]
=+ + + +
Fazendo u = x + 1. Ento du = dx. Como u = x + 1, segue que x = u 1. Assim,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 1 (u 1) 1 u 2 u dudx du du du2(x 2x 3) (u 2) (u 2) (u 2) (u 2)
= = =+ + + + + +
Para resolver2 2
u du(u 2)+ , usamos a substituio z = u
2+ 2e ento obtemos:
12 2 2
u 1du C(u 2) 2(u 2)
= ++ +
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
J para resolver 2 2du
(u 2)+ , recorremos a substituio trigonomtrica.
Fazemos u 2 tg= . Ento 2du 2 sec d= . Ento,
= = =+ +
=
= + = +
2 2
2 2 2 2 4 2
2
du 2 sec 2 sec 2 d
d d 4(u 2) (2 tg 2) 4 sec sec
2 cos d4
2 1 1 2cos sen (cos sen )4 2 2 8
(Aplicando recorrncia)
Agora necessitamos voltar a varivel u. Temos que u 2 tg= , ou seja,utg2
= e portantouarc tg2
=
.
Usando o tringulo retngulo ao
lado, obtemos o valor de:
e2 2
u 2sen cos .u 1 u 1
= =+ +
Logo,
2 2 2 2
22
du 2 2 u uarctg8(u 2) 2u 2 u 2
2 2 u uarctg C8 u 2 2
= + + + +
= + + +
Temos ento que:
2 2 2 2 2 2
2 2
x 1 u dudu 2(x 2x 3) (u 2) (u 2)
1 2 2 u u
arctg C82(u 2) u 2 2
= + + + +
= + + + +
Agora necessitamos retornar a varivel x, e temos que , assim:
2 2 2 2
x 1 1 1 x 1 2 x 1arctg C2 4(x 2x 3) 2(x 2x 3) x 2x 3 2
+ += + + + + + + +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
(h)2
2 2
x x 2 dx(x 1) (x 1)
+ + +
Temos Q(x) = (x 1)2(x2+ 1), cuja raiz x = 1se repete duas vezes, enquanto
x2+ 1 irredutvel pois b2 4ac = 0 411 = 4 < 0 , logo a decomposio
em fraes parciais dado por,
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x x 2 A B Cx D A(x 1)(x 1) B(x 1) (Cx D)(x 1)x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
+ + + + + + + + = + + = + + +
Ento, x2+ x + 2 = A(x 1)2(x2+ 1) + B(x2+ 1) + (Cx + D)(x 1)2, que vlido
para todo x, assim,
Para x = 1obtemos 1 + 1 + 2 = B(1 + 1), ento B = 2.
Para encontrarmos os outros valores, precisamos montar um sistema para A,
B, Ce D.
x2+ x + 2 = x3(A + C) + x2(A 2C + B + D) + x(A + C 2D) A + B + D
A C 0
A B 2C D 1
A C 2D 1
A B D 2
+ = + + =
+ = + + =
Como pela primeira equao A = C, ento substituindo na terceira,
obtemos 2D = 1, ou seja, D = 12
. Agora pelo fato de D = 12
e B = 2,
da quarta equao tiramos que A = 12
. Como A = C, segue que C = 12
.
Ento,
2 1 12 2
2 2 2 2
2 2 2
xx x 2 1 dx dx2 dx2 x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
1 dx dx 1 x 1 dx2 dx2 x 1 2 2(x 1) (x 1) (x 1)
+ + = + + + +
= + + + +
Nas trs primeiras integrais usamos o mtodo da substituio, j na quarta
integral usamos a tabela diretamente, portanto:
22
2 2
x x 2 1 2 1 1ln|x 1| ln| x 1| arctg (x) C2 x 1 4 2(x 1) (x 1)
+ + = + + + +
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
(i) 2 2dx
(x 1)(x 9)+ +
Note que o polinmio Q(x) = (x2+ 1)(x2+ 9)j est na forma fatorada e os
dois fatores so irredutveis, logo:
2 2
2 2 2 2 2 2
1 Ax B Cx D (Ax B)(x 9) (Cx D)(x 1)(x 1)(x 9) x 1 x 9 (x 1)(x 9)
+ + + + + + += + =+ + + + + +
Ento,
1 = (Ax + B)(x2+ 9) + (Cx + D)(x2+ 1)
1 = (A + C)x3+ (B + D)x2+ (9A + C)x + (9B + D)
Por igualdade de polinmios, temos o seguinte sistema:
A C 0
B D 0
9A C 0
9B D 1
+ = + =
+ = + =
Da segunda equao, tem-se B = De substituindo-a na quarta 9B + D = 1,
obtemos D = 18
, logo B = 18
. Da primeira equao tem-se A = Ce substi-
tuindo-a na terceira 9A + C = 0, obtemos C = 0. Logo A = 0.
Ento,
= +
+ + + + 1 1
8 82 2 2 2
dx dx dx(x 1)(x 9) x 1 x 9
Usando diretamente a tabela, obtemos:
2 2
dx 1 1 xarctg (x) arctg C8 24 3(x 1)(x 9)
= + + +
(j)3 2
3x x 2x 1dx
x 1+ + +
Efetuando a diviso de polinmio temos,
3 2 2
3 3
x x 2x 1 x 2x 2dx 1dx dxx 1 x 1
+ + + + += +
A primeira integral do lado direito resolvida diretamente e a segunda inte-
gral resolve-se por fraes parciais.
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
Tendo Q(x) = x3 1 = (x 1)(x2+ x + 1), percebemos que uma raiz x = 1,
enquanto x2+ x + 1 irredutvel, pois b2 4ac = 1 411 = 3 < 0 , logo a
decomposio em fraes parciais dado por,
2 2
3 2 2
x 2x 2 A Bx C A(x x 1) (Bx C)(x 1)x 1x 1 x x 1 (x 1)(x x 1)
+ + + + + + + = + = + + + +
Temos ento,
x2+ 2x + 2 = A(x2+ x + 1) + (Bx + C)(x 1) para qualquer valor de x.
Assim,
Para x = 1, temos 5 = A3e ento A = 53
Para encontrar os outros valores, montamos um sistema para A, Be C. Temos:
x2+ 2x + 2 = A(x2+ x + 1) + (Bx + C)(x 1)
x2+ 2x + 2 = (A + B)x2+ (A B + C)x + A C
Portanto, obtemos o sistema:
A B 1
A B C 2
A C 2
+ =
+ = =
Como A = 53
e A + B = 1e A C = 2, ento B = 23
e C = 13
. Logo temos:
3 2 2
3 3
5 2 13 3 3
2
2
x x 2x 1 x 2x 2dx dx dxx 1 x 1
xdx dx
x 1 x x 15 dx 1 2x 1dx dx3 x 1 3 x x 1
+ + + + += +
= + +
+ ++= +
+ +
A primeira integral resolve-se diretamente e a segunda por substituio. Noteque a terceira tambm resolve-se por substituio, pois fazendo u = x2+ x + 1,
temos du = (2x +1) dx. Logo,
3 2
3 2
2
x x 2x 1 5 dx 1 2x 1dx dx dx3 x 1 3x 1 x x 1
5 1x ln|x 1| ln|x x 1| C3 3
+ + + += + + +
= + + + +
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
UNIDADE 4Tpicos Especiais de Integrao
SEO 2 Integrais Imprprias
Agora a Sua Vez (pgina 150)
Verifique se possvel calcular a rea da regio abaixo da curva: y = 1x
, x 1?
Basta verificar se a integral1
1 dxx
+
existe.
Temos:
t t
t t t11 1
1 1dx lim dx lim ln x lim (ln t ln 1)x x
+
= = = =
Portanto, a integral no existe.
Agora a sua vez! (pgina 151)
Verifique se a integral2
dx(x 1)
+
existe ou converge.
A funo no est definida em x = 1. Assim vamos escrever1
2 2 21
dx dx dx(x 1) (x 1) (x 1)
+ +
= +
Mas
1 0 1
2 2 20
0 0 0
2 2t t ttt
1 t
2 2t 1 t 1
0 0
dx dx dx(x 1) (x 1) (x 1)
dx dx 1 1 1lim lim lim 1
x 1 0 1 t 1(x 1) (x 1)dx dx 1lim lim 1
t 1(x 1) (x 1)
= +
= = = =
= = = +
e
Basta que uma das integrais no exista para que se possa afirmar que a inte-
gral dada no existe.
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
Para valores de m inteiro positivo vamos ter uma integral imprpria, pois a
funo no est definida em x = 0. Ao fazer1 0 1
m m m2 2 0
dx dx dxx x x
= + . obser-vamos que ficamos diante das consideraes do Agora a Sua Vez anterior,
portanto valem as mesmas consideraes.
Voc poder fazer inmeras simulaes para refletir esse exerccio.
SEO 3 Integrais que envolvem expresses quadrticas
Agora a Sua Vez (pgina 162)
Calcular as seguintes integrais utilizando um recurso computacional:
(a)2
dx
x (4x x 3)+
(b)2
24
dx
x 6x 9 +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
UNIDADE 4
Atividades de auto-avaliao (pgina 165)
1. Analise as seguintes integrais para diagnosticar a existncia de situaes
discutidas no contexto das integrais imprprias. Resolva, quando possvel.
(a)2 2
3 3
1 13 3
11 1
2 2 2t 0 t 0 t 03 3 30 t t
dx dx x 1 t 3lim lim lim .2x x+ + +
= = = =
(b)11 1 2 2
3 3t 0 t 0 t 0
t0 t
dx dx x 1 tlim lim lim .2 2 2x x+ + +
= = = =
(c)
44 4 1 1 1
2 2t 2 t 2 t 2
t2 t
dx dx (x 2) (4 2) (t 2)lim lim lim .1 1 1(x 2) (x 2)+ + +
= = = =
(d)
= = = = 0 0 0
x x x t
t t ttt
e dx 1 lim e dx lim e lim (1 e ) 1.. De fato,
(e) .
Temos
Analogamente . Logo,
0
2 2 20
0 0
2 t tt
2 20
dx dx dx1 x 1 x 1 x
dx lim arctg x lim ( arctg t) .2 21 x
dx dx .21 x 1 x
+ +
+ +
= ++ + +
= = = = +
= = + +
(f)
11 2 2 2
11
x 1 ( 1)(x 1) dx x 1 ( 1) 22 2 2
+ = + = + + =
2. Calcule as seguintes integrais utilizando um recurso computacional
(a)2
dx
x 2x 3+
-
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(b)2
x 3 dxx 2x
+
+
(c)2
3
dx(x 1)(x 2)
+
(d)4
2 2
x 2x dx(x 4) (x 2)
+ +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
UNIDADE 5Aplicaes Geomtricas
SEO 1 rea de regies planas
Agora a Sua Vez (pgina 178)
1. Calcule a rea da regio delimitada pela elipsex 2 cos t
y 3 sen t
=
=.
A rea do primeiro quadrante ser:
u.a.
02
0 0
0
1 1A 3 sen t 2 sen t dt 6 sen t dt 6 cos 2t dt2 2
1 1 1 3
3t 3 sen 2t 3 3 sen 2 3 0 3 sen 02 2 2 2 2 2
2 2
2
2
= = =
= = =
A rea total ser dada por34 62 = unidades de rea.
2. Calcule a rea da regio limitada pelas curvas 2x = t x = t 1
ey t y t 1
+
= = + .
A regio cuja rea ser calculada pode ser visualizada na figura 10:
Usando o caso II, teremos:
31
0 2
tt2
t t
A (t 1) 1dt t 1dt= +
Se xvaria entre 0e 1, ento:
Para x = 0 t0= x 1 = 0 1 = 1 ;
Para x = 1 t1= x 1 = 1 1 = 0 ;
Para
x = 0 t2= 0;Para x = 1 t
3= 1. Figura 10
u.a.0 10 1 2 3
2
1 01 0
t t 1 1 1A (t 1) dt t dt t 12 3 2 3 6
= + = + = =
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
3. Calcule a rea delimitada pela elipsex 2 cos t
y 4 sen t
=
=
que est acima da reta y = 2.
importante encontrar o ponto de interseco da reta com a elipse no pri-
meiro quadrante, para que possamos definir os limites de integrao:
2 = 4sen t ou1sen t t2 6
= =
Assim, a rea no primeiro quadrante ser:
6 2 2
2 6 6
2
6
2 1 1A (4 sen t) ( 2 sen t) dt 8 sen t dt 8 cos 2t dt2 2
4 3 34t 2 sen 2t3
= = = +
+= + =
u.a.
A rea total ser dada por = u.a.4 3 3 8 6 32
3 3 + + .
Agora a Sua Vez (pgina 186)
Calcule a rea da regio delimitada pelas seguintes curvas, representadas em
coordenadas polares.
1. r = 2 2 sen
A rea formada pela cardiide pode
ser visualizada na figura 11:
J que existe simetria em relao ao
eixo vertical, a rea ser escrita como
sendo: AT= 2A, sendo que
Figura 11
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2
1 1A (2 2 sen ) d (4 8 sen 4 sen ) d2 2
2 d 4 sen d 2 sen d
1 12 4 cos 2 cos 2 d2 2
2 2 4 0 1 cos 2 d2 2
= = +
= +
= + +
= + +
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
2
2
1 sen 2 22 2 2
= + + = +
u.a.2 32 2
= + + =
2. r = sen (5)
Na figura 12 possvel visualizar esta
roscea e a rea que ser calculada.
Usando o intervalo , 02
,
vamos calcular a rea de uma das
cinco ptalas:Figura 12
u.a.
2 2
2
0 02 2
2
0
2
1 1A (sen 5 ) d sen 5 d2 2
u 5 du 5d
1 1 1 1 1 1 1 1A sen u du cos 2u du u sen 2u c10 10 2 2 10 2 2 2
5 1 1sen (10 ) c sen (10 )20 40 4 40
1 sen (10 )4 40 2 8
= =
= =
= = = +
= + =
= =
A rea total ser dada por55 A 5
8 8 = = unidades de rea.
SEO 2 Comprimento de arcos de curvas planas
Agora a Sua Vez (pgina 190)
1. Determine o comprimento de arco das seguintes curvas
(a) = 2x ln x
y2 4
no intervalo 2 x 4.
A derivada de yser dada por21 4x 1y ' x
4x 4x= = .
+ + += + = + =
24 4 42 4 2 4 2
2 22 2 2
4x 1 16x 8x 1 16x 8x 1s 1 dx 1 dx dx4x 16x 16x
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
+ += = = + = +
= + + = +
44 4 4 42 2 2 2
222 2 2 2
(4x 1) 4x 1 1 x 1dx dx x dx dx ln| x |4x 4x 2 416x
16 1 4 1 1ln 4 ln 2 6 ln 22 4 2 4 4
u.c.
(b) y = 4x 1entre os pontos A(1,3)e B(2,7).
= + = = = = 2 2
22
11 1
s 1 (4) dx 17 dx 17 x 17(2 1) 17 u.c.
2. Escreva a integral que representa o comprimento de arco das seguintes
curvas:
(a) y = ex 1de A(0,0)at B(2,e2 1).
2 2x 2 2x
0 0
s 1 (e ) dx 1 e dx= + = +
(b) y = sen xde x = 0at x = .
2 2
0 0s 1 (cos x) dx 1 cos x dx
= + = +
Agora a Sua Vez (pgina 193)
1. Determine o comprimento da parte da circunferncia=
=
x 10 cos t
y 10sen tque
est no primeiro quadrante.
No primeiro quadrante a variao de tser t 0,2
. Assim,
= + = +
= = = =
2 2
2
2
2 2 2 2
0 0
00
s ( 10 sen t) (10 cos t) dt 100(sen t cos t) dt
100 dt 10t 10 52
u.c.
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
2. Calcule o comprimento de arco da curva= +
=
x 3t 2
y t 1, t [0,3].
u.c.3 3
32 2
00 0
s (3) (1) dt 10 dt 10 t 3 10= + = = =
3. Calcule o comprimento da cardiide r = 2 + 2cos .
u.c.
2 2
0
2 2
0
2
0 0 0
0
s 2 ( sen ) (2 2 cos ) d
2 4 sen 4 8 cos 4 cos d
2 8 8 cos d 2 8 1 cos d 2 8 2 cos d2
2 8 2 2 sen 16 sen sen 0 162 2
= + +
= + + +
= + = + =
= = =
4. Determine a integral que representa o comprimento da curva r = 2 cos .
2 2 2 2
0 0
0
s 2 (sen ) (2 cos ) d 2 sen 4 4 cos cos d
2 4 4 cos d
= + = + +
=
SEO 3 Volume de slidos de revoluo
Agora a Sua Vez (pgina 198)
1. Determine o volume do slido gerado pela rotao de y = x , 0 x 4
em torno do eixo x.
= = = = 44 4 2
2
00 0
xV ( x ) dx x dx 82
u.v.
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
2. Calcule o volume do slido gerado pela regio Rque gira em torno do
eixo x, sendo que R: = +
=
2y x 1
y 3 x.
1 12 2 2 2 4 2
2 211 3 5
2 4 2
2 2
V [(3 x) (x 1) ] dx [(9 6x x ) (x 2x 1)] dx
x x(8 6x x x ) dx 8x 3x3 5
1 1 8 32 1178 3 16 123 5 3 5 5
= + = + + +
= =
= + + =
UNIDADE 5Atividades de auto-avaliao (pgina 204)
1. Calcule a rea da parte da elipse=
=
x 4 cos t
y 2sen tque est acima da reta y = 1.
importante encontrar o ponto de interseco da reta com a elipse no pri-
meiro quadrante, para que possamos definir os limites de integrao:
11 2 sen t sen t t2 6
= = =
Assim, a rea no primeiro quadrante ser:
u.a.
6 2 2
2 6 6
2
6
2 1 1A 2 sen t 4 sen t dt 8 sen t dt 8 cos 2t dt2 2
4 2 4 2 3 4 3 34t 2 sen 2t 4 2 sen2 6 6 3 2 3
= = =
+= = + = + =
A rea total ser dada por = u.a.4 3 3 8 6 32
3 3 + +
2. Calcule a rea da regio entre as curvas=
=
x 4 cos t
y 2sen te
=
=
x cos t
y sen t.
No primeiro quadrante teremos:
= =
= = =
2 2
2 2
2 2
0 02 2
0 0
2
00
A 2 sen t 4 sen t dt sen t sen t dt 8 sen t dt sen t dt
t 1 77 sen t dt 7 sen 2t
2 4 4
u.a.
A rea total ser data por u.a.74 74 =
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
3. Calcule a rea da regio limitada pela curva r = 2 cos .
2 2
0 0
0
1 1A (2 cos ) d (4 4 cos cos ) d2 2
1 1 1 94 4 sen sen 2 4 02 2 4 2 2 4
= = +
= + + = + =
u.a.
A rea total ser de = u.a.9 924 2
4. Calcule a rea da interseco das circunferncias r = 6cos e r = 6sen .
Na figura 13 possvel visualizar a
interseco das circunferncias:
Para definir os limites de integrao,
importante encontrar o ngulo em
que as duas circunferncias se inter-
ceptam no primeiro quadrante:
6 cos 6 sen cos sen
4
= =
= Figura 13
u.a.
4 4 4
4
2 2
0 0 0
0
1 36 1 1A (6 sen ) d sen d 18 cos 2 d2 2 2 2
1 1 9 1818 sen 2 18 sen2 4 8 4 2 4
= = =
= = =
A rea total ser = u.a.9 18 9( 2)2
4 2
5. Calcule o comprimento de arco da curva =
2
3xy
2do ponto x = 0at x = 1.
+ += + = + = =
= + =
= = = + = +
= = =
2 2 23 3 3
2 2 13 3 3
2 13 3
3 2 332 2
1 13 3
32
1 1 1 1
0 0 0 0
1
0
x 1 9x 1 9x 1s 1 dx 1 dx dx dx9 9x 9x 3x
u 9x 1 du 6x dx
u du 1 1 1s u du u C (9x 1)18 27 273x 6x
1 1 1 10 10 1(10 1) 10 1027 27 27 27
u.c.
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
6. Encontre a integral que repre-
senta o comprimento total da curva = =
t
t
2
x e 1
y e, sendo 0 t 3.
+ += + = + = =
t t2 2
23 3 3 3t 2t t tt 2 2t
0 0 0 0
e e 4e e e 4e 1s (e ) dt e dt dt dt2 4 4 2
7. Calcule o comprimento do ardo da curva4
2
x 1y
8 4x= + no intervalo x [1,2].
+ + += + = =
+= = + =
= =
22 2 26 6 12 6 6 2
3 6 61 1 1
22 2 26 6 4
3 3 3 211 1 1
x 1 4x x 2x 1 (x 1)s 1 dx dx dx2x 4x 4x
(x 1) x 1 x 1dx dx dx 82x 2x 2x 4x
16 1 1 1 338 16 8 4 16
u.c.
8. Determine o comprimento de arco da curva r = 32, sendo
20,
3.
u.c.
2 2 23 3 3
32 323 23 32 2
2 2 2 2 4 2 2
0 0 0
2 22
0
s (6 ) (3 ) d 36 9 d 9 (4 ) d
3 2 4 (36 4 )(4 ) 4 4 82 3 9 27
= + = + = +
+ = + = + =
9. Encontre a integral que representa o comprimento total da curva
r = 2 3cos .
= +
= + +
=
2 2
0
2 2
0
0
s (3 sen ) (2 3 cos ) d
9 sen 4 12 cos 9 cos d
13 12 cos d
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
10. Calcule o volume do slido gerado pela rotao da interseco de y = x2,
y = 0e x = 2em torno do eixo y.
u.v.
44 4 22 2
0 0 0
y 16V [(2) ( y ) ] dy (4 y) dy 4y 16
2 2V 8
= = = =
=
11. Calcule o volume da superfcie obtida pela rotao de y = 4 x ,1
4 x 4
em torno do eixo x.
= = = =
= =
11 1 44 4
44 4 22 x 1V (4 x ) dx 16x dx 16 8 16
2 16256 1 2558
16 2u.v.
12. Faa rotacionar a regio Rdefinida pela interseo de y = x3, x = 0e y = 8
em torno da reta y = 8. Encontre o volume do slido gerado.
u.v.
22 2 7 43 2 6 3
0 0 0
x 16xV (x 8) dx (x 16x 64) dx 64x7 4
128 57664 1287 7
= = + = +
= + =
13. Calcule o volume do slido de revoluo gerado pela rotao de y = 2x + 1,
y = 0e x = 1em torno da reta x = 1.
u.v.
323 3 2 3
0 0 0
y 1 (y 3) (y 3)V 1 dy dy
2 4 4 3
9.0 . 2712 12 4
= = =
= =
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
UNIDADE 6Aplicaes Fsicas
SEO 1 Massa e centro de massa de um o
Agora a Sua Vez (pgina 217)
Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de 10 cmde com-
primento, se a densidade linear da barra num ponto P, que dista x cmda
extremidade esquerda, (2x + 3) kg/cm.
Coloquemos a barra sobre o eixo x, fazendo com que a extremidade esquer-
da coincida com a origem. Ento,
Temos que a massa dada por:
10
2 10 20
0
m (2x 3) dx (x 3x)| (10 3 10) 0 130 kg.= + = + = + =
J o para o centro de massa, temos:
1010 102 3 2
00 0
3 2
1 1 1 2 3x x(2x 3) dx (2x 3x) dx x xm 130 130 3 2
1 2 3 1 1 200010 10 0 150 6, 28.130 3 2 130 130 3
= + = + = +
= + = + =
SEO 2 Trabalho
Agora a Sua Vez (pgina 223)
Uma partcula movida ao longo do eixo xpor uma fora que mede 21
xN
em um ponto a xmetros da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover apartcula de x = 1 at x = 5 metros.
O trabalho dado pela integral definida:
55
21 1
1 1 1 4W dx 1 0, 8 J.x 5 5x
= = = = =
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
SEO 2 Presso
Agora a Sua Vez (pgina 228)
1. Uma chapa semicircular de 0,1 mde raio acha-se submersa verticalmente
num lquido, como mostra a figura 6.7. Determinar a fora exercida sobre umlado da chapa, sabendo-se que o lquido pesa 100 N por m3. Lembre-se que
a funo que determina uma circunferncia = 2 2y r x , sendo ro raio
da circunferncia.
Note que a chapa simtrica em
relao ao eixo y, portanto vamos
considerar a regio delimitada por
y = 0,1, y = 0, x = 0e2x 0, 01 y= . O nvel da gua con-
tm a reta y = 0.
Sabemos que a fora exercida dada
por:Figura 6.7 Placa circular de raio 0,1 metros
d
c
F p (l y)[f(y) g(y)] dy= , onde p = 100, l = 0(nvel da gua).
Devemos multiplicar a integral por 2, pois estamos considerando apenas a
regio da direita.
0 02 2
0,1 0,1
F 100 (0 y) 0, 01 y dy 200 y 0, 01 y dy
= =
Fazendo a substituio u = 0,01 y2. Ento du = 2y dy, ou seja,du y dy2
= .
Ento,
32 312 22
32
du 1 1 u 1y 0, 01 y dy u u du u C2 2 2 3
= = = = +
Portanto para a integral definida, temos:
3 32 2
02
0, 1
1 200F 200 (0, 01 y ) (0, 01) 0, 066 N.3 3
= = =
-
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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
UNIDADE 6
Atividades de auto-avaliao (pgina 231)
1. Usando = b
a
1x x (x) dxm
, mostre que o centro de massa de uma barra
homognea de comprimento lest no seu ponto mdio, isto ,+= b ax2
.
Considere a barra com extremidades nos pontos ae b.
Como a barra homognea, ento a barra tem densidade constante, ou seja,
(x) = k. Para calcular a massa, temos:
bba
a
m k dx kx | k(b a).= = =
Ento, para o centro de massa, temos:
b b 2b 2 2a
a a
1 1 1 x 1x xk dx k x dx | (b a )m k(b a) (b a) 2 2(b a)
= = = =
Decompondo: b2 a2= (b a)(b + a), logo:
1 b ax (b a)(b a)2(b a) 2
+= + =
, como queramos demonstrar.
2. Determinar o centro de massa de uma barra de 5 mde comprimento, sa-bendo que num ponto P, que dista 1 mde uma das extremidades, a densidade
1 kg/me que nos demais pontos ela dada por (1 + d) kg/m, onde d a
distncia at o ponto P. Neste caso, a densidade da barra dada pela funo:
=
= + =
-
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CLCULO II Respostas e comentrios dos exerccios
O centro de massa dado por:
= = +
= + = +
= = =
5 4 5
2720 0 4
4 5
2 3 3 2
0 4
1 1x x (x) dx x(5 x) dx x(x 3) dxm
2 5x x x 3 2 56 41x27 2 3 3 2 27 3 6
2 51 17 1, 89.27 2 9
3. Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de 10 cmde
comprimento, se a densidade linear da barra num ponto P, que dista x cmda
extremidade esquerda, (2x + 5) kg/cm.
Suponha a barra sobre o eixo xe com a extremidade esquerda na origem.
Temos que a massa dada por:
102 10 2
0
0
m (2x 5) dx (x 5x)| (10 5 10) 0 150 kg.= + = + = + =
J o para o centro de massa, temo